最新青岛版一元二次方程应用学案
青岛版数学九年级上册《一元二次方程的知识结构》教学设计1
青岛版数学九年级上册《一元二次方程的知识结构》教学设计1一. 教材分析《一元二次方程的知识结构》是青岛版数学九年级上册的教学内容。
本节课的主要内容是一元二次方程的定义、解法、判别式以及应用。
一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是高中数学的基础。
通过本节课的学习，学生能够理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，以及运用一元二次方程解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元一次方程和二元一次方程，对方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的概念和解法可能还不够清晰。
因此，在教学过程中，需要引导学生从一元一次方程和二元一次方程的基础上过渡到一元二次方程。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，以及运用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：学生能够通过自主学习、合作交流的方式，探究一元二次方程的解法，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：学生能够体验到数学的乐趣，增强对数学学科的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的概念、解法以及应用。
2.难点：一元二次方程的解法以及判别式的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习法：引导学生自主探究一元二次方程的解法，培养学生的自主学习能力。
3.合作交流法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作意识。
4.案例教学法：通过典型例题的讲解，引导学生掌握一元二次方程的应用。
六. 教学准备1.教材：青岛版数学九年级上册。
2.教案：详细的教学设计。
3.课件：PPT课件，用于辅助教学。
4.练习题：针对本节课内容的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
例如，讲解一个实际问题：一个物体从静止开始做直线运动，加速度为常数，求物体在一段时间内的位移。
2021-2022学年青岛版数学九年级上册《一元二次方程》学案
AC CB AB AC =2AC AB CB =⋅AC AB AC CB AB AC = 4.1一元二次方程【学习目标】1.能说出一元二次方程的概念，能准确判断一个方程是否为一元二次方程.2.通能说出一元二次方程一般形式，并能找出二次项系数、一次项系数和常数项.【课内助学】任务一：分析给定材料，归纳总结出一元二次方程的定义.（8分钟）活动1 思考下面的问题，与同学交流.(1)某教室的面积为542m ，长比宽的2倍少3m ，求该教室的长和宽.设该教室的宽为x m ，则它的长为_________m .根据问题中的等量关系：长×宽=教室面积，可以得到方程__________________.(2)直角三角形的斜边的长为11cm ，两条直角边的差为7cm ，求两条直角边的长.设较短直角边的长为()x cm ，则较长直角边的长为_________cm .根据问题中的等量关系：两直角边的平方和=斜边的平方，可以得到方程_________.对于这个问题，你还有其他设未知数的方法吗？(3) 如图，点C 是线段AB 上的一点，且求的值.设1AB AC x ==，，则CB 的长为__________ .根据问题中的等量关系，即可以得到方程_______________.由上面的三个问题，分别得到了下面的方程：① .② . A③ .你能把它们分别进行整理，使方程的右边为0，并将左边按x 的降幂排列吗?你能发现整理后的这三个方程有什么共同点吗？总结：方程①②③的两边都是________，它们都只含有 ，并且 后__________________________，像这样的方程叫做一元二次方程.活动2 巩固提升1.下面的方程是一元二次方程吗？222221(1) x 90;(2)40;(3)0;3(4)4(1)42;(5)310y y x x s s s x x -=-=-=-=++-= 自我评价☆☆☆任务二：小组合作探究，归纳总结一元二次方程的一般形式，会将方程化为一般形式，能准确的指出二次项系数，一次项系数，常数项.（15分钟）活动1 一元二次方程的一般形式为 .其中________是这个方程的二次项, ________是一次项， _______是常数项，a 称为____________，b 称为_____________.1.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项，以及二次项系数和一次项系数.(1) ()221(32)2x x x +-=+(2) )14)(2()3(2-+=+x x x212310(,1)2x x -+=活动2 巩固提升1.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数，常数项.①3x(x+1)=4(x-2)②(x+3)2=(x+2)(4x-1)③2(y+5)(y-1)=y 2-8④2t=(t+1)22.关于x 的方程（a-1）x 2-3ax+5=0是一元二次方程，这时a 的取值范围是___________.任务三：通过类比一元一次方程的根，归纳出一元二次方程的根的定义,利用根的意义求参数取值问题（8分钟）能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解又叫做方程的根.活动1 小组合作1.判断方程后面括号里的数是否为该方程的根：（1）2650(5,3)x x -+=-（2）213503x x -=2134x x x +=2111x x =+-2110x x --=活动2 巩固提升1.当m ______时,关于x 方程1322-=+mx mx x 是一元二次方程.2.如果一元二次方程2310x x k -++=有一个根是-1，则____k =.自我评价☆☆☆【课末测学】（5分钟）1.方程（3x-1）（2x+4）=1化为一般形式时，其中二次项系数为_________，一次项系数为______，常数项为_______.2.若关于x 的方程kx 2＋3x ＋1＝0是一元二次方程，则k .3.当m 时，方程（m －1）x 2－(2m －1)x ＋m ＝0是关于x 的一元一次方程；当m 时，上述方程才是关于x 的一元二次方程.自我评价☆☆☆ 【我的收获与困惑】【分层作业】A 层1.下列方程是一元二次方程的是 （ ）A. B. C. D.2.若方程（m －1）x |m|+1－2x=3是关于x 的一元二次方程，则m= _______________. 3.关于x 的方程（k 2－4）x 2+（k －2）x+3k －1=0，当k= 时为一元一次方程；当k 时为一元二次方程.4.若142=-m m ，则2282010m m -+=5.学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：（1）它的一般形式为ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a ≠0）；（2）它的二次项系数为5；（3）常数项是二次项系数的倒数的相反数.你能写出一个符合条件的方程吗？B 层1. 已知x=－2是方程x 2－mx+2=0的根，则√m 2−2m +1−√9−6m +m 2=2.已知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个根是1和-1，则c b a ++=_______，c b a +-=3. 若022=--x x ，则31)(3222+--+-x x x x =4.试证明：无论a 为何实数，关于x 的方程()2245240a a x ax -+++=都是一元二次方程.。
青岛版数学九年级上册《认识一元二次方程》教学设计
青岛版数学九年级上册《认识一元二次方程》教学设计一. 教材分析《认识一元二次方程》是青岛版数学九年级上册的教学内容。
本节课的主要内容是一元二次方程的定义、性质和解法。
一元二次方程是初中数学的重要内容，是进一步学习高中数学的基础。
本节课的内容对于学生来说比较抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的定义和性质还需要进一步的学习和理解。
此外，学生的学习习惯和思维方式也会影响他们对一元二次方程的学习。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的定义和性质。
2.学会解一元二次方程的方法。
3.能够应用一元二次方程解决实际问题。
四. 教学重难点1.一元二次方程的定义和性质。
2.一元二次方程的解法。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和练习法进行教学。
通过问题和实例引导学生思考和探索，通过练习巩固所学知识。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，引导学生思考和探索。
