学而思八年级数学之因式分解拓展(四)
中考数学八年级下册北师大版 第四章 因式分解 B素养拓展区
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一、选择题
1.[2020重庆南岸区期末]把2ax2+4ax进行因式分解,提取的公因式是 ( )
A.2a
B.2x
C.ax
D.2ax
答案
1.D
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2.下列因式分解正确的是 ( ) A.-2a2+4a=-2a(a+2) B.3ax2-6axy+3ay2=3a(x-y)2 C.2x2+3x3+x=x(2x+3x2) D.x2+2xy-y2=(x-y)2
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4.当n为自然数时,(n+1)2-(n-3)2一定能 ( ) A.被5整除 B.被6整除 C.被7整除 D.被8整除
答案
4.D 【解析】 (n+1)2-(n-3)2=(n+1+n-3)(n+1-n+3)=4(2n-2)=8(n-1),∴一定能被8整除.故选D.
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2.观察下列各式的变形过程:
x2+5x+6=(x+2)(x+3),其中2+3=5,2×3=6;
x2+7x+12=(x+3)(x+4),其中3+4=7,3×4=12;
x2-4x+3=(x-1)(x-3),其中(-1)+(-3)=-4,(-1)×(-3)=3;
⋯⋯
请用你发现的规律因式分解:
5.有若干张面积分别为a2,b2,ab的正方形和长方形纸片,小明从中抽取了1张面积为b2的正方形纸片、6张面积为ab的
014(学而思)因式分解
因式分解一、因式分解的意义二、提公因式法分解因式 三、公式法1. 平方差公式2. 完全平方公式3. 实数范围内因式分解4.提公因式与完全平方公式结合四、分组分解法 五、十字相乘法 六、换元法七、其他高端方法 八、因式分解应用一、 因式分解的意义1. 【易】（2010年海淀初二上期末）下列各式中不能因式分解的是（ ）A ．224x x −B ．229x y +C ．269x x −+D ．21c −【答案】B2. 【易】（2012呼和浩特）下列各因式分解正确的是（ ）A ．()()()22222x x x −+−=+− B ．()22212x x x +−=−C ．()2244121x x x −+=−D ．()()24222x x x x −=+−【答案】C3. 【易】（2012·湖北省恩施市）43269a b a b a b −+分解因式的正确结果是（ ）A ．()2269a b a a −+B ．()()233a b a a +−C ．()223b a −D ．()223a b a −【答案】D4. 【易】（2012安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（ ）A ．2m n +B ．21m m −+C ．2m n −D ．221m m −+ 【答案】D5. 【易】（北师大附属实验中学2009第一学期初二年级数学期中练习）下列分解因式正确的是（ ）A ．()2221x xy x x x y −−=−−B ．()22323xy xy y y xy x −+−=−−−C ．()()()2x x y y x y x y −−−=−D ．()2313x x x x −−=−−【答案】C6. 【易】（2011深圳外国语分校初二下期中）下列因式分解正确的是（ ）A ．()()()22224444422a b a b a b a b −+=−−=−+− B ．()3231234m m m m −=−C ．()422224127437x y x y x y x y −+=−+D ．()()2492323m m m −=+−【答案】D7. 【易】（2011南山荔林中学初二下期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．()()2339a a a +−=−B ．()2515x x x x +−=+−C ．211x x x x +=+D ．()22442x x x ++=+【答案】D8. 【易】（2011南山外国语初二下期中）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）A ．()24444x x x x −+=−+B ．()251052x x x x −=−C ．()a x y ax ay +=+D ．()()2163443x x x x x −+=+−+【答案】B9. 【易】（深圳中学初二下期末）下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是（ ）A ．()()24416x x x −+=−B ．()()2222x y x y x y −+=+−+C ．()222ab ac a b c +=+D ．()()()()1221x x x x −−=−−【答案】C10. 【易】（天津耀华中学2009-2010学年度第一学期形成性检测初二数学）下列等式的变形是因式分解的是（ ）A ．21234a b a ab =−B ．()()2224x x x +−=−C ．()2481421x x x x −−=−−D ．()111222ax ay a x y −=−【答案】D11. 【易】（2012年安徽省初中毕业学业考试数学）下面的多项式中，能因式分解的是（ ）A ．2m n +B ．21m m −+C ．2m n −D ．221m m −+ 【答案】D12. 【易】（2010南京六中期中考试）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．296(3)(3)6x x x x x −+=+−+B ．()()252310x x x x +−=+−C ．()228164x x x −+=−D ．()()232262x y x y x x +−=+−【答案】C13. 【易】（北京二中期中）下列多项式中，含有因式(1)y +的多项式是（ ）A ．2223y xy x −−B ．22(1)(1)y y +−−C ．22(1)(1)y y +−−D ．2(1)2(1)1y y ++++【答案】C14. 【易】（1）多项式3222236312x y x y x y −+的公因式是（ ）（2）多项式3222236312x y x y x y −−+的公因式是（ ） 【答案】（1）223x y （2）223x y −15. 【易】（2011福田外国语初二下）观察下列各式：①2a b +和a b +；②()5m a b −和a b −+；③()3a b +和a b −−；④22x y −和22x y +，其中有公因式的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【答案】B二、 提公因式法分解因式16. 【易】（2011年广东省湛江市中考数学真题试卷）分解因式：23_______________x x +=． 【答案】()3x x +17. 【易】（2011年松江区初中毕业生学业模拟考试）因式分解：24x xy += ．【答案】()4x x y +18. 【易】（北师大附属实验中学2009第一学期初二年级数学期中练习）因式分解：224x x −=__________．【答案】()212x x −19. 【易】（2012湖南湘潭）因式分解：2m mn −= ．【答案】()m m n −20. 【易】（2011初二下期中联考）因式分解()()3a x y x y −−−【答案】()()31x y a −−21. 【易】（2010上海黄浦期中）分解因式：22226482x y x y xy xy −++【答案】()23241xy xy x y −++22. 【易】分解因式()()()222m x y n y x x y −−−=−（______）．【答案】m n +23. 【易】因式分解222(2)6(2)x x y x y x −−−【答案】4(2)(2)x x y x y −−24. 【易】（2010年北京师大附中期末）因式分解：()()()()a b x y b a x y −−−−+；【答案】2()x a b −25. 【易】分解因式：()()233x x +−+【答案】()()23x x ++26. 【易】因式分解3222462x x y x y −−+【答案】()22223x x y y −+−27. 【易】（2012浙江省温州市）把24a a −多项式分解因式，结果正确的是（ ）A ．()4a a −B ．()()22a a +−C ．()()22a a a +−D ．()224a −−【答案】A28. 【易】（天津耀华嘉诚2010年度第一学期形成性检测初二数学）在分解因式()()22353223x a b b a −−+−时，提出公因式()232a b −−后，另一个因式是（ ）A ．35xB ．351x +C ．351x −D ．35x − 【答案】C29. 【易】因式分解⑴232a b ab ab −+ ⑵()()22m a n a −+−【答案】⑴()23221a b ab ab ab ab b −+=−+⑵()()()()222m a n a a m n −+−=−−30. 【易】分解因式（1）2211435xy xz x −+（2）()()22222a x a a a x −−−（3）()()23152252b a b b a −+−【答案】（1）()7325x y z x −+ （2）()()221a x a a −− （3）()()210245a b b a −−31. 【中】⑴23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b −−−+−⑵346()12()m n n m −+−【答案】⑴原式22323224()(652)x y z a b yz x x y z =−−+⑵原式[]34336()12()6()12()6()(122)m n m n m n m n m n m n =−+−=−+−=−+−32. 【中】分解因式：⑴55()()m m n n n m −+−⑵()()()2a ab a b a a b +−−+【答案】⑴555556()()()()()()()m m n n n m m m n n m n m n m n m n −+−=−−−=−−=−⑵()()()2a ab a b a a b +−−+()()()()()()22a a b a b a b a a b b ab a b =+−−+=+−=−+33. 【中】分解因式：⑴2316()56()m m n n m −+− ⑵(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +−−+− 【答案】⑴原式[]232216()56()8()27()8()(75)m n m n m n m m n m n m n m =−+−=−+−=−−⑵原式(23)(2)(32)(2)(2)(55)5(2)()a b a b a b a b a b a b a b a b =+−++−=−+=−+34. 