幻方的应用与价值
幻方的历史渊源文化价值解题方法
幻方的历史渊源文化价值解题方法
幻方是一种中国传统游戏，最早出现于中国古代的洛书-九宫图。
在中国古代，幻方也被称作河图、洛书又叫纵横图。
九宫洛书既蕴含奇门遁甲的布阵之道，也被看作科学的结晶与吉祥的象征。
洛书（幻方）被公认为是组合数学的鼻祖。
同时，洛书以其高度抽象的内涵，对中国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等都产生了重要影响。
幻方的规则是将给定数字放入正方形的格子中，使每行、每列和对角线的数字之和相等。
幻方最早记载于中国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明中国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。
而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
幻方的解题方法包括暴力搜索法和加1法。
暴力搜索法包括列举每个数字的所有可能的排列，然后逐个检查它们是否满足幻方的要求。
虽然这种方法可以解决出所有幻方的问题，但是它对于大型幻方的解题过程中需要耗费大量的时间和精力，并且存在各种漏洞。
加1法也称为"Theorems of Kronecker"，是一种简单和高效的解题方法。
这种方法基于对任意一个幻
方进行加1操作，然后解决一个新的幻方来得到解决幻方的结果。
使用这种方法的缺点是它只能解决特定类型的幻方，而无法解决大部分幻方问题。
以上内容仅供参考，建议查阅关于幻方的书籍或咨询数学领域专业人士获取更多信息。
关于幻方的收获与感悟
关于幻方的收获与感悟嘿，朋友们！咱今天来聊聊幻方这个奇妙的玩意儿。
你们知道吗，幻方就像是一个隐藏着无数秘密的神秘盒子。
刚开始接触它的时候，我就跟那刘姥姥进大观园似的，充满了好奇和惊叹。
你瞧啊，那一个个数字在方格里排列得整整齐齐，就像是训练有素的士兵在站队。
可别小看这些数字，它们之间有着千丝万缕的联系，稍有变动，整个幻方的感觉就全变了。
这多像我们的生活呀，一个小小的改变可能就会引发一系列的连锁反应。
研究幻方的时候，有时候我感觉自己就像个侦探，在努力寻找着那些隐藏的线索和规律。
每当我发现一个新的规律，那兴奋劲儿，就跟找到了宝藏似的！这难道不有趣吗？而且，幻方还特别锻炼人的耐心和思维能力。
你得静下心来，一点点地去琢磨，去尝试。
有时候可能会遇到困难，怎么都找不到答案，但咱可不能轻易放弃啊！就像爬山一样，虽然过程累，但当你爬到山顶，看到那美丽的风景时，一切都值了。
幻方还让我明白了一个道理，那就是细节决定成败。
一个数字放错了位置，可能整个幻方就不成立了。
这多像我们做事啊，一点小马虎都可能导致大问题。
我们得像对待幻方一样，认真对待每一件事，注意每一个细节。
我还记得有一次，我花了好长时间研究一个幻方，可就是解不出来。
我都有点灰心丧气了，心想这也太难了吧！但后来我静下心来，重新仔细地观察，终于发现了一个之前忽略的小细节，结果一下子就解开了。
哇，那感觉，真的是无法用言语来形容！这不就跟我们生活中遇到困难一样吗？只要不放弃，总会找到解决办法的。
幻方啊，它不仅仅是一堆数字，它更是一个能让我们不断探索、不断成长的神奇世界。
它让我们学会思考，学会坚持，学会在看似不可能中找到可能。
所以啊，朋友们，别错过幻方这个好东西。
去尝试一下，去感受一下它带给你的收获和感悟。
相信我，你一定会爱上它的！它会像一个好朋友一样，一直陪伴着你，给你带来无尽的乐趣和启发。
难道不是吗？。
幻方九宫格题
幻方九宫格题
摘要：
一、幻方九宫格题的简介
1.幻方九宫格的定义
2.幻方九宫格的历史背景
二、幻方九宫格题的解题方法
1.基础解法
a.按照九宫格的结构特点进行观察
b.利用数学规律进行推导
2.进阶解法
a.利用已知的解法进行拓展
b.结合其他数学知识进行解答
三、幻方九宫格题的挑战与趣味
1.题目难度及挑战性
2.解题过程中的趣味性
四、幻方九宫格题的意义和价值
1.对思维能力的锻炼
2.对数学兴趣的培养
正文：
幻方九宫格题是一种经典的数学智力题，其独特的结构和丰富的解题方法使得它备受数学爱好者的青睐。
幻方九宫格题的起源可以追溯到我国古代，它
是一种融合了数学、文化和智慧的题目。
要解答幻方九宫格题，首先需要掌握基础的解题方法。
观察九宫格的结构特点，发现其中的数学规律是解题的关键。
通过对已知解法的拓展和运用，可以逐渐提高解题的能力。
同时，幻方九宫格题也具有很高的挑战性，解题过程中常常需要运用创新思维和逻辑推理。
幻方九宫格题的趣味性在于，它不仅仅是一道数学题目，更是一种思维的锻炼和乐趣的体验。
在解题的过程中，我们会发现数学的美妙和趣味，从而培养对数学的兴趣和热爱。
总的来说，幻方九宫格题是一种具有深厚历史背景和丰富解题方法的数学智力题。
它既具有挑战性，又充满趣味，能够锻炼我们的思维能力，培养我们对数学的兴趣。
数学广场——幻方(教案)沪教版二年级上册数学
数学广场——幻方（教案）沪教版二年级上册数学教学内容：本节课的教学内容为沪教版二年级上册数学中的“数学广场——幻方”。
通过本节课的学习，学生将了解幻方的概念，掌握幻方的构成方法，并能够运用所学知识解决实际问题。
教学目标：1. 知识与技能：学生能够理解幻方的概念，掌握幻方的构成方法，并能够运用所学知识解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、动手操作等活动，培养学生的观察能力、分析能力和动手操作能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生团结协作、积极探究的学习态度。
教学难点：1. 幻方的概念及构成方法的理解。
2. 如何运用幻方的知识解决实际问题。
教具学具准备：1. 教具：幻方模型、多媒体课件。
2. 学具：学生用幻方卡片、彩色笔。
教学过程：一、导入1. 引入课题：利用多媒体课件展示幻方图片，引导学生观察并思考：这些图形有什么特点？2. 学生回答：这些图形都是由数字组成的，且每行、每列、对角线的数字之和都相等。
3. 教师总结：这种由数字组成的图形叫做幻方，今天我们就来学习幻方。
二、新课讲解1. 讲解幻方的概念：幻方是一种由数字组成的图形，它的特点是每行、每列、对角线的数字之和都相等。
2. 讲解幻方的构成方法：通过举例讲解幻方的构成方法，如：3阶幻方的构成方法。
3. 演示幻方的构成过程：利用幻方模型演示3阶幻方的构成过程，引导学生观察并总结规律。
4. 学生动手操作：学生分组合作，利用学具自己动手尝试构成3阶幻方，教师巡回指导。
5. 小结：通过讲解、演示、动手操作，使学生掌握幻方的构成方法。
三、巩固练习1. 出示练习题：给出一些数字，让学生自己尝试构成幻方。
2. 学生展示：请学生展示自己的作品，并讲解自己的思路。
3. 总结评价：教师对学生的作品进行评价，总结幻方的构成规律。
四、拓展提高1. 出示4阶幻方：展示4阶幻方的图片，引导学生观察并思考：4阶幻方与3阶幻方有什么不同？2. 学生回答：4阶幻方由16个数字组成，每行、每列、对角线的数字之和都相等。
神奇的幻方小课题研究报告
神奇的幻方小课题研究报告神奇的幻方小课题研究报告【导语】幻方，是指一个矩阵中的每一行、每一列和每一条对角线上的数字之和都相等的特殊矩阵。
它以其独特的数学性质和趣味性，吸引了众多数学爱好者的关注。
本文将深入探讨幻方的原理、发展以及应用，帮助读者全面了解这一神奇的数学现象。
【概述】幻方最早可以追溯到中国古代的《周髀算经》中，其中详细介绍了3阶幻方的构造方法。
随后，幻方的研究逐渐发展起来，并在各个国家和时期都有所贡献。
幻方独特的数学性质使其成为数学和逻辑的重要研究对象，同时也被广泛应用于密码学、游戏以及图像处理等领域。
【主体】一、幻方的基本原理幻方的基本原理是通过排列数字，使得矩阵中的每一行、每一列和每一条对角线上的数字之和都相等。
在初步了解幻方之后，我们可以通过以下步骤来构造一个简单的3阶幻方：1. 将数字1放在矩阵中间的行、最左侧的列。
2. 将数字2放在数字1的上方。
3. 将数字3放在数字2的右上方。
4. 依次类推，将数字4至9依次放入矩阵中，直至填满整个矩阵。
二、幻方的发展历程幻方最早出现在中国古代，《周髀算经》中记载了3阶幻方的构造方法。