2.呈现（15分钟）讲解一元二次方程的定义和性质，通过实例和PPT课件呈现一元二次方程的解法。
3.操练（20分钟）让学生分组练习解一元二次方程，教师巡回指导，及时纠正错误。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题巩固学生对一元二次方程的理解和解法。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一元二次方程的应用，解决实际问题。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调一元二次方程的定义和性质，以及解法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些练习题，让学生回家巩固所学知识。
8.板书（5分钟）板书一元二次方程的定义、性质和解法。
本节课通过问题驱动法、实例教学法和练习法，引导学生了解和掌握一元二次方程。
在教学过程中，注意调动学生的积极性，鼓励他们思考和探索。
通过练习和实际问题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
青岛版九年级数学上册《第4章一元二次方程》教案设计
青岛版九年级数学上册《第4章一元二次方程》教案设计4.1一元二次方程教学目标【知识与能力】1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．【过程与方法】1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．【情感态度价值观】由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．教学重难点【教学重点】一元二次方程的意义及一般形式．【教学难点】正确识别一般式中的“项”及“系数”；判定一个数是否是方程的根.课前准备无教学过程一、创设问题情境1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．学生看投影并思考问题二、探究新知1．复习提问(1)什么叫做方程？曾学过哪些方程？(2)什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？(3)什么叫做分式方程？2．引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较，得到一元二次方程的概念．一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．3．例题解析例1 把方程2xx))(（化为一元二次方程的一般形式，写出它的二次项、+x=23122+−一次项、常数项及二次项系数、一次项系数.4．练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x (5x -2)＝x (x ＋1)＋4x 2；(2)7x 2＋6＝2x (3x ＋1)； (3)2172x = (4)6x 2＝x ；(5)2x 2＝5y ；(6)-x 2＝05．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．ax 2称二次项，bx 称一次项，c 称常数项，a 称二次项系数，b 称一次项系数．一般式中的“a ≠0”为什么？如果a ＝0，则ax 2+bx +c ＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．6．要剪一块面积为150cm 2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm ，这块铁片应该怎样剪？设长为x cm ，则宽为(x -5)cm列方程x (x -5)=150，即x 2-5x -150=0请根据列方程回答以下问题：(1)x 可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．(2)完成下表：(3)分析：x 2-5x -150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用二分法求出该方程的根．解：(1)x 不可能小于5．理由：如果x <5，则宽(x -5)<0，不合题意．x 不可能等于10．理由：如果x =10，则面积x 2-5x -150=-100，也不可能．(2)(3)铁片长x 三、习题演示1、把方程3x (x -1)＝2(x ＋1)＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？ 教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．2、下列关于x 的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：032)1(2=++x ax 023)2(2=+mx x0128)1)(3(2=−−−−m mx x m(4)(b 2＋1)x 2-bx ＋b ＝2；(5)2tx (x -5)＝7-4tx ．教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化．四、总结引导学生从下面四方面进行小结．从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1．将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法．2．一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项．归纳所学过的整式方程．3．一元二次方程的意义与一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的区别和联系．强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义．4．要会用一些方法求一元二次方程的根.4.2用配方法解一元二次方程教学目标【知识与能力】1．会用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤．【过程与方法】能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．【情感态度价值观】体会转化的数学思想方法．教学重难点【教学重点】利用配方法解一元二次方程．【教学难点】把一元二次方程通过配方转化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式．课前准备无教学过程一、课前预习(提出实际问题，让学生用数学知识解决问题)用彩灯围成一个面积为24平方米的长方形舞台，若要长比宽多2米，那么舞台的长和宽，该如何确定的呢？设计意图：利用现实生活问题，不仅能够生动自然引出我们要解决的数学问题，更重要的是学生们感兴趣，可以激发他们的热情，为下一步探究营造了轻松愉悦的氛围．若想求出舞台的长和宽，需解方程x2+2x-24=0(学生解方程有困难，教师需引导)．前面我们可求出了x2+2x-24=0方程中x的近似值，你能求出它的精确值吗？今天就学习用配方法解一元二次方程．二、课内探究1、自主学习师：你都会解哪些简单的一元二次方程？(请同学自由回答)生：例如x2=4(x+3)2=9x=±2x+3=±3x1=0 x2=-6师：形如x2=4、(x+3)2=9的一元二次方程有什么特点呢？你是如何解它们的？(独立思考后，与同桌互相交流)生：方程都可以写成(x+m)2=n(n≥0)的形式．两边开平方便可求出方程的解．解方程：x 2+6x +9=25．解：原方程就是(x +3)2=25．开平方，得x +3=±5，所以x 1=2，x 2=-8．2、合作探究师：看来将一个一般形式的一元二次方程，转化为(x +m )2=n (n ≥0)的形式利用开平方法就可以求解．那么，方程x 2+8x -9=0你能将它转化为(x +m )2=n (n ≥0)的形式吗？(请同学动手做一做，再与你的小组同学互相交流)生：讨论结果大致有两种情况．A ：x 2+8x -9=0B ：x 2+8x -9=0x 2+8x =9x 2+8x -9+25=25x 2+8x +16=9+16x 2+8x +16=25(x +4)2=25(x +4)2=25师：(将两种利用投影都展示出来)请全班同学共同观察比较这两种情况有什么关系？(请大家自由发言)生：两种方法实质上都是在方程两边同时加上了一次项系数(8)一半的平方(4)2，配成了完全平方式．师：对这种通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法，就称为配方法．(揭示课题)例1 解方程：x 2+8x -9=0．解：可以把常数项移到方程的右边，得x 2+8x=9．两边都加上42(一次项系数8的一半的平方)，得x 2+8x +42=9+42，(x +4)2=25．开平方，得x +4=±5，即x +4=5，或x +4=-5．所以x 1=1，x 2=-9．例2 解4.1节问题（3）中的方程012=−+x x （精确到0.001）.