第七章 自旋与全同粒子(二十讲) 量子力学教学课件
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量子力学-第二版-周世勋PPT课件
量子力学
QQuuaannttuumm mmeecchhaanniissmm
宝鸡文理学院物理与信息技术系
1
《量子力学》教材与参考书
教材
《量子力学教程》周世勋编，高等教育出版社
参考书及学习网站
1.《 量 子 力 学 教 程 》 曾 谨 言 著 ， （ 科 学 出 版 社,2003年第一版，普通高等教育十五国家级规划教 材）
一个开有小孔的封闭空腔 可看作是黑体。
波
3.的思想。
4.2.海森堡的矩阵力学：
5.在批判旧量子论的基础之上建立起来
6.3.狄拉克表述：
7.更为普遍的形式 10
§1.1经典物理学的困难
Chap.1.绪论 The birth of quantum mechanism
一.经典物理学的成功
十九世纪末期，物理学理论在当时看来己发展到相 当完善的阶段，其各个分支已经建立起系统的理论：
第六章 散射
Ch6. The general theory of scattering
第七章 自旋与全同粒子
Ch7. Spin and identity of particles
第一章 绪论
The birth of quantum mechanism
基本内容
Chap.1.绪论 The birth of quantum mechanism
1.1 经典物理学的困难
The difficult in classical physics
1.2 光的波粒二象性
The duality of light between wave and particle
1.3 微粒的波粒二象性
The duality of small particles between wave and particle
QQuuaannttuumm mmeecchhaanniissmm
宝鸡文理学院物理与信息技术系
1
《量子力学》教材与参考书
教材
《量子力学教程》周世勋编，高等教育出版社
参考书及学习网站
1.《 量 子 力 学 教 程 》 曾 谨 言 著 ， （ 科 学 出 版 社,2003年第一版，普通高等教育十五国家级规划教 材）
一个开有小孔的封闭空腔 可看作是黑体。
波
3.的思想。
4.2.海森堡的矩阵力学：
5.在批判旧量子论的基础之上建立起来
6.3.狄拉克表述：
7.更为普遍的形式 10
§1.1经典物理学的困难
Chap.1.绪论 The birth of quantum mechanism
一.经典物理学的成功
十九世纪末期，物理学理论在当时看来己发展到相 当完善的阶段，其各个分支已经建立起系统的理论：
第六章 散射
Ch6. The general theory of scattering
第七章 自旋与全同粒子
Ch7. Spin and identity of particles
第一章 绪论
The birth of quantum mechanism
基本内容
Chap.1.绪论 The birth of quantum mechanism
1.1 经典物理学的困难
The difficult in classical physics
1.2 光的波粒二象性
The duality of light between wave and particle
1.3 微粒的波粒二象性
The duality of small particles between wave and particle
自旋与全同粒子
√
电子自旋(1/2)
斯特恩-革拉赫实验
照相片 PP ，不均匀磁场，狭缝 BB ，s 态的氢原子源 K s 态的氢原子束通过狭缝 BB 和不均匀磁场， 射到照相片 PP 上，出现两条分立线 分立线：氢原子具有磁矩 两条线：磁矩只有两种取向 s 态的氢原子：角量子数 l = 0，没有轨道角 动量，磁矩是固有的(自旋磁矩)
√
小结(1/3)
电子的自旋 自旋算符： 对易关系： 平方算符：
泡利矩阵： 自旋算符函数 自旋算符函数 对自旋求平均： 对坐标和自旋求平均：
自旋波函数：
无自旋与轨道相互作用的电子波函数：
的本征函数：
√
小结(2/3)
两电子体系的自旋函数：
算符
和
在
中的本征值
简单塞曼效应：
的共同本征函数
耦合表象的基矢：
的共同本征函数
)
有自旋与轨道相互作用的哈密顿量(
√
光谱的精细结构(2/4)
微扰的自旋与轨道相互作用
耦合表象的基矢 零级近似波函数(简并情况) 矩阵元、久期方程和能量的一级修正 用到的公式
矩阵元
久期方程
√
光谱的精细结构(3/4)
能量的一级修正
对易关系
本征值
自旋角动量算符的矩阵形式 态矢量(自旋的表象)
√
电子的自旋算符和自旋函数(3/3)
自旋角动量算符的矩阵形式
(
、 和
称泡利矩阵)
其它关系 正交归一关系：
第七章 自旋与全同粒子c
第七章 自旋与全同粒子§1.1 学习指导本章的目的是将量子力学基本理论向两个方面扩展，一是将电子自旋纳入量子力学理论体系，并讨论与其相关的问题；二是由单粒子量子力学扩展到多粒子体系，建立起完整的非相对论量子力学的理论体系。
根据光谱的精细结构和Stern —Gerlach 等实验，人们发现电子还具有的一种无经典对应的新的运动自由度。
通过对实验事实的分析，人们提出了电子自旋的假设，引入了自旋角动量，并进一步扩展成包括空间运动和自旋运动在内的完整的状态描述和力学量的算符表示，并将薛定谔方程扩展到包含自旋的情况，建立非相对论的含自旋的运动方程。
