高等数学 重修A(II)19春

16．求点 (3,1, −1) 到平面 x + y + z − 20 = 0 的投影坐标。
19．求点 (2,1,1) 到平面 x + y − z +1 = 0 的距离。
1
多元函数微分法及其应用
2．求极限 lim x→0 y→0
3．求偏导数
xy +1 −1 xy
（1） z = x3 y + exy − sin(x2 − y2 ) ，求 ∂z 及 ∂z ∂x ∂y
11．求过点
(−1,
2,1)
且平行于直线
⎧ ⎨ ⎩
x x
+ +
y 2
−2 y−
z z
−1 +1
= =
0 0
的直线方程。
12．求过点
(2,1,1)
且垂直于直线
⎧x + 2 ⎨⎩2x +
y y
− −
z z
+1= =0
0
的平面方程。
13．将直线一般式
⎧x − y ⎨⎩2x +
+z y+
=1 z=
4
化为对称式方程和参数式方程。
∫ 6.利用格林公式计算 − x 2 ydx + xy 2dy ，其中 L 为沿圆周 x2 + y2 = a2 正向一圈的 L
路径。
∫ 7. 用 两 种 不 同 的 方 法 计 算 曲 线 积 分 (x 2 + y 2 )dx + (x + 2)dy ， 其 中 L 是 以 L
O (0, 0) ， A(1, 0) , B (0,1) 为顶点的三角形的正向边界曲线。
（2） z = ln(x + y ) ，求 ∂z 及 ∂z
2x
∂x x=1 ∂y x=1
y=0
y=0
4．求二阶偏导数：
∂2z ∂x2
,
∂2z ∂y 2
及
∂2z ∂x∂y
（1） z = x y ；
（2） z = arctan x y
5.求全微分
（1） z = arctan y + arctan x ，求 dz
∫ 3.计算 (1,1) xydx + ( y − x)dy ，沿着曲线 (1) y = x (0,0)
(2) y = x2
(3) y2 = x
v∫ 4.计算
L
ydx − x2 +
xdy y2
，其中
L
为正向的圆周
x
=
a cos t,
y
=
a sin t
。
∫ 5.计算 −x cos ydx + y sin xdy ，其中 L ：从点 A(0, 0) 到点 B (π , 2π ) 的直线段。 L
，求：（1）(3aG
)
⋅
G 2b
（2）(
G 2a
)
×
G −b
；
（3）
cos(a^b)
；（4）
G a
在
G b
上的投影。
6．求曲线 4x2 − 9 y2 = 36, z = 0 绕 x 轴及 y 轴旋转所成旋转曲面的方程。
7．指出方程所表示的曲面：（1）x2 + 2 y2 + 3z2 = 9 ；（2）x2 + y2 = 4 ；（3）x2 = 4 y
x
y
（2） f (x, y, z) = z ，求 df (3, 4,5) 。 x2 + y2
6．设
z
=
2
x y
，而
y
=
ln
x
，求
dz
。
dx
7．设 z = u2v − uv2 ，而 u = x cos y ， v = x sin y ，求 ∂z 及 ∂z 。 ∂x ∂y
8．设 z = y ，而 x = et , y = 1− e2t , 求 dz 。
D
D
2) I1 = ∫∫ ( x + y)2dxdy 与 I2 = ∫∫ ( x + y)4dxdy ，其中 D : x + y ≤ 1
D
D
∫∫ 4.计算 xydxdy ，D 是由 x2 − y2 = 1 及 y = 0, y = 1所围区域。 D
5.计算 ∫∫ xdxdy ，其中 D 是以 O (0, 0), A(1, 2), B (2,1) 为顶点的三角形区域。 D
x2 + 3x + 2
4
8．过点 (3, 0, −5) 作平面使该平面（1）平行于平面 2x − 8 y + z = 2;（2）平行于 yoz
平面。
9. 求过点 (1, −1,1) 且垂直于两平面 x − y + z = 0 和 2x + y + z +1 = 0 的交线的平
面。
10．求过两点 (1, 2, −1) 及 (−5, 2, 7) 且平行于 x 轴的平面。
∑ 1） ∞ (1− 1 )n2 ；
n=1
n
∑ 2）
∞ n=1
1 2n
(1 +
1 )n2 n
；
8．判别下列正项级数的敛散性
∑ 1） ∞ (1− cos π ) ；
n=1
n
∑∞
2）
1；
n=1 n n n
∑ 3）
∞ n=1
1⋅
3"(2n 3n n!
