直梁的弯曲
工程力学第八章 直梁弯曲
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁
直梁的弯曲
截面上有绝对值最大的弯 矩，其值为
M 15kN m max
例题分析
例题4-1：管道托架如图所示，如AB长为l，作用在其上的 管道重P1与P2，单位为kN，a、b、l以m计。托架可简化 为悬臂梁，试画出它的弯矩图。
例题分析
例题4-2：卧式容器可以简化为受均布载荷的外伸梁，如图 所示受均布载荷q作用的筒体总长L，试作出其弯矩图，并 讨论支座放在什么位置使设备的受力情况最好。
解：(1)共分三个受力段， 如图建立坐标系yAx．
(2)求支座反力RC、RD RC＝RD ＝0.5qL
例题分析
(3)列弯矩方程，画弯矩图
例题分析
解：共分为三个受力段，取 梁左端A为坐标原点，建立 坐标系，如图：
•分段列弯矩方程，画弯矩图：
M1=0 (0≤x1 ≤ a)
M
M2=－P1 (x2 －a)
(a ≤ x2 ≤ b)
M3=－P1 (x3 －a) －P2 (x3 －b)
(b ≤ x3 ≤ l)
x
x
-
－P1 (b －a) －P1 (l －a) －P2 (l －b)
bh2
IZ 12
WZ 6
IZ
D 4
64
(1
4)
WZ
D3
32
(1
4)
截面几何量Iz 与Wz
其它截面形状的Iz 和Wz（参见表４－２）
对各种型钢，Iz 和Wz值可从有关材料手册中查到
❖结论：１）梁在弯矩相同的截面上， Iz 和Wz值 越大， σmax越小，因此设计梁的截面形状时，要 尽量使Iz 和Wz值大； ２）梁在弯矩相同的截面上， Iz和Iy可能不同，Wz 和Wy可能不同，因此若将梁沿轴向转90º，其承载 能力不同。
工程力学第八章__直梁弯曲
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
直梁的弯曲及组合变形与压杆稳定——教案
直梁的弯曲及组合变形与压杆稳定——教案一、教学目标：1. 让学生了解直梁弯曲的基本概念，掌握梁弯曲的弹性理论。
2. 使学生理解组合变形及压杆稳定的基本原理，能够分析实际工程中的相关问题。
3. 培养学生的动手实践能力，通过实例分析提高学生解决工程问题的能力。
二、教学内容：1. 直梁弯曲的基本概念：直梁、弯曲、剪力、弯矩等。
2. 梁弯曲的弹性理论：弯曲应力、弯曲变形、弯曲强度计算等。
3. 组合变形：拉伸、压缩、弯曲、剪切等组合变形的分析方法。
4. 压杆稳定的基本原理：压杆稳定条件、压杆失稳现象、压杆稳定计算等。
5. 实例分析：分析实际工程中的直梁弯曲、组合变形与压杆稳定问题。
三、教学方法：1. 采用讲授与讨论相结合的方式，让学生掌握直梁弯曲及组合变形与压杆稳定的基本理论。
2. 通过案例分析，使学生能够将理论知识应用于实际工程问题。
3. 利用动画、图片等辅助教学手段，帮助学生形象地理解抽象的概念。
4. 安排课堂讨论，鼓励学生提问、发表观点，提高学生的参与度。
四、教学安排：1. 课时：本章共计12课时。
2. 教学方式：讲授、案例分析、课堂讨论。
3. 教学进程：第1-4课时：直梁弯曲的基本概念及弹性理论。
第5-8课时：组合变形及压杆稳定的基本原理。
第9-12课时：实例分析及练习。
五、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，给予相应的表现评价。
2. 课后作业：布置相关练习题，检验学生对知识的掌握程度。
3. 课程报告：要求学生选择一个实际工程案例进行分析，报告应包括问题分析、计算过程和结论。
通过课程报告评价学生的实践能力。
