12022-向量数量积的运算律

合集下载

向量数量积的运算律-【新教材】人教B版(2019)高中数学必修第三册课件

思考：“若a·b＝a·c，则b＝c”成立吗？为什么？
[提示] 不成立，如a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等．
2．重要公式平方差公式
完全平方公式
(a＋b)(a－b)＝__a_2－__b_2__ (a±b)2＝a2±2a·b＋b2
思考：根据实数的乘法公式，得到向量数量积的公式： (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__________；向量数量积公式：(a＋b)(a－b)＝________. (2)完全平方公式：(a±b)2＝__________；向量数量积公式：(a±b)2＝__________.
[跟进训练] 1．(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则(2a－ b)·(a＋3b)＝________. (2)已知向量a，b满足|b|＝5，|2a＋b|＝5 3 ，|a－b|＝5 2 ，则|a| ＝________.
56 (1)0 (2) 3
[(1)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2
积运算．(重点、难点)
量积运算，提升学生数学运算的
核心素养.
情境导学探新知
没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见，世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存．初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？
的夹角为( )
A．π3
B．π6
C．π4
D．23π
(2)已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝
ma－2b，求m为何值时，c与d垂直．
(1)A [设a与b的夹角为θ，由题意得(3a－2b)2＝7，所以9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，又|a|＝|b|＝1，所以a·b＝12，所以|a||b|cos θ＝12，即cos θ＝12. 又θ∈[0，π]，所以a，b的夹角为π3.]

向量积的运算公式及度量公式

张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律：(1)交换律：(2)分配律：(3)数乘向量结合律：2．常用结论：3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a4．设).,(),,(2121b b b a a a ==如果,b a ⊥则如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB要点核心解读1．向量数量积的运算律a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）；)()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）；c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）．2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行．如图2-3 -2 -1，作==AB a OA ,,b 则.b a OB +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB +=即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件设),,(),,(2121b b b a a a ==则.02211=+⇔⊥b a b a b a6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此 ①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式，这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②AB 的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a ==则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为（填序号）．。

2.3.2、2.3.3向量积的运算公式及度量公式概述.

张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB要点核心解读1．向量数量积的运算律 a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行．如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c AB B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式，这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②AB 的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a == 则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为（填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 -3所示，若,,b a ==则=,,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60oABC =∠b 与D所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角．考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值．于是,4||,5||==b a且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角．考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造P B 及Q C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,.Q ,B B CA QA C A AP P =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴AC AB C B ().AP (.Q P ⋅+⋅-=B A AC AP AP .)()22.r AC AB AP AB AP AC -⋅=⋅+- =-+)(=⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2r A AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与同向时，⋅最大为.||.||ra AP =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：Q B P 与的夹角θ为何值时，.CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(,0k A B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标，考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角．[解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a a b a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -= 得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+ 得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B b a 0,,以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠这时,,0b a BA b a C -=+=而|,|||||b a b a -==即 .||||||==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30 =∠AOC即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围，考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b ,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥ 由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433t t k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t t t k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47 [点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x 5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )． )14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D 2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a=+=|2|,1||),0b a b 则( )． 3.A 32.B 4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-OB O ().OC B (,0)2=-则△ABC 的形状为( )．A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(),6,4(==O 且,//,0⊥则向量=0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D 7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )． ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //. 8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足⋅=PA PM AP 则,2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅F E A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||ob a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-=(1)求||tb a +的最小值及相应的t 值；(2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明： ;)1(EF PA =.)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(B ),7,1(===OP O OA 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。