解：移项，得.12=+x x 两边都加上221)(，得 ,22221121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x .45212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 由平方根的意义，得.2521±=+x 所以..,.61802115618021521−≈+−=≈−=x x在4.1节问题（3）中，x 为线段AC 与AB 的比，必须满足x ＞0.所以x 2不合题意，应当舍去，问题（3）的答案是：AB AC 的值约为0.618. 例3 解方程：3x 2+8x -3=0．解：两边都除以3，得2810.3+−=x x 移项，得28 1.3+=x x 配方，得22222844()1().33345()().33++=++=x x x 即4545.3333+=+=−， x x 所以121 3.3==−x x ， 三、本课小结．用配方法解一元二次方程的方法的助手：完全平方式：式子a 2±2ab ＋b 2叫完全平方式，且a 2±2ab ＋b 2=(a ±b )2知识回顾：配方法解一元二次方程的一般步骤：化简：把二次项系数化为1；移项：把常数项移到方程的右边；配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；求解：解一元一次方程；定解：写出原方程的解．总结提升：(结合实例同学生一起总结)4.3用公式法解一元二次方程教学目标【知识与能力】理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．【过程与方法】会熟练应用公式法解一元二次方程．【情感态度价值观】通过探索一元二次方程的求根公式，进一步培养推理能力和符号意识．教学重难点【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】一元二次方程求根公式法的推导．课前准备无教学过程复习引入1.(学生活动)解下列方程：(1)x 2-8x +7=0 (2)x 2+4x +1=0老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x 的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：(1)x 2-8x +(-4)2+7-(-4)2=0(x -4)2=9x -4=±3即x 1=7，x 2=1(2)x 2+4x =-1x 2+4x +22=-1+22(x +2)2=3即xx 1，x 22.探索新知运用配方法，我们已经会解01320122=−+=++x x x x ,等一元二次方程.你会运用配方法解一般形式的一元二次方程02=++c bx ax 吗？试一试.因为0≠a ，方程两边都除以a ，得.02=++ac x a b x 移项，得 .ac x a b x −=+2 两边都加上22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b ，得a c ab a b a b x x −⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+2222222， 即.222442a ac b a b x −=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 由于4a 2＞0，所以当b 2-4ac≥0时，由平方根的意义，得 .aac b ab x 2422−±=+ 移项，得 ,a ac b ab x 2422−±−=即.aac b b x 242−±−= 一般地，对于一元二次方程ax 2+bx +c =0，当b 2-4ac ≥0时，它的根是.aac b b x 242−±−= 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．3.例题解析：例1 用公式法解方程：（1）2x 2+5x -3=0； （2）4x 2=9x .例2 用公式法解方程.x x 3232=+例3 用公式法解方程，并求根的近似值（精确到0.01）：（x +1）（3x -1）=1.4.随堂演练：用公式法解方程：2x 2-9x +8=0计算：b 2-4ab 的值；代入：把有关数值代入公式计算；定根：写出原方程的根.用公式法解一元二次方程的一般步骤：1、把方程化成一般形式，并写出a 、b 的值；2、求出b 2-4ab 的值；3、代入求根公式；4、写出方程的解；归纳小结本节课应掌握：公式法的概念及用其解一元二次方程的步骤．4.4用因式分解法解一元二次方程教学目标【知识与能力】会用因式分解法解特殊类型数字系数的一元二次方程．【过程与方法】理解因式分解法解一元二次方程的根据，感悟转化的数学思想．【情感态度价值观】能根据一元二次方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题策略的多样性． 教学重难点【教学重点】().417922179242±=⨯±−−=−±−=∴a ac b b x .4179;417921−=+=∴x x用因式分解法解某些一元二次方程．【教学难点】用因式分解法解某些一元二次方程．课前准备无教学过程一、引入思考：对于方程210 4.90x x −= ①除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？方程①的右边为0，左边可以分解因式，得(10 4.9)0x x −=.于是得0x =或10 4.90x −=，121000, 2.0449x x ==≈. 上述解中，2 2.04x ≈表示物体约在2.04s 是落回地面，而10x =表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0s 时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.二、新课1、因式分解法讨论：以上解方程①的方法是如何使二次方程降为一次的？定义：对于一元二次方程，一边是0，另一边化为两个一次因式的积，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.2、用因式分解法解一元二次方程例1、解下列方程：(1)23100x x −−= (2)(3)(1)5x x +−=解：(1)(5)(2)0x x −+=50x −=或20x +=∴125,2x x ==−(2)2280x x +−=(2)(4)0x x −+=20x −=或40x +=∴ 122,4x x ==−用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为0；(2)将方程左边分解为两个一次因式乘积；(3)令每个因式分别为0；得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.例2、用因式分解法解方程：.）（）（22312−=+x x 3、随堂练习解下列方程(1)232x x = (2)221352244x x x x −−=−+ (3)2(31)50x +−= (4)3(2)510x x x +=+(5)2(10x x += (6)2(10x x −++=答案：(1)1220,3x x == (2)1211,22x x =−=(3)121133x x −−+== (4)1252,3x x =−=(5)121,x x =−= (6)121x x ==+注意：方程(1)的两边不能同时除以x ；方程(2)应先化为一般式；方程(3)、(4)两边不要展开，直接分解因式.小结1、因式分解法的概念；2、用因式分解法解一元二次方程的一般步骤.4.5一元二次方程根的判别式教学目标【知识与能力】经历一元二次方程根的判别式的探索过程．【过程与方法】会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．【情感态度价值观】培养学生的符号意识以及判断、分析和归纳能力，感悟分类的数学思想．教学重难点【教学重点】用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．【教学难点】弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式．课前准备无教学过程一、创设情境，提出问题1.先用公式法解下列方程：(1)x 2+4＝4x(2)x 2+2x ＝3(3)x 2－x ＋2＝0然后回答下列问题：你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？(待学生做完后，教师点评.(1)x 1=x 2=2；(2)x 1=1，x 2=-3；(3)无实数根.)2、发现问题观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？(学生观察得出：三个方程的根的情况是不同的，其中(1)有两个相等的实数根，(2)有两个不相等的实数根，(3)没有实数根)3、提出问题教师引导学生思考上述方程根的情况不同的原因，尝试提出下列问题：一般的，对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？(板书课题，出示学习目标)二、探究新知1、一元二次方程的根的判别式活动1学生自学，初步感悟请学生带着下面的问题，自学课本，并注意分类讨论的思想方法的使用.一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，它何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？