真实的物理系统是多个微观粒子共存的，与经典力学不同，量子化的全同粒子具有不可分辨性，全同粒子体系的微观状态只能是对称的（对应于玻色子）或者反对称的（对应于费米子）。
因此，还需要将单粒子非相对论量子力学扩展到全同粒子系统。
本章的主要知识点有 1．电子自旋 1）泡利算符泡利算符是描写电子自旋运动力学量的矢量厄密算符，定义为ˆˆˆˆx y z i i k σσσσ=++rr r r（7-1） 其分量z y x σσσˆ,ˆ,ˆ满足下列对易关系和反对易关系 [,]2,{,}2i j ijk k i j ij i σσεσσσδ== （7-2）由此可以推出i j ijk k ij i σσεσδ=+ （7-3）由于2ˆ1z σ=，因此ˆz σ的本征值为1±，对应的本征态记为()z χσ±。
取χ±为基矢，建立z σ表象，可以得到泡利算符的矩阵表示，即泡利矩阵01010ˆˆˆ,,10001x y z i i σσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（7-4）2）电子自旋角动量借助泡利算符，电子自旋角动量S v可以表示为12ˆˆˆˆˆx y z S S i S j S k σ=++=v v v v v h （7-5）自旋角动量S v满足对易关系ˆˆˆS S i S ⨯=r r r h ，自旋角动量平方为3224ˆS =h ，自旋角量子数为12s =；自旋在z 轴方向的投影为ˆz S ，本征值为s m h ，其中12s m =±称为自旋磁量子数，对应的本征函数为12()()z z s χχσ±±=。
7第七章自旋与全同粒子
2
，所以ˆi 的本征
2 i
2 x
2 y
2 z
1
(22)
泡利矩阵：
ˆx பைடு நூலகம்10 10
ˆ y
0 i
i 0
ˆ z
1 0
01
(23)
• 考虑到自旋后，归一化形式为：
d
(1 *
2
*)
（空间量子化）
3）实验解释：
， 氢原子处于S态时，l＝0，轨道角动
量平方 L2 l(l 1) 2 0
Lz m 0(m 0,1,2,....., l)
M
e
L0
2
在此状态下，原子轨道角动量基轨道磁距均为0。 如果仍发现有磁距，必为其他磁矩。
2. 碱金属原子光谱的双向结构 钠原子光谱，2P 1S线波长589.3nm,
r
e2a
r2
(0 x 1)
这时
仍为本征波函数，但能级本征值E
nlm
nl不仅与n有
关，而且与l有关.
2
- 2 2 nlm U r nlm Enl nlm （7）
当B=0： nlm是lz的本征函数：
Lz nlm m nlm
(8)
nlm仍为方程（5）(6）的解：
第七章 自旋与全同粒子
7.1 电子自旋
一、电子自旋的实验现象 1.斯特恩-盖拉赫实验
1）
N
z
ko
S
p
N-S磁铁之间为不均匀磁场 k0:氢原子 源,H原子束经狭缝准直后,穿过不均匀B,屏 上两条黑线。
量子力学 自旋和全同粒子
可证： 但是：
ˆ2, J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ2, J ˆ 2 ] 0， [J 1 2 r r ˆ ˆ2, J ˆ2 ˆ [J 1 ] 0 ，[ J , J 2 ] 0 ， ˆ ,J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ ,J ˆ2] 0。 [J z 1 z 2
另，容易证明，
| j1 , j2 , j, m 组成了正交归一的完全系，以它们为基矢的表
ˆ2, J ˆ ,J ˆ2, J ˆ 2 都是对角矩阵。 象称为耦合表象， 在这个表象中 J z 1 2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换 将 | j1 , j2 , j, m 按照完全系 | j1 , m1 , j2 , m2 展开，
m1 ,m2
(m m )h
1 2
m2m2 m1m1
j1 , m1 , j2 , m2 | j1 , j2 , j, m
; m2 m2 m2 时， m m1 m2 m1 当 m1 m1
所以展开式中只需对一个量子数求和即可，
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
Hale Waihona Puke ˆ2, J ˆ 的共同本征矢，则 以 | j2 , m2 表示 J 2 2z
ˆ 2 | j , m j ( j 1)h 2 | j , m J 2 2 2 2 2 2 2 。 ˆ J 2z | j2 , m2 m2 h | j2 , m2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
| j1 , j2 , j, m
m1 ,m2
ˆ2, J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ2, J ˆ 2 ] 0， [J 1 2 r r ˆ ˆ2, J ˆ2 ˆ [J 1 ] 0 ，[ J , J 2 ] 0 ， ˆ ,J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ ,J ˆ2] 0。 [J z 1 z 2
另，容易证明，
| j1 , j2 , j, m 组成了正交归一的完全系，以它们为基矢的表