【中】化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++⋯【答案】()()()20051111x x x x x x =+++++++⋯ ()()()()200411111x x x x x x x =++++++++⋯…()()2005111x x x x =++++ ()20071x =+35. 【中】分解因式：⑴()()2121510n na ab ab b a +−−−(n 为正整数)⑵212146n m n m a b a b ++−−(m 、n 为大于1的自然数)【答案】（1）原式=()()()()()()212221510532535n n n na ab ab a b a a b a b b a a b a b +−−−=−−−=−− ⑵(21)(2)10n n n +−+=−>，(21)(2)n n +>+，2121211462(23)n m n m n m n a b a b a b a b ++−+−−−=−36. 【中】分解因式： 2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +−−−−+−−，n 为正整数.【答案】n 是正整数时，2n 是偶数，22()()n n x y y x −=−；21n +是奇数，2121()()n n x y y x ++−=−−.2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +−−−−+−−[]2()()()2()n x y x y x z y z =−−−−+−2()()n x y y z =−−.三、 公式法1. 平方差公式37. 【易】（西城2012年初三一模)因式分解的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A()219x −−()()24x x +−()()81x x ++()()24x x −+()()108x x −+38. 【易】（2012年福建福州质量检查）（2012双柏县学业水平模拟考试）分解因式：29x − = ．【答案】()()33x x +−39. 【易】（2012荆门东宝区模拟） 分解因式21a −＝_________．【答案】()()11a a +−40. 【易】(2012年福州模拟卷)分解因式：x 2－9＝_____________．【答案】(x ＋3)(x －3)41. 【易】马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式：()()()4242a a a a −++−■=▲中的两个数字盖住了，那么式子中的■、▲处对应的两个数字分别是（ ） A ．64，8 B ．24，3 C ．16，2 D ．8，1 【答案】C42. 【易】（北京二中期中）下列多项式, 在有理数范围内不能用平方差公式分解的是（ ）A ．22x y −+B ．()224a a b −+C ．228a b −D ．221x y −【答案】C43. 【易】（2011长沙中考）分解因式：22a b −=____________【答案】()()a b a b +−44. 【易】（2011湖南怀化中考）因式分解：29a −=_________【答案】(3)(3)a a +−45. 【易】（2011湘潭市中考）因式分解：21x −＝_____________【答案】()()11x x +−46. 【易】（2012福州）分解因式：216x −=【答案】()()44x x +−47. 【易】（福州市中考）分解因式:225x −= ．【答案】(5)(5)x x −+48. 【易】（2011湖北咸宁市中考）分解因式：24m −= ．【答案】(2)(2)m m +−49. 【易】（2011年四川省广安市中考数学试卷）因式分解：281x −=___________【答案】(9)(9)x x +−50. 【易】（2012北海）因式分解：22m n −+=___________【答案】()()m n n m +−51. 【易】（2012湖北随州）分解因式：249x −=______________________。
学而思八年级数学下1-14讲
第一讲不等式基本性质第二讲不等式应用题第三讲不等式与一次函数应用第四讲不等式专题第五讲分解因式专题第六讲因式分解专题1第七讲因式分解(完全平方) 第八讲因式分解(十字相乘法) 第九讲分式的基本性质第十讲分式的运算第十一讲分式(计算)专题第十二讲分式方程应用题第十三讲期中考试计算专题第十四讲期中考试应用专题第一讲 不等式基本性质【知识要点:】1．不等式基本性质：①．不等式两边都_________同一个整式，不等号的方向__________。
若a ＞b, 则 a+c______b+c ；若a ＞b, 则 a-c______b-c 。
②．不等式两边都_________同一个正数，不等号的方向__________。
若a ＞b 且c ＞0,则ac________bc ； 若a ＞b 且c ＞0,则____________。
③．不等式两边都____________同一个负数，不等号方向____________。
若a ＞b 且c ＜0则ac_________bc ； 若a ＞b 且c ＜0，则___________。
2. 不等式常用结论性质：①．不等式的互逆性: 若a ＞b, 则b ＜a ；②．不等式的传递性: 若a ＞b, b ＞c ，则a ＞c ；③．不等式的同号合并性: 若 ,a b c d >>，则a c b d +>+；若,a b c d <<，则a c b d +<+。
3.不等式解集的表示方法与取值（若已知a<b ）。
（1）⎩⎨⎧〉〉b x ax 的解集为x ＞b 同大取大（2）⎩⎨⎧〈〈b x ax 的解集为x ＜a 同小取小（3）⎩⎨⎧〈〉b x ax 的解集为a ＜x ＜b 大小小大取中间（4）⎩⎨⎧〉〈b x a x 无解。
大大小小解不见【经典例题：】例1.用不等号填空题：（1）.若a b >，则12a - 12b -，21a + 21b +；（2）.若0,0,0x y z <><，则()x y z - 0；（3）.若a b >，则43a -+ 43b -+； （4）.若362x ->，则x －4；（5）.若,0a b c >>，则ac c + bc c +。
北师版数学八年级下册 专题4 因式分解
北师版数学八年级下册 专题4 因式分解因式分解的相关概念1．(2019·陕西西安期末)下面四个式子①2a 2y ＝2a 2·y ；②x 4＋3x 2＋1＝x 2(x 2＋3)＋1；③3mn 2－6m 2n ＝3mn (n －2m )；④ab －ac ＋a ＝a (b －c )．从左到右不是因式分解的有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．(2018·安徽亳州期末)若多项式x 2＋ax ＋b 因式分解的结果为(x ＋1)(x －2)，则a ＋b 的值为__－3__．3．若42x 2－31x ＋2能分解成两个因式的乘积，且有一个因式为6x －4，设另一个因式为mx －n ，其中m ，n 为常数，请你求m ，n 的值．解：根据题意，得42x 2－31x ＋2＝(6x －4)(mx －n )＝6mx 2－(4m ＋6n )x ＋4n ，则⎩⎨⎧6m ＝42，4n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝7，n ＝0.5. 因式分解的方法4．(2019·四川泸州中考)把2a 2－8因式分解，结果正确的是( C )A ．2(a 2－4)B ．2(a －2)2C ．2(a ＋2)(a －2)D ．2(a ＋2)25．(2019·山东潍坊中考)下列因式分解正确的是( D )A ．3ax 2－6ax ＝3(ax 2－2ax )B ．－x 2＋y 2＝(－x ＋y )(－x －y )C ．a 2＋2ab －4b 2＝(a ＋2b )2D ．－ax 2＋2ax －a ＝－a (x －1)26．(2019·湖南郴州期末)如果二次三项式x 2＋ax ＋2可分解为(x －1)(x ＋b )，则a ＋b 的值为( B )A ．－2B ．－5C ．3D ．57．对于非零的两个实数a ，b ，规定a @b ＝a 3－ab ，那么将a @16结果再进行因式分解，则为( B )A．a(a＋2)(a－2) B．a(a＋4)(a－4)C．(a＋4)(a－4) D．a(a2＋4)8．(2019·吉林长春中考)因式分解：ab＋2b＝__b(a＋2)__．9．(2019·广东深圳中考)因式分解：ab2－a＝__a(b＋1)(b－1)__．10．(2019·贵州毕节中考)因式分解：x4－16＝__(x2＋4)(x＋2)(x－2)__．11．(2019·内蒙古赤峰中考)因式分解：x3－2x2y＋xy2＝__x(x－y)2__．12．因式分解：14x n＋2－28x n＋1＋14x n＝__14x n(x－1)2__．13．(2019·江苏扬州广陵区期中)因式分解：(1)2x2－4xy＋2x；(2)3ax2＋6axy＋3ay2；(3)a2(x－y)＋9b2(y－x)；(4)(x2－5)2＋8(x2－5)＋16.解：(1)2x2－4xy＋2x＝2x(x－2y＋1)．(2)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2.(3)a2(x－y)＋9b2(y－x)＝(x－y)(a2－9b2)＝(x－y)(a＋3b)(a－3b)．(4)(x2－5)2＋8(x2－5)＋16＝(x2－5＋4)2＝(x2－1)2＝(x＋1)2(x－1)2.利用因式分解求值14．(2018·河南驻马店期中)(－2)100＋(－2)101的结果是(B)A．2100B．－2100C．－2D．215．(2019·浙江绍兴期末)已知a＝2 019x＋2 018，b＝2 019x＋2 019，c＝2 019x＋2 020，则代数式a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值为(D)A．0 B．1C．2 D．316．(2019·辽宁丹东期末)若实数a，b满足a＋b＝5，a2b＋ab2＝－10，则ab的值是－2__．17．(2019·江苏常熟期末)若x＋y＝2，x－y＝1，则代数式(x＋1)2－y2的值为__6__．18．已知m＋n＝6，m－n＝－4，则代数式(m2＋n2－25)2－4m2n2的值是__－99__．19．(2019·广西玉林兴业期末)已知6x－3y－1＝0，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．解：∵6x－3y－1＝0，xy＝2，∴2x－y＝13，∴当2x－y＝13，xy＝2时，原式＝(xy)3·(2x－y)＝23×13＝83.20．(2019·黑龙江大庆三模)若3x2－x＝1，求代数式6x3＋7x2－5x＋2 019的值．解：由3x2－x＝1，得3x2＝x＋1，∴6x3＋7x2－5x＋2 019＝2x(3x2)＋7x2－5x＋2 019＝2x(x＋1)＋7x2－5x＋2 019＝9x2－3x＋2 019＝3(3x2－x)＋2 019＝3＋2 019＝2 022.因式分解的应用21．(2019·广东深圳实验学校期末)长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b＋ab2的值为(C)A．15 B．16C．30 D．6022．