初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第10讲抛物线
第十讲抛物线一般地说来，我们称函数y ax 2bx c ( a、b、c为常数， a 0 )为x的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线有关的知识有：1．a、b、c的符号决定抛物线的大概地点；b 对称，抛物线张口方向、张口大小仅与2．抛物线对于xa 有关，抛物线在极点2a( b ，4ac b2)处获得最值；2a4a3．抛物线的分析式有以下三种形式：①一般式：y ax2 bx c ；②极点式：y a(x h) 2 k ；③交点式：y a(x x1 )( x x2 ) ，这里 x1、 x2是方程 ax2 bx c 0 的两个实根．确立抛物线的分析式一般要两个或三个独立条件，灵巧地采用不一样方法求出抛物线的分析式是解与抛物线有关问题的重点．注：对称是一种数学美，它展现出整体的和睦与均衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应踊跃捕获、创建对称关系，以便从整体上掌握问题，由抛物线捕获对称信息的方式有：(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获取对称信息；(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被x 轴所截得的弦长获取对称信息．【例题求解】【例1】二次函数y x 2bx c的图象以下图，则函数值y 0 时，对应x 的取值范围是．思路点拨由图象知抛物线极点坐标为 (一 1，一 4)，可求出b，c值，先求出y 0时，对应 x 的值．【例 2】已知抛物线y x2 bx c ( a <0) 经过点 (一 1，0) ，且知足4a 2b c 0 ．以下结论：① a b 0 ；②a c 0 ；③ a b c 0 ；④ b 2 2ac 5a 2．此中正确的个数有()A．1个B．2 个C．3 个D．4 个思路点拨由条件大概确立抛物线的地点，从而判断 a 、 b 、 c 的符号；由特别点的坐标得等式或不等式；运用根的鉴别式、根与系数的关系．1【例 3】如图，有一块铁皮，拱形边沿呈抛物线状，MN ＝ 4 分米，抛物线极点处到边MN 的距离是 4 分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD ，使矩形极点B、C 落在边 MN 上，A、D 落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长可否等于8 分米?思路点拨适合成立直角坐标系，易得出M 、 N 及抛物线极点坐标，从而求出抛物线的解析式，设 A( x， y )，成立含x的方程，矩形铁皮的周长可否等于8 分米，取决于求出x 的值能否在已求得的抛物线分析式中自变量的取值范围内．注：把一个生产、生活中的实质问题转变，成数学识题，需要察看剖析、建模，成立直角坐标系下的函数模型是解决实质问题的常用方法，同一问题有不一样的建模方式，经过剖析比较可获取简解．【例 4】二次函数 y 1 x2 3x m 2 的图象与x轴交于 A 、两点 (点 A 在点 B 左侧 )，与2 2y 轴交于 C 点，且∠ ACB ＝ 90°．(1)求这个二次函数的分析式；(2)设计两种方案：作一条与 y 轴不重合，与△ A BC 两边订交的直线，使截得的三角形与△ ABC 相像，而且面积为△BOC 面积的1，写出所截得的三角形三个极点的坐标(注：设4计的方案不用证明)．思路点拨(1)A 、 B、 C 三点坐标可用m 的代数式表示，利用相像三角形性质成立含m 的方程； (2)经过特别点，结构相像三角形基本图形，确立设计方案．注：解函数与几何联合的综合题，擅长求点的坐标，从而求出函数分析式是解题的基础；而充足发挥形的要素，数形相助，把证明与计算相联合是解题的重点．【例 5】已知函数 y (a 2) x2 2(a 2 1) x 1 ，此中自变量x 为正整数， a 也是正整数，求 x 何值时，函数值最小．思路点拨将函数分析式经过变形得配方式，其对称轴为x a 2 1(a 2)3，因a 2 a 231 a2 11 ，故函数的最小值只可能在x 取a2 ， a 2 ，a 2 1时达0 ， a 2 aa 2a 2 a 2到．因此，解决本例的重点在于分类议论．学历训练1．如图，若抛物线y ax2与四条直线x 1 、 x 2 、y 1 、 y 2 所围成的正方形有公共点，则 a 的取值范围是．2．抛物线 y ax 2bx c 与x轴的正半轴交于 A ，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且线段AB 的长为 1，△ ABC 的面积为1，则b的值为．3．如图，抛物线的对称轴是直线x 1 ，它与x轴交于 A 、B 两点，与y 轴交于点C，点 A 、C 的坐标分别为(-l ，0)、(0，3)，则 (1) 抛物线对应的函数分析式为；(2)若点P为2此抛物线上位于x 轴上方的一个动点，则△ABP 面积的最大值为．4．已知二次函数 y ax2 bx c 的图象以下图，且OA ＝ OC，则由抛物线的特点写出如下含有 a 、 b 、 c 三个字母的式子①4ac b21 ，② ac b 1 0 ，③ abc 0 ，④4aa b c 0 ，>0，此中正确结论的序号是(把你以为正确的都填上 )．5．已知 a 1 ，点( a1，y1 )， ( a，y2 ) ，( a 1，y3 )都在函数 y x2的图象上，则 ( )A ．y1 y 2 y 3B ．y1y3y2 C．y3y2 y1D． y 2 y1 y36．把抛物线y x2bx c 的图象向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式为 2 3 5，则有 ( )y xxA ． b 3 ， c 7 B．b 9 ，c 15 C． b 3 ， c＝ 3 D ．b 9， c 21 7．二次函数 y ax2 bx c 的图象以下图，则点 ( a b ， ac )所在的直角坐标系是()A ．第一象限B．第二象限C．第三象限 D ．第四象限8．周长是 4m 的矩形，它的面积2S(m )与一边长x (m)的函数图象大概是 ()9．阅读下边的文字后，回答以下问题：“已知：二次函数 y ax2 bx c 的图象经过点A(0 ，a )， B(1 ，-2) ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x 2 ．题目中的横线部分是一段被墨水污染了没法辨识的文字．(1) 依据现有的信息，你可否求出题目中二次函数的分析式 ?若能，写出求解过程；若不可以，说明原因．(2)请你依据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适合的条件，把原题增补完好．10．如图，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运转的路线是抛物线，当球运转的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，而后正确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05 米．(1)成立以下图的直角坐标系，求抛物线的分析式；(2)该运动员身高 1. 8 米，在此次跳投中，球在头顶上方 0.25 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少 ?11．如图，抛物线和直线y kx 4k ( k 0 )与x轴、 y 轴都订交于 A 、 B 两点，已知抛物线的对称轴 x 1与x轴订交于 C 点，且∠ ABC ＝90°，求抛物线的分析式．12．抛物线 y ax2 bx c 与x轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C，若△ ABC 是直角三角形，则 ac ．13．如图，已知直线y 2 x 3 与抛物线 y x2订交于 A、 B 两点， O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于．14．已知二次函数y ax2 bx c ，一次函数y k( x 1) k 2 ．若它们的图象对于随意的实4415．如图，抛物线y ax2 bx c 与两坐标轴的交点分别是 A ，B ，E，且△ ABE 是等腰直角三角形， AE ＝ BE ，则以下关系式中不可以总成立的是( )A ． b=0B ． S△ADC＝c2 C． ac＝一 1 D． a+c＝ 016．因为被墨水污染，一道数学题仅能见到以下文字：已知二次函数 y x2 bx c 的图象过点(1 ， 0)求证：这个二次函数的图象对于直线x 2 对称．依据现有信息，题中的二次函数不拥有的性质是( )A ．过点 (3， 0) B．极点是 (2，一 2)C．在x轴上截得的线段长为 2 D ．与 y 轴的交点是 (0， 3)17．已知 A(x 1，2002) ，B(x 2，2002)是二次函数 y ax2 bx 5 ( a 0 )的图象上两x x1x2 时，二次函数的值是( )A． 2b 2 5 B．b2 5C． 2002 D． 5a 4a18．某种产品的年产量不超出1000 吨，该产品的年产量( 单位：吨 )与花费 (单位：万元 )之间函数的图象是极点在原点的抛物线的一部分 (如图 1 所示 )；该产品的年销售量 (单位：吨 )与销售单价 (单位：万元／吨 )之间函数的图象是线段 (如图 2 所示 )．若生产出的产品都能在当年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛收益最大?(毛收益＝销售额一花费)．19．如图，已知二次函数y 2x 2 2 的图象与x 轴交于 A 、 B 两点 (点 A 在点 B 的左侧 )，与y 轴交于点C，直线： x＝m(m>1) 与x轴交于点 D ．(1)求 A 、 B、 C 三点的坐标；(2)在直线 x＝ m (m>1) 上有一点 P (点 P 在第一象限 )，使得以 P、D 、B 为极点的三角形与以 B 、 C、 O 为极点的三角形相像，求P 点坐标 (用含 m 的代数式表示)；(3) 在 (2)成立的条件下，试问：抛物线y 2 x2 2 上能否存在一点Q，使得四边形ABPQ 为平行四边形 ?假如存在这样的点Q，恳求出m 的值；假如不存在，请简要说明原因．20．已知二次函数y x 2x 2 及实数 a 2 ，求(1)函数在一2<x≤ a 的最小值；(2)函数在 a≤ x≤ a+2 的最小值．21．如图，在直角坐标：x O y中，二次函数图象的极点坐标为C(4 ， 3 )，且在x轴上截5(1) 求二次函数的分析式；(2) 在 y 轴上求作一点 P (不写作法 )使 PA+PC 最小，并求 P 点坐标；(3) 在 x 轴的上方的抛物线上，能否存在点Q ，使得以 Q 、A 、 B 三点为极点的三角形与△ ABC 相像 ?假如存在，求出Q 点的坐标；假如不存在，请说明原因．22．某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠ ，0)当实数 a 变化时，它的极点都在某条直线上；二是发现当实数 a 变化时，若把抛物线y=ax 2+2x+3 的极点的横坐标减少1，纵坐标增添，获取aA 点的坐标；若把极点的横坐标增添1，纵坐标增添1，获取 B 点的坐标，则 A 、 B 两点必定仍在抛物线 y=ax 2+2x+3 上． aa2(1) 请你辅助探究出当实数所在直线的分析式； a 变化时，抛物线 y=ax +2x+3 的极点．． (2) 问题 (1) 中的直线上有一个点不是该抛物线的极点，你能找出它来吗?并说明原因； (3) 在他们第二个发现的启迪下，运用“一般——特别—一般”的思想，你还可以发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗 ?若能成立请说明原因．参照答案第十一讲双曲线k ( k 0)的函数叫做反比率函数，它的图象是由两条曲线构成的双曲线，与双形如 yx曲线有关的知识有：k 中的系数k决定图象的大概地点及y 随 x 变化的情况．1．双曲线分析式yx2．双曲线图象上的点是对于原点 O 成中心对称，在k >0 时函数的图象对于直线 y x 轴对称；在 k <0时函数的图象对于直线y x轴对称．3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无穷延长但不可以靠近坐标轴．【例题求解】k 的图象与直线y 2 x和y x 1过同一点，则当x 0时，【例 1】已知反比率函数y这x8个反比率函数的函数值y 随 x 的增大而(填增大或减小 )．思路点拨确立 k 的值，只要求出双曲线上一点的坐标即可．注： (1) 解与反比函数有关问题时，充足考虑它的对称性(对于原点O 中心称，对于y x 轴对称 )，这样既能从整上思虑问题，又能提升思想的周祥性．(2)一个常用命题：如图，设点 A 是反比率函数yk ( k 0)的图象上一点，过A作AB⊥x轴于B，过 Ax作 AC ⊥ y 轴于 C，则① S△AOB = 1k ；2② S 矩形OBAC = k ．【例 2】如图，正比率函数y kx ( k 0 )与反比率函数y 1 的图象订交于 A 、C 两点，过xA 作 AB ⊥ x 轴于 B ，连接 BC，若 S△ ABC 的面积为 S，则 ()A ．S=1 B．S =2 C．S= k D． S= k2思路点拨运用双曲线的对称性，导出S△AOB与 S△OBC的关系．【例 3】如图，已知一次函数 y x 8 和反比率函数y k( k 0 )的图象在第一象限内有x两个不一样的公共点A 、B．(1)务实数 k 的取值范围；(2)若△ AOB 面积 S＝ 24，求k的值．(2003 年荆门市中考题)9思路点拨(1)两图象有两个不一样的公共点，即联立方程组有两组不一样实数解；(2)S△AOB= S△COB S- S△COA，成立k的方程．