广州卡西欧杯中学数学讲题比赛
一元二次方程的整数根
例 2 (2000 年全国初中数学联赛试题)设关于 x 的二次方程 (k2－6k＋8)﹒x2＋(2k2－6k－4)x＋k2＝4
的两根都是整数.求满足条件的所有实数 k 的值.
分析 此题也可通过直接求根法求出二根，但是它的条件与例 1 不同，例 1
况。 解 若 k=6, 则 x=-2; 若 k=9, 则 x=3；
若 k≠6 且 k≠9，原方程可化为 [(k-6)x-9][(k-9)x-6] = 0 ,故方程的二
根为 x1＝ k 9 6 ，x2＝ k 6 9 .为使 x1 和 x2 都是整数，则应有 k-6 = ±1,±3,± 9 ， k=-3,3,5,7,9,15;还 应 有 k-9 = ± 1,± 2, ± 3,± 6, k=3,6， 7,8,10,11,12，15. 所以 k=3,7,15时，x 1 和 x 2都是整数，
当 m =1 时，方程 mx2-6x+9=0 的二根均为 1，方程 x2-4mx+4m2-4m-5=0 的
二根为-1 和 5，符合要求。 当 m =-1 时，方程 mx2-6x+9=0 的二根均不是整数,不符合要求. 所以仅当 m=1 时，方程的两根都是整数。 例 4． (1996 年上海市初中数学竞赛试题)若关于 x 的方程 ax2+2(a-3)x+(a-2)=0
a = 25, 18, 16, -9, -2, 0
因 a 为正实数，于是 a 25 或 18或 16均为所求.
例 8 (第十七届全俄数学奥林匹克十年级试题)求使方程 x2-pqx+p+q=0 有
整数根的所有正整数 p 和 q．
解 设原方程两根为 x1、x2，则 x1x2 = p+q
理解数学,理解学生,理解教学(章建跃)
“卡西欧杯”第五届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动总结暨大会报告理解数学理解学生理解教学各位代表，老师们，同志们，大家好。
受本届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动组委会、评委会的委托，我给大会作总结报告。
本次活动受到全国高中数学教师、数学教研部门、各会员单位的高度重视，来自全国除西藏、港澳台以外的所有省、直辖市、自治区，行业的近830名代表参加了本次活动，覆盖范围广，参与热情高。
各会员单位做了大量前期工作，很多会员单位从两年前就开始布置、落实本项活动，把工作细化在过程中，积极组织当地广大高中青年数学教师参与观摩活动，引领广大教师交流教学经验，以观摩与评比活动带动课堂教学研究，在研究中不断深化课堂教学改革，切实提高课堂教学质量和效益。
我代表组委会对各会员单位为本次活动作出的贡献表示衷心感谢。
承办方河南省教育学会中学数学教学专业委员会，河南省基础教育教学研究室为本次活动投入了很大精力，付出了辛苦的劳动。
承办大型活动非常不易，需要考虑的问题很多，需要做的具体工作很繁重，承担的风险很大。
我代表组委会对你们做出的努力表示衷心的感谢！本次大会的协办方卡西欧（上海贸易有限公司）、《中国数学教育》&《数学周报》社为本项活动提供了资金、技术、奖品以及人力、物力的大力支持，我代表组委会对他们做出的贡献表示衷心的感谢！特别要感谢各位参赛选手，你们付出了巨大的智力劳动，承受了巨大的心理压力，为本次活动做出了特殊的贡献。
我代表大会组委会、评委会对你们的付出表示衷心的感谢，祝贺你们取得优异的成绩，祝贺你们在教师专业化成长的道路上迈出了重要而坚实的一步。
由于本次活动组织方式的改变，对评委提出了高要求。
各位评委不仅要事先对参赛选手的教学设计、教学设计说明和课堂实录进行仔细阅读、观摩，在现场还要聚精会神地观察选手的表现，根据参赛选手的预设和现场生成，做出评判，并给出点评。