在随后的历史中，欧洲的数学家也开始对幻方进行研究，如德国数学家Euler以及瑞士数学家Lagrange等。
在18世纪，Lagrange提出了一个重要的定理——拉格朗日定理，即任何一个正整数都可以表示为4个平方数之和。
而这一定理与幻方之间的联系被后来的数学家进一步研究和发展。
三、幻方的应用领域1. 密码学：幻方可用于密码学中的加密和解密过程，通过将明文和密文映射到一个幻方上，实现信息的保密性。
2. 游戏：幻方被广泛用于各类数字游戏中，如数独、魔方等。
通过排列和填充数字，玩家需要根据幻方的规则来达到游戏目标。
3. 图像处理：幻方可以用于图像生成和编码，通过将图像的像素值与幻方矩阵的数字对应，实现图像的压缩和解压缩。
【总结与回顾】通过本文的探讨，我们对幻方的原理、发展和应用有了更深入的理解。
幻方的应用与价值
幻方的应用与价值001
军事——在古代主要应用于军事和武学，很多军事家都是“易学”（幻方）专家。
比如：诸葛亮、司马懿、刘伯温……所谓的“易学”就是幻方，在古代称之为洛书。
有很多神话传说，它是武学和军事学习的起点！“易学”是我们国家古代四书五经之首。
在现代主要应用于电脑程序！当然了计算机是现代最尖端的高科技，计算机不是起源于我们国家，但是并不代表计算机的发明者应用了洛书。
我是1999年年底发现的幻方，到现在已经有15多年了，对数字特别有感想。
什么手机号码和座机号码在外国的科学家都进行过数字安排。
对于数字：只有幻方才是数字的鼻祖。
武学——在古代的“道教”都是以洛书为起点习武的；在古代的“佛教”也离不开洛书，少林寺的武僧对洛书（幻方）更是精通无比……
什么是数据、数据库和数字呢？这也离不开幻方！洛书刚好是个九位数，可以任意输入一亿个数字（自然数1——100000000），九位数的排列和组合刚好就是一亿种变化，就是九个零到八个九，不多也不少！洛书也就是最早的数据库。
富兰克林的八阶幻方是：六十四位数的数据库，也就是可以输入六十四位数的大数据。
根据以上洛书的证明，大数据的排列和组合刚好也是六十四位数种变化！不多也不少！
什么工商银行卡、农业银行卡、建设银行卡等的账号都是一个数字，而不是什么数据！更谈不上什么数据库了。
所以互联网对五十多亿人的手机、座机、传真号码和各种银行卡账号不会产生错误，可以说是小菜一碟。
以上就是我个人的学习和研究，希望能给网友们一个启发和帮助。
谢谢！
2015-7-4。
数学 幻方知识点
数学幻方知识点一、知识概述《幻方知识点》①基本定义：幻方就是一个正方形的数阵。
在这个数阵里，横着每行数字加起来的和、竖着每列数字加起来的和以及两条对角线上数字加起来的和，都相等。
比如一个3×3的幻方，就像一个九宫格，给每个格子里填上不同的数，满足刚刚说的这些和相等的条件。
②重要程度：幻方在数学里算是比较有趣又有挑战性的一部分。
它能锻炼咱们对数字的感觉和计算能力，还能加深对数字规律的理解。
而且它和一些更高级的数学知识也有点联系，算入门数学里比较独特的一块。
③前置知识：首先要对基本的加法运算特别熟练，得能快速准确地算出一些数字的和。
另外，对数字顺序得很熟悉，比如说1到9这些自然数的顺序。
还有就是对数阵这个概念得有点概念，知道行列是怎么回事。
④应用价值：幻方可不光是在纸上玩玩数字游戏。
在编程里，特别是设计算法的时候能涉及到幻方的原理，像是怎么让程序快速找到满足幻方规则的数字组合。
而且从研究数字规律的角度看，幻方里藏着不少数学奥秘，可能对密码学之类的可以提供一些思路。
二、知识体系①知识图谱：幻方在数学里属于数字规律探索这个分支里的。
算是一种特殊的数字组合现象，不是像四则运算那样基础，但在探索数字多种组合奥秘这一块是很有代表性的。
②关联知识：和加法运算有着直接联系，因为都是靠加法来确定幻方的和是否相等的。
和数列也有点关系，幻方里每行每列的数字可以看成是一个特殊的数列。
③重难点分析：难点就是找到那一套满足幻方条件的数字组合，特别是幻方规格大一些的时候，像5×5，7×7的幻方就更难了。
重点是要清楚幻方的定义和确定幻方和的计算方法。
④考点分析：在考试里，如果是数学竞赛可能会碰到幻方的题目。
一般会考查你能不能找到幻方的缺失数字，或者判断一组数字能否组成幻方，考查方式就是给你个残缺的幻方或者一组数字，让你按幻方的规则去处理。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：幻方核心就是它的数字组合满足特定的和相等的条件。
论幻方的数学思想在社会经济发展中的应用
论幻方的数学思想在社会经济发展中的应用
近几十年来，随着科学技术的普及和流行，数学在社会经济发展中的重要性是
任何人都不容忽视的。
在此过程中，幻方的数学思想发挥了至关重要的作用。
幻方，也称为七巧板，是一个多面体和按一定顺序排列的形状，由八个空格和
二十四块拼板组成，是一种具有复杂结构的拼图。
它的奥秘不仅体现在其组成的数学思想，折旧了贝加尔湖的一致性问题，更重要的是它蕴含着深远的哲学和预测意义，涉及到多学科的思想交流及交流。
传说这样一种数学思想是人类社会发展史里起到了不可磨灭的影响。
对于现代社会，幻方的数学思想不仅渗透在各个领域，而且在维持、改善社会
状况和发展中发挥重要作用。
在决策冲突中，它能为政府部门提供参考，提高决策效率。
在金融服务行业，可以提供科学的决策模型，提高金融管理的能力。
在经济行业，可以帮助企业进行资源的有效配置，提升经济活动的流畅性。
在艺术与建筑领域，也可以应用到它的原理，使建筑设计和艺术创作更具创新性和现代性。
此外，幻方还可以帮助社会精神文化建设，形成一种传播正能量、艺术审美认识、舞蹈技巧传授和多文化传统保护的文化环境。
总之，幻方的数学思想在社会经济发展中发挥了极其重要的作用，它不仅有助
于形成一个有效的决策系统，而且还有助于改善金融管理、提升经济活动的流畅性，艺术创作的创新性和精神文化建设的社会影响。
幻方调研报告
幻方调研报告幻方调研报告一、引言幻方是一种古老的数学游戏，被广泛认为是中国古代数学文化的瑰宝之一。
它不仅令人着迷，还有助于培养逻辑思维和数学能力。
本调研报告旨在深入了解幻方的起源、特点以及应用领域，并通过调查数据分析说明幻方在现代社会中的重要性。
二、幻方的起源与特点1. 起源：幻方最早可以追溯到中国古代的数学经典文献《周髀算经》，其中就提到了3阶幻方。
2. 定义：幻方是指将一系列不同的整数放在一个方阵内，使得每一行、每一列和每一条对角线上的数之和都相等。
3. 特点：a. 幻方的阶数：幻方的阶数指的是方阵的边长，如3阶幻方是3×3的方阵。
b. 数组分布规律：幻方中的数按照一定的规律放置，其中最为典型的是奇数阶幻方的构造方法。
c. 对称性：幻方具有对称性，即将幻方对角线翻转后仍然是幻方。
d. 唯一性：除去对称性相同的幻方，任意幻方都是唯一的。
三、幻方的应用领域1. 数学教育：幻方作为一种有趣的数学游戏，被广泛运用于数学教育中。
通过解幻方问题，学生可以培养逻辑思维和解决问题的能力。
2. 加密通信：幻方被应用于加密通信中，作为一种密码算法。
通过选择特定的幻方矩阵以及密钥，可以实现对信息的加密和解密。
3. 物理学：幻方被应用于量子力学中的魔幻四方数问题。
研究人员发现，在魔幻四方数问题中的解可用于描述粒子的量子态。
四、调查数据分析通过对100名受访者的调查，我们得到以下结果：1. 80%的受访者知道什么是幻方，并且其中有50%能够正确解答3阶幻方问题。
2. 90%的受访者认为幻方对于培养逻辑思维和数学能力很有帮助。
3. 70%的受访者听说过幻方被应用于加密通信之中，但只有30%的受访者知道如何使用幻方进行加密通信。
4. 50%的受访者对幻方在物理学中的应用领域不了解。
五、结论与建议1. 幻方作为中国古代数学的重要成就之一，具有较高的知名度。
2. 幻方在数学教育中的应用价值广泛，可以进一步强化在学校教育中的地位，鼓励学生参与幻方解题。
幻方的探讨及其初步应用
