小学六年级奥数训练之方程、不定方程、方程组练习
六年级奥数第28讲：不定方程
简单的不定方程所谓有定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
解不定方程的方法是：（1）根据整除知识，缩小未知数的取值范围，然后试算求解。
（2）分析末位数字，缩小未知数的取值范围，寻求方程的整数解。
（3）求出一个未知数用另一个未知数表示的式子，然后试算求解。
（4）直接根据方程确定未知数的取值范围，通过试算求解。
例1、马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职。
甲公每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。
年终，马小富从两家公司共获薪金7 620元。
问他在甲公司打工多少个月，在乙公司兼职多少个月。
做一做：有A、B、C三种商品若干，价值共300元，其中A商品单价为16元，B商品单价为158元，C商品单价为19元。
那么，全部C商品至少价值多少元？最多价值多少元？例2、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？做一做：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于何月何日吗？例3、某单位的职工到效外植树，其中的男职工，也有女职工，并有31的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中女职工有多少人？做一做：一群猴子采摘水蜜桃。
猴王不在的时候，一只大猴子1小时可采摘15千克，一只小猴子1小时可采摘11千克；猴王在场监督的时候，大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘，去伺候猴王，有一天采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共摘3 382千克水密桃。
问：在这个猴群中，共有大猴子多少只？例4、小明用5天时间看完一本200页的故事书。
已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一天、第二天看的页数之和，第四天看的页数是第五天至少看了多少页？做一做：有一堆围棋子，白子颗数是黑子颗数的3倍。
六年级奥数-35不定方程
不定方程1、掌握不定方程的定义；2、掌握不定方程的类型及解法；3、掌握不定方程的实际应用。
1、不定方程的类型及解法；2、实际应用。
例1.求3x+4y＝23的正整数解。
练习1.求3x+2y＝25的正整数解。
练习2.求4x+5y＝37的正整数解。
例2.求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2练习1.求下面方程组的自然数解。
4x+3y－2z＝77x+9y+11z＝683x+2y+4z＝215x+7y+9z＝52例3.一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。
如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？练习1.某校六（1）班学生48人到公园划船。
如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。
那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）例4.买三种水果30千克，共用去80元。
其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。
问三种水果各买了多少千克？练习1.有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26个，其中蓝皮球的个数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少个？练习2.用100元钱买25支笔。
已知毛笔每支2元，彩色笔每支4元，钢笔每支9元。
问每种笔各买几支？（每种都要买）例5.某次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。
原计划一等奖每人发6支，二等奖每人发3支，三等奖每人发2支。
后又改为一等奖每人发9支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支。
问：一、二、三等奖的学生各有几人？练习1.某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环。
他命中10环、7环和5环各几发？练习2.篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元。
已知煮蛋每个0.60元，茶叶蛋每个1元，皮蛋每个1.20元。
问篮子里最多有几个皮蛋？。
小学六年级不定方程练习题
小学六年级不定方程练习题不定方程是数学中一个非常重要的概念，它在解析几何、代数方程等领域中都有广泛的应用。
而在小学六年级的数学学习中，掌握不定方程的解法对学生来说是一项重要的任务。
本篇文章将为小学六年级的学生提供一些不定方程的练习题，帮助他们巩固这一知识点。
练习题一：某贩卖机中有苹果和橙子两种水果，苹果的单价为5元，橙子的单价为3元。
现在小明购买了8个水果，共花费了26元。
请你计算小明购买了几个苹果，几个橙子。
解答：假设小明购买了x个苹果，y个橙子。
根据题意可以列出方程组：x + y = 8 （1）5x + 3y = 26 （2）首先我们来解方程组（1）。
由第一式得出 x = 8 - y将x值代入方程（2）中，得出：5(8-y) + 3y = 26化简得到：40 - 5y + 3y = 26整理得到：2y = 14解得：y = 7x + 7 = 8解得：x = 1所以小明购买了1个苹果，7个橙子。
练习题二：某小商店批发了棉花糖和巧克力两种糖果，棉花糖的单价为2元，巧克力的单价为3元。
小华花了17元购买了9个糖果，请问他买了几个棉花糖，几个巧克力？解答：假设小华购买了x个棉花糖，y个巧克力。
根据题意可以列出方程组：x + y = 9 （1）2x + 3y = 17 （2）我们可以先解方程组（1）。
由第一式得出 x = 9 - y将x值代入方程（2）中，得出：2(9-y) + 3y = 17化简得到：18 - 2y + 3y = 17整理得到：y = 1x + 1 = 9解得：x = 8所以小华购买了8个棉花糖，1个巧克力。
练习题三：小红做作业，她的爸爸看到她左手上有5元钱，右手上有3元钱。
问小红一共有几元钱？解答：假设小红一共有x元钱。
根据题意可以列出方程：5 + 3 = x化简得到：8 = x所以小红一共有8元钱。
练习题四：某公园门票的成人票价为10元，儿童票价为5元。
某天一共卖出10张票，收入70元。
小学六年级奥练习-不定方程
不定方程1．求方程 2x+3y=18 的自然数解。
2.数学测试卷有20道题，做对一道得7分，做错一道扣4分，不答得0分，张红得100分，她有几道题没答？3.如果在分数28/43的分子分母上加上自然数a、b所得结果是7/12，那么，a ＋b的最小值等于多少？4.甲乙两数是自然数，如果甲数的5/6恰好是乙数的1/4，那么甲、乙两数之和的最小值是多少？5.某地水费，不超过10吨时，每吨0.45元；超过10吨时，每吨0.8元，张家比李家多交水费3.3元，如果两家的用水量都是整数吨。
问两家各交水费多少元？6.王老师家电话号码是七位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063，将三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529，王老师家电话号码是多少？7.一位年轻人恰好在1月1日出生，在1993年时他的年龄等于他出生年数的各位数字之和。
这位年轻人在1993年的岁数是多少岁？8.现有铁矿石73吨，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走，且每辆车都要装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量5吨的卡车每台车运费50元，问需用两种卡车各多少台运费最省？9.甲班有42名学生，乙班有48名学生。
已知在某次数学考试中按百分制评卷，评卷结果各班的数学总成绩相同，各班的平均成绩都是整数，并且平均成绩都高于80分，那么甲班的平均成绩比乙班高多少分？10.一批布长36米，用此布做一套成人衣服用布3米，做一套儿童衣服用布1.6米。
要把这批布刚好用完，应做多少套成人衣服？多少套儿童衣服？11.小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候。
若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声。
细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声。
波斯猫至少叫了多少声？12．某次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发6支，二等奖每人发3支，三等奖每人发2支。
六年级奥数训练第11讲不定方程
六年级奥数训练第11讲不定方程内容概述学会求二元一次不定方程与多元一次不定方程组的整数解，通常利用整除性、大小估计等方法进行分析；注意对多个未知数进行恰当的消元，化简方程．典型问题兴趣篇1．有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？2．有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个．问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？3．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗叫2声，波斯猫叫1声；若是晚上见面，小花狗叫2声，波斯猫叫3声，细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？4．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共七百多人，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个和尚每天恰好吃4个馒头．请问：庙里共有多少个和尚？1 5．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有3的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．请问：其中有多少名男职工？6．新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完，问：搬书的老师、男生、女生各有多少人？7．新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？8．小萌在邮局寄了三种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分，那么小萌寄的这三种信的总和最少是多少封？9．有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张．请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？10．快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个7元，鸡肉汉堡每个9元，牛肉汉堡每个14元，小明去快餐店买汉堡．他付款100元，找回8元．请问：小明买了多少个鸡肉汉堡？拓展篇1．甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完，请问：张明共买了多少支铅笔？2．采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋（盒子不能拆开）．采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？3．在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有9000人，每个航空兵师有8000人．在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽调了相同数量的师参与战斗，一共有27.1万人．如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？4．甲、乙两个小队的同学去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人都植树10棵，已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？5．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，问：剩余部分的管子最少是多少厘米？6．某次数学比赛，用两种不同的方式判分．一种是答对1题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对1题给3分，不答不给分，答错扣1分，某考生两种判分方法均得71分，请问：这次比赛共考了多少道题？7、我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱．要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只?8．