【例 4】如图，直线 y 1x 2 分别交 x 、 y 轴于点 A 、 C，P 是该直线上在第一象限内的2一点， PB⊥ x 轴于 B， S△ABP =9．(1)求点 P 的坐标；(2) 设点 R 与点 P 在同一个反比率函数的图象上，且点R 在直线 PB 的右边，作PT⊥ x 轴于F，当△ BRT 与△ AOC 相像时，求点R 的坐标．思路点拨(1)从已知的面积等式出发，列方程求P 点坐标； (2) 以三角形相像为条件，联合线段长与坐标的关系求R 坐标，但要注意分类议论．【例 5】如图，正方形OABC 的面积为9，点 O 为坐标原点，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，点B在函数y k( k0 ，x0 )的图象上，点P( m ， n )是函数 yk( k0 ，x0 ) x x的图象上的随意一点，过点 P 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足分别为 E、F，并设矩形 OEPF 和正方形 OABC 不重合部分的面积为 S．(1)求 B 点坐标和k的值；(2) 当 S9 时，求点P的坐标；2(3)写出 S 对于 m 的函数关系式．思路点拨把矩形面积用坐标表示， A 、B 坐标可求， S 矩形 OAGF 可用含 n 的代数式表示，解题的重点是双曲线对于 y x 对称，切合题设条件的 P 点不唯一，故思虑须周祥．注：求两个函数图象的交点坐标，一般经过解这两个函数分析式构成的方程组获取，求切合某种条件的点的坐标，需依据问题中的数目关系和几何元素间的关系成立对于纵横坐标的方程(组 )，解方程 (组 )即可求得有关点的坐标，对于几何问题，还应注企图形的分类议论．10学历训练1．若一次函数y kx b 的图象以下图，则抛物线y x2kx b的对称轴位于y 轴的侧；反比率函数ykb 的图象在第象限，在每一个象限内，y随x的增大而．x2．反比率函数 y k 的图象经过点A(m ， n)，此中 m，n 是一元二次方程x2 kx 4 0的两x个根，则 A 点坐标为．3．如图：函数y kx 0 y 4 的图象交于 A B两点，过点A作AC （ k ≠）与、⊥ y 轴，x垂足为点 C，则△ BOC的面积为．4．已知，点P(n ， 2n) 是第一象限的点，下边四个命题：(1) 点 P 对于 y 轴对称的点P1的坐标是 (n ， -2n) ； (2)点P到原点O的距离是 5 n；(3)直线 y=-nx+2n不经过第三象限；(4) 对于函数y= n，当 x＜ 0 时 ,y 随 x 的增大而减小；此中x真命题是.(填上全部真命题的序号)5．已知反比率函数y= 1 m的图像上两点A(x 1， y1) 、B （ x2， y2），当 x1＜ 0＜ x2时，有 y1x＜y2 ,则 m 的取值范围是 ( )A ． m＜ OB ． m＞0 C. m＜1＞12 26．已知反比率函数y k 的图象以下图，则二次函数y 2kx2 x k 2的图象大概为 () x117 ．已知反比率函数yk (k 0), 当x 0时，y随x的增大面增大，那么一次函数xy kx k 的图象经过()A ．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限8．如图， A 、 B 是函数 y1 的图象上的点，且A、B对于原点O对称，AC⊥x轴于C，xBD ⊥ x 轴于 D，假如四边形ACBD 的面积为S，那么 ()A ． S＝1B．1<S<2C．S>2D．S＝ 29．如图，已知一次函数 y=kx+b(k ≠ O)的图像与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点，且与反比率函数y= m(m≠ 0) 的图像在第一象限交于 C 点， CD垂直于 x 轴，垂足为 D．若 OA=OB=OD=l．x（1）求点 A、 B、 D的坐标；（2）求一次函数和反比率函数的分析式．10．已知 A(x 1、 y1)， B(x 2， y2)是直线y x 2 与双曲线y k( k 0 )的两个不一样交点．x(1) 求k的取值范围；(2) 能否存在这样k的值，使得( x12)( x22) x 2 x1 ?若存在，求出这样的k 值；若不存x1 x2在，请说明原因．k11．已知反比率函数y和一次函数y＝ 2x-1，此中一次函数图像经过(a，b) ，(a+1 ，b+k)2x两点．(1)求反比率函数的分析式；(2) 如图，已知点 A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求 A 点坐标；(3)利用 (2) 的结果，请问：在 x 轴上能否存在点 P，使 AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明原因.1212．反比率函数 y k 的图象上有一点P(m， n) ，此中m、 n 是对于 t 的一元二次方程xt 2 3t k 0 的两根，且P到原点O的距离为13 ，则该反比率函数的分析式为．13．如图，正比率函数y 3x的图象与反比率函数k( k 0 )的图象交于点 A ，若k取 1，yx2， 3 20，对应的 Rt△ AOB 的面积分别为 S1， S2，， S20，则 S1+S2+ +S20= ．14．老师给出一个函数y=f(x) ，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图像不经过第三象限；乙：函数图像经过第一象限；丙：当 x＜ 2 时， y 随 x 的增大而减小；丁：当 x＜ 2 时， y＞ 0已知这四位同学表达都正确，请结构出知足上述全部性质的一个．．函数：．15．已知反比率函数y12 的图象和一次函数y kx 7的图象都经过点P(m，2)．x(1)求这个一次函数的分析式；(2) 假如等腰梯形ABCD 的极点 A 、 B 在这个一次函数的图象上，极点C、D 在这个反比率函数的图象上，两底 AD 、BC 与 y 轴平行，且 A 、 B 的横坐标分别为 a 和 a 2 ，求 a 的值．16．如图，直线经过A(1 ， 0)， B(0 ，1)两点，点P 是双曲线y1 ( x 0 )上随意一点，PM2x⊥ x 轴， PN⊥ y 轴，垂足分别为 M ，N ．PM 与直线 AB 交于点 E，PN 的延长线与直线 AB 交于点 F．(1)求证： AF × BE＝ 1；(2)若平行于AB 的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．(2003 年江汉油田中考题)17．已知矩形 ABCD 的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴成立平面直角坐标系，设点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A的坐标为 (x， y)，此中 x>0 ， y>0．(1) 求出 y 与 x 之间的函数关系式，求出自变量x 的取值范围；S，并用以下方法，解答后边的问a2 (a(a a)0 a132∴． a2k22k ．a∴当 ak=0，即 ak 时， a 2k 2获得最小值 2k ．aa 2问题：当点 A 在何地点时，矩形 ABCD的外接圆面积 S 最小 ?并求出 S 的最小值；(3)假如直线 y=mx+2(m<0) 与 x 轴交于点 P ，与 y 轴交于点 Q ，那么能否存在这样的实数 m ，使得点 P 、Q 与 (2) 中求出的点 A 构成△ PAQ 的面积是矩形 ABCD 面积的 1 ?若存在，6恳求出 m 的值；若不存在，请说明原因．参照答案。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第10讲抛物线
第十讲抛物线一般地说来，我们称函数y ax2bx c ( a、b、c为常数， a 0 )为x的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线有关的知识有：1．a、 b 、c的符号决定抛物线的大概地点；2．抛物线对于xb对称，抛物线张口方向、张口大小仅与 a 有关，抛物线在极点2a2( b，4ac b)处获得最值；2a4a3．抛物线的分析式有以下三种形式：①一般式： y ax2bx c ；②极点式： y a(x h) 2k ；③交点式： y a(x x )( x x) ，这里 x、 x是方程 ax2bx c0 的两个实根．1212确立抛物线的分析式一般要两个或三个独立条件，灵巧地采用不一样方法求出抛物线的分析式是解与抛物线有关问题的重点．注：对称是一种数学美，它展现出整体的和睦与均衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应踊跃捕获、创建对称关系，以便从整体上掌握问题，由抛物线捕获对称信息的方式有：(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获取对称信息；(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被x 轴所截得的弦长获取对称信息．【例题求解】【例1】二次函数y x2bx c 的图象以下图，则函数值y 0 时，对应x 的取值范围是．思路点拨由图象知抛物线极点坐标为(一1，一4)，可求出 b ，c 值，先求出y0 时，对应 x 的值．【例 2】已知抛物线y x2bx c ( a <0) 经过点 (一 1，0) ，且知足4a 2b c 0．以下结论：① a b 0 ；② a c0；③a b c0 ；④ b 22ac5a2．此中正确的个数有()A．1个B．2 个C．3 个D．4 个思路点拨由条件大概确立抛物线的地点，从而判断 a 、b、 c 的符号；由特别点的坐标得等式或不等式；运用根的鉴别式、根与系数的关系．【例 3】如图，有一块铁皮，拱形边沿呈抛物线状，MN ＝ 4 分米，抛物线极点处到边MN 的距离是 4 分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD ，使矩形极点B、 C 落在边 MN 上， A 、D 落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长可否等于8 分米?思路点拨适合成立直角坐标系，易得出M 、 N 及抛物线极点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A( x， y )，成立含x 的方程，矩形铁皮的周长可否等于8 分米，取决于求出x 的值能否在已求得的抛物线分析式中自变量的取值范围内．注：把一个生产、生活中的实质问题转变，成数学识题，需要察看剖析、建模，成立直角坐标系下的函数模型是解决实质问题的常用方法，同一问题有不一样的建模方式，经过剖析比较可获取简解．【例 4】二次函数y 1x23x m 2 的图象与22y 轴交于 C 点，且∠ ACB ＝ 90°．(1)求这个二次函数的分析式；(2)设计两种方案：作一条与 y 轴不重合，与△x 轴交于A、两点(点A在点B左侧)，与A BC 两边订交的直线，使截得的三角形与△ ABC 相像，而且面积为△BOC 面积的1，写出所截得的三角形三个极点的坐标(注：设4计的方案不用证明)．思路点拨(1)A 、 B、 C 三点坐标可用m 的代数式表示，利用相像三角形性质成立含m 的方程； (2)经过特别点，结构相像三角形基本图形，确立设计方案．注：解函数与几何联合的综合题，擅长求点的坐标，从而求出函数分析式是解题的基础；而充足发挥形的要素，数形相助，把证明与计算相联合是解题的重点．【例 5】已知函数 y(a 2)x22(a21) x 1 ，此中自变量x 为正整数， a 也是正整数，求 x 何值时，函数值最小．思路点拨将函数分析式经过变形得配方式，其对称轴为a 212)3，因x(aa2a23 a 211，故函数的最小值只可能在x 取a 2 ， a 2 ，a 21时达0 1 ， a 2aa2a 2a2到．因此，解决本例的重点在于分类议论．学历训练1．如图，若抛物线y ax2与四条直线x 1 、 x 2 、 y 1 、 y 2 所围成的正方形有公共点，则 a 的取值范围是．2．抛物线y ax 2bx c 与x轴的正半轴交于A ，B两点，与y 轴交于 C 点，且线段AB的长为 1，△ ABC 的面积为1，则 b 的值为3．如图，抛物线的对称轴是直线x 1 ，它与．x 轴交于 A 、B 两点，与y 轴交于点C，点 A 、C 的坐标分别为(-l ，0)、(0，3)，则 (1) 抛物线对应的函数分析式为；(2)若点P 为2此抛物线上位于x 轴上方的一个动点，则△ABP面积的最大值为．4．已知二次函数 y ax2bx c 的图象以下图，且OA ＝ OC，则由抛物线的特点写出如下含有 a 、 b 、 c 三个字母的式子①4acb2 1 ，②ac b 1 0 ，③ abc 0，④4aa b c 0 ， >0，此中正确结论的序号是(把你以为正确的都填上 )．5．已知 a 1 ，点 ( a1， y1 )， ( a， y 2 ) ， ( a1， y3 )都在函数 y x 2的图象上，则 ()A ． y1y2 y3B ． y1 y3 y2 C． y3 y2y1 D ． y2y1 y36．把抛物线y x2bx c 的图象向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式为y x 235，则有()xA ． b 3 ， c7 B． b 9 ， c15 C． b 3 ， c＝ 3 D ． b 9 ， c 217．二次函数 y ax2bx c 的图象以下图，则点 ( a b ， ac )所在的直角坐标系是()A ．第一象限B．第二象限C．第三象限 D ．第四象限8．周长是4m 的矩形，它的面积S(m2)与一边长x (m)的函数图象大概是()9．阅读下边的文字后，回答以下问题：“已知：二次函数 y ax2bx c 的图象经过点A(0 ，a )， B(1 ，-2)，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x 2 ．题目中的横线部分是一段被墨水污染了没法辨识的文字．