(2019·湖南娄底新化期末)已知a为任意整数，且(a＋7)2－a2的值总可以被n(n为自然数，且n≠1)整除，则n的值为(B)A．14 B．7C．7或14 D．7的倍数23．(2019·重庆八中期中)利用因式分解计算：(1)2 0202－2 022×2 018；(2)2.132＋2.13×5.74＋2.872.解：(1)2 0202－2 022×2 018＝2 0202－(2 020＋2)(2 020－2)＝2 0202－(2 0202－22)＝22＝4.(2)2.132＋2.13×5.74＋2.872＝2.132＋2×2.13×2.87＋2.872＝(2.13＋2.87)2＝52＝25. 24．(2019·北京平谷区期末)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52，因此，8，16，24这三个数都是“和谐数”．(1)在32，75，80这三个数中，是和谐数的是__32，80__．(2)若200为和谐数，即200可以写成两个连续奇数的平方差，则这两个连续奇数的和为__100__；(3)小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为2n－1和2n＋1(其中n取正整数)，请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否正确．解：(1)∵32＝92－72，75≠212－192，80＝212－192，故和谐数是32，80，故答案为32，80.(2)设这两个连续的奇数分别为x，x＋2，则(x＋2)2－x2＝200，解得x＋2＋x＝100，∴这两个连续奇数的和为100.故答案为100.(3)正确．证明如下：∵(2n＋1)2－(2n－1)2＝4n2＋4n＋1－(4n2－4n＋1)＝4n2＋4n＋1－4n2＋4n－1＝8n，∴“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的．25．(2019·陕西汉中期末)问题背景：对于形如x2－120x＋3 600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成(x－60)2，对于二次三项式x2－120x＋3 456，就不能直接用完全平方公式因式分解了．此时常采用将x2－120x加上一项602，使它与x2－120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：x2－120x＋3 456＝x2－2×60x＋602－602＋3 456＝(x－60)2－144＝(x－60)2－122＝(x－60＋12)(x－60－12)＝(x－48)(x－72)．问题解决：(1)请你按照上面的方法因式分解：x2－140x＋4 756；(2)已知一个长方形的面积为a2＋8ab＋12b2，宽为a＋2b，求这个长方形的长．解：(1)x2－140x＋4 756＝x2－2×70x＋702－702＋4 756＝(x－70)2－144＝(x－70)2－122＝(x－70＋12)(x－70－12)＝(x－58)(x－82)．(2)∵一个长方形的面积为a2＋8ab＋12b2，宽为a＋2b，且a2＋8ab＋12b2＝a2＋8ab＋(4b)2－(4b)2＋12b2＝(a＋4b)2－4b2＝(a＋4b－2b)(a＋4b＋2b)＝(a＋2b)(a＋6b)，∴这个长方形的长是(a2＋8ab＋12b2)÷(a＋2b)＝a＋6b，即这个长方形的长是a＋6b.26．(2019·江苏无锡期末)先阅读下面的内容，再解答问题．【阅读】例题：求多项式m2＋2mn＋2n2－6n＋13的最小值．解：m2＋2mn＋2n2－6n＋13＝(m2＋2mn＋n2)＋(n2－6n＋9)＋4＝(m＋n)2＋(n－3)2＋4.∵(m＋n)2≥0，(n－3)2≥0，∴多项式m2＋2mn＋2n2－6n＋13的最小值是4.【解答问题】(1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是__完全平方公式__；(2)已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2＋b2＝10a＋8b－41，求第三边c的取值范围；(3)求多项式－2x2＋4xy－3y2－6y＋7的最大值．解：(1)完全平方公式．(2)∵a2＋b2＝10a＋8b－41，∴a2－10a＋25＋b2－8b＋16＝0，∴(a－5)2＋(b－4)2＝0.∵(a－5)2≥0，(b－4)2≥0，∴a＝5，b＝4，∴1＜c＜9.(3)原式＝－2x2＋4xy－2y2－y2－6y－9＋16＝－2(x－y)2－(y＋3)2＋16.∵－2(x－y)2≤0，－(y＋3)2≤0，∴多项式－2x2＋4xy－3y2－6y＋7 的最大值是 16.。
学而思八年级数学之因式分解拓展(四)
轮换式： 关于x、y、z的多项式x＋y＋z，x2＋y2＋z2， xy＋yz＋zx，x3＋y3＋z3，x2y＋y2z＋z2x，xy2 ＋yz2＋zx2， xyz，…在将字母x、y、z轮换 (即将x换成y，y换成z，z换成x)时，保持不变。 这样的多项式称为x、y、z的轮换式。
1
显然，关于x、y、z的对称式一定是x、y、z 的轮换式。但是，关于x、y、z的轮换式不一 定是对称式。
待定系数法， 对称式与轮换对称式
【例1】(太原市初中数学竞赛) 关于x，y的二次式x2＋7xy＋my2－5x＋ 43y－24可分解为两个一次因式的乘积， 则m的值是____。
【例2】设px3＋mx2＋nx＋r是x的一次式的完全 立方式，求证3mr＝n2。
【例3】用待定系数法分解因式： x5＋x＋1
对称式：
x、y多项式x＋y，xy，x2＋y2，x3＋y3，x2y＋ xy2，…在字母x与y互换时，保持不变。这样 的多项式称为x、y的对称式。 类似的，关于x、y、z的多项式x＋y＋z，x2＋ y2＋z2，xy＋yz＋zx，x3＋y3＋z3，x2y＋x2z＋ y2z＋y2x＋z2x＋z2y，xyz，…在字母x、y、z中 任意两字互换时，保持不变，这样的多项式 称为x、y、z的对称式。
例如，x2y＋y2z＋z2x就不是对称式。 次数低于3的轮换式同时也是对称式。
【例4】分解因式： a3(b－c)＋b3(c－a)＋c3(a－b)
【例5】分解因式： (y－z)5＋(z－x)5＋(
北师大版八年级数学下册第四章因式分解章末复习课件(共42张)
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是 正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四 因式分解的应用
【要点指点】 因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方 面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用 因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究 能力得到提高．
八年级下册数学第四章因式分解教案
八年级下册数学第四章因式分解§1、因式分解一、因式分解的概念1、 下列有左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？为什么？(1)ab+ac+d=a(b+c)+d (2)a 2-1=(a-1)(a+1) (3)(a+1)(a-1)=a 2-1（4）（x+2y ）（x-2y ）=x 2-4y 2 （5） x 2y-xy 2-1=xy （x-y ）-1 （6） a 2-4ab+4b 2=（a-2b ）2 （7）ax+ay+a=a （x+y ）（8）（9）（10） （11）（12）a （x ＋y ）＝ax ＋ay （13） X 2－4x ＋4＝x （x －4）＋4 （14）10x 2－5x ＝5x （2x －1） （15）X 2－16＋3x ＝（x ＋4）（x －4）＋3x（16）、mx+nx+k=（m+n ）x +k ； （17）14x 2y 3=2x 2•7y 3； （18）（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2； （19）4x 2-12xy+9y 2=（2x-3y ）2 二、因式分解与整式乘法的关系1、根据乘法运算的算式，把下列多项式因式分解(1) 36–25x 2; (2) 16a 2–9b 2; 1.36-x 2 （3）a 2- b 2 （4）x 2-16y 2 （5）x 2y 2-z 2（6） 9(a+b)2–4(a –b)2. （7）(x -2)2-9 (8)(x +a )2-(y -b )2(10)814-a ；(9)-25(a +b )2+4(a -b ) (11)xy xy 09.0413+-；(12)()()a y a x -+-1122； （13）22212y x -. 2、根据乘法运算的算式，把下列多项式分解因式．分解因式：（1）15a 2－25a b 2＝________； （2）4x 6－1＝________；（3）2x 2＋x y －y 2＝________； （4）9m 2＋6m n ＋n 2＝________． 三、因式分解与整式乘法关系的应用1、若ax+A 能分解为a （x-2y+3）,则A=2、若x^2+ax+a -3因式分解结果为(x+b)(x -1),分别求a 、b 的值3、如果x m -1因式分解的结果是（x 2+1）(x+1)(x -1)，则m 的值为4、如果多项式x 的平方+ax+b(a,b 都是常数)因式分解的结果是(x -1)(x+3) 那么ab=5、若x 2+5x+c 因式分解的结果为（x+b ）(x+3),则b= ,c=6、把x 2+5x+c 分解因式，得（x+2）（x+3），则c 的值=______．7．如果把多项式x 2—8x+m 分解因式得（x —10）（x+n ）,那么m=_________,n=_________． 8．若4a 2+kab+9b 2可以因式分解为（2a —3b ）2,则k 的值为_________． 9．若x —1是x 2—5x+c 的一个因式,则c=_________．10．将关于x 的二次式2x 2+4x+k 分解因式,若有一因式为（x+3）,则实数k=________． 11．9x 3y 2+12x 2y 2—6xy 3中各项的公因式是_________．12因式分解：（x+y ）2—3（x+y ）=_________．13将x+x 3—x 2分解因式的结果是_________． 四、利用因式分解解决整除问题 1、试探究817-279-913能否被45整除 6、利用因式分解说明:36^7-6^12能被140整除2、993-99能被100整除吗？能被99整除吗？3、当n 为整数时，证明：两个连续奇数的平方差（2n+1）2-（2n-1）2是8的倍数；4、证明：若a 为整数，（2a+1）2-1能被8整除。
八级数学下册4因式分解4.1因式分解课件新版北师大版_27
初中数学
1.整式乘法与因式分解的区别与联系:
区别
左边
因式分解 整式乘法 多项式 整式乘积
右边
整式乘积 多项式
联系
因式分解和整式乘法是 两种 互逆 的恒等变形
多项式 分解的结果要用____ 积 的形式表示. 2.因式分解的对象是_______,
初中数学
第四章 因式分解
4.1 因式分解
初中数学
1.知道什么是因式分解,知道它与整式乘法的互逆关系.
