量子力学习题汇集
量子力学习题集及解答
量子力学习题集及解答目录第一章量子理论基础 (1)第二章波函数和薛定谔方程 (5)第三章力学量的算符表示 (28)第四章表象理论 (48)第五章近似方法 (60)第六章碰撞理论 (94)第七章自旋和角动量 (102)第八章多体问题 (116)第九章相对论波动方程 (128)第一章 量子理论基础1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A （可见光），1A （x 射线）以及0.001A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =221υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即λνυhc h eV m ===221 )(1024.1106.11031063.6419834A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏）A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。
[解] 普朗克公式为18/33-⋅=kT hv v e dvc hvd πνρ单位体积辐射的总能量为⎰⎰∞∞-==00/3313T hv v e dv v c h dv U κπρ令kThvy =，则 440333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★） 其中 ⎰∞-=0333418y e dyy c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。
这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。
其中σ是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121 +++=-=-------y y y y y ye e e e e e ∑∞=-=1n ny edy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=-013031 令 ny x =，上式成为dx e x n e dy y xn y ⎰∑⎰∞-∞=∞=-03140311 用分部积分法求后一积分，有⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--+-=+-=0220332333dx xe e x dx e x e x dx e x x xx xx66660=-=+-=∞∞--∞-⎰xx x e dx e xe又因无穷级数 ∑∞==144901n nπ故⎰∞=⨯=-0443159061ππye dy y 因此，比例常数⎰∞-⨯==-=015334533341056.715818ch k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子； （2）能量为0.1电子伏的自由中子； （3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点； （4）温度T =1k 时，具有动能kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。
量子力学习题集(NJU)
h ¯ k2
Note:
∫
∞
−∞
[ ( )] dx exp − α2 x2 + iβx + iγx2 =
(
π α2 + iγ
)1/2
−β 2 (α2 − iγ ) exp 4 (α4 + γ 2 )
[
]
4. 设粒子处于二维无限深势井中， 0, 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b; V (x) = ∞, 其它情况. 求粒子的能量本征值和本征函数，并讨论简并性。 参考答案：由于势阱无限深，在势阱外找到粒子的概率应该为零，因此势阱外的波函数为 ψ (x, y ) = 0. 在势井内部，定态薛定谔方程为 h ¯2 2 h ¯2 ∂2 ∂2 − ∇ ψ (x, y ) = − ( 2 + 2 )ψ (x, y ) = Eψ (x, y ). 2µ 2µ ∂x ∂y 这里，µ为粒子质量。做变量分离 ψ (x, y ) = f (x)g (y ), 我们有 其中，c > 0。 求解上面两个方程，我们有 f (x) = α eikx x + α e−ikx x , 1 2 g (y ) = β1 eiky y + β2 e−iky y ,
b
3
和
f (x) = A sin(k x), x g (y ) = B sin(ky y ). 进行归一化后，有 2 nπx mπx ψn,m (x, y ) = √ sin( ) sin( ). a b ab
而本征能量为 En,m = 当a = b时，则本征能量为 En,m =
2 2
4
h ¯ 2 π 2 n2 . 2ma2
于是， 1 ψ (x, 0) = √ [ψ1 (x) + eiϕ ψ2 (x)]. 2 (2) 1 h h ψ (x, t) = √ [ψ1 (x)e−iE1 t/¯ + eiϕ ψ2 (x)e−iE2 t/¯ ]. 2 |ψ (x, t)|2 = ψ ∗ (x, t)ψ (x, t) E1 − E2 1 2 2 (x) + ψ2 (x) + 2ψ1 (x)ψ2 (x) cos(ϕ + t)]. = [ψ1 2 h ¯ (3) ∫ ⟨x ˆ⟩ = 利用， ∫
量子力学练习题
量子力学练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一. 填空题1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。
2．按照德布罗意公式 ，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。
3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E=kT 23（k 为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。
4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能量E n = ，相应的波函数=)(x n ψ()a x ax n a n <<=0sin 2πψ和 。
5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E=eV eV 51.136.132-=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。
6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ϕ，当它们是玻色子时波函数为),(21q q s ψ= ；玻色体系为费米子时=),(21q q A ψ ；费米体系7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是E n =()()+-'+'+∑≠0020m nnm mn mn nE EH H E ，)(x n ψ = ())() +-'+∑≠00020m m nnm mnn E EH ψψ，其中微扰矩阵元 'mn H =()()⎰'τψψd H n m 00ˆ；而'nn H 表示的物理意义是 。
该方法的适用条件是 本征值， 。
8．在S 2和S 2的共同表象中，泡利矩阵的表示式为=x σ ，=y σ ，=z σ 。
量子力学练习题题库(可编辑)
量子力学练习题题库量子力学练习题本练习题共352道,其中(一)单项选择题 145题,(二)填空题100题,(三) 判断题50题,(四) 名词解释32题,(五)证明题25题,(六)计算题40题。
做题时应注意的几个问题:1.强调对量子力学概念、知识体系的整体理解。
2.注重量子力学基本原理的理解及其简单的应用,如:无限深势阱、谐振子和氢原子等重要问题的求解及其结论,并与其对应的经典理论进行比较,力争把量子力学理论融汇贯通。
3.数学手段上,应多看示例,尽量避免陷入过多的、繁难的数学计算中。
4.通过完成练习题,使自己加深对理论内容的理解,通过把实际物理过程用数学模型求解,培养自己独立解决实际问题的能力。
(一) 单项选择题 (共145题)1.能量为100ev的自由电子的De Broglie 波长是A. 1.2B. 1.5C.2.1D. 2.5.2. 能量为0.1ev的自由中子的De Broglie 波长是 A.1.3 B.0.9C. 0.5D. 1.8.D. 2.0.4.温度T1k时,具有动能为Boltzeman常数的氦原子的De Broglie 波长是A.8B. 5.6C. 10D. 12.6.5.用Bohr-Sommerfeld的量子化条件得到的一维谐振子的能量为()AB C D6.在0k附近,钠的价电子的能量为3ev,其De Broglie波长是A.5.2B. 7.1C. 8.4D. 9.4.7.钾的脱出功是2ev,当波长为3500的紫外线照射到钾金属表面时,光电子的最大能量为C. 0.25JD. 1.25J.8.当氢原子放出一个具有频率的光子,反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为ABC D9pton 效应证实了A.电子具有波动性B. 光具有波动性.C.光具有粒子性D. 电子具有粒子性.10.Davisson 和Germer 的实验证实了电子具有波动性. B. 光具有波动性. C. 光具有粒子性 D. 电子具有粒子性.11.粒子在一维无限深势阱中运动,设粒子的状态由描写,其归一化常数C为A BC D12. 设,在范围内找到粒子的几率为A B C D13. 设粒子的波函数为 ,在范围内找到粒子的几率为ABCD14.设和分别表示粒子的两个可能运动状态,则它们线性迭加的态的几率分布为 A B. + C. + D. +.A.单值、正交、连续B.归一、正交、完全性C.连续、有限、完全性D.单值、连续、有限.A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包C.单个微观粒子具有波动性和粒子性D. A, B, C.17.已知波函数, ,,其中定态波函数是A B.和C D.和.18.若波函数归一化,则19.波函数、为任意常数,A.与描写粒子的状态不同 B.与所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: C.与所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是 D.与描写粒子的状态相同.20.波函数的傅里叶变换式是A BC D21.量子力学运动方程的建立,需满足一定的条件:1方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数. 2方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下的导数.3方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的. 4 方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.5 方程中不能含有决定体系状态的具体参量. 6 方程中可以含有决定体系状态的能量. 则方程应满足的条件是A. 1、3和6B. 2、3、4和5. C. 1、3、4和5. D.2、3、4、5和6.22.两个粒子的薛定谔方程是A B C D.23.几率流密度矢量的表达式为 A B CD24.质量流密度矢量的表达式为A B C D25. 电流密度矢量的表达式为AB CD26.下列哪种论述不是定态的特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化 B.几率流密度矢量不随时间变化 C.任何力学量的平均值都不随时间变化 D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.27.在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子的能级为A.,B.,C., D28. 在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子的能级为 A., B., C., D29. 在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子的能级为A.,B., C., D30. 在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子处于基态,其位置几率分布最大处是 A., B.,C.,D31. 在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子处于第一激发态,其位置几率分布最大处是A., B., C., D32.在一维无限深势阱中运动的粒子,其体系的A.能量是量子化的,而动量是连续变化的 B.能量和动量都是量子化的 C.能量和动量都是连续变化的D.能量连续变化而动量是量子化的.AB C D34.线性谐振子的第一激发态的波函数为,其位置几率分布最大处为ABCD35.线性谐振子的 A.能量是量子化的,而动量是连续变化的B.能量和动量都是量子化的 C.能量和动量都是连续变化的D.能量连续变化而动量是量子化的.36.线性谐振子的能量本征方程是AB C D37.氢原子的能级为A..B..CD38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为AB C D39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为A B C D40.波函数和是平方可积函数,则力学量算符为厄密算符的定义是A B C D41. 和是厄密算符,则A.必为厄密算符.B.必为厄密算符C.必为厄密算符D. 必为厄密算符42.已知算符和,则A.和都是厄密算符B.必是厄密算符C.必是厄密算符D.必是厄密算符.43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为A.1B. 2C. 3D. 4.A B C D.45.角动量Z分量的归一化本征函数为A BC D是的本征函数,不是的本征函数 B.