何时没有实数根？为什么说方程根的情况是由b2-4ac决定的？教师巡视，并注意收集问题，为下一步集中释疑做准备.活动2合作交流，深入探究请学生结合自己的理解，就上述问题的答案在小组内进行讨论、探究，然后教师组织全班进行交流，关键让学生讲清每个结论的理由.活动3师生合作，归纳提升由上面的讨论可见，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由b2-4ac来决定.因此，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.通常用符号“Δ”(希腊字母)来表示，读做“得尔塔”，即Δ=b2-4ac.2、一元二次方程的根的判别方法思考：你能说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况具体有哪几种，又是如何判别的吗？学生思考，师生共同得出：结论1一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根.这个结论告诉我们，只要算出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的值，就可以由它的符号直接判别方程根的情况.活动4应用迁移，发展能力例1.不解方程，判断下列方程根的情况：（1）2x2+x-4=0；（2）4y2+9=12y；（3）5（t2+1）-6t=0.本例先让学生思考，分析解题思路，然后请学生口述第(1)小题的解法，教师板书，以进一步明确思路，强调解题方法及格式.请学生回顾上面的解题过程，总结判别一元二次方程的根的情况的步骤：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac是针对一般形式而言的，所以，不解方程，判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为：一化(将一元二次方程化为一般形式)；二算(确定a、b、c的值，算出Δ的值)；三判断(根据结论1判别方程根的情况).(2)、(3)小题由学生完成，教师巡视.待学生做完后，教师请一名学生向大家公布自己的解题结果，教师及时点评.活动5逆向思考，拓展延伸上面的结论1中共有三个命题，你能分别说出它们的逆命题吗？(屏幕显示结论1)学生思考、交流并回答，教师指出：这三个命题也是真命题，从而得到：结论2对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0.(将结论2与结论1放在同一幅幻灯片内展示，以便学生能更清楚地认识到二者的区别与联系)例2.已知关于x的方程x2－3x+k=0，问k取何值时，这个方程有两个相等的实数根？学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，其间，教师可以参与学生的讨论，然后请同学说出自己的想法，教师视情况进行点拨：这道题中已知的是什么条件？要得出怎样的结论？应该使用结论1还是结论2？师生共同得到正确的思路，解题过程由学生自行完成后，教师展示参考答案，并再次强调解题根据为结论2.解：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=0，即(－3)2－4k=0，解得k=94，∴k=94时，方程有两个相等的实数根.变式：已知关于x的方程x2－3x+k=0，问k取何值时，这个方程有两个实数根？学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，师生共同得到正确解题思路.解：∵方程有两个实数根，∴Δ≥0，即(－3)2－4k≥0，解得k≤94，∴k≤94时，方程有两个相等的实数根.三、拓展延伸设关于x的方程，x2-2mx-2m-4=0证明:不论m为何值，这个方程总有两个不相等的实数根.四、当堂达标1.一元二次方程3x2-2x+1=0的根的判别式的值为______，所以方程根的情况是_______________.2.若一元二次方程x2-ax+1=0的两实根相等，则a的值是( )A.a=0B.a=2或a=-2C.a=2D.a=2或a=03.不解方程，判别下列方程根的情况：(1)x(x+1)=3.(2)2x2-9x+6=04、已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a和c异号，试证明：此方程必有两个不相等的实数根. (说明：当堂检测中的1、2两题，让学生思考、计算后抢答，并说明理由，第3题中的两小题请两位同学到黑板前板演，待学生都做齐后由学生讲评.)课堂小结1、通过本节课的学习，你有哪些收获？本节课的主要内容：(1)、一元二次方程根的判别式的意义；(2)、由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况(即结论1)；(3)、由一元二次方程根的情况判断根的判别式的符号(即结论2).4.6一元二次方程根与系数的关系教学目标【知识与能力】使学生掌握一元二次方程根与系数关系，并初步应用．【过程与方法】不断提高学生观察分析及推理运用能力．【情感态度价值观】使学生进一步了解事物都是相互制约得辩证唯物主义关系以及由特殊到一般在有一班到特殊的思想方法．教学重难点【教学重点】根与系数的关系与应用．【教学难点】根与系数的发现与准确掌握．课前准备无教学过程一、复习提问一元二次方程一般式及求根公式让学生认识求根公式反映了根与系数关系(强调a ≠0)引言、一元二次方程求根公式反映了根与系数关系吗？一元二次方程还有其他的根与系数关系吗？我们说有：今天我们就讲一元二次方程的根与系数关系．引出新课，板书课题．二、学生活动一(出示小黑板)解下列方程并观察x 1+x 2，x 1x 2与a ，b ，c 的关系．(1)x 2-2x =0(2)x 2-3x -4=02学生答：二次项系数为1是为了研究问题的方便，我们把二次项系数为1的方程设为x 2+px +q =0的形式，同学们归纳总结x 1，x 2与x 2+px +q =0系数的关系x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q ．板书型如x 2+px +q =0的方程的两根x 1，x 2那么x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q ．三、学生活动二1212板书型如ax 2+bx +c =0的方程的两根x 1，x 2那么x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=ac ，这就是一元二次方程的根与系数的关系，同学们探索如果已知a ，b ，c 我们可求出x 1，x 2在a ，b ，c ，x 1，x 2是否已知3个量就可以求出其他3个量呢，看下面的问题．例1、关于x 的方程3x 2+mx -4=0有一个根是2，求另一个根及m 的值.例2、设12,x x 是方程22510x x ++=的两个根，求下列各式的值：121211(1)(1)(1);(2).x x x x +++ 四、学生练习(1)x 2-3x +1=0(2)2x2-9x+5=0(3)4x2-7x+1=0(4)2x2+3x=0(5)6x2-1=0(6)3x2-2x=-2(7)3x2=1教师讲解同时归纳运用根与系数应注意哪些．1、化成一般式．2、二次项系数化1．3、不要漏掉“—“．学生练习已知方程3x2-19x+m=0的一根是1，求另一根及m的值．(学生板演)五、课堂小结今天这节课你学到了什么，由学生完成，教师适当讲解．思考题m取何值时方程x2+mx+m-1=0(1)两根之和为1.(2)两根之积为-1.(3)两根互为倒数.(4)两根互为相反数.(5)一根为0.4.7一元二次方程的应用教学目标【知识与能力】1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．【过程与方法】经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述．【情感态度价值观】通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．教学重难点【教学重点】列一元二次方程解有关问题的应用题．【教学难点】发现问题中的等量关系．课前准备无教学过程一、复习引入我们已经知道，生产、生活中的一些实际问题，有时可以利用一元二次方程来描述其中已知量与未知量之间的相等关系，运用一元二次方程的有关知识，常常可以使这些实际问题得到解决.【思考】列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？二、探索新知【问题情境】练习：某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2，上口宽比渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ．(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？(2)如果计划每天挖土48m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x m ，则上口宽为x +2，渠底为x +0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：(1)设渠深为x m则渠底为(x +0.4)m ，上口宽为(x +2)m依题意，得：(x +2+x +0.4)x =1.6 整理，得：5x 2+6x -8=0解得：x 1==0.8m ，x 2=-2(舍) ∴上口宽为2.8m ，渠底为1.2m ．