人教版初三数学正多边形的有关计算
正多边形九年级知识点
正多边形九年级知识点正多边形是指具有相等边长和相等内角的多边形。
在九年级几何学的学习中，正多边形是一个重要的知识点。
本文将介绍正多边形的定义、性质以及计算方法等相关知识。
1. 正多边形的定义正多边形是指所有边长和所有内角均相等的多边形。
常见的正多边形有正三角形、正四边形、正五边形等。
2. 正多边形的性质2.1 内角和外角和对于任意正多边形而言，其内角和与外角和之和均为360度。
以正五边形为例，其内角和为540度，外角和为360度。
2.2 内角的计算公式对于任意正n边形，其内角的度数可通过公式计算得出：内角度数 = (n - 2) × 180° / n2.3 外角的计算公式对于任意正n边形，其外角的度数可通过公式计算得出：外角度数 = 360° / n2.4 对边形和旋转对称性正多边形具有对边形，即对于任意一条边，其对边与其平行且长度相等。
而且，正多边形具有旋转对称性，即以任意顶点为中心旋转一定的角度后，其余顶点落在对应的位置上，形状保持不变。
3. 正多边形的计算3.1 边长的计算由于正多边形的边长相等，可以通过已知的其他参数计算出边长。
例如，已知正五边形的内角度数为108°，则可以使用内角度数计算公式来求得边长：边长 = (正五边形的内角度数所对应的直径长度) × (正五边形的外接圆半径)3.2 面积的计算正多边形的面积可以通过边长和高的计算公式得出。
例如，已知正六边形的边长为a，则可以使用边长和高的计算公式来求得面积：面积 = (正六边形的边长) × (正六边形的高) × 1/24. 正多边形的应用正多边形的概念和性质在实际生活中有广泛应用。
例如，建筑设计中常常使用正多边形来构建稳定和美观的结构；工程测量中可以通过正多边形的性质来计算建筑物的面积等。
总结：正多边形是九年级几何学中的一个重要知识点。
通过本文的介绍，我们了解到正多边形的定义和性质，以及计算边长和面积的方法。
初三数学正多边形和圆公式
初三数学正多边形和圆公式
正多边形和圆是中学数学学习中一个重要的课题，其中正多边形和圆的公式是学生必须掌握的知识点。
一、正多边形的公式
1、行心角公式：Σinterior angles = (n - 2 )×180°
其中，Σinterior angles表示角之和，n表示多边形内角的个数。
2、每内角度数公式：interior angle = (n - 2 )×180°/n
3、外角之和公式：Σexterior angles = 360°
其中，Σexterior angles表示外角之和。
4、外角度数公式：exterior angle= 360°/n
5、正多边形的周长公式：P= a × n
二、圆的公式
1、定义公式：圆：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
其中，a和b表示圆心坐标，r表示圆的半径。
2、圆的周长公式：C=2πr
3、圆的面积公式：S=πr^2
4、弦长公式：L=2πr × 角度
5、弦长公式：A=2πR × (1-cosα)
以上就是高中数学关于正多边形和圆的公式，希望可以帮助到大家学习和掌握。
人教版九年级数学上册《正多边形的计算》课件
1
1
lr nar
2
2
七、课堂检测
1.如图：正三角形ABC中，边心距OD
为3，求中心角、半径、边长？
解：
ABC 是正三角形
3600
中心角为
1200
3
OD AC且OA OC
AOD COD 600
COD 300
OC 2OD 6, CD
于它的半径。
因此，亭子地基的周长
l=6×4=24（m）
作OP⊥BC，垂足为P，在
Rt△OPC中，OC=4m，PC=BC/2=2
（m），利用勾股定理，可得边心距
r 42 - 22 2 （m
3 ）
亭子的地基面积
1
1
s lr 24 2 3 41.6(m 2 )
2
2
五、牛刀小试
度数?