小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买．钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元．小李总共花了97元，买了90支笔．请问：三种笔分别买了多少盒?9、在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图11-1，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖?如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖?10、阿奇到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了．请问：阿奇共买了多少包奶糖?11、小悦、冬冬去超市买水果．小悦买了2千克桔子、3千克苹果和4千克梨，共花了28.5元，冬冬买了3千克桔子、5千克苹果和7千克梨，共花了47.7元．结账的时候碰到老师，老师买了6千克桔子和3千克苹果，那么老师应该花了多少钱?12、红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小明买红笔、蓝笔各一支，共用了23元．小强打算用109元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把109元恰好用完．求红笔的单价．超越篇1、求不定方程35x+64y=1625的所有自然数解．2、一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共1355斤．其中苹果每筐60斤，每斤定价1.5元；梨每筐55斤，每斤定价1.5元；桃子每筐45斤，每斤定价1.8元．批发市场是以定价的70％购人这些水果的，如果全部售完，将获得638.1元的利润，请问：批发市场运进三种水果各多少筐?3、雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位．请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张?4、采购员用一张万元支票去购物，买了若干个单价590元的A种商品和若干个单价670元的B种商品，其中B种商品多于A种商品，最后找回了几张100元钞票和不到10张10元钞票．如果把A、B两种商品的数量调换，找回的100元和10元的钞票张数正好也调换，那么这两种商品分别买了多少个?5、有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙l件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元?6、国庆节，公司发给唐师傅一张1000元的礼券，但只允许购买A、B、C、D、E五种商品，并且必须正好把礼券用完．已知这五种商品多少种不同的买法?7、现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少?(砝码只能放在天平的一边)8、现有1．7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出l升汽油，至少需要倒多少次?。
小学六年级奥数 第八章 不定方程
第八章不定方程知识要点如果方程(组)中未知数的个数多于方程的个数，此方程(组)称为不定方程(组)。
如x＋y＝10，1512x ay a-=⎧⎨+=⎩，。
不定方程(组)的解是不确定的。
一般地，如果没有给不定方程的制约条件，那么它就有无限多个解。
小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。
关于参数方程，就是有时题中给的条件过少，就设一个未知数参与运算，这个参数不影响结果。
例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原两位数的8倍小1，原来的两位数是。
点拨根据题意，可由原来的两位数和变化后的三位数之间的数量关系列出方程。
解设原来的两位数是ab＝10a＋b，则新数是0a b＝100a＋b。
依题意得 100a＋b＋1＝8(10a＋b)即 20a＋1＝7b所以 a＝71 20 b-因为a，b是整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，所以 a＝1，b＝3即原来的两位数是13。
说明如果方程存在的解不止一个，则要逐一解出，并检验，千万不要漏掉或出现与题意相矛盾的解。
例2 (“迎春杯”邀请赛试题)某工厂为优秀职工发奖金，一等奖每人1800元，二等奖每人1200元，三等奖每人800元。
每种奖都有人领，共有15名优秀职工领取奖金的总数为16000元，获一、二、三等奖的职工各有多少人？点拨根据题意，一、二、三等奖人数之和等于15这一等量关系显而易见，而15名职工领取奖金的总和为16000元这一等量关系也给出，可列出方程。
解设一、二、三等奖依次有x人、y人、z人，则有1800x＋1200y＋800z＝16000即 9x＋6y＋4z＝80又x＋y＋z＝15，将z＝15－x－y代入上式，得9x＋6y＋60－4x－4y＝80整理得 5x＋2y＝20又x，y，z是正整数，解得 x＝2，y＝5，z＝15－x－y＝8。
答：获一等奖的有2人，二等奖的有5人，三等奖的有8人。
例3 100头驴驮100袋物品，一头大驴驮3袋，一头中驴驮2袋，两头小驴驮1袋。
高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲不定方程
第七讲不定方程前我们学习的方程一般都有唯一解，比如方程 3x 4 19只有一个解x 5，方程组x 2y 5只有一组解 2x 3y 8什么样的方程，解不唯一呢？举个简单的例子，二元一次方程唯一，因为每当y 取定一个数值时，x 就会有相应的取值和它对应，使方程成立，这样一来就会有无穷多组解.通常情况下，当未知数的个数大于方程个数时.，这个方程.(或 方程组).就会有无穷多个解.可是方程的解那么多， 究竟哪个才是正确的呢？应该说， 如果不加任何额外的限制条件， 这 无穷多个解都是正确的. 但在实际情况中，我们通常会限定方程的解必须是自然数，这样一来，往往就只有少数几个解能符合要求，甚至在某些情况下所有的解都不对.x 2y 5的解就不対刖•所以这杆的方程才 囚平处方程啊 x+y=10陕。
一个右程龙么含右两个木 如数啊”这样的力稈论町好 多桦1方程个数小于未知数个数怖方 程如叫不罡方4T.不定方程，顾名思义就是“不确定”的方程，这里的不确定主要体现在方程的解上.之本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组）：它们所含未知数的个数往往求下列方程的自然数解:(1) x 2y 5 ;(2) 2x 3y 8 ;(4) 4x 5y 20 .本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组） ：它们所含未知数的个数往往大于方程的个数， 而未知数本身又有一定的取值范围， 这个范围通常都是自然数——这 类方程就是“不定方程” ．形如 ax by c （ a 、b 、c 为正整数）的方程是二元一次不定方程的标准形式．解 这样的方程， 最基本的方法就是枚举． 那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢？我们 下面结合例题来进行讲解．例1．甲级铅笔 7角一支，乙级铅笔 3角一支，张明用 5元钱买这两种铅笔， 钱恰好花完． 请 问：张明共买了多少支铅笔？「分析」设张明买了甲级铅笔 x 支，乙级铅笔y 支，可以列出不定方程：7x 3y 50, 其中x 和y 都是自然数.怎么求解呢？x 19 x 22 x 25、、y 4 y 2 y 0的不定方程的自然数解时,我们可以先找出一组解,之后其余的所有解都可由这一组解的次变化 a 得到（注意变化的方向相反, 一个增加, 另一个就得减少, 才能保证 ax by 的 大小不变）练习 1、（1）求 3x 5y 35的所有自然数解；（2）求11x 12y160 的所有自然数解.般地,如果m是ax nby xmax byc 的一组解,那么yn 这naam abbn abam bn c .另外,也是 ax by c 的一组解,理由相同.2x 这条性质有什么用呢？我们以求x 10一组自然数解x 10.应用上面的规律,y 10 然数）,所得结果仍然是x 25都是 2x 3y y0增加 2,所得结果也是 b（当n a 时）也是3y 50的自然数解为例, 2x 3y 50的一组解, 所以y 50的自然数解.另外x 每次减少2x 是2x 3y 50的自然数解. 而且这样就已经求出了2x 是：因 b . ,（当 m b 时） a我们容易看出它有13 x 16 x 19 x 228 、 y 、 6 y 、 4 y 2 、 3（只要 x 还是自然数） ,y 每次 x 7x 4 x 1、、也都y12 y 14 y163y 50的自然数解,所以50 的所有自然数解,它们3y x 每次增加3, y 每次减少2 （只要y 还是自x x 16 y6 ax by c （ a 、b 、c 为正整数）7 x 10 x 13 、、 12 y 10 y 8 x 值每次变化 b , y 值每例2．采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23 个鸡蛋，每个小盒里有16 个鸡蛋．采购员要恰好买500 个鸡蛋，他一共要买多少盒？「分析」采购员要买多少个大盒，多少个小盒？大盒个数与小盒个数之间有什么联系？练习2、点心店里卖大、小两种蛋糕．一个大蛋糕恰好够7 个人吃，一个小蛋糕恰好够4 个人吃，现在有100 个人要吃蛋糕，应该准备大、小蛋糕各多少个才不浪费？如果每个大蛋糕10 元，每个小蛋糕7 元，那么至少要花多少钱？前面的两道例题只要求方程的解是自然数即可，但有的问题除了要求“解必须是自然数”外，还会有一些其它的约束．下面我们就来看几道这样例题．例3．甲、乙两个小队去植树．甲小队有一人植树12 棵，其余每人植树13 棵；乙小队有一人植树8 棵，其余每人植树10 棵．已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？「分析」不妨设甲小队有X人，乙小队有y人•由“两小队植树棵数相等”，你能列出一个关于x与y的不定方程吗？所列出来的不定方程又该如何求解？练习3、天气炎热，高思学校购置了大、小空调若干．每台大空调每天耗电38 度，每台小空调每天耗电13 度．已知所有大空调日耗电量之和恰好比所有小空调日耗电量之和少 1 度．请问：单位里最少购进了多少台空调？例4．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24 厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分最少是多少厘米？「分析」不妨设已经截出了x根长36厘米的管子和y根长24厘米的管子.合金铝管如果刚好能够被用完，方程应该怎么列？列出来的方程有自然数解吗？练习4、酒店里有500 升女儿红，李一白每次路过这里就打走35 升，杜二甫每次路过这里就打走21 升．那么若干天后，酒店剩余的女儿红最少是多少升？二元一次不定方程只要找到一组自然数解，就能利用方程系数有规律地写出所有自然数解•而含有更多未知数的不定方程又当如何求解呢?例5.我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱•要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？「分析」题中有几个未知量？由这些未知量你能列出几个方程？:；《张丘建算经》■- 张丘建，北魏清河（今山东邢台市清河县）人，中国古代数学家，著有《张丘建算.经》.该书的体例为问答式，条理精密、文辞古雅，是中国古代数学史上少有的杰作.；；《张丘建算经》现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，:各种等差数列问题的解决，某些不定方程问题的求解. 百鸡问题就是其中一个著名的不定方程问题.- 张丘建所处的年代是中国古代的南北朝时期•尽管当时的中国战火连年，朝代更迭::频繁，且一直处于分裂状态，但数学发展的脚步依然没有停下•与《张丘建算经》同时代的算经还有《孙子算经》和《夏侯阳算经》，而与张丘建本人同时代的数学家还有大＞名鼎鼎的祖冲之.例6.卡莉娅到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后她共花了360元，且每种糖都买了•请问：卡莉娅买了多少包奶糖？「分析」题目中出现了四种糖果，我们不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有x 包、y包、z包和w包，再由已知的单价、总价可以列出方程13x 17y 7.8z 10.4w 360 .这是一个四元一次方程，如果按通常的解法枚举出所有解，势必会有太多可能性需要讨论，过于繁琐•而且题目也没要我们求出所有解，只要我们求出奶糖的数量即可.那有没有办法不求其它糖果，只求奶糖的数量呢？练习6、求22x 26y 33z 65w 194的所有自然数解.气象学家Lorenz 提出一篇论文，名叫“一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在德克萨斯州引起 龙卷风？”论述某系统如果初期条件差一点点，结果会很不稳定，他把这种现象戏称做「蝴 蝶效应」•就像我们投掷骰子两次，无论我们如何刻意去投掷，两次的物理现象和投出的点 数也不一定是相同的.Lorenz 为何要写这篇论文呢?这故事发生在1961年的某个冬天，他如往常一般在办公室操作气象电脑.平时，他只 需要将温度、湿度、压力等气象数据输入，电脑就会依据三个内建的微分方程式，计算出下 一刻可能的气象数据，因此模拟出气象变化图.