ˆ2, J ˆ ,J ˆ2, J ˆ 2 都是对角矩阵。 象称为耦合表象， 在这个表象中 J z 1 2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换 将 | j1 , j2 , j, m 按照完全系 | j1 , m1 , j2 , m2 展开，
m1 ,m2
(m m )h
1 2
m2m2 m1m1
j1 , m1 , j2 , m2 | j1 , j2 , j, m
; m2 m2 m2 时， m m1 m2 m1 当 m1 m1
所以展开式中只需对一个量子数求和即可，
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
Hale Waihona Puke ˆ2, J ˆ 的共同本征矢，则 以 | j2 , m2 表示 J 2 2z
ˆ 2 | j , m j ( j 1)h 2 | j , m J 2 2 2 2 2 2 2 。 ˆ J 2z | j2 , m2 m2 h | j2 , m2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
| j1 , j2 , j, m
m1 ,m2
量子力学---课件 《第七章》
第七章自旋与全同粒子Spin and Identical Particales第七章自旋与全同粒子第七章自旋与全同粒子自旋是粒子的一种运动形式，以角动量形式表现出来。
如果把电子绕原子核的运动称作“轨道运动”，则自旋类似与经典物体的自转。
然而自旋又区别于经典物体的自转，它有着独特的规律。
因此，自旋是微观粒子特有的概念。
提出的依据是实验：全同粒子是指具有相同内禀属性（静质量、电荷、自旋、磁矩和寿命等）的粒子。
全同粒子具有区别于宏观粒子而独有的特性，即微观粒子的不可分辨性。
这正是不确定关系所要求的。
碱金属原子光谱的双线结构复杂Zeeman 效应——弱磁场中光谱线分裂成偶数条。
本章主要内容§7.1电子的自旋§7.2自旋算符和自旋波函数§7.3简单Zeeman 效应§7.4两个角动量的耦合§7.5光谱的精细结构§7.6全同粒子的特性§7.7全同粒子体系的波函数Pauli 原理§7.8两个电子的自旋波函数§7.9氦原子（微扰法）§7.10氢分子共价键§7.1 电子的自旋Spin of an Electron§7.1 电子的自旋（2）复杂Zeeman 效应（1912）：在弱磁场中光谱线分裂成偶数条。
如D 1→4条，D 2→6条（1）碱金属原子光谱的双线结构：λ≈589.3μm →D 1: 589.6μm ，D 2: 589.0μmÀ电子自旋提出的实验基础（3）Stern-Gerlach 实验（1922）：银原子束通过非均匀磁场分裂为两束——证实角动量的空间量子化。
无磁场加磁场D 1D 2简单Zeeman 效应谱线分裂成奇数条S S NNPP O§7.1 电子的自旋Stern-Gerlach 实验（1922）说明了中性的原子具有磁矩，磁矩在外磁场中受磁场的作用（∝dB /dz ）。
量子力学第七章自旋和全同粒子
3．了解简单塞曼效应的物理机制
4．了解 耦合的概念及碱金属原子光谱双线结构的物理解释。
5．全同粒子的基本概念，全同性质理，波函数的交换对称性。
6．全同粒子的分类
7．全同粒子体系的波函数，包括两个全同粒子体系的波函数，N个全同粒子体系的波函数。
8．两个电子的自旋函数
教
学
重
点
重点：电子自旋的描述；包括自旋函数、自旋算符及其矩阵形式，泡利算符及泡利矩阵形式，它们的对易关系和反对易关系，本征值和本征函数
6．全同粒子体系的波函数和泡利不相容原理；
7．两自旋体系的波函数；氢原子；促氦和正氦。
学
生
作
业
课后第212-213页第1、6题
教
书
育
人
方பைடு நூலகம்
式
讲授与课堂讨论相结合
备
注
难点：用电子自旋的理论解释原子光谱现象
教
学
方
法
在采用的教学
手段中：打（√）
课堂讲授
√
使用教模（具）
挂图
参观
现代化手段
幻灯机
投影仪
电视录像
多媒体
√
CAI情况
软件名称
上机学时
教
学
内
容
1．电子自旋的实验事实；
2．自旋算符和自旋波函数；
3．简单塞曼效应及其解释；
4． 耦合和精细结构的物理机制。
5．全同粒子的不可区分性原理，玻色子和费米子概念；
南华大学课程教案
课程名称：量子力学与电动力学授课教师：路兴强
量子力学部分
章次名称
第七章自旋和全同粒子
授课学时
总学时：6课堂讲授：6实验：上机：
4．了解 耦合的概念及碱金属原子光谱双线结构的物理解释。
5．全同粒子的基本概念，全同性质理，波函数的交换对称性。
6．全同粒子的分类
7．全同粒子体系的波函数，包括两个全同粒子体系的波函数，N个全同粒子体系的波函数。
8．两个电子的自旋函数
教
学
重
点
重点：电子自旋的描述；包括自旋函数、自旋算符及其矩阵形式，泡利算符及泡利矩阵形式，它们的对易关系和反对易关系，本征值和本征函数
6．全同粒子体系的波函数和泡利不相容原理；
7．两自旋体系的波函数；氢原子；促氦和正氦。
学
生
作
业
课后第212-213页第1、6题
教
书
育
人
方பைடு நூலகம்
式
讲授与课堂讨论相结合
备
注
难点：用电子自旋的理论解释原子光谱现象
教
学
方
法
在采用的教学
手段中：打（√）
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√
使用教模（具）
挂图