4. 期末考试：设置有关直梁弯曲、组合变形与压杆稳定的题目，考察学生的综合运用能力。
六、教学资源：1. 教材：《材料力学》、《结构力学》等相关教材。
2. 辅助材料：PPT课件、动画、图片、案例资料等。
3. 实验设备：力学实验仪、弯曲实验装置、压杆实验装置等。
4. 网络资源：相关学术期刊、在线课程、论坛等。
《汽车机械基础》第六章直梁的弯曲
灌南中专教师授课教案2018 /2019 学年第一学期课程汽车机械基础教学内容旧知复习：1.圆轴扭转的概念。
2.圆轴扭转的外力偶矩、扭矩的计算方法。
3.圆轴扭转的强度计算方法。
讲授新课：第六章材料力学基础第5节直梁的弯曲一、平面弯曲的概念1. 平面弯曲在工程实际中，把发生弯曲变形为主的构件称为梁，如跨江大桥两桥墩之间的横梁、汽车前梁等。
梁在自重和载荷的作用下会产生平面弯曲变形。
梁弯曲变形的受力特点：外力垂直于轴线或在轴线的平面内受到力偶的作用。
变形的特点：轴线在纵向对称平面内由直线弯曲成曲线。
2. 梁的基本类型根据支座对梁的约束，将梁简化为三种基本形式。
（1）简支梁梁的两端均用铰链支座约束，一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座，如图6-26a所示。
（2）外伸梁简支梁的一端（或两端）伸出支座以外，如图6-26b所示。
（3）悬臂梁梁的一端为固定支座，另一端为自由端，如图6-26c所示。
3.载荷的简化作用在梁上的载荷可简化为以下三种形式。
（1）集中力集中力是将作用于梁上方的长度很短的力简化为作用于一点的力，单位为N或kN。
（2）集中力偶矩集中力偶矩是将作用于梁上方的长度很短的力偶矩简化为作用于某一截面的集中力偶矩，单位为N·m或kN·m。
（3）分布载荷分布载荷是指沿梁的长度或部分长度连续均匀分布的载荷，称为分布载荷。
单位长度上的力用q表示，称集度载荷，单位为N/m或kN/m。
二、梁弯曲变形的内力1.用截面法求梁的内力为了计算梁的强度，必须研究梁上各截面上的内力，分析内力和计算内力的方法仍旧采用截面法。
例6-8剪力和弯矩的大小、方向或转向的确定原则如下：（1）截面上剪力的大小等于此截面以左（或右）所有外力的代数和。
截面左侧的外力，向上取正号，向下取负号。
截面右侧的外力与此相反。
（2）截面上弯矩的大小等于此截面以左（或右）所有外力对该截面形心的力矩的代数和。
截面左侧的外力对截面形心的力矩顺时针转向为正，反之为负。
机械工程基础课件单元五直梁弯曲
一、弯曲概念
直梁弯曲
5.1 平面弯曲及工程实例
弯曲受力特点： 受横向外力或位于纵向平面内的外力偶作用
弯曲变形特点： 杆的轴线由直线弯成曲线 主要承受弯曲变形的杆称为梁
F
A B A
Me
B
单元五
直梁弯曲
厂房立柱
单元五
直梁弯曲
厂房行车
单元五
直梁弯曲
车床轴
单元五
对称弯曲：
直梁弯曲
① 梁至少具有一个纵向对称面
FRA
ql/2
x
l
FRB
ql M max 8
2
+
ql/2
但此截面上 FS= 0 两支座内侧横截面上剪力绝 对值为最大
F
F
l
悬臂梁
F
l
单元五
梁的力学模型的简化
直梁弯曲
（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
集中力
（2）载荷类型 集中力偶 分布载荷 （3） 支座的类型 可动铰支座
A A
A
A
FRA
单元五
A
直梁弯曲
固定铰支座
FRAy
A A
FRAx A
固定端 FRy FRx M
单元五
5. 2 梁的内力及内力图
1.内力计算 例5.1 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