人教版高中数学必修三向量数量积的运算律

B
非零向量的夹角
b
O
a
A
当<a , b>
=
π 2
时，称向量a 与向量b 垂直，记作a b
复习回顾：
向量数量积
复习回顾：
向量数量积当a与b都是非零向量时， a ·b = |a| |b| cos<a , b>. 当a与b至少有一个是零向量时， a ·b = 0.
复习回顾：
向量数量积的几何意义
复习回顾：
成立
证明
当a与b都是非零向量时, a ·b = |a| |b| cos<a , b>
b ·a = |b| |a| cos 因为<a , b> = , 所以 a b b a. 当a与b至少有一个是零向量时, a b b a = 0
综上,向量数量积满足交换律.
新知探究：（a b）c a（b c）
新知探究：
ab ba
证明
当a与b都是非零向量时, a ·b = |a| |b| cos<a , b>
b ·a = |b| |a| cos 因为<a , b> = , 所以 a b b a. 当a与b至少有一个是零向量时, a b b a = 0
新知探究：
ab ba
(a b) c a c b c
A
a
c0 O A1
b
B
ab
B1
新知探究：证明（a+b）c a c+b c
当 a, b, c 都是非零向量时,
(a b) c0 a c0 b c0

高二数学向量数量积的运算律

a a b 6 b a a b cos 6 b
2

2

2
2
6 6 4 cos60 6 4 72
2 2
︱a︱=2, ︱b︱=3,求例2. 已知 a 与 b 的夹角为120°,
（ 1 ） a b；（ 2 ） a b ；（ 3 ）（ 2a b ）（ a 3b ）
2 o 2
2 2
2
2
2 a 5 a b cos 120 3 b 8 15 27 34
（ 4 ） a b (a b) a 2a b b 4 6 9 7
2 2 2
（ 5 ） a b (a b) a 2a b b 4 6 9 19
注意：数量积运算不满足结合律消去律
（1）交换律：
a b b a
设 a , b 夹角为，证明：则 a b | a | | b | cos
b a | b | | a | cos
所以
a b b a
（2） ( a) b (a b) a (b) 数乘结合律证明：若
向量数量积的运算律
复习回顾
1.两个向量的夹角范围0≤〈a ，b〉≤π； 2.向量在轴上的正射影正射影的数量
al a cos
3.向量的数量积（内积） a· b= 4.两个向量的数量积的性质： (1). ab ab = 0 (2). aa = |a|2或 | a |
a b cos a, b
；https:/// 配资公司配资网； 2019.1 ；
现在是九月份,白俄罗斯的秋季已经到了.那里深处内陆,秋季来了更早,晴朗的晚上凉风习习.在篝火的照耀下

向量的数量积与向量积运算详解

向量的数量积与向量积运算详解向量是线性代数中的一个重要概念，可以用来描述物理量的大小和方向。

在向量运算中，我们主要涉及两个操作：数量积和向量积。

这两个操作在不同的应用领域中有着广泛的应用，比如物理学、工程学等等。

在本文中，我们将会详细解释和探讨向量的数量积和向量积运算。

首先我们来介绍向量的数量积，也叫点积或内积。

数量积是指两个向量按照一定规则进行运算得到一个标量的运算。

设有两个向量A和B，分别表示为A=(a1, a2, a3)和B=(b1, b2, b3)，则向量A和B的数量积表示为A·B，计算方式为A·B = a1b1 + a2b2 + a3b3。

这个计算方式可以用于计算向量的模长、夹角以及求解垂直关系等等。

它的计算结果是一个标量，表示两个向量之间的相关性。

数量积有一些重要的性质。

首先，数量积是可交换的，即A·B = B·A。

其次，数量积满足分配律，即A·(B+C) = A·B + A·C。

此外，如果A·B = 0，则称向量A和B垂直或正交。

接下来我们介绍向量的向量积，也叫叉积或外积。

向量积是指两个向量按照一定规则进行运算得到一个新的向量的运算。

设有两个向量A和B，分别表示为A=(a1, a2, a3)和B=(b1, b2, b3)，则向量A和B的向量积表示为A×B，其结果是一个新的向量C=(c1, c2, c3)。