参观
现代化手段
幻灯机
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多媒体
√
CAI情况
软件名称
上机学时
教
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内
容
1．电子自旋的实验事实；
2．自旋算符和自旋波函数；
3．简单塞曼效应及其解释；
4． 耦合和精细结构的物理机制。
5．全同粒子的不可区分性原理，玻色子和费米子概念；
南华大学课程教案
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量子力学部分
章次名称
第七章自旋和全同粒子
授课学时
总学时：6课堂讲授：6实验：上机：
量子力学7自旋与全同粒子-2qz
3
根据上节分析，没有自旋-轨道相互作用的波函数可写成：
1 1 1 0 2
代入 S—方程
或
21
2
0 2
2 2 eB ˆ ˆ V (r ) ( Lz 2 S z ) 2 2 c
ˆ ˆ J x J y2 ,
ˆ ˆ J x Jz2,
ˆ ˆ J x Jz
ˆ Jx
ˆ ˆ Jx Jy,
ˆ ˆ ˆ ˆ J x J y Jz Jz ,
ˆ ˆ J x Jz ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i J y J z i J z J y i J z J y i J y J z
ˆ 2 J 2 J 2 2J J , ˆ ˆ J1 1 2 1 2
ˆ ˆ J 12 J 2 2 ,
i 1,2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J 12 2 J 1 x J 2 x J 1 y J 2 y J 1 z J 2 z , ˆ ˆ ˆ J 12 2 J 1 y J 2 y ,
ˆ J 22 0
ˆ J 12
Jˆ
1z ,
ˆ ˆ J 12 J 2 z ,
ˆ J 12
0
亦成立。 [证毕]
（二）耦合表象和无耦合表象
（1）本征函数
综合上述对易关系可 知：四个角动量算符
ˆ ˆ ˆ ˆ J 2 , J z , J 12 , J 2 2
两两 对易
ˆ ˆ ˆ ˆ J 12 , J 1z , J 2 2 , J 2 z
7 自旋与全同粒子
A. 电子自旋算符表示：
h 自旋角动量与轨道角动比较：方向投影值是 ，而不是 h ； 2
与电子坐标、动量无关；满足相同的对易关系。 用 S 表示自旋角动量，则有
∧
S × S = ih S
∧
∧
∧
（7.1.7）
S x S y S y S x = ih S z ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ S y S z S z S y = ih S x ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ S z S x S x S z = ih S y ∧ ∧ 泡利算符：引入算符 σ ，它与 S 的关系是
+ 1 2
(7.1.24)
几率密度是：
w( x, y , z, t ) = Ψ Ψ = Ψ 1 + Ψ 2 = w1 ( x, y , z, t ) + w2 ( x, y , z, t )
+
2
2
当电子的自旋和轨道运动的相互作用可忽略： 一般情况下电子的自旋和轨道运动的相互作用由 Ψ 中的 Ψ 1 , Ψ 2 是x,y,z的不同函数来表示。当电子的自旋和轨道运动的相互作 用可忽略时， 1 , Ψ 2 对x,y,z的依赖关系是相同的，于是 Ψ
θ 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。
则原子 z 方向所受到的力为
Fz = U H =M cos θ z z
实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于 cos θ = +1 和 cos θ = 1两个值。
电子的自旋和磁矩是电子的内禀属性，也称为内禀角动量和 内禀磁矩，标志电子的一个新的自由度。斯特恩与革拉赫实验直 接证实了这一属性。 无数实验表明，各种基本粒子也具有这一属性。
∧
0 i σy = i 0
∧
E. 平均值问题
第七章 自旋与全同粒子(二十讲) 量子力学教学课件
：
说明：对连续情况下，上式仍成立。 4、N 个粒子组成的全同体系。 （相互独立，不显含时间）
ˆ H ˆ (q ) H ˆ (q ) ＝ H ˆ (q ) H 0 1 0 2 0 i
i1
N
哈密顿算符
ˆ (q ) (q ) (q ) H 0 1 i 1 i i 1
ˆ (q ) (q ) (q ) H 0 2 j 2 j j 2
3） 两费米子组成的体系是反称的。 若两个粒子状态相同 则 A (q1 , q 2 ) 0
i (q1 ) | j (q1 )
i (q2 ) | A (q1 , q 2 ) A (q2 , q1 ) j (q2 )
2、 泡利原理： 两体系中两个费米子不可能处于同一状态。
C 2 =1, C
=±1。
当 c=＋1 是对称的 (qi q j ） = (q j qi ) 当 c=－1 是反对称 (qi q j ） =－ (q j qi ) 结论：1）全同粒子组成波函数只能对称和反对称。 2）全同粒子组成波函数对称性不随时间 t 改变而改变 证明：设φ 是对称的。 t 时刻： 在 t+dt