本次活动的圆满成功，与各位评委的无私奉献、辛勤劳动直接相关，我代表组委会对各位评委的高度热情和负责精神表示衷心感谢。
第四届“卡西欧杯”高中数学青年教师优秀课评选赛后反思
独立或合作 体验 着知 识形成 过程 的真 实
课堂。
下 了一个表 面气 氛活跃 的假 象。我在 比
赛 课 中 对 例 ２解 题 过 程 的 处 理 ， “ 讲 就 大
像、 性质等知识 ， 这为研 究几类 不 同增 长
的 函数 模 型 提 供 了基 础 。 以说 ， 节 课 所 这
反 思 之 二 ：课 堂 上 教 师 的讲 与 学 生 的 多 或 少 。 是 “ 入 式 ” 学 与 “ 发 不 注 教 启 随着课 改 的深入推 进 ，以教 师为 中 “ 心 满 堂 灌 ” “ 入 式 ” 教 法 的 确 是 越 来 、注 的
得 必 要 的 基 础 知 识 和 基 本 技 能 ” “ 展 ，发 理 解 “ 学 建 模 ” 思 想 方 法 解 决 问题 的 数 的 有 效 性 。 ３） 励 学 生 收 集 一 些 社 会 生 活 （ 鼓
学 生独 立 获取 数 学知 识 的 能力 ” ………
这 些都 是《 普通高 中数学课 程标 准》 中规
而特讲 起来 ” 因为教 科书 中对 判断模 型 。
函 数 的 思 想 方 法 ”我 认 为 就 高 一 年 级 学 ， 生 而 言 这 种 处 理 方 法 在 理 解 上 会 有 困 难 ，但 它 又 是 高 中 数 学 学 习 的一 种 很 重 要 的 思 想 方 法 ，所 以 我 通 过 板 书 详 细 分 析 讲 授 了这 一 过 程 ， 旨在 帮 助 学 生 对 “ 构 造 函 数 的思 想 方 法 ” 留 下 一 个 美 好 又 深
ｌ ＡｏＸＵＥ
研
究
第 四届 “ 西 欧杯 ’ 中数 学 卡 ’ 高 青 年教 师优 秀课 评 选 赛 后反 思
教 学 目标 的确 定 不能只 重视 知 识 的灌输 、技 巧 的传 递 而忽视学 生 的主体
最新学年高中数学青年教师解题比赛结果通报
2010学年海珠区高中数学青年教师解题比赛结果通报
各高中（含六中、美院附中）：
根据广州市教研室数学科和海珠区教育发展中心数学科的工作计划和安排，2010学年广州市中学数学青年教师解题比赛海珠区初赛于2010年12月31日（第十八周周五）14：30——16：30在海珠区教育发展中心举行，本次比赛高中共评出一等奖7名，二等奖15名，三等奖42名。
本初赛获得一、二等奖的教师以及本初赛未获得一、二等奖，但在上学期广州市“卡西欧”杯青年教师讲课比赛中获得一、二等奖的教师将代表海珠区参加下学期广州市解题比赛决赛。
具体名单届时将另发通知。
希望获奖教师再接再厉，在下学期的全市决赛中勇创佳绩！
附：2010学年高中数学青年教师解题比赛获奖名单
海珠区教育发展中心
2010年1月6日。
第八届“卡西欧”杯全国数学优质课大赛教案 角的比较和运算
《角的比较和运算》教学设计长春市解放大路学校李明华一、教学内容解析角的比较和运算是在学生学习了角的基本知识之后对角的内容的延续学习，更是对几何图形中有关联的量的认识加深的内容．本节课重点是掌握角的大小比较方法，能进行简单的角的和、差运算；难点是辨析图形中角与角的关系．学好本节课对于学生今后的几何学习有很大的启迪作用．二、学生学情分析角的比较和运算是初中七年级上册的内容，学生刚刚开始接触数学中几何部分内容，对于几何学生仅限于对图形的简单认识而不能了解图形中潜在的联系，对于简单的几何逻辑推理语言仅仅在线段相关问题中使用过．借助于本节课内容的传授能够帮助学生建立简单的条件与结论对应的概念，学会使用数学语言描述数学问题本质．三、教学策略分析引课用肢体语言所能展现的几何图形引入新课，让学生意识到数学来源于生活，高于生活，还要最终服务于生活．