(2)=25天 答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m 和1.2m ；需要25天才能挖完渠道．练习：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x 元，则每件平均利润应是(0.3-x )元，总件数应是(500+×100) 解：设每张贺年卡应降价x 元则(0.3-x )(500+)=120 解得：x =0.112451.675048 0.1x 1000.1x答：每张贺年卡应降价0.1元．学生活动：合作交流，讨论解答．例1：将一根长为64的铁丝剪成两段，再将每段分别围成正方形（课本第150页图4-2），如果两个正方形的面积的和等于160cm2，求两个正方形的边长.例2：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么这种冰箱的定价应是多少？例3：机动车尾气污染是导致城市空气质量恶化的重要原因.为解决这一问题，某市试验将现有部分汽车改装成液化石油气燃料汽车(成为环保汽车).按计划该市今后两年内将使全市的这种环保汽车由目前的100辆增加到196辆，求这种环保汽车平均每年增长的百分率.例4：如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．(1)小岛D和小岛F相距多少海里？(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)三、课程小结建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．。
九年级数学上册 4.1 一元二次方程教案 (新版)青岛版-(新版)青岛版初中九年级上册数学教案
一元二次方程[学生课前活动设计]过程：发放课前预学案，学生对照预学案自主学习，通过翻阅课本以及交流复习前面所学有关方程数学知识，通过“活动中体验”，学生课前以小组为单位进行交流，经历建模过程。
目的：是通过预学自己探究解决本节课有关基础知识，为学习新知识做准备，学生在上述活动中经历建模过程，体验到预习的重要性，同时也能发现自己困惑的问题，以便在听讲时能够做到有的放矢，培养学生的自学能力与预习兴趣。
一元二次方程导学稿（第一课时）课前预学 （一）温故知新1、下列式子哪些是方程？并指出它们的名字。
2＋3＝5 3x ＋2 5x ＋3＝18x －2y ＝52、什么是一元一次方程？你是怎样理解“元”和“次”的？ （二）活动中体验七、课堂学生学习效果评测表格设计课程结束后，指导学生进行学习效果评价。
明确评价的具体内容，以学生自评为主，学生互评，教师评价为辅。
肯定优点的同时，指出问题所在，以及改进建议等。
附：学生自评表内容项目 知识与技能过程与方法情感态度与价值观得分 师生互动 2 3 5 自主练习 5 5 5 课堂展示 5 5 5 合计323335总结及建议 213>+x212x x x =-+-活动一、如图，正方形桌面的面积是2m 2，求它的边长。
设边长Xm ，可列方程为___________ ． 活动二五一前夕，为增强学生体质，培养学生集体荣誉感。
我校决定举行一次篮球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排5天,每天安排3场比赛,组织者应邀请多少个队参加比赛?设组织者应邀请x 个队参赛, 可列方程为___________. 活动三、如图，有一长5m 的梯子靠放在矩形花园的墙上，梯子的底端与墙的距离是3m 若梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等。
你知道梯子底端向右滑动的距离是多少吗？设顶端向下滑的距离为xm ，可列方程为观察与思考：这些方程使我们以前学过的方程吗？名字是？一元二次方程导学稿（第一课时）【学习目标】1、了解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
最新青岛版五四制九年级数学上册《一元二次方程》教学设计-精编教案
九年级上册一元二次方程的课堂教学设计一、教学背景1、面向学生：九年级学生2、学科：九年数学3、课时：1课时二、教学任务分析知识技能：1、理解一元二次方程的概念。
2、掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项。
教学思考：1、通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力。
2、通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性。
3、由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。
解决问题：在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
情感态度：1、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。
教学重点：一元二次方程的概念及一般形式教学难点：1、由实际问题向数学问题的转化过程。
2、正确识别一般式中的“项”及“系数”。
教法学法：情境创设、观察、思考、自主探究、合作交流三、教学流程安排五、教学过程设计第一环节：知识图示，回顾旧知活动内容：1、【知识梳理】出示知识树状图，让学生明白本节课的知识在整个初中知识网络体系中的位置2、课前延伸（1）、有关方程有 ，并且 的 叫一元一次方程。
般形式 。
（2）、你能区分下列方程哪些是一元一次方程，哪些是二元一次方程，哪些是分式方程吗？设计意图：通过创设情境，引导学生复习一元一次方程的概念和一般形式，为后面学习一元二次方程的有关内容做好铺垫。
让学生通过数形结合的方法，转化实际问题，从而得到方程，为引入一元二次方程的概念做好准备第二环节：创设情境，引入新课活动内容：【合作探究】只列方程，不求解。
（把方程整理成左边按未知数降幂排列，右边是0 的形式。
）011x 32=++）（25x 21-=-y ）（09x 5-3=-）（0873)4(=+x1. 某教室的面积为54平方米，周长为30米，求教室的 长和 宽。
最新青岛版五四制九年级数学上册《一元二次方程的应用》教学设计
课题方程应用2备课人课型新授课课时 2教学目标知识与能力1.会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题．过程与方法2.通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力情感态度价值观进一步体会方程来源于生活并服务于生活的意识课标要求会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题重点能正确的列出一元二次方程解决实际问题难点能正确的列出一元二次方程解决实际问题教法自主探究合作交流教具学具教学程序教师活动学生活动激情导1、某品牌校服去年每套100元，今年提价10％，则今年的售价是元；据说明年还要提价10％，那么明年的售价是元。
思考口答说明方法入认定目标自主探2、某品牌校服去年每套100元，今年增长率是x，则今年的售价是元；据说明年的增长率还是x，那么明年的售价是元。
3、某品牌校服去年每套100元，今年降价10％，则今年的售价是元；据说明年还要降价10％，那么明年的售价是元。
4、某品牌校服去年每套100元，今年的降价率是x，则今年的售价是元；据说明年的降价率还是x，那么明年的售价是元。
：出示学习目标自学导航例3.某工厂2002年的年产值为500万元，2004一生口述目标，其余生静听、领会思考增长率与最终产值关系试填空、列方程学生独立完成问题究激情互动年的产值为605万元，求2002－2004年该厂年产值的增长率.提示：如果设该厂2002－2004年产值的平均增长率为x，那么2003年的年产值为_____________________________，2004年的年产值为______________________________.等量关系是______________________________可列方程______________________________例4.某种药品原售价为每盒4元，两次降价后，每盒售价为2.56元，求该药品平均每次的降价率.提示：如果设该药品平均每次的降价率为x，那么第一次降价后该药品每盒的售价为______________，第二次降价后该药品每盒的售价为_________________.等量关系是______________________________可列方程______________________________组内交流自学中的困惑问题，全组达成一致意见。
《一元二次方程的应用》(第1课时)公开课教学设计【青岛版九年级数学上册】