A
1 N!
i (q1 ) j (q1 )
k (q1 )
i (q2 ) j (q2 )
k (q2 )
i (q N ) j (q N )
k (q:N )
有两个或两个以上的费米子不能处于同一状态（泡利不相容原
理）
① 交换粒子位置变号 ② 有两行状态相同 交换两列符号改变，两列相等 A＝0 上式中，若 i j ,则行列式等于“0” ，即不能有两个或两个
1，2，3 中的任一态， 单粒子态， 试求体系可能态的数目， 并写出相应波函数，分三种情况：a、两个粒子为全同玻
说明：对连续情况下，上式仍成立。 4、N 个粒子组成的全同体系。 （相互独立，不显含时间）
ˆ H ˆ (q ) H ˆ (q ) ＝ H ˆ (q ) H 0 1 0 2 0 i
i1
N
哈密顿算符
ˆ (q ) (q ) (q ) H 0 1 i 1 i i 1
ˆ (q ) (q ) (q ) H 0 2 j 2 j j 2
3） 两费米子组成的体系是反称的。 若两个粒子状态相同 则 A (q1 , q 2 ) 0
i (q1 ) | j (q1 )
i (q2 ) | A (q1 , q 2 ) A (q2 , q1 ) j (q2 )
2、 泡利原理： 两体系中两个费米子不可能处于同一状态。
C 2 =1, C
=±1。
当 c=＋1 是对称的 (qi q j ） = (q j qi ) 当 c=－1 是反对称 (qi q j ） =－ (q j qi ) 结论：1）全同粒子组成波函数只能对称和反对称。 2）全同粒子组成波函数对称性不随时间 t 改变而改变 证明：设φ 是对称的。 t 时刻： 在 t+dt
A
1 N!
i (q1 ) j (q1 )
k (q1 )
i (q2 ) j (q2 )
k (q2 )
i (q N ) j (q N )
k (q:N )
有两个或两个以上的费米子不能处于同一状态（泡利不相容原
理）
① 交换粒子位置变号 ② 有两行状态相同 交换两列符号改变，两列相等 A＝0 上式中，若 i j ,则行列式等于“0” ，即不能有两个或两个
1，2，3 中的任一态， 单粒子态， 试求体系可能态的数目， 并写出相应波函数，分三种情况：a、两个粒子为全同玻
第七章 自旋与全同粒子 十九讲 ppt 量子力学教学课件
由上式变成
| J , m - m , J m
1 2 2 m2
| J1 , J 2 , J, m =
2
J, m - m 2 , J 2 , m 2 | J1 , J 2, J, m 2
1 2
（5）求量子数 J和J ， J 的关系。 ①由 m=0,±1，±2…±J , 所以 m 的最大值 J max 又∵m= m1 +
对易 ∴J， m，l 是好量子数。
ˆ 不对易。 H (r ) (r ) H ˆ 和H 4） H 0 0 0
ˆ 的本征值和本征函数 ∴H
ˆ H ˆ ) E ˆ 是简并的，所以可用简并情况微 (H ，→由 H 0 0
扰理论求解。用解久期方程求。由 7.5－6 可知 H′在耦 合表象中是对角阵， 所以利用
ˆ ˆ ，L ˆ 2，L ˆ ，S H z z 有共同的本征函数： 则 0
n,l,ml,ms R nl (r)Y lm ( , ) ms
lLeabharlann 由四个量子数决定 n,l, ml , ms ,
其中 ms
2
（2）耦合表象 ˆ →电子的总角动量 ˆ＝L ˆ ＋S 令J
ˆ 2，J ˆ 2，J ˆ ，H ˆ L z 0 相互对易有共同的本征函 同样可证：
2 ˆ 2 ˆ ˆ J ˆ J J J 利用上式和[ 1 ， 1 ]＝0， [ 2 ， 2 ]＝0 得
2 2 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ J J J [ ， 1 ]＝0，[ J ， 2 ]＝0， 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ]≠0 J J J [ ， 1 ]≠0，[ ， J 2
ˆ J ˆ ˆ ˆ J ˆ ˆ ˆ ˆ J J J J J J 2y 1y 因为 1 ＝ ＋ ＋ 1z 2z 2x 2 1x
| J , m - m , J m
1 2 2 m2
| J1 , J 2 , J, m =
2
J, m - m 2 , J 2 , m 2 | J1 , J 2, J, m 2
1 2
（5）求量子数 J和J ， J 的关系。 ①由 m=0,±1，±2…±J , 所以 m 的最大值 J max 又∵m= m1 +
对易 ∴J， m，l 是好量子数。
ˆ 不对易。 H (r ) (r ) H ˆ 和H 4） H 0 0 0
ˆ 的本征值和本征函数 ∴H
ˆ H ˆ ) E ˆ 是简并的，所以可用简并情况微 (H ，→由 H 0 0
扰理论求解。用解久期方程求。由 7.5－6 可知 H′在耦 合表象中是对角阵， 所以利用
ˆ ˆ ，L ˆ 2，L ˆ ，S H z z 有共同的本征函数： 则 0
n,l,ml,ms R nl (r)Y lm ( , ) ms
lLeabharlann 由四个量子数决定 n,l, ml , ms ,
其中 ms
2
（2）耦合表象 ˆ →电子的总角动量 ˆ＝L ˆ ＋S 令J
ˆ 2，J ˆ 2，J ˆ ，H ˆ L z 0 相互对易有共同的本征函 同样可证：
2 ˆ 2 ˆ ˆ J ˆ J J J 利用上式和[ 1 ， 1 ]＝0， [ 2 ， 2 ]＝0 得