不是的本征函数,是的本征函数.C 是、的共同本征函数. D. 即不是的本征函数,也不是的本征函数.47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n3的简并度为 A. 3 B. 6 C.9 D. 12.48.氢原子能级的特点是 A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大 B.能级的绝对值随量子数的增大而增大 C.能级随量子数的增大而减小 D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为,这种性质是库仑场特有的B.中心力场特有的. C.奏力场特有的 D.普遍具有的.50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为,则其几率分布最大处对应于Bohr原子模型中的圆轨道半径是 A B C D51.设体系处于状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为 A BC D52.接51题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为 A B C D53. 接51题,该体系的角动量Z分量的取值及相应几率分别为 A BC D54. 接51题,该体系的角动量Z分量的平均值为A B C D55. 接51题,该体系的能量的平均值为A..B..CD56.体系处于状态,则体系的动量取值为A B C D57.接上题,体系的动量取值几率分别为 A. 1,0. B. 1/2,1/2C. 1/4,3/4/ D. 1/3,2/3.58.接56题, 体系的动量平均值为A B C D59.一振子处于态中,则该振子能量取值分别为A BC D60.接上题,该振子的能量取值的几率分别为A B. ,. C.,D61.接59题,该振子的能量平均值为 B C D62.对易关系等于为的任意函数 A..B..CD63. 对易关系等于 A BC D64.对易关系等于A B CD65. 对易关系等于A B C D66. 对易关系等于A B C D67. 对易关系等于A B CD68. 对易关系等于A B CD69. 对易关系等于A B C D70. 对易关系等于A B C D71. 对易关系等于A B C D72. 对易关系等于A B C D73. 对易关系等于A B C D74. 对易关系等于A B C D75. 对易关系等于A B C D76. 对易关系等于A B C DA B C D78. 对易式等于m,n为任意正整数A B C DA B C D80对易式等于c为任意常数A B C D81.算符和的对易关系为,则、的测不准关系是A BC D82.已知,则和的测不准关系是A B C D83. 算符和的对易关系为,则、的测不准关系是A B CD84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是A BC D85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为A B C D86. 在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子,其状态为,则在此态中体系能量的可测值为A., B,C., D87.接上题,能量可测值、出现的几率分别为 A.1/4,3/4B. 3/4,1/4C.1/2, 1/2D. 0,1.88.接86题,能量的平均值为A., B., C., D89.若一算符的逆算符存在,则等于A. 1B. 0C. -1D. 2.90.如果力学量算符和满足对易关系, 则A. 和一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值B. 和一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.C. 和不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值.D. 和不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.可取一切实数值 B.只能取不为负的一切实数 C.可取一切实数,但不能等于零. D.只能取不为正的实数.92.对易关系式等于A BCD93.定义算符, 则等于A B C D94.接上题, 则等于AB C D95. 接93题, 则等于AB C D96.氢原子的能量本征函数A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z分量算符的本征函数 B.只是体系能量算符、角动量Z分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数 C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z 分量算符的本征函数 D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z分量算符的共同本征函数.97.体系处于态中,则A.是体系角动量平方算符、角动量Z分量算符的共同本征函数 B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z分量算符的本征函数 C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z分量算符的本征函数 D.即不是体系角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z分量算符的本征函数.98.对易关系式等于A B C D99.动量为的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是,它在动量表象中的表示是ABCD100.力学量算符对应于本征值为的本征函数在坐标表象中的表示是AB C D101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为,其中、是其能量本征函数,则在能量表象中的表示是A..B..C..D102.线性谐振子的能量本征函数在能量表象中的表示是 A B CD103. 线性谐振子的能量本征函数在能量表象中的表示是 A B C D104.在的共同表象中,波函数,在该态中的平均值为AB CD. 0.105.算符只有分立的本征值,对应的本征函数是,则算符在表象中的矩阵元的表示是以本征值为对角元素的对角方阵B一个上三角方阵. C.一个下三角方阵.D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符在动量表象中的微分形式是 ABCD108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是 A B CD109.在表象中,其本征值是 AB0 C D110.接上题, 的归一化本征态分别为 A BC D111.幺正矩阵的定义式为 ABCD112.幺正变换 A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢. B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢 C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.113.算符,则对易关系式等于 ABC D114.非简并定态微扰理论中第个能级的表达式是考虑二级近似ABC D115. 非简并定态微扰理论中第个能级的一级修正项为 A BC D116. 非简并定态微扰理论中第个能级的二级修正项为 A B C D 117. 非简并定态微扰理论中第个波函数一级修正项为 ABC D118.沿方向加一均匀外电场,带电为且质量为的线性谐振子的哈密顿为 A BCD119.非简并定态微扰理论的适用条件是A B C D 120.转动惯量为I,电偶极矩为的空间转子处于均匀电场中,则该体系的哈密顿为A B C D121.非简并定态微扰理论中,波函数的一级近似公式为A B C D122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于的能级由原来的一个能级分裂为五个子能级 B. 四个子能级C. 三个子能级 D. 两个子能级.123.一体系在微扰作用下,由初态跃迁到终态的几率为A BC D写出体系的哈密顿 B选取合理的尝试波函数.C 计算体系的哈密顿的平均值 D体系哈密顿的平均值对变分参数求变分.电子具有波动性B.光具有波动性. C. 原子的能级是分立的. D. 电子具有自旋.126.为自旋角动量算符,则等于A BC .D127. 为Pauli算符,则等于A B CD128.单电子的自旋角动量平方算符的本征值为A B C D129.单电子的Pauli算符平方的本征值为A0 B1 C. 2D. 3.130.Pauli算符的三个分量之积等于A. 0 B1CD131.电子自旋角动量的分量算符在表象中矩阵表示为A B C D 132. 电子自旋角动量的y分量算符在表象中矩阵表示为A B C D 133. 电子自旋角动量的z分量算符在表象中矩阵表示为A B C D 134.是角动量算符,,则等于A BC. 1 D. 0135.接上题, 等于A B C D. 0.136.接134题, 等于A B C D. 0.137.一电子处于自旋态中,则的可测值分别为A B .C D138.接上题,测得为的几率分别是A B CD139.接137题, 的平均值为0 B C D140.在表象中,,则在该态中的可测值分别为 ABC D141.接上题,测量的值为的几率分别为A B.1/2,1/2. C.3/4,1/4. D.1/4, 3/4.142.接140题,的平均值为A B C D143.下列有关全同粒子体系论述正确的是A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系 B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系 C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系 D.粒子和电子组成的体系是全同粒子体系.144.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数 A.是对称的 B.是反对称的 C.具有确定的对称性. D.不具有对称性.145.分别处于态和态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是0,1,2,3,4B.1,2,3,4. C. 0,1,2,3 D.1,2,3.(二) 填空题(共100题)1pton效应证实了。
量子力学经典八十题(推荐版本)【含答案】
ψ
nxnynz
(x,
y,
z)
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩0
8 abc ,
sin
nxπx a
sin
nyπ b
y
sin
nzπ c
z
, 0 < x < a,0 其余区域
<
y
<
b
,
0
<
z
<
c
n = 1, 2,3,""
9. 粒子在一维 δ 势阱
V (x) = −γ δ (x) (γ > 0)
中运动，波函数为ψ (x) ，写出ψ ′(x) 的跃变条件。
2
量子力学复习题答案（安徽大学）
( ) 解： L2 , L z 的共同本征函数是球谐函数Ylm (θ ,ϕ) 。
L2Ylm (θ ,ϕ) = l(l + 1)= 2Ylm (θ ,ϕ ) , LzYlm (θ ,ϕ ) = m=Ylm (θ ,ϕ)
15. 写出电子自旋 s z 的二本征态和本征值。
V (x)
=
−
n= 2 mx0 x
+
=2 2m
n (n −1) x2
10. 一 个 质 量 为 m 的 粒 子 在 势 V (x) 作 用 下 作 一 维 运 动 。 假 定 它 处 在 E = =2α 2 的 能 量 本 征 态 2m
ψ
(
x)
=
⎛ ⎜ ⎝
α2 π
⎞1/ ⎟
4
e−γ
2x2
⎠
2，
（ a ）求粒子的平均位置； （ b ）求粒子的平均动量；
22. 使用定态微扰论时，对哈密顿量 H 有什么样的要求？
量子力学复习题汇总
概念简答题 （每小题2分，2*8=16分） 1、何为束缚态？2、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。
3、设粒子在位置表象中处于态),(t rψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？4、简述定态微扰理论。
5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？6、简述波函数的统计解释；7、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？8、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 9、简述能量的测不准关系；10、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。