第四章一元二次方程4.7一元二次方程的应用第1课时教学目标1．会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积及销售方面的应用问题．2．进一步培养化实际问题为数学问题的能力和分析、解决问题的能力，培养用数学的意识．教学重点及难点重点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积及销售方面的应用题．难点：寻找实际问题中的等量关系．教学准备多媒体课件．教学过程【情景导入】与我们学过的一元一次方程、二元一次方程组和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实生活与生产中数量关系的有效模型.今天我们一起来学习一元二次方程的应用.设计意图：通过具体问题情境引入本节课的内容，吸引学生兴趣．【探究新知】1. 与面积、体积相关的应用.将一根长为64cm的铁丝剪成两段，再将每段分别围成正方形（如下图），如果两个正方形的面积的和等于160cm²，求两个正方形的边长.师：因为两个正方形的面积的和等于160cm²，如果两个正方形的面积分别能用含未知数的代数式表示，便可以找准等量关系，列出方程，这是解决本题的关键．解：设其中一个正方形的边长为x cm，那么该正方形的周长为4x cm，另一个正方形的边长为(16-x)cm.根据题意得x²+(16-x)²=160整理，得x²-16x+48=0解这个方程，得x1=12,x2=4当x=12时，16-x=4;当x=4时，16-x=12.经检验，当两个正方形的边长分别是12cm和4cm时，两个正方形的周长之和为64cm，面积之和为160cm²，即x=12cm或x=4cm均符合题意.所以，两个正方形的边长分别为4cm和12cm.2. 与销售相关的应用.某花圃用花盆培育某种花卉，经市场调查发现，出售一盆花的盈利与该盆中花的棵树有关.当每盆栽种3棵时，平均每棵盈利3元.以同样的栽培条件，每盆增加1棵，平均每棵盈利将减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应当种植改种花卉多少棵？解：设每盆增加种植x棵，则每盆种花（3+x）棵，平均每棵盈利为（3-0.5x）元.根据题意得（3-0.5x）（3+x）=10整理，得x²-3x+2=0解这个方程，得x1=1,x2=2经检验，x=1或x=2均符合题意.所以，每盆应当种植改种花卉4棵或5棵.一元二次方程解应用题时要注意什么？（1）要找出问题中的已知量、未知量和等量关系，把其中的一个未知量用x表示，根据等量关系，列出方程.（2）列一元二次方程解应用题时，必须检验方程的根是否符合题意，以决定取舍.设计意图：通过典型的生活实际问题，使学生深刻体会数学知识应用的价值，由此提高学生学习数学的兴趣和用数学的意识．【应用新知】典例精析例根据题意列出方程，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m，如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，设为x m，求梯子滑动的距离.答案：(4－x)²＋(3＋x)²＝52.设计意图：巩固所学内容，提高学生能力．课堂练习根据题意列出方程，已知，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，如果花园的面积是24m²，求花园的长和宽.答案：设花园的宽为x m，x(19－2x)＝24.设计意图：巩固所学内容，提高学生能力．【课堂小结】一元二次方程解应用题时要注意：（1）要找出问题中的已知量、未知量和等量关系，把其中的一个未知量用x表示，根据等量关系，列出方程.（2）列一元二次方程解应用题时，必须检验方程的根是否符合题意，以决定取舍.设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容．板书设计：4.7一元二次方程的应用第1课时1. 与面积、体积相关的应用.2. 与销售相关的应用.。
青岛版-数学-九年级上册- 一元二次方程(1) 导学案
4.1 一元二次方程（第一课时）学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
难点：由实际问题列出一元二次方程。
准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
导学流程：（一）课前延伸：1、我们已经学过的一元一次方程是怎么定义的？2、根据题意列方程：（1）正方形桌面的面积是2m２，求它的边长？（2）矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。
如果花圃的面积是24 m２，求花圃的长和宽？-------------------------------------------------(二)课内探究：1、自主学习：自学课本124—125页，认识一元二次方程。
2、合作探究：探究新知【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm2,那么剪去的正方形的边长是多少？设剪去的正方形的边长为xcm，你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？合作交流动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。
列出的方程是（1）.【做一做】根据题意列出方程：1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？观察上述三个方程以及方程（1）的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。
3、精讲点拨：（1）只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是一次项，是常数项，是二次项系数，是一次项系数。
最新青岛版九年级数学上册4.1一元二次方程公开课优质教案
5、已知关于x地方程 ，当m时，它是一元二次方程；当m时，它是一元一次方程。
六 小结回顾
通过这节课地学习我知道了：
。
七、今日作业：
设切去地正方形地边长为xcm，列方程为，化为一般形式为。
五、当堂检测：
1、下列方程（1） （2） （3）
(4) （5） （6） （7） ，（8） （9） 中，是关于x地一元二次方程地有
（填序号）
2、若方程 是一元二次方程，则a=。
3、若方程 是关于x地一元二次方程，则m地取值范围是（ ）
A B C D m是任意实数
这种形式叫一元二次方程地一般形式。其中是二次项，是二次项系数；是一次项，叫一次项系数；是常数项。
问题2、 一定是一元二次方程吗？在一般形式中，二次项系数a是否可以等于0？
（3）、 例题讲解：
例1、将方程 化成一般形式，并写出其中地二次项系数、一次项系数及常数项。
例2、若关于x地方程 是一元二次方程，则m=。
化为一般形式为。
5、4个完全相同地正方形地面积之和是25，设正方形地边长是x，列方程为，
化为一般形式为。
6、把长为1地木条分成两段，使较短一段地长与全长地积，等于较长一段地平方。设较短一段地长为x，列方程为，化为一般形式为。
7、如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它地四角各切去一个同样地正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作地无盖方盒地底面积为3600 。那么铁皮各角应切去多大地正方形?
课堂学习设计
学科数学年级初三设计人 时间年月日
课题：3.1一元二次方程
一、学习目标：1.正确理解一元二次方程地概念，掌握一元二次方程地一般形式，能将一元二次
青岛版-数学-九年级上册-4.7 一元二次方程的应用第1课时 教案
4.7 一元二次方程的应用第1课时教学目标：知识与技能：1.使学生会用列一元二次方程的方法解决有关几何图形问题.2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生用数学的意识.过程与方法：借助各种方法和手段，探究问题、分清题意构建有关几何图形和增长率问题的一元二次方程模型.情感态度与价值观：1.通过列方程解决实际问题，进一步体验一元二次方程是刻画现实世界数量关系的工具，从而培养学生数学观.2.在探究过程中养成良好的思维习惯、培养良好思维品质.教学重点：学会用列方程的方法解决有关几何图形和增长率问题教学难点：有关几何图形和增长率之间的数量关系教学方法：尝试教学法教具：小黑板或多媒体教学过程：一、准备练习出示小黑板（或课件）：矩形面积=长×（宽）二、自学课本同学们自学课本三、第一次尝试练习例 1.如图，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22m），另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700 m2,求这个长方形存车处的长和宽.解：设长方形靠墙一边的长为x m，得方程x2-90x+1400=0解得x1=70，x2=20.由于墙长22 m，x1=70不合题意，应舍去.当x=20时，答：这个长方形存车处的长和宽分别是35 m和20 m.例2.已知一本数学书的长为26 cm，宽为18.5 cm,厚为1 cm.一张长方形包书纸如图所示，它的面积为1260 cm2,虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形，求正方形的边长.【解析】问题中的等量关系为：包书纸的长×宽=1260.只要把包书纸的长和宽用正方形的边长表示出来就可以了.解：设正方形的边长为x cm,根据题意，得（26+2x）(18.5×2+1+2x)=1260.整理，得x2+32x-68=0解这个方程，得x1=2，x2=-34（不合题意，舍去）.答：正方形的边长是2 cm.师生共评、教师小结：⑴通过本例我们发现要善于将实际问题转化为数学问题.⑵严格审题，弄清各数据相互关系，找出等量关系，列出方程.⑶再解方程时注意巧算，注意两根的取舍.四、试探练习1.在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2，已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．解：设花边的宽度为x米，依题意得：（2﹣2x）（1.4﹣2x）=1.6解得：x1=1.5（舍去），x2=0.2．答：花边的宽度为0.2米．2.如图，有一块正方形的铁板，从中剪下宽为2cm的两块，剩下的正方形的面积为900cm2．求原来正方形铁板的边长．解：设原来正方形铁板的边长为xcm，根据题意列方程得，x2﹣（2x×2﹣2×2）=900，解得x1=32，x2=﹣28（不合题意，舍去）；答：原来正方形铁板的边长为32cm．五、本节小结：1.请同学们谈一谈本节的收获.2.老师小结：我们发现要善于将实际问题转化为数学问题.严格审题，弄清各数据相互关系，找出等量关系，列出方程.注意长方形面积公式矩形面积=长×宽。