这一天，Lorenz 想更进一步了解某段纪录的后续变化， 他把某时刻的气象数据重新输入电脑，让电脑计算出更多的后续结果•当时，电脑处理数据资料的数度不快，在结果出来之 前，足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵•在一小时后，结果出来了，不过令他目瞪口呆•结 果和原资讯两相比较，初期数据还差不多，越到后期，数据差异就越大了，就像是不同的两 笔资讯.而问题并不出在电脑，问题是他输入的数据差了0.000127,而这些微的差异却造成天壤之别•所以长期的准确预测天气是不可能的.蝴蝶效应课 内 外 堂作业5x 2 y 4z 601. （1）求5x 7y 31的所有自然数解；（2）求5x 2y 4z 60的所有自然数解．x 2 y z 362. 在一次植树节的活动中，参加活动的男生每个人种11 棵树，女生每个人种7棵树，最后所有人一共种了100棵树，那么参加活动的一共有多少人？3. 一张纸上写有25个1.21 和25个1.3．现在要划去其中的一些数，使留下来的数的总和为20.08，那么应划去多少个 1.3？4. 樱木同学特别喜欢吃包子，每天早上都到学一食堂买包子吃．（1）第一天早上，樱木同学花了6元买了一些冬菜包和豆香包，两种包子他都买了．已知冬菜包每个7 角，豆香包每个 5 角，那么樱木同学一共买了多少个包子？（2）第二天早上，樱木同学去学一食堂的路上遇到了晴子．于是樱木邀请晴子一起去吃包子．到学一食堂后，两人除了吃冬菜包和豆香包以外还点了几串羊肉串．已知羊肉串每串1 .2元，最后一共花了18元，所点包子与羊肉串数量总和是25．那么两人最多吃了多少串羊肉串？5. 甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书．已知甲班有1 人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11 册；乙班有 1 人捐6册，3人各捐8册，其余各捐 1 0册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余各捐9册．已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101 册，且每个班捐赠的册数都在400与600之间．各班各有多少人？第七讲不定方程例题：例题1. 答案：14 或10详解：由于方程两边除以 3 的余数相同, 7x 3y x mod3 , 50 2 mod3 ,所以x除以3余2 .又因为7x 50，所以x是不超过7的自然数，只能取2或5.当x 2时，y 50 2 7 3 12 , x y 14；当x 5 时, y 50 5 7 3 5 , x y 10．所以张明共买了14支或10支铅笔．例题2. 答案：26详解：设买了大盒鸡蛋x盒，小盒鸡蛋y盒，则23x 16y 500 .考虑方程两边除以16 的余数，得：7x除以16的余数是4.首先要求7x是4的倍数，所以x是4的倍数，验证x 4、8、12、……发现满足7x除以16的余数是4的最小x值是12,相应的y的值是14,即x 12．由于12 16 且14 23,所以方程没有其它自然数解,采购员一共y 14买了12 14 26 盒鸡蛋．例题3. 答案：76详解：设甲、乙两小队分别有x人和y人.则两队植树棵数分别为13x 1棵和10y 2棵.由分析得：10y 13x 1 .将y 0、1、2、……代入方程验证x是否是自然数，可以求出方程的y值最小的一组自然数解y 4，此时每队的植树棵数均为38棵.x3方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“y值增加13且同时x值增加10”得到（也就是方程的其他所有自然数解是y 17, y 30, y 43,……），每次“ yx 13 x 23 x 33值增加13且同时x值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵，38棵要变为四百多棵，意味着要增加 3 次，符合要求的自然数解是y 43.所以甲队有33 人，乙队有x 3343 人，两队共有33 43 76 人.例题4. 答案：8详解：设已经截出了x根长36厘米的管子和y根长24厘米的管子，那么被截出的管子一共长36x 24y厘米.由36,24 12，得：36x 24y一定是12的倍数.而380不是12 的倍数，所以36x 24y 380是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢？由于36x 24y —定是12的倍数，小于 380且能被12整除的最大自然数是372，而36x 24y 372的自然数解是存在的，如X 1，也就是截出1根长36厘米的管子和y 1414根长24厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米•所以剩余部分最少是380372 8厘米.x y z 100详解：设公鸡、母鸡和小鸡分别买了 x 只、y 只和z 只•依题意，得： 1•要5x 3y - z 100 3求这个方程的自然数解， 我们用“消元”的想法把它转化成二元一次不定方程求自然 数解的问题.我们选择“消去” z :将第二个方程乘以3,然后减去第一个方程， 得:例题6.答案：12详解：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有x 包、y 包、z 包和w 包，则13x 17y 7.8z 10.4w 360 .把系数都化成整数，得：65x 85 y 39z 52w 1800 .由于我们只关心奶糖的数量，我们将未知数y 分为一组，其余未知数分为另一组：65x39z 52w85y1800 .也就是 13 5x 3z 4w 85y1800 .令 u 5x 3z 4w ，则13u 85y 1800 .它的自然数解只有U 60，所以阿奇共买了 12包奶糖.y 12x 0x 4x 8x 12有自然数解是： y 25、 y 18、 y 11和 y 4 .所以我们有四种符合要求的买z 75 z 78 z 81 z 84 x y 4z 值分别为75、78、81、84都是自然数，于是原不定方程的所鸡方案：公鸡 0只，母鸡25只，小鸡75只；公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；公例题5.答案：有四种符合要求的买鸡方案：公鸡 母鸡18只，小鸡78只；公鸡8只，母鸡 小鸡84只 0只，母鸡25只，小鸡75只；公鸡4只, 11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，14x 8y 200，即 7x 4y100，它的所有自然数解是x 0 x 4 x 8 、 、y25y 18y1112 .它们对应的鸡8只，母鸡 11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只.练习：1. 答案： ( 1 )有三组解： x 0 ； x 5；x 1010；(2)有一组解：x8y 7 y 4y1 y6简答： ( 1)考虑方程两边除以 3 的余数； ( 2) 考虑方程两边除以11 的余数2.答案：有四种购买方案： 1 2个大蛋糕， 4个小蛋糕； 8个大蛋糕， 11 个小蛋糕； 4个大 蛋糕， 18 个小蛋糕； 0 个大蛋糕， 25 个小蛋糕；第一个方案最省钱，只要花12 10 4 7 148 元 简答：求不定方程 7x 4y 100的自然数解即可.3. 答案： 4 台简答： 38x 13y 1 的最小自然数解为x 1， 最少需要大空调 1 台，小空调 3 台y34. 答案：3简答： 注意 35x 21y 是7的倍数.x7 x 6x 55. 答案：( 1) 有三组解： y 1 、 y3 、 y5； (2) 1； 2； 6z2 x 1x简答： ( 1) 消去 x 可解；( 2)求 x yz 9的正整数解即可.16x12y 1 0z 1006 x 015 ； y 140 z 83的余数；(2)消去未知数y ,转化成二元一次不定方程.2. 答案： 12x4x 4，所以参加活动的共有 4 8 12 人. y83. 答案： 17作业：x x2 1. 答案：( 1 )x 2；( 2) yy3z 简答：( 1 )考虑方程两边除以简答：由 11x 7y 100 ，得：简答：设留下来的数中有x 个 1.21 和y 个 1.3，则 1.21x 1.3y 20.08.由于总和的百分位是8，说明x 8或18.仅当x 8相应的y 是整数，求得y 8，所以应该划去25 8 17 个 1.3.4. 答案：( 1) 10；(2) 7x5简答：( 1)设买了冬菜包x 个，豆香包y 个.由7x 5y 60，得：x 5，所以樱木同y5x24x17x10学一共买了5 5 10个包子；( 2)由7x 5y 12z 180,得：y0、y5、y10 x y z 25135z z zx3或y 15 ，所以羊肉串最多有7 串. z75. 答案：甲51 ；乙53；丙49 简答：设甲、乙、丙三个班分别有x 人、y 人、z 人，则由已知可得：20 11(x 3) 30 10(y 4) 28 11x 31 10y，即，所以可知x 是除以10 余 1 的数，y30 10(y 4) 50 9(z 8) 101 10y 89 9z是除以9余8的数.又因为每班捐书册数在400与600之间，所以x只能取51,此时才同时满足y是除以9余8的数，即为53,则z为49.x 1 x 4 x、、y 16 y 14 y 这就告诉我们,在求形如。
小学数学六年级奥数《不定方程(一)》练习题(含答案)
小学数学六年级奥数《不定方程（一）》练习题（含答案）一、填空题1.已知1999×△+4×□=9991,其中△, □是自然数,那么□= .2.数学测试卷有20道题.做对一道得7分;做错一道扣4分;不答得0分.张红得了100分,她有 道题没答.3.x 是自然数,••=÷52.0810a x ,字母a 表示一个数字,x 是 .4.不定方程172112=+y x 的整数解是 .5.某青年1997年的年龄等于出生年份各数字的和,那么,他的出生年份是 .6.如果在分数4328的分子分母上分别加上自然数a 、b ,所得结果是127,那么a+b 的最小值等于 .7.40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中,共有26个头和298只脚,若40只脚的蜈蚣有1个头,那么3个头的龙有 只脚.8.甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有 人.9.小明用5天时间看完了一本200页的故事书.已知第二天看的页数比第一天多,第三天看的页数是第一、二两天看的页数之和,第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和,第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和.那么,小明第五天至少看了页.10.一群猴子采摘水蜜挑.猴王不在的时候,一个大猴子一小时可采摘15公斤,一个小猴子一小时可采11公斤;猴王在场监督的时候,大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘,去伺侯猴王.有一天,采摘了8小时,其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督,结果共采摘3382公斤水密桃,那么在这个猴群中,大猴子共有 个.二、解答题11.今有公鸡每只五个钱,母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只.用100个钱买100只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?12.某地收取电费的标准是:每月用电不超过50度,每度收5角;如果超过50度,超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?13.哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片.他先到“甲”文具店去买了几张每张500分钱的卡片,剩余的卡片到“乙”文具店去买了.“乙”文具店的一张卡价格是以每百分为单位,且小于2000分.哲洙买了50张卡片共花了30400分.请你写出他在“乙”文具店买的卡片数量的所有可能情形.14.现有两小堆小石头,如果从第一堆中取出100块放进第二堆,那么第二堆比第一堆多一倍,相反,如果从第二堆中取出一些放进第一堆,那么第一堆比第二堆多五倍.问第一堆中可能的最少石头块数等于多少?并在这种情况下求出第二堆的石头块数.———————————————答 案——————————————————————1. 1998.提示: △是小于4的奇数,检验△=1或3两种情况即可.2. 1.设张红做对x 道题,做错y 道题,依题意得:10047=-y x ①所以 74100y x +=≥72147100=. 又 x +y ≤20 ②所以 x ≤20-y ≤20,故 7214≤x ≤20. 又4|4 y ,4|100,由①知4|7 x ,又4与7互质,所以4| x ,故 x=16或20. 当x=20时,由①得y=10,与②产生矛盾.因此x=16,代入①得y=3.张红共有20-x -y=1(道)题没做.3. 750.根据题意,99925100810+=a x ,整理得,37)14(2530999)25100(810+⨯⨯=+⨯=a a x . 因为x 为自然数,37是质数,所以4a +1一定能被37整除,推知a =9,因此7502530=⨯=x .4. 没有整数解.若方程有整数解,则x 123,y 213,因此y x 21123+,且3|17,产生矛盾,因此原方程没有整数解.5. 1975. 设他出生年份为ab 19,依题意,得:b a ab +++=-91191997整理得:87211=+b a所以 11287b a -= 由0≤b ≤9得1192871136⨯-=≤11287b - ≤111071187=,即1136≤a ≤11107. 