20、厄米算符有那些特性？23．描述氢原子状态需要几个量子数？量子数目取决于什么？ 1. 微观实物粒子的波粒二象性 1. Bohr 的原子量子论 3. 态迭加原理4. 波函数的标准条件5. 定态 6 .束缚态 7. 几率波8 归一化波函数 9. 几率流密度矢量10. 线性谐振子的零点能 11. 厄密算符 12. 简并度13. 力学量的完全集合 14. 箱归一化 15. 函数的正交性 16. 角动量算符17. 力学量算符的本征函数的正交归一性 18. 表象19. 希耳伯特空间 20. 幺正变换单项选择题（每小题2分）2*10=20分1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 A. 1.2A 0. B. 1.5A 0. C. 2.1A 0. D. 2.5A 0.5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ,2,1,0=n ）A.E n n = ω.B.E n n =+()12ω.C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω. pton 效应证实了A.电子具有波动性.B. 光具有波动性.C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性. C. 光具有粒子性. D. 电子具有粒子性.14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为 A.c c 112222ψψ+.B. c c 112222ψψ++2*121ψψc c .C. c c 112222ψψ++2*1212ψψc c .D. c c 112222ψψ++c c c c 12121212****ψψψψ+. 15.波函数应满足的标准条件是A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限. 18.若波函数ψ(,)x t 归一化，则A.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都是归一化的波函数.B.ψ(,)exp()x t i θ是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ不是归一化的波函数.C.ψ(,)exp()x t i θ不是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ是归一化的波函数.D.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都不是归一化的波函数.(其中θδ,为任意实数)19.波函数ψ1、ψψ21=c (c 为任意常数)， A.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态不同.B.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: c .C.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2:1c . D.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态相同. 23.几率流密度矢量的表达式为A.J =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B.J i =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C.J i =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D.J =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 24.质量流密度矢量的表达式为A.J =∇ψ-2()**ψψ∇ψ.B. J i =∇ψ-2()**ψψ∇ψ.C.J i =-∇ψ2()**ψ∇ψψ.D.J =-∇ψ2()**ψ∇ψψ.25. 电流密度矢量的表达式为A.J q =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B. J iq =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C.J iq =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D.J q =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 26.下列哪种论述不是定态的特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量. 32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的 A.能量是量子化的，而动量是连续变化的. B.能量和动量都是量子化的. C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 33.线性谐振子的能级为 A.(/),(,,,...)n n +=12123 ω. B.(),(,,,....)n n +=1012 ω.C.(/),(,,,...)n n +=12012ω. D.(),(,,,...)n n +=1123 ω. 35.线性谐振子的A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 36.线性谐振子的能量本征方程是A.[]-+= 222222212μμωψψd dx x E . B.[]--= 22222212μμωψψd dx x E .C.[] 22222212μμωψψd dx x E -=-. D.[] 222222212μμωψψd dx x E +=-. 37.氢原子的能级为A.- 2222e n s μ.B.-μ22222e n s .C.242ne sμ -. D. -μe n s 4222 . 38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为A.r r R nl )(2. B.22)(r r R nl .C.rdr r R nl )(2.D.dr r r R nl 22)(.39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为 A.),(ϕθlm Y . B. 2),(ϕθlm Y . C. Ωd Y lm ),(ϕθ. D. Ωd Y lm 2),(ϕθ.40.波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符 F为厄密算符的定义是 A.ψφτφψτ*** Fd F d =⎰⎰. B.ψφτφψτ**( )F d F d =⎰⎰. C.( ) **F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. D. ***F d F d ψφτψφτ=⎰⎰.41. F和 G 是厄密算符,则 A. FG必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FGGF ( )+必为厄密算符. D. i FGGF ( )-必为厄密算符. 42.已知算符 x x =和 pi xx =- ∂∂,则 A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C. xp p x x x +必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符.43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为 A.1. B. 2. C. 3. D. 4.44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)A.1212/()/π .B.12/()π .C.1232/()/π .D.122/()π47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为 A. 3. B. 6. C. 9. D. 12. 48.氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为n 2,这种性质是 A. 库仑场特有的. B.中心力场特有的. C.奏力场特有的. D.普遍具有的.56.体系处于ψ=C kx cos 状态,则体系的动量取值为A. k k ,-.B. k .C. - k .D. 12k .64.对易关系[, ]x px 等于 A.i . B. -i . C. . D. - .66. 对易关系[, ]L zy 等于 A.-i x. B. i x . C. x . D.- x . 68. 对易关系[, ]x py 等于 A. . B. 0. C. i . D. - . 70. 对易关系[ , ]L L x z等于 A.i L y . B. -i L y . C. L y . D. - L y. 72. 对易关系[ , ]LL x2等于 A. L x . B. i L x . C. i L L z y( )+. D. 0. 74. 对易关系[, ]L px y 等于 A.i L z. B. -i L z . C. i p z . D. -i p z . 76. 对易关系[ , ]Lp zy等于 A.-i p x . B. i p x . C. -i L x . D. i L x . 80. .对易式[ ,]Fc 等于(c 为任意常数) A.cF. B. 0. C. c . D. F ˆ. 81.算符 F和 G 的对易关系为[ , ] F G ik =,则 F 、 G 的测不准关系是 A.( )( )∆∆F G k 2224≥. B. ( )( )∆∆F G k 2224≥.C. ( )( )∆∆F G k 2224≥.D. ( )( )∆∆F G k 2224≥. 82.已知[ , ]xp i x = ,则 x 和 p x 的测不准关系是 A.( )( )∆∆x p x 222≥ . B. ( )( )∆∆x p 2224≥ .C. ( )( )∆∆x p x 222≥ . D. ( )( )∆∆x p x 2224≥ .84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是A.[]-∇+= 2222μψψze rE s.B. []-∇+= 22222μψψze r E s.C.[]-∇-= 2222μψψze rE s.D.[]-∇-= 22222μψψze rE s.85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为A.-μz e n s 22222. B. -μ224222z e n s .C.-μze n s 2222 .D. -μz e n s 24222 .91.一维自由粒子的能量本征值 A. 可取一切实数值. B.只能取不为负的一切实数. C.可取一切实数,但不能等于零. D.只能取不为正的实数.99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是)'e x p (21)('x p ix Pπψ=,它在动量表象中的表示是A.δ(')p p -.B.δ(')p p +.C.δ()p .D.δ(')p .100.力学量算符 x对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是 A.δ(')x x -. B.δ(')x x +. C.δ()x . D.δ(')x . 106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是 A. 以本征值为对角元素的对角方阵. B. 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵. D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符xˆ在动量表象中的微分形式是 A.-i p x ∂∂. B.i p x∂∂. C.-i p x 2∂∂. D.i p x 2∂∂.109.在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110,其本征值是A. ±1.B. 0.C. ±i .D. 1±i . 110.111.幺正矩阵的定义式为A.S S +-=.B.S S +=*.C.S S =-.D.S S *=-.113.算符 ()( )/ax ip =+μωμω212 ,则对易关系式[ , ]a a +等于 A. [ , ]aa +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]aa +=-1. D. [ , ]a a i +=. 115. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的一级修正项为 A.H mn '. B.H nn '. C.-H nn '. D.H nm '. 119.非简并定态微扰理论的适用条件是A.H E E mk km'()()001-<<. B.H E E mk km'()()001+<<.C. H mk '<<1.D. E E k m ()()001-<<.122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于n =2的能级由原来的一个能级分裂为A. 五个子能级.B. 四个子能级.C. 三个子能级.D. 两个子能级.124.用变分法求量子体系的基态能量的关键是 A. 写出体系的哈密顿. B. 选取合理的尝试波函数.C. 计算体系的哈密顿的平均值.D. 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分. 125.Stern-Gerlach 实验证实了A. 电子具有波动性.B.光具有波动性.C. 原子的能级是分立的.D. 电子具有自旋.126. S 为自旋角动量算符,则[ , ]SS yx等于 A.2i . B. i . C. 0 .D. -i S z . 127. σ为Pauli 算符,则[ , ]σσxz等于 A.-i y σ. B. i y σ. C.2i y σ. D.-2i y σ. 129.单电子的Pauli 算符平方的本征值为 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.143.下列有关全同粒子体系论述正确的是A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系.B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系.C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系.D.α粒子和电子组成的体系是全同粒子体系.144.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数 A.是对称的. B.是反对称的. C.具有确定的对称性. D.不具有对称性. 填空题，每小题2分，8*2=16分pton 效应证实了 。
量子力学习题集及答案