2 2 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ J J J [ ， 1 ]＝0，[ J ， 2 ]＝0， 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ]≠0 J J J [ ， 1 ]≠0，[ ， J 2
ˆ J ˆ ˆ ˆ J ˆ ˆ ˆ ˆ J J J J J J 2y 1y 因为 1 ＝ ＋ ＋ 1z 2z 2x 2 1x
量子力学课件第七章
χ
−
1 2
0 h 的本征矢量。 = 分别是 s z = ± 的本征矢量。 1 2
σ x的矩阵形式
令 a ˆ σx = c b d
ˆ ˆ ˆ ˆ 由σ zσ x = −σ xσ z
§ 7.2 电子自旋算符和自旋函数
1 0 a b a b 1 0 0 − 1 c d = − c d 0 − 1
§ 7.2 电子自旋算符和自旋函数
二、泡利算符
h ˆ S x = 2 σˆ v h v ˆ ˆ → S = h σˆ S = σ ˆy 2 2 ˆ S = h σˆ z 2
x y z
( 7 .2 − 2 )
(A)对易关系 对易关系
7.2式代入（7.2得到所满足的对易关系： （7.2-1）式代入（7.2-2）式，得到所满足的对易关系：
§ 7.2 电子自旋算符和自旋函数
证明
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ xσ y −σ yσ x=σ x − σ y = 2iσ zσ x
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ y − σ xσ yσ x = 2iσ xσ z
ˆ σ x右乘上式
ˆ σ x左乘上式
在把两式相加
2
r
r
h 2
2
r
§ 7.2 电子自旋算符和自旋函数
v 于是， 于是，∫ ψ 1 d r = 自旋朝上的几率
2
∫ψ
4.
2 2
v d r = 自旋朝下的几率
波函数归一化表示为： 波函数归一化表示为：
∫ψ
+
ψ dτ =
∫ d τ (ψ
2 1
+ψ2
量子力学 第七章 自旋与全同粒子
7.5 光谱的精细结构
Fine structure of the spectrum
7.6 全同粒子的性质
The characterization of similar particles
7.7 全同粒子系统的波函数 泡利原理
The wave function of similar particle system Pauli principle
2 ˆ ˆ x2 y2 z2
ˆ ,2 x ] 0 ˆ [ ˆ ,2 y ] 0 ˆ [ ˆ ˆ [ ,2 z ] 0
12
ˆ ˆ [ ] 0
2 ,
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数 （续 5）
Ch.7 Spin and undistinguished similar particles
7.1 电子自旋
Electron spin
7.2 电子自旋算符与自旋波函数
Electron spin operator and spin wave function
7.3 简单塞曼效应
Simple Zeeman effect
7.4 两个角动量的耦合
Coupling of two angular momentum
1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x ( y z z y ) y y ( y z z y ) 2i 2i 1 ˆ y z y z y y z y z y ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2i
S ，它在空间任意方
（2）每个电子具有自旋磁矩 M S ，它与自旋角动量的
e MS S
（SI）
量子力学自旋与全同粒子共79页PPT
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
量子力学自旋与全同粒子
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
量子力学-自旋与全同粒子
自旋量子数 s 只有一个数值1/2 只有一个数值1
HUST
Applied Physics
12
3、自旋算符的形式及其本征态 、
Sx ,Sy ,Sz 不对易，不能同时有确 Sˆ × Sˆ = i ℏ Sˆ S S 不对易， 定值。 所以， 定值 。 所以 ， 只能用某一方向的分量 来反映自旋的特点。一般用S 来反映自旋的特点 。一般用Sz ， 即建 [ Sˆ x , Sˆ y ] = i ℏ Sˆ z 表象（或称S 的共同表象） 立Sz 表象 （ 或称 S 2和 Sz 的共同表象） ， [ Sˆ y , Sˆ z ] = i ℏ Sˆ x 表象研究电子的运动状态 研究电子的运动状态。 在Sz 表象研究电子的运动状态。 （1）自旋算符Sx ,Sy , Sz 的矩阵形式 ）自旋算符S S
3s
3S1/2
5
二、自旋假设的提出
Uhlenbeck 和 Goudsmit在1925年，根据上述现象提出，电 在 年 根据上述现象提出， 自旋。 没有经典对应， 子具有一种特殊的运动——自旋。 该运动方式没有经典对应， 子具有一种特殊的运动 自旋 该运动方式没有经典对应 不能用经典运动来解释（与自转有本质区别） 不能用经典运动来解释 （ 与自转有本质区别）。 这就是电子的 自旋假设： 自旋假设： 自旋角动量， （ 1） 电子具有 自旋角动量 ， 它在空间 ） 电子具有自旋角动量 任何方向上的投影只能取两个值： 上的投影只能取两个值 任何方向上的投影只能取两个值： 自旋磁矩， （ 2） 电子具有 自旋磁矩 ， 它与自旋角 ） 电子具有自旋磁矩 动量的关系为： 动量的关系为：