(1) 依据现有的信息，你可否求出题目中二次函数的分析式?若能，写出求解过程；若不能，说明原因．(2)请你依据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适合的条件，把原题增补完好．10．如图，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运转的路线是抛物线，当球运转的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，而后正确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05 米．(1)成立以下图的直角坐标系，求抛物线的分析式；(2)该运动员身高 1. 8 米，在此次跳投中，球在头顶上方 0.25 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少 ?11．如图，抛物线和直线y kx 4k( k 的对称轴 x1与x轴订交于 C 点，且∠0 )与 x 轴、y轴都订交于 A 、 BABC ＝90°，求抛物线的分析式．两点，已知抛物线12．抛物线 y ax2bx c 与x轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C，若△ ABC 是直角三角形，则 ac．13．如图，已知直线y2x 3 与抛物线y x2订交于A、 B两点，O 为坐标原点，那么△OAB的面积等于．14．已知二次函数 y ax2bx c ，一次函数 y k( x 1)k2．若它们的图象对于随意的实4数是都只有一个公共点，则二次函数的分析式为．15．如图，抛物线 y ax bx c 与两坐标轴的交点分别是 A ，B ，E，且△ ABE是等腰直角三角形， AE ＝ BE ，则以下关系式中不可以总成立的是()A ． b=0B ． S△ADC＝c2C． ac＝一 1D． a+c＝ 016．因为被墨水污染，一道数学题仅能见到以下文字：已知二次函数 y x2bx c 的图象过点(1 ， 0)求证：这个二次函数的图象对于直线x2对称．依据现有信息，题中的二次函数不拥有的性质是()A ．过点 (3， 0)B．极点是 (2，一 2)C．在x轴上截得的线段长为2 D ．与 y 轴的交点是 (0， 3)17．已知 A(x 1，2002) ，B(x 2，2002)是二次函数 y ax2bx 5 ( a 0 )的图象上两 x x1 x2时，二次函数的值是()A． 2b 25B．b25C． 2002D． 5a4a18．某种产品的年产量不超出1000 吨，该产品的年产量( 单位：吨 )与花费 (单位：万元 )之间函数的图象是极点在原点的抛物线的一部分 (如图 1 所示 )；该产品的年销售量 (单位：吨 )与销售单价 (单位：万元／吨 )之间函数的图象是线段 (如图 2 所示 )．若生产出的产品都能在当年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛收益最大?(毛收益＝销售额一花费)．19．如图，已知二次函数y 2x2 2 的图象与x轴交于 A 、 B 两点 (点 A 在点 B 的左侧 )，与y 轴交于点C，直线： x＝m(m>1) 与x轴交于点 D ．(1)求 A 、 B、 C 三点的坐标；(2)在直线 x＝ m (m>1) 上有一点 P (点 P 在第一象限 )，使得以 P、D 、B 为极点的三角形与以B 、 C、 O 为极点的三角形相像，求P 点坐标 (用含m 的代数式表示)；(3) 在 (2)成立的条件下，试问：抛物线y 2x2 2 上能否存在一点Q，使得四边形ABPQ 为平行四边形 ?假如存在这样的点Q，恳求出m 的值；假如不存在，请简要说明原因．20．已知二次函数 y x 2 x 2 及实数 a2 ，求(1)函数在一 2<x ≤ a 的最小值； (2)函数在 a ≤ x ≤ a+2 的最小值．21．如图，在直角坐标：x O y 中，二次函数图象的极点坐标为C(4 ， 3 )，且在 x 轴上截得的线段 AB 的长为 6．(1) 求二次函数的分析式；(2) 在 y 轴上求作一点 P (不写作法 )使 PA+PC 最小，并求 P 点坐标；(3) 在 x 轴的上方的抛物线上，能否存在点Q ，使得以 Q 、A 、 B 三点为极点的三角形与△ ABC 相像 ?假如存在，求出Q 点的坐标；假如不存在，请说明原因．22．某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠ ，0)当实数 a 变化时，它的极点都在某条直线上；二是发现当实数 a 变化时，若把抛物线y=ax 2+2x+3 的极点的横坐标减少1，纵坐标增添，获取aA 点的坐标；若把极点的横坐标增添1，纵坐标增添1，获取 B 点的坐标，则A 、B 两点aa必定仍在抛物线 y=ax 2+2x+3 上．(1) 请你辅助探究出当实数 a 变化时，抛物线 y=ax 2+2x+3 的极点 所在直线的分析式；．．(2) 问题 (1) 中的直线上有一个点不是该抛物线的极点，你能找出它来吗?并说明原因； (3) 在他们第二个发现的启迪下，运用“一般——特别—一般”的思想，你还可以发现什么你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗 ?若能成立请说明原因．?参照答案。
初中数学(初二)竞赛讲义(知识点难点梳理、重点题型分类举一反三)(家教、补习、竞赛专用)
初二数学竞赛讲义重难点有效突破知识点梳理及重点题型举一反三练习专题01 整式的乘除阅读与思考指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：，，，，，．学习指数运算律应注意：1．运算律成立的条件；2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式；3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．例题与求解【例1】（1）若为不等式的解，则的最小正整数的值为．（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）（2）已知，那么．（“华杯赛”试题）（3）把展开后得，则．（“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）若则．（创新杯训练试题）解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．【例2】已知，，则等于（）A．2 B．1 C．D．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：为指数，我们无法求出的值，而，所以只需求出的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．【例3】设都是正整数，并且，求的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：设，这样可用的式子表示，可用的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．【例4】已知多项式，求的值．解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．【例5】是否存在常数使得能被整除？如果存在，求出的值，否则请说明理由．解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出的值，所谓是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．【例6】已知多项式能被整除，求的值．（北京市竞赛试题）解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当和时，原多项式的值均为0，从而求出的值．当然本题也有其他解法．能力训练A级1．（1）．（福州市中考试题）（2）若，则．（广东省竞赛试题）2．若，则．3．满足的的最小正整数为．（武汉市选拔赛试题）4．都是正数，且，则中，最大的一个是．（“英才杯”竞赛试题）5．探索规律：，个位数是3；，个位数是9；，个位数是7；，个位数是1；，个位数是3；，个位数是9；…那么的个位数字是，的个位数字是．（长沙市中考试题）6．已知，则的大小关系是（）A．B．C．D．7．已知，那么从小到大的顺序是（）A．B．C．D．（北京市“迎春杯”竞赛试题）8．若，其中为整数，则与的数量关系为（）A．B．C．D．（江苏省竞赛试题）9．已知则的关系是（）A．B．C．D．（河北省竞赛试题）10．化简得（）A．B．C．D．11．已知，试求的值．12．已知．试确定的值．13．已知除以，其余数较被除所得的余数少2，求的值．（香港中学竞赛试题）B级1．已知则= ．2．（1）计算：= ．（第16届“希望杯”邀请竞赛试题）（2）如果，那么．（青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）3．（1）与的大小关系是（填“＞”“＜”“＝”）．（2）与的大小关系是：（填“＞”“＜”“＝”）．4．如果则= ．（“希望杯”邀请赛试题）5．已知，则．（“五羊杯”竞赛试题）6．已知均为不等于1的正数，且则的值为（）A．3 B．2 C．1 D．（“CASIO杯”武汉市竞赛试题）7．若，则的值是（）A．1 B．0 C．—1 D．28．如果有两个因式和，则（）A．7 B．8 C．15 D．21（奥赛培训试题）9．已知均为正数，又，，则与的大小关系是（）A．B．C．D．关系不确定10．满足的整数有（）个A．1 B．2 C．3 D．411．设满足求的值．12．若为整数，且，，求的值．（美国犹他州竞赛试题）13．已知为有理数，且多项式能够被整除．（1）求的值；（2）求的值； （3）若为整数，且．试比较的大小．（四川省竞赛试题）专题01 整式的乘除例1(1)(n 2)100＞(63)100，n 2＞216，n 的最小值为15．(2)原式＝x 2(x 2＋x )＋x (x 2 ＋x )－2(x 2＋x ) ＋2005＝ x 2＋x －2＋2005＝2004 (3)令x ＝1时，a 12＋a 11＋a 10＋…＋a 2＋a 1＋a 0＝1， ① 令x ＝－1时，a 12 –a 11＋a l 0－…＋n 2－a l ＋a 0 ＝729 ② 由①＋②得：2(a 12＋a l 0＋a 8＋…＋a 2 ＋a 0)＝730． ∴a 12 ＋a 10 ＋a 8 ＋a 6＋a 4 ＋a 2＋a 0 ＝365．(4)所有式子的值为x 3项的系数，故其值为7．例2 B 提示：25xy ＝2 000y， ①80x y＝2 000x ， ② ①×②，得：(25×80)x y ＝2000x ＋y，得：x ＋ y ＝xy ．例3 设a ＝m 4，b ＝m 5，c ＝n 2，d ＝n 3，由c －a ＝19得，n 2－m 4＝19，即(n ＋m 2) (n －m 2)＝19，因19是质数，n ＋m 2，n －m 2是自然数，且n ＋m 2＞n －m 2，得＝12＝19，解得n ＝10，m ＝3，所以d －b ＝103－35＝757例4 －87 提示：由题意知：2x 2＋3xy －2y 2－x ＋8y －6＝2x 2＋3x y －2y 2＋(2m ＋n )x ＋(2n －m )y ＋m n ．∴mn ＝－62n －m ＝8，解得n ＝3m ＝－2，∴－13＋1＝－87倒5提示：假设存在满足题设条件的p ，q 值，设(x 4＋p x 2＋q )＝(x 2＋2x ＋5)(x 2＋mx ＋n )，即x 4＋p x 2＋q ＝x 4＋(m ＋2)x 3＋(5＋n ＋2m )x 2＋(2n ＋5m )x ＋5n ，得5n ＝q 2n ＋5m ＝0，解得q ＝25p ＝6， 故存在常数p ，q 且p ＝6，q ＝25，使得x 4＋p x 2＋q 能被x 2＋2x ＋5整除．例6解法1 ∵x 2＋x －2＝(x ＋2) (x －1)，∴2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b 能被(x ＋2)(x －1)整除，设商是A ．则2x 4－3x 3＋a x 2＋7x ＋b ＝A (x ＋2)(x －l )，则x ＝－2和x ＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．当x ＝－2时，2x 4－3x 3＋a x 2＋7x ＋b ＝32＋24＋4a －14＋b ＝4a ＋b ＋42＝0， ①当x ＝1时， 2x 4－3x 3＋a x 2＋7x ＋b ＝2－3＋a ＋7＋b ＝a ＋b ＋6＝0． ② ①－②，得3a ＋36＝0，∴ a ＝－12， ∴ b ＝－6－a ＝6． ∴b a ＝6－12＝－2解法2 列竖式演算，根据整除的意义解∵2x 4－3x 3＋a x 2＋7x ＋b 能被x 2＋x －2整除，∴＝0－12－a ＝0，即b ＝6a ＝－12，∴b a ＝－2A 级1．(1) －5 (2)53 2．8 3．7 4．6 5．7 9 6．A 7．D 提示：a ＝(25)11，b －(34)11，c ＝(53)11，d ＝(62)11 8．A 9．B 10．C 11．4800 12．a ＝4．b ＝4，c ＝113． 提示：令x 3 ＋k x 2＋3＝(x ＋3) (x 2＋a x ＋6)＋r 1，x 3＋kx 2＋3＝( x ＋1) (x 2＋cx ＋d )＋r 2，令x ＝－3，得r 1＝9k －24．令x ＝－1，得r 2＝k ＋2，由9k －24＋2＝k ＋2， 得k ＝3．B 级1． 1251892． (1)499 提示：原式＝19987×20002000＝19987×20003＝499(2)123．(1) ＜ 1516 ＜1615＝264，3 313 ＞3213＝265 ＞264．(2) ＞ 提示：设32 000＝x ．4．4 5．512 提示：令x ＝±2． 6．C 提示：由条件得a ＝c －3 ，b ＝c 2 ，abc ＝c －3·c 2·c ＝1 7．