角的比较运用类比的方法让学生学会用已有的知识探知未知的知识，基于学生对线段大小比较方法的掌握，在抛出角的大小比较后，让学生自行寻找角的大小比较方法．希望可以让学生养成良好的数学基本素养，为学生提供思考的空间，养成善于思考，勤于思考的习惯．归纳，在学生提出比较的方法之后，要培养学生归纳的习惯．数学的灵感来源于不断地对数学知识的归纳，形成自己的数学触感．归纳能力也是学生所要具备的一种基本能力，在教学中我会多引导学生发现、总结，既可以提高学生对数学的探知兴趣还能提高学生归纳的能力，进而增加学生学习数学的能力．角的和、差辨析能力的培养，在一个图形中认识几个角之间内在联系为重点，让学生学会把一个式子转化成为多个同等变形的式子，养成学生对同一公式不同表现形式的掌握，认识复杂图形中的内在联系．学会发现一个变化的数学问题中不变的量或关系，并能根据这个量或关系解决相应问题．培养逻辑推理语言，角平分线的定义中除了让学生能够将定义引申为条件与结论的对应，还要简述几何语言，让学生体会数学逻辑连接词的作用，并且能在今后的学习中学会恰当使用这样的连接词，来阐述数学问题的因果．课题：4.6.2角的比较和运算教知识技能1．会比较角的大小，掌握角的大小比较方法．2．理解角的和、差关系，学会辨析图形中角的关系，能够计算角的和、差．学目标3．理解角的平分线的概念并会辨析图形中角的数量关系．过程方法1．让学生经历从探究两个角的大小比较，三个角的大小比较的过程，归纳出比较角的大小的方法．2．经历对角的和、差及角的平分线认知过程，体会图形中位置与数量的关联．3．利用角的和差关系，使用三角板中的角画其它度数的角，培养学生发现数学本质的能力．情感态度初步体会和掌握用几何知识解决问题的方法，培养学生的识图能力．教学重点1．掌握角的比较方法会比较两个角的大小．2．辨析并且准确运算图形中角的和、差．3．理解角的平分线的概念并会辨析图形中角的数量关系．教学难点1．用类比的方法提炼角的大小比较方法．2．从图形中抽象出角的关系．教具与教学手段为学生准备画好角的透明卡片、三角板、量角器，并利用多媒体配合教学．教学环节教学内容教学活动学生活动设计意图引入老师摆出拍照片时的“V”胜利手势和举起双臂的欢呼姿势，让学生观察能够体现哪个几何图形．这两个角哪个更大？提出问题回答问题让学生意识到数学来源于生活，高于生活，还要最终服务于生活．教学环节教学内容教学活动学生活动设计意图角的比较问题1．请同学们观察卡片中的∠1和∠2，怎样比较这两个角的大小？问题2．请同学们观察∠1、∠2，∠3，怎样比较这三个角的大小？归纳总结角的大小比较方法：1．度量法；2．叠合法．教师细心观察注意倾听发现问题．板书：1．度量法∵∠1=57°∠2=63°∴∠1<∠22．叠合法①顶点重合②一边重合③另一边在重合边的同侧学生独立思考，动手操作．让学生经历从探究比较两个角的大小，比较三个角的大小的过程，从中归纳出比较角的大小的方法．引导学生说出与旧知的联系与区别．教学环节教学内容教学活动学生活动设计意图练 习先观察图中的两个角，其中哪一个角较大？然后用恰当的方法进行比较，看看你的观察结果是否正确．学生在学案上作答．教师巡视，及时帮助学生解决困难．积极参与 并独立度量或作图．巩固知识，让学生体会，几何问题不能仅仅依靠观察，更需要用科学的方法进行验证.角 的 和 差 运 算观察图中的角你能通过此图直接说出哪些角的大小关系？∠AOC 比∠AOB 大多少？得到角之间的等量关系： ∠AOC-∠AOB=∠COB ， ∠AOC -∠BOC =∠AOB ， ∠AOB +∠COB=∠AOC ．可见，两个角相加或相减，得到的和或差也是角．教师引导学生发现问题，理解角的和差关系．独立思考，积极回答．让学生学会把一个式子转化成为多个同等变形的式子，养成学生对同一公式不同表现形式的掌握，认识复杂图形中的内在联系．教学 环节教 学 内 容教学活动学生活动设计意图O CB A练习1．