设原子磁矩为 M ，外磁场为 B ， 中的势能为： 原子在 Z 向外磁场 B 中的势能为：
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意义：1）完全确定一个电子状态需四个量子数`（n,l,m,m s ）
2)不相容原理。 3、波函数归一化 设 i 是归一化的，则：
| (q , q ) | dq dq | (q , q | (q , q ) | dq dq 2
s 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
ˆ
即体系能量的本征值是简并的→交换简并。 讨论： 1 ）如果两个粒子所处的状态相同 i=j ，则在
i (q1 ) j (q1 ),i (q2 ) j (q2 ) 交换后 不变，
是同一对称波函数， (q1 , q 2 ) (q2 , q1 ) 2）如果两个粒子所处的状态不同 i≠j，则：
3） 两费米子组成的体系是反称的。 若两个粒子状态相同 则 A (q1 , q 2 ) 0
i (q1 ) | j (q1 )
i (q2 ) | A (q1 , q 2 ) A (q2 , q1 ) j (q2 )
2、 泡利原理： 两体系中两个费米子不可能处于同一状态。
第七章程 自旋与全同粒子（二十讲） 内容：全同粒子的特性，波函数，泡利原理。 重点：全同粒子特性。泡利原理。 难点：对全同粒子波函数的理解。 一、 全同粒子特性： 定义：把质量、电荷、自旋磁矩、寿命等固有性质完全 相同的粒子称作全同性粒子。 全同粒子系：由全同粒子组成的系统。如：由电子组成 的系统，由质子组成的系统等。
i (q1 ) j (q1 ),i (q2 ) j (q2 ) ，
（ 1 q1 , q 2） 则 即不对称，也不反称。
s (q1 , q 2 ) 1 (q1 , q 2 ) 2 (q2 , q1 ) 对称 反称
但是： A (q1 , q 2 ) 1 (q1 , q 2 ) - 2 (q2 , q1 ) i=j 则： 1 (q1 , q 2 ) 2 (q2 , q1 )
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
) | dq1dq 2
2
2 | (q , q ) | 同理 A 1 2 dq 1dq 2 2
其中 dq1，dq 2 是对坐标，对 s 的求和。
1 (q , q ) [1 (q1 , q 2 ) 2 (q2 , q1 )] 则 s 1 2 2
A (q1 , q 2 ) 1 [1 (q1 , q 2 ) - 2 (q2 , q1 )] 2
ˆ
= H(q i q j ) (q j q i ) E (q j , q i ) Ei, j
2 2 由全同性原理： | (qi q j ) | 和| (q j qi ) |
描述的是同一状态最多差一个常数（c）
2 C ( q q ） ( q q ) i j 即 =c ＝ (q i q j ） j i
ˆ E H ＝i t t (对称，E常数）
时刻： ＋
dt t
由对称得证。
实验证明：费米子:电子、质子、中子及自旋为 的奇数 2
倍的粒子→费米子。由费米子组成的系统是反对称的。 玻色子：光子（1） ，基态氦原子,及自旋为零或 的整数 倍的粒子。由玻色子组成的系统是对称的。 二、 全同粒子体系的波函数。泡利原理。 1、两个全同粒子组成体系， （可以推广到 n 个粒子）
ˆ （q , q ,q ,q ,q ，t) H ˆ （q , q ,q ,q ,) 1 2 j i N 1 2 i j 即有： H ˆ （q ,q ,), H ˆ （q ,q ,)]有相同的波函数。 [H
i j j i
全同粒子的薛定谔方程:
i ˆ (q , q q q ) (q , q q q ) E (q 1 , q 2 q j q i ） H 1 2 j i 1 2 j i j,i t
C 2 =1, C
=±1。
当 c=＋1 是对称的 (qi q j ） = (q j qi ) 当 c=－1 是反对称 (qi q j ） =－ (q j qi ) 结论：1）全同粒子组成波函数只能对称和反对称。 2）全同粒子组成波函数对称性不随时间 t 改变而改变 证明：设φ 是对称的。 t 时刻： 在 t+dt
E i j , 1 (q1 , q 2 ) i (q1 ) j (q2 )
则有 H(q1 , q 2 ) E(q1 , q 2 ) 交换两个粒子状态： 2 (q2 , q1 ) j (q1 )i (q2 )
ˆ (q , q ) E (q , q ) H 则 （E 不变，波函有两个） 2 1 2 1
ˆ ＝H ˆ（q )＋H ˆ (q ) 在不考虑粒子相互作用： H 0 1 0 2 设其相应的本征值和本征函数 i , i ，则有
ˆ (q ) (q ) (q ), H ˆ (q ) (q ) (q ) H 0 1 i 1 i i 1 0 2 j 2 j j 2
则体系的总能量：
i j
j
相互作用能。 U(qi , t) 表示粒子的势能。
则有：
N N 2 2 ˆ H（q1 , q 2 ,q i ,q j ,q N , t) [i U(qi , t)] w(q i , q j ) 2i j1 i j
ˆ ，不变： 从上式看出交换 qi q j , H
区别：经典中全同粒子是可以区分的（坐标、动量） 微观中全同粒子是不可区分的（波函数） 图