C 8．D9．C 提示：设a 2＋a 3＋…a 1996＝x ，则M ＝（a 1＋x ）(x ＋a 1997)＝a 1x ＋x 2＋a 1a 1997＋a 1 997x ．N ＝(a 1＋x ＋a 1 997)x ＝a l x ＋x 2＋a 1997x ．M ＝N ＝a 1a 1997＞0． 10．D11．由a x2＋by2＝7，得(ax2＋b y2)(x＋y)＝7(x＋y)，即ax3－a x2y＋b x y2＋by3＝7(x＋y)，(a x3＋by3)－xy(ax＋by)－7(x＋y)．∴16＋3xy＝ 7(x＋y)．①由a x3＋by3＝16，得(ax3＋by3)(x＋y) ＝16(x＋y)，即ax4 ＋a x3 y＋b x y3＋by4 ＝16(x＋y)，（a x4＋by4)＋xy(a＋b)＝16(x＋y）．∴42＋7xy＝16(x＋y）．②由①②可得，x＋y＝－14，xy＝－38．由a＋b＝42，得（a＋b）（x＋y）＝42×（－14），（a＋b）＋xy（a＋b）＝－588，＋16×（－38）＝－588．故＝20．12．两边同乘以8得＋＋＋＝165．∵x＞y＞z＞w且为整数，∴x＋3＞y＋3＞z＋3＞w＋3，且为整数．∵165是奇数，∴w＋3＝0，∴w＝－3．∴＋＋＝164．∴＋＋＝41，∴z＋1＝0，∴z＝－1．∴＋＝40．两边都除以8得：＋＝5．∴y－2＝0，∴y＝2．∴＝4．∴x－2＝2，∴x＝4．∴＝＝1．13．（1）∵（x－1）（x＋4)＝＋3x－4，令x－1＝0，得x＝1；令x＋4＝0，得x＝－4．当x＝1时，得1＋a＋b＋c＝0；①当x＝－4时，得－64＋16a－4b＋c＝0．②②－①，得15a－5b＝65，即3a－b＝13．③①＋③，得4a＋c＝12．（2）③－①，得2a－2b－c＝14．（3）∵c≥a＞1，4a＋c＝12，a，b，c为整数，∴1＜a≤，则a＝2，c＝4．又a＋b＋c＝－1，∴b＝－7，．∴c＞a＞b．专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；3．逆用即将公式反过来逆向使用；4．变用即能将公式变换形式使用；5．活用即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因，而的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知满足等式，则的大小关系是( ) 14．B．C．D．（山西省太原市竞赛试题）（2）已知满足，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1）；（天津市竞赛试题）（2）；（“希望杯”邀请赛试题）（3）．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设，求的值．（西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出的结构，必须把表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设满足求：（1）的值；（2）的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A级1．已知是一个多项式的平方，则．（广东省中考试题）2．数能被30以内的两位偶数整除的是．3．已知那么．（天津市竞赛试题）4．若则．5．已知满足则的值为．（河北省竞赛试题）6．若满足则等于．7．等于（）A．B．C．D．8．若，则的值是（）A．正数B．负数C．非负数D．可正可负9．若则的值是（）A．4 B．19922 C．21992 D．41992（“希望杯”邀请赛试题）10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？（“CASIO”杯全国初中数学竞赛试题）11．设，证明：是37的倍数．（“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：写出第2003行和第行的式子，并证明你的结论．B级1．展开式中的系数，当1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出的值为．（《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为，则的值为．（天津市竞赛试题）3．已知满足等式则．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为．（全国初中数学联赛试题）5．已知，则多项式的值为（）A．0 B．1 C．2 D．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（）A．16种B．14种C．12种D．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数满足，则这样的正整数对的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4（山东省竞赛试题）8．已知，则的值是（）A．3 B．9 C．27 D．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式的整数对是否存在？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．（天津市竞赛试题）11．若，且，求证：．12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？（浙江省中考试题）专题02 乘法公式例1 73 提示：满足条件的整数是奇数或是4的倍数．例2 （1）B x－y＝（＋4a＋a）＋（－8b＋16）＝＋≥0，x≥y．（2）B 3个等式相加得：＋＋＝0，a＝3，b＝－1，c＝1．a＋b ＋c＝3－1＋1＝3．例3 （1）（2）4 （3）－5050例4 提示：由a＋b＝1，＋＝2得ab＝－，利用＋＝（＋）（a＋b)－ab(＋)可分别求得＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝．例5 （1）设n为自然数，则n（n＋1)(n＋2)(n＋3）＋1＝（2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝．例6（1）设－②，得ab＋b c＋a c＝，∵－3ab c＝（a＋b＋c）（－ab－b c－a c），∴ab c＝（）－（a＋b＋c）（－ab－b c－a c）＝×3－×1×（2＋）＝．（2）将②式两边平方，得∴＝4－2＝4－2＝．A级1．0或6 2．26，28 3．2 4．40 5．34 6．0 7．D 8．A 9．C10.原有136或904名学生．设m，n均为正整数，且m＞n，①－②得（m＋n）（m－n）＝240＝．，都是8的倍数，则m，n能被4整除，m＋n，m－n均能被4整除．得或，∴或8x＝－120＝904或8x＝－120＝136．11.因为a＝＋－2＝（－1）＋（－1）＝999 999 999＋37×（＋38＋1），而999 999 999＝9×111 111 111＝9×3×37 037 037＝27×37×1 001 001＝37×（27×1 001 001）．所以37|999 999 999，且37|37×（＋38＋1），因此a是37的倍数．12.第2003行式子为：＝．第n行式子为：＝．证明略B级1．1．0942．76 提示：由13＋a＝9＋b＝3＋c得a－b＝－4，b－c＝－6，c－a＝103．13 4．156 5．D6.C 提示：（x＋y）（x－y）＝2009＝7×7×41有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此对应的方程组为：故（x，y）共有12组不同的表示．7．B 8．C9．提示：不存在符合条件的整数对（m，n），因为1954不能被4整除．10．设所求两位数为，由已知得＝（k为整数），得而得或解得或，即所求两位数为65，5611. 设, 则由得③②③, 得, 即或分别与联立解得或12. (1), 故28和2012都是神秘数（2）为4的倍数（3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数. ,故两个连续奇数的平方差不是神秘数专题3 和差化积----因式分解的方法（1）阅读与思考提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止．一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法：1．换元法：对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等．2．拆、添项法：拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．例题与求解【例l】分解因式___________．（浙江省中考题）解题思路：把看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．【例2】观察下列因式分解的过程：（1）；原式＝；（2）．原式＝．第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式．仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：（1）；（西宁市中考试题）（2）．（临沂市中考试题）解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．【例3】分解因式（1）；（重庆市竞赛题）（2）；（“缙云杯”邀请赛试题）（3）．（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中、反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．【例4】把多项式因式分解后，正确的结果是（）．A． B．C． D．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．【例5】分解因式：（1）；（扬州市竞赛题）（2）；（请给出多种解法）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）．解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．【例6】分解因式：．（河南省竞赛试题）解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．能力训练A 级1．分解因式：（1）＝___________________________．（泰安市中考试题）（2）＝__________________________．（威海市中考试题）2．分解因式：（1）＝_________________________；（2）＝_____________________________．3．分解因式：＝____________________________．4．多项式与多项式的公因式是____________________．5．在1~100之间若存在整数，使能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的有_______个．6．将多项式分解因式的积，结果是（）．A． B．C． D．7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（）．A． B．C． D．（“希望杯”邀请赛试题）8．把分解因式，其中一个因式是（）．A． B． C． D．9．多项式有因式（）．A． B．C． D．（“五羊杯”竞赛试题）10．已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（）．A．一定是奇数 B．一定是偶数C．可为奇数也可为偶数 D．一定是负数11．分解因式：（1）；（2）；（3）；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）；（重庆市竞赛试题）（5）；（6）．12．先化简，在求值：，其中，．B 级1．分解因式：＝_______________．（重庆市竞赛试题）2．分解因式：＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．分解因式：＝_________________________．（“希望杯”邀请赛试题）4．分解因式：＝______________________．（“五羊杯”竞赛试题）5．将因式分解得（）．A． B．C． D．（陕西省竞赛试题）6．已知是△ABC三边的长，且满足，则此三角形是（）．A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不能确定7．的因式是（）．A． B． C． D． E.（美国犹他州竞赛试题）8．分解因式：（1）；（湖北省黄冈市竞赛试题）（2）；（江苏省竞赛试题）（3）；（陕西省中考试题）（4）；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（5）；（“五羊杯”竞赛试题）（6）．（太原市竞赛试题）9．已知乘法公式：利用或者不利用上述公式，分解因式：．（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．分解因式：（1）；（2）；（3）．11．对方程，求出至少一组正整数解．（莫斯科市竞赛试题）12．已知在△ABC中，，求证：．（天津市竞赛试题）专题03 和差化积-------因式分解的方法(1)例1.例2. (1) 原式(2) 原式例3.(1)(2)(3)例4. D例5.(1)提示: 原式(2) 提示: 原式(3) 提示: 原式例6. 