量子力学习题集及答案09光信息量子力研究题集一、填空题1.__________2.设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为6.125A。
XXX的量子化条件为∫pdq=nh，应用这量子化条件求得一维谐振子的能级En=(nωℏ)。
3.XXX假说的正确性，在1927年为XXX和革末所做的电子衍射实验所证实，德布罗意关系为E=ωℏ和p=ℏk。
4.ψ(r)=(三维空间自由粒子的归一化波函数为e^(ip·r/ℏ))，其中p为动量算符的归一化本征态。
5.∫ψ*(r)ψ(r)dτ=(δ(p'-p))，其中δ为狄拉克函数。
6.t=0时体系的状态为ψ(x,0)=ψ_n(x)+2ψ_2(x)，其中ψ_n(x)为一维线性谐振子的定态波函数，则ψ(x,t)=(ψ(x)e^(-iωt/2)+2ψ_2(x)e^(-5iωt/2))。
7.按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w=(|Ψ|^2)，几率流密度j=(iℏ/2μ)(Ψ*∇Ψ-Ψ∇Ψ*)。
其中Ψ(r)描写粒子的状态，Ψ(r)是粒子的几率密度，在Ψ(r)中F(x)的平均值为F=(∫Ψ*F(x)Ψdx)/(∫Ψ*Ψdx)。
8.波函数Ψ和cΨ是描写同一状态，Ψe^(iδ)中的e^(iδ)称为相因子，e^(iδ)不影响波函数Ψ的归一化，因为e^(iδ)=1.9.定态是指能量具有确定值的状态，束缚态是指无穷远处波函数为零的状态。
10.E1=E2时，Ψ(x,t)=Ψ_1(x)exp(-iE1t)+Ψ_2(x)exp(-iE2t)是定态的条件。
11.这时几率密度和几率流密度都与时间无关。
12.粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。
13.无穷远处波函数为零的状态称为束缚态，其能量一般为分立谱。
14.ψ(x,t)=(ψ(x)e^(-iωt/2)+ψ_3(x)e^(-7iωt/2))。
2.15.在一维无限深势阱中，粒子处于位置区间x a，第一激发态的能量为1/13（22222/2ma2），第一激发态的波函数为sin（n x/a）（n=2）/a。
量子力学习题集及答案
09光信息量子力学习题集一、填空题1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125A ）。
2．索末菲的量子化条件为（ ⎰=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振子的能级=n E （ ωn ）。
3．德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ω=E ）和（ k p= ）。
4．三维空间自由粒子的归一化波函数为()r pψ=（ r p i e⋅2/3)2(1π ）， ()()=⎰+∞∞-*'τψψd r r p p （ )(p p-'δ ）。
5．动量算符的归一化本征态=)(r pψ（r p i e⋅2/3)2(1π ），='∞⎰τψψd r r p p )()(* （ )(p p-'δ ）。
6．t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t iex ex ωωψψ25220)(2)(--+ ）。
7．按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2），几率流密度=（()**2ψ∇ψ-ψ∇ψμi ）。
8．设)(r ψ描写粒子的状态，2)(r ψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ψ中Fˆ的平均值为F =（ ⎰⎰dx dx F ψψψψ**ˆ ）。
9．波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ），δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。
10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为零）的状态。
11．)i exp()()i exp()(),(2211t Ex t E x t x-+-=ψψψ是定态的条件是（ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。
12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。
量子力学习题集及答案
波函数为（ ）。
34． 一维线性谐振子处在的本征态的迭加态中，则在表象中
一维线性谐振子的波函数为=（
（0，0，3/5，
0，-4/5，0,…） ）。 35． 斯特恩—革拉赫证实电子具有（ 自旋 ）角动量，它在
任何方向上投影只能取两个值（ ）和（ ）。 36． =（ ），=（ ）。 37． =（ 0 ），[]=（ 0 ）。 38． 在表象中，粒子处在自旋态中，=（ ）。 39． 在表象中，粒子处在自旋态中，=（ ）。 40． 在表象中，，则在状态中，=（ ）。 41． 全同性原理的内容是：（ 在全同粒子组成的体系中，两
于两个不同本征值的本征态必（ 相互正交 ）。
24． 力学量算符的属于（ 不同本征值 ）的本征函数必相互
（ 正交 ）。
25． 量子力学中，力学量算符都是（ 厄米 ）算符，力学量
算符的本征函数组成（ 完全 ）系。
26． 算符在其自身表象中的矩阵为（ 对角 ）矩阵，例如在
表象中=（ ）。
27． 如果[]=0，则存在组成（ 完全 ）系的共同本征态，的
对应的本征为： ， （2）
17．设，[]=1，为的本征态，对应的本征值为。求证：也是的本征 态，并求出对应的本征值。 解： ，
所以，也是的本征态，对应的本征值为（） 18．一维线性谐振子处于基态，求该谐振子的动量处于内的几率。
（提示：） 解：
= = 内的几率为 19．一维线性谐振子处于基态，求该谐振子在动量表象中的波函数。（ 提示：）
解：设当时，.
代入
得
.
.
8．证明力学量算符的本征值必为实数。
解：
设
在中
令
得
9．证明：力学量在任意态中的平均值为实数。 解： 设已归一化，则
量子力学习题汇集
量⼦⼒学习题汇集第⼀章习题１．证明下列算符等式[][][][][][][][][][][][][][][]0,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A BC A C B A C AB CB AC A B BC A C A B A C B A２．设粒⼦波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 范围内找到粒⼦的⼏率．３．在球坐标中，粒⼦波函数为()??ψ,,r ，试求：１）在球壳(r,r+dr)中找到粒⼦的⼏率；２）在()??,⽅向的⽴体⾓Ωd 中找到粒⼦的⼏率．４．已知⼒学量F 的本征⽅程为n n n F ?λ?=求在状态波函数332211ψc c c ++=下测⼒学量F 的可能值，相应的⼏率及平均值（假设波函数ψ已归⼀或不归⼀的情况）．第⼆章习题１．⼀粒⼦在⼆维势场∞=,,0),(y x V 其它by a x <<<<0,0中运动，求粒⼦的能级和波函数．能级是否简并２．由哈密顿算符()2232222212222z y x m m H ωωω+++?-=η所描述的体系，称各向异性谐振⼦．求其本征态和本征值．３．利⽤递推关系--=+-11212)(n n n n n x dx d ψψαψ证明()22222)2)(1()12()1(2并由此证明在n ψ态下2,0nE T P ==第四章习题１．证明 )cos sin (cos i A +=ψ为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。
说明当体系处在此状态时，z L 没有确定值。
２．对于⼀转动惯量为I 的平⾯转⼦，其能量算符为IL H z 2=，求体系的能量本征态。
如??ψsin )0,(A =，求),(t ?ψ。
３．量⼦化对称陀螺的哈密顿量可写成()222212121z y x L I L L I H ++=试求该对称陀螺的能量本征值。
４．⼀质量为m 的粒⼦被限制在半径为a r = 和b r =的⼆个不可穿透同⼼球⾯之间运动，不存在其它势。
量子力学习题集
量⼦⼒学习题集量⼦⼒学习题第⼀章绪论1.1 由⿊体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极⼤值所对应的波长λm 与温度T 成反⽐，即λm T=b (常量）；并近似计算b 的数值，准确到⼆位有效数字。
1.2 在0K 附近，钠的价电⼦能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
1.3 氦原⼦的动能是E=3kT/2（k 为玻⽿兹曼常数），求T=1K 时，氦原⼦的德布罗意波长。
1.4 利⽤玻尔－索末菲的量⼦化条件，求：（1）⼀维谐振⼦的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电⼦轨道的可能半径。
已知外磁场H =10特斯拉，玻尔磁⼦M B =9×10-24焦⽿/特斯拉，试计算动能的量⼦化间隔?E ，并与T =4K 及T =100K 的热运动能量相⽐较。
1.5 两个光⼦在⼀定条件下可以转化为正负电⼦对。
如果两光⼦的能量相等，问要实现这种转化，光⼦的波长最⼤是多少？第⼆章波函数和薛定谔⽅程2.1 由下列两定态波函数计算⼏率流密度： (1) ψ1=e ikr /r , (2) ψ2=e -ikr /r .从所得结果说明ψ1表⽰向外传播的球⾯波，ψ2表⽰向内（即向原点）传播的球⾯波。
2.2 ⼀粒⼦在⼀维势场ax a x x x U >≤≤∞∞=00,,0,)(中运动，求粒⼦的能级和对应的波函数。
2.3 求⼀维谐振⼦处在第⼀激发态时⼏率最⼤的位置。
2.4 ⼀粒⼦在⼀维势阱ax a x U x U ≤>??>=,0,0)(0中运动，求束缚态(02.5 对于⼀维⽆限深势阱(0x 和?x ，并与经典⼒学结果⽐较。
2.6 粒⼦在势场xa a x x V x V ≤<<≤??-∞=00,0,,)(0中运动，求存在束缚态(E <0)的条件( ，m ，a ，V 0关系)以及能级⽅程。
2.7 求⼆维各向同性谐振⼦[V =21k (x 2+y 2)]的能级，并讨论各能级的简并度。
2.8粒⼦束以动能E =mk222从左⽅⼊射，遇势垒00,,0)(0≥=x x V x V求反射系数、透射系数。
量子力学考试题库及答案
量子力学考试题库及答案一、选择题1. 量子力学中，波函数的平方代表粒子在空间某点出现的概率密度。
下列关于波函数的描述中，哪一项是正确的？A. 波函数的绝对值平方代表粒子在空间某点出现的概率密度B. 波函数的绝对值代表粒子在空间某点出现的概率密度C. 波函数的平方代表粒子在空间某点出现的概率D. 波函数的绝对值平方代表粒子在空间某点出现的概率答案：A2. 海森堡不确定性原理表明，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。
以下哪项是海森堡不确定性原理的数学表达式？A. ΔxΔp ≥ ħ/2B. ΔxΔp ≤ ħ/2C. ΔxΔp = ħ/2D. ΔxΔp = ħ答案：A二、填空题3. 在量子力学中，粒子的波函数ψ(x,t)满足________方程，该方程由薛定谔提出，是量子力学的基本方程之一。
答案：薛定谔方程4. 根据泡利不相容原理，一个原子中的两个电子不能具有相同的一组量子数，即不能同时具有相同的________、________、________和________。
答案：主量子数、角量子数、磁量子数、自旋量子数三、简答题5. 简述量子力学中的隧道效应，并给出一个实际应用的例子。
答案：量子隧道效应是指粒子通过一个势垒的概率不为零，即使其能量低于势垒的高度。
这一现象在经典物理学中是不可能发生的。
一个实际应用的例子是扫描隧道显微镜（STM），它利用量子隧道效应来探测物质表面的原子结构。
6. 描述量子力学中的波粒二象性，并解释为什么这一概念是重要的。
答案：波粒二象性是指微观粒子如电子和光子等，既表现出波动性也表现出粒子性。
这一概念重要，因为它揭示了物质在微观尺度上的基本行为，是量子力学的核心概念之一，对理解原子和分子结构、化学反应以及材料的电子性质等方面都有深远的影响。
四、计算题7. 假设一个粒子被限制在一个宽度为L的一维无限深势阱中，求该粒子的基态能量。
答案：基态能量E1 = (π²ħ²)/(2mL²)，其中ħ是约化普朗克常数，m是粒子的质量，L是势阱的宽度。
量子力学期末考试题库含答案22套
量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。
（4分）4、证明)ˆˆ(22x x p x x p i -是厄密算符 （5分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x pˆ之间的测不准关系。
（6分）二、（15分）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符Aˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在B 表象中算符Aˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。
三、（15分）设氢原子在0=t 时处于状态),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021ϕθϕθϕθψ-+-=Y r R Y r R Y r R r ，求1、0=t 时氢原子的E 、2Lˆ和z L ˆ的取值几率和平均值； 2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2Lˆ和z L ˆ的取值几率和平均值。
四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C C C H000000200030001ˆ 这里，H H H'+=ˆˆˆ)0(，C 是一个常数，1<<C ，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。