全同性原理： 在全同粒子组成的体系中， 两个全同粒子相 互代换，不引起物理状态的改变。 全同粒子系统的对称性：设有 N 个全同粒子组成的体系，
q i 表示第 i 个粒子的坐标和自旋， w(q , q ) 表示 q i 和 q 的
2)不相容原理。 3、波函数归一化 设 i 是归一化的，则：
| (q , q ) | dq dq | (q , q | (q , q ) | dq dq 2
s 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
ˆ
即体系能量的本征值是简并的→交换简并。 讨论： 1 ）如果两个粒子所处的状态相同 i=j ，则在
i (q1 ) j (q1 ),i (q2 ) j (q2 ) 交换后 不变，
是同一对称波函数， (q1 , q 2 ) (q2 , q1 ) 2）如果两个粒子所处的状态不同 i≠j，则：
3） 两费米子组成的体系是反称的。 若两个粒子状态相同 则 A (q1 , q 2 ) 0
i (q1 ) | j (q1 )
i (q2 ) | A (q1 , q 2 ) A (q2 , q1 ) j (q2 )
2、 泡利原理： 两体系中两个费米子不可能处于同一状态。
第七章程 自旋与全同粒子（二十讲） 内容：全同粒子的特性，波函数，泡利原理。 重点：全同粒子特性。泡利原理。 难点：对全同粒子波函数的理解。 一、 全同粒子特性： 定义：把质量、电荷、自旋磁矩、寿命等固有性质完全 相同的粒子称作全同性粒子。 全同粒子系：由全同粒子组成的系统。如：由电子组成 的系统，由质子组成的系统等。
i (q1 ) j (q1 ),i (q2 ) j (q2 ) ，
（ 1 q1 , q 2） 则 即不对称，也不反称。
s (q1 , q 2 ) 1 (q1 , q 2 ) 2 (q2 , q1 ) 对称 反称
但是： A (q1 , q 2 ) 1 (q1 , q 2 ) - 2 (q2 , q1 ) i=j 则： 1 (q1 , q 2 ) 2 (q2 , q1 )
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
) | dq1dq 2
2
2 | (q , q ) | 同理 A 1 2 dq 1dq 2 2
其中 dq1，dq 2 是对坐标，对 s 的求和。
1 (q , q ) [1 (q1 , q 2 ) 2 (q2 , q1 )] 则 s 1 2 2
A (q1 , q 2 ) 1 [1 (q1 , q 2 ) - 2 (q2 , q1 )] 2
ˆ
= H(q i q j ) (q j q i ) E (q j , q i ) Ei, j
2 2 由全同性原理： | (qi q j ) | 和| (q j qi ) |
描述的是同一状态最多差一个常数（c）
2 C ( q q ） ( q q ) i j 即 =c ＝ (q i q j ） j i
ˆ E H ＝i t t (对称，E常数）
时刻： ＋
dt t
由对称得证。
实验证明：费米子:电子、质子、中子及自旋为 的奇数 2
倍的粒子→费米子。由费米子组成的系统是反对称的。 玻色子：光子（1） ，基态氦原子,及自旋为零或 的整数 倍的粒子。由玻色子组成的系统是对称的。 二、 全同粒子体系的波函数。泡利原理。 1、两个全同粒子组成体系， （可以推广到 n 个粒子）
ˆ （q , q ,q ,q ,q ，t) H ˆ （q , q ,q ,q ,) 1 2 j i N 1 2 i j 即有： H ˆ （q ,q ,), H ˆ （q ,q ,)]有相同的波函数。 [H
i j j i
全同粒子的薛定谔方程:
i ˆ (q , q q q ) (q , q q q ) E (q 1 , q 2 q j q i ） H 1 2 j i 1 2 j i j,i t
C 2 =1, C
=±1。
当 c=＋1 是对称的 (qi q j ） = (q j qi ) 当 c=－1 是反对称 (qi q j ） =－ (q j qi ) 结论：1）全同粒子组成波函数只能对称和反对称。 2）全同粒子组成波函数对称性不随时间 t 改变而改变 证明：设φ 是对称的。 t 时刻： 在 t+dt
E i j , 1 (q1 , q 2 ) i (q1 ) j (q2 )
则有 H(q1 , q 2 ) E(q1 , q 2 ) 交换两个粒子状态： 2 (q2 , q1 ) j (q1 )i (q2 )
ˆ (q , q ) E (q , q ) H 则 （E 不变，波函有两个） 2 1 2 1
ˆ ＝H ˆ（q )＋H ˆ (q ) 在不考虑粒子相互作用： H 0 1 0 2 设其相应的本征值和本征函数 i , i ，则有
ˆ (q ) (q ) (q ), H ˆ (q ) (q ) (q ) H 0 1 i 1 i i 1 0 2 j 2 j j 2
则体系的总能量：
i j
j
相互作用能。 U(qi , t) 表示粒子的势能。
则有：
N N 2 2 ˆ H（q1 , q 2 ,q i ,q j ,q N , t) [i U(qi , t)] w(q i , q j ) 2i j1 i j
ˆ ，不变： 从上式看出交换 qi q j , H
区别：经典中全同粒子是可以区分的（坐标、动量） 微观中全同粒子是不可区分的（波函数） 图
全同性原理： 在全同粒子组成的体系中， 两个全同粒子相 互代换，不引起物理状态的改变。 全同粒子系统的对称性：设有 N 个全同粒子组成的体系，
q i 表示第 i 个粒子的坐标和自旋， w(q , q ) 表示 q i 和 q 的