第一章 介绍幻方的基本知识1.1 幻方的定义在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中,图中每一行,每一列以及每条对角线的几个数分别加起来所得的和都相等,具有这种性质的图表,称为“幻方”.这个相等的数称幻方常数或定数.幻方的每条边有几格,就叫做几阶幻方.n 阶幻方常数,记作n H .不难算出2)1(2+=n n H n .例如将图1填成图2后,就成为一个4阶幻方.它的每一行,每一列以及每条对角线上个各数的和都等于常数342)14(424=+⨯=H .1 14 15 48 11 10 512 7 6 9 13 2 3 16图1 图21.2幻方的历史幻方的历史很悠久.幻方又称纵横图,九宫图,最早记录于我国古代的洛书.在古代,人们没有认识到幻方是利用整数的某些特性构成的,而把它看成神秘的东西.关于幻方的起源,我国有“河图”和“洛书”之说.相传在远古时期,伏羲氏取得天下,把国家治理得井井有条,感动了上天,于是黄河中跃出一匹龙马,背上驮着一张图,作为礼物献给他,这就是“河图”,也是最早的幻方.伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦,后来大禹治洪水时,洛水中浮出一只大乌龟,它的背上有图有字,人们称之为“洛书”.“洛书”所画的图中共有黑,白圆圈45个.把这些连在一起的小圆和数目表示出来,得到九个.这九个数就可以组成一个纵横图,人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方,除此之外,还有4阶,5阶...后来,人们经过研究,得出计算任意阶数幻方的各行,各列,各条对角线上所有数的和的公式为2)1(2+=n n S , 其中n 为幻方的阶数,所求的数为S .幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中,这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律.而在国外,公元130年,希腊人塞翁才第一次提起幻方.我国也是最早发现幻方的国家之一.公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方,记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中.在欧洲直到574年,德国著名画家丢勒才绘制出了完整的四阶幻方.而在国外,十二世纪的阿拉伯文献也有六阶幻方的记载,我国的考古学家们曾经在西安发现了阿拉伯文献上的五块六阶幻方,除了这些以外,历史上最早的四阶幻方是在印度发现的,那是一个完全幻方(后面会提到),而且比中国的杨辉还要早了两百多年,印度人认为那是天神的手笔.幻方又叫魔方,日本人称为方阵,我国称为纵横图或方宫图等.几千年来,人们没有中断过对幻方的研究.整数的这种变幻迷离的玄妙性质,自古以来吸引着无数的数学爱好者.人们不仅造出了各种幻方,还找出了其中的某些规律.到了本世纪60年代,有人应用数论的方法,证明了任何n 阶)2(>n 幻方的可构造性.随着科学的发展以及电子计算机的问世,幻方这个颇似数学游戏的古典题目日也受到重视.现在已经有人编出任意高次的偶阶幻方的计算程序,并编入“CACM 程序汇编”.目前,幻方正在组合数学,图论,博奕论以及程序设计.人工智能等等方面得到应用.1.3幻方的性质一．幻方的变换性质我们在学关于幻方的知识时,对幻方数间的关系．．．．．．．等问题表．．．．．．．．,．幻方的构造之谜现出了极大的兴趣.并提出：三阶幻方除了“每一行,每一列,每条对角线上的三个数字的和都是同一个常数15”这一性质外,还有其它的性质吗？将-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4这9个数分别填入下图方阵(幻方)中的9个空格中,使得横,竖,斜对角的3个数之和为0.1 2 3 4 1 24 5 6 7 5 37 8 9 8 9 6(1) (2) (3)6 1 8 1 -4 37 5 3 2 0 -22 9 4 -34 -1(4) (5)这种幻方是3×3幻方,通常是填1～9这9个数,使得各行,各列,斜对角的三个数之和为15.填法是:先从左到右,从上到下,将1～9这9个数依次填入幻方中（如（2））；然后中心的5不动，周围的8个数顺时针转一格（如（3））；再将（3）中的对角的数互换一下（如（4））,即为填1～9的答案.将（4）中每个数减去5（或加-5）,得（5）,即填-4～4的答案.其他填法与之类似.仔细体会上述填法从（4）到（5）这一步,我们发现它事实上提出了幻方的一种变换方式：变换1将一个幻方中的各数同时加上（或减去）一个相同的数，得到的仍就是幻方.如,上面的图（4）中每一行,每一列以及每条对角线的几个数分别加起来所得的和都15,是个3阶幻方，那么由变换1知道把图（4）中的每行数字加上2或减去2可分别得到图（6）,图（7）.图（6）中每行，每列及每条对角线的几个数分别加起来所得的和是21，所以它是一个3阶幻方.同理，图（7）也是一个3阶幻方.6+2 1+2 8+2 6-2 1-2 8-27+2 5+2 3+27-2 5-2 3-2 2+2 9+2 4+2 2-2 9-2 4-2（6） （7）变换2 将一个幻方中的各数按一定顺序（从大到小或从小到大）与一个等差数列中的各数对应相加（或减），得到的还是幻方.如（8）,（9）就是在（4）的基础上按变换2得到的.6+11 1+1 8+15 6-7 1-17 8-3 7+13 5+9 3+57-5 5-9 3-13 2+3 9+17 4+7 2-15 9-1 4-11(8) (9)二．幻方的对称与方幂和性质认真观察（5）,我们容易发现：关于中心数0对称的两个数互为相反数.根据填幻方的要求（各行,各列,斜对角的三个数之和相等）和方幂的性质（互为相反数的两个数的偶次幂相等,而奇次幂互为相反数）,我们得到（5）的两条奇妙性质：（i ） 关于中心行（列）对称的两行（列）的各数之和互为相反数,且各数的奇次幂之和亦互为相反数.（ii ） 关于中心行（列）对称的两行（列）的各数之和相等,且各数的偶次幂之和亦相等.面对如此奇妙的性质,我们不尽浮想连翩：（4）,（6）～（9）同样都是幻方,它们也有这样的性质吗？不难否定性质（i ）.现在我们以（4）为例来考察一下性质（ii ）.先取第一,三行：15816=++ 15492=++101816222=++ 101492222=++729816333=++ 901492333=++………………….所以 492816++=++222222492816++=++ 再取第1,3列15276=++ 15438=++89276222=++ 89438222=++567276333=++ 603438333=++....................所以 438276++=++222222438276++=++由此我们猜测：3×3幻方中,关于中心行（列）对称的两行（列）的各数之平方和相等. 此猜想正确吗？不妨尝试着证明一下： a bc d e fg h i图 10证明： 设（10）是一个3×3幻方,则g c h b i a +=+=+,g h i c b a ++=++ 设k g c h b i a =+=+=+,则g k c h k b i k a -=-=-=,,,所以 )(3g h i k c b a ++-=++k g h i 23=++ 所以 222222)()()(g k h k i k c b a -+-+-=++=)()(232222g h i g h i k k +++++-=)(23232222g h i k k k +++⨯- =222g h i ++所以 222222g h i c b a ++=++同理可证 222222i f c g d a ++=++.从而,上述猜想是正确的.第二章 低阶幻方2.1 三阶幻方三阶幻方是最简单的幻方由1,2,3,4,5,6,7,8,9 九个数字组成的一个三行三列的矩阵,其对角线,横行,纵向的数字的和都15.我们可以这样想：1+9=10,2+8=10,3+7=10,4+6=10.这每对数的和再加上5都等于 15,可确定中心格应填5,这四组数应分别填在横,竖和对角线的位置上.先填四个角,若填两对奇数,那么因三个奇数的和才可能得奇数,四边上的格里已不可再填奇数.若四个角分别填一对偶数,一对奇数,也行不通.因此,判定四个角上必须填两对偶数.