单元五
5.2.2 剪力和弯矩方程
q
直梁弯曲
剪力图和弯矩图
x
x
l
剪力方程： 描述梁的剪力沿梁轴线变化规律的函数关系，记作
FS FS x
弯矩方程： 描述梁的弯矩沿梁轴线变化规律的函数关系，记作
直梁弯曲实验报告
直梁弯曲实验报告直梁弯曲实验报告引言：直梁弯曲实验是力学实验中的一种基础实验，通过对直梁在外力作用下的变形情况进行观察和测量，可以研究材料的力学性质和结构的稳定性。
本实验旨在通过对直梁弯曲实验的设计和实施，探究直梁的弯曲变形规律，从而深入了解材料的力学性质。
实验设计：本次实验采用了一根长度为L的直梁，材料为均匀的钢材。
实验中，我们将直梁固定在两个支点上，然后在梁的中间位置施加一个向下的力F。
通过改变施加力的大小和梁的长度，我们可以观察到直梁的变形情况，并记录相应的数据。
实验步骤：1. 准备工作：将直梁清洁干净，并测量直梁的长度L。
2. 固定直梁：将直梁的两端分别固定在两个支点上，确保直梁处于水平放置的状态。
3. 施加力：在直梁的中间位置施加一个向下的力F，注意控制力的大小和方向。
4. 观察变形：通过肉眼观察和测量工具，记录直梁在受力后的变形情况，包括梁的挠度、变形形状等。
5. 数据记录：将观察到的数据记录下来，并进行整理和分析。
实验结果：根据实验数据的记录和整理，我们得到了直梁在受力后的变形情况。
通过观察和分析，我们发现直梁的挠度与施加力的大小成正比，与梁的长度L的平方成反比。
这表明直梁的弯曲变形与施加力和梁的长度有密切关系。
讨论与分析：通过对直梁弯曲实验的观察和数据分析，我们可以得到一些有关材料力学性质的结论。
首先，弯曲变形是材料受力后的一种常见变形形式，可以用来评估材料的强度和刚度。
其次，直梁的弯曲变形与施加力和梁的长度有密切关系，这与材料的弹性模量和截面惯性矩有关。
最后，通过对直梁的弯曲变形进行观察和测量，可以进一步研究材料的力学性质和结构的稳定性。
结论：通过本次直梁弯曲实验，我们深入了解了材料的力学性质和结构的稳定性。
通过观察和测量直梁在受力后的变形情况，我们发现直梁的挠度与施加力的大小成正比，与梁的长度L的平方成反比。
这些结论对于研究材料的力学性质和设计结构的稳定性具有重要意义。
展望：本次实验只是直梁弯曲实验的基础研究，还有很多相关的实验和研究可以展开。
《过程设备设计基础》1.3直梁的弯曲8
一、梁的弯曲实例与概念
1
梁的基本形式
a.简支梁:一端固定铰链，另一端活动铰链. b.外伸梁：简支梁一端或两端伸出支座以外. c.悬臂梁：一端固定，另一端自由.
二、梁横截面上的内力
（方法：外力—内力—应力—强度条件和刚度条件） (一)剪力和弯矩 (二)弯矩方程与弯矩图
2
三、弯曲时横截面上的正应力及其分布规律
max
M max WZ
材料远离中性轴
bh2 1 A h 6 6 hb2 1 Ab 6 6
WZ A
矩形0.167h,圆形0.125h,环形0.205h,工字钢和槽钢(0.27～0.31)h 7
W z1 Wz 2
六、梁的弯曲变形
（一）梁的挠度和转角 变形后梁的轴线称为弹性曲线或挠曲线，
挠度 ：f = f(x)； 转角：
df f ( x) dx
（二）梁的刚度条件
f max
f
或
f max l
f l
max
（注：吊车梁挠度一般规定≤L/250～L/750，架空管道的挠度≤L/500 ）8
梁纯弯曲时横截面上的最大正应力 m来自xM WZ3
4
四、梁弯曲时的强度条件
max
M max WZ
（注：利用强度条件，可对梁进行强度校核、选择截面尺寸及确定许可荷载）
5
五、提高梁弯曲强度的措施
1.支撑和荷载的合理布置.
max
M max WZ
6
2.选择合理的截面形状.