2.感受因式分解在解决相关问题中的作用.
初中数学
我们知道,2×3×5=30,这是数的乘法,30=2×3×5,这 是将数30质因数分解;那么一个多项式是否也能化成几个整 式的乘积的形式呢?比如:多项式 a2-b2 可写成哪几个整式的 乘积的形式呢?
初中数学
(3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示,如图c, 它表示了2m2+3mn+n2=(2m+n)(m+n),试画出一个几何图形的 面积是a2+4ab+3b2,并能利用这个图形将a2+4ab+3b2进行因式 分解.
初中数学
解:(3)a2+4ab+3b2=(a+b)(a+3b). 几何图形如下:
初中数学
1.请完成课本第93页“做一做”,并小组讨论:因式分解与 整式乘法有什么关系? 它们是互逆运算. 2.图a是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀 把它平均分成四块小长方形,然后按图b的形状,拼成一个 正方形. (1)图b中阴影部分的面积为 (m+n)2-4mn或(m-n)2 ; (2)观察图b,请你写出三个代数式(m+n)2,(m-n)2,mn之间 的等量关系: (m+n)2=(m-n)2+4mn ;
2020版八年级数学下册第四章因式分解4.2提公因式法课件(新版)北师大版
【我要做学霸】 确定多项式中各项的公因式,可概括为三“定”:①定 系数,即确定各项系数的___最__大__公__约__数____;②定字母, 即确定各项的___相__同__字__母____因式(或相同多项式因式); ③定指数,即确定各项___相__同__字__母____因式(或相同多项 式因式)的指数的最___低____次幂.
结论:提公因式法 如果一个多项式的各项含有_公__因__式__, 那么就可以把这个_公__因__式__提出来,从而将多项式化成 _两__个__因__式__乘__积__的形式,这种因式分解的方法叫做提公因 式法.
【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧! 1.找出下列各整式的公因式: (1)4kx,8ky. (2)5y3,20y2.
解:原式=x2(b+c-d)+4x(b+c-d)+4(b+c-d) =(b+c-d)(x2+4x+4) =(b+c-d)(x+2)2.
【变式二】(变换条件和问法) (1)因式分解:(x-y)(3x-y)+2x(3x-y). (2)设y=kx,是否存在实数k,使得(1)式的化简结果为x2? 求出所有满足条件的k的值.若不能,请说明理由.
D.a+b
★3.(2019·汶上期中)如图,长、宽分别为a,b的长方 形的周长为14,面积为10,则a3b+ab3的值为___2_9_0___.世 纪金榜导学号
★★4.(2019·南岸区月考)因式分解:mn(m-n)-m(nm)2 解:mn(m-n)-m(n-m)2 =mn(m-n)-m(m-n)2 =m(m-n)[n-(m-n)] =m(m-n)(2n-m).
2 提公因式法
【知识再现】 1.a(b+c)=_a_b_+_a_c_,ab+ac=_a_(_b_+_c_)_. 2.因式分解概念:把一个多项式化成_几__个__整__式__的__积__的形 式,这种变形叫做因式分解,因式分解也可称为分解因 式.
八年级因式分解专题(内部资料)
优学教育 YOUXUE
例1：分解因式：（1） 【答案】解：（1）
（2） （2）
例2：分解因式： x2 x2 8 x2 x 12
C．－m2－n2
D．4m2－ 1 n2
9
例2：下列各式中，可用平方差公式分解因式的有( B ) ①－a2－b2；②16x2－9y2；③(－a)2－(－b)2；
④－121m2＋225n2；⑤(6x)2－9(2y)2.
A．5个
B．4个
C．3个 D．2个
优学教育 YOUXUE
例3：将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( B )
例2：式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是( C )
A．5ab(b－a)
B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a)
D．以上均不正确
优学教育 YOUXUE
知识点3：提公因式法分解因式
1.提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而 将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方 法叫做提公因式法。用字母表示：ma+mb+mc=m(a+b+c). 要点： （1）把公因式提到括号外面，与剩下的多项式写成积的形式。 （2）实质上是逆用乘法的分配律. （3）把一个多项式分解成两个因式积的形式，其中的一个因式是各项的公
因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商。 （4）提公因式法的一般步骤：第一步找出公因式；第二步确定另一个因式；
第三步写成积的形式。
学而思寒假八年级尖子班讲义第4讲四边形综合
练
四边形ABCD为矩形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E.
（1证：AF-BF=EF;
（2）如图2，在（1）条件下， ,求 ;
（3）如图3，连EC，若CG=CD，DE=2，GE=1，则CE=.（直接写出结果）
图1图2图3
例7
如图1，正方形ABCD的边长为6cm,点F从点B出发，沿射线AB方向以1cm/秒的速度移动，点E从点D出发，向点A以1cm/秒的速度移动（不到点A）.设点E、F同时出发移动t秒.
图1图2图3
练
如图，正方形ABCD的边长为1，M、N分别为射线CB和射线DC上的点。
（1）如图1，M、N分别为射线CB和射线DC上的点， MAN=45°，延长CD到E，使DE=BM，连接AE，则△ABM≌△ADE(SAS)，请证明：△NAE≌△NAM；
（2）如图2，若DN=BM+MN，求证： MAN=45°；
（1）求∠EAF的度数；
（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N；
①求证： ；
②若 ，AN=12，则MD的长为.
图1 图2
第4讲课后作业
1、如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别为OB、OC的中点。
（1）求证：EG和FD互相平分；
（2）当图中的线段OA满足什么条件时，四边形DEFG是菱形，并说明理由。
（1）在点E、F移动过程中，连接CE、CF、EF，则△CEG的形状是，始终保持不变；
（2）如图2，连接EF，设EF交BD于点M，当t=2时，求AM的长；
（3）如图3，点G、H分别在边AB、CD上，且 cm,连接EF，当EF与GH的夹角为45°，求t的值.
例8
如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF.