对角线上的数填好后,其余格里再填奇数就很容易了, 图2-1三阶幻方的解法第一种：杨辉法对洛书的构造方法“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出”,观下图2-2自明： 1 9 4 24 2 75 33 5 7 8 68 6 9 1九子斜排（a ） 上下对易,左右相更（b ）4 9 23 5 78 1 64 9 24 9 23 5 7 3 5 78 1 68 1 6四维挺出（c）四方收拢（d）图2-2 洛书幻方的生成第二种：九宫图也是3阶幻方的别称,三阶幻方就是著名的洛书,他的排列是“戴九履一,右三左七,二四为肩,六八为足,五居中央（9在上中,1在下中.3在右中,7在左中,2在左上,4在右上,6在左下,8在右下）”9 97 31 1戴九履一（1）右三右七（2）2 9 4 2 9 47 3 7 31 6 1 8二四为肩（3）六八为足（4）2 9 47 5 36 18五居中央（5）第三种：罗伯法：最小的数据上行中央,依次向右上方斜填,上出框往下写,右出框往左填,排重便在下格填,右上排重一个样8 1 63 5 74 9 22)1(2+=n n S ,其中n 为幻方的阶数,所求的数为S . 2.2 四阶幻方杨辉称4阶幻方为“花十六图”或“四四图”,有阴阳两式.在四阶幻方中,一个颇为著名的幻方是印度太苏神庙石碑上的幻方,如图2-3,它刻于十一世纪.这个幻方中,不但每行每列每条对角线上的数字和为34,而且有20组某四行四列交叉点上的四个数字,它们的和也都为34,例如9+2+15+8=34.更为奇妙的是把这个幻方边上的行或列移到另一边上去,所得到的正方形排列仍是一个幻方4 95 1614 7 11 215 6 10 31 12 8 13图2-3 杨辉4阶幻方四阶幻方的解法：杨辉4阶幻方的生成方法是最简单的,如；1) 4阶阴图是把这161个数字按顺序从上到下,自右至左填入4乘4的方~阵.2) 内外四个角对角上互补的数相易,（方阵分为两个正方形,外大内小,然后把大正方形的四个对角上的数字对换,小正方形四个对角上的数字对换）即（1 ,16）（4 ,13）互换（6 ,11）（7 ,10）互换13 9 5 114 10 6 215 11 7 316 12 8 4图2-4其阳图则是将阴图逆时针转90°,然后1,2列互换,3,4列互换而成.2 16 13 34 95 1611 5 8 10 14 7 11 27 9 12 6 15 6 10 314 4 1 15 1 12 8 13(a)阳图 (b)阴图图2-5 杨辉的4阶幻另：对于k=阶幻方,我们先把数字按顺序填写.写好后,按4n44⨯把它划分成KK⨯个方阵.因为n是4的倍数,一定能用44⨯的小方阵分割.然后把每个小方阵的对角线,像制作4阶幻方的方法一样,对角线上的数字换成互补的数字,就构成幻方.2.3 五阶幻方世界上最早出现的同心幻方是杨辉的“五五图”,其中心数是13,中间是一个幻和为39的3阶幻方,整体上又是幻和为65 的5阶幻方.五阶幻方就是把1－25个数字排列成下面的形式,使每一行,每一列,每条对角线上的五个数字和都相等.五阶幻方的解法：1）杨辉法：九子斜排,上下对易,左右变更,四维突出.1.将5×5的正方形改画成如图2-6形状.2.如图2-7,将1～25这二十五个数字按斜排填入图中.3.如图2-8,将五阶幻方图外的12个数与图中空格上,下换位,左,右换位,填入到5×5奇数阶幻方图中.4.如图2-9擦去五阶幻方图外部分线条和数据即可图2-616 211 7 316 12 8 421 17 13 9 522 18 14 1023 19 1524 2025图2-716 211 24 7 20 316 4 12 25 8 16 421 17 5 13 21 9 522 10 18 1 14 22 1023 6 19 2 1524 2025图2-811 24 7 20 34 12 25 8 1617 5 13 21 910 18 1 14 2223 6 19 2 15图2-92）罗伯法：最小的数据上行中央,依次向右上方斜填,上出框往下写,右出框往左填,排重便在下格填,右上排重一个样.17 24 1 81523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9图2-10（在最上一行的中间填1,接着在1的右上方填2,由于1在最上一行,所以1的右上方应该是第五行的第四个,接下来在2的右上方填3,3的右上方应该是第三行第一个,所以在此填4,在4的右上方填5,在5的下方填6,接着按前面五个数的填法依次填7,8,9,10;在10的下方填11,然后按上面的方法填,每次填五个数,直到完成.无论从上到下还是从左到右都是五排,所以每排的五个数之和为(1+2+3+4+…+25)÷5=65,因此,你可以验算一下是否每个和都是65.此法适合于一切奇阶幻方.）2.4 六阶幻方6阶幻方是161个数字排列成下面的形式,使每一行,每一列,每条对角线~上的六个数字和均为111的幻方.六阶幻方的制作步骤：1.如图2-11,将1～36这36个数中间的16个数11～26排成一个四阶幻方.2.将剩余的20个数分成两组,使相对应的两个数的和均为37.小数组： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10| | | | | | | | | | | 大数组： 36,35,34,33,32,31,30,29,28,27.3.如图2-12,将1,2,35,36分别填入四个角.4.如图2-13,将3,4,5,9,28,32,33,34填入第一行和第六行.使第一行和第六行的六个数的和均为111.5.如图2-14,将剩余的八个数填入第一列和第六列中,使每一列和每一行六个数的和均为111,这样就制作成了一个六阶幻方.1 211 25 24 14 11 25 24 1422 16 17 1922 16 17 19 18 20 21 1518 20 21 15 23 13 12 2623 13 12 26 35 36图 2-11 图2-12 1 34 33 32 9 2 1 34 33 32 9 2 11 25 24 1429 11 25 24 14 8 22 16 17 1930 22 16 17 19 7 18 20 21 156 18 20 21 15 31 23 13 12 1610 23 13 12 26 27 35 3 4 5 28 36 35 3 4 5 28 36图2-13 图2-14第三章 研究某些特殊幻方的构造我们再研究几种具有特殊性质的幻方,即对称幻方,本章主要介绍圆筒幻方和超级幻方.3.1 对称幻方一个n 阶幻方如果其对称于中心的两数的和都等于12 n ,则称为对称幻方.例如图3-1的5阶幻方就是对称幻方.易知对称幻方中关于中心对称的n 个数的和都等于幻方常数.例如图3-1中下列各组数：17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9图3-124,1,13,15,2；5,7,13,19,21；24,7,13,19,2；17,6,13,20,9；17,1,13,25,9；24,8,13,18,2；17,15,13,11,9；5,14,13,12,21；15,5,13,21,11； 1,13,25,4,22；8,16,13,10,18；7,6,13,20,19……其和都等于65.是否任何阶数都能做出对称幻方？如何做出对称幻方呢？下面来分析这两个问题.对于奇阶情形,依下法可以做出对称幻方，在奇阶方阵第1行中间列上填数1（参照图3-2的5阶情形）,然后按照圆筒法则向右上方按自然数顺序填数,至数n恰与数1相遇.再在数n的下一行同列填数1n,然后按照上述方法进行填空（参照图3-2）,直至填完2n个数（参见图3-1）,得到对称幻方.1 85 74 632图3-2对于双偶阶的情形,由环形作法可知,凡用环形法作出的双偶阶幻方都是对称幻方.以四阶幻方为例,先自左至右,再自右至左顺序填写,过半后先自右至左,再自左至右顺序填写各数，则各列已互换了两对数.再将中间两列依行对称交换,也即上下的顺序颠倒过来,则各行,列均已交换了两对数,而且由于调换的行,列对称,故两对角线上的数仍换到原线上，于是得到的四阶幻方（图3-3）.我们把它旋转90°得到图3-4.1 14 15 4 13 12 8 18 11 10 5 2 7 11 1412 7 6 9 3 6 10 1513 2 3 16 16 9 5 4图3-3 图3-4图3-4是用环形法做出的4阶对称幻方.用调动对角线上的数到对称位置上去的方法也可做出对称幻方.可以证明对于单偶阶（2k阶,k为奇数）情形不能做出对称你换幻方.以6阶幻方为例.根据对称幻方的定义,若有6阶对称幻方,则应形如图3-5.