解法1原式解法2 原式A级1. (1)(2)2. (1)(2)3.4.5. 96. D7. A8. D9. A10. A11. (1)提示: 令(2)(3) \(4) 提示: 原式(5) 提示: 原式(6)12. 原式当原式B 组1. (1)(2)3.5. D6. B7. A 提示: 原式8. (1)(2) 提示: 令(3)(4) 提示: 原式(5)(6)9. 由公式有10. (1)(2)(3)11. 有或解得或12.是三角形三边长,由条件只有,故专题04 和差化积----因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法1．主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法．2．待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．例题与求解【例l】因式分解后的结果是（）． A． B．C． D．（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．【例2】分解因式：（1）；（“希望杯”邀请赛试题）（2）．（天津市竞赛题）解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．【例3】分解因式．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因的最高次数低于的最高次数，故将原式整理成字母的二次三项式．【例4】为何值时，多项式有一个因式是（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．【例5】把多项式写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题）解题思路：原多项式的最高次项是，因此二次三项式的一般形式为，求出即可．【例6】如果多项式能分解成两个一次因式，的乘积（为整数），则的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出的值．能力训练A 级1．分解因式：＝___________________________．（“希望杯”邀请赛试题）2．分解因式：＝_______________________（河南省竞赛试题）3．分解因式：＝____________________________．（重庆市竞赛试题）4．多项式的最小值为____________________．（江苏省竞赛试题）5．把多项式分解因式的结果是（）A． B．C． D．6．已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数是（）．A．3 个B．4 个C．5 个D．6个7．若被除后余3，则的值为（）．A．2 B．4 C．9 D．10（“CASIO杯”选拔赛试题）8．若，，则的值是（）．A． B． C． D．0（大连市“育英杯”竞赛试题）9．分解因式：（1）；（吉林省竞赛试题）（2）；（昆明市竞赛试题）（3）；（天津市竞赛试题）（4）；（四川省联赛试题）（5）（天津市竞赛试题）10．如果能够分割成两个多项式和的乘积（为整数），那么应为多少？（兰州市竞赛试题）15．已知代数式能分解为关于的一次式乘积，求的值．（浙江省竞赛试题）B 级1．若有一个因式是，则＝_______________．（“希望杯”邀请赛试题）2．设可分解为一次与二次因式的乘积，则＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．已知是的一个因式，则＝________________________．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．多项式的一个因式是，则的值为__________．（北京市竞赛试题）5．若有两个因式和，则＝（）．A．8 B．7 C．15 D．21 E．22（美国犹他州竞赛试题）6．多项式的最小值为（）．A．4 B．5 C．16 D．25（“五羊杯”竞赛试题）7．若（为实数），则M的值一定是（）．A．正数B．负数C．零D．整数(“CASIO杯”全国初中数学竞赛试题）8．设满足，则＝（）A．（2，2）或（－2，－2）B．（2，2）或（2，－2）C．（2，－2）或（－2，2）D．（－2，－2）或（－2，2）（“希望杯”邀请赛试题）9．为何值时，多项式能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）10．证明恒等式：．（北京市竞赛试题）11．已知整数，使等式对任意的均成立，求的值．（山东省竞赛试题）12．证明：对任何整数，下列的值都不会等于33．（莫斯科市奥林匹克试题）专题04 和差化积-------因式分解的方法(2)例1. A 提示: 将原式重新整理成关于的二次三项式例2. (1) 提示: 原式(2) 提示: 原式例3. 原式例 4. 提示: 可设原式展开比较对应项系数得解得k＝12．例5原式＝．例6设x2－（a＋5）x＋5a－1＝（x＋b）（x＋c）＝x2＋（b＋c）x＋bc．∴①×5＋2得bc＋5（b＋c）＝－26，bc＋5（b＋c）＋25＝－1，（b＋5）（c＋5）＝－1．∴或∴或故a＝5．A级1．（3a＋2b－c）（3a－2b＋c）2．（x＋3y）（x＋2y＋1）3．（x＋y＋1）（x－y＋3）4．－185．C6．D7．D8．D9．（1）（2a＋b）（a－b＋c）；（2）（a＋c－2b）2；（3）（x－2）（x2－x＋a）；（4）（x－2y＋3）（2x－3y－4）；（5）（x＋1）（y＋1）（x－1）（y－1）．10．提示：由题意得①×4＋②，得（b＋4）（c＋4）＝－1，推得或故a＝4．11．∵x2－3xy－4y＝（x＋y）（x－ 4y），∴可设原式＝（x＋y＋m）（x－4y＋n），展开比较对应项系数得b＝－6或9．B级1．k＝－52．－2提示：原式＝x（x2＋3x－k）－2y（x＋2），令x＝－2．3．5提示：令原式＝（x－y＋4）·A，取一组x，y的值代入上式．4．－35．C提示：x＝－1，x＝－2是方程x3＋ax2＋bx＋8＝0的解．6．C提示：原式＝（x－2y）2＋（2x＋3）2＋167．A提示：原式＝2（x－2y）2＋（x－2）2＋（y＋3）2≥0，且这三个数不能同时为零，M ＞0．8．C9．k＝－3 提示：因x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2），故可令原式＝（x＋my＋1）·（x十ny＋2），展开比较对应项系数求出k．10．提示：左边＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2＋2ab）2＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2）2＋4ab（a2＋b2）＋4a2b2＝2（a2＋b2）＋4ab（a2＋b2）＋2a2b2＝2（a2＋b2＋ab）2＝右边．11．将原等式展开x2＋（a＋b＋c）x＋ab－l0c＝x2－10x－11．∴①×10＋②得ab＋10a＋10b＝－111．∴（a＋10）（b＋10）＝－11．∴或或或∴或或或代入①得c＝0或20．12．原式＝（x5＋3x4y）－（5x3y＋15x2y3）＋（4xy4＋12y5）＝x4（x＋3y）－5x2y2（x＋3y）＋4y4（x＋3y）＝（x＋3y）（x4－5x2y2＋4y2）＝（x＋3y）（x2－4y2）＝（x＋3y）（x＋y）（x－y）（x＋2y）（x－2y）．当y＝0时，原式＝x5≠33;当y≠0时，x＋3y，x－y，x－2y，x＋2y，x＋y互不相同，而33不可能分解为4个以上不同因数的积，所以，当x取任意整数，y取不为0的任意整数，原式≠33．专题05 和差化积——因式分解的应用阅读与思考：因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：1．复杂的数值计算；2．代数式的化简与求值；3．简单的不定方程（组）；4．代数等式的证明等.有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果：1. ;2. ;3. ；4.；5. ．例题与求解【例1】已知，，那么的值为___________ .（全国初中数学联赛试题）解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a，b之间的关系，代入关系求值．【例2】a，b，c是正整数，a＞b，且，则等于( ).A. －1 B．－1或－7 C．1 D.1或7（江苏省竞赛试题）解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．求代数式的值的基本方法有；(1)代入字母的值求值；(2)代入字母间的关系求值；(3)整体代入求值．【例3】计算：(1) （“希望杯”邀请赛试题）（2）（江苏省竞赛试题）解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究的规律．【例4】求下列方程的整数解．(1); （上海市竞赛试题）(2). （四川省竞赛试题）解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．解不定方程的常用方法有：(1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法．用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.【例5】已知，，求下列各式的值：(1) ； (2) ； (3)．解题思路：先分解因式再代入求值.【例6】一个自然数恰等于另一个自然数的立方，则称自然数为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：是一个完全立方数．（北京市竞赛试题）解题思路：用字母表示数，将分解为完全立方式的形式即可．能力训练A 级1. 如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片1张，边长分别为，的长方形卡片6张，边长为的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ________．（烟台市初中考试题）2．已知，则的值为__________．（江苏省竞赛试题）3．方程的整数解是__________．（“希望杯”邀请赛试题）4. 如果是完全平方式，那么的值为__________．（海南省竞赛试题）5. 已知()，则的值是( )．A．2， B．2 C． D．6．当，的值为( )．A. －1 B．0 C．2 D．17．已知，，则M与N的大小关系是( )．A. M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定（“希望杯”邀请赛试题）8．为某一自然数，代入代数式中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )．A. 388944B.388945C.388954D.388948（五城市联赛试题）9．计算：(1) （北京市竞赛试题）(2) (安徽省竞赛试题)10. 一个自然数恰好等于另一个自然数的平方，则称自然数为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若＝19982＋19982×19992＋19992，求证：是一个完全平方数．（北京市竞赛试题）16．已知四个实数，，，，且，，若四个关系式，，，同时成立.(1)求的值；(2)分别求，，，的值．（湖州市竞赛试题）B 级1．已知是正整数，且是质数，那么____________ .（“希望杯”邀请赛试题）2．已知三个质数的乘积等于这三个质数的和的5倍，则＝________ .（“希望杯”邀请赛试题）3．已知正数，，满足，则＝_________ . （北京市竞赛试题）4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取＝9，＝9时，则各个因式的值是：，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码，对于多项式，取＝10，＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．（浙江省中考试题）5．已知，，是一个三角形的三边，则的值( )．A.恒正 B．恒负 C．可正可负 D．非负(太原市竞赛试题)6．若是自然数，设，则( )．A. 一定是完全平方数 B．存在有限个，使是完全平方数C. 一定不是完全平方数 D．存在无限多个，使是完全平方数7．方程的正整数解有( )组．A.3 B．2 C．1 D．0（“五羊杯”竞赛试题）8．方程的整数解有( )组．A.2 B．4 C．6 D.8（”希望杯”邀请赛试题）9．设N＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N的因数？（美国中学生数学竞赛试题）10．当我们看到下面这个数学算式时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：，，，，…你能发现以上等式的规律吗？11.按下面规则扩充新数：已有，两数，可按规则扩充一个新数，而以，，三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数1和4，求：(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．（重庆市竞赛试题）12.设，，为正整数．被整除所得的商分别为，.(1)若，互质，证明与互质；(2)当，互质时．求的值；( 3)若，的最大公约数为5，求的值．（江苏省竞赛试题）。
数学七年级竞赛入门辅导讲义_共十讲_很实用 2