向量C的坐标c1、c2、c3的计算方式如下：c1 = a2b3 - a3b2，c2 = a3b1 - a1b3，c3 = a1b2 - a2b1。

向量积的计算方式与数量积有些相似，但结果是一个向量而不是一个标量。

向量积在几何学和物理学中有着广泛应用，比如计算平面的法向量、计算力矩等等。

向量积的结果是一个垂直于原来两个向量所在平面的向量，其模长等于以这两个向量为邻边的平行四边形的面积。

向量积也有一些重要的性质。

向量数量积的运算律课件(人教B版必修

[误解] ∵e1·e2＝|e1|·|e2|cos60°＝2×1×12＝1， ∴(2＋e1＋7e2)·(e1＋te2) ＝2te21＋7te22＋(2t2＋7)e1·e2 ＝8t＋7t＋2t2＋7＝2t2＋15t＋7. ∵向量 2te1＋7e2 与向量 e1＋te2 的夹角为钝角， ∴2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－12.
防按键死键。
3.要考虑成型工艺，合理计
算累积公差，以防按键手感
不良。
第二章平面向量
∴四边形ABCD是平行四边形．
另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，而由平行四边
形ABCD可得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0
即a·b＝0，∴a⊥b也即AB⊥BC.
人教
B
综上所述，四边形ABCD是矩形．
3a＋5b，d＝ma－3b.当m为何值时，c与d垂直？
人教
B
[分析] 可利用c⊥d⇔c·d＝0构造方程求m.
版数
学
[解析] 若 c⊥d，则 c·d＝0，即(3a＋5b)·(ma－3b)＝0，
即 3ma2－9a·b＋5ma·b－15b2＝0.
由 a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝4，a·b＝|a|·|b|·cos60°＝3，
第二章平面向量
人
教
B
2．3.2 向量数量积的运算律
版数学
2021/4/22
1
第二章平面向量
2021/4/22
人教 B 版数学
2
第二章平面向量
平面向量数量积的运算律
①a·b＝ b·a (交换律)；
人教
②(λa)·b＝ λ(a·b)＝a(λb) (结合律)；

向量的数量积运算公式

向量的数量积运算公式
向量的数量积运算是在二维空间中定义的一种计算方法，它可以用来表示两个向量之间的空间关系。

它的运算公式是：a x b = |a| |b| cos θ，其中a，b分别表示两个向量，|a|，|b|分别表示这两个向量的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

首先，我们来看一下向量数量积运算公式的意义：它表示了两个向量之间的空间关系，它能够帮我们计算出这两个向量之间的夹角，从而得出他们之间的距离。

向量数量积也可以用来计算两个向量之间的夹角，如果两个向量的模长相等，它们之间的夹角就是它们的夹角的反余弦值。

向量数量积运算公式的运用也很广泛，它可以用来计算向量的积分，也可以用来解决物理学中的问题，比如电场和磁场的运动方程，以及物体间的力学关系等。

此外，向量数量积运算公式还可以用来计算三维空间中两个向量的夹角关系。

它的运算公式是：a x b = |a| |b| cos α，其中a，b分别表示两个向量，|a|，|b|分别表示这两个向量的模长，α表示两个向量之间的夹角。

总而言之，向量数量积运算公式是一个非常重要的数学公式，它不仅能够帮助我们计算出向量之间的夹角关系，还能够帮助我们解决
许多物理学中的问题。

因此，它是一个非常重要的数学工具，受到了各个领域的广泛应用。

向量的数量积运算律

小结平面向量的数量积及运算律已知向量和实数则向量的数量积满足
复习
1. 向量的数量积定义
a ·b=|a| |b|cos<a,b>
( 1 ) e a a e | a | cos a , e
( 2 ) a b a b 0 2 或 | a | a a ( 3 ) a a |a |
已知向量（1）
a, b, c
和实数，则向量的数量积满足：
ab ba （交换律）
（2） () （数乘结合律） a ba ( b ) a () b （ 3）