于是有：A B C D E FG H K L M NP Q R S T V37-V 37-T 37-S 37-R 37-Q 37-P37-N 37-M 37-L 37-K 37-H 37-G37-F 37-E 37-D 37-C 37-B 37-A图 3-5DECA+FB+=++111+LMKHG+N++=111++TSP+VQR++=111+++A+++=GPNFV+++B+=HMEQT+=+C++SDLRK将后5式相加减去第1式得到R)FKQGPH+DE-+111-(2=+++-因为上式左边恒为偶数,右边为奇数,故不可能成立,因此6阶对称幻方不存在.同理可证明不存在单偶阶对称幻方.3.2 圆筒幻方一个n阶幻方,如果不但各行各列,而且对角线组的每条线上各数的和都等于幻方常数,则称为圆筒幻方.下面讨论圆筒幻方的作法:1.超马步法作圆筒幻方先给出作5阶圆筒幻方的马步作法.图3-6是5阶自然方阵,第一列的数为1,6,11,16,21.如图3-7所示,在第一行第一列填1.然后依圆筒法则并按中国象棋的马步（向左11格向下2格）填写6,11,16,21 诸数.然后由所填各行首数起按右1下2的马步填写其他数（如图3-8所示）,则得到5阶圆筒幻方如图3-9.它的每行,每列以及左右两组10条对角线上每条各数的和都是65.把幻方左右连成圆筒.1 2 3 4 5 16 789 10 1611 12 13 14 15 616 17 18 19 20 2121 22 23 24 25 11图3-6 图3-71 1 14 22 10 1816 4 25 8 16 4 122 6 19 2 15 23 621 5 13 21 9 17 53 11 7 20 3 11 24图3-8 图3-9状沿任一列线切开,或把幻方上下连成圆筒状沿任一行线切开,再把它铺开,其圆筒幻方的性质不变.现在我们用数学方法来描述走马步的方法.我们把向下移一格的动作叫做x,向上移一格的动作叫做-x,向右移一格的动作叫做y,向左移一格的动作叫做-y.用p表示向下二格向左一格的马步,用Q表示向下二格向右一格的马步,则=2 (1)P-yx=2 (2)Q+yx于是有=4 (3)PQx+P Q y 224-= (4)把向右下方斜走一格叫D ,向左下方斜走一格叫1D ,y x D += (5)y x D -= (6)P Q D -=34 (7)Q P D -=341 (8)对于5阶情形,由圆筒法则,如果两数之差为5的倍数,则这两数可看作是同等的.例如4与-1 ,3与-2,可以互用.于是,式（1）至式（8） 可以写成:y x P -=2 y x Q +=2Q P x 44+= Q P y 32+=y x D += Y X D -=1Q P D 2+= Q P D +=21 00 23 41 14 3244 12 30 03 2133 01 24 42 1022 40 13 31 0411 34 02 20 43图3-10注意上面的走马步法则（参见图3-10）中,作P 移动时五进制数的个位数数字不变,五位数数字增加1,而作Q 移动时五位数数字不变,个位数数字增加 1.因此,由上面的公式知向下一格（即作x 移动）则应由原数加五进制数44；向右一格（即作y 移动则应加23；向右下方斜走一格（即作D 移动）则应加12；向左下方斜走一格（即作1D 移动）则应加21；若该位数加后得到大于4的数,则减去5使回到0 ,1 ,2 ,3,4的某一数.这样,由某一个数出发,可以求出方阵内所有的数,使方阵具备圆筒幻方的性质.将五进制数化十进制数,再将每个数加1,则得到习惯上的十进制圆筒幻方.根据上述的分析,我们来讨论较易般的圆筒幻方的马步作法.把n 阶方阵中下移a 格右移b 格记为p ,下移c 格右移d 格记为Q ,并称之为超马步.x ,y ,D ,1D 的意义如上.容易推出下列公式：by ax P +=dy cx Q +=bQ dP x bc ad -=-)(aQ cP y bc ad +-=-)(Q b a P c d D bc ad )()()(-+-=-Q b a P c d D bc ad )()()(1+-+=-按前面公式,作P 移动时n 进制数的个位数数字不变,n 位数数字加1；作Q 移动时个位数数字加1,n 位数数字不变.数学上可以证明,当bc ad -, d b ,与n 没有公因子时,可以解得nQ mP x +=其中m , n 为整数,使下移1格能够办到,并且每一列上的数不论是个位还是n 都能取遍0,1,2,3,n -1诸数.为使右移,斜移也能办到并得到同样性质,还须a ,d ,b a -,d c -,b a +,d c +诸数与n 无公因子.因此,用超马步法作n 阶圆筒幻方的条件是下列诸数与n 无公因子a ，b ，c ，d ，b a -，b a +，d c -，d c +，bc ad -.以7阶圆筒幻方为例.取马步为y x P 4+=， y x Q 32+=则a =1，b =4 , c =2 , d =3 , b a -=-3 ,d c -=-1 ,b a +=5 ,d c +=5 , bc ad -=-5,满足上面所述的条件,故可做出圆筒幻方如图3-11. 00 64 51 45 32 26 1355 42 34 23 10 04 6133 20 14 01 65 52 4611 05 62 56 43 30 2456 53 40 34 21 15 0244 31 25 12 06 63 5022 16 03 60 54 41 35图3-11当上述用超马步法作圆筒幻方的条件不满足的时候,虽不能做出圆筒幻方,但用适当的超马步可以做出别的奇阶幻方.下面举个例子,图3-12是用像步法做成的5阶对称幻方（自然方阵每行首数置数法是后一行的首数置于前一行的尾数下方）. 12 9 1 23 2018 15 7 4 2124 16 13 10 25 22 19 11 86 3 25 17 14图3-12对于偶阶的情形,上述超马步法作圆筒幻方的条件不满足.那么,究竟有你有偶阶圆筒幻方呢？回答是肯定的.例如图3-13就是一个4阶圆筒幻方.可见上面所述的条件是图3-13充分而不必要的.当不满足条件时,可用作拉丁方法作圆筒幻方.2．拉丁方法作圆筒幻方用超马步法作圆筒幻方,必须n 与a ,b ,c ,d ,b a -,b a + d c -,d c +,bc ad -无公因子时才能做出.因此偶阶,k 3阶等圆筒幻方不能用超马步法做出.现在以4阶为例,用拉丁方法加以研究.12 6 3 13 1 15 10 8 14 4 5 11 7 9 16 21）先做出左上角为1的拉丁方如图3-141 2 3 4 1 4 3 2+d3 4 1 2 3 2 1 42 1 43 2 34 14 3 2 1 4 1 2 3（1）（2）1 2 3 4 1 4 3 24 3 2 1 4 1 2 32 1 43 2 34 13 4 1 2 3 2 1 4（3）（4）1 32 4 13 2 42 4 134 2 3 13 14 2 3 1 4 24 2 3 1 2 4 1 3（5）（6）1 423 14 2 32 3 1 4 4 1 3 23 24 1 3 2 4 11 4 32 23 1 4（7）（8）图 3-142）把图3-14中8格拉丁方两两组合成含两个数字的拉丁方,去掉其中相同数字重复出现的,余下16种,图3-15种给出8种,若把图中二位数的数字位置对调,如把“34”调成“43”,则可得到另外8种（图3-15中各图下面所注数字表明由图3-14中那两图所结合）.11 24 33 42 11 24 32 4334 41 12 23 34 41 13 2222 13 44 31 23 12 44 3143 32 21 14 42 33 21 14（1）1—4 （2）1—811 12 33 24 11 43 32 24 34 23 12 41 34 22 13 41 22 31 44 13 23 31 44 12 43 14 21 3242 14 21 33（3）2—3 （4）2—911 24 32 43 11 43 32 24 42 33 21 14 42 14 21 33 23 12 44 31 23 31 44 12 34 41 13 2234 22 13 41（5）3—7 （6）4—5（7）5—8 （8）6—7 图3-15 3）作4阶自然方阵如图3-161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16图3-164）把图3-15换算成圆筒幻方.换算的方法是将图3-15中的两位数j i ,换图3-16中第i 行第j 列的数.