五、（10分）令y x iS S S +=+，y x iS S S -=-，分别求+S 和-S 作用于z S 的本征态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0121和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1021的结果，并根据所得的结果说明+S 和-S 的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：)(Et r p i Ae -⋅=ψ2、定态：定态是能量取确定值的状态。
量子力学简答100题及答案
1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。
6、何为束缚态？7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。
8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。
10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？14、在简并定态微扰论中，如 ()H0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H HH'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ12()s z 中， S x 和 S y的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22•是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。
18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。
19何谓选择定则。
20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？21、叙述量子力学的态迭加原理。
22、厄米算符是如何定义的？23、据[aˆ，+a ˆ]=1，a a Nˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。
量子力学期末考试试题整理
量子力学期末考试试题整理一、 填空1. 波尔磁子：2429.274102B e e A m m cμ-==⨯⋅2. 回转磁比率：2zZe e L m cμ=-3. 薛定谔方程表达式：22121(,,)2ni n i iiU r r r t t m ψψψ=∂=-∇+⋅⋅⋅⋅⋅⋅∂∑ 4. 算符对易的定义:ˆˆˆˆˆˆ[,]A B ABBA =- 5. 在量子力学中，如果在散射过程中两粒子之间只有动能交换，粒子内部运动状态并无改变，则这种散射称为弹性散射。
如果在散射过程中粒子内部运动状态有所改变，则称为非弹性散射。
6. 散射粒子的方向与入射粒子的方向间的夹角，称为散射角。
7. 我们称质量、电荷、自旋、同位旋以及其他所有内禀固有属性完全相同的例子为全同粒子。
全通粒子的不可区分性，在量子力学中称为全同性原理。
8. 全同粒子的不可区分性：在两个波重叠在一起的区域，无法区分那个是第一个粒子的波，哪个是第二个例子的波。
也就是说，无法区分哪一个是第一个粒子，哪个是第二个粒子，因此，全同离子在量子力学中是不可区分的。
9. 自旋为2奇数倍的粒子称为费米子。
在量子力学中，由费米子组成的体系称为费米—狄拉克统计。
自旋为整数倍的粒子称为波色子。
在量子力学中，由波色子组成的体系称为波色—爱因斯坦统计。
10. 克莱因-戈尔登方程：22222221()0m c ctψψψ∂∇--=∂11. 狄拉克方程：2[]i H i c mc tψψαβψ∂==-⋅∇+∂12. 被填满的负态称为费米海。
如果空穴的能量为0p E +>，质量为0m +>，电荷为0e +>，这种空穴称为正电子。
13. 波函数的量子化称为二次量子化。
14. 概率流守恒定律：0J t ω∂+∇⋅=∂，概率流的定义：**()2i J mψψψψ=-∇-∇15. 光电效应的实验结果表明（1）存在临界频率0ν：当入射光的频率0νν<时，无论光强度多大，都无光电子逸出，只有在0νν≥时，即使光强度较弱，但只要光照到金属面上，几乎在910-s的极短时间内，就能观测到光电子。
基本习题及答案_量子力学
量子力学习题(一) 单项选择题1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 A. 1.2A 0. B. 1.5A 0. C.2.1A 0. D. 2.5A 0.2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 A.1.3A 0. B. 0.9A 0. C. 0.5A 0. D. 1.8A 0.3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是 A.1.4A 0. B.1.9⨯1012-A 0.C.1.17⨯1012-A 0. D. 2.0A 0.4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是A.8A 0. B. 5.6A 0. C. 10A 0. D. 12.6A 0.5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ,2,1,0=n ）A.E n n = ω.B.E n n =+()12ω.C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω.6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其De Broglie 波长是 A.5.2A 0. B. 7.1A 0. C. 8.4A 0. D. 9.4A 0.7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500A 0的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为A. 0.25⨯1018-J.B. 1.25⨯1018-J.C. 0.25⨯1016-J.D. 1.25⨯1016-J.8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为A. 2μc .B.22μc . C. 222μc . D. 22μc . pton 效应证实了A.电子具有波动性.B. 光具有波动性.C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性. C. 光具有粒子性. D. 电子具有粒子性.11.粒子在一维无限深势阱U x x ax x a (),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000 中运动，设粒子的状态由ψπ()sin x C xa= 描写，其归一化常数C 为A.1a .B.2a .C.12a .D.4a.12. 设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为A.δ()x .B.δ()x dx .C.δ2()x .D.δ2()x dx .13. 设粒子的波函数为 ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为A.ψ(,,)x y z dxdydz 2.B.ψ(,,)x y z dx 2. C.dx dydz z y x )),,((2⎰⎰ψ. D.dx dy dz x yz ψ(,)⎰⎰⎰2.14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为 A.c c 112222ψψ+.B. c c 112222ψψ++2*121ψψc c .C. c c 112222ψψ++2*1212ψψc c .D. c c 112222ψψ++c c c c 12121212****ψψψψ+. 15.波函数应满足的标准条件是A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限. 16.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.D. A, B, C. 17.已知波函数ψ1=-+u x i Et u x iEt ()exp()()exp() ,ψ21122=-+u x i E t u x iE t ()exp()()exp() ,ψ312=-+-u x i Et u x iEt ()exp()()exp() ,ψ41122=-+-u x i E t u x iE t ()exp()()exp().其中定态波函数是A.ψ2.B.ψ1和ψ2.C.ψ3.D.ψ3和ψ4. 18.若波函数ψ(,)x t 归一化，则A.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都是归一化的波函数.B.ψ(,)exp()x t i θ是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ不是归一化的波函数.C.ψ(,)exp()x t i θ不是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ是归一化的波函数.D.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都不是归一化的波函数.(其中θδ,为任意实数)19.波函数ψ1、ψψ21=c (c 为任意常数)， A.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态不同.B.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: c .C.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2:1c . D.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态相同.20.波函数ψ(,)(,)exp()x t c p t ipx dp =⎰12π的傅里叶变换式是A. c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=⎰12π ψ. B. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=⎰12πψ. C. c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=-⎰12πψ. D. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=-⎰12πψ. 21.量子力学运动方程的建立,需满足一定的条件:(1)方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数. (2)方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下的导数.(3)方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的. (4) 方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.(5) 方程中不能含有决定体系状态的具体参量. (6) 方程中可以含有决定体系状态的能量. 则方程应满足的条件是 A. (1)、(3)和(6). B. (2)、(3)、(4)和(5). C. (1)、(3)、(4)和(5). D.(2)、(3)、(4)、(5)和(6). 22.两个粒子的薛定谔方程是A.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r t iμ∂∂),,(),,(2121t r r t r r U ψ+B.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r tμ∂∂),,(),,(2121t r r t r r Uψ+C. ∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t μ∂∂),,(),,(2121t r r t r r U ψ+D.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t i μ∂∂),,(),,(2121t r r t r r Uψ+23.几率流密度矢量的表达式为A.J =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B.J i =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C.J i =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D.J =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 24.质量流密度矢量的表达式为A.J =∇ψ-2()**ψψ∇ψ.B.J i =∇ψ-2()**ψψ∇ψ.C. J i =-∇ψ2()**ψ∇ψψ.D.J =-∇ψ2()**ψ∇ψψ.25. 电流密度矢量的表达式为A. J q =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ.B. J iq =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ.C. J iq =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ.D. J q =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ.26.下列哪种论述不是定态的特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.27.在一维无限深势阱U x x ax a(),,=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22224 n a ,B.πμ22228 n a ,C.πμ222216 n a ,D.πμ222232 n a. 28. 在一维无限深势阱U x x a x a(),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222 n a , B.