（分配律） ( a b ) c a c b c
X
作业
P111 练习A
1. 2
结合律：
（ ab ） ca( b c )
将结合律中的某一向量换成数
分配律：
？？ () a ba ( b ) a () b ？？ ( a b ) c a c b c ？
X
讨论结果探究
交换律
数乘结合律结合律：
（ ab ） a( b c )
A1B1 bc0
又 O B O1 A A B 1 1 1
OB ( ab ) c 1 0
A
即( a b ) c a c b c 0 0 0 a 上式两边同时乘以，得 |c|
b
B
( a b ) c a c b c
O
C0
A1
c
B1 C
新课
a e |a |cos a ,l
l
a
A
e
b
即证 OB OA A B 1 1 1 1

向量的数量积运算律

03
向量数量积在几何中的应用
力的合成与分解
力的合成
根据向量加法的平行四边形法则，两个力可以合成一个合力。合力的方向和大小可以通过向量的加法运算得出。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分力，分力的方向和大小可以通过向量的减法运算和数乘运算得出。
速度和加速度的研究
速度
速度是一个向量，表示物体在单位时间内移动的距离和方向。速度的大小表示物体运动的快慢，方向表示物体运动的方向。
02
向量数量积的运算律
交换律
总结词
向量数量积的交换律是指两个向量的数量积与其顺序无关。
详细描述
设向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$，则有$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$，无论$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的顺序如何。
结合律
总结词
向量数量积的结合律是指三个向量的数量积的结合顺序无关。
详细描述
设向量$mathbf{a}$、$mathbf{b}$和$mathbf{c}$，则有$(mathbf{a} cdot mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot (mathbf{b} cdot mathbf{c})$，无论$mathbf{a}$、$mathbf{b}$和$mathbf{c}$的组合顺序如何。
通过代数式展开，可以将复杂的向量运算转化为简单的标量运算，提高计算效率。
坐标系法
01
坐标系法是一种常用的向量运算技巧，通过在坐标系中表示向量，可以将向量运算转化为坐标运算。
02
在二维坐标系中，任意向量 $vec{A}$可以表示为$(x, y)$，在三维坐标系中可以表示为$(x, y, z)$。

(完整word版)第二课时向量数量积的运算律

2.3.2 向量数量积的运算律【学习目标】：熟练掌握平面向量数量积的运算律，并会应用。

【自主学习】：向量数量积的运算律：（1）交换律：（2）数乘向量的数量积结合律：那么分配律是否成立呢？【合作探究】分配律：【课堂互动】类型一、运用向量数量积的运算律计算例1、求证：（1） ()22b a b a +⋅+=+；（2）22;a b a b a b →→→→→→⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭变式：已知03,4,,60,a b a b →→→→==〈〉=求()()23.a b a b +-r r r rg类型二、运用向量数量积的运算律求向量的模例2、已知5,a b ==r r 向量a r 与b r 的夹角为3π，求a b -r r ，a b +r r 。

变式：在三角形ABC 中，已知3,AB =u u u r 5,BC =u u u r 060,ABC ∠=求AC u u u r 。

类型二、运用向量数量积的运算律解决有关垂直问题例2、求证：菱形的两条对角线互相垂直：已知：ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线。

求证：.AC BD ⊥ 证明：总结：a b ⊥⇔r r。

变式：已知3,4a b ==r r ,且()(),a kb a kb +⊥-r r r r求k 的值。

【合作探究】1、若a,b(0b ≠)为实数，则b a b a ⋅=⋅成立，对于向量=,成立吗？2、若a,b,c(0b ≠)为实数，则;ab bc a c =⇒=但对于向量，ab bc a c=⇒=r r r r r r还成立吗？3、向量的数量积满足结合律吗，即()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅成立吗？()c b a ⋅⋅表示什么意义？()c b a ⋅⋅表示什么意义？【当堂检测】1、已知向量0,120,a b →→<>=且2,5,a b ==r r则()=⋅-a b a 2 。

2、06,8,,120,a b a b →→→→==〈〉=求2,.a b a b ++r r r r3、已知1e u r ，2e u u r 是夹角为23π的两个单位向量，12122,,a e e b ke e =-=+r u r u u r r u r u u r 若0=⋅b a ，则k 的值为。