如图，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则∠AOB＝度．2．如图，若∠AOB= 60°，∠BOC＝40°，则∠AOC＝度．3．如图，若∠AOB＝75°，∠AOC＝60°，则∠BOC＝度．4．若∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，则∠BOC＝度．板书解题过程：引导学生口述简单的推理过程．独立思考认真解答学生分析并将结果板演．培养逻辑推理语言简述几何语言，让学生体会数学逻辑连接词的作用．将已知中的图形略去，让学生体会改变已知后给答案带来变化，并注意几何问题中没有给出图形要注意分类讨论．教学环节教学内容教学活动学生活动设计意图∵∠AOC=35°∠BOC＝40°∴∠AOB=∠AOC+∠BOC＝75°角的平分线CBO A根据上题中答案之一的图形，∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，∠BOC＝30°，引出角平分线的概念．如果OC是∠AOB的平分线，则它应具备哪些条件？根据同学们的总结，你能否用几何语言描述图中的角具有怎样的数量关系？1．∠AOC＝∠BOC＝12∠AOB2．∠AOB＝2∠BOC＝2∠AOC角的平分线概念的几何表示：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠AOC＝∠BOC＝12∠AOB板书：角的平分线根据图形中角的特殊关系归纳角的平分线应满足的条件．体现由一般到特殊的数学过程，让学生经历总结归纳概念的过程．再次感受一个等量关系的变形在图形中体现的不同角度．培养逻辑推理语言练习1．如图，∠AOB=180°，OC是∠AOB的平分线，巩固知识培养逻辑推理语言教学环节教学内容教学活动学生活动设计意图则∠AOC= = 度．简述几何语言，让学生体会数学逻辑连接词的练习2．如图，∠AOC=65°，OC是∠AOB的平分线，则∠BOC=∠=度；∠AOB=∠AOC=度．作用，并且能在今后的学习中学会恰当使用这样的连接词，来阐述数学问题的因果．思维提升ABCEFO如图，∠AOB=80°，OC是∠AOB的角平分线，则∠AOC= =40°．OE、OF分别是∠AOC和∠BOC的平分线，则∠EOF= °．变式1：将OC是∠AOB的角平分线的条件删去，求∠EOF= °．变式2：改变OC的位置，求∠EOF= °．变式3：改变OB的位置，求∠EOF= °．通过几何画板软件改变已知条件，动态演示．从简单的几何模型过渡到复杂的图形，尝试从中抽取基本模型．感受动态几何中变量与不变的量之间的关系．将最基本的角平分线模型叠加，提出新的问题，一是要让学生再次感受已知条件的改变对结果带来的影响，二是使学生感受动态几何中变化的量与不变的量之间的关系，培养学生几何直觉和模型观念教学环节教学内容教学活动学生活动设计意图动手你能利用手中的三角板画出15°的角吗？利用手中的三角板还可以画出哪些的角？动手操作．教师巡视指导．体会角的和差关系，培养学生的几何直觉和动手操作能力，并从中探究操作这些角度之间的内在联系．课堂小结1.角的比较方法：①度量法②叠合法2.角的和、差运算3.角平分线教师小结有利于培养归纳、总结的习惯和能力。
“卡西欧杯”第五届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动开幕辞
中国教 育学会 中学数学教 学专业委员会
２１ ０ ０年 １ Ｏ月 １ 日 ６
２
为 了更好地体现 “ 过程” 、参与” 、交流” 研究”等关键 “ “ 、“ 词 ，本次活动在 总结 以往成功经验 的基础上 。进一 步改进了活