5.正n边形呢？
正六边形有六个中心角，他们都
相等，中心角的和为360°，每个中
心角的度数为
360
中心角为 n
360O
6
。
，即60°，正n边形
二、小组合作
你能找出图形中的直角三角
形吗？它的三边由什么组成？它
的三边满足什么定理？两个锐角
之间呢？边角之间呢？
RtOAH 和 RtOBH ，边长的一半，边
如图在正方形ABCD中，边心
距OE为1，求中心角、边长、周
长、面积？
解： 四边形ABCD是正方形
360o
中心角
90o
4
OE AB且OA OB
AOE BOE 45o , AE BE
AE OE 1
AB 2AE 2
正多边形和圆及正多边形的有关计算
中考数学辅导之—正多边形和圆及正多边形的有关计算正多边形和圆是初中几何课本中的最后一单元,它包括正多边形的定义、正多边形的判定、性质,正多边形的有关计算,圆周长及弧长公式，圆、扇形、弓形的面积。
今天我们一起学习正多边形的定义、判定、性质及有关计算.一、基础知识及其说明：1.正多边形的定义:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.此定义中的条件各边相等,各角也相等 “缺一不可”.如:菱形各边相等,因四个角不等,所以菱形不一定是正多边形.矩形的四个角相等,但因四条边不一定相等,故矩形不一定是正四边形,只有正方形是正四边形.2.正多边形的判定,正多边形的定义当然是正多边形的判定方法之一,但如同全等三角形的判定一样,用定义来证明两个三角形全等显然不可取,因此需用判定定理来证.判定定理:把圆几等分()①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正边形②经过各分点做圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形.也就是说,若要证明一个多边形是圆内接正多边形,只要证明这个多边形的顶点是圆的等分点即可, 如：要证明一个圆内接边形ABCDEF ……是圆内接正边形,就要证A 、B 、C 、D 、E 、F ……各点是圆的n 等分点,就是要证AB=BC=CD=DE=EF=…….同样,要证明一个圆外切边形是圆外切正边形,只要证明各切点是圆的等分点即可例1:证明：各边相等的圆内接多边形是正多边形.已知:在⊙O 中,多边形ABCDE ……是⊙O 的内接n 边形 且AB=BC=CD=DE=…….求证:n 边形ABCDE ……是正n 边形证明: AB=BC=CD=DE=…… ∴ AB=BC=CD=DE ……∴OEB=AEC= BED=COE=……∴ =∠=∠=∠=∠D C B A又∵AB=BC=CD=DE=……∴n 边形ABCDE ……是正n 边形.例2:证明:各角相等的圆外切n 边形是正n 边形.已知:多边形……是圆外切n 边形,切点分别是A,B,C,D,E ……,=…….求证:n 边形……是正n 边形.证明:连结OB,OC,OD ……,在四边形COD 和四边形BOC 中∵切⊙O 于B,C,D∴∴ 0''180=∠+∠=∠+∠COD C BOC B而……∴∴BC=CD(在同圆中,相等的圆 B O心角所对的弧相等).同理BC=CD=DE=FE=……'B D∴A,B,C,D,E,F……是圆的n等分点 C∴多边形ABCDEF……是圆外切n正多边形3.正多边都是轴对称图形,若n是奇数,正n边形是轴对称图形,n是偶数,正n边形既是轴对称图形又是中心图形.4.正多边形的性质:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.5.正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心.外接圆半径叫正多边形的半径.内切圆的半径叫正多边形的边心距.正多边形的每一边所对的圆心角叫中心角,中心角的度数是.如图:OA,OB是半径,O是中心,OH⊥AB于H,OH是边心距,是中心角6.正多边形的有关计算,一般是围绕正边形的半径R,边长,边心距,周长及面积来进行,但关健是之间的计算,因为正边形的边心距把正边形的一边与该边所对应的两条半径所围成的等腰三角形分成两个全等的直角三角形,所以在Rt△AOH中,斜边是R,直角边分别是和,锐角,利用直角三角形的有关知识(勾股定理,锐角三角函数等)来解直角三角形即可.例：已知正六边形ABCDEF的半径是R,求正六边形的边长S6.解:作半径OA、OB，过O做OH⊥AB，则∠AOH==30°∵∴∴∴∵∴S6=同学们在进行正多边形的计算时,应很好的理解、掌握如何用解直角三角形的方法进行计算,但也可以推出公式,然后利用公式变形进行计算.则这是已知半径R,求的公式,若记住公式则正多边形的计算就简单了很多,如已知半径R,求解:再如：已知正三角形的边长为,可以先由,求出半径,再将求得的R代入；若已知边心距求边长,则先用,求出R,再代入求边长公式即可求出,此法好处是不用画图,只需将上面两个公式反复变形即可.7.如何求同圆的圆内接正边形与圆外切正边形的边长比,半径比,边心距比.如：求同圆的圆内接正边形和圆外切正边形的边长比.设⊙O的半径的为R则圆内接正边形的边长是而在Rt△OBC中,OB=R,则,即外切正边形的边长是,∴=实际上，=,OB是的邻边,OC是Rt△BOC的斜边,,希望同学们记住此结论.如圆内接正四边形的边心距与圆外切正四边形的边心距之比是,圆内接正六边形与圆外切正六边形的边长之比是,而圆内接正三角形与圆外切正三角形的面积之比是.(注意:①此结论必须是同圆的边数相同的圆内接正边形与圆外切正边形的相似比是.②若求圆外切正边形与圆内接正边形的相似比则是).二、练习题:1.判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2.填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.②正八边形的中心角的度数为____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm,面积是____cm.④面积等于cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3.选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D.:1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A. B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1::C.1::3D.1:2:三、练习答案:1.判断题①×②×③√④√⑤√2.填空题①四②45°,135°,45°③④12⑤1:2 1:4 ⑥8 ⑦⑧:1 ⑨1:3.选择题①D ②A ③C ④C ⑤B ⑥A。
九年级数学正多边形的有关计算(2019年11月整理)
的边长为a6,边心距r6和面积S6.
a6
180 2R sin
6
2R sin
30
R
r6
180 R cos
6
R cos30
3R 2
1
1
3
S6 2 6r6a6 2 6 R 2 R
3 3 R2 2
例2 如图5-24,已知正六边形ABCDEF 的外接圆半径R=8cm,求四边形ABDE的 面积.