青岛版初中数学九年级上册《一元二次方程的应用(2)》参考教案
青岛版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！青岛版初中数学和你一起共同进步学业有成！九 年 级 数 学 第 四 单 元4、7一元二次方程的应用（二）老湖镇中学赵景玲 （66185）一、平均增长（或降低）率问题【课前热身】1．某商品原价是800元，现决定９折出售，则出售价是 元．2．某商品原价是元，为了促销，决定降价，则现价是 元．540%103．某商品去年的利润是万元，决定今年利润提高，则今年利润是 230%20万元．4．某村的粮食产量去年是5000千克，以后每年要增长10%，则今年粮食产量 是 千克，明年的粮食产量是 千克．5．某厂制造一种机器，原来制造一台机器需3000元，改进技术后，连续两次降低成本，平均每次降低的百分率为，则第一次降低成本后，制造一台机器x 需 元，第二次降低成本后，制造一台机器需 元．【例题分析】例1、某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助.2012年，A 市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2014年该市计划投资“改水工程”1176万元.求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；分析：对于增长率问题，若增长前的量为a, 平均增长率为x ，经过连续两次增长后的量为b ，则a(1+x)2=b.解： 设A 市投资“改水工程”年平均增长率是x ，则600(1+x)2=1176 解得x ＝0.4或x ＝－2.4（不合题意，舍去）所以，A 市投资“改水工程”的年平均增长率为40%.例2、某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，求两次降价的百分率．分析：对于降低率问题，与增长率问题类似，若降低前的量为a, 平均降低率为x ，经过连续两次降低后的量为b ，则a(1―x)2=b.解：设每次降价的百分率为x ，根据题意得：100(1－x)2=81 解得：1x =0.1，2x =1.9经检验2x =1.9不符合题意，∴x=0.1=10%答：每次降价百分率为10%．例3：某商厦二月份的销售额为100万元，三月份销售额下降了20%。
九年级数学上册 第三章《一元二次方程》课时学案 青岛版
第三章《一元二次方程》课时学案3.1一元二次方程徐培先【目标导航】1、经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型；2、了解一元二次方程的概念和它的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝ 0（a≠0），正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”等概念；会根据实际问题列一元二次方程；一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！1、下列方程：(1)x 2—1＝0； (2)4 x 2＋y 2＝0； (3)（x —1）（x —3）＝0； (4)xy＋1＝3． (5)3212=-x x其中，一元二次方程有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、一元二次方程（x ＋1）（3x —2）＝10的一般形式是 ，二次项 ，二次项系数 ，一次项 ，一次项系数 ，常数项 。
二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！3、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。
5、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A.3(x ＋1)2＝ 2(x ＋1) B .05112=-+xx C.ax 2＋bx ＋c ＝ 0 D.x 2＋2x ＝x 2—16、把下列方程化成ax 2＋bx ＋c ＝ 0的形式，写出a 、b 、c 的值： (1)3x 2＝ 7x —2 (2)3(x —1)2 ＝ 2(4—3x)7、当m 为何值时，关于x 的方程(m —2)x 2—mx ＋2＝m —x 2是关于x 的一元二次方程？8、若关于的方程(a —5)x ∣a∣—3＋2x —1＝0是一元二次方程，求a 的值? 三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！9、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？10、一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。
青岛版41一元二次方程导学案
《4.1一元二次方程》导学案【课堂目标】1、认识一元二次方程，掌握定义，会整理一般形式，准确识别二次项、一次项、常数项，及二次项系数、一次项系数；（重点）2、体会一元二次方程的解，初步感受一个一元二次方程如果有解，有两个；（难点）3、能用“直接开平方法”解符合a x =2特征的一元二次方程，体会通过降次将一元二次方程变为一元一次的转化思想。
（重点）【学习内容】【任务1】认识一元二次方程根据题意列方程：1）教室的面积为54m 2，长比宽的2倍少3m ，求教室的长和宽。
设宽为x m ，则列方程 ；2）直角三角形斜边的长为11cm ，两条直角边的差为7cm.求两直角边的长。
设短直角边为x cm ，则列方程 ；探索：将上面方程化简得： ， 。
发现：方程的两边都是 式，只含有 个未知数，化简后未知数的最高次数是 ，像这样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式： ，其中，二次项为 ，一次项为 ，常数项为 ，二次项系数为 ，一次项系数为 。
典例1.把方程2)23)(122+=-+x x x （化为一元二次方程的一般形式，写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数。
针对性训练：1.下面方程中哪些是一元二次方程？哪些不是？为什么？0912=-x ）（ 2)1)(3)(2(x x x =-+ 0)12)(12)(3(=-+x x0)4(2=x 131)5(2=-x x2.当a 为何值时，关于x 的方程3222--=-ax x x ax 是一元二次方程？当a 为何值时，是一元一次方程？【任务2】一元二次方程的解（根）判断方程后面括号里的数是否为该方程的根。
05612=+-x x ）（（5，-3，1）0132)2(2=+-x x （21，1，0） 0332)3(2=+-x x （3，-3）典例2.如果一元二次方程0132=++-k x x 有一个根是-1，求k 的值。
【任务3】直接开平方法解一元二次方程探索：尝试解下列一元二次方程：912=x ）（ 04)2(2=-x 4)1)(3(2=-x发现：当一元二次方程出现a x =2（a 为常数）的结构特征时，可以应用 的方法求解。
青岛版-数学-九年级上册-教案4.7 一元二次方程的应用
重点
能正确的列出一元二次方程解决实际问题
难点 教法 教学程序
能正确的列出一元二次方程解决实际问题
自主探究 合作交流
教具 学具
教师活动
学生活动
1、 说出下列图形的面积
激
三角形
学生口答 符号表示
情
矩形
导
正方形
入
菱形
梯形
圆
：
一生口述目标，
认
其余生静听、领
定
会
初中-数学-打印版
初中-数学-打印版
目
出示学习目标
初中-数学-打印版
课题
方程应用（1）
备课人
课型
新授课
课时
2 课时
知 识 能根据题意找出正确的等量关系. 与能
力
教 过 程 能正确的列出一元二次方程解决实际问题. 学 与方
目法
标 情 感 通过解方程了解方程来源于生活，并服务于生活。
态度
价值
观
课标要求 能根据题意找出正确的等量关系.列出一元二次方程解决实际问题.