本 次活动 由中 国教 育学会 中学数 学教学专 业委 员会主 办 ， 动 的举 办形 式和组织方式 ，增加 了评委现 场点评 、一等奖参 评 河南省教育学会 中学数学教学 专业委员会 、河南省基础教育教 教 师与观摩 代表现场 交流互动的时 间 ，为大家提供 了更 多交 流
２１ ０ ０年
第 １ ２期
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｈ ｎ ｓ ｔｅ ｔ ｓ Ｅ ｕ ａｉｎ ｏ ｒ ａ ｆＣ ｉｅｅ Ｍａｈ ｍａｉ ｄ ｃ ｔ ｃ ｏ
Ｎ ．２ ００ Ｏ１ ２ １
“ 西 欧杯 ” 第 五 届全 国 高 中青 年 数 学教 师优 课 卡
困
尊敬的各位评委 、各位一等奖参评教师 、各位代表 ： “ 卡西欧杯”第五届 全国高中青年数学教师优秀课观摩 与评
本次活动得 到全国各地教育行政部 门 、各级教学研 究部 门 也 会 更 大．
以及学校 的大力支持 ，对此我们表示衷 心的感谢 ！
提 全国高中青年数学教师优秀课观摩 与评 比活动 自 ２０ ０ ０年举 展 规划纲要》 中 ，党中央 、国务 院明确提 出了 “ 高教师业务
办 以来 ，深 受 广 大教 师 、教 研 人 员 的欢 迎 ． 项 活 动 坚 持 “ 在 水 平 ，完善 培养 培训体 系 ，做好培养培训规划 ，优化队伍结 构 ， 本 重
中数学各类竞赛获奖一览表
王圣仕
第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛三等奖
王进敬
2003、12
04届4班
徐磊
2003年上海市数学竞赛二等奖
梁国胜
2003、12
05届5班
俞若诚
2003年上海市数学竞赛三等奖
涂斌祖
吕尤
第五届小学希望杯全国数学邀请赛六年级三等奖
王进敬
10届7班
左淳诚
第五届小学希望杯全国数学邀请赛六年级三等奖
王进敬
2007
10届6班
毛雁
2007年第七届“中环杯”中小学生思维能力训练活动（市级）决赛二等奖
王进敬
2007
10届6班
王诗伟
2007年第七届“中环杯”中小学生思维能力训练活动（市级）决赛三等奖
涂斌祖
徐驰
华中师范大学数统学院第九届全国中学生数学奥林匹克活动二等奖
涂斌祖
俞若诚
华中师范大学数统学院第九届全国中学生数学奥林匹克活动一等奖
涂斌祖
朱志尧
华中师范大学数统学院第九届全国中学生数学奥林匹克活动一等奖
涂斌祖
2004、12
05届5班
俞若诚
2004年上海初三数学竞赛二等奖
涂斌祖
朱志尧
2004年上海初三数学竞赛二等奖
11届6班
陈晓轩
第二十届“五羊杯”初中数学竞赛预备年一等奖
但水平
2009.2
11届6班
戎欣
第二十届“五羊杯”初中数学竞赛预备年三等奖
但水平
2009.2
11届6班
马大任
第二十届“五羊杯”初中数学竞赛预备年三等奖
但水平
2009.2
11届6班
刘唯楚
“卡西欧杯”第五届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动 优秀课一等奖和优秀组织奖评比结果的通
贺祠 亮 邓 礼 咸 赵 志 明
四川绵 阳中学 四川成都市第十八中学校
贵 州 龙 里 中学
詹 爽 姿
石 小 丽
陈
华
浙江桐乡第一中学
安徽蚌埠第一中学
安徽 淮 南 市第 二 中学 福建 泉 州 市培 元 中学 福 建 师 范大 学 附 属 中学
黄 修 禹 胡 跃 源
优 秀课 一等奖名 单
（ ６ 共 ５名 ，排 名 不 分 先后 ）
北 京 师 范 大 学 第 二 附 属 中 学
北 京 市 第 十 二 中学 程 敏 山西 大 同市 第 一 中学 校 山西 太 原 市 育 英 中学
董
韩
凯
灵
高 李
宇 翥
北 京 市 第 五 中学 天津 市 汉 沽 区 第 一 中 学
Ｎ ２ Ｏ ０ Ｏ１ ２ １
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｈ ｎ ｓ ｔｅ ｔ ｓ Ｅ ｕ ａｉｎ ｏ ｒ ａ ｆ Ｃ ｉ ｅｅ Ｍａｈ ｍａｉ ｄ ｃ ｔ ｃ ｏ