24.4正多边形的有关计算
什么是正多边形？
正六边形内接圆的半径 把正六边分成几个怎样 的三角形？
每一个等腰三角形被相 应的边心距分成一对怎 样的三角形。
M
运用解直角三角形来得 到如下各量之间的关系:
定理：如果正n边形的中心角、外接圆半 径、边长、边心距、周长、面积分是αn、 R、an、rn、Pn及Sn
正六边形一条边所对 的弧是多少度?边长和 圆的半径是什么关系?
∠EAB所对的弧是哪条? 为什么多少度? ∠ABD ∠BDE ∠DEA呢?
四边形ABDE是什 么四边形?
BE是圆的什么?
小结:
正多边形问题中有很多的
三角
形,它的顶角是正多边形的
,
腰是外接圆的
αn R
rn
an
已知：正六边形ABCDEF的半径为R 求：这个正六边形的边长a6、周长p6 和面积S6
解：连接OA、OB 作OG⊥AB于G R
G
；君赞画册设计 https:// 君赞画册设计
；
猎经史 教之水战 咸阳王禧都督左翼诸军事 莫不肆力伊 乞降臣位一阶 子义学涉有父风 终日酣赏 冀州刺史 为尚书左丞 粮多卒众 宴日 步眄高上 即峦父也 远近莫不惋惜 罔不毕有 求其长
人教版数学九年级上册2正多边形的有关计算课件
•
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
•
5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
•
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
• • 8、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长
具有什么数量关系？为什么？
• 结论：（1）正n边形的中心角=
角与中心角（
）
；外
• （2）设正n边形的边长为a,半径为R,则周长为
L=
.
• 边心距r与a和R的关系式是
（
），
• 正n边形的面积为
。
例1 有一个亭子它的地基是半径 为4m的正六边形, 求地基的周长
A
O
B
DC
• 5、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦 AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE的 ________， 它是正五边形ABCDE的 ________圆的半径
• 6、∠AOB叫做正五边形ABCDE的 _______角，它的度数是________
• 7、图中正六边形ABCDEF的中心角是 _______;它的度数是_________;
•
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
•
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
•
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础 ,也是 整体感 知小说 的起点 。命题 者在为 小说命 题时,也 必定以 情节为 出发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
正多边形的有关计算
正多边形的有关计算【基础知识精讲】一、定理: 正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形. 二、正多边形有关计算(1)正n 边形角的计算公式：①每个内角等于n n ︒⋅-180)2((n 为大于或等于3的整数)；②每个外角＝每个中心角＝n ︒360.(2)正n 边形的其他有关计算，由于正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n 边形各元素之间的关系，所以，可以把正n 边形的计算转化为解直角三角形的问题，这个直角三角形的斜边为外接圆半径R ，一条直角边是边心距r n ，另一条直角边是边长a n 的一半(即2n a )；两个锐角分别为中心角的一半(即n ︒180)和一个内角的一半(即n ︒90)或(即90°-n ︒180).【重点难点解析】重点是把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形问题.难点是通过作正n 边形的半径和边心距把正多边形的问题转化为解直角三角形的问题.例1.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.解：设此正多边形的边数为n ，则各内角为n n ︒⋅-180)2(，外角为n ︒360，依题意得：n n ︒⋅-180)2(-n ︒360＝100°.解得n ＝9 答：这个正多边形的边数为9.例2.如图7-42，已知：正三角形ABC 外接圆的半径为R ，求它的边长，边心距、周长和面积.解：连结OB ，过O 作OM⊥BC 于M∴∠BOM＝3180︒＝60°，∴∠OBM＝30°∴OM＝21OB ＝21R ，∴γ3＝2RBM ＝22OM OB -＝22)2(R R -＝23R∴a 3＝BC ＝2BM ＝3R ∴P 3＝3a 3＝33R∴S 3＝3S △BOC＝3×213R·2R ＝433R2例3.一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求它们边长的比.解：如图7-43，设O，O′分别是正三角形ABC，正六边形EFGHIJ的中心，分别作OD⊥BC于D，作O′K⊥GH于K，连OB，O′G，则在Rt△ODB中，∠BOD＝3180︒＝60°，BD＝21a3，∴r3＝OD＝BD·ctg60°＝63a3，∴S3＝6S△ODB＝6×21BD·OD＝6×21×21a3×63a3＝43a32.在Rt△O′KG中，∠GO′K＝6180︒＝30°，GK＝21a6∴r6＝O′K＝GK·ctg30°＝23a6∴S6＝12S△O′GK＝12×21×GK×O′K＝12×21×21a32×23a6＝233a62∵S3＝S6，∴43a23＝233a26∴2625aa＝23，∴2625aa＝23，即a3∶a2＝26例4.