第一讲 数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B （B ≠0）所得的商A /B 是整数，那么叫做A 被B 整除． 0能被所有非零的整数整除．一些数的整除特征 除 数能被整除的数的特征 2或5末位数能被2或5整除 4或25末两位数能被4或25整除 8或125末三位数能被8或125整除 3或9各位上的数字和被3或9整除（如771，54324） 11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减，其差能被11整除（如143，1859，1287，908270等）7，11，13 从右向左每三位为一段，奇数段的各数和与偶数段的各数和相减，其差能被7或11或13整除．（如1001，22743，17567，21281等）能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除．如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）二、例题例1 已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除．求x ，y解：x ，y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y =6．∵328＋92x ＝567，∴x =3．1234能被12整除，求x．例2 己知五位数x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8．当末两位4x能被4整除时，x＝0，4，8．∴x＝8．例3 求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数．解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263．三、练习1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296．987能被3整除，那么a=_______________．2若四位数ax能被11整除，那么x＝__________．3若五位数123435m能被25整除．4当m=_________时，59610能被7整除．5当n=__________时，n6能被11整除的最小五位数是________，最大五位数是_________．7能被4整除的最大四位数是_____，能被8整除的最小四位数是______．88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________，8__________，9_________，11__________．9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个．10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？1234能被15整除，试求A的值．11己知五位数A12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数．第二讲倍数约数一、内容提要1．两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B/A），那么A叫做B 的倍数，B叫做A的约数．例如3/15，15是3的倍数，3是15的约数．2．因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除．0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数．如0是7的倍数，7是0的约数．3．整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……．4．整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A．例如6的约数是±1，±2，±3，±6．5．通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数．6．公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）．7．在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除．二、例题例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32．解：列表如下：正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计2 1，2 2 31，3 2 2×3 1，2，3，6422 1，2，4 3 32 1，3，32 3 22×3 1，2，3，4，6，12623 1，2，4，84 331，3，32，334 22×321，2，3，4，6，9，12，18，36924 1，2，4，8，165 341，3，32，33，345其规律是：设A＝a m b n(a，b是质数，m，n是正整数) 那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1)例如：求360的正约数的个数．解：分解质因数：360＝23×32×5，360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）．例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数解：∵24＝23×3，90＝2×32×5∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6．最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24，90]=360．例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N．解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数．∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6．经检验1和2不合题意，∴N＝6，3．例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除，所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1．解：∵[10，9，8]=360，∴所以所求的数是359．三、练习1．12的正约数有_________，16的所有约数是_________________2．分解质因数300＝_________，300的正约数的个数是_________3．用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数．4．一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________5．能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________ 6．己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________7．写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数．答____8．一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9．一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？第三讲 质数 合数一、内容提要1．正整数的一种分类：1⎧⎪⎨⎪⎩质数合数质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）．合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数．2． 根椐质数定义可知① 质数只有1和本身两个正约数，② 质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3．任何合数都可以分解为几个质数的积．能写成几个质数的积的正整数就是合数．二、例题例1 两个质数的和等于奇数a （a ≥5）．求这两个数．解：∵两个质数的和等于奇数， ∴必有一个是2，所求的两个质数是2和a －2．例2 己知两个整数的积等于质数m ， 求这两个数．解：∵质数m 只含两个正约数1和m ，又∵（－1）（－m ）=m ，∴所求的两个整数是1和m 或者－1和－m ．例3 己知三个质数a ，b ，c 它们的积等于30，求适合条件的a ，b ，c 的值．解：分解质因数：30＝2×3×5．适合条件的值共有： ⎪⎩⎪⎨⎧===532c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===352c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===253c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===325c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===235c b a ．应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a ，b ，c ，d 它们的积等于210，即abcd =2×3×5×7那么适合条件的a ，b ，c ，d 值共有24组，试把它写出来．例4 试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数．解：（本题答案不是唯一的）设N 是不大于5的所有质数的积，即N ＝2×3×5那么N ＋2，N ＋3，N ＋4，N ＋5就是适合条件的四个合数即32，33，34，35就是所求的一组数．本题可推广到n 个．令N 等于不大于n +1的所有质数的积，那么N ＋2，N ＋3，N ＋4，……N ＋（n +1）就是所求的合数．三、练习1．小于100的质数共 个，它们是 ．2．己知质数P 与奇数Q 的和是11，则P ＝ ，Q ＝ ．3．己知两个素数的差是41，那么它们分别是 ．4．如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是 ．如果两个整数的积等于73，那么它们是 ．如果两个质数的积等于15，则它们是 ．5．两个质数x 和y ，己知xy=91，那么x = ，y = ，或x = ，y= ．6． 三个质数a ，b ，c 它们的积等于1990．那么 _______________a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩7．能整除311＋513的最小质数是 ．8．己知两个质数A 和B 适合等式A ＋B ＝99，AB ＝M ．求M 及B A ＋AB 的值． 9．试写出6个連续正整数，使它们个个都是合数．10．具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？11．求适合下列三个条件的最小整数：① 大于1 ②没有小于10的质因数 ③不是质数．12．某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，那么这个质数是 ．13．一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是 ．第四讲零的特性一、内容提要（一）、零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数．零是自然数，是整数，是偶数．1．零是表示具有相反意义的量的基准数．例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支平衡可记作结存0元．2．零是判定正、负数的界限．若a＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a＞0记作a＞0 ⇔a是正数读作a＞0等价于a是正数b<0 ⇔b是负数c≥0 ⇔c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）d≤0 ⇔d是非正数(即d不是正数，而是负数或0)e≠0 ⇔e不是0（即e不是0，而是负数或正数）3．在一切非负数中有一个最小值是0．例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0．记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）．4．在一切非正数中有一个最大值是0．例如－|x|≤0，当x＝0时，－| x |值最大，是0，（∵x≠0时都是负数），－（x－2）2≤0，当x＝2时，－（x－2）2的值最大，是0．(二)、零具有独特的运算性质1．乘方：零的正整数次幂都是零．2．除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数．从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0．3．乘法：零乘以任何数都得零．即a×0＝0，反过来如果ab=0，那么a、b中至少有一个是0．要使等式xy=0成立，必须且只需x=0或y=0．4．加法：互为相反数的两个数相加得零．反过来也成立．即a、b互为相反数⇔a+b=0。
超级资源：七年级数学竞赛讲义附练习及答案(12套)
七年级数学竞赛讲义附练习及答案（12套）初一数学竞赛讲座第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。