第7章直梁弯曲
梁弯曲时的内力
【例7-2】求下列图中指定截面的剪力和弯矩，并确定其正、负号。
1 Q1 ql 正 4
1 l M 1 ql 0 4 8 1 2 M 1 ql 32
1 Q2 ql 正 2
1 l M 2 ql 0 2 4 1 M 2 ql 2 8
梁弯曲时的内力
剪力、弯矩的正负号规定如下：使梁的脱离体产生顺时针转动的剪 力规定为正，反之为负；使梁的脱离体下侧受拉而上侧受压的弯矩 规定为正，反之为负，如图所示。
对某一指定的截面来说，在它左侧向上的外力，或右侧向下 的外力将产生正的剪力；反之，即产生负的剪力。至于弯矩， 则无论在指定截面的左侧或右侧，向上的外力产生正的弯矩， 而向下的外力产生负的弯矩。
最大剪力Qmax在AC(b>a) （或CB,a>b）段
Qmax=Gb/l
最大弯矩在C截面处
Mmax=Gab/l
本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上 构成了一种函数关系，这种关系称为剪力方程和弯 矩方程；即：
Q=Q(x) M=M(x)
梁弯曲时的内力
【例7-5】作图示梁的内力图。
1.
7.2 梁弯曲时的内力
7.2.1.弯曲内力——剪力和弯矩
如图所示简支梁AB受集中力 P作用，设其约束反力分别为 RA，RB。在距左支座x处用假 想截面将梁截开，取左脱离 体进行分析。
Y 0 RA Q 0 Q RA
M o 0 RA x M 0 M RA x
如上图1、2得纵向变形：
由图3得：
ydA M
即
M ydA
E
材料力学实验四 直梁弯曲实验
实验四 直梁弯曲实验预习要求：1、复习电测法的组桥方法；2、复习梁的弯曲理论；3、设计本实验的组桥方案；4、拟定本实验的加载方案；5、设计本实验所需数据记录表格。
一、 实验目的：1. 电测法测定纯弯梁横截面上的正应变分布，并与理论值进行比较，验证理论公式；2. 电测法测量三点弯梁横截面上的正应变分布及最大切应变，并 与理论值进行比较，验证理论公式； 3．学习电测法的多点测量方法及组桥练习。
二、实验设备：1. 微机控制电子万能试验机；2. 电阻应变仪；三、实验试件：本实验所用试件为中碳钢矩形截面梁，其横截面设计尺寸为h ×b =(50×30)mm 2，a=50mm , 材料的屈服极限MPa s 360=σ, 弹性模量 E=210GPa ，泊松比μ=0.28。
四.实验原理及方法：处于纯弯曲状态的梁，在比例极限内，根据平面假设和单向受力假设，其横截面上的正应变为线性分布，距中性层为 y 处的纵向正应变和横向正应变为：()()ZZM y y E I M yy E I εεμ⋅=⋅⋅'=-⋅ （1）距中性层为 y 处的纵向正应力为：()()zM yy E y I σε⋅=⋅=（2） 本实验采用重复加载法，多次测量在一级载荷增量∆M 作用下，产生的应变增量∆ε和∆ε’。
于是式（1）和式（2）分别变为：()()()ZZZM y y E I M yy E I M y y I εεμσ∆⋅∆=⋅∆⋅'∆=-⋅∆⋅∆=（3） （4）在本实验中，/2M P a ∆=∆⋅ （5） 最后，取多次测量的平均值作为实验结果：111()()()()()()Nnn Nnn Nnn y y Ny y Ny y Nεεεεσσ===∆∆='∆'∆=∆∆=∑∑∑ （6）三点弯曲时，最大切应力理论值为：As2F 3max =理论τ （7） 其实验值测量方法为在最大切应力所在中性层处沿与轴线成±45°布置单向应变片，测量出其应变值，则最大切应力的实验值为：()()︒+︒===4545-max 2-G 2G G εεγτ实验 （8）本实验采用电测法,测量采用1/4桥，如下图五所示。
直梁弯曲的概念和实例
集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小;
弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为折角点。 在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力 偶的大小而剪力图无改变。
2 ．各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：
向下的均布荷载
一段梁上的 外力情况
q<0
无荷载
集中力
集中力偶