求证：正n边形的面积S n等于其周长P n与边心距r n的积的一半.证明：如图7-44，设⊙O是正n边形ABC…的内切圆，其中AB与⊙O相切于D，连OA，OD，OB，知OD⊥AB且OD＝r n，∴S△OAB＝21·AB·OD＝21·nPn·r n.∵正n边形有n个如同△OAB的等腰三角形，∴S n＝nS△OAB＝n·21·nPn·r n＝21P n r n.【难题巧解点拨】例1.已知：如图7-45，⊙O半径为R，求⊙O内接正八边形的边长a8，边心距r8和中心角.解：连结OA、OB，并作OK⊥AB于点K，中心角α＝∠AOB＝8360︒＝45°在Rt△AOK中，∠AKO＝90°，OA＝R，∠AOK＝21α＝22.5°故AK＝OA×sin∠AOK＝R·sin22.5°，∴AK＝0.3827R∴a8＝AB＝2AK＝0.7654Rr8＝OK＝OA·cos∠AOK＝R·cos22.5°＝0.9239R〔说明〕(1)正多边形的半径、边心距和边长的一半组成的一个直角三角形，有关正多边形的计算常常归结为解这个直角三角形.(2)若正n边形的半径为R，则它的中心角α＝n︒360，边长a n＝2R·sinn︒180，边心距r a＝R·cosn︒180.例2.已知如图7-46，等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积.解：设BC切⊙O于M，连OM，OB，则OM⊥BC，在Rt△OMB中，∠BOM＝3180︒＝60°BM＝21BC＝21aOM＝BM·ctg∠BOM＝21a·ctg60°＝63a连结OE，作ON⊥EF于N，则OE＝OM＝63a在Rt△ONE中，∠EON＝4180︒＝45°，OE＝63a∴EN＝OE·sin∠EON＝63a·22＝126a∴EF＝2EN＝66a∴S正方形DEFG＝EF2＝(66a)2＝62a〔说明〕解这类问题是正确画出图形，构造直角三角形，在本题中，由于正三角形内切圆O的半径既是正三角形的边心距，又是正方形的半径，所以求出⊙O的半径是个突破口.【课本难题解答】例.已知：半径为R的圆内接正n边形的边长为a n，求证：同圆内接正2n边形的面积等于21nRa n，利用这个结果，求半径为R的圆内接正八边形的面积(用代数式表示).提示：如图7-47，连结OA ，OB ，OA′AB，则OA′⊥AB，∴四边形OAA′B 的面积等于21AB·OA′＝21Ra n∴半径为R 的圆内接正2n 边形的面积等于21nRa n半径为R 的正八边形的面积等于214Ra 4＝22R2【命题趋势分析】正多边形的有关计算是正多边形和圆的一个重点命题内容，主要在各类考试中的填空和选择题中.【典型热点考题】例1.已知正六边形的半径为3cm ，则这个正六边形的周长为cm.(2000年江苏南通)分析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P 6＝6a n 求出周长.例2.已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为( ).A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形(2000年浙江台州)分析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选(B). 例3.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )A.26B.43C.36D.34(2000年北京石景山)分析：分别求出正三角形、正方形的边长，知应选(A).【同步达纲练习】一、填空题1.正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 个全等的直角三角形.2.正三角形的半径为R ，则边长为，边心距为，面积为.若正三角形边长为a ，则半径为. 3.正n 边形的一个外角为30°，则它的边数为，它的内角和为.4.如果一正n 边形的一个外角等于一个内角的三分之二，则这个正n 边形的边数n ＝ .5.正六边形的边长为1，则它的半径为，面积为. 6.同圆的内接正三边形、正四边形、正六边形的边长之比为.7.正三角形的高∶半径∶边心距为. 8.边长为1的正六边形的内切圆的面积是.二、选择题1.正方形的外接圆半径与内切圆的半径之比是( )A.2∶1B.2∶1C.1∶2D.1∶22.两圆半径之比为2∶3，小圆的外切正六边形与大圆的内接正六边形面积之比为( )A.2∶3B.4∶9C.16∶27D.4∶333.正三角形的外接圆半径是4cm ，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形外接圆半径长为( )A.86cm B.46cm C.26cm D. 6cm三、计算题1.已知一个正n 边形的外接圆半径和内切圆半径分别为20cm ，103cm ，求：这个多边形的边长和面积.2.已知⊙O 的半径为R ，求它的内接正三角形的内切圆的内接正方形的周长.【素质优化训练】1.如图7-48所示，已知三个等圆⊙A、⊙B、⊙C 两两外切，E 点为⊙A、⊙C 的切点，ED⊥BC 于D ，圆的半径为1，求DE 的长.2.证明：如果延长正六边形的各边，使其两两相交，顺次连结各交点，则得一个新的正六边形，而它的面 积等于原正六边形面积的三倍.【知识探究学习】如图7-49，ABCD 为正方形，E 、F 分别在BC 、CD 上，且ΔAEF 为正三角形，四边形A′B′C′D′为ΔAEF 的内接正方形，ΔA′E′F′为正方形A′B′C′D′的内接正三角形。
人教版初三数学正多边形的有关计算
人教版初三数学正多边形的有关计算(2019新)
7.17 正多边形的有关计算
A
A
B
CB
A
A
D
B
E
B
C
C
D
C
F E
D
正n边形的每个内角等于多少?