因式分解的拓展(精讲)(解析版)--2023届初升高数学衔接专题讲义
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第一讲因式分解的拓展（精讲）（解析版）【知识点透析】因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
【方法精讲】一．提公因式法提取公因式法：把一个多项式各项都有的公因式提到括号外边来．符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++【例1】因式分解3(2)(2)x x x ---．【解析】提取公因式，原式=)13)(2(+-x x ．【变式】因式分解324(1)2(1)q p p -+-．【解析】提取公因式，原式=)424()1(]2)1(4[)1(22pq q p p q p -+-=+--．【例2】计算9879879879871232684565211368136813681368⨯+⨯+⨯+⨯．【解析】原式=987)521456268123(1368987=+++⨯．【变式1】（2022·广东汕头·一模）已知4m n +=，5mn =-，则22m n mn +=________．【答案】20-【解析】∵m +n =4，mn =-5，∴m 2n +mn 2=mn （m +n ）=-5×4=-20．故答案为：-20．【变式2】（2022·湖南娄底·七年级期中）因式分解：2229612abc a b abc -+；【答案】()23324ab c ab c -+【解析】：()222296123324abc a b abc ab c ab c -+=-+；二．公式法公式法：利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解．常见的公式如下：（1）a 2－b 2=_))((b a b a -+_；（平方差公式）（2）a 2±2ab +b 2=_2)(b a ±_；（完全平方公式（两个数））（3）a 3±b 3=_))((22b ab a b a +± _；（立方和差公式）（4）a 3±3a 2b +3ab 2±b 3=_3)(b a ±_；（完全立方公式）（5）a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac =_2)(c b a ++_；（完全平方公式（三个数））【例3】因式分解22(2)(31)a a +--．【解析】法一：原式=)14)(23()132)(132(+-=+-+-++a a a a a a 法二：原式=)14)(23(310816944222+-=++-=-+-++a a a a a a a a ．【变式】（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：(1)42−16+16；(2)2−+16−．【答案】(1)4−22；(2)−+4−4【解析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为2−−16−，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可（1）解：42−16+16=42−4+4=4−22；（2）解：2−+16−=2−−16−=−2−16=−+4−4；【例4】．（2022·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段检测）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：()()2233a b a ab b a b+++=+立方差公式：()()2233a b a ab b a b -++=-如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解：99a b +（2）因式分解：66a b -（3）已知：6631a b ab a b +==+，，的值【答案】（1）（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）．（3）322【详解】（1）因式分解：a 9＋b 9＝（a 3）3＋（b 3）3＝（a 3＋b 3）（a 6−a 3b 3＋b 6）＝（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）因式分解：a 6−b6＝（a 2）3−（b 2）3＝（a 2−b 2）（a 4＋a 2b 2＋b 4）＝（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）；（3）∵a＋b＝3，ab＝1，∴a 2＋b 2＝（a＋b）2−2ab＝7，∴a 6＋b 6=（a 2＋b 2）（a 4−a 2b 2＋b 4）＝[（a＋b）2−2ab][（a 2＋b 2）2−2a 2b 2−a 2b 2]＝7×（49−3×1）＝322．【变式1】因式分解52(2)(2)x x y x y x -+-．【答案】原式=)1)(1)(2(22++--x x x y x x ．【解析】原式=)1)(1)(2()1)(2())(2(223225++--=--=--x x x y x x x y x x x x y x 【变式2】分解下列因式(1)38x +(2)34381a b b -【解析】：(1)333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(1)3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++【变式3】分解因式：(1)30.12527b -(2)76a ab -【解析】：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．(1)333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++(2)76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+三．十字相乘法十字相乘法：对于二次三项式或可看作二次三项式的多项式分解因式．【例5】（2022·上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式2+++B 可用十字相乘法方法得出2+++B =++，用上述方法将下列各式因式分解：(1)2+5B −62=__________．(2)2−4+2+32+6=__________．(3)2−5−−6−2=__________．(4)20182−2017×2019−1=__________．【答案】(1)(x -y )(x +6y )(2)(x -3a )(x -a -2)(3)(x +a -3b )(x -a -2b )(4)(20182x 2+1)(x -1)【分析】（1）将-6y 2改写成-y ·6，然后根据例题分解即可；（2）将3a 2+6a 改写成−3−+2，然后根据例题分解即可；（3）先化简，将B +62−2改写−3+−2−，然后根据例题分解即可；（4）将2017×2019改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；(1)解：原式=2+(−+6p +−⋅6=(x -y )(x +6y )；(2)解：原式=2+−3−+2+−3−+2=(x -3a )(x -a -2)；(3)解：原式=2−5B +B +62−2=2−5B +3−2+=2+−3++−2−+−3+−2−=(x +a -3b )(x -a -2b )；(4)解：原式=20182−2018-12018+1−1=201822−20182-1−1=201822+1−20182−1=(20182x +1)(x -1)．【例6】．（2023·山东济宁·八年级期末）【知识背景】八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：()()()2x p q x pq x p x q +++=++．【方法探究】对于多项式()2x p q x pq +++我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq 分解成p 与q 的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数()p q ++．所以()()()2x p q x pq x p x q +++=++例如，分解因式：256x x ++它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．所以()2562(3x x x x ++=++）．类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．例如，分解因式：226x x --．分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以()22623(2)x x x x --=+-．【方法归纳】一般地，在分解形如关于x 的二次三项式2ax bx c ++时，二次项系数a 分解成1a 与2a 的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c 分解成1c 与2c 的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把1a ，2a ，1c ，2c 按如图4所示方式排列，当且仅当1221a c a c b +=（一次项系数）时，2ax bx c ++可分解因式．即21122()()ax bx c a x c a x c ++=++．我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法应用】利用上面的方法将下列各式分解因式：(1)256x x -+；(2)21021x x +-；(3)()()22247412x x x x -+-+【答案】(1)（x －2）（x －3）(2)（2x ＋3）（5x －7）(3)2(2)x -（x －1）（x －3）【解析】(1)256x x -+=（x －2）（x －3）．(2)21021x x +-=（2x ＋3）（5x －7）．(3)()()22247412x x x x -+-+=22(44)(43)x x x x -+-+=2(2)x -（x －1）（x －3）．【变式1】将下列各式分解因式（1）2615x x --；（2）231310x x -+．【解析】（1）原式=)53)(32(-+x x ；（2）原式=)5)(23(---x x ．【变式2】（1）42222459x y x y y --；（2）223129x xy y ++．【答案】（1）原式=)94)(1(222-+x x y ；（2）原式=)33)(3(y x y x ++．【变式3】把下列各式因式分解：(1)226x xy y+-(2)222()8()12x x x x +-++【解析】：(1)222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-．(2)22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-【例7】（提高型）：分解因式613622-++-+y x y xy x .【解析】设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++，∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x--+++-+)23()(622，∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m .∴原式=)32)(23(+--+y x y x .【变式】（1）2910322-++--y x y xy x ；（2）6752322+++++y x y xy x .解：原式=)12)(25(-++-y x y x 原式=)2)(32(++++y x y x 四．分组分解法根据多项式各项的特点，适当分组，分别变形，再对各组之间进行整体分解（先部分后整体的分解方法）【例8】．（2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中）【阅读学习】课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：（1）()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++；（2）()2222222121(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--．【学以致用】请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）1ab a b --+；（2）22444x xy y -+-．【拓展应用】已知：7x y +=，5x y -=．求：2222x y y x --+的值．【答案】（1）(1)(1)a b --；（2）(22)(22)x y x y -++-；【拓展应用】45．【详解】（1）1ab a b --+()()()()111ab a b a b =---=--（2）()()()()22222444444422222x xy y x xy y x y x y x y -+-=--+=--=-++-【拓展应用】()()()()222222222x y y x x y x y x y x y --+=-+-=-++∵7x y +=，5x y -=，代入得：原式=()(2)5(72)45x y x y -++=⨯+=．将下列各式分解因式（1）3232()()x x y y +-+；（2）32x x +-．【答案】（1）原式=))((22y x y xy x y x ++++-（2）原式=)2)(1(2++-x x x 【解析】（1）原式=))(())(()()(222233y x y x y xy x y x y x y x -++++-=-+-))((22y x y xy x y x ++++-=；（2）原式=)2)(1()1()1)(1(11223++-=-+++-=-+-x x x x x x x x x ．【例9】分解因式：（1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【变式】（1）323x x +-；（2）222(1)41m n mn n -+-+．