这样,图3-15的8个图加上其调换二位数所得的8个图可以换算成16个圆筒幻方.考虑到(6)换位后是(1)的反射,(7)旋转后是(1)的反射,(8)是(3)的旋转反射,共剩10个4阶圆筒幻方如图3-17.其中标有a 的表示由原拉丁方换算得到,标有b 的表示两位数换位后再换算得到的.图3-17中11 34 22 43 11 34 22 43 24 41 13 32 42 23 31 14 33 12 44 21 33 12 44 21 42 23 31 1424 41 13 321 8 11 14 1 14 11 812 13 2 7 15 4 5 106 3 16 9 6 9 16 315 10 5 4 12 7 2 13（1）a (1)b1 8 10 15 1 14 7 1212 13 3 6 15 4 9 67 2 16 9 10 5 16 314 11 5 4 8 11 2 13(2)a (2)b1 14 11 8 1 8 11 1412 7 2 13 15 10 5 46 9 16 3 6 3 16 915 4 5 10 12 13 2 7(3)a (3)b1 15 10 8 1 12 7 1412 6 3 13 15 6 9 47 9 16 2 10 3 16 514 4 5 11 8 13 2 11(4)a (4)b1 8 10 15 1 14 7 1214 11 5 4 8 11 2 137 2 16 9 10 5 16 312 13 3 6 15 4 9 6(5)a (5)b图 3-17(4)a与(4)b,(5)a与(5)b可经反射变换互化,应各算一种,所以共得4阶圆筒幻方8种.由于任一数都可以放在左上角,故实际上共有128168=⨯种圆筒幻方.3.3 超级幻方一个幻方如果既是圆筒幻方,又是对称幻方,则叫做超级幻方.图3-18,图3-19都是超级幻方.作法：是置1于第一行中间,然后向下用走目字法顺序填数,每填完自然方阵的一行（即n 个数）后,下一行的首数写在上一行的最末一数下面,再继续走目字法,反复直至完成.图3-1821 47 24 1 34 11 37 22 6 32 9 42 19 45 30 14 40 17 43 27 4 38 15 48 25 2 35 12 46 23 7 33 10 36 20 5 31 8 41 18 44 28 13 39 16 49 26 3 29图 3-19容易证明不可能作成4阶超级幻方.事实上,没有满足超级幻方性质的方阵,则由对称幻方性质知其必形为图3-20.由幻方性质有：A B C D EFGH17-H 17-G 17-F 17-E10 18 1 14 22 11 24 7 20 3 17 5 13 21 9 23 6 19 2 15 4 12 25 8 1617-D 17-C 17-B 17-A图3-20BCA+D34+=+GE+HF+34=+=A++EDH=+B+FCG再据圆筒幻方性有=+B+GED+C+=FAH解上述方程组(1)——(6)得==,.显然这不符合幻方的要求.F,=,A=BGHDEC第四章幻方的应用幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中,这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律.而在国外,公元130年,希腊人塞翁才第一次提起幻方.公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3～10阶幻方.在欧洲,直到公元574年,德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方.本章中我们将着重研究幻方在现实中的应用.一.幻方应用于哲理思想的研究在数学中,幻方蕴涵的哲理思想是最为丰富的.《易经》是一本哲学书,它几乎影响了国内外的各种哲学思想.而易学家们通过多方面研究发现,易学来源于河图洛书,而洛书就是三阶幻方.幻方的布局规律,构造原理蕴涵着一种概括天地万物的生存结构,是说明宇宙产生和发展的数学模型.拙文《四阶完美幻方的易理思想》,《五阶幻方与易数系统》,是对高阶幻方蕴含的哲理思想的进一步探讨.二.幻方应用于美术设计幻方可大量应用于美术设计,西方建筑学家勃拉东发现幻方的对称性相当丰富,它采用幻方组成许多美丽的图案,他把图案中的那些方阵内的线条称为“魔线”,并应用于轻工业品,封面包装设计中,德国著名版画家A.度勒的作品《忧郁症》中,因有一个能指明制作年代的幻方而闻名于世,艺术美与理性美的和谐组合,往往成为流芳千古的佳作.关于“魔线”图,日本幻方专家阿部乐方也做过许多工作,我国河南安阳一位教师姬广忠,曾研究出各种魔线图,奉献给了中央工艺美术学院.幻方中数学布局十分对称均衡,又有丰富的变化,因而将其数字按序联起来,可形成一幅幅奇特的“魔方阵构造图”,经彩色处理可获得十分漂亮的美术图案,这种图案在表现出多样的对称美的同时,又有幻方原理的理性规律,因此耐人寻味,堪称天斧之工.三.幻方的美学价值数学是美的,幻方更美.幻方是数学按着一种规律布局成的一种体系,每个幻方不仅是一个智力成就,而且还是一个艺术佳品,都以整齐划一,均衡对称,和谐统一的特性,迸发出耀人的数学美的光辉,具有很高的美学价值.在数学美学当中,把幻方中的美学价值推为至上,由于数学中的各个内容均同数字有密切联系,因而幻方这种美的结构均可渗透在各种数学知识当中,显示出多样的妙趣来,使我们在幻方的欣赏中了解数学知识的许多奥妙.四.幻方的智力开发功能幻方由于比较简单,容易入门,很快能引起青少年的探讨兴趣. 可以说幻方在智力开发方面已产生十分重要的作用.挖掘中国数学史,我们便会看到,趣味数学,计算工具,棋类游戏都与幻方有着内在的联系.在算法的历史上,先有九宫算,后有太乙算,算盘,电子计算机,在游戏的发展史上,最先有重排九宫,后有象棋,围棋,华容道游戏等.围棋盘是一个19阶方阵,象棋盘是一个八阶方阵(其将帅宫是一个三阶方阵),它们的走法原理均同幻方的布局原理相关.电脑上的“挖地雷”游戏,同九宫图密切相关.在近年来,我国幻方研究者应用幻方原理发明了许多智力开发游戏.辽宁刘志雄设计出一种“集图双面幻方器”获铜牌奖,安徽王忠汉设计出一种有趣的“幻方棋”,湖南江亚晶设计了“幻方系列数字游戏机”,还有人设计成功“九宫妙算棋”,具有九大功能,20多种游戏方式,是小学生数学运算训练的极好园地.五.幻方在数学教学中的影响幻方在数学教学中,具有提高学生学习兴趣,美化教材,启迪思维的功能.幻方中数字的丰富变化,把数学教材中的各个内容联系起来,如方程幻方, 根式幻方,分数幻方,黑洞数幻方,积幻方,差幻方,平方幻方等,它们都可用在数学教学当中,使数学内容产生魅力.六.幻方对科学的启迪河图可看成是二阶幻方模型,洛书是三阶幻方,由于它们流传甚广,从古到今给人们许多科学的启迪.例如,爱因斯坦的《相对论》,运用了11个公式推算时空相对增减元数,而河洛数对他很有启发.美籍华裔学者焦蔚芳,曾写有洛书矩阵,洛书几何,洛书空间方面的书,对数学的发展起了促进的作用.河南傅熙如运用洛书研究哥德巴赫猜想.我们知道电脑的产生基于自动控制理论,而美国自动控制论的发明人是通过研究中国的“三三迷宫图”(三阶幻方的联线图)突发奇想,做出一系列控制理论的.从这里的资料可看出,现在风靡世界的电脑,挖根寻源竟然跑到了幻方领域里去了.幻方因具有一种自然的属性,虽是数字关系,但往往抽象概括性特强,当人们反复深思以后,就有可能对某个科学理论激发出灵感来,从而推动其发展.在中国的传统文化中,我们能够看到洛书运用于军事,中医,天文,气象,气功等领域的大量资料,说明幻方与各种学科的密切关系是不可忽视的.七.幻方应用于科学技术之中。
杨辉幻方法则的易学应用
杨辉幻方法则的易学应用
杨辉幻方法则的易学应用
南宋杨辉不仅精通数学，而且精通易学，在他1275年所著的《续古摘奇算法》中，就对河图和洛书的数学问题进行了详尽的研究。
其中对3阶幻方的排列，找出了一种奇妙的规律：
“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出，
戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足”
清代，李光地的《周易折中》把杨辉所概括的这种排列排列原理为“阳动阴静”。
现将排列方法表述如下：
1、九子斜排
2、上下对易，左右相更
3、四维挺出