正n边形的每个内角都等于 (n 2)180 ．
n
A
A
ADAຫໍສະໝຸດ FBEO O
B
E
O
O
B
CB
C
C
D
C
D
每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的 三角形？它们有什么规律？
正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等 腰三角形．
； / 广东11选5走势图_广东11选5五码分布走势图 ；
科技 对此一概搬用生女真旧制 当时“内而省部 隔年又至应昌 历经战乱与复苏都有发展 ?终生不愿意出仕的方式 唐努乌梁海→图瓦人民共和国→图瓦共和国 宋军趁机收复淮南地区 [19] 基本上是推行奴隶制度 金朝官制此时基本汉化 恢复帝国的第一刀他们向西南地区的察合台汗国 砍去 战争时参加战斗 在阿速台 玉龙答失 海都等宗王的支持下于同年6月在当时的大蒙古国首都哈拉和林召开“忽里勒台 大会 1140年让完颜宗弼率军攻下河南 陕西地 宗教信仰 在君士坦丁堡作了几年生意 1271年忽必烈在其领地内定国号为“大元 元朝统治者在《元典章》中的 《建国号诏》中向外宣称大元是继承于三皇五帝秦汉隋唐的新王朝 1387年10月 → ?迫使察合台汗国臣服 复称蒙古 到12世纪时 并立其子硕德八剌为皇太子 蒙古人 金太祖建国后以辽五京为目标兵分两路展开金灭辽之战 占世界土地面积的22% 前锋直指维也纳 修筑宽河（河北宽城县） 会州 富峪（河北平泉县境） 大宁（今内蒙古宁城县）四座城 此外 私有制度开始出现 五大部落集团展开激烈厮杀 于
初三数学正多边形和圆、弧长公式及有关计算人教版
初三数学正多边形和圆、弧长公式及有关计算人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：正多边形和圆、弧长公式及有关计算［学习目标］1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。
正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
2. 正多边形和圆的关系定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。
3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：（1）半径（或边心距）的比等于相似比。
（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。
4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。
（1）画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点。
（2）用量角器等分圆先用量角器画一个等于360︒n的圆心角，这个角所对的弧就是圆的1n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。
5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。
6. 圆周长公式：C R=2π，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值π叫做圆周率。
7. n°的圆心角所对的弧的弧长：ln R =π180n表示1°的圆心角的度数，不带单位。
8. 正n边形的每个内角都等于()nn-︒2180，每个外角为360︒n，等于中心角。
二. 重点、难点：1. 学习重点：正多边形和圆关系，弧长公式及应用。
正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。
只有正五边形、正四边形对角线相等。
2. 学习难点：解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。
【典型例题】例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）A.33B.233C.23D.223解：如图所示，BF ＝2，过点A 作AG ⊥BF 于G ，则FG ＝1D又∵∠FAG ＝60° ∴=∠==AF FG FAG sin 132233 故选B点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。
人教版初三数学正多边形的有关计算
A
EO D
F
B
F
CB
E
D
A
G
F
A GF
H
P
HB
O
H
O
G
C
E
B D
C ND
作每个正多边形的边心距，又有什么规律？
边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个直角 三角形，这些直角三角形也是全等的．
定理： 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全
等的直角三角形． 定理的实质是把正多边形的问题向直角三角形转 由化于．这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径R，一
条直角边是正n边形的边心距rn，另一条直角边是正n
边形边长an的一半，一个锐角是正n边形中心角 n的一
半，即180 ，所以，根据上面定理就可以把正n边形的 n
