第七章 自旋与全同粒子(二十讲) 量子力学教学课件

C 2 =1, C
=±1。
当 c=＋1 是对称的 (qi q j ） = (q j qi ) 当 c=－1 是反对称 (qi q j ） =－ (q j qi ) 结论：1）全同粒子组成波函数只能对称和反对称。 2）全同粒子组成波函数对称性不随时间 t 改变而改变 证明：设φ 是对称的。 t 时刻： 在 t+dt
意义：1）完全确定一个电子状态需四个量子数`（n,l,m,m s ）
2)不相容原理。 3、波函数归一化 设 i 是归一化的，则：
| (q , q ) | dq dq | (q , q | (q , q ) | dq dq 2
s 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
ˆ （q , q ,q ,q ,q ，t) H ˆ （q , q ,q ,q ,) 1 2 j i N 1 2 i j 即有： H ˆ （q ,q ,), H ˆ （q ,q ,)]有相同的波函数。 [H
i j j i
全同粒子的薛定谔方程:
i ˆ (q , q q q ) (q , q q q ) E (q 1 , q 2 q j q i ） H 1 2 j i 1 2 j i j,i t
i (q1 ) j (q1 ),i (q2 ) j (q2 ) ，
（ 1 q1 , q 2） 则 即不对称，也不反称。
s (q1 , q 2 ) 1 (q1 , q 2 ) 2 (q2 , q1 ) 对称 反称
但是： A (q1 , q 2 ) 1 (q1 , q 2 ) - 2 (q2 , q1 ) i=j 则： 1 (q1 , q 2 ) 2 (q2 , q1 )
2
2
) | dq1dq 2
2
2 | (q , q ) | 同理 A 1 2 dq 1dq 2 2
其中 dq1，dq 2 是对坐标，对 s 的求和。
1 (q , q ) [1 (q1 , q 2 ) 2 (q2 , q1 )] 则 s 1 2 2
A (q1 , q 2 ) 1 [1 (q1 , q 2 ) - 2 (q2 , q1 )] 2
E i j , 1 (q1 , q 2 ) i (q1 ) j (q2 )
则有 H(q1 , q 2 ) E(q1 , q 2 ) 交换两个粒子状态： 2 (q2 , q1 ) j (q1 )i (q2 )
ˆ (q , q ) E (q , q ) H 则 （E 不变，波函有两个） 2 1 2 1
ˆ ＝H ˆ（q )＋H ˆ (q ) 在不考虑粒子相互作用： H 0 1 0 2 设其相应的本征值和本征函数 i , i ，则有
ˆ (q ) (q ) (q ), H ˆ (q ) (q ) (q ) H 0 1 i 1 i i 1 0 2 j 2 j j 2
则体系的总能量：
ˆ
= H(q i q j ) (q j q i ) E (q j , q i ) Ei, j
2 2 由全同性原理： | (qi q j ) | 和| (q j qi ) |
描述的是同一状态最多差一个常数（c）
2 C ( q q ） ( q q ) i j 即 =c ＝ (q i q j ） j i
第七章程 自旋与全同粒子（二十讲） 内容：全同粒子的特性，波函数，泡利原理。 重点：全同粒子特性。泡利原理。 难点：对全同粒子波函数的理解。 一、 全同粒子特性： 定义：把质量、电荷、自旋磁矩、寿命等固有性质完全 相同的粒子称作全同性粒子。 全同粒子系：由全同粒子组成的系统。如：由电子组成 的系统，由质子组成的系统等。
区别：经典中全同粒子是可以区分的（坐标、动量） 微观中全同粒子是不可区分的（波函数） 图
全同性原理： 在全同粒子组成的体系中， 两个全同粒子相 互代换，不引起物理状态的改变。 全同粒子系统的对称性：设有 N 个全同粒子组成的体系，
q i 表示第 i 个粒子的坐标和自旋， w(q , q ) 表示 q i 和 q 的
ˆ E H ＝i t t (对称，E常数）
时刻： ＋
dt t
由对称得证。
实验证明：费米子:电子、质子、中子及自旋为 的奇数 2
倍的粒子→费米子。由费米子组成的系统是反对称的。 玻色子：光子（1） ，基态氦原子,及自旋为零或 的整数 倍的粒子。由玻色子组成的系统是对称的。 二、 全同粒子体系的波函数。泡利原理。 1、两个全同粒子组成体系， （可以推广到 n 个粒子）
3） 两费米子组成的体系是反称的。 若两个粒子状态相同 则 A (q1 , q 2 ) 0
i (q1 ) | j (q1 )
i (q2 ) | A (q1 , q 2 ) A (q2 , q1 ) j (q2 )
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2、 泡利原理： 两体系中两个费米子不可能处于同一状态。
ˆ
即体系能量的本征值是简并的→交换简并。 讨论： 1 ）如果两个粒子所处的状态相同 i=j ，则在
i (q1 ) j (q1 ),i (q2 ) j (q2 ) 交换后 不变，
是同一对称波函数， (q1 , q 2 ) (q2 , q1 ) 2）如果两个粒子所处的状态不同 i≠j，则：
i j
j
相互作用能。 U(qi , t) 表示粒子的势能。
则有：
N N 2 2 ˆ H（q1 , q 2 ,q i ,q j ,q N , t) [i U(qi , t)] w(q i , q j ) 2i j1 i j
ˆ ，不变： 从上式看出交换 qi q j , H