F C
m
C
向右下倾斜的直线
二、 受弯构件的简化
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
吊车大梁简化实例
1、梁支座的简化
a)滑动铰支座
b)固定铰支座
c)固定端
MR
FRx
FRx
FR
FRy
FRy
2、载荷的简化
(a)集中荷载
F1
集中力
M
(b)分布荷载
q(x) q
集中力偶
任意分布荷载
均布荷载
3、梁的基本形式
(a)悬臂梁
负号表示假设方向与实际方向相反。
建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设， 这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为 正的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯 矩正负号也作同样判断。
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩 图
FS FS ( x) 剪力、弯矩方程： M M ( x)
解：1.求支座反力
0, FA FB F 0 l M A ( F ) 0, FB l F 3 0 2 1 得 FA F , FB F 3 3
y
F
2.求截面1－1上的内力
FS D
2 FA F 3
2 M D FA a Fa 3
第13讲第7章-直梁的弯曲-
主要内容:
1.直梁平面弯曲的概念 2.梁的类型及计算简图 3.梁弯曲时的内力（剪力和弯矩） 4.梁纯弯曲时的强度条件 5.梁弯曲时的变形和刚度条件梁纯弯曲源自的强度条件1.梁纯弯曲的概念
剪力弯曲 平面弯曲
纯弯曲
剪力FQ≠0 弯矩M ≠ 0
剪力FQ=0 弯矩M ≠ 0
在梁的纵向对称面内，两端施加等值、反 向的一对力偶。在梁的横截面上只有弯矩 而没有剪力，且弯矩为一常数，这种弯曲 为纯弯曲 。
2.梁纯弯曲时横截面上的正应力
1）变形特点 :
横向线仍为直线，只是 相对变形前转过了一个 角度，但仍与纵向线正 交。纵向线弯曲成弧线， 且靠近凹边的线缩短了， 靠近凸边的线伸长了， 而位于中间的一条纵向 线既不缩短，也不伸长。
平面假设：梁弯曲变形后，其横截面仍为平面，并垂 直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度。
由平面假设可知，纯弯 曲时梁横截面上只有正 应力而无切应力。由于 梁横截面保持平面，所 以沿横截面高度方向纵 向纤维从缩短到伸长是 线性变化的，因此横截 面上的正应力沿横截面 高度方向也是线性分布 的。以中性轴为界，凹 边是压应力，使梁缩短， 凸边是拉应力，使梁伸 长，横截面上同一高度 各点的正应力相等，距 中性轴最远点有最大拉 应力和最大压应力，中 性轴上各点正应力为零。
弯矩图的规律
1.梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图 为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转 折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突 变量为集中力偶的大小。
2.梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物 线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向 一致。
3.梁的两端点若无集中力偶作用，则端点 处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯 矩为集中力偶的大小。
材料力学实验-直梁弯曲实验
BUAA
➢ 实验试件
中碳钢矩形截面梁
材料力学实验
试件设计尺寸： 50 30 550mm 材料弹性常数： E 210GPa
0.28 材料屈服极限： s 360MPa
应变片的高度坐标：y 25mm , 20mm , 10mm , 0 mm
Page3
BUAA
材料力学实验
实验装置布置R12DUPage13
BUAA
全桥接线法
A B B1 C D
材料力学实验
R9 R2 R12 R11
Page14
BUAA
材料力学实验