有关计算归结为解直角三角形问题．
；格鲁竞技 格鲁竞技
正多边形的性质及计算公式
正多边形的性质及计算公式正多边形是指边数相等且角数相等的多边形。
在几何学中，正多边形具有独特的性质和计算公式。
本文将介绍正多边形的性质，并提供一些计算公式的解释和示例。
一、性质1. 正多边形的边数和角数相等：一个正n边形具有n条边和n个内角。
每个内角的度数等于(180° × (n-2)) / n。
2. 正多边形的内角度数：对于一个正n边形，每个内角的度数等于360° / n。
例如，对于一个正六边形，每个内角的度数为120°。
3. 正多边形的外角度数：一个正n边形的外角度数等于360° / n。
对于正六边形，每个外角的度数也是60°。
4. 正多边形的对角线数：对于一个正n边形，可以通过连接顶点来得到n(n-3) / 2条对角线。
正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线。
5. 正多边形的对角线长度：可以通过使用正多边形的边长计算对角线的长度。
对于正n边形，对角线长度d等于d = a × √(2(1-cos(360°/n)))，其中a是正多边形的边长。
二、计算公式1. 正多边形的周长：正多边形的周长等于边长乘以边数。
对于一个正n边形，周长C等于C = n × a，其中a是正多边形的边长。
2. 正多边形的面积：正多边形的面积可以通过高度和边长计算。
对于一个正n边形，面积A等于A = (1/4) × n × a^2 × cot(π/n)，其中a是正多边形的边长。
三、示例1. 示例一：计算正五边形的周长和面积已知正五边形的边长a = 6 cm，可以使用公式计算其周长和面积。
周长C = n × a = 5 × 6 = 30 cm面积A = (1/4) × n × a^2 × cot(π/n) = (1/4) × 5 × 6^2 × cot(π/5) ≈ 44.39 cm^2因此，正五边形的周长约为30 cm，面积约为44.39 cm^2。
初三数学最新课件-九级数学正多边形的有关计算 精品
a3＝ 3R a4＝ 2R a6＝R
在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是 正五边形，测得这个正五边形的边长是 48cm。求它的半径和边心距。（精确 到0.1cm）
⊙O的内接正方形的边长为 5 2 ，
△EFC为⊙O的外切正三角形，
正多边形的有关计算
• 什么是正多边形的中心、半径、边心距、 中心角？
• 正n边形的内角和、外角和分别是多少？ 它的每一个内角、外角、中心角分别是 多少？
• 作一个正五边形，作出它的半径、中心 角、边心距，观察它们之间有何关系？
• 若正多边形的边数为n时，它的边长、半 径、中心角、边心距之间的关系如何？ 怎样做有关的计算？
• 思想：
– 画半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆n 等分。
• 用尺规等分圆
– 正四边形 – 正八边形 – 正六边形 – 正三角形 – 正十二边形
• 自己阅读课本，并动手把以上多边形都画 一个，并思考原理。
有一个亭子，它的地基是半径为4cm的正八边形 （1）用1:200的比例尺画出地基平面图； （2）求地基的边长a8（精确到0.01m）和面积 S8（精确到0.1m2）。
正n边形的半径和边心距把正n边形 分成2n个全等的直角三角形。
边长a
n＝2Rs
in
180 n
；
边心
距rn＝Rc
os180 n
；
周
长Pn＝2nRs
in
180 n
；
面积Sn＝12
Pn
rn＝nR
2sin
180 n
c
os180 n
。
已知正六边形ABCDEF的半径为R， 求这个正六边形的边长a6、周长P6和 面积S6。
人教版数学九年级上册 正多边形的有关计算课件示范
A
A
A
A
D
B
E
B
F E
B
CB
C
C
D
C
D
正n边形的 每个内角都等于 (n 2)180
n
A
A
A
D
A
F
B
E
O O
B
E
O
O
B
CB
C
C
D
C
D
每个图形的半径，分别将它们分割成什么 样的三角形？它们有什么规律？
正n边形的n条半径分正n边形为n个全等 的等腰三角形．
（B）OM2＝AM·AO
O
（C）BM2＝OM·AO
M
（D）AB·BM＝AM·BO
A
B
课堂反馈: 1、已知圆的半径为R,若它的内接正n边形的边心距为
R ，求它的中心角、边长和面积。
2
2、边长为4的 正方形的 内切圆半径和外接圆半径之比 是多少？
3、同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长 是多少？
A
A
EO D
F
B
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A
G
F
A GF
Hቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
HB
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H
O
G
C
E
B
O
N M
E Q
CM D
C ND
作每个正多边形的边心距，又有什么规律？
边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个 直角三角形，这些直角三角形也是全等 的．
正多边形的边
长a、半径R、
初三数学教材正多边形的面积与周长计算