【答案】（1）原式=)3)(1(2++-x x x （2）原式=)1)(1(+-+++-n m mn n m mn ．【解析】（1）原式=)3)(1(22123++-=-+-x x x x x （2）原式=2222222221214n mn m mn n m n mn m n m -+-++=+-+-)1)(1()()1(22+-+++-=--+=n m mn n m mn n m mn ．五．换元法换元法分解因式：是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化【例10】．（2022·福建漳州·八年级期中）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．对于()()22525312x x x x ++++-．解法一：设25x x y +=，则原式()()2231256y y y y =++-=+-()()()()()()()2226156512351y y x x x x x x x x =+-=+++-=+++-；解法二：设22x m +=，5x n =，则原式()()()()211212m n m n m n m n =+++-=+++-()()()()()()()2224356512351m n m n x x x x x x x x =+++-=+++-=+++-．请按照上面介绍的方法解决下列问题：(1)因式分解：()()2241479x x x x -+-++；(2)因式分解：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-；(3)求证：多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数．【答案】(1)（1）()42x -(2)()()2211x y --(3)见解析【解析】(1)解：解法一：设2x x y -=，则原式()()179y y =+++2816y y =++()24y =+()2244x x =-+()42x =-；方法二：设214x m x n +=-=，，则原式()()=69m n m n ++++()()269m n m n =++++()23m n =++()22143x x =+-+()2244x x =-+()42x =-；(2)解：设x y m xy n +==，，则原式()()()2221m n m n =--+-2222421m mn m n n n =--++-+()22221m mn m n =--+-()()22211m m n n =-+++()21m n =--()21x y xy =+--()()2211x y =--；(3)解：()()()()21236x x x x x +++++()()2227656x x x x x =+++++，设26x m x n +==，，则原式()()2=75m n m n n +++221236m mn n =++()26m n =+()2266x x =++，∵()22660x x ++≥，∴()()()()212360x x x x x ++++≥+，∴多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数．【变式1】将下列各式分解因式（1）221639a b ab ++；【答案】原式=)13)(3(++ab ab （2）22(1)(2)12x x x x ++++-【解析】原式=)5)(2(12)1()1(22222++-+=-+++++x x x x x x x x ．)5)(1)(2(2++-+=x x x x ．【变式2】（1）x 6－7x 3－8（2）（x +1）（x +2）（x +3）（x +4）+1【解析】（1）原式=)1)(42)(1)(2()1)(8(2233+-+++-=+-x x x x x x x x ；（2）原式=1)65)(45(1)3)(2)(4)(1(22+++++=+++++x x x x x x x x 2222)55(11)55(++=+-++=x x x x ．六．配方法【例题11】．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成2()x a +的形式．但对于二次三项式2223x ax a +-，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式2223x ax a +-中先加上一项2a ，使它与22x ax +的和成为一个完全平方式，再减去2a ，整个式子的值不变，于是有：2223x ax a +-＝222223x ax a a a ++--＝22()4x a a +-＝22()(2)x a a +-＝(3)()x a x a +-，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”进行因式分解：(1)2815x x -+；(2)4224a a b b ++．【答案】(1)(3)(5)x x --(2)2222()()a b ab a b ab +++-【解析】(1)原式＝28161615x x a -+-+＝2(4)1x --＝(41)(41)x x -+--＝(3)(5)x x --；(2)42244224222a a b b a a b b a b ++=++-＝22222()a b a b +-＝2222()()a b ab a b ab +++-．七．因式分解的应用【例题12】．（2022·江苏扬州·七年级期中）阅读下列材料：若一个正整数x 能表示成22a b -（a ，b 是正整数，a b >）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a 与b 是x 的一个平方差分解，例如22532=-，所以5是“明礼崇德数”3与2是5的平方差分解；再如：()22222222M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 为正整数），所以M 也是“明礼崇德数”，（x y +）与y 是M 的一个平方差分解．(1)判断9“明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；(2)已知()2x y +与2x 是P 的一个平方差分解，求代数式P ；(3)已知2223818N x y x y k =-+-+（,x y 是正整数，k 是常数，且1x y >+），要使N 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的k 值，并说明理由．【答案】(1)是(2)222x y y +(3)k =-19【解析】(1)解∶∵22954=-，∴9是“明礼崇德数”；故答案为：是(2)解：()()2222P x y x =+-42242x x y y x =++-222x y y =+；(3)解：2223818N x y x y k =-+-+()()2224436919x x y y k=++-++++()()22223319x y k=+-+++2219k=+-+++∵N 是“明礼崇德数”，∴19+k =0，∴k =-19．【例题13】．已知a b =22a b ab -的值．【答案】【解析】【分析】先利用提公因式法把22a b ab -进行因式分解，再代入计算即可．【详解】解：∵()22a b ab ab a b -=-，又a =b∴a b =-=1ab +=-=，∴()221a b ab ab a b -=-=⨯=【变式1】．（1）因式分解：()()211x x x +-+．（2）先化简，再求值：22169124x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭，其中3x =．【答案】（1）1x +；（2）23x x -+，16【解析】【分析】（1）直接提公因式即可；（2）先算括号内的部分，将除法变乘法，最后约分化简后代入求值即可．【详解】（1）原式=()()11x x x ++-=x +1；（2）原式=212(3)22(2)(2)x x x x x x ++⎛⎫+÷ +++-⎝⎭23(2)(2)2(3)x x x x x ++-=⋅++23x x -=+，当3x =时，原式=3233-+16=．【变式2】．（2022·湖北十堰·八年级期末）阅读理解题：已知二次三项式x 2﹣4x ＋m 有一个因式是x ＋3，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为x ＋n ，依题意得x 2﹣4x ＋m ＝（x ＋3）（x ＋n ）．即x 2﹣4x ＋m ＝x 2＋（n ＋3）x ＋3n ，比较系数得：343n m n +=-⎧⎨=⎩，解得217m n =-⎧⎨=-⎩．∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21仿照上述方法解答下列问题：(1)已知二次三项式2x2＋3x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式及k的值；(2)已知2x2﹣13x＋p有一个因式x﹣4，则p＝．【答案】(1)另一个因式为x+2，k的值为2(2)20(1)解：（1）设另一个因式为x+m，则2x2+3x—k＝（2x—1）（x+m），即2x2+3x—k＝2x2+（2m—1）x—m，比较系数得：213 mk m-=⎧⎨-=-⎩，解得22 mk=⎧⎨=⎩，∴另一个因式为x+2，k的值为2；(2)解：设另一个因式为（2x+m），由题意，得：2x2﹣13x+p＝（x﹣4）（2x+m），则2x2﹣13x+p＝2x2+（m﹣8）x﹣4m，∴8134mp m-=-⎧⎨=-⎩，解得520 mp=-⎧⎨=⎩，故答案为：20．。
2020年北师大版八年级数学下册第4章因式分解 拓展训练 【含答案】
2020年北师大版八年级数学下册第4章因式分解拓展训练板块一：换元法例1．分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++例2．分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++-【巩固】分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++【巩固】分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++-例3.证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【巩固】若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.例4分解因式2(25)(9)(27)91a a a +---【巩固】分解因式22(32)(384)90x x x x ++++-例5分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-【巩固】分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-例6分解因式：272)3()1(44-+++x x 【巩固】分解因式：4444(4)a a ++-板块二：因式定理因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式.有理根：有理根p c q=的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数.例7分解因式：32252x x x ---【巩固】分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【巩固】分解因式：322392624x x y xy y -+-例8分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc-+++++-【巩固】分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+板块三：待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果12112112101210n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b --------+++++=+++++ 那么n n a b =，11n n a b --=，…，11a b =，00a b =.例9用待定系数法分解因式：51x x ++【巩固】421x x -+是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积?【巩固】631x x +-能否分解为两个整系数的三次因式的积?例10分解因式：43223x x x x ++-+板块四：轮换式与对称式例11分解因式：222()()()x y z y z x z x y -+-+-例12分解因式：222222()()()xy x y yz y z zx z x -+-+-家庭作业练习1．分解因式：24(5)(6)(10)(12)3x x x x x ++++-练习2．要使()()()()1348x x x x m -+--+为完全平方式，则常数m 的值为________练习3．分解因式：22(68)(1448)12x x x x +++++练习4．分解因式：22222()4()x xy y xy x y ++-+练习5．分解因式：32252x x x ---练习6．分解因式：326116x x x +++练习7．用待定系数法分解：541x x ++练习8．