金属球和无限大导体平板系统的电容的高精度计算

金属球和无限大导体平板系统 的电容的高精度计算
2004级 杨秋 指导教师 胡先权
一.概要
采用镜象法通过在金属球的中心处配置 电荷q,然后求出对应的无穷镜像电荷系列,在 其中引入叠加系数Cn,2c.这样可以精确的确 定镜像电荷系列中任意电荷得位置和电量,从 而精确的计算系统的电容.
二.镜像电荷系列的配置
根据镜像法我们可以到:
q2
R 2D
q1
kq1
k2 q3 1 k 2 q1
L2
R2 2D
kR
kR L3 1 k 2
qn
2D
R Ln1
qn1
(1L) n
R2 2D Ln1
(2)
从(1)和(2)公式可以计算出任意镜像电荷的电量和
位置。
三.分析
对于距离Ln可以算出 L1 L2 L3 L4 L5
q2
L2 M
L3
D
规律：加在金属球的镜像电荷是+qn-1的时候， 该电荷打破导体板上各点电势相等的条件， 则在导体板右边对称点放进电量相等，电性 相反的镜像电荷-qn-1.而-qn-1又打破了金属 球表面电势相等的条件，从而在金属球内放 进镜像电荷+qn.这样不断重复下去.
先设定参数
k R 2D
它和R于k的关系,列出
部分在表格A中.
0
可以看出分式Ln-1中
的分母变成分式Ln中
kR
kR (1 k2)kR (1 2k2)kR
1 k 2 1 2k2 1 3k 2 k 4
分子的一部分了，因
此可以定义数列来标
表A
记Ln和qn的分母，记
为bn.
可以看出数列{bn}无论n是偶数还是奇数都只包含了 k的偶次幂多项式,于是就定义数列中k的各幂次项前 面为一个叠加系数Cn,2c.
6
k8
.....)
可以看出电容的大小与金属球半径R有关，也与
金属球球心与无限大导体板的距离D或者参数k有
关。只要给定R和距离D或者参数k就可以计算求
得系统的电容至任意精度。
结束
感谢各位老师的聆听. 谢谢胡先权老师在这期间的耐心帮助.
根据数学工具计算出叠加系数的数值,带进金属球电
量的表达式中得到:
q
q1 (1
k
k2 1 k2
k3 1 2k 2
k4
1 3k 2
k4
k5
1 4k 2 3k 4
1 5k 2
k6 6k 4
k6
1 6k 2
k7 10k 4
4k 6
1 7k2
k8 15k 4
10k 6
k8
.....)
而金属球电势仅仅取决于+q1,所以金属球电势:
U q1
4 R
由公式C=q/U 可以得到金属球和无限大导体平板 系统的电容的表达式:
C 4 R(1 k k2 k3 k4 k5
k6
1 k2 1 2k2 1 3k2 k4 1 4k2 3k4 1 5k2 6k4 k6
1
6k
2wenku.baidu.com
k7 10k
4
4k
6
1
7k
2
k8 15k 4
10k
首先我们先设定一个半径为R的金属球和 一个无限大的接地的导体平板.球心和板的距 离为D.在金属球球心处放置一个电荷+q1.由 于它的影响,金属球和无限大导体平板的表面 各点电势要势是相等的,所以以后放进去的镜 像电荷的大小和位置要符合这个要求.
R q1 q2 q3
O
L2 L3
D
R -q3 -q2 -q1