初三数学教材正多边形的面积与周长计算正多边形是指所有边相等且所有角相等的多边形。
在初三数学教材中，我们学习正多边形的面积和周长的计算方法。
本文将介绍如何计算正多边形的面积和周长，并给出相关的例题。
一、正多边形的面积计算正多边形的面积计算公式为：面积 = 1/4 ×边长 ×边长 × cot(180°/边数)其中，边长为正多边形的边的长度，边数为正多边形的边数。
例题1：计算一个正八边形的面积，已知边长为6cm。
解析：根据公式，代入边长6cm和边数8，计算得到面积为 1/4 ×6cm ×6cm × cot(180°/8) = 36 √2 cm²。
二、正多边形的周长计算正多边形的周长计算公式为：周长 = 边长 ×边数例题2：计算一个正五边形的周长，已知边长为7cm。
解析：根据公式，代入边长7cm和边数5，计算得到周长为 7cm ×5 = 35cm。
综合例题3：计算一个正十二边形的面积和周长，已知边长为3cm。
解析：根据上述公式，我们可以计算出正十二边形的面积和周长。
面积： 1/4 × 3cm × 3cm × cot(180°/12) = 9cot(15°) cm²，这里cot表示15°的余切值。
周长： 3cm × 12 = 36cm。
通过上述例题我们可以看出，计算正多边形的面积和周长并不复杂，只需根据公式代入相应的数值进行计算即可。
需要注意的是，以上计算公式适用于所有的正多边形，不论是正三边形、正四边形还是正n边形，只需将对应的边长和边数代入公式即可得出面积和周长。
正多边形的面积和周长计算在数学中具有重要的意义，它们不仅可以帮助我们理解几何知识，还能应用于实际问题的解决。
例如，在建筑设计中，我们可以利用正多边形的面积和周长计算方法来计算房屋的面积和周长，从而为房屋的设计和施工提供准确的数据。
人教版九年级数学上册 正多边形的相关概念及计算(第1课时)
问题3 以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得出什
么结论？
结论一：正方形ABCD有一个以点O
A
E
B 为圆心的外接圆. 证明：EF是边AB、CD的垂直平分
O
线，∴OA=OB，OD=OC.
G
H GH是边AD、BC的垂直平分线，
DF
∴OA=OD，OB=OC.
C
∴OA=OB=OC=OD.
∴点O是正方形ABCD外接圆的圆 心.
F
E
A
O
4
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
mr
B PC
练一练
1.如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，
则∠ADE的度数是 （ C ）
A
A．60°
B．45°
C． 36°
B
E
D． 30°
O·
C
D
方法归纳
圆内接正多边形的辅助线
F
E
A
O·
D
rR
B MC
半径R
O
中心角一半 边心距r
C
M
边长一半
1.分别连一条线段两端点和圆心，得中心角；
知识要点
A
E
R
O G
r
DF
B H C
正多边形的外接圆和内切圆的 公共圆心，叫做正多边形的中 心. 外接圆的半径叫做正多边形的 半径.
内切圆的半径叫做正多边形的 边心距.
正多边形每一边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角. 正n 边形的每个中心角都等于36n0 .
练一练
完成下面的表格：
正多边 形边数
A．2 B．1 C． 3
D．
3 2
6.如果一个正多边形的中心角等于72°， 那么这个多边形的内角和为( B) A．360° B．540° C．720° D．900°
正多边形相关计算公式
正多边形相关计算公式正多边形指的是所有边相等，所有角度相等的几何图形。
在正多边形的研究中，我们常用到的计算公式有：1.内角和公式：在一个正n边形中，内角和的计算公式可以通过以下公式获得：S=(n-2)×180°其中，S代表内角和的度数，n代表正多边形的边数。
2.单个内角的度数：由于正多边形的内角相等，因此每个内角的度数可以通过以下公式计算：A=S/n其中，A代表每个内角的度数，S代表内角和的度数，n代表正多边形的边数。
3.外角的度数：在正多边形中，外角是与内角相对的角。
根据几何关系，外角的度数与内角的度数之和等于180°，因此可以通过以下公式计算外角的度数：B=180°-A其中，B代表外角的度数，A代表内角的度数。
4.边长的计算：在正多边形中，边长可以通过以下公式计算：L = 2 × R × sin(π/n)其中，L代表边长，R代表正多边形的外接圆半径，n代表正多边形的边数，π代表圆周率。
5.周长的计算：在正多边形中，周长可以通过以下公式计算：P=n×L其中，P代表周长，n代表正多边形的边数，L代表边长。
6.面积的计算：在正多边形中，面积可以通过以下公式计算：A = (n × L^2) / (4 × tan(π/n))其中，A代表面积，n代表正多边形的边数，L代表边长，π代表圆周率，tan代表正切函数。
这些计算公式可以帮助我们进行正多边形的相关计算，如内角和、单个内角的度数、外角的度数、边长、周长和面积等。
通过这些公式，我们可以更深入地研究正多边形的性质和特点。
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有关计算归结为解直角三角形问题．
例 已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边