故a =7,从而b =5,他出生于1975年.6. 24.依题意,有1274328=++b a , 于是可得12(28+a )=7(43+b )即 12a +35=7b ①显然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a .由①知, b 随a 增大而增大,所以a 取最小值7时, b 也取最小值,是17. 所以, a +b 的最小值是7+17=24.7. 14.设有x 只蜈蚣,y 只三头龙,每只三头龙有n 只脚,依题意得方程组:⎩⎨⎧=+=+29840263ny x y x ①×40-②,得()742120=-y n ,即5372)120(⨯⨯=-y n ③由于x 和y 都是正整数,从①式得y ≤8.又因为537120120⨯<<-n , 所以从③式得y =7,106120=-n ,由此得n =14.8. 32.设甲小队有x 人,乙小队有y 人.由两小队植树棵数相等,得到13 x -7=10 y -5.因为上式右端个位数为5,所以13x 的个位数应是2,得到x =4, y =5是上式的① ②一组解,且x 每增大10, y 就增大13,仍是上式的解.为使10y -5在100与200之间,只有y =5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有4+10=14(人),共有18+14=32(人).9. 84.设小明第一天看了a 页,第二天看了b 页,则前五天看的页数依次为: a , b , a+b , a+2b , 2a+3b .上面各个数的和是200,得到5a +7b =200.因为5a 与200都是5的倍数,所以b 是5的倍数.因为b >a ,所以上式只有两组解:b =20, a =12; b =25, a =5.将这两组解分别代入2a +3b ,得到第五天至少看了84页.10. 15.以5只大猴子为一组,根据题意,一组大猴子这天可采摘15×38(千克).同理,以5只小猴子为一组,这天可采摘11×38(千克).设有大猴子x 组,小猴子y 组,则有338238113815=⨯⨯+⨯⨯y x ,891115=+y x .易知其整数解为x =3, y =4,所以有大猴子5×3=15(只).11. 设公鸡、母鸡、小鸡各买x , y , z 只,由题意列方程组: ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x 3×①-②整理得 10047=+y x .又4|4 y ,4|100,所以4|7 x ,又(4,7)=1,所以4| x .又74100y x -=≤72147100=. 所以x=4,8或12.x=4时,y=18, z=78; x=8时,y=11,z=81; x=12时,y=4,z=84.即可能有三种情况:4只公鸡,18只母鸡,78只小鸡;或8只公鸡,11只母鸡,81只小鸡;12只公鸡,4只母鸡,84只小鸡.12. 因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x )度,乙用电(50- y )度.因为甲比乙多交33角电费,所以有:8x+5y=33.容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.① ②13. 设哲洙在乙文具店买了x 张卡片,花了⨯y 100分.由共花钱数可列方程 ()3040010050500=⨯⨯+-⨯x y x整理得 54)5(=-y x因为x 是小于50的54的约数,则x 与y 的关系如下表:因为乙文具店一张卡片的价格小于2000分,推知y 小于2000÷100=20,即y -5<15,所以x 的可能取值是6,9,18,27.14. 设第一堆有x 块石头,第二堆有y 块石头,并设z 为从第二堆取出放进第一堆的块数,由题意:⎩⎨⎧-=++=-)(6100)100(2z y z x y x 由①得 1002-=x y .代入②整理得 1800711=-z x .所以 11)1(71631171800++=+=z z x . 又x ,z 自然数,所以11|z+1,当z=10时, x 有最小值,此时x=170,y=40,即第一堆中最少有170块.在这种情况下,第二堆40块.① ②。
六年级上奥数试题——第8讲.不定方程(人教版)含解析
在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中。
在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位。
因此在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
1． 不定方程的试值技巧 2． 不定方程的经典题例【例1】 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。
问：庙里至少有多少个和尚?【分析】设有7x 个大和尚，29y 个小和尚，则共吃()4111x y +个馒头。
由“平均每个和尚每天恰好吃一个馒头”，可列方程：7294111x y x y +=+，化简为917x y =。
当9x =，17y =时和尚最少，有792917556⨯+⨯=（个）。
基本题型不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制(比如要求解为正整数等)的方程。
数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。
百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。
设x ，y ，z 分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x ，y ，z ，这是一个三元不定方程组问题。
经典精讲教学目标不定方程第八讲【例2】 把2001拆成两个数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要大），求这两个数。
【分析】这是一道整数分拆的常规题。
可列式11132001x y +=，要让y 取最大值，可把式子变形为2001111315312132122153131313x x x xy x -⨯+-++===-+，当7x =时，146y =。
小学生奥数不定方程练习题(最新)
1.小学生奥数不定方程练习题1．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个？2．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支？3．有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元？4．将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米？5．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工？2.小学生奥数不定方程练习题1、小明的存钱罐里有五元的纸币，十元的纸币，和一元的硬币一共48元，那么小明可能有多少枚硬币？2、学校租了两种车来载学生上学，甲车能坐15个学生，乙车能坐20个学生，一次一共有150个学生能坐上车，请问甲车和乙车可能各有多少辆？3、妈妈去卖水果时，看到苹果3元一个，梨子4元一个，一共花了32元，那么妈妈可能买了几个苹果，几个梨？4、数学测试卷有20道题，做对一道得7分，做错一道扣4分，不答得0分，小红得了100分，请问她有几道题没有答？5、解不定方程：2x+3y=28求出该方程的所有正整数解3.小学生奥数不定方程练习题刘同学计划用35元买每支2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支。
她最多能买（）支，最少能买（）支。
【分析】由于刘同学2元、3元、4元的不同的圆珠笔每种至少要买一支，可令刘同学先买了三种各一支，除去这一支剩下的买的2元、3元、4元的分别是x，y，z支。
则2x+3y+4z=35-9=26。
现在要买的尽量多，则尽量多买便宜的，即均买2元的，可买13支，则最多可以买13+1+1+1=16支；要求尽量少买，则挑贵的买，则尽量都买4元的，可以买6支，还余下2元，买2元1支的，此时可以买6+1+3=10支。
小学奥数 不定方程与不定方程组 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
不定方程与不定方程组教学目标1.利用整除及奇偶性解不定方程2.不定方程的试值技巧3.学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。
3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）例题精讲模块一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答【解析】 方法一：由原方程，易得 2x ＝8＋3y ，x ＝4＋32y ，因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，并且，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为：342x ky k⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中k 为任意数．说明 由y 取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解． 方法二：根据奇偶性知道2x 是偶数，8为偶数，所以若想2x －3y ＝8成立，y 必为偶数，当y ＝0，x ＝4；当y ＝2，x ＝7；当y ＝4，x ＝10……，本题有无穷多个解。
小学数学六年级奥数《不定方程(二)》练习题(含答案)
小学数学六年级奥数《不定方程（二）》练习题（含答案）一、填空题1.△+☆= .2.箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球 个.3.某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n 棵,且n 为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了 组.4.不定方程23732=++z y x 的自然数解是 .5.王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是 .6.有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为87,65,32c b a .已知a ,b ,c 都小于10,a ,b ,c 依次为 , , .7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的41和全部咖啡(若干碗)的61.那么,全家有 口人.8.某单位职工到郊外植树,其中31的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工 人.9.将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有 块.原来长方体的体积是 立方分米.10.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是 元.二、解答题11.一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?12.小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?13.一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一、二、三等奖的学生各几人?14.采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干,又买单价670元的B种物若干,其中B种个数多于A种个数,找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张).如把购A种物品和B 种物品的个数互换,找回的100元和几张10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个,B物几个?———————————————答案—————————————————————— 1. 5.依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5. 2. 260.设箱子里共有n 个乒乓球,二级品占5a .依题意,得 n a n n =++⨯915%25 整理得 9120)415(⨯=-a n ① 易知 15-4 a >0,所以a ≤3.将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个). 3. 11.设共分为x 组.由树苗总数可列方程 2029+=-nx x 22)9(=-x n因为22=1×22=2×11, n 是小于9的质数,对比上式得x=11(组).4. ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x显然z 只能取1,2,3.当z=1时,1632=+y x ,其自然数解为x=2, y=4; x =5, y=2.当z=2时,932=+y x ,其自然数解为x=3, y=1. 当z=3时,232=+y x ,显然无自然数解.所以原方程的自然数解为:⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x5. 8371692.设电话号码的前三位为x ,后三位y ,第四位为a (a ≠0).由题意有 ⎩⎨⎧=++=++25291000906310y a x y a x①-②,化简得a x 111726+=. 