5．整数集的离散性：n 与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x ＜y 与x ≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0；2．带余形式：a=bq+r ；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答_第3讲_充满活力的韦达定理
初中学习资料整理总结充满活力的韦达定理学历训练1、(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 取值范围是 。
(2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 。
2、已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 。
3、CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 。
4、设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( ) A ．1，-3 B ．1，3 C ．-1，-3 D ．-1，35、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( )A ．23B ．25 C ．5 D ．2 6、方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p 的值是( ) A ．1 B ．-l C ．21- D ．21 7、若关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?8、已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x 。
(1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值。
9、已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 。
10、已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 。
初中数学(初一)竞赛讲义(知识点难点梳理、重点题型分类举一反三)(家教、补习、竞赛专用)
初一数学竞赛讲义重难点有效突破知识点梳理及重点题型举一反三练习专题01 质数那些事阅读与思考一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：关于质数、合数有下列重要性质：1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4．2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．3．若质数|，则必有|或|．4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：N=，其中，为质数，为非负数(=1，2，3，…，)．正整数N的正约数的个数为(1＋)(1＋)…(1＋)，所有正约数的和为(1＋＋…＋)(1＋＋…＋)…(1＋＋…＋)．例题与求解【例1】已知三个质数，，满足＋＋＋=99，那么的值等于_________________．(江苏省竞赛试题) 解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出，，的值．【例2】若为质数，＋5仍为质数，则＋7为( )A．质数B．可为质数，也可为合数C．合数D．既不是质数，也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题) 解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．(上海市竞赛试题) 解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．【例4】⑴将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数，求证：一定是合数．⑵若是大于2的正整数，求证：－1与＋1中至多有一个质数．⑶求360的所有正约数的倒数和．(江苏省竞赛试题) 解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明－1与＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．【例5】设和是正整数，≠，是奇质数，并且，求＋的值．解题思想：由题意变形得出整除或，不妨设．由质数的定义得到2－1=1或2－1=．由≠及2－1为质数即可得出结论．【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．(青少年国际城市邀请赛试题) 解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．能力训练A级1．若，，，为整数，=1997，则=________．2．在1，2，3，…，这个自然数中，已知共有个质数，个合数，个奇数，个偶数，则(－)＋(－)=__________．3．设，为自然数，满足1176=，则的最小值为__________．(“希望杯”邀请赛试题) 4．已知是质数，并且＋3也是质数，则－48的值为____________．(北京市竞赛试题) 5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是( )A．4B．8C．12D．06．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有( )A．0个B．1个C．2个D．3个(“希望杯”邀请赛试题) 7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有()A．1个B．3 个C．5个D．6 个(“希望杯”邀请赛试题) 8．设，，都是质数，并且＋=，<．求．9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．(上海市竞赛试题)10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．(五城市联赛试题)11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为cm规格的地砖，恰用块，若选用边长为cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知，，都是正整数，且(，)=1，试问这块地有多少平方米？(湖北省荆州市竞赛试题)B级1．若质数，满足5＋7=129，则＋的值为__________．2．已知，均为质数，并且存在两个正整数，，使得=＋，=×，则的值为__________．3．自然数，，，，都大于1，其乘积=2 000，则其和＋＋＋＋的最大值为__________，最小值为____________．(“五羊杯”竞赛试题) 4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个数是_______________．(北京市“迎春杯”竞赛试题) 5．若，均为质数，且满足＋=2 089，则49－=_________．A．0B．2 007C．2 008D．2 010(“五羊杯”竞赛试题) 6．设为质数，并且7＋8和8＋7也都为质数，记=77＋8，=88＋7，则在以下情形中，必定成立的是()A．，都是质数B．，都是合数C．，一个是质数，一个是合数 D．对不同的，以上皆可能出现(江西省竞赛试题) 7．设，，，是自然数，并且，求证：＋＋＋一定是合数．(北京市竞赛试题)8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：⑴6个数中任意两个都互质；⑵6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．9．已知正整数，都是质数，并且7＋与＋11也都是质数，试求的值．(湖北省荆州市竞赛试题)10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：(l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？(2) 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．专题01 质数那些事例1 34例2 C例3 3符合要求提示：当p=3k＋1时，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，显然p＋14是合数，当p=3k＋2时，p＋10=3(k＋4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意．例4 （1）因1＋2＋…＋2004=×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．（2）因n是大于2的正整数，则－1≥7，－1、、＋1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除，故－1与＋1中至多有一个数是质数．（3）设正整数a的所有正约数之和为b，，，，…，为a的正约数从小到大的排列，于是=1，=a．由于中各分数分母的最小公倍数=a，故S===，而a=360=，故b=（1＋2＋＋）×（1＋3＋）×（1＋5）=1170．==．例5 由=，得x＋y==k．（k为正整数），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p为奇质数，故p整除x或y，不放设x=tp，则tp＋y=2ty，得y=为整数．又t与2t－1互质，故2t－1整除p，p为质数，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，与x≠y矛盾；若2t－1=p，则=，2xy=p（x＋y）．∵p是奇质数，则x ＋y为偶数，x、y同奇偶性，只能同为xy=必有某数含因数p．令x=ap，ay=，2ay=ap＋y．∴y=，故a，2a－1互质，2a－1整除p，又p是质数，则2a－1=p，a=，故x==，∴x＋y=＋=。
初中数学竞赛辅导全完整版.doc
第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b 第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。
问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：①(x+1)=0, ②x2=9, ③|x|=9，④|x|=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
4. k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？① x =k4②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k5. k 取什么值时，方程x －k =6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？6. m 取什么值时，方程3（m +x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？7. 己知方程221463+=+-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？8. m 取什么整数值时，方程m m x 321)13(-=-的解是整数?9. 己知方程ax x b 231)1(2=++有无数多解，求a 、b 的值。
初中数学竞赛辅导讲义全
初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。
2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。
3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。
解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。
解：13313232+++++x ax x X ax1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21 证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51 + …… + 121-n - 121+n ） aaax ax xO x -++++1133223=21（1- 121+n ） ∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21[小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
初中数学竞赛辅导讲义1
初中数学竞赛辅导讲义1初中数学竞赛是培养学生数学能力的一种重要途径，也是考验学生数学素质和思维能力的有效方法。
竞赛的题目一般会有一定的难度，需要学生具备较高的数学知识和思维能力。
为此，我们推出这份初中数学竞赛辅导讲义1，旨在为广大学生提供一些在数学竞赛中常用的数学方法和技巧。
一、数的分解1.1 质因数分解对于一个正整数，我们可以将其分解为若干个质数的乘积的形式，这种分解方式称为质因数分解。
质数是指只能被1和它本身整除的正整数，常见的质数有2、3、5、7等。
在竞赛中，质因数分解是一个非常常见的题型。
例如，对于数字28，它可以表示为2×2×7的形式，因此28的质因数分解式是28=2×2×7。