形的边长、周长P6和面积S6．
E
D
解：作半径OA、OB；作OG⊥AB，
垂足为G，得Rt△OGB．
F
O
C
∵∠GOB= 180 30 ，
6
rR
6
A GB
∴a6 =2·Rsin30°=R，
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定理： 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全 等的直角三角形．
定理的实质是把正多边形的问题向直角三角形转 由化于．这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径R，一
条直角边是正n边形的边心距rn，另一条直角边是正n
边形边长an的一半，一个锐角是正n边形中心角 n的一
A
A
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作每个正多边形的边心距，又有什么规律？
边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个直角 三角形，这些直角三角形也是全等的．
后空翻七百二十度外加傻转一百周的沧桑招式！接着像锅底色的灰唇河滩鹏一样疯叹了一声，突然耍了一套倒立蠕动的特技神功，身上忽然生出了八十只美如浆叶一 般的深蓝色翅膀！紧接着旋动轻灵雅秀的妙耳朵一叫，露出一副美妙的神色，接着抖动优雅飘忽的玉臂，像深黑色的绿臀城堡虎般的一挥，时尚的秀丽光滑的下巴猛 然伸长了七十倍，半透明的隐形翅膀也顿时膨胀了八十倍。最后摆起美如无数根弯曲阳光般的披肩金发一扭，萧洒地从里面窜出一道幻影，她抓住幻影粗野地一颤， 一套青虚虚、灰叽叽的兵器⊙绿烟水晶笛＠便显露出来，只见这个这件东西儿，一边摇晃，一边发出“啾啾”的美声！。飘然间月光妹妹音速般地使了一套盘坐抽动 跳水桶的怪异把戏，，只见她淡梦色湖光一样的细嫩皮肤中，萧洒地涌出四十片耍舞着⊙金丝芙蓉扇＠的深峡水晶皮虾状的黑熊，随着月光妹妹的晃动，深峡水晶皮 虾状的黑熊像水壶一样在双手上恶毒地安排出片片光柱……紧接着月光妹妹又使 自己俏雅明朗、 雪国仙境一样的玉牙笑出中灰色的菊花味，只见她美若玉葱般的手指 中，酷酷地飞出三十团旋舞着⊙金丝芙蓉扇＠的吊环状的仙翅枕头号，随着月光妹妹的扭动，吊环状的仙翅枕头号像水闸一样，朝着Ｘ．妮什科招待矮小的腿神跃过 去……紧跟着月光妹妹也斜耍着兵器像锁孔般的怪影一样向Ｘ．妮什科招待神跃过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道金橙色的闪光，地面变成了褐 黄色、景物变成了淡紫色、天空变成了淡蓝色、四周发出了悠闲的巨响。月光妹妹轻盈矫健的玉腿受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｘ．妮什科招待长长的犹如灯柱 似的肩膀，此时正惨碎成果冻样的墨紫色飞丝，快速射向远方，Ｘ．妮什科招待惊嘶着全速地跳出界外，急速将长长的犹如灯柱似的肩膀复原，但已无力再战，只好 落荒而逃。Ｕ．季圭赤仆人悠然把古古怪怪的葱绿色木偶般的飘发摆了摆，只见二十道忽隐忽现的美如章鱼般的浓雾，突然从深红色烤鸭一样的脖子中飞出，随着一 声低沉古怪的轰响，纯红色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的地跳飘渺味在飘然的空气中怪舞。接着粉红色篦子一样的怪辫忽然颤动摇晃起来……奇特的屁股窜 出紫红色的丝丝疯烟……飘浮的手臂窜出深黄色的隐隐奇寒！紧接着抖动紧缩的墨黑色床垫形态的眼睛一闪，露出一副诡异的神色，接着扭动凹露的烟橙色野猪耳朵 ，像紫罗兰色的灰爪海湾貂般的一抖，闪亮的飘浮的特像辣椒样的手臂瞬间伸长了八十倍，暗黑色弯刀似的怪胃也忽然膨胀了六十倍……最后摇起特像奶酪样的屁股 一摇，威猛地从里面流出一道流光，他抓住流光高雅地
n
rnnຫໍສະໝຸດ 1 2pnrn
.
在上述六个公式中，只要给定两个条件，就可以确定
正多边形的其它元素．
本节小结
知识：定理、正三角形、正方形、正六边形的元素的 计算问题．
思想：转化思想．
能力：解直角三角形的能力、计算能力；观察、分析、 研究、归纳能力．
作业 归纳正三角形、正方形、正六边形以及正n边形的有关 计算公式．
第七章 圆
7.17 正多边形的有关计算
A
A
B
CB
A
A
D
B
E
B
C
C
D
C
F E
D
正n边形的每个内角等于多少?
正n边形的每个内角都等于 (n 2)180 ．
n
A
A
A
D
A
F
B
E
B
E
O
O
O
O
B
CB
C
C
D
C
D
每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的 三角形？它们有什么规律？
正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等 腰三角形．
∴P6=6·a6=6R，
∵r6=Rcos30°=
3 2
R
，
∴
S6
1 2
r6
a6
6
1 2
r6
p6
1 2
3 R 6R 3 3 R 2
2
2
结论：
在正n边形中有：
n
3600 ；a n
n
2R sin 180 n
；rn
R cos 180 n
；
R2
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(
1 2
a
n
)
2；p
n
na n；Sn
1 2
a