直梁的弯曲

B x
RB=2F
F
C33 M3 Q3 F RA 2F
RA
3 Q3 M3 F 2a RA a 3Fa
截面4-4
M4
4C4
Q4 RB 2F
Q4 4
RB M 4 RB a 2Fa
例3. 求图示简支梁 x 截 y
q
面的剪力和弯矩。
A
x
解：求支座反力
B
X 0 RAx 0
x
l
q
30
【例1】简支梁在C处受集中载荷P作用，试画出它的 弯矩图。
Q Q P Q=P>0
P Q=P>0
P
Q
Q
Q=-P<0
P Q=-P<0
左上右下为正，左下右上为负
弯矩计算法则：梁在外力作用下，其任意截 面上的弯矩等于该截面一侧所有外力对该截面中 性轴取矩的代数和。
凡是向上的外力，其矩取正值；凡是向下的 外力，其矩取负值；若梁上有集中力偶，截面左 侧顺时针方向的力偶或截面右侧逆时针方向的力 偶取正值，反之取负值。
RB 2F RA F
y
Me =5Fa
F
1A2 3 4
1 2 34
a
a
RA=-F 2a
截面1-1
F
C11
M1
1 Q1 截面2-2
F
C2 2 M2
RA 2 Q2
Q1 F
M1 Fa
Q2 2F
M 2 Fa
B x
RB=2F
y F
截面3-3
Me =5Fa
1A2 3 4
1 2 34
a
a
RA=-F 2a
Y 0
A
RAy ql RB 0 RA
B
M 0
x
RAy
l
RB
l ql 2 RAy l 0
RAy RB ql / 2
求剪力和弯矩
y
q
A
x
B
RAyx
l
RB
Q RAy qx ql / 2 qx
M
RAy x
qx
1 2
x
1 qlx 1 qx2 qx (l x)
22
2
弯矩方程与弯矩图
直梁的弯曲
1
拉（压）杆：承受轴向拉、压力
轴
：承受扭矩
墙
桥板 梁：承受横向力
楼板
工程实际中的弯曲问题
P
P
P
P
梁的弯曲实例与概念
受力特点：力垂直于构件的轴线(力偶在轴线平面)； 变形特点：杆的轴线将由直线变成曲线 以弯曲变形为主的杆件在工程上统称为梁。
4
桥式吊车
5
火车轮轴
6
车削工件
7
纵向对称面：通过梁的轴线和截面对称轴的平面。 矩形截面梁有一个纵向对称面
纵向对称面
工程中的梁一般都有纵向对称面，如：矩形、 圆、环、工字、T形截面梁。
平面弯曲：具有纵向对称面的梁，当梁上的外
力均垂直于梁的轴线，并作用在纵向对称面内， 梁的轴线将弯成此平面内的一条平面曲线，这种 弯曲称为平面弯曲。
平面弯曲的概念
P
M
q
RA
RB
①梁有纵向对称面；
②载荷均作用在纵向对称面内，各个力垂直梁轴线；
集中力偶 T T
集中力 P
均匀分布力 非均匀分布力 分布力
T
还有支座反力
梁的外力、梁的支座及分类
2. 支座
A
A
A
a)活动铰 链支 b) 固 定 铰 链 支
座
座
c) 固 定 端
3. 梁的类型 ①简支梁 ：一端是固定铰链支座，另一端是活动铰
链支座。
②外伸梁：一个固定铰链支座和一个活动铰链支 座，有一端或两端伸出支座以外
M1 qlx1
（2）求2-2截面弯矩。
M2
1 2
q(x2
a)2
qlx2
q(x2-a)
(x2-2a3 )/2
例2 求图示外伸梁在截面1-1、2-2、3-3和4-4横截
面上的剪力和弯矩。
y
Me =5Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
RA
2a
RB
解：支座反力为
M A 0 RB a 5Fa F 2a RAa 0 Y 0 RB RA F
③悬臂梁：一端固定，另一端自由。
4. 梁支座反力
利用静力学平衡方程求支座反力：
X 0, Y 0, M 0
y
RAx A
P
Bx
X 0 Y 0
MA 0
RAy
RAx 0
l/2
l
RAy RBy P 百度文库0
RBy l P l / 2 0
RBy
RBy P / 2 RAy P / 2
4. 梁支座反力
画弯矩图时，先要建立弯矩方程，再根据弯矩方程 画弯矩图。
一、弯矩方程
弯矩一般随着梁的截面位置x而变化，M是x函数， 用函数关系式表示：
M=f(x) ——弯矩方程
29
二、弯矩图
以横坐标x表示梁 的截面位置，纵坐 标表示弯矩所做图 形成为弯矩图。
在机械工程中习惯将：正弯矩画在x轴上面，负弯 矩画在x轴下面。
下凹为正，上凸为负
+
_
【例】有一简支梁AB，梁上有集中载荷P，求截面上 1-1与2-2的内力。
18
（1）以梁为研究对象，先求支座反力RA、RB
mA (F ) 0 RBl Pa 0
RB
Pa l
Fy 0 RA RB P 0
l a
RA P RB P l
19
（2）用截面法求1-1上的内力。 内 力 Q1— 剪 力 （ 平 行 横 截 面 ）
21
a
Fy 0 RA P Q2 0
Q2 RA P 注意这里Q2为负
mO (F ) 0 M 2 RA x2 P(x2 a) 0
M2 RAx2 P(x2 a) 思考：如果取右半段如何？ 数值相同，方向相反
22
例1用简便方法求梁截面1-1、2-2处的弯矩。
解 （1）求1-1截面弯矩。 截开取左侧，弯矩 一律按正向画
yq
Rx
MA
A
l
Bx
Ry
X 0 Rx 0
Y 0 Ry q l 0 Ry ql
MA 0
M
A
ql
l 2
0
M
A
1 2
ql 2
梁弯曲时横截面上的内力分析
梁横截面上的内力仍用截面法求。
剪力计算法则：梁任一横截面上的剪力等于该截面 一侧（左侧或右侧都可）所有横向外力的代数和。
截面左侧向上的外力和截面右侧向下的外力取正值； 截面左侧向下的外力和截面右侧向上的外力取负值。
Fy 0 RA Q1 0
Q1 RA
20
内力偶矩M1—弯矩(在纵向对称 面内，作用在横截面上)
mO (F ) 0 M1 RA x1 0
O — 横截面的形心
M1 RA x1
（3）用截面法求2-2上的内力。 截面2-2上也有剪力弯矩
Fy 0
RA P Q2 0
Q2 RA P
③变形后梁的轴线在纵向对称面内弯成平面曲线。
平面弯曲是工程中最常见也是最简单的一种弯曲。本
章讨论平面弯曲。
10
梁的外力、梁的支座及分类
1. 外力
（1）集中力P 作用面积很小时可视为集中力（N）
（2）分布力q 沿梁轴线分布较长（N/m）
（3）集中力偶m 力偶的两个力分布在很短的一段梁上 （Nm）
q(x) q