πμ22224 n a , C.πμ22228 n a , D.πμ222216 n a . 29. 在一维无限深势阱U x x b x b (),/,/=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222 n b ,B.πμ2222 n b , C.πμ22224 n b , D.πμ22228 n b . 30. 在一维无限深势阱U x x a x a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子处于基态，其位置几率分布最大处是A.x =0,B.x a =,C.x a =-,D.x a =2.31. 在一维无限深势阱U x x ax a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子处于第一激发态，其位置几率分布最大处是A.x a =±/2,B.x a =±,C.x =0,D.4/a x ±=. 32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的 A.能量是量子化的，而动量是连续变化的. B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 33.线性谐振子的能级为A.(/),(,,,...)n n +=12123 ω.B.(),(,,,....)n n +=1012ω. C.(/),(,,,...)n n +=12012 ω. D.(),(,,,...)n n +=1123 ω. 34.线性谐振子的第一激发态的波函数为ψαα()exp()x N x x =-122122,其位置几率分布最大处为A.x =0.B.x =±μω. C.x =μω. D.x =±μω.35.线性谐振子的A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 36.线性谐振子的能量本征方程是A.[]-+= 222222212μμωψψd dx x E . B.[]--= 22222212μμωψψd dx x E . C.[] 22222212μμωψψd dx x E -=-. D.[] 222222212μμωψψd dx x E +=-. 37.氢原子的能级为A.- 2222e n s μ.B.-μ22222e n s .C.242ne sμ -. D. -μe n s 4222 . 38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为A.r r R nl )(2.B.22)(r r R nl .C.rdr r R nl )(2.D.dr r r R nl 22)(.39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为 A.),(ϕθlm Y . B. 2),(ϕθlm Y . C. Ωd Y lm ),(ϕθ. D. Ωd Y lm 2),(ϕθ.40.波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符 F为厄密算符的定义是 A.ψφτφψτ*** Fd F d =⎰⎰. B.ψφτφψτ**( )F d F d =⎰⎰. C.( ) **F d F d ψφτψφτ=⎰⎰.D. ***F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. 41. F和 G 是厄密算符,则 A. FG必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FGGF ( )+必为厄密算符. D. i FGGF ( )-必为厄密算符. 42.已知算符 x x =和 pi xx =- ∂∂,则 A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C. xp p x x x +必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符.43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为 A.1. B. 2. C. 3. D. 4.44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)A.1212/()/π .B.12/()π .C.1232/()/π .D.122/()π45.角动量Z 分量的归一化本征函数为A.12πϕ exp()im . B. )exp(21r k i ⋅π. C.12πϕexp()im . D. )exp(21r k i⋅π. 46.波函数)exp()(cos )1(),(ϕθϕθim P N Y m l lm m lm -=A. 是 L2的本征函数,不是 L z的本征函数. B. 不是 L 2的本征函数,是 L z 的本征函数. C. 是 L2、 L z的共同本征函数. D. 即不是 L 2的本征函数,也不是 L z的本征函数. 47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为 A. 3. B. 6. C. 9. D. 12. 48.氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为n 2,这种性质是 A. 库仑场特有的. B.中心力场特有的. C.奏力场特有的. D.普遍具有的.50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为W r dr R r dr 323222()=,则其几率分布最大处对应于Bohr 原子模型中的圆轨道半径是 A.a 0. B. 40a . C. 90a . D. 160a .51.设体系处于ψ=--123231102111R Y R Y 状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为A.E E 321434,;,.B.E E 321232,;,-.C.E E 321232,;,. D.E E 323414,;,.52.接51题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为 A.21 , . B. ,1. C.212 ,. D.212 ,.53. 接51题,该体系的角动量Z 分量的取值及相应几率分别为A.01434,;,- .B. 01434,;, .C.01232,;, -. D. 01232,;,-- .54. 接51题,该体系的角动量Z 分量的平均值为A.14 .B. -14 .C. 34 .D. -34 .55. 接51题,该体系的能量的平均值为A.-μe s 4218 .B.-3128842μe s .C.-2925642μe s .D.-177242μe s.56.体系处于ψ=C kx cos 状态,则体系的动量取值为A. k k ,-.B. k .C. - k .D. 12k .57.接上题,体系的动量取值几率分别为A. 1,0.B. 1/2,1/2.C. 1/4,3/4/ .D. 1/3,2/3. 58.接56题, 体系的动量平均值为A.0.B. k .C. - k .D. 12k .59.一振子处于ψψψ=+c c 1133态中,则该振子能量取值分别为A.3252 ωω,.B. 1252 ωω,.C. 3272 ωω,.D. 1252ωω,.60.接上题,该振子的能量取值E E 13,的几率分别为A.2321,c c . B. 232121c c c +,232123c c c +.C.23211c c c +,23213c c c +. D. 31,c c .61.接59题,该振子的能量平均值为 A.ω 232123215321c c c c ++. B. 5 ω.C. 92 ω. D. ω 232123217321c c c c ++. 62.对易关系[ ,()]pf x x 等于(f x ()为x 的任意函数)A.i f x '().B.i f x ().C.-i f x '().D.-i f x ().63. 对易关系[ ,exp()]piy y 等于 A.)exp(iy . B. i iy exp().C.- exp()iy .D.-i iy exp().64.对易关系[, ]x px 等于 A.i . B. -i . C. . D. - .65. 对易关系[, ]L yx 等于 A.i z. B. z . C.-i z . D.- z . 66. 对易关系[, ]L zy 等于 A.-i x. B. i x . C. x . D.- x . 67. 对易关系[, ]L zz 等于 A.i x. B. i y . C. i . D. 0. 68. 对易关系[, ]x py 等于 A. . B. 0. C. i . D. - .69. 对易关系[ , ]pp y z 等于 A.0. B. i x . C. i p x . D. p x . 70. 对易关系[ , ]LL xz等于 A.i L y . B. -i L y . C. L y . D. - L y . 71. 对易关系[ , ]LL zy等于 A.i L x . B. -i L x . C. L x . D. - L x . 72. 对易关系[ , ]LL x2等于 A. L x . B. i L x . C. i L L z y ( )+. D. 0. 73. 对易关系[ , ]LL z2等于 A. L z . B. i L z . C. i L L x y( )+. D. 0. 74. 对易关系[, ]L px y 等于 A.i L z. B. -i L z . C. i p z . D. -i p z . 75. 对易关系[ , ]p L z x等于 A.-i py. B. i p y. C.-i L y . D. i L y. 76. 对易关系[ , ]L p zy 等于 A.-i p x . B. i p x . C. -i L x . D. i L x. 77.对易式[ , ]L x y等于 A.0. B. -i z . C. i z . D. 1. 78. 对易式[ , ]FF m n 等于(m,n 为任意正整数) A. Fm n +. B. F m n -. C. 0. D. F . 79.对易式[ , ]FG 等于 A. FG. B. GF . C. FG GF -. D. FG GF +. 80. .对易式[ ,]Fc 等于(c 为任意常数) A.cF. B. 0. C. c . D. F ˆ. 81.算符 F和 G 的对易关系为[ , ] F G ik =,则 F 、 G 的测不准关系是A.()()∆∆F G k 2224≥. B. ()()∆∆F G k 2224≥. C. ( )( )∆∆F G k 2224≥. D. ( )( )∆∆F G k 2224≥. 82.已知[ , ]xp i x = ,则 x 和 p x 的测不准关系是 A.( )( )∆∆x p x 222≥ . B. ( )( )∆∆x p 2224≥ .C. ( )( )∆∆x p x 222≥ . D. ( )( )∆∆x p x 2224≥ .83. 算符 L x 和 L y 的对易关系为[ , ] L L i L x y z = ,则 L x 、 L y的测不准关系是 A.( )( ) ∆∆L L L x y z 22224≥ .B.( )( ) ∆∆L L L x y 22224≥ . C.( )( ) ∆∆FG L z 22224≥ . D.( )( ) ∆∆FG L 22224≥ . 84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是A.[]-∇+= 2222μψψze rE s.B. []-∇+= 22222μψψze r E s.C.[]-∇-= 2222μψψze rE s.D.[]-∇-= 22222μψψze rE s.85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为A.-μz e n s 22222. B. -μ224222z e n s .C.-μze n s 2222 .D. -μz e ns 24222 .86. 在一维无限深势阱U x x ax x a (),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000中运动的质量μ为的粒子,其状态为ψππ=42aa x a x sin cos ,则在此态中体系能量的可测值为A.22222229,2a a μπμπ , B. πμπμ2222222 a a , ,C.323222222πμπμ a a ,,D.524222222πμπμ a a, . 87.接上题,能量可测值E 1、E 3出现的几率分别为 A.1/4,3/4. B. 3/4,1/4. C.1/2, 1/2. D. 0,1. 88.接86题,能量的平均值为A.52222πμ a ,B.2222πμ a ,C.72222πμ a ,D.5222πμ a. 89.若一算符 F的逆算符存在,则[ , ]F F -1等于 A. 1. B. 0. C. -1. D. 2.90.如果力学量算符 F和 G 满足对易关系[ , ]F G =0, 则 A. F和 G 一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值. B. F和 G 一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.C. F和 G 不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值.D. F和 G 不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.91.一维自由粒子的能量本征值 A. 可取一切实数值. B.只能取不为负的一切实数. C.可取一切实数,但不能等于零. D.只能取不为正的实数.92.对易关系式[ , ()]pp f x x x 2等于 A.-i pf x x '()2. B. i p f x x '()2 . C.-i pf x x ()2. D. i p f x x ()2. 93.定义算符yx L i L L ˆˆˆ±=±, 则[ , ]L L +-等于 A.zLˆ . B.2 L z. C.