第一讲三角形基本概念

第一讲：三角形的基本定义 一、认识三角形 1、三角形的定义：

由不在同一条直线上的三条线段首位顺次连接而组成的图形叫三角形。

如图，三角形ABC 表示为△ABC ，与点A 相对的边可表示为线段a ；直角三角形ABC 可表示为Rt △ABC

2、三角形的分类

(1)按角分

① 锐角三角形：三个内角均为锐角 ② 直角三角形：有一个角是直角 ③ 钝角三角形：有一个角是钝角

(2)按边分

① 不等边三角形：三边均不相等

②

等腰三角形：有两边相等的边(特殊：等边三角形) 3、三角形的基本性质：

(1)两边之和大于第三边;两边之差小于第三边：a-b ＜c ＜a+b (2)三个内角和为180°：∠A+∠B+∠C=180° (3)三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。 (4)直角三角形的两个锐角互余。

(5)三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和。（三角形的一条边与另一条边延长线组成的角，叫做三角形的外角） 4、三线：

(1)三角形的中线：连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段；三角形一共有三条中线，交于三角形内部一点

(2)三角形的角平分线：三角形内角的角平分线交对边于一点，这点与角的顶点间的线段；三角形共有三条角平分线，交于三角形内部一点。

(3)三角形的高线：从三角形的顶点向对边作垂线，垂线段叫做三角形的高。三角形共有三条高线，锐角三角形三高交于三角形内部一点，直角三角形三高交于直角顶点，钝角三角形三边的延长线交于三角形外部一点

请画一个钝角三角形的三条高

A

B

C

a

b

c

典型例题一：三角形角的关系

例1：已知：如图1,D 是BC 上一点, ∠C ＝62°,∠CAD ＝32°,则 ∠ADB ＝ 度. 此题的依据：

例2：（2013•湘西州）如图2，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD ＝ 度

例3：（2013•昭通）如图3，AB ∥CD ，DB ⊥BC ，∠2=50°，则∠1＝ 度

例4：在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3， ③∠A=900－∠B ， ④∠A=∠B=1

2 ∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个 典型例题二：三角形三边的关系

例1：以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ）

A 、4cm 、5cm 、6cm

B 、2cm 、3cm 、5cm

C 、4cm 、4cm 、9cm

D 、12cm 、5cm 、6cm 例2：（2013•南通）有3cm ，6cm ，8cm ，9cm 的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数是

例3：为估计池塘两岸A 、B 间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P ，测得PA=16m ，PB=12m ，那么AB 间的距离不可能是（ ）。

A ．5m

B ．15m

C ．20m

D ．28m 例4：一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数．则这个三角形的 周长为 变式训练

1、已知ABC △的三边长a b c ，，，化简a b c b a c +----的结果是（ ） Ａ．2a

Ｂ．2b -

Ｃ．22a b +

Ｄ．22b c -

2、一个等腰三角形两边的长分别是15cm 和7cm 则它的周长是__________．

3、一个等腰三角形两边的长分别是15cm 和8cm 则它的周长是__________． 典型例题三：三角形的稳定性：

例1：木工师傅作一木制矩形门框时，常需在其相邻两边之门钉上一根木条，他这样做的目的

是 ，其中所涉及的数学道理是

. 典型例题四：三角形的三线之中线：

例1：（2008•黔东南州）如图，学校有一块三角形空地（即△ABC ），现准备将它分成面积相等的两块地，栽种不同的花草，请你把它分出来．

例2：如图，在三角形ABC 中，AD 是BC 边上的中线，三角形ABD 的周长比三角形ACD 的周长小5，你能求出AC 与AB 的边长的差吗？

例3：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，△ADC 的周长比△ABD 的周长多5cm ，AB 与AC 的和为11cm ，求AC 的长．

例4：已知等腰三角形ABC 一腰AC 上的中线BD 将三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，求这个三角形的腰长．

典型例题五：三角形三线之高线

例1：在下图中，正确画出AC 边上高的是（ ）．

E

B

A

C C A B

C

A B

C

A B

E E

E

（A ） （B ） （C ） （D ）

例2：下面说法错误的是 ( )

A．三角形的三条角平分线交于一点 B．三角形的三条中线交于一点

C．三角形的三条高交于一点 D．三角形的三条高所在的直线交于一点

例3：如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.锐角

例4：在△ABC中，高线BD，CE相交于点H，若∠A=60°，则∠BHC= 度

补充多边形内角和公式：

典型例题六：三角形三线之角平分线

例1：已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数．

例2：△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．

例3：如图，△ABC的三条角平分线交于I点，AI交BC于点D．求证：∠CID+∠ABI=90°