初中-数学-打印版
情
有困惑的组由
互
科代表提出本
点评： 1、列方程解应用题的步骤
组困惑问题，寻
动
审 审清题意 已知、未知量及等量关系
求其他组帮助，
設
各组选派代表
列 列出方程
说明解法。
解 解方程
验 检验与实际是否相符
师生互动
答
学生独立完成
同组对照
拓
当堂检测：
展
课本 152 页
应
1题 2题
用
互动 98 页 1题 2题 3题 4题 只列不解
1 题 3 号板演 2 题 4 号板演 其余同学下面 完成 1、2 号批改、 点评
3.1《一元二次方程》学案(青岛版九年级上)
3.1一元二次方程【学习目标】1. 认识一元二次，会辨认一元二次方程。
2.学会把一元二次方程化成一般形式，并能找出二次方程系数、一次项系数和常数项。
3.感悟一元二次方程与实际生活的密切关系。
【学习过程】一.知识回顾：一元一次方程：分式方程：二.自主探究：（一）一元二次方程的概念1.自学课本72页内容，得到的三个方程分别是：①②③2.整理这三个方程，使方程的右边为0，并左边按 x 的将幂排列。
①②③这三个方程的共同特点： 3. 像这样的方程叫做一元二次方程。
对应练习：1.下面的方程是一元二次方程吗？为什么？（1） x2-9=0 （2）y2-4y=0 (3)1／3x-x2 =0 (4)4s(s-1)=4s2+2(5)3x+ x2-1=0 (6)3x3-4x2+1=02.关于x的方程（a-1）x2-3ax+5=0是一元二次方程，这时的取值范围是___________(二)一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为___________________，二次项是________,一次项是________，常数项是_______，其中a称为__________b称为__________.对应练习：1.一元二次方程3x2=5x的一般形式为____________，二次项系数为__________一次项系数为__________常数项为__________.2.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数，常数项。
①3x(x+1)=4(x-2) ② (x+3)2=(x+2)(4x-1) ③2(y+5)(y-1)=y2-8 ④2t=(t+1)2三.课堂小结四.课堂检测：1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A:ax2+bx+c=0 B:k2x+bk+6+0 C:3x2+2x+1=0 D(m2+3)x2+3x-2=0 2.方程（3x-1）（2x+4）=1化为一般形式是其中二次项系数为_________，一次项系数为______，常数项为_______.3.小明家有一块长150㎝，宽100㎝的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来了工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后的面积是原地毯面积的2倍，若设花色地毯的宽为x㎝，则根据题意，可列方程为____________________,并化成一般形式。
青岛版九年级上3.1《一元二次方程》WORD版导学案
3.1一元二次方程一、教学目标知识与技能：知道什么事一元二次方程，会把一元二次方程化成一般形式，能分清二次项及系数、一次项及系数、常数项。
过程与方法：在具体问题中感受方程作为刻画现实世界的有效模型的意义。
感情态度与价值观：在共同探究问题中学会学习，体会数学的价值。
二、教学重点1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。
2．理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。
三、教学难点理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。
四、教学过程活动一：自主探究，合作交流做一做：1．问题1绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？分析:我们可以运用方程解决实际问题.现设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x(x＋10)＝900整理可得x2＋10x－900=0.（1）2．问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.分析:设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程5（1＋x）2=7.2,整理可得5x2＋10x－2.2=0.（2）思考、讨论这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？（ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：（1） 都是整式方程;（2） 只含有一个未知数;（3） 未知数的最高次数是2.活动二：探索新知一元二次方程的概念上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a≠0)。
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4.7一元二次方程的应用（1）
学习目标：1.能根据题意找出正确的等量关系.
2.能正确的列出一元二次方程解决实际问题.
学习过程：
前面我们学习过了一元一次方程、分式方程，并能用它们来解决现实生活与生产中的许多问题，同样，我们也可以用一元二次方程来解决一些问题。
想一想，列方程解应用题的关键是什么？
一、自主学习
例1.如图，将一根为64cm的铁丝剪成两段，再将每段分别围成正方形，如果两个正方形的面积的和等于160平方厘米，求两个正方形的边长。
分析：这个问题中的等量关系是：
解：
例2.某花圃用花盆培育某种花卉，经市场调查发现，出售一盆花的盈利与该盆中花的棵数有关。
当每盆栽种3棵时，平均每棵盈利3元。
以同样的栽培条件，每盆增加1棵，平均每棵盈利将减少0.5元。
要使每盆的盈利增加10元，每盆应当种植该花卉多少棵？
二.对应练习
1.天全村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室。
要求长宽的比为3:1,。
在温室内，沿前后两侧内墙各留3m宽的空地放置工具，其他两侧内墙各留1 m的通道。
当矩形温室的长与宽多少时，蔬菜种植区的面积是300平方米？
2.矩形ABCD的边AB=200cm,O为AB的中点，O E⊥AB交CD于点E.质点P从点A出发，以2cm/s 的速度沿AB向点B运动；另一质点Q同时从点O出发，以3cm/s的速度沿OE向点E运动。
经过多少秒时，⊿OPQ的面积为1800平方厘米？
三、当堂检测
1.两个实数的和是10，积是-75，求这两个数.
2. 如图，道路AB与BC分别是东西方向和南北方向，AB＝1000m.某日晨练，小莹从点A出发，以每分钟150m的速度向东跑；同时小亮从点B出发，
以每分钟200m的速度向北跑，二人出发后经过几分钟，他们之间的直线距离仍然是10002
m？
教学反思：
A
4.7一元二次方程的应用（2）
学习目标
1.会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题．
2.通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力．
学习过程
一.自主学习
例1.某工厂2002年的年产值为500万元，2004年的产值为605万元，求2002－2004年该
厂年产值的增长率.
提示：如果设该厂2002－2004年产值的平均增长率为x，那么2003年的年产值为
_____________________________，2004年的年产值为______________________________.
例2.某种药品原售价为每盒4元，两次降价后，每盒售价为2.56元，求该药品平均每次的降价率.
提示：如果设该药品平均每次的降价率为x，那么第一次降价后该药品每盒的售价为______________，第二次降价后该药品每盒的售价为_________________.
二、自我练习
1. 两个连续奇数的积是323，求这两个数.
2. 将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
三、当堂小结
四、当堂检测
1.某农场的粮食产量在两年内从600吨增加到726吨，该农场平均每年的增长率是多少？
2.某农机厂一月份生产联合收割机300台，为了满足夏收季节市场对联合收割机的需求，三月份比一月份多生产132台，求二、三两个月平均每月的增长率.
3.已知两个数的和是12，积为23，求这两个数.
4. （山西）“五一”黄金周期间，某高校几名学生准备外出旅游，有两项支出需提前预算：
（1）备用食品费，购买备用食品共花费300元，在出发时，又有两名同学要加入（不再增加备用食品费），因此，先参加的同学平均每人比原来少分摊5元，现在每人需分摊多少元食品费？
（2）租车费：现有两种车型可供租用，座数和租车费如下表所示：
车型座数租车费（元/辆）
A 7 500
B 5 400
请选择最合算的租车方案，（仅从租车费角度考虑）并说明理由。
教学反思：。