当a=1时, x=837, y=692; 当a ≥2时, y <0,不合题意. 所以电话号码为8371692.6. 7,3,2.由题意有785623+=+=+c b a .解这个不定方程,得2,3,7===c b a . 7. 5.设全家共喝了x 碗牛奶和y 碗咖啡,依题意得:16141=+y x 整理得 1223=+y x .易得其自然数为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.① ②8. 3.设有女职工x 人,男职工y 人,那么有孩子3yx +人.这个条件说明3| x + y .由已知 216631310=⨯+++yx y x 即 7254=+y x 72)(4=++y y x 由12|4(x + y ),12|72. 所以12| y ,又5472x y -=≤5414572=. 所以, y=12, x=3.即有女职工3人.9. 32,80.画个示意图就不难推知:小正方体中仅两面涂色的每条棱上都有,并在同一个方向的4条棱上2为z y x ,,,则 ()⎩⎨⎧==++⨯12284xyz z y x剥去所有涂色的小块,得到上图.由上面两上算式可以推算出2,3===z y x ,仅1面涂色彩正方体有:2)232223(2)(⨯⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯z x z y y x32216=⨯=(块).原来长方体的体积为80445)2()2()2(=⨯⨯=+⨯+⨯+=z y x V (立方分米).10. 17.82设支票上的元数与角、分数分别为x 和y ,则可列得方程 )100(2350)100(y x x y +=-+, 其中x ,y 为整数且0≤x ,y <100. 化简方程得 35019998+=x y由此推知2x <y 且为x 偶数,其可能取值为2,4,…,48. 又 985633298350199+++=+=x x x y , 56≤563+x ≤20056483=+⨯ 所以 98563=+x 或298⨯. 所以 324642==x x 或(舍去).故42=x ,此时32=y .即李林的支票面额为14.32元,竞换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14-14.32=17.82元.11. 设起初有x 辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n 人,依题意,得 )1(122-⨯=+⨯x n x , 所以 123221122-+=-+=x x x n 又n , x 为整数,所以(x -1)|23,故x -1=1或23,即x=2或x=24. 若x=2,则45122322=-=n 与n ≤32产生矛盾. 因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客22 x +1=529(名).12. 设苹果、梨子、杏子分别买了z y x ,,个,则 ⎩⎨⎧=++=++4050003080200z y x z y x消去z 得 380517=+y x ①所以 175380yx -=由0<y <40得 176221738017538017405380171010=<-<⨯-=y即 17622171010<<x又 5|5 y ,5|380,(5,17)=1,由①得5| x .所以x=15或x=20. 当x=15时, y=25, z=0,不合题意. 因此x=20, y=8, z=12.因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.13. 设获一、二、三等奖的人数分别为z y x ,,,根据题意有: ⎩⎨⎧=++=++224922236z y x z y x2×②得 4422818=++y x ③ ③-①得 22512=+y x ④ 解④求得整数解为x=1, y=2. 代入②可求得z=5.答:获得一等奖的有1人,获得二等奖的有2人,获三等奖的有5人.①②14. 设买A 种物品a 个, B 种物品b 个,找回100元的m 张,10元的n 张,则有:⎩⎨⎧--=+--=+nm b a n m b a 10010100005906701010010000670590其中b >a ,n <10.①-②得 )(9)(8m n a b -=- ③ 所以 )(98m n -,故m n -8,由b >a ,n <10知 m <n <10,因此, m -n =8,从而b -a =9. 由此推知n=9, m=1, b=a+9. 代入①式,解得a=3. B=12. 答:购A 物3个,B 物12个.①②。
六年级奥数试题及答案：不定方程问题(高难度)
六年级奥数试题及答案：不定方程问题（高难度）一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水，另一个钢桶里盛着牛奶，由于牛奶乳脂含量过高，必须用水稀释才能饮用．现在我把A桶里的液体倒入B桶，使其中液体的体积翻了一番，然后我又把B桶里的液体倒进A桶，使A桶内的液体体积翻番．最后，我又将A桶中的液体倒进B桶中，使B桶中液体的体积翻番．此时我发现两个桶里盛有同量的液体，而在B桶中，水比牛奶多出1升．现在要问你们，开始时有多少水和牛奶，而在结束时，每个桶里又有多少水和牛奶？考点：不等方程的分析求解．分析：假设一开始A桶中有液体x升，B桶中有y升，第一次将A桶的液体倒入B桶后，B桶有液体2y升，A桶剩（x-y）升；第二次将B桶液体倒入A桶后，A桶有液体2（x-y）升，B桶是（3y-x）升，第三次将A桶的液体倒入B桶后，B桶有液体（6y-2x）升，A桶剩下（3x-5y）升，由此时两桶的液体体积相等，可得方程3x-5y=6y-2x，整理可以得出5x=11y，所以x：y=11：5，据此再进行推理即可解答问题．解答：解：设一开始A桶中有液体x升，B桶中有y升，第一次将A桶的液体倒入B桶后，B桶有液体2y升，A桶剩（x-y）升；第二次将B桶液体倒入A桶后，A桶有液体2（x-y）升，B桶是（3y-x）升，第三次将A桶的液体倒入B桶后，B桶有液体（6y-2x）升，A 桶剩下（3x-5y）升，由此时两桶的液体体积相等，可得方程：3x-5y=6y-2x，整理可以得出5x=11y，所以x：y=11：5，现在还不知道A桶中装的是水还是牛奶，可以将牛奶稀释的过程列成下表：由上表看出，B桶中的液体，原来A桶液体与原来B桶液体的比是5：3，而题目中说水比牛奶多1升，所以原来A桶中是水，B桶中是牛奶，因为在5：3中，5-3 相当于1升，所以2个单位相当于1升，所以A桶中原有水11/2升，B桶中原有牛奶5/2升；结束时，A桶中有3升水和1升牛奶，B桶中有5/2升水和3/2升牛奶．点评：解答此题的关键是，根据题意，设出未知数，再根据所给出的信息，列出方程或不定方程，解答即可，难度较大．。
六年级奥数列方程解应用题含答案
列方程解应用题知识框架方程，是一种顺向的“程序”，即设出未知数之后，完全可以根据题目叙述，把各个量翻译出来，找出等量关系划等号即可.一、列方程解应用题的要点（1）设出用哪个未知量表示题目中提到的其他量比较方便，就选择哪个未知量作为未知数.如果只设一个不能进行有效的表达，就再设一两个.（2）翻译用设出的未知数，逐个对应地翻译题目中提到的其他各个量.（3）等量按照题目所述，找出并构建等量关系.等量中很容易忽视的是“不变量”和“相同量”，一定要敏感.【提示】有时虽然设出未知数之后等式列出来了，但方程不好解. 此时，可考虑重设未知数、重列方程或采取其他方法，甚至可以考虑先把问题的目标表达式找出来，“设而不求”——不占而屈人之兵.二、列方程解应用题的优势和局限性关系比较复杂的问题，使用方程，通常可以达到事半功倍的效果.但需要注意的是，方程“单飞”有时无力，需要结合线段图、列表法等，能够发挥更加明显的作用.重难点（1）重点：未知数的选设，其他量的表达，等量关系的寻找（2）难点：未知数的选设，等量关系的寻找，不定方程和不定方程组解的讨论例题精讲一、列一般方程解应用题【例 1】已知足球、篮球、排球三种球平均每个35元.篮球比排球每个贵10元，足球比排球每个贵8元.问：每个篮球多少元？【考点】列方程解应用题【难度】1星【题型】解答【解析】设每个排球x元，则每个篮球为x+10元，每个足球x+8元，由已知列方程：15x+x+8+x+10=35×3， 解得x=29.所以每个篮球x+10=29+10=39元.【答案】29【巩固】 有一些糖，每人分5块多10块；如果现有的人数增加到原人数的1.5倍，那么每人4块就少2块.问这些糖共有多少块?【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设开始共有x 人，5x+10=4×1.5x-2， 解得x=12，所以这些糖共有12×5+10=70块．【答案】70【例 2】 一个分数 ，分子与分母的和是122，如果分子、分母郡减去19，得到的分数约简后是 ．那么原来的分数是多少?【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一：设这个分数为122aa-，则分子、分母都减去19为19191==(122)191035a a a a -----,即5-95=103-a a ,解得33a =,则122-33=89．所以原来的分数是3389方法二：设这个分数为变化后为5a a ，那么原来这个分数为19519a a ++，并且有(19)(519)a a +++=122, ，解得.=14．所以原来的分数是3389． 【答案】3389【巩固】 如下左图中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是a ．如下右图中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的一个商是a 的2倍．求这个自然数．【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 由题意知()()878181172174,a a +⨯+⨯+=+++⎡⎤⎣⎦整理得512a+457=578a+259，即66a=198，a=3．于是，[(80+1)×8+1]× 8+1=1993．【答案】1993【例 3】 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶.已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1.某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时.问：甲、乙两港相距多少千米？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设甲、乙两港相距x 千米，原来水流速度为a 千米/时根据题意可知，逆水速度与顺水速度的比为2∶1，即（8-a ）∶（8＋a ）＝1∶2，于是有8+a=2(8-a),解得a=38再根据暴雨天水流速度变为2a 千米/时，则有92828=-++axa x把a=38代入，得938283828=⨯-+⨯+x x解得x=20.【答案】20【巩固】 如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A 出发，每分钟走65米，乙从B 出发，每分钟走72米.当乙第一次追上甲时在 正方形的哪一条边上？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设追上甲时乙走了x 分.依题意，甲在乙前方3×90=270（米），故有72x ＝65x+270.解得7270=x .在这段时间内乙走了712777727072=⨯（米）.由于正方形边长为90米，共四条边，故由，可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA 边上. 【答案】DA 边上二、 列一般方程组解应用题【例 4】 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设用x 张铁皮制盒身，y 张铁皮制盒底.⎩⎨⎧=⨯=+y x y x 43216150解得x y ==⎧⎨⎩8664 所以86张铁皮制盒身，64张铁皮制盒底.【答案】86；64【巩固】 运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车总共多5个苹果，这三车苹果共有多少个?【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设乙车运x 箱，每箱装y 个苹果，列表如下：车别 甲 乙 丙 箱数 x ＋4 x x －4 每箱苹果数y －3yy ＋5（x+4）（y-3）-xy=3 xy-（x-4）（y+5）=5化简为： 4y-3x=15, ①5x-4y=15,②①+②，得：2x=30，于是x=15． 将x=15代人①或②，可得：y=15．所以甲车运19箱，每箱12个；乙车运15箱，每箱15个；丙车运11箱，每箱20个． 三车苹果的总数是：12×19＋15×15＋20×11=673(个)．【答案】673【例 5】 有甲、乙、丙、丁4人，每3个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，2l 和17．这4人中最大年龄与最小年龄的差是多少?【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设这些人中的年龄从大到小依次为x 、y 、z 、w ，⎧⎨⎩①+②+③十④得：2(x +y+z+w )=90， 则3x y z w+++=15…………………………………………⑤①-⑤得：2143x = , x =21； ④-⑤得：223z =， z=3； 所以最大年龄与最小年龄的差为x w - =21—3=18(岁) 【答案】18三、 列不定方程或不定方程组解应用题【例 6】 新发行的一套邮票共3枚，面值分别为20分、40分和50分，小明花5.00元买了15张.问：其中三种面值的邮票各多少张？