分解因式：333()()()a b c b c a c a b -+-+-补充题【备选1】分解因式：(1)(2)(3)(4)24a a a a -----【备选2】分解因式：21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+-【备选3】分解因式：43265332x x x x ++--答案板块一：换元法例1分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++【解析】将248x x u ++=看成一个字母，可利用十字相乘得原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++22(48)(482)x x x x x x =++++++22(58)(68)x x x x =++++2(2)(4)(58)x x x x =++++例2分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++-【解析】方法1：将25x x +看作一个整体，设25x x t +=，则原式=22(2)(3)1256(1)(6)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x ++-=+-=-+=+++-方法2：将252x x ++看作一个整体，设252x x t ++=，则原式=22(1)1212(3)(4)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x +-=+-=-+=+++-方法3：将253x x ++看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至连换元都不用，直接把25x x +看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，则原式22222(5)5(5)6(51)(56)(2)(3)x x x x x x x x x x =+++-=+-++=++2(51)x x +-.【巩固】分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++【解析】2(2)(6)(810)x x x x ++++【巩固】分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++-【解析】2(1)(2)(5)x x x x -+++例3证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【解析】设这四个连续整数为：1x +、2x +、3x +、4x +(1)(2)(3)(4)1x x x x +++++[(1)(4)][(2)(3)]1x x x x =+++++22(54)(56)1x x x x =+++++24652u x x +=++原式22[(55)1][(55)1]1x x x x =++-++++22(55)11x x =++-+22(55)x x =++【巩固】若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.【解析】()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y=+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++令2254x xy y u++=∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++例4分解因式2(25)(9)(27)91a a a +---【解析】原式22[(25)(3)][(3)(27)]91(215)(221)91a a a a a a a a =+-+--=-----设2215a a x --=，原式2(6)91691(13)(7)x x x x x x =--=--=-+22(228)(28)a a a a =----2(4)(27)(28)a a a a =-+--【巩固】分解因式22(32)(384)90x x x x ++++-【解析】原式22(1)(2)(21)(23)90(253)(252)90x x x x x x x x =++++-=++++-225y x x=+原式22(3)(2)90584(12)(7)(2512)(27)(1)y y y y y y x x x x =++-=+-=+-=+++-例5分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-【解析】咋一看，很不好下手，仔细观察发现：222(31)(23)44x x x x x x --++-=+-，故可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+.故原式=24()AB A B -+2A =-222()B AB A B -+=--22222(31)(23)(232)x x x x x x ⎡⎤=----+-=--+⎣⎦.【巩固】分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4个地方，故采取换元法后会大大简化计算过程，不妨设,a b x ab y +==，【解析】则原式=222(2)(2)(1)222x y x y x xy y y x--+-=-++-222221()2()1(1)(1)(1)(1)x y x y x y a b ab a b +=---+=--=+--=--例6分解因式：272)3()1(44-+++x x 【解析】设1322x x y x +++==+，则原式=4442(1)(1)2722(61)272y y y y -++-=++-422222(6135)2(9)(15)2(3)(3)(15)y y y y y y y =+-=-+=+-+22(5)(1)(419)x x x x =+-++【巩固】分解因式：4444(4)a a ++-【解析】为方便运算，更加对称起见，我们令2x a =-4444(4)a a ++-444(2)(2)4x x =++-+22224(44)(44)4x x x x =+++-++422(2416)256x x =+++422(24144)x x =++222(12)x =+222[(2)12]a =-+222(416)a a =-+板块二：因式定理因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式.有理根：有理根p c q =的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数.例7分解因式：32252x x x ---【巩固】02a =-的因数是1±，2±，2n a =的因数是1±，2±．因此，原式的有理根只可能是1±，2±(分母为1)，12±．因为(1)21526f =---=-，(1)21520f -=--+-=，于是1-是()f x 的一个根，从而1x +是()f x 的因式，这里我们可以利用竖式除法，此时一般将被除式按未知数的降幂排列，没有的补0：可得原式2(232)(1)x x x =--+(2)(21)(1)x x x =-++点评：观察，如果多项式()f x 的奇数次项与偶数次项的系数和互为相反数，则说明(1)0f =；如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和相等，则说明(1)0f -=.【巩固】分解因式：65432234321x x x x x x ++++++解析：本题有理根只可能为1±.1+当然不可能为根(因为多项式的系数全是正的)，经检验1-是根，所以原式有因式1x +，原式5432(1)(221)x x x x x x =++++++容易验证1-也是5432221x x x x x +++++的根，5432221x x x x x +++++42(1)(21)x x x =+++22(1)(1)x x =++，所以65432234321x x x x x x ++++++222(1)(1)x x =++2323222232125222 35 33 22220x x x x x x x x x xx xx x --+---+--------【巩固】分解因式：322392624x x y xy y -+-解析：322392624x x y xy y -+-(2)(3)(4)x y x y x y =---例8分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc-+++++-【解析】常数项abc -的因数为a ±，b ±，c ±，ab ±，bc ±，ca ±，abc±把x a =代入原式，得32()()a a b c a ab bc ca a abc -+++++-332222a a ba ca a b abc a c abc =---+++-0=所以a 是原式的根，x a -是原式的因式，并且32()()x a b c x ab bc ca x abc-+++++-322()[()()]()x ax b c x a b c x bcx abc =--+-++-2()[()]x a x b c x bc =--++()()().x a x b x c =---【巩固】分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+【解析】如果多项式的系数的和等于0，那么1一定是它的根；如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么1-一定是它的根．现在正是这样：()(32)(23)2()0l n l m n l m n m n -+++-----+=所以1x +是原式的因式，并且32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+322[()()][(2)(2)][2()2()]l m x l m x l m n x l m n x m n x m n =+++++-++--+++2(1)[()(2)2()]x l m x l m n x m n =++++--+(1)(2)()x x lx mx m n =+++--板块三：待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果12112112101210n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b --------+++++=+++++ 那么n n a b =，11n n a b --=，…，11a b =，00a b =.例9用待定系数法分解因式：51x x ++【解析】原式的有理根只可能为1±，但是这2个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．故52321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+++++或52321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+-++-523254321(1)(1)()(1)(1)()1x x x ax x bx cx x a b x ab c x ac b x a c x ++=+++++=+++++++++++故010101a b c ab ac b a c +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩，解得110a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以52321(1)(1)x x x x x x ++=++-+事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.【巩固】421x x -+是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积?解析：我们知道42221(1)(1)x x x x x x ++=++-+.421x x -+不能分解成两个整系数的二次因式的乘积．如果421x x -+能够分解，那么一定分解为22(1)(1)x ax x bx ++++或22(1)(1)x ax x bx +-+-比较3x 与2x 的系数可得:021a b ab += ⎧⎨±=-⎩(1)(2)由(1)得b a =-，代入(2)得221a =±+，即23a =或21a =-，没有整数a 能满足这两个方程．所以，421x x -+不能分解成两个整系数的二次因式的积(从而也不能分解成两个有理系数的二次因式的积)．【巩固】631x x +-能否分解为两个整系数的三次因式的积?解析：设6332321(1)(1)x x x ax bx x cx dx +-=+++++-，比较5x ，3x 及x 的系数，得010a c ad bc b d +=⎧⎪+=+⎨⎪-=⎩由第一个方程与第三个方程可得c a =-，d b =,再把它们代入第二个方程中，得1ab ab -=矛盾!所以，631x x +-不可能分解为两个整系数的三次因式的积．例10分解因式：43223x x x x ++-+【解析】原式的有理根只可能为1±，3±，但是这四个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．我们设想43223x x x x ++-+可以分为两个整系数的二次因式的乘积．由于原式是首1的(首项系数为1)，两个二次因式也应当是首1的．于是，设43223x x x x ++-+22()()x ax b x cx d =++++⑴其中整系数a b c d 、、、有待我们去确定．比较⑴式两边3x ，2x ，x 的系数及常数项，得1213a c b d ac bc ad bd += ⎧⎪++= ⎪⎨+=-⎪⎪= ⎩(2)(3)(4)(5)这样的方程组，一般说来是不容易解的．不过，别忘了b d 、是整数!根据这一点，从(5)可以得出13b d =⎧⎨=⎩或13b d =-⎧⎨=-⎩，当然也可能是31b d =⎧⎨=⎩或31b d =-⎧⎨=-⎩在这个例子中由于因式的次序无关紧要，我们可以认为只有13b d =⎧⎨=⎩或13b d =-⎧⎨=-⎩这两种情况．将1b =，3d =，代入(4)，得31c a +=-⑹将⑹与⑵相减得22a =-，于是1a =-，再由⑵得2c =这一组数(1a =-，1b =，2c =，3d =)不仅适合⑵、⑷、⑸，而且适合⑶．因此43223x x x x ++-+22(1)(23)x x x x =-+++⑺将1b =-，3d =-，代人⑷，得31c a --=-⑻将⑻与⑵相加得20a -=.于是0a =，再由⑵得1c =.这一组数(0a =，1b =-，1c =，3d =-)，虽然适合⑵、⑷、⑸，却不适合⑶，因而4322223(1)(3)x x x x x x x ++-+=-+-/.事实上，分解式是惟一的，找出一组满足方程组的数，就可以写出分解式⑺，考虑有没有其他的解纯属多余，毫无必要．板块四：轮换式与对称式对称式：x y 、的多项式x y +，xy ，22x y +，33x y +，22x y xy +，…在字母x 与y 互换时，保持不变．这样的多项式称为x y 、的对称式．