《向量数量积的运算律》课件1(16张PPT)

规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
平面向量数量积运算律
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，
当a 与b 反向时， a ·b =—| a | ·| b | ．
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
22a bຫໍສະໝຸດ (2)(a b)22
2
a ababb
2
2
a 2a b b
平面向量数量积运算律
例2 已知 | a | 6 ，| b | 4 ，a与b的夹角为 60 ，求 (a 2b) (a 3b)
解：(a 2b) (a 3b)
2
2
a 3a b 2b a 6b
所以（a b) （a) b a (b)
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
o
而∣a∣∣ b∣=∣b∣∣ a∣
B1 B
所以| b || a | cos b, a | a || b | cos a,b
即： a b b a 交换律
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b

高二数学向量数量积的运算律

平面向量数量积运算律
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即
ab | a|| b| cos a,b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影
│b│cos<a,b>叫做正射影的数量
（4）cos a b
| a || b |
（5）a · b ≤| a | · | b |
2、判断垂直 3、求向量的模 4、求向量的夹角
平面向量数量积运算律
a b | a || b | cos a, b

A
b a | b || a | cos b, a
显然 a,b
b, a
AOB
o
而∣a∣∣ b∣=∣b∣∣ a∣
所以： c • (a b) c • OB
c
而
•
OcBa∣c∣cObB∣1 c∣∣cO∣AO1A∣1c∣∣cA∣1BA11
B1
1
1
平面向量数量积运算律
例解4求：证设：AD长方a,形A的B 两b条对A 角线相等
D
AC AB AD a b
BD AD AB a b
B
∣AC∣=∣a b∣= (a b)2
2 a
2a
b
2 b
C
∣BaD∣=b∣a
b∣= a
(a b)2
2 a
2ab
b 0 ∣AC∣=∣BD∣=
2 b a
2
b
2
即：AC=BD，长方形对角线相等
平面向量数量积运算律
l 小结：平面向量数量积运算规律
作业：（1）第111页练习A、B （2）预习2.3.3，并做课后练习A

向量数量积的运算

计算向量的长度
已知一个向量的数量积和另一个向量的模长，可以计算出该向量的长度。公式为：|a| = (a·b) / |b|。
判断向量是否共线
计算向量的投影
如果两个向量共线，则它们的夹角为0度或180度，此时它们的数量积分别为正无穷大和负无穷大。因此，通过计算两向量的数量积，可以判断它们是否共线。
表示两个向量的夹角或方向关系
$vec{a} cdot frac{vec{b}}{|vec{b}|}$ 表示向量 $vec{a}$ 在向量 $vec{b}$ 上的投影长度
$cos < vec{a}, vec{b} > = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| |vec{b}|}$，表示向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 的夹角的余弦值
分配律表明向量数量积满足线性性质，可以将向量的加法与数量积分开进行。
结合律
结合律是指向量数量积满足结合律，即对于任意三个向量$vec{a}$、 $vec{b}$和$vec{c}$，有$(vec{a} cdot vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot (vec{b} cdot vec{c})$。
该性质表明，向量的加法与数量积运算的结合顺序可以任意交换。
数乘结合律
向量数量积满足数乘结合律，即对于任意实数$k$和向量$vec{a}$，有$(kvec{a}) cdot vec{b} = k(vec{a} cdot vec{b}) = vec{a} cdot (kvec{b})$。
该性质表明，数乘与数量积运算的结合顺序可以任意交换。
计算步骤
首先确定两个向量的坐标，然后直接使用代数法进行计算。
向量模长与夹角法