−
1)
10．设 f (x) =
1
，（1）按 x 的幂级数展开；（2）在 x = −3 处展成幂级数。
3
无穷级数
∑ 2．已知
∞
un
n=1
的前 n 项和 Sn
=
2n n +1
，级数的一般项
u
n
=
；级数的和 S =
3．写出下列级数的部分和 Sn ，并用级数收敛与发散的定义讨论级数的敛散性。
∞
∑ 1） ( n + 1 − n) 。； n=1
∑∞
2）
1
。
n=1 (2n −1)(2n + 1)
∞
∑ 4．已知级数 un （ un ≠ 0 ）收敛，判断下列级数的敛散性 n=1
3n
∑ 3）
∞1 n=1 ( 2n
+ 1 )； 10n
6．用比值审敛法判别下列正项级数的敛散性
∑ 1）
∞ n=1
n! nn
；
∑ 3）
∞ n=1
(a (b
+ 1)(2a + 1)(2b
+ 1)" (na + 1)" (nb
+ 1) + 1)
(a > 0,b > 0)
7．用根值审敛法判别下列正项级数的敛散性
法平面方程。
→ → →→
16．求函数 f (x, y, z) = xy2 + yz3 在点 (2, −1,1) 沿方向 l = i + 2 j + k 的方向导数。
2
重积分
( ) ∫∫ 1. 确定积分 ln x2 + y2 dxdy 的符号 x + y ≤1
3. 比较下列积分的大小
∫∫ ( ) ∫∫ 1) I1 = x2 + y2 dxdy 与 I2 = 2xydxdy ，其中 D 为任意积分区域。
x
dt
11．设 exy + tan(xy) = y ，求 y′ 。 x=0
14．求曲面 3x2 + y2 − z2 = 27 在点 (3,1,1) 处的切平面及法线方程。
15．求曲线 x = t − cos t ， y = 3 + sin 2t ， z = 1+ cos 3t 在 t = π 对应点处的切线及 2
∫ ∫ ∫ ∫ 6. 交换二次积分
1
dx
x2 f (x, y)dy +
3
dx的积分次序。
00
1
0
曲线积分
∫ 1.计算 x sin yds ，其中 L 为 x = 3t, y = t (0 ≤ t ≤ π ) 。 L
∫ 2.计算 x2 + y2 ds ，其中 L 为 x2 + y2 = ax 。 L
G u
的正向与三个坐标轴的正向构成相等的锐角，试求：
（1）
G a
在
G u
上的投影；（2）向量
G a
与轴
G u
的夹角。
GG 4．已知向量 a 和 b
构成夹角 ϕ
=
π
，且
a
= 3,
b
= 2 ，求
a+b
及
a−b
。
3
( ) ( ) G
5．已知 a
=
G i
+
G j
GG − 4k ,b
=
G i
−
G 2j
+
G 2k
向量代数与空间解析几何
( ) 1．写出向量
G a
=
1
G GG 2i + 12 j − k
的坐标，模及方向余弦。
3
2．已知
G a
=
G
{2,2,1}, b
=
{8,−4,1}，求：（1）
G a
在
G b
上的投影；（2）与
G a
同方向的单
G 位向量；（3） b 的方向余弦。
3．设向量
G a
=
{4,−3,2}
，轴
∞
∑ 1） (un + 0.01) ； n=1
∞
∑ 2） un+100 ； n=1