类似地，关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++，222222x y x z y z y x z x z y +++++，xyz ，…在字母x y z 、、中任意两字互换时，保持不变．这样的多项式称为x y z 、的对称式．轮换式：关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++，222x y y z z x ++，222xy yz zx ++，xyz …在将字母x y z 、、轮换(即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x )时，保持不变．这样的多项式称为x y z 、、的轮换式．显然，关于x y z 、、的对称式一定是x y z 、、的轮换式．但是，关于x y 、，z 的轮换式不一定是对称式．例如，222x y y z z x ++就不是对称式．次数低于3的轮换式同时也是对称式．两个轮换式(对称式)的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对称式)．例11：分解因式：222()()()x y z y z x z x y -+-+-解析：222()()()x y z y z x z x y -+-+-是关于x y z 、、的轮换式．如果把222()()()x y z y z x z x y -+-+-看作关于x 的多项式，那么在x y =时，它的值为222()()()0y y z y z y z y y -+-+-=.因此，x y -是222()()()x y z y z x z x y -+-+-的因式．由于222()()()x y z y z x z x y -+-+-是x y z 、、的轮换式，可知y z -与z x -也是它的因式．从而它们的积()()()x y y z z x ---⑴是222()()()x y z y z x z x y -+-+-⑵的因式．由于⑴、⑵都是x y z 、、的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数k ，即有222()(.)()()()()x y z y z x z x y k x y y z z x -+-+-=---⑶现在我们来确定常数k 的值．为此，比较⑶的两边2x y 的系数：左边系数为1，右边系数为k -．因此，1k =-．于是222()()()x y z y z x z x y -+-+-()()()x y y z z x =----思路2：利用y－z＝(y－x)－(z－x).例12分解因式：222222()()()xy x y yz y z zx z x -+-+-【解析】此式是关于x ，y ，z 的四次齐次轮换式，注意到x y =时，原式0=，故x y -是原式的一个因式.同理，y z -，z x -均是原式的因式，而()()()x y y z z x ---是三次轮换式，故还应有一个一次轮换式，设其为()k x y z ++，故原式()()()()k x y z x y y z z x =++---，展开并比较系数可知，1k =-，故原式()()()()x y z x y y z z x =-++---.思路2：利用x 2－y 2＝(x 2－z 2)+(z 2－y 2).家庭作业练习1．分解因式：24(5)(6)(10)(12)3x x x x x ++++-原式2224(1760)(1660)3x x x x x =++++-2224(1660)(1660)3x x x x x x⎡⎤=+++++-⎣⎦22224(1660)4(1660)3x x x x x x =+++++-22[2(1660)][2(1660)3]x x x x x x =++-+++22(231120)(235120)x x x x =++++2(215)(8)(235120)x x x x =++++练习2．要使()()()()1348x x x x m -+--+为完全平方式，则常数m 的值为________【解析】()()()()1348x x x x m-+--+22222(54)(524)(5)20(5)96x x x x m x x x x m =-+--+=----+，则196m =练习3．分解因式：22(68)(1448)12x x x x +++++【解析】原式22(2)(4)(6)(8)12(1016)(1024)12x x x x x x x x =+++++=+++++设21016t x x =++，则原式(8)12(2)(6)t t t t =++=++22(1018)(1022)x x x x =++++练习4．分解因式：22222()4()x xy y xy x y ++-+【解析】设22x y a +=，xy b =，则原式22222()4()()a b ab a b x y xy =+-=-=+-.练习5．分解因式：32252x x x ---【解析】32252(2)(21)(1)x x x x x x ---=-++练习6．分解因式：326116x x x +++【解析】3226116(1)(56)(1)(2)(3)x x x x x x x x x +++=+++=+++练习7．用待定系数法分解：541x x ++【解析】原式的有理根只可能为1±，但是这2个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．故542321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+++++或542321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+-++-5423254321(1)(1)()(1)(1)()1x x x ax x bx cx x a b x ab c x ac b x a c x ++=+++++=+++++++++++故110100a b c ab ac b a c +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩，解得101a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以54231(1)(1)x x x x x x ++=++-+事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.练习8．分解因式：333()()()a b c b c a c a b -+-+-【巩固】333()()()a b c b c a c a b -+-+-是关于a b c 、、的轮换式．它有三次因式()()()a b b c c a ---．由于原式是a b c 、、的四次式，所以还应当有一个一次因式．原式是a b c 、、的四次齐次式，所以这个一次因式也是a b c 、、的一次齐次式，即它的常数项是0(否则，它的常数项与三次式()()()a b b c c a ---相乘得到一个三次式)．这个一次齐次式是a b c 、、的轮换式，形状应当是()k a b c ++k 是常数．即有333()()()a b c b c a c a b -+-+-()()()()k a b c a b b c c a =++---⑴比较两边3a b 的系数，得1k =-于是333()()()a b c b c a c a b -+-+-()()()()a b c a b b c c a =-++---上面求k 的方法是比较系数，也可以改用另一种方法，即适当选一组使()()()()0a b c a b b c c a ++---=/的数代替a b c 、、从而定出k ，例如，令2a =,1b =,0c =,把它代入⑴，得8203(2)k -+=⋅⋅-,即1k =-,以上两种确定系数的方法可以结合起来使用．补充题【备选1】分解因式：(1)(2)(3)(4)24a a a a -----【解析】2(5)(510)a a a a --+【备选2】分解因式：21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+-【解析】设xy u =，x y v +=,原式＝(u+v+1)(u －v+1)＝(x+1)(y+1)(x －1)(y －1).【备选3】分解因式：43265332x x x x ++--【解析】原式的有理数根只可能为：1±，2±，12±，13±，23±，16±经检验12-是一个根，所以21x +是原式的因式，进而可得：43232265332(21)(32)(21)(32)(1)x x x x x x x x x x x x ++--=+++-=+-++。
八年级数学因式分解2(PPT)4-4
比一比，看谁算得快
• （1）已知：x=5，a-b=3，求 ax2-bx2的值。
• （2）已知：a=101,b=99,求a2b2的值.
• 你能说说算得快的原因吗？
明锂有改善和稳定情绪的作用。心脏病人、学习低能者和在押暴力犯发锂含量显著降低。碳酸锂治疗的临床研究表明，锂的主要反应器官为胃肠道、肾脏、 神经、肌肉、内分泌和心血管系统。在7～mgLi/d治疗剂量范围内，预期的血清锂水平为.4～. mEq/L(.7～. mg/L)，无度性反应。在锂的危险性评估中，对治 疗剂量采用；配资平台：/ ； 倍安全因子对孕妇和胎儿不造成危害，这相当于成人每天摄入mg Li。动物的NOAEL(无度性作用水平) 为 mgLi/kg/d，采用倍安全因子，得到日允许摄入量(ADI)为.mgLi/kg/d。基于动物实验数据，锂的表观缺乏摄入量为：山羊：<.mgLi/kg，大鼠：< μgLi/kg。 人对锂的饮食需要量约为～ μg/d，典型的日摄入量为～μg。蛋类、牛奶、奶制品、鱼类、土豆和蔬菜含有丰富的锂。钠是一种金属元素，在周期表中位于第 周期、第ⅠA族，是碱金属元素的代表，质地柔软，能与水反应生成氢氧化钠，放出氢气，化学性质较活泼。钠元素以盐的形式广泛的分布于陆地和海洋中， 钠也是人体肌肉组织和神经组织中的重要成分之一。 化学百科-brh 中文名 钠 [] 英文名 Sodium [] 分子量 . CAS登录号 744-- 熔 点 7.7℃ 沸 点 ℃ 密 度 . g/cm（室温） 外 观 银白色有金属光泽固体 离 子 Na+ 电子排布式 s s p s 危险性 易自燃、遇水放热 管制类型 易制爆 元素符号 Na 目录 发现简史 理化性 质 ? 物理性质 ? 化学性质 制备方法 ? 戴维法 ? 当斯法 ? 卡斯纳法 4 工业用途 生理作用 储存方法 发现简史编辑 伏特在 世纪初发明了电池后，各国化学家纷 纷利用电池分解水成功。英国化学家汉弗里·戴维坚持不懈地从事于利用电池分解各种物质的实验研究。他希望利用电池将苛性钾分解为氧气和一种未知的 “基”，因为当时化学家们认为苛性碱是氧化物。他先用苛性钾（氢氧化钾）的饱和溶液实验，所得的结果却和电解水一样 为什么么？ • (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
八年级数学下册 4 因式分解教案 北师大版(2021学年)
201７春八年级数学下册 4 因式分解教案 (新版)北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2017春八年级数学下册 4 因式分解教案(新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第四章因式分解1.经历将一个多项式分解成几个整式乘积的形式的过程，体会因式分解的意义,发展运算能力。
2.能用提公因式法和公式法分解因式．认识整式乘法与因式分解的关系,体会数学知识之间的相互联系.1。
进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理地思考及语言表达能力.2.养成认真勤奋、严谨求实的科学态度.因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式乘法运算有着密切的联系,是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础。
学生已有的因数分解、整式乘法运算的学习经验是本章学习的基础。
本章在知识与技能方面主要解决两个问题:什么是因式分解？怎样进行因式分解?对于第二个问题,只学习提公因式法与公式法（平方差公式与完全平方公式)这两种方法。
本章教科书尽可能帮助学生从几何角度理解代数的含义，发展学生的类比思想以及从特殊到一般的思考问题的方法,帮助学生体会数学知识之间的联系。
为此，教科书通过设计因数分解的例子让学生体会因数分解的必要性，继而用字母表示数体现一般化;通过类比因数分解体会因式分解的意义和因式分解的方法,体会数学知识之间的相互联系;通过经历借助拼图解释整式变形的过程，体会几何直观的作用；通过分析因式分解与整式乘法之间的互逆过程,学习因式分解的方法,提高学生对知识间联系的认识.具体地,本章设计了3节内容．第1节“因式分解”,先利用９93—9９的例子突出与因数分解的类比,体会因式分解的必要性,然后用几何图形的拼图解释因式分解,在了解因式分解概念的基础上,体会因式分解与整式乘法的关系。
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【例1】(太原市初中数学竞赛) 关于x，y的二次式x2＋7xy＋my2－5x＋ 43y－24可分解为两个一次因式的乘积， 则m的值是____。
【例2】设px3＋mx2＋nx＋r是x的一次式的完全 立方式，求证3mr＝n2。
【例3】用待定系数法分解因式： x5＋x＋1
对称式：
x、y多项式x＋y，xy，x2＋y2，x3＋y3，x2y＋ xy2，…在字母x与y互换时，保持不变。这样 的多项式称为x、y的对称式。 类似的，关于x、y、z的多项式x＋y＋z，x2＋ y2＋z2，xy＋yz＋zx，x3＋y3＋z3，x2y＋x2z＋ y2z＋y2x＋z2x＋z2y，xyz，…在字母x、y、z中 任意两字互换时，保持不变，这样的多项式 称为x、y、z的对称式。
例如，x2y＋y2z＋z2x就不是对称式。 次数低于3的轮换式同时也是对称式。
【例4】分解因式： a3(b－c)＋b3(c－a)＋c3(a－b)
【例5】分解因式： (y－z)5＋(z－x)5＋(x－y)5
2
轮换式： 关于x、y、z的多项式x＋y＋z，x2＋y2＋z2， xy＋yz＋zx，x3＋y3＋z3，x2y＋y2z＋z2x，xy2 ＋yz2＋zx2， xyz，…在将字母x、y、z轮换 (即将x换成y，y换成z，z换成x)时，保持不变。 这样的多项式称为x、y、z的轮换式。
1
显然，关于x、y、z的对称式一定是x、y、z 的轮换式。但是，关于