平方差公式与完全平方公式知识点总结

乘法公式的复习

一、平方差公式

(a+b)(a-b)=a2-b2

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：

①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2

②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2

③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4

④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2

⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]

=(xy)2-(z+m)2

=x2y2-(z+m)(z+m)

=x2y2-(z2+zm+zm+m2)

=x2y2-z2-2zm-m2

⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)

=(x-y)2-z2

=(x-y)(x-y)-z2

=x2-xy-xy+y2-z2

=x2-2xy+y2-z2

⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)

=(x2-y2)(x2+y2)

=x4-y4

⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2

=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z )

=-4xy +4xz

完全平方公式

活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

()()()()()()()12223244222

222

222222

....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab +-=+-+=+++-=++--=

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-

∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -

∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-

例3 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。

解：()a b a b ab 2222242526+=-+=+⨯=

三、学习乘法公式应注意的问题

（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”． 例1 计算(-2x 2-5)(2x 2-5)

分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2”符号相反，因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2中的a ，而“2x 2”则是公式中的b ．

例2 计算(-a 2+4b )2

分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时，“-a 2”就是公式中的a ，“4b ”就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则“4b ”是公式中的a ，而“a 2”就是公式中的b ．（解略）

（二）、注意为使用公式创造条件

例3 计算(2x +y -z +5)(2x -y +z +5)．

分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x ”、“5”两项同号，“y ”、“z ”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．

例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．

分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．

（三）、注意公式的推广

计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．

例6 计算(2x+y-3)2

解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)

=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．

（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式

例7 已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．

例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2

分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．

四、怎样熟练运用公式：

熟悉常见的几种变化

有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．

常见的几种变化是：

1、位置变化 如（3x +5y ）（5y －3x ）交换3x 和5y 的位置后即可用平方差公式计算了．

2、符号变化 如（－2m －7n ）（2m －7n ）变为－（2m +7n ）（2m －7n ）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）

3、数字变化 如98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了．

4、系数变化 如（4m +2n ）（2m －4n ）变为2（2m +4n ）（2m －4

n ）后即可用平方差公式进行计算了．

（四）、注意公式的灵活运用

有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a 2+1）2·（a 2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a 2+1）（a 2－1）]2=（a 4－1）2=a 8－2a 4+1．

对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－221）（1－231）（1－2

41）…（1－291）（1－2

101），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．

即原式=（1－21）（1+21）（1－31）（1+31）×…×（1－10

1）（1+101）=21×23×32×34×…×109×1011 =21×1011=20

11． 有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变

式，乘法公式的变式主要有：a 2+b 2=（a +b ）2－2ab ，a 2+b 2=（a －b ）2+2ab

等．