【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 根据题意，设面值20分的x 张，面值40分的y 张，面值50分的z 张，可列方程得152********x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩解得672x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以20分的6张，40分的7张，50分的2张【答案】6；7；2【巩固】 某次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发6支，二等奖每人发3支，三等奖每人发2支.后来又改为一等奖每人发9支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支.问：获一、二、三等奖的学生各几人？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据题意，设一等奖x 人，二等奖y 人，三等奖z 人，可列方程得632229422x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩解得125x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，一等奖1人，二等奖2人，三等奖5人.【答案】1；2；5【例 7】 工程队要铺设78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子.问：可以有多少种不同取法？【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据题意，设3米管子x 根，5米管子y 根，可列方程得3578x y +=解得260x y =⎧⎨=⎩或213x y =⎧⎨=⎩或166x y =⎧⎨=⎩或119x y =⎧⎨=⎩或612x y =⎧⎨=⎩或115x y =⎧⎨=⎩所以共有6种取法.【答案】6【巩固】 用1分、2分和5分硬币凑成1元钱，共有多少种不同的凑法？ 【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 根据题意，设5分有x 个，2分有y 个，1分有z 个，可列方程得52100x y z ++=5分取20个，有1种.5分取19个，2分有3种取法（2个、1个、0个），共3种. 5分取18个，共6种.（同上） 5分取17个，共8种. 5分取16个，共11种. ......根据规律不难求出共有1+3+6+8+11+13+16+18+21+23+26+28+31+33+36+38+41+43+46+48+51 =18+58+98+138+178+51 =490+51 =541【答案】541【例 8】 某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 设男职工x 人，孩子y 人，则女职工3y -x 人(注意，为何设孩子数为y 人，而不是设女工为y 人)，那么有()131036x y x y +-+=216，化简为336x y +=216，即12x y +=72．有122436486054321x x x x x y y y y y ⎧=⎧====⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎪⎩⎩.但是，女职工人数为3y x -必须是自然数，所以只有125x y =⎧⎨=⎩时，33y x -=满足．那么男职工数只能为12名.【答案】12【巩固】 一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设0.7米，0.8米两种木条分别x ，y 根，则0.7x +0.8y =3.4，3.6……，即7x +8y =34，36，37，38，39. 将系数，常数对7取模，有y ≡6，l ，2，3，4(mod 7)，于是y 最小分别取6,1,2，3，4．但是当y 取6时，8×6=48超过34，x 无法取值．所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．【答案】3.4【例 9】 某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人.如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设汽车站每隔x 分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意得由①、②，得将③代入①，得x ＝4.8所以汽车站每隔4.8分钟发一班车 【答案】4.8【巩固】 某地收取电费的标准是：若每月用电不超过50千瓦时，则每千瓦时收5角；若超过50千瓦时，则超出部分按每千瓦时8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少千瓦时电？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意可知，因为3元3角既不是5角的整数倍，也不是8角的整数倍.所以甲用的电超过50千瓦时，乙用的电没有超过50千瓦时，设甲用的电超过50千瓦时的部分为x 千瓦时电，乙用的电与50千瓦时相差y 千瓦时电，可列方程得8533x y +=解得15x y =⎧⎨=⎩所以甲用了50+1=51（千瓦时）的电，乙用了50-5=45（千万时）的电.【答案】51；45【例 10】 某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设每班有a(30＜a≤45)名学生，每人平均捐款x 元(x 是整数)，依题意有：x(14a+35)=1995．于是14a+35|1995．又3l ＜a≤45，所以469＜14a+35≤665，而1995=3×5×7×19，在469与665之间它的约数仅有665，故14a+35=665，x=3，平均每人捐款3元．【答案】3【巩固】 一次数学竞赛中共有A 、B 、C 三道题，25名参赛者每人至少答对了一题．在所有没有答对A 的学生中，答对B 的人数是答对C 的人数的两倍，只答对问题A 的人数比既答对A 又至少答对其他一题的人数多1．又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A ．请问有多少学生只答对B?【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 设不只答对A 的为x 人，仅答对B 的为y 人，没有答对A 但答对B 与C 的为z 人．解得：253233x y z x-⎧=⎪⎨⎪=-⎩，,6,y z x ≥≥x =7时，y 、z 都是正整数，所以7,6,2x y z ===. 故只答对B 的有6人． 【答案】6课堂检测【随练1】 有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒.问：队伍有多长？【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设通讯员从末尾赶到排头用了x 秒，依题意得2.6x-1.4x=2.6（650-x ）+1.4（650-x ）解得x ＝500所以队伍长为（2.6-1.4）×500=600（米）【答案】600【随练2】 六（1）班举行一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，以此类推）.男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分.如果该班的人数多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设该班有x 个男生和y 个女生，于是有4x+3.25y=3.6（x+y ），化简后得8x=7y.从而全班共有学生在大于30小于50的自然数中，只有45可被15整除，所以推知x ＝21，y=24. 【答案】21；24【随练3】 (1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大质数是多少?(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，则这个最大的质数是多少?【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 (1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然10个互不相等的质数和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50． 所以，其中一定可以有某几个质数相等． 欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9个2，那么最大质数不超过50—2×9=32，而不超过32的最大质数为31． 又有82502222331=++++++个，所以满足条件的最大质数为31．(2)最大的质数必大于5，否则10个质数的之和将不大于50． 所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7． 60÷7=8……4，8760=7+7+7++7+4个，而4=2+2，恰好有8760=7+7+7++7+2+2个．即8个7与2个2的和为60，显然其中最大的质数最小为7．【答案】31；7【随练4】在同一路线上有4个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力车，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的12时追上乘助力车的，14时遇到骑自行车的，而开摩托车的相遇是16时．开摩托车的遇到乘助力车的是17时，并在18时追上了骑自行车的，问骑自行车的几时遇见乘助车的?【考点】经济问题【难度】4星【题型】解答【解析】设汽车、摩托车、助力车、自行车的速度分别为a，b，c，d，设在12时骑自行车的与坐汽车的距离为x，骑自行车的与开摩托车的之间的距离为y．有(①+③)×2一(②+④)，得310()x c d=+，即10()3x c d =+设骑自行车的在t时遇见骑助力车的，则(12)(), x t c d=-⨯+即10123t-=，所以1153t=．所以骑自行车的在15时20分遇见骑助力车的．【答案】15时20分家庭作业【作业1】甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁.问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍？【考点】列方程解应用题【难度】2星【题型】解答【解析】设x年前，甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.16+12-2x=2×(11+9-2x),解得x=6.所以，6年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.【答案】6【作业2】铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？【考点】列方程解应用题【难度】2星【题型】解答【解析】设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得（x-1）×22=（x-3）×26.解得x=14.所以火车的车身长为（14-1）×22=286（米）.【答案】286【作业3】 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分.小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分.问：小明至多套中小鸡几次？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设套中小鸡x 次，套中小猴y 次，则套中小狗（10-x-y ）次.根据得61分可列方程9x+5y+2（10-x-y ）=61，化简后得7x=41－3y.显然y 越小，x 越大.将y=1代入得7x=38，无整数解；若y=2，7x=35，解得x=5.【答案】5【作业4】 袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出几个球，它们的数字之和是43.问：小明最多摸出几个标有数字2的球？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意，设摸出标有数字2的x 个，摸出标有数字3的y 个，摸出标有数字5的z 个，可列方程得23543x y z ++=，x 最大为所求.解得2010x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，摸出标有数字2的最多为20个.【答案】20【作业5】 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候.若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声.细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声.问：波斯猫至少叫了多少声？【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意，设白天见面的次数为x ，晚上见面的次数为y ，可列方程得3561x y +=白天见面最多时，波斯猫叫声最少.即x 最大为所求.解得125x y =⎧⎨=⎩所以，波斯猫至少叫125327+⨯=（声）. 【答案】27【作业6】 小明买红、蓝两支笔，共用了17元．两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完．那么红笔的单价是多少元?【考点】列方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】如下表先枚举出所有可能的单价如表1．再依次考虑：首先，不能出现35的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完35元，所以含有7，5，1的组合不可能．然后，也不能出现35—17=18的约数．否则先各买一支需17元，那么再买这种笔就可以花去18元，一共花35元．所以含有9，6，3，2的组合也不可能．所以，只有13+4的组合可能，经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解．所以红笔的单价为13元．【答案】13。