3、纯弯梁横截面上正应力的实验结果与理论计算
实验结果 1) 通过测量得到横截面上的纵向正应变
2) 通过测量得到上下表面纵向正应变与横向正应变的比
3) 按照单向应力状态的胡克定律计算梁横截面上的正应 力分布
S1
S2
S9 S10
S12
Page6
BUAA
2、上下表面纵向正应变与横向正应变的测定
材料力学实验
测量应变的桥路图(1/4桥) *验证单向受力假设
S9 S10
S1 S2
Page7
BUAA
材料力学实验
四分之一桥接线法 +Eg Vi+ -Eg Vi-
A B B1 C D
当接1/4桥时，先将温度补偿片 接入应变仪上面板公共温度补 偿接线端后，等效于所有通道 的C和 B1接线柱之间就接入温 度补偿片了，同时将工作片应 变片的两条连接导线分别接入 所选通道接线排中的A和B接线 柱，同时将接入B点的导线端子 的叉子两个脚分别接入B和B1， 即跨接后将B1与B短接
和 实验 之间的相对误差；
2. 计算上下表面的横向应变增量与纵向应变增量之比的
2019精品第四部分直梁的弯曲41平面弯曲概念梁的类型物理
①AB段 在AB之间任取一截面
x
弯矩 M qx x qx2
AB
22
0≤x≤
l 2
B截面右侧
MB右=
ql 2 8
q
②BC段 在BC之间任取一截面
M qx2 ql 2
BC
22
l xl 22
x
B截面左侧，x l MB左 3 ql 2
2
8
C点 x=l， MC =0
3 8
ql2
(+)
C
B (-)
根据精确理论和实验分析： 当梁跨度L与横截面高度h之比 L / h＞5时，存在
剪应力梁的正应力分布与纯弯曲很接近。
公式适用范围： ①梁跨度l与横截面高度h之比 l / h＞5，可使
用梁正应力计算公式。
②梁正应力计算公式由矩形截面梁导出，但 未使用矩形的几何特性。
所以公式适用于有纵向对称面的其它截面梁。
如图一矩形截面梁， 在侧面分别画上与梁 轴线相垂直的线
1
2
a
b
c
d
1
2
1—1 ，2—2，及与梁轴线平行线ab，cd
1—1，2—2 代表横向截面ab，cd代表纵向截面
两端施加外力偶，使梁产生纯弯曲
变形如图
m
o
12
a
b
m
o
c
d
观察现象如下：
1
2
1、变形后，1—1，2—2仍为直线，但转一定角度， 仍与梁轴相垂直。
解除约束 受力图 Ry
力的边界条件 ③固定端
Ry ≠ 0 Rx = 0 m =0
位移边界条件
x ≠0 y=0
约束限制 固定端既不能转动，也不可移动。
第9章_直梁
max
IZ 1.067106 ymax
M max 141 MN/m2 150MN/m2 WZ
故压板的强度足够
第九章 直梁弯曲
例9-8 一起重量原为 50kN 的吊车,其跨度l = 10.5m (如图)，由 45a号工字钢制成。为发挥其潜力，现欲将 起重量提高到Q =70kN，试校核梁的强度；若强度不足， 再计算其可能承载的起重量。设梁的材料为 Q235钢， 许用应力[σ]=140MN/m2，电葫芦自重G = 15kN，梁
第九章 直梁弯曲
推断和假设
假设：(1) 梁在纯弯曲时，各横截 面始终保持为平面，并垂直于梁轴。
此即弯曲变形的平面假设。
(2) 纵向纤维之间没有相互挤压,每 根纵向纤维只受到简单拉伸或压缩。 中性层：从伸长到缩短区，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短。这 一长度不变的过渡层称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线 在纯弯曲的条件下，所有横截面仍保持平面，只是绕中性轴作 相对转动，横截面之间并无互相错动的变形，而每根纵向纤维 则处于简单的拉伸或压缩的受力状态。
Q max P M max Pl
Q O
x P
第九章 直梁弯曲
例9-3
一简支梁 AB ,受均布载荷 q 的作用，试作此梁的弯矩图。
解： 1、求支反力
由对称性知： ql FA FB 2
2、建立剪力方程和弯矩方程
ql Q = FA qx = qx (0 < x < 1) 2 qx2 qlx qx2 M = FA x = (0 ≤x < 1) 2 2 2
非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但 外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