-2 L z. D.zL ˆ -. 94.接上题, 则[ , ]L L z+等于 A. L +. B. L z . C. -+L . D. - L z . 95. 接93题, 则[ , ]LL z-等于 A. L -. B. L z . C. --L . D. - L z . 96.氢原子的能量本征函数ψθϕθϕnlm nl lm r R r Y (,,)()(,)=A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.B.只是体系能量算符、角动量Z 分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数.C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z 分量算符的本征函数.D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数. 97.体系处于ψ=+c Y c Y 111210态中,则ψA.是体系角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z 分量算符的本征函数.D.即不是体系角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z 分量算符的本征函数.98.对易关系式[ , ]FGH 等于 A.[ , ] [ , ]FH G F G H +. B. [ , ] F H G C. [ , ]FG H . D. [ , ] [ , ]F H G F G H -. 99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是)'e x p (21)('x p ix Pπψ=,它在动量表象中的表示是A.δ(')p p -.B.δ(')p p +.C.δ()p .D.δ(')p .100.力学量算符 x对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是 A.δ(')x x -. B.δ(')x x +. C.δ()x . D.δ(')x . 101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 02/22/2.B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 02/22/2.C.222200//⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.D.222200//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪. 102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 001.B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 010. C. 1000⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. D. 0100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 103. 线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 0//2222b a b b a a .B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++0//02222b a b b a a .C. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 0b a . D. 00a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.104.在( , L L z 2)的共同表象中,波函数φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 的平均值为 A. . B. - . C. 2 . D. 0.105.算符 Q只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n ,则算符 (,)F x i x∂∂在 Q表象中的矩阵元的表示是 A.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰*()(,)() ∂∂. B.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰*()(,)() ∂∂. C.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰()(,)()*∂∂. D.F u x F x i xu x dx mn m n =⎰()(,)()*∂∂. 106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是 A. 以本征值为对角元素的对角方阵. B. 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵. D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符x ˆ在动量表象中的微分形式是 A.-i p x ∂∂. B.i p x∂∂. C.-i p x 2∂∂. D.i p x 2∂∂.108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是A.p p 22222212μμω∂∂+ .B.p p 2222212μμω∂∂-. C.22222212pp ∂∂μωμ -. D.--p p 2222212μμω∂∂. 109.在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110,其本征值是A. ±1.B. 0.C. ±i .D. 1±i . 110.接上题, F 的归一化本征态分别为A.22112211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. B. 1111⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.C.12111211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. D.22102201⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪,.111.幺正矩阵的定义式为A.S S +-=.B.S S +=*.C.S S =-.D.S S *=-. 112.幺正变换A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.113.算符 ()( )/ax i p =+μωμω212 ,则对易关系式[ , ]a a +等于 A. [ , ]aa +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]a a +=-1. D. [ , ]a a i +=.114.非简并定态微扰理论中第n 个能级的表达式是(考虑二级近似) A.E H H E E nnn mn nmm()()()''0200++-∑. B. E H H E E n nn mn nmm()()()'''0200++-∑.C.E H H E E nnn mn m nm()()()'''0200++-∑. D.E H H E E nnn mnmnm()()()''0200++-∑.115. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的一级修正项为 A.H mn '. B.H nn '. C.-H nn '. D.H nm '.116. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的二级修正项为 A.H E E mn nmm'()()200-∑. B. ''()()H EE mnnmm200-∑. C.''()()H EE mnmnm200-∑. D.H EE mnmnm'()()200-∑.117. 非简并定态微扰理论中第n 个波函数一级修正项为A.H E E mn nm m m '()()()000-∑ψ.B. ''()()()H E E mn nm m m 000-∑ψ.C. ''()()()H E E mn mn m m 000-∑ψ.D. H E E mn mn m m '()()()000-∑ψ.118.沿x 方向加一均匀外电场ε,带电为q 且质量为μ的线性谐振子的哈密顿为A. H d dx x q x =-++ 22222212μμωε.B. H d dx x q x =-++ 2222212μμωε.C. H d dx x q x =-+- 2222212μμωε.D. H d dx x q x =-+- 22222212μμωε. 119.非简并定态微扰理论的适用条件是 A.H E E mk km'()()001-<<. B.H E E mk km'()()001+<<.C. H mk '<<1.D. E E k m ()()001-<<.120.转动惯量为I ，电偶极矩为 D 的空间转子处于均匀电场ε中,则该体系的哈密顿为A.ε ⋅+=D IL H 2ˆˆ2. B. ε ⋅+-=D I L H2ˆˆ2. C. ε ⋅-=D IL H 2ˆˆ2. D. ε ⋅--=D I L H 2ˆˆ2. 121.非简并定态微扰理论中,波函数的一级近似公式为A.ψψψn n nm nm m m H E E =+-∑()()()()''0000.B.ψψψn n mn nm m m H E E =+-∑()()()()''0000.C.ψψψn n mn mn m m H E E =+-∑()()()()''0000.D.ψψψn n nm mn m m H E E =+-∑()()()()''0000.122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于n =2的能级由原来的一个能级分裂为 A. 五个子能级. B. 四个子能级. C. 三个子能级. D. 两个子能级.123.一体系在微扰作用下,由初态Φk 跃迁到终态Φm 的几率为A.22' )'exp('1⎰tmk mkdt t i H ω .B. 20 ' )'exp('⎰tmk mkdt t i H ω.C.22')' exp(1⎰t mk mkdt t i Hω .D.2' )'exp(⎰tmk mkdt t i Hω.124.用变分法求量子体系的基态能量的关键是 A. 写出体系的哈密顿. B. 选取合理的尝试波函数.C. 计算体系的哈密顿的平均值.D. 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分. 125.Stern-Gerlach 实验证实了A. 电子具有波动性.B.光具有波动性.C. 原子的能级是分立的.D. 电子具有自旋.126. S 为自旋角动量算符,则[ , ]SS yx等于 A.2i . B. i . C. 0 .D. -i S z . 127. σ为Pauli 算符,则[ , ]σσx z 等于 A.-i y σ. B. i y σ. C.2i y σ. D.-2i y σ.128.单电子的自旋角动量平方算符 S2的本征值为 A.142 . B.342 . C.322 . D.122 .129.单电子的Pauli 算符平方的本征值为 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 130.Pauli 算符的三个分量之积等于 A. 0. B. 1. C. i . D. 2i .131.电子自旋角动量的x 分量算符在 S z表象中矩阵表示为 A. S x =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S i i x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200.C. S x=⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. D. S x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. 132. 电子自旋角动量的y 分量算符在 Sz表象中矩阵表示为 A. S y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S i y=-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. C. S i i i y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. D. S i i y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. 133. 电子自旋角动量的z 分量算符在 Sz表象中矩阵表示为 A. S z=⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. C. S z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. D. S i z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001.134. , J J 12是角动量算符, J J J =+12,则[ ,] J J 212等于A. J 1.B. -J 1. C. 1 . D. 0 .135.接上题, [ ,] J J z 12等于A. i J J x y( )11+. B.i J z 1. C. J z 1. D. 0. 136.接134题, ]ˆ,ˆ[12z J J 等于A. i JJ xy( )11+. B.i J z1. C. J z1. D. 0. 137.一电子处于自旋态χχχ=+-a s b s z z 1212//()()中,则s z 的可测值分别为A.0, .B. 0,- .C. 22,.D.22,-.138.接上题,测得s z 为22,-的几率分别是A.a b ,.B. a b 22,.C.a b 2222/,/. D. a a b b a b 222222/(),/()++. 139.接137题, s z 的平均值为A. 0.B. )(222b a - .C. )22/()(2222b a b a +- . D. .140.在s z 表象中,χ=⎛⎝ ⎫⎭⎪3212//,则在该态中s z 的可测值分别为A. ,-.B. /,2.C. /,/22-.D. ,/-2. 141.接上题,测量s z 的值为 /,/22-的几率分别为A.3212/,/.B.1/2,1/2.C.3/4,1/4.D.1/4, 3/4. 142.接140题,s z 的平均值为A. /2.B. /4.C.- /4.D.- /2. 143.下列有关全同粒子体系论述正确的是A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系.B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系.C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系.D.α粒子和电子组成的体系是全同粒子体系.144.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数 A.是对称的. B.是反对称的. C.具有确定的对称性. D.不具有对称性.145.分别处于p 态和d 态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是A. 0,1,2,3,4.B.1,2,3,4.C. 0,1,2,3.D.1,2,3.(二) 填空题pton 效应证实了 。