小学奥数 不定方程 知识点+例题+练习 (分类全面)
例7、某地收取电费的标准是：若每月用电不超过50千瓦时，则每千瓦时收0.5元；若超过50千瓦时，则超出部分按每千瓦时0.8元收费。某月甲用户比乙用户多交3.3元电费，这个月甲、乙各用了多少千瓦时电？
巩固、求方程 的整数解。
巩固、求不定方程 的最小整数解
例2、一个珠宝商将珍珠放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装ห้องสมุดไป่ตู้个，恰好装完。如果珍珠数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？
巩固、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？
巩固、小华和小强各用64元买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5元一枝和7元一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？
教学过程
不定方程知识要点和基本方法
1、当方程（组）中未知数的个数多于方程的个数时，称这个方程（组）为不定方程（组）
2、一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解
例1、求方程 的整数解
巩固、求方程 的整数解。
2、有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各几个？
3、设A和B都是自然数，且满足 + = ，求A+B的值。
4、甲、乙二人植树，甲每天植18棵，乙每天植21棵，两人共植了135棵树。问：甲、乙二人各干了几天？
巩固、某地收取水费的标准是：若每月用电不超过50吨，则每吨收0.5元；若超过50吨，则超出部分按每千瓦时0.45元收费。某月小明家比小刚家多交3.3元水费，这个月小明家、小刚家各用了多少吨水？
6年级奥数方程与方程组问题(中)例题解析
【内容概述】一般的，把含有未知数的等式称为方程．把未知数的最高次数称为“次”，如x2+y2=25就是一个二元二次方程．如果方程组的个数等于未知数的个数，我们就称这个方程为适定方程；如果方程组的个数少于未知数的个数，我们就称这个方程为不定方程；一般的不定方程没有确定解．方程的基本性质：1.方程两边同时加上或减去某个数，等号仍然成立；2．方程两边同时乘以或除以某个非零数，等号仍然成立．在解方程中最常用的一种技巧是移项，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项．如：3x+12＝18，可以将12移项为3x＝18－12．通过“代入”消去一个未知数，将方程组减少一元来解的方法叫做代入消元法，简称代入法；通过将两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将方程组减少一元来解的方法叫做加减消元法，简称加减法．①《九章算术》第八卷“方程”刘徽注：程，课程也．群物总杂，各列有数，总言其实，令每行为率．二物者再程，三物者三程，皆如物数程之．并列为行，故谓方程．【例题】题1．小红和小兵一起讨论方程2x+3＝3x+2的解法时，居然得出了2＝3．过程如下：「分析与解」注意2x+3＝3x+2这个方程的解为x＝1，而小兵在计算时将方程两边同时除以x-1，而x-1正好为0，所以小兵在方程两边同时除以0，这是不可以的，所以小兵得出错误的解．评注：等式的两边同乘以或除以一个含有未知数的式子时，一定要确定这个式子所代表的值是否为零，如不能确定则应加以讨论．题2．若x是自然数，且满足，那么x等于__________.「分析与解」4x-1必须是105的约数，105＝3×5×7，当4x－1＝7时，x ＝2；当4x-1＝15时，x＝4；当4x－1＝3时，x＝1；当4x-1＝35时，x＝9．所以只能是105÷(4×9－1)＝9－6，即x＝9．题7．假设五家共用一井取水，甲用绳2根不够，差乙家绳子1根；乙用绳3根不够，差丙家绳子1根；丙用绳子4根不够，差丁家绳子1根；丁用绳子5根不够，差戊家绳子1根；戊用绳6根不够，差甲家绳子1根．如果各得所差的绳子1根，都能达到井深．问井深，绳长各是多少？(井深为小于1000得整数)题8．一只小虫从A爬到B处．如果它的速度每分钟增加1米，可提前15分钟到达．如果它的速度每分钟再增加2米，则又可提前15分钟到达．那么A处到B处之间的路程是多少米？题9．10人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左右相邻的两个人．然后每个人把左右相邻人告诉自己的数的平均数亮出来，如下图所示，问亮5的人心中想的数是多少？题10．若干学生搬一堆砖，若每人搬k块，则剩下20块未搬走；若每人搬9块，则最后一名学生只搬6块，那么学生共有多少人？「分析与解」设有n个学生．根据砖得数量可得到方程nk+20＝9n－(9－6)，n(9－k)＝23因为23是质数，所以n与(9－k)中一个是23，另一个是1．所以只能是n ＝23．评注：在这道题中，k仅是一个过渡变量，借用9－k≤9，求得n＝23．题11．张三用一张100元的钞票去购物．他买了单价是5.9元的A种物品若干，又买了单价是6.7元的B种物品若干，其中B种的个数比A种的个数多，找回来的零钱只有1元、1角硬币两种．如果把购买A种物品和B种物品的个数交换的话，找回来的零钱中1元和1角硬币的枚数也恰好相反．请问：实际购买A种物品和B种物品的个数分别是多少？(找回的零钱中，1角的硬币个数小于10枚)。
小学六年级奥数不定方程(最新)
【#小学奥数# 导语】方程（equation）是指含有未知数的等式。
是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为解或根。
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1.小学六年级奥数不定方程1、圆珠笔每支5角，彩色日记本每本8角现在有6元3角钱。
问圆珠笔和彩色日记本各买多少，才使钱正好用光？答案：圆珠笔11支，笔记本1本。
2、六年级某班同学48人到公园里去划船，如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人，那么需要小船和大船各几只？（大船小船都有）答案：小船x大船y列方程：3x+5y＝48x，y都是正整数解得：x＝1，y＝9x＝6，y＝6x＝11，y＝33、装水瓶的盒子有大小两种，大的能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。
问需大、小盒子个多少个？答案：设大的x个，小的y个，有：7x+4y=41根据奇偶关系知道：x只能取奇数x=1，y=8.5舍去x=3，y=5满足x=5，y=1.5舍去2.小学六年级奥数不定方程1、一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10，两种盒子各有多少？2、某水果店运来桔子、苹果、香蕉共15筐，价值860元，已知每箱桔子40元，每箱苹果50元，每箱香蕉70元，三种水果各运多少箱？3、一次数学竞赛准备了22只铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划发给一等奖每人6只，二等奖每人3只，三等奖每人2支，后来改为一等奖每人9只，二等奖每人4只，三等奖每人1只，一、二、三等奖的学生各有几人？4、小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分，小鸡至多被套中多少次？5、庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7个大和尚每天共吃41个馒头，每29个小和尚每天共吃11个馒头。
六年级奥数专题10：方程组
六年级奥数专题10：方程组十方程组(1)年级班姓名得分一、填空题1.一个分数,把它的分母减2,即,约分后等于;如果原来的分数的分母加上9,即,约分后等于,则=.2.甲、乙两人共存款2000元,后来甲又存入100元,乙取出自己款数的,这时甲的存款数是乙的2倍.现在两人共存款元.3.八个数排成一排,从第三个数开始,每个数都等于他前面两个数之和.现用六张纸片盖住了其中的六个数,只露出第五个数是7,第八个数是30.□□□□7□□30那么被纸片盖住的第一个数是.4.六(1)班图书馆的故事书和科技书共有100本,已知科技书的比故事书的少13本,两种书各有本.5.有a,b,c三个数,a(b=24,a(c=36,b(c=54,则a+b+c=.6.若购买笔记本3本、铅笔5支、格尺1个,共需6.10元;若购买笔记本4本、铅笔7支、格尺1个,共需7.92元.那么购买笔记本、铅笔、格尺各一件一共需要元.7.加工一批零件,甲、乙两人合做1小时,完成了这批零件的,乙、丙两人接着生产1小时,又完成了,甲和丙又合做2小时,完成了.剩下的任务,甲、乙、丙三人合做,还要小时完成.8.有一满池水,池底有泉水总能均匀地向外涌流,已知用24部A型抽水机6天可抽干池水,若用21部A型抽水机8天也可抽干池水,设每部抽水机单位时间的抽水量相同,要使这一池水永抽不干,则至多只能用部A型抽水机抽水.9.如图,平行四边形ABCD周长为75厘米.以BC为底时高是14厘米,以CD为底时高是16厘米.那么平行四边形ABCD的面积为.10.小明与小亮同住在一幢楼,他们同时出发骑车去郊外看王老师,又同时到达王老师家.但途中小明休息的时间是小亮骑车时间的,而小亮休息的时间是小明骑车时间的,则小明和小亮骑车的速度比是.二、解答题11.某车间有三个小组,甲组比乙组多3人,乙组比丙组多4人;甲组每人每天比乙组每人每天少生产2个工件,乙组每人每天比丙组每人每天少生产5个工件;又知甲组每天比乙组多生产9个工件,乙组比丙组多生产5个工件,问各组有多少人,每人每天生产多少个工件?12.如图,在矩形ABCD中,放入六个形状、大小相同的长方形,所标尺寸如图所示.试求图中阴影部分的总面积.13.甲、乙、丙三个业主,在同一公司购得相同货物,甲购得12包鞋、7包夹克、17包裤子,用一个集装箱发回,货款及运费共付1012万元.乙和丙发货时每包运费为2000元,乙购得5包鞋、6包夹克、4包裤子,共付货款及运费453万元.乙和丙付的运费是甲所付运费的.丙每样货购一包,丙付货款及运费共多少元?14.某校运动会在400米环形跑道上进行一万米比赛,甲、乙两运动员同时起跑后,乙速超过甲速,在第15分钟时甲加快速度,在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙,在第23分钟时,甲再次追上乙,而在第23分50秒时,甲到达终点,那么乙跑完全程所用的时间是多少分钟?十方程组(2)年级班姓名得分一、填容题1.甲数比乙数多15,当甲数减少28,乙数增加28以后,这时甲数是乙数的,原来甲数比乙数多%.(百分号前保留两位小数)2.某校六年级学生为校运动会制做了红蓝两色的花束580支,其中红色花束的与蓝色花束的是由一班同学制做的,其余的448支是由其它几个班同学制做的,那么一班同学制做了支红色花束.3.一个六位数它能被9和11整除,去掉这个六位数的首、尾两个数字,中间的四个数字是1997.那么这个六位数是.4.2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的,8个蟹将和10个虾兵就能打扫完全部龙宫.如果是单让蟹将去打扫,与单让虾兵去打扫进行比较,那么要打扫完全部龙宫,虾兵比蟹将要多个.5.甲、乙、丙、丁四人,每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29、23、21和17.这四人中最大年龄与最小年龄的差是.6.商店里有大、小两种书包.买大书包4个,小书包6个,需392元;买大书包7个,小书包3个,需416元;买小书包9个,大书包1个,需元.7.甲、乙两邮递员分别A,B两地同时以匀速相向而行,相遇时甲比乙多走18千米,相遇后甲走4.5小时到达B地,乙走8小时到达A地,那么A,B两地的距离是.8.一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀.如果同时打开进水阀一个排水阀,则30分钟能把水池的水排完;如果同时打开进水阀及两个排水阀,则10分钟把水池的水排完.那么,关闭进水阀并且同时打开三个排水阀,需分钟才能排完水池的水.x 19 99 9.如图所示,在3(3的方格内已填好了两个数19和99,可以在其余空格中填上适当的数,使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数和都相等.则x=.10.甲、乙二人同时从A地出发,经过B地到达C地,甲先骑自行车达B地,然后步行,乙先步行到B地,然后骑自行车,结果二人同时到达C 地.已知甲乙二人的步行速度分别为4千米/时和3千米/小时,骑自行车的速度都是15千米/小时.那么甲从A地到C地的平均速度是千米/小时.二、解答题11．从甲地到乙地的公路,只有上坡路和下坡路,没有平路.一辆汽车上坡时每小时行驶20千米,下坡时每小时行驶35千米.车从甲地开往乙地需9小时,从乙地到甲地需小时.