向量数量积的运算律高一数学下学期人教B版必修第三册

导思
1.向量数量积的运算律主要有哪些? 2.能否运用数量积的运算律证明勾股定理?
向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
【思考】 “若a·b=a·c,则b=c”成立吗?请说明原因. 提示: 不成立.如a⊥b,a⊥c时,a·b=a·c,但b与c不一定相等.
3
=4tk2+16k2=0. 所以t=-4.
【解题策略】
1.求向量夹角问题一般有两种思路
(1)数量积a·b与模积|a||b|好求解,直接用变形公式cos
θ=
ab ab
求值定角.
(2)a·b与|a||b|不好求,可采用寻求两者关系,再用变形公式cos θ= a b 求
ab
值定角.
2.两个向量的夹角与其数量积的关系 (1)向量a,b夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a与b不同向共线. (2)a,b夹角为钝角的等价条件是a·b<0且a与b不反向共线. (3)a与b垂直的等价条件是a·b=0.
22
2
1 (1 4 1 2 4) 1 .
22 2
2
【解题策略】向量数量积运算中的常用结论
(1)a2=|a|2. (2)(xa+yb)·(mc+nd)=xma·c+xna·d+ymb·c+ynb·d,其中x,y,m,n∈R,类似于多项式的乘法法则. (3)(a+b)2=a2+2a·b+b2. (4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.

数学知识点：向量数量积的运算_知识点总结

数学知识点：向量数量积的运算_知识点总结
数学知识点：向量数量积的运算两个向量数量积的含义：
如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。

叫在上的投影。

规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

数量积的的运算律：
已知向量和实数λ，下面（1）（2）（3）分别叫做交换律，数乘结合律，分配律。

（1）；
（2）；
（3）。

向量数量积的性质：
设两个非零向量
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）当，同向时，；当与反向时，；当为锐角时，为正且，不同向,高考，；当为钝角时，为负且，不反向，。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

向量数量积的运算律
制作人：张明娟审核人：叶付国使用时间：2012-5-8 编号：12022 学习目标：
1、掌握平面向量数量积的运算律及其运算；
2、通过向量数量积分配律的学习，体会类比、猜想、证明的探索性学习方法；
3、通过解题实践，体会向量数量积的运算方法.
学习重点：向量数量积的运算律及其应用.
学习难点：向量数量积分配律的证明.
重点知识回顾：
1、两个向量的夹角的范围是：；
2、向量在轴上的正射影
正射影的数量为；
3、向量的数量积（内积）：a ·b = ；
4、两个向量的数量积的性质：
（1）b a ⊥⇔ ；
（2）a a ⋅= 或a = ；
（3）θcos = ；
向量数量积的运算律
平面向量数量积的常用公式
证明：（1）
（2）
c
b c a c b a b a b a b a b a a b b a ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅=⋅=⋅⋅=⋅))(3(;)()())(2(;
1λλλλ）（222
2))(1(b b a a b a +⋅+=+2
2))()(2(b a b a
b a -=-+
典例剖析：
例1、已知a =6，b =4，a 与b 的夹角为060，
求：（1）b 在a 方向上的投影；
（2）a 在b 方向上的投影；
（3）
例2、已知a 与b 的夹角为0120，a =2，b =3，求：
()()
b a b a 32-⋅+）
（））（；（）；（）（b a b a b a b a 32321
22+⋅--
⋅（-+5
4取何值，问夹角为与t t b a -==0
120,1
例
3、已知a =3，b =4，（且a 与b 不共线），当且仅当k 为何值时，向量b k a +与b k a - 互相垂直？
变式：已知a =1, b =2, a 与b a -垂直.求a 与b 的夹角.
练习题:求证菱形的对角线互相垂直.
例
4、已知a =2，b =4，0120,=b a ，求a 与b a -的夹角.
课堂小结：
跟踪练习：
1、下列运算不正确的是（）
A.()()c b a c b a ++=++
B.()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+
C.()b m a m b a m +=+
D. ()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅
2、设1e 、2e 是两个单位向量，它们的夹角为060，则()()=+-⋅-2121232e e e e
（
） A.29- B. 29
C.8-
D.8
3、已知7=a , 7=b ，7=+b a ，则a 与b 的夹角为（）；
4、已知：向量a 与b 的夹角为0120，且4=a ， 2=b ，求：
（1）b a +；（2）b a 43-；（3）()()b a b a 2-⋅+。