第九章 直梁弯曲
第7章 直梁弯曲
第7章直梁弯曲本章要点●理解弯曲的概念和实例●掌握截面法求剪力和弯矩●掌握剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图●掌握横力弯曲（剪切弯曲）时正应力和切应力的计算●掌握横力弯曲变形的计算●掌握提高弯曲强度的措施,7.1梁的类型及计算简图7.1.1对称弯曲的概念承受设备及起吊重量的桥式起重机的大梁（图7-1）、承受转子重量的电机轴（图7-2）等，在工作时最容易发生的变形是弯曲。
其受力特点是：杆件都是受到与杆轴线相垂直的外力（横向力）或外力偶的作用。
其变形为杆轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲变形。
图7-1 桥式起重机的大梁图7-2 承受转子重量的电机轴工程中的梁，其横截面通常都有一纵向对称轴。
该对称轴与梁的轴线组成梁的纵向对称面（图7-3）。
外力或外力偶作用在梁的纵向对称平面内，则梁变形后的轴线在此平面内弯曲成一平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲。
图7-3 对称弯曲7.1.2梁上的载荷作用在梁上的载荷可以简化为以下三种类型：(1)集中力；(2)集中力偶；(3)分布载荷，如图7-4a所示。
7.1.3梁的基本形式1.简支梁梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座。
如图7-4a所示。
2.外伸梁梁的支座和简支梁相同，只是梁的一端或两端伸出在支座之外。
如图7-4b所示。
3.悬臂梁梁的一端固定，另一端自由。
如图7-4c所示。
在对称弯曲的情况下，梁的主动力与约束反力构成平面力系。
上述简支梁、外伸梁和悬臂梁的约束反力，都能由静力平衡方程确定，因此，又称为静定梁。
在工程实际中，有时为了提高梁的强度和刚度，采取增加梁的支承的办法，此时静力平衡方程就不足以确定梁的全部约束反力，这种梁称为静不定梁或超静定梁。
7.2梁弯曲时的内力7.2.1剪力和弯矩现以图7-5所示的简支梁为例来研究各横截面上的内力。
P1、P2和P3为作用于梁上的载荷，R A和R B为两端的支座反力。
为了显示出横截面上的内力，沿截面mm假想地把梁分成两部分，并以左段为研究对象。
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y
Me =5Fa
F
1A2 3 4
1 2 34aΒιβλιοθήκη aRA=-F 2a
截面1-1
F
C11
M1
1 Q1 截面2-2
F
C2 2 M2
RA 2 Q2
Q1 F
M1 Fa
Q2 2F
M 2 Fa
B x
RB=2F
y F
截面3-3
Me =5Fa
1A2 3 4
1 2 34
a
a
RA=-F 2a
yq
Rx
MA
A
l
Bx
Ry
X 0 Rx 0
Y 0 Ry q l 0 Ry ql
MA 0
M
A
ql
l 2
0
M
A
1 2
ql 2
梁弯曲时横截面上的内力分析
梁横截面上的内力仍用截面法求。
剪力计算法则：梁任一横截面上的剪力等于该截面 一侧（左侧或右侧都可）所有横向外力的代数和。
截面左侧向上的外力和截面右侧向下的外力取正值； 截面左侧向下的外力和截面右侧向上的外力取负值。
集中力偶 T T
集中力 P
均匀分布力 非均匀分布力 分布力
T
还有支座反力
梁的外力、梁的支座及分类
2. 支座
A
A
A
a)活动铰 链支 b) 固 定 铰 链 支
座
座
c) 固 定 端
3. 梁的类型 ①简支梁 ：一端是固定铰链支座，另一端是活动铰
链支座。
②外伸梁：一个固定铰链支座和一个活动铰链支 座，有一端或两端伸出支座以外
③变形后梁的轴线在纵向对称面内弯成平面曲线。
平面弯曲是工程中最常见也是最简单的一种弯曲。本
章讨论平面弯曲。
10
梁的外力、梁的支座及分类
1. 外力
（1）集中力P 作用面积很小时可视为集中力（N）
（2）分布力q 沿梁轴线分布较长（N/m）
（3）集中力偶m 力偶的两个力分布在很短的一段梁上 （Nm）
q(x) q
Y 0
A
RAy ql RB 0 RA
B
M 0
x
RAy
l
RB
l ql 2 RAy l 0
RAy RB ql / 2
求剪力和弯矩