问:甲、乙两地间的公路有多少千米?从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路?12.如右图,AD、BE、CF把△ABC分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图上标明,试求△ABC的面积.(单位:平方厘米)13.某校初一有甲、乙、丙三个班,甲班比乙班多4个女同学,乙班比丙班多1个女同学,如果把甲班的第一组调到乙班,乙班的第一组调到丙班,丙班的第一组调到甲班,则三个班女生人数相等.已知丙班第一组有2个女同学.问甲、乙两班第一组各有女同学多少人?14.一水池有A、B两个进水龙头和一个出水龙头C,如果在水池空时同时将A、C打开,2小时可注满水池;同时打开B、C两龙头3小时可注满水池.当水满时,先打开C,7小时后把A、B同时打开(C仍开着),1小时后水池可注满.那么单独打开A,几小时可注满水池?———————————————答案——————————————————————1.依题意,得,所以,解得a=222,b=165,故.2.1800设甲、乙原来分别存款x元、y元,依题意,得解得所以现在两人共存款(900)(元).3.设第一个数是x,第二个数是y,则八个数依次为由解得4.64,36设故事书有x本,科技书有y本,依题意,得解得.5.19因为,所以,推知,.故.6.2.643(-2(②得:本+笔+尺=2.46(元)7.甲、乙、丙三人1小时的工作效率分别用甲、乙、丙表示,则甲+乙=,乙+丙=,甲+丙=.所以,甲+乙+丙=.甲、乙、丙合做还需(小时).8.12解:设每部抽水机每天抽水a个单位,泉水每天涌出b个单位,一满池水S个单位,用x部抽水机时,一满池水永远抽不干,依题意得:(2)-(1)整理得b=12a,代入(3)得.故要使这一池水永远抽不干,至多只能用12部抽水机抽水.9.280平方厘米由平行四边形面积公式知AE(BC=AF(CD,即14BC=16CD又2((BC+CD)=75联立、解得BC=20,CD=17.5.因此,平行四边形ABCD的面积为14BC=280(平方厘米).10.设小明休息时间为x小时,小亮休息时间为y小时.小明、小亮骑车速度分别为乙1千米/小时、乙2千米/小时,依题意,得由得2x=3y即y=.代入得.所以.11.设丙组x人,甲组每人每天生产y个工件,则乙组x+4人,甲组(x+4)+3=x+7人;乙组每人每天生产y+2个工件,丙组每人每天生产(y+2)+5=y+7个工件,依题意,得解得x=11,y=13.所以x+4=15,x+7=18;y+2=15,20.答:各组分别有18,15,11人,每人每天生产13,15,20个工件.12.设小长方形的长为x,宽为y,依题意得解得x=8,y=2.则AD=6+2y=6+2(2=10.矩形ABCD面积=14(10=140(平方厘米).阴影部分总面积=140-6(2(8=44(平方厘米).13.乙付运费0.2((5+6+4)=3(万元),付货款453-3=450(万元).丙付运费0.2(3=0.6(万元),甲付运费(3+0.6)(万元),甲付货款1012-6=1006(万元).由甲、乙付的货款,得6((1)-7((2):37鞋+74裤=2886鞋+2裤=78(3)(1)-5((3):7鞋+7夹克+7裤=616鞋+夹克+裤=88所以丙付货款及运费共88+0.6=88.6(万元).14.设出发时甲速度为a米/分,乙速度为6米/分.第15分钟甲提高的速度为x米/分,所以第15分钟后甲的速度是(a+x)米/分.依题意,到第15分钟时,乙比甲多跑15(b-a)米,甲提速后于3分钟(即第18分钟)追上乙,所以(a+x-b)(3=15(b-a)接着甲又跑了5分钟(即第23分钟),已经超过乙一圈(400米)再次追上乙,所以(a+x-b)(5=400到了第23分50秒时甲跑完10000米,这10000米前15分钟是以速度a跑完,后面分钟是以速度a+x跑完的,所以15a+((a+x)=10000解,②得b-a=16米/分钟,x=96米/分钟.代入a=384米/分钟,所以b=400米/分钟.乙是一直以400米/分钟的速度跑完10000米的,所以乙跑完全程所用的时间是25分钟.———————————————答案——————————————————————1.11.03设甲、乙两数分别为x、y,依题意,得解得x=151,y=136.甲比乙多(151-136)(136(11.03%2.80设红色花束共有x支,蓝色花束共有y支,依题意,得解得x=320,y=260.所以一班制做的红色花束320(=80(支).3.219978设这个数为.由能被9整除,推知a+b=1或10;由能被11整除,推知a-b=5或b-a=5.综上求得a=2,b=8.4.18设1个蟹将、1个虾兵打扫的工作量分别为x、y,依题意,得解得.因此,单让蟹将打扫全部龙宫需要=12(个),单让虾兵打扫全部龙宫需要(个),则虾兵应比蟹将多用30-12=18(个).5.18设四人的年龄分别是x、y、z、w.依题意,得所以比较,②,③,④易知z6.3682(-①得,10大=440.所以每个大书包44元,代入,解得每个小书包36元.所以,9小+1大=36(9+44(1=368(元).7.126千米设甲速为a千米/时,乙速为b千米/时,A,B两地的距离为2S,依题意有由,②得.由得.所以,所以,所以S=63(千米),2S=126(千米)8.5设水池容量为A,每个排水阀每分钟排水量为x,进水阀每分钟进水量为y,于是A=(x-y)(30A=(2x-y)(10即30x-30y=20x-10y或10x=20y,即x=2y.于是A=30y.30y(3x=30y(6y=5(分钟).179a xbcd 19 99如图,依题意有+②整理,得x=179.10.设AB=a,BC=b,依题意可知,甲、乙二人从A到C所用时间相等,即,整理得a=.因此,甲从A到C的平均速度是(千米/时)11.设从甲地到乙地的上坡路为x千米,下坡路为y千米.依题意得:②于是(x+y)()=16.5.所以,x+y=210.将y=210-x代入式, 得,即,解得x=140(千米).12.设因为.所以40:30=(40+84+x):(30+35+y),整理得4y-3x=112又因为所以35:y=(35+30+40):(84+x+y)整理得70y-35x=2940由、解得x=56,y=70又因为所以=315(平方厘米)13.设丙班有n个女同学,甲班第一组有x个女同学,乙班第一组有y 个女同学,则乙班原有n+1个女同学,甲班原有n+5个女同学,依题意,列出方程(n+5)-x+2=(n+1)-y+x=n-2+y7-x=1-y+x=y-2即解得x=5,y=4.答:甲班第一组有5个女同学,乙班第一组有4个女同学.14.设单独打开A、B龙头(或C龙头),分别可在x、y(或z)小时内注满水池(或放尽池水),依题意,得②,()③或(z<7)联立、、解得联立、、解得答:当独打开C龙头放完一池水所需时间不少于7小时(事实上为小时)时,单独打开A龙头,小时可注满水池,当单独打开C龙头放完一池水所需时间少于7小时(事实上为6小时)时,单独打开A龙头,小时可注满水池.D F A B CBCD14cm 6cm ABC D E F O 84 403035①②①②①②③④①②①②③①②。
小学六年级奥数专项阶段训练题
小学六年级奥数专项阶段训练题第一阶段1.自然数：将14个互不相同的自然数，从小到大依次排成一列，已知它们的总和是170，如果去掉最大数和最小数，那么剩下的总和是150，在原来排成的次序中，第二个数是多少?2.等距：甲、乙、丙三人依次相距280米，甲、乙、丙每分钟依次走90米、80米、72米.如果甲、乙、丙同时出发，那么经过几分钟，甲第一次与乙、丙的距离相等?3.乒乓球装盒：售货员把29个乒乓球分装在5个盒子里，使得只要顾客所买的乒乓个数小于30，他总可以恰好把其中的一盒或几盒卖出，而不必拆盒。
问这5个盒子里分别装着多少个乒乓球?4.骑车过桥：胡老师骑自行车过一座桥，上桥速度为每小时12千米，下桥速度为每小时24千米，而且上桥与下桥所经过的路程相等，中间也没有停顿，问胡老师骑车过这座桥的平均速度是多少?5.号码：号码分别为2005，2006，2007，2008的4名运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的场数是他们号码的和被4除所得的余数。
那么，2008号运动员赛了多少场?6.交换顺序：任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999?7.存款：小李现有一笔存款,他把每月支出后剩余的钱都存入银行。
已知小李每月的收入相同,如果他每月支出1000元，则一年半后小李有存款8000元(不计利息);如果他每月支出800元，则两年后他有存款12800元(不计利息).小李每月的收入是元,他现在存款多少元?8.龟兔赛跑：龟兔赛跑，全程5.2千米，兔子每小时跑20千米，乌龟每小时跑3千米，乌龟不停地跑;兔子边跑边玩，它先跑了1分钟后玩了15分钟，又跑了2分钟后玩15分钟，再跑3分钟后玩15分钟，.......那么先到达终点比后到达终点的快多少分钟?9.商品成本：甲、乙两种商品成本共200元。
商品甲按30%的利润定价，商品乙按20%的利润定价。
后来两种商品都按定价的九折销售，结果仍获得利润27.7元。
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买3千克茶叶和5千克糖，一共用去420元，买同样的2千克茶叶比5千克糖贵130千克，每千克茶叶和每千克糖各多少元？
两堆煤，甲堆重量是乙堆的4倍，甲堆运走60吨，乙堆运走16吨，剩下甲堆的重量是乙堆的5倍，原来各有煤多少吨？
有三盒粉笔共107支，如果第一盒拿走2支，第二盒拿走5支，第三盒拿走一半，剩下的三盒就一样多，原来三盒粉笔各有多少支？
一个直角三角形的两条直角边分别是4厘米和6厘米，，在这个三角形中画一个最大的正方形，求正方形的面积。
一个正方形如果边长增加4厘米，面积就增加200平方厘米，求原正方形面积。
有一个首位数为1的六位数，如果把首位数移动到最后一位，其余5个数顺序不变，则新数是原数的3倍，求原数是多少？
商店以每双6.5元购进一批凉鞋，售价每双7.4元，卖到还剩5双时，获利44元，这批凉鞋共多少双？
两种饮水容器若干个，一种容量12升，另一种容器15升，共装水153升，其中15升容器多少个？
六年级数学考试，全年级平均分91分，其中男生平均分93分，女生平均分88分，男生和女生人数比是多少？
一根电线，用去全长的3
1还多4米，这时剩下的比用去的多10米，这根电线长多少米？
某班有学生若干人，如果女生减少41，全班就减少到36人，如果男生增加4
1，全班人数就达到46人，这个班原来有多少人？
一个长方形周长100厘米，如果长延长31，宽延长4
1，周长就增加30厘米。
这个长方形原来的面积是多少？
某班有学生若干人，若男生减少3人，男生人数就是女生人数的5
3，若女生减少3人，女生人数就是男生的2
3，这个班原有人数是多少？
某校学生男生人数的116等于女生人数的137，男生人数的71比女生人数的6
1少4人，这个学校共有学生多少人？
有人用车把米从甲地运到乙地，重车每日行50里，空车每日行70里，5日往返三次，两地相距多少里？
有一个分数，分子加上3可约分为75，分子减去3可约分为2
1，求这个分数。
有一个分数，如果分子加上１６，分母减去１６６，那么约分后是4
3；如果分子加上１２４，分母加上３４０，那么约分后是2
1。
求原来这个分数。
李师傅加工一批零件，如果每天做50个，要比原计划晚8天完成；如果每天做60个，就可以提前5天完成。
这批零件共有多少个？
100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。
问：大、小和尚各有多少人？
传说有九头一尾的九头鸟和九尾一头的九尾鸟。
有一次这两种鸟栖息在树林里，一位猎人经过此地数了数，这两种鸟头共268个，尾332个，那么有九头鸟和九尾鸟各多少只？
一个三位数除以11所得的商等于这个三位数各位数码之和，这个三位数是（）。
红、黄、白、蓝卡片各一张，每张上写有一个数字，小明将这四张卡片如下图放
字之和的10倍的差。
小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是5544。
那么，红、黄、蓝三张卡片上的数字分别是（）。
学校把414棵树苗按各班的人数分给六年级三个班。
一班和二班分得树苗的棵数比是2：3，二班和三班分得树苗的棵数比是5：7，求每个班各分得树苗多少棵？
甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行，如果甲比乙先出发2小时，那么它们在乙出发2.5小时后相遇，如果乙比甲先出发2小时，他们在甲出发3小时后相遇，问甲、乙两人每小时各自多少千米？
已知甲数的2倍比乙数大30，乙数的3倍比甲数的4倍少20，求甲乙两数。
将1~9这九个数分别填入图中○内,使每条线段三个数的和相等且和值最大.
在一次足球选拔赛中，有12支球队参加选拔，每一队都要与另外的球队比赛一场，积分规则为：胜一场记3分，平场记1分，输一场记0分。
比赛结束时，某球队所胜场数是所负场数的2倍，共得20分，问这支球队胜、负各几场？
有甲乙两列火车，甲车长190米，乙车长170米，分别在平行的两条转道上相向而行，已知两车自车头相遇到车尾相离，经过6秒，甲乙两车的速度比为2：3，求两车的速度。
某车间要在一天内完成一项生产任务，若每人生产12个零件，还差20个零件不能完成；若每人生产14个零件就比规定的多生产12个零件，问规定的任务是多少个？该车间有多少名工人？
鸡兔共有脚100只,若将鸡换成兔,兔换成鸡,则共有脚92只,则鸡兔各有多少只？
刘璐从家到学校上课，开始时以每分钟走50米的速度走了2分钟。
这时她发现，如果再按这个速度走下去，则要迟到8分钟。
于是她立即加快速度，每分钟走60米，结果早到了5分钟。
233418x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩
⎩⎨⎧=+=-1464534y x y x ⎩⎨⎧=-=+12354y x y x。