1.2 分解因式在数学竞赛中，分解因式也是一种很常见的题型。
分解因式即将一个多项式拆分成多个因数的乘积，许多数学问题可以用分解因式的方式解决。
例如，求解一个一次方程或二次方程就需要先进行分解因式。
例如，对于多项式x2+3x+2，我们可以将其拆分成(x+2)×(x+1)的形式，因此x2+3x+2的因式分解式是(x+2)×(x+1)。
二、方程的解法2.1 一元一次方程的求解在数学竞赛中，一元一次方程的求解是一个很基础的知识点。
一元一次方程是指只有一个未知数且未知数的最高次幂为1的方程。
例如，解方程2x+3=7，我们可以将其转化为2x=4，再将其化简为x=2，因此方程的解为x=2。
2.2 二元一次方程的求解在数学竞赛中，二元一次方程也是一种常见的题型。
二元一次方程指的是含有两个未知数且未知数的最高次幂为1的方程。
例如，解方程2x+3y=7，x-y=1，我们可以利用消元法或其他方法来求解未知数的值。
三、几何基础知识3.1 圆的相关知识在数学竞赛中，圆的相关知识也是一个非常重要的内容。
圆是平面上一组点构成的集合，其中任意两点之间的距离相等，这个距离被称为圆的直径。
(共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)
（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用第一讲 走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式aacb b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。
【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。
【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。
思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。
【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值。
思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值。
初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套)
第一讲 有 理 数一、有理数的概念及分类。
二、有理数的计算：1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。
三、例题示范例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？例2、 将9998,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。
提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示2：先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。
例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。
试确定三个数ca b ab 1,1,1-的大小关系。
分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较ca b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。
例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。
提示：P=na b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。
2、符号和括号在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。
3、算对与算巧例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002提示：1、逆序相加法。
2、求和公式：S=(首项+末项)⨯项数÷2。
例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002例8、 计算9999991999999个个个n n n +⨯ 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。
初中数学竞赛代数专题之一元二次方程培优讲义例题练习及解答
初中数学竞赛之一元二次方程培优讲义形如0=a 的方程叫做一元二次方程。
当240b ac -≥时，一元二次方程的两根为1242b x a-±=、一、专题知识1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解发是一元二次方程的四种基本解法。
2.公式法是解一元二次方程最一般地方法：（1）240b ac ->时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根122b x a-±=、（2）240b ac -=时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-（3）240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根二、经典例题例题1已知m n 、是有理数，方程20x mx n ++=2-，求m n +的值。
解：由题意得22)2)0m n ++=即(92)(0m n m -++-而m n 、是有理数，必有92040m n m -+=⎧⎨-=⎩，解得41m n =⎧⎨=-⎩，所以m n +的值为3.例题2求证：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。
证明：用反证发假设方程20(0)ax bx c a ++=≠有三个不同的实数根1x 、2x 和3x ，则有2110(0)ax bx c a ++=≠①2220(0)ax bx c a ++=≠②2330(0)ax bx c a ++=≠③①—②得22121212()()0,a x x b x x x x -+-=≠有12()0a x xb ++=④同理②—③有23()0a x xb ++=⑤④—⑤得1313()0()a x x x x -=≠必有0a =，与已知条件矛盾，所以一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。
例题3已知首项系数不相等的两个一元二次方程222(1)(2)(2)0a x a a a --+++=及222(1)(+2)(+2)0(,)b x b x b b a b Z -++=∈有一个公共根，求a bb aa b a b --++的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【例5】已知实数 、 、 、 互不相等，且 ，试求 的值.思路点拨：运用连等式，通过迭代把 、 、 用 的代数式表示，由解方程求得 的值.
注：一元二次方程常见的变形形式有：
(1)把方程 （ ）直接作零值多项式代换；
(2)把方程 （ ）变形为 ，代换后降次；
11、已知 、 是有理数，方程 有一个根是 ，则 的值为.
12、已知 是方程 的一个正根.则代数式 的值为.
13、对于方程 ，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于()
A、1B、2 C、 D、2．5
14、自然数 满足 ，这样的 的个数是()
A、2 B、1 C、3 D、4
15、已知 、 都是负实数，且 ，那么 的值是()
20、如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC= S矩形PQRS，其中 为不小于3的自然数．求证： 需为无理数.
参考答案
第二讲 判别式——二次方程根的检测器
为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等.我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：
利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；
运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；
通过判别式，证明与方程相关的代数问题；
借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题.
【例题求解】
【例1】 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是.(广西中考题)
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决.解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法.
【例题求解】
【例1】满足 的整数n有个.
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程.
思路点拨：利用判别式建立关于 的不等式组，注意 、 的隐含制约.
注：运用判别式解题，需要注意的是：
(1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约；
(2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识.
【例2】 已知三个关于 的方程： ， 和 ，若其中至少有两个方程有实根，则实数 的取值范围是( )（山东省竞赛题）
思路点拨：对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分 或 、 中有一个与c相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出 、 的值.
注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍.
（2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法.
【例2】设 、 是二次方程 的两个根，那么 的值等于（）
A、一4 B、8 C、6 D、0
思路点拨：求出 、 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如 ， .
【例3】解关于 的方程 .
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分 及 两种情况讨论.
【例4】设方程 ，求满足该方程的所有根之和.
9、是否存在某个实数m，使得方程 和 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由.注：解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口.
10、若 ，则 ＝.
A、 B、 或 C、 D、讨论人手，解关于 的不等式组，综合判断选择.
【例3】 已知关于 的方程 ，
(1)求证：无论 取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形△ABC的一边长 ＝1，另两边长 、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.(湖北省荆门市中考题)
（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全
适合中学教师作为辅导教材使用
第一讲走进追问求根公式
形如 （ ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法.而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法.
求根公式 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美.
(3)把方程 （ ）变形为 或 ，代换后使之转化关系或整体地消去 .
解合字母系数方程 时，在未指明方程类型时，应分 及 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如 .
走进追问求根公式学历训练
1、已知 、 是实数，且 ，那么关于 的方程 的根为.
2、已知 ，那么代数式 的值是.
【例4】 设方程 ，只有3个不相等的实数根，求 的值和相应的3个根.(重庆市竞赛题)
思路点拨：去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零.
3、若 ， ，则 的值为.
4、若两个方程 和 只有一个公共根，则()
A、 B、 C、 D、
5、当分式 有意义时， 的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、 且
6、方程 的实根的个数是( )A、0 B、1 C、2 D、3
7、解下列关于 的方程：
(1) ；(2) ；(3) .
8、已知 ，求代数式 的值.
A、 B、 C、 D、
16、已知 ，求 的值.
17、已知m、n是一元二次方程 的两个根，求 的值.
18、在一个面积为l的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边 等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为 ，求 的值.
19、已知方程 的两根 、 也是方程 的根，求 、 的值.