y
q
A
x
B
RAyx
l
RB
Q RAy qx ql / 2 qx
M
RAy x
qx
1 2
x
1 qlx 1 qx2 qx (l x)
22
2
弯矩方程与弯矩图
直梁的弯曲
1
拉（压）杆：承受轴向拉、压力
轴
：承受扭矩
墙
桥板 梁：承受横向力
楼板
工程实际中的弯曲问题
P
P
P
P
梁的弯曲实例与概念
受力特点：力垂直于构件的轴线(力偶在轴线平面)； 变形特点：杆的轴线将由直线变成曲线 以弯曲变形为主的杆件在工程上统称为梁。
4
桥式吊车
5
火车轮轴
6
车削工件
7
纵向对称面：通过梁的轴线和截面对称轴的平面。 矩形截面梁有一个纵向对称面
30
【例1】简支梁在C处受集中载荷P作用，试画出它的 弯矩图。
下凹为正，上凸为负
+
_
【例】有一简支梁AB，梁上有集中载荷P，求截面上 1-1与2-2的内力。
18
（1）以梁为研究对象，先求支座反力RA、RB
mA (F ) 0 RBl Pa 0
RB
Pa l
Fy 0 RA RB P 0
l a
RA P RB P l
19
（2）用截面法求1-1上的内力。 内 力 Q1— 剪 力 （ 平 行 横 截 面 ）
M1 qlx1
（2）求2-2截面弯矩。
M2
1 2
q(x2
a)2
qlx2
q(x2-a)
(x2-2a3 )/2
例2 求图示外伸梁在截面1-1、2-2、3-3和4-4横截
面上的剪力和弯矩。
y
Me =5Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
RA
2a
RB
解：支座反力为
M A 0 RB a 5Fa F 2a RAa 0 Y 0 RB RA F
纵向对称面
工程中的梁一般都有纵向对称面，如：矩形、 圆、环、工字、T形截面梁。
平面弯曲：具有纵向对称面的梁，当梁上的外
力均垂直于梁的轴线，并作用在纵向对称面内， 梁的轴线将弯成此平面内的一条平面曲线，这种 弯曲称为平面弯曲。
平面弯曲的概念
P
M
q
RA
RB
①梁有纵向对称面；
②载荷均作用在纵向对称面内，各个力垂直梁轴线；
21
a
Fy 0 RA P Q2 0
Q2 RA P 注意这里Q2为负
mO (F ) 0 M 2 RA x2 P(x2 a) 0
M2 RAx2 P(x2 a) 思考：如果取右半段如何？ 数值相同，方向相反
22
例1用简便方法求梁截面1-1、2-2处的弯矩。
解 （1）求1-1截面弯矩。 截开取左侧，弯矩 一律按正向画
③悬臂梁：一端固定，另一端自由。
4. 梁支座反力
利用静力学平衡方程求支座反力：
X 0, Y 0, M 0
y
RAx A
P
Bx
X 0 Y 0
MA 0
RAy
RAx 0
l/2
l
RAy RBy P 0
RBy l P l / 2 0
RBy
RBy P / 2 RAy P / 2
4. 梁支座反力
画弯矩图时，先要建立弯矩方程，再根据弯矩方程 画弯矩图。
一、弯矩方程
弯矩一般随着梁的截面位置x而变化，M是x函数， 用函数关系式表示：
M=f(x) ——弯矩方程
29
二、弯矩图
以横坐标x表示梁 的截面位置，纵坐 标表示弯矩所做图 形成为弯矩图。
在机械工程中习惯将：正弯矩画在x轴上面，负弯 矩画在x轴下面。
B x
RB=2F
F
C33 M3 Q3 F RA 2F
RA
3 Q3 M3 F 2a RA a 3Fa
截面4-4
M4
4C4
Q4 RB 2F
Q4 4
RB M 4 RB a 2Fa
例3. 求图示简支梁 x 截 y
q
面的剪力和弯矩。
A
x
解：求支座反力
B
X 0 RAx 0
x
l
q
Q Q P Q=P>0
P Q=P>0
P
Q
Q
Q=-P<0
P Q=-P<0
左上右下为正，左下右上为负
弯矩计算法则：梁在外力作用下，其任意截 面上的弯矩等于该截面一侧所有外力对该截面中 性轴取矩的代数和。
凡是向上的外力，其矩取正值；凡是向下的 外力，其矩取负值；若梁上有集中力偶，截面左 侧顺时针方向的力偶或截面右侧逆时针方向的力 偶取正值，反之取负值。
Fy 0 RA Q1 0
Q1 RA
20
内力偶矩M1—弯矩(在纵向对称 面内，作用在横截面上)
mO (F ) 0 M1 RA x1 0
O — 横截面的形心
M1 RA x1
（3）用截面法求2-2上的内力。 截面2-2上也有剪力弯矩
Fy 0
RA P Q2 0
Q2 RA P