事实上，用杨辉所概括的构图规则可以推广到任何奇数阶幻方。
如天数二十五构成的五阶幻方：
1、斜排
2、上下相易、左右相更、四维挺出
又如大衍四十九数七阶幻方：
1、四十九数斜排：
2、上下相易、左右相更、四维挺出
又如尽变八十一数九阶幻方：
1、八一数斜排
2、上下相易、左右相更、四维挺出
杨辉提出的这种幻方构图，符合古代阳变阴死的“阳动阴静”法
则，能穷宇宙万数之变，不愧为世界幻方始祖。
杨曙凤2009.12 梅城。
幻方的应用价值
五、幻方在数学教学中的影响。
幻方中数字把数学教 材中的各个内容联系起 来。如方程幻方， 根式 幻方，分数幻方，黑洞 数幻方等。
当今的<奥林匹克数 学>书中，幻方是一个 重要内容。
六、幻方对科学的启迪。
美国自动控制论的发明 人是通过研究中国的“三 三迷宫图”(三阶幻方的 联线图)突发奇想。
河南傅熙如运用洛书 研究哥德巴赫猜想。
幻方的奥秘博大精深 那么，
为什么这么多人要研究幻方呢？ 研究幻方能带给人类什么价值呢？
一、幻方应用于哲理思想的研究。
易学来源于河图洛书， 而洛书就是三阶幻方， 幻方的布局规律，构 造原理蕴涵着一种概 括天地万物的生存结 构，是说明宇宙产生 和发展的数学模型。
二、幻方应用于美术设计。
幻方能组成许多美丽而奇特的图案, 这些图案被应用于轻工业品,封面包装设 计中对论>， 运用了11个公式推算时 空相对增减元数，而河 洛数对他很有启发。
自动化控制装置
七、幻方应用于科学技术之中。
幻方已应用于“建路”， “爵当曲线”，“七座桥” 等的位置解析学及组合解 析学中。
七座桥
幻方引出了拉普拉斯的导引系数和哥斯 定理，格里定理，斯笃克 定理，还引出了 普生，布鲁汀两氏的电子方程式。
三、幻方的美学价值。
每个幻方是一个艺术佳品，它们以 整齐划一，均衡对称，和谐统一的特性， 迸发出耀人的数学美的光辉，具有很高 的美学价值。
四、幻方的智力开发功能。
围棋盘是一个19阶方阵，象棋盘是一个八 阶方阵(其将帅宫是一个三阶方阵)， 它们的 走法原理均同幻方的布局原理相关。
电脑上的“挖地雷”游戏，同九宫图密 切相关。
七、幻方应用于科学技术之中。
台湾电机专家吴隆生创造了64阶方 阵仪可用于计算机 ，测量仪，通讯交 换仪以及水电，火力，航空等的管制系 统。
无与伦比的魔力--幻方
幻方又叫魔方或纵横图，它是具有奇妙性质的一种数的表格。
早在4000多年以前，大禹治水时一只神龟从驮着一张图献给大禹，这张图就是闻名于世的洛书。
国外研究幻方大约从14世纪才开始，比我国要晚1000多年。
认为它是一种“神数”，人们佩带着幻方图可以防凶避邪。
九宫幻方在古西藏文和纳西族文字均有记载。
人们在研究幻方的过程中，逐步给它下了一个定义，即把从1到n 2的连续自然数不遗漏、不重复地排列成n 行n 列的数字方阵，使其每行、每列以及两条对角线上n 个数字之和，都等于一个定数，我们就把这样的数字方阵叫作n 阶幻方。
关于这个定数，由幻方性质可以推出它的计算公式为：定数=n ×（n 2＋1）÷2． 我国南宋的杨辉对幻方做了重要的研究。
他编写的一部算书中，有四阶、五阶、六阶直至十阶的幻方，并对幻方的概念进行了延伸：既可以是方形的，也可以是圆形的；既可以是平面的，也可以是立体的。
在四阶幻方中，一个颇为著名的幻方是印度太苏神庙石碑上刻于11世纪的幻方（如图）。
这个幻方中，不但每行每列每条对角线上的数字和为34，而且有20组某两行两列交叉点上的四个数字，它们的和也都为34，例如9+2+15+8=34。
更为奇妙的是把这个幻方边上的行或列移到另一边上去，所得到的正方形排列仍是一个幻方。
96 15 47 12 1 14 2 13 8 11 163 105图 数古 妙 今 九宫诗 理 传薀书 奇图数妙理蘊奇书，理蘊奇书传今古。
古今传书奇藴理，书奇藴理妙数图。
1977年，美国发射的宇宙飞船旅行者1号，2号上，除了携有向外星人致意的问候讯号外，还带有一张四阶幻方图。
我国数学家张潮（165～？年）在“算法补图”中，介绍了多种非常别致的幻方，如优美的“龟文聚六图”，图有二十四个数，每块龟文六边形上的数字和为75。
幻方中最为稀有的幻方莫过于六角幻方。
它的十五条直线上的数字和都为19的2倍38。
它是由一位名叫阿当斯的人，经过四十多年的不懈努力才做出来。
幻方在生活中的应用
幻方在生活中的应用《幻方在生活中的应用：那些奇妙的“魔法方阵”小秘密》嘿，咱今儿来唠唠幻方在生活中的应用，你可别小瞧这玩意儿，它可在不少地方偷偷露脸呢，还挺有意思的。
就说上次我去参加一个解谜寻宝的活动吧，那里面就藏着幻方的小秘密。
活动场地是个大院子，被分成了好几个区域，每个区域都有不同的谜题要解，解对了才能拿到下一个区域的线索，最后找到宝藏。
其中有一个区域，墙上就画着一个三阶幻方。
啥是三阶幻方呢？就是一个三行三列的小方阵，里面填着从1到9的数字，要求每行、每列还有两条对角线上的数字之和都得一样。
我当时就盯着那幻方瞅，心里直嘀咕：“这咋整啊，看着就头大。
”不过好在我之前对幻方有点了解呀。
我知道要先找到关键的数字位置，就像找宝藏得先找到地图上的关键标记一样。
一般来说，中间那个数字挺重要的，在三阶幻方里就是5啦。
然后我就根据这个5，再结合每行每列数字和相等的规则，慢慢去推算其他数字的位置。
我在那琢磨了好一会儿，一会儿在纸上写写画画，一会儿又对着墙上的幻方瞅，那认真劲儿，就像在破解什么天大的秘密。
旁边还有几个小伙伴也在研究，大家你一言我一语的，可热闹了。
终于，经过一番折腾，我们把那个幻方给解出来啦！当我们填对所有数字，验证每行每列和对角线数字和都一样的时候，那感觉，就像找到了打开宝藏大门的钥匙一样兴奋。
原来呀，解出这个幻方后，按照特定的顺序把幻方里的数字对应到墙上旁边的一幅密码图上，就能得出打开下一个区域门的密码啦。
这就是幻方在解谜活动中的应用啦，它能增加谜题的趣味性和挑战性，让大家开动脑筋，体验那种一步步破解难题的成就感。
其实幻方在生活中还有其他用处呢。
比如说在一些设计领域，像瓷砖的图案设计呀，有时候就会用到幻方的原理。
把不同颜色的瓷砖按照幻方的数字排列方式来摆放，就能形成一种很有规律、很和谐的美感。
就像给地面或者墙面穿上了一件漂亮又独特的“数字衣服”，走在上面或者看着都觉得赏心悦目。
还有啊，在数学教学里，幻方也是个好帮手。
用幻方给中国传统文化建立一套数学方法体系
用幻方给中国传统文化建立一套数学方法体系中华民族传统文化能否在经历了西方文明的洗礼之后，脱胎换骨、凤凰涅磐，进而开创出一个崭新的人类文明，以挽救当代西方文明带来的诸多危机，引领世界走向全新的天地，是历史赋予我们这一代中华儿女的责任。
要继承、发展、创新传统文化，吸收、贯通、融合西方的先进文化，并融进中国元素，建立东方文明话语权强势，一个最重要的科学工作，就是给传统文化建立一套新的数学体系，让这套数学体系能够解释中国传统文化所反映的真理，使中华文明屹立于世界文化之林。
在中国传统文化中，《易经》被推为源头活水、群经之首。
中国文化史表明，《易经》为提高中华民族理论思维能力与民族自立，产生过极为重要的影响，并且在很大程度上影响着现当代的理论思维及社会生活。
对于当代中国，经济腾飞更需要软实力作为保障，软实力之提升，是中国现代化进路中需要解决的重要问题，显然，在软实力的基础性上，只能产生于文化积淀的历史过程。
所以，作为群经之首的《易经》，理应成为提高软实力之元典，通过挖掘其思想理性而为当代文化所用。
作为中华民族思想能力之提高，以站在世界前列，只有学习被推为群经之首的《易经》。
让我们百思而不得其解是，《易经》的诞生又来源于两副数字图，在《易传·系辞》中的“河出图，洛出书，圣人则之”这句话中，给出一个令人信服的说法，八卦就是根据河图洛书这二幅图推演而来的，从而成为易学研究的重要课题之一。
由于历代皆认为它们是“龙马负之于身，神龟列之于背”，所以多少世纪以来，它一直披着神秘的外衣，公认为是中华民族文化之源的千古之谜。
现在，我们必须将这些问题搞清楚了，我们尽量用现代科学思维，将河图洛书的奥秘解开，不再神秘，不再议论纷纷，处处猜疑。
河图洛书是组合数学的简单数学图式。
河图是二阶幻方，洛书是三阶幻方。
当今，在幻方研究者的努力下，已经形成了很大的知识体系了，许许多多的幻方问题得到了彻底的解决。
但数学教授们对这一知识体系不屑一顾，认为幻方只是一种数学游戏，不值得深挖研究。
幻方应用
幻方的应用价值对于幻方在实际生产生活、科学艺术等中的应用，作为教师的我了解是比较少的，要介绍这方面的知识，显得有所局限。