量子力学题集
2ma 2V0 ξ 2 +η 2 = h2 此方程有一个解的条件（存在一个束缚态的条件）
2ma 2V0 ⎛ π ⎞ ≥⎜ ⎟ 2 h ⎝2⎠
2
8ma 2V0 ≥1 2 2 π h
3、节点法 节点即波函数的零点，用节点法解题的依据是节点定理： 对于一维束缚态，在基本区域内（不含边界点）基态无节 点，第n个激发态有n个节点。对于多维情况，由于经常存 在对称性，因而可以化为等效的一维问题。该定理的适用范 围非常广，可以用来确定波函数零点、判定量子数、排列能 级顺序、判定能量本征值等。 −α 2 x 2 / 2 （1）今有两个波函数 ψ 1 = Ae 2 −α 2 x 2 / 2 ψ 2 = B ( x + bx + c)e 它们都是能量本征态，试问它们对应的能级哪个高？ 是否相邻能级？ 解：可以直接由S.eq出发求出两个态的能量差
其中u (r )满足方程 2m l (l + 1) ⎤ ′′(r ) + ⎡ 2 ( E − V (r )) − u 2 ⎢h ⎥u (r ) = 0 r ⎦ ⎣ 相当于(0, ∞) 范围内的一维运动,其行为可用径向量子数nr 描述 从波函数 ψ 的形式看，角度方向零点由 Ylm (θ , ϕ ) 提供，径向 零点由 u (r )提供。根据节点定理，对于确定的 l ，径向基态无 节点(nr = 0) ，第 k 个径向激发态 (nr = k ) 有 k 个节点。 对于本问题，l = 0 nr = 2 ，氢原子主量子数为
v v ψ ( r ) ~ cψ ( r ) 描述同一态
波函数常数因子和相位因子不定性 （5）波函数一般应满足三个基本条件:单值 连续 有限 （6）连续方程
∫ψ
2
dτ = 1
v ∂ρ +∇⋅ j = 0 ∂t
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第一章习题１．证明下列算符等式[][][][][][][][][][][][][][][]0,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A BC A C B A C AB CB AC A B BC A C A B A C B A２．设粒子波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 范围内找到粒子的几率．３．在球坐标中，粒子波函数为()ϕϑψ,,r ，试求： １）在球壳(r,r+dr)中找到粒子的几率；２）在()ϕϑ,方向的立体角Ωd 中找到粒子的几率．４．已知力学量F 的本征方程为n n n F ϕλϕ=求在状态波函数332211ϕϕϕψc c c ++=下测力学量F 的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数ψ已归一或不归一的情况）．第二章习题１．一粒子在二维势场⎩⎨⎧∞=,,0),(y x V 其它by a x <<<<0,0中运动，求粒子的能级和波函数．能级是否简并 ２．由哈密顿算符()2232222212222z y x m m H ωωω+++∇-=η所描述的体系，称各向异性谐振子．求其本征态和本征值．３．利用递推关系⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-11212)(n n n n n x dx d ψψαψ 证明()22222)2)(1()12()1(2+-++++--=n n n n n n n n n dx d ψψψαψ并由此证明在n ψ态下2,0nE T P ==第 四 章 习 题１． 证明 )cos sin (cos ϕϑϑi A +=ψ为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。
说明当体系处在此状态时，z L 没有确定值。
２． 对于一转动惯量为I 的平面转子，其能量算符为IL H z 2=，求体系的能量本征态。
如ϕϕψsin )0,(A =，求),(t ϕψ。
３．量子化对称陀螺的哈密顿量可写成()222212121z y x L I L L I H ++=试求该对称陀螺的能量本征值。
４．一质量为m 的粒子被限制在半径为a r = 和b r =的二个不可穿透同心球面之间运动，不存在其它势。
求粒子的基态能量和归一化本征函数。
第 五 章 习 题１． J ϖ为一角动量算符。
试计算x J 、y J 、z J 在{}z J J ,2 的共同本征函数构成的表象中，21=j 的子空间的矩阵表示。
２． 已知体系的哈密顿量H 与另一力学量B 在能量表象中的表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200020001ωηH ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100001010b B0=t 时体系的态矢量为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11221)0(ψ（1） 求在 0=t 及任何时刻体系能量的可能值及几率，和体系的平均能量。
（2） t 时刻的态矢)(t ψ。
（3） 求该体系力学量B 的可能值及几率和B 的平均值。
（4） 0=t 时体系在B 表象中的态矢)0(ψ'。
第 六 章 习 题１． 设氢原子状态是⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=),(23),()(2110211121ϕϑϕϑψY R Y r R (1) 求z L 和z S 的平均值；(2) 求总磁矩S ce L c e M ϖϖϖμμ--=2 的z 分量的平均值（用玻尔磁子表示）．２． 在z S 表象下求解x S 的本征值方程．在x S 的本征矢测量z S 有哪些可能值这些可能值出现的几率及平均值．并求此状态在x S 表象中的表示．３．L ϖ和S ϖ为电子的轨道角动量和自旋角动量，证明[]0,≠⋅S L L ϖϖϖ， []0,≠⋅S L S ϖϖϖ如果定义总角动量S L J ϖϖϖ+=，证明[]0,=⋅S L J ϖϖϖ４．设A ϖ、B ϖ是与σϖ对易的任意矢量算符，证明)())((B A i B A B A ϖϖϖϖϖϖϖϖϖ⨯⋅+⋅=⋅⋅σσσ第 七 章 习 题１． 某物理体系由两个自旋21的非全同粒子组成．已知粒子1处于211=z S 的本征态，粒子2处于212=x S 的本征态，求体系总自旋2S 的可能测量值及相应的概率（取1=η）．２． 一个处于中心势的粒子具有轨道角动量η2=L 和自旋η1=S ．求和形如S L A H so ϖϖ⋅=的自旋－轨道相互作用项相关的能级和简并度，这里A 是个常数．３． 两个自旋21的粒子组成的系统由等效Hamilton 量 ()2121S S B S S A H z z ϖϖ⋅++=描述，其中1S 、2S 是两个粒子的自旋，z S 1、z S 2是它们的z 分量，A 和B 为常数．求该Hamilton 量的所有能级．４． 两个无相互作用的粒子，质量相同为m ，处于一维无限深势阱中，势阱宽为a 2，在阱中势为零，阱外势无穷大． (1) 求系统四个最低能级的值是多少 (2) 求这些能级的简并度，如果这两个粒子 (ⅰ) 是全同粒子，自旋为21； (ⅱ) 不是全同粒子，自旋都为21； (ⅲ) 全同粒子，自旋为1．５． 固定在z 轴上的两个电子间存在一个磁偶极－偶极相互作用能()z z S S S S A H 21213-⋅=ϖϖi i S σϖϖ21=，i σϖ为Pauli 矩阵，A 为常数（令1=η）． (1) 用总自旋算子21S S S ϖϖϖ+=表示A H ． (2) 求A H 的本征值和简并度．6．某个特殊的一维势阱具有下列束缚态单粒子能量本征函数：)(x a ϕ，)(x b ϕ，)(x c ϕ，K ，其中Λc b a E E E <<．两个没有相互作用的粒子置于该势阱中．对下列(1)，(2)，(3)各种情形写下：两粒子体系可能达到的两个最低能级；上述两个能级各自的简并度；与上述能级相应的所有可能的两粒子波函数（用ϕ表示空间部分，S M S ,表示自旋部分，S 是总自旋）． (1) 两个自旋为21的可区分粒子．(2) 两个自旋为21的全同粒子．(3) 两个自旋为0的全同粒子．第 八 章 习 题１． 设一粒子作简谐振动，其哈密顿量2220212x m m p H ω+=，受微扰作用2cx H ='（2ωm c <<）。
试用微扰论求能级移动，并与精确结果比较。
２． 一个二维各向同性谐振子，质量为m ，频率为ω。
在加入微扰xy H λ='（λ为常数）后，求基态和第一激发态的一级能量修正。
３． 设哈密顿量在能量表象中的矩阵表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++a E b b a E )0(2)0(1 其中a 、b 为实数。
求 （1） 用微扰公式求能量至二级修正值。
（2） 直接求能量，并与（1）所得结果比较。
总 复 习 题1. 试简述一力学量为守衡量的条件及守衡量有哪些性质.2. 某一角动量算符满足ϖϖηϖJ J i J ⨯=如果定义： J + = J x + iJ y , J - = J x - iJ y试证明：(1) [,]J J J Z ±±=±η ; (2) [,]J J 20±=3. 已知一厄密算符在正交归一基矢{u u u 123,,张成的三维空间 中取如下矩阵形式101020101⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 求其本征值和本征矢.4. 实际氦原子的基态当然是非简并的。
但是，考虑一假想的氦原子， 其中两个带负电的，自旋为1的全同粒子代替了原来的两个电子。
对这种假想的氦原子，问其基态的简并度是多少给出你的理由（忽略与自旋有关的作用）。
5．试写出一被束缚在半径为a 的圆周上运动的粒子的能量本征方程，并求解之。
6．对于坐标x 构成算符xe ˆ (1) 证明它是厄密算符；(2) 求出它在坐标、动量表象中的表示。
7． 有一在2221x m ω势作用下的一维谐振子，它在某一瞬时的波函数为)(21)(23)(65x x x ψψψ-=式中)(x n ψ为其归一化的本征函数，相应的本征值为ωη⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n E n(1) 求这一时刻的能量平均值； (2) 求这一时刻的位置平均值；(3) 过了一秒钟后，能量平均值和位置平均值是否发生变化为什么8．有一三电子系统，电子有三种可能的轨道态A ϕ，B ϕ，C ϕ和两种自旋态+χ，-χ。
则系统的反对称波函数的数目是多少并举出两个具体例子。
9．已知体系的哈密顿算符在某表象中的矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=εεεεε2002002H (1) 求体系能量本征值及归一化本征矢；(2) 求将H 对角化的幺正变换矩阵。
10．在z s 表象中，求在z s 的相应于本征值为2η+的本征态中，x s 的可能值及相应的几率。
如果在x s 表象中求解上述问题，会得到什么结果11．试证明守恒量的平均测量值不随时间变化。
12．在轨道角动量算符2L 和z L 的共同本征态),(ϕϑlm Y 下，计算下列期望值：(1) x L 和y L ； (2) 2x L 和2y L ； (3) 2x L ∆和2y L ∆。
13．自旋0=s 的三个全同粒子处在某有心力场中，忽略粒子之间的相互作用。
三个粒子所处单粒子定态的量子数r n 和l 均相同，且1=l 。
求体系的可能的状态数，并且用简练的形式（如Dirac 符号）表示之。
14．设哈密顿量在能量(0H )表象中的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a E b bE 21 其中a 、b 为小量。
(1) 用微扰法求能级至二级修正值；(2) 求准确的能级值，与(1)的结果进行比较确定微扰法的准确度及适用条件。
15．考虑一个具有三维态空间的物理体系。
在态空间选定一组正交归一基，在这组基下，哈密顿量可用矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300021012H表示。
(1) 当测量系统的能量时，可能的结果是什么(2) 一个粒子处于ψ，用这组基表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-i i i 31，求H 、2H 和H ∆。
16. 考虑两个粒子体系，每个粒子都有自己的角动量1L ϖ和2L ϖ。
证明21L L L ϖϖϖ+=是一个角动量算符，即满足对易关系L i L L ϖηϖϖ=⨯。