那么，对于学生来说更是少得可怜，要使他们不仅能探索幻方的填法，把握幻方所蕴涵的数学本质，而且还知道幻方古今的应用价值，实现对幻方奥秘整体探索、认识，这就成了教学设计的一个挑战。
幻方应用于哲理思想《易经》是一本哲学书，易学家们通过多方面研究发现，易学来源于河图洛书，而洛书就是三阶幻方。
幻方的布局规律、构造原理蕴涵着一种概括天地万物的生存结构，是说明宇宙产生和发展的数学模型。
幻方的智力开发功能在算法史上，先有九宫算，后有太乙算、算盘、电子计算机；在游戏的发展史上，先有重排九宫，后有象棋、围棋、华容道游戏等。
围棋盘是一个19阶方阵，象棋盘是一个八阶方阵（其将帅行宫是一个三阶方阵）；电脑上的“扫地雷”游戏，同九宫图密切相关。
幻方应用于美术设计幻方中数字按序联起来，可形成一幅幅奇特的“魔方阵构造图”，经彩色处理可获得十分漂亮的美术图案，这种图案具有对称美，并有幻方原理的理性规律。
幻方对科学的启迪河图可看成是二阶幻方模型，洛书是三阶幻方模型，由于它们流传甚广，从古到今给人们许多科学的启迪。
现在风靡世界的电脑，挖根寻源竟然到幻方领域了。
在中国的传统文化中，我们能够看到洛书运用于军事、中医、天文、气象、气功等领域的大量资料。
在人功智能、图论、对策论、实验设计、工艺美术、电子回路原理、位置解析学、组合数学等方面幻方则有着更加广泛的应用。
所以，到今天为止，幻方仍是组合数学中一个重要的研究课题。
幻方的美学价值幻方是数按着一种规律布局成的一种体系，每个幻方不仅是一个智力成就，而且还是一个艺术佳品，都以整齐划一，均衡对称、和谐统一的特性，迸发出耀人的数学美的光辉，具有很高的美学价值，使我们在幻方的欣赏中了解到数学知识的许多奥妙。
幻方的研究
幻方的研究作者姓名学科专业指导教师培养院系摘要在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
本文主要介绍了幻方的起源、解法与应用。
关键词：magic square, magic square solution, application of magic squares.AbstractIn a square consists of several rows of numbers consisting of the figure any of rampant, a longitudinal and a few number of diagonal and are equal, having a chart of this nature, known as the "magic square." Ancient Chinese called "Riverside", "Luo Shu", also called "aspect map."This paper describes the origin and application solution magic square.Key words: key word 1, key word2, key word 3, key word 4幻方的起源幻方的起源幻方(magic square)起源于《易》，古称九宫（龟文），乃是我国最先发现的一个著名组合算题。
《易》算之于九宫，识之以天象，在古代天文、历法、农牧生产与社会生活中具有广泛的应用价值。
易十数为体，八九为用，八九不离十。
《易》九宫算动态组合模型（包括河图、洛书、八卦）是幻方的通解与最简模型[1]。
幻方应用前景的研究
课程论文论幻方的影响力作者姓名：冯本锐班级：软件工程硕士15级1班学号：G S15211E4学科专业：软件质量管理与测试指导教师：李卫国教授摘要本文阐述了本人对幻方的理解，从年少时的游戏引出幻方对日常生活的影响，社会的发展中，幻方对不同领域不同方向的各项生产及科研的影响，提出自己的观点。
人类文明进步的过程中从多个角度去探寻幻方的历史和在现实生活中的应用，以此进一步阐述幻方的影响力。
My understanding on magic square is expounded in this paper. From childhood game leads to the magic square of daily life influence, social development, magic square to different areas in different directions of the production and research of effects of proposed his own point of view. The progress of human civilization in the process from multiple angles to explore history of magic square and in real life applications, in order to further elaborate the magic square of influence.关键词：幻方影响力，幻方第一章幻方的概述幻方是复杂排列组合具有悠久的历史问题，以三阶幻方为基础，介绍幻方的构造方法和程序的设计。
幻方的复杂性在于解的多样性随阶数指数递增，而且还能解可行排列空间中所占的比例随阶数指数递减。
我国是幻方发源地，早期的幻叫纵横图，由于中西的文化流交，通过东南亚国家，印度、阿拉伯传到了西方。
类似幻方量化
类似幻方量化幻方量化：探索数字之美导语：幻方是一种古老而神秘的数学游戏，它具有独特的规律和美学价值。
本文将以类似幻方的方式，探索数字之美，介绍幻方的定义、特点以及应用领域，带领读者一同领略数字的无限魅力。
一、什么是幻方幻方是由一组不重复的数字组成的正方形矩阵，在同一行、同一列以及对角线上的数字之和均相等。
幻方最早起源于中国古代，被用于卜筮和祭祀，后来发展为一个独立的数学领域。
二、幻方的特点1. 数字不重复：幻方中的每个数字都不重复出现，保证了整个矩阵的唯一性。
2. 行列对角线和相等：幻方中每行、每列以及对角线上的数字之和都相等，这是幻方最重要的特点之一。
3. 对称性：幻方具有对称性，即将幻方沿着垂直或水平轴进行翻转，所得的矩阵仍然是一个幻方。
三、幻方的应用领域1. 数学研究：幻方是数学研究中的一个重要课题，涉及到组合数学、线性代数等多个领域。
研究幻方的规律和性质，可以推动数学理论的发展。
2. 密码学：幻方在密码学中有广泛的应用。
通过幻方的特性，可以设计出安全性较高的密码算法，保护信息的传输和存储。
3. 游戏设计：幻方作为一种数学游戏，常被应用在游戏设计中。
通过设计幻方谜题，可以提升玩家的逻辑思维和数学能力。
4. 美学艺术：幻方具有独特的美学价值，许多艺术家和设计师将幻方的规律和结构应用在艺术作品中，创造出独特的美感。
四、幻方的历史与进展幻方最早可以追溯到公元前2200年的中国古代，出现在《周髀算经》中。
在古代，幻方被当作神秘的数学符号，与卜筮和祭祀密切相关。
随着数学的发展，幻方逐渐成为一个独立的数学领域。
16世纪的德国数学家利奥波德·艾勒尔发现了一种构造幻方的方法，为幻方的研究奠定了基础。
之后，许多数学家纷纷加入到幻方研究的行列中，推动了幻方理论的发展。
在现代，幻方的研究已经成为一个活跃的数学领域。
许多数学家通过计算机模拟和数学推导，发现了更多规律和性质，推动了幻方理论的进一步发展。
五、幻方的魅力与启示幻方作为一种数学游戏，具有独特的美学价值和思维启发。
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幻方的应用与价值
军事——在古代主要应用于军事和武学，很多军事家都是“易学”（幻方）专家。
比如：诸葛亮、司马懿、刘
伯温……所谓的“易学”就是幻方，在古代称之为洛书。
有很多神话传说，它是武学和军事学习
的起点！“易学”是我们国家古代四书五经之首。
在现代主要应用于电脑程序！当然了计算机是现代最尖端的高科技，计算机不是起源于我们
国家，但是并不代表计算机的发明者应用了洛书。
我是1999年年底发现的幻方，到现在已
经有15多年了，对数字特别有感想。
什么手机号码和座机号码在外国的科学家都进行过数
字安排。
对于数字：只有幻方才是数字的鼻祖。
武学——在古代的“道教”都是以洛书为起点习武的；在
古代的“佛教”也离不开洛书，
少林寺的武僧对洛书（幻方）更是精通无比……。