２１ ０ ０年
第 １ ２期
“ 西 欧 杯 ”第 五 届 全 国 高 中青 年 数 学 教 师 优 秀课 观 摩 与 评 比活 动 卡
２１ ０ ０年 １ ０月 １ 日 ９
本 次 活 动 共 评 比产 生 优 秀课 一 等奖 ６ 名 （ 单 附后 ） ５ 名 ，４个
本 项 活动 始 终 坚持 “ 在 参 与 ，重 在 过 程 ，重 在 交 流 ， 重 会 员 单 位 被 评 为 优 秀 组 织 奖 （ 单 附后 ） 重 名 ．
赵
樊
亮
涛
贵州省实验 中学
云 南 大学 附 属 中 学 云 南玉 溪 第 一 中 学
奥赛经典
奥赛经典——初中数学竞赛中的数论问题第一章 整数的封闭性运算【典型例题与基本方法】例1 (1995年全国联赛题)方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 例2 (2007年天津市竞赛题)八年级二班的同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，乙组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个.若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有学生（ ）人.A.12B.13C.14D.15例3 (2002年“我爱数学”初中生夏令营竞赛题)如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数.所有四合数的总和等于 .【解题思维策略分析】1.注意整数乘积或幂中的特殊因数例5 (2008年青少年数学国际城市邀请赛题)已知n 为正整数，使得()()()k n n n n n n 2621211=--+-++(k 是正整数).求所有可能的n 值的总和. 2.注意整数运算的封闭性例6 (2007年“新知杯”上海市竞赛题)求满足下列条件的正整数n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a ，b ，使得函数()b ax x n x f ++=21对任意整数x ，()x f 都是整数. 3.注意在分数不等式中取整数的条件例7 已知n ，k 均为正整数，且满足不等式4396371<+-<k n k n .若对于某一给定的正整数n ，只有唯一的一个正整数k 使不等式成立.求所有符合要求的正整数n 中的最大值和最小值.【模拟实战】A 组1.若满足不等式137158<+<k n n 的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）. A.100 B.112 C.120 D.1502.若12032+m 是整数，则所有满足条件的正整数m 的和为（ ）.A.401B.800C.601D.12033.若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均整数，则符合这样条件的直角三角形共有（ ）个.A.1B.6C.4D.无数多4.2009是一个具有如下性质的年号：它的各位数码之和为11.那么，自古至今，这种四位数的年号共出现过______次.5.(2005年全国联赛题)不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为_____.B 组1.(2008年四川省竞赛题)已知正整数a 、b 、c 满足c b a <<，且abc ca bc ab =++.求所有符合条件的a 、b 、c .2.(2009年南昌市竞赛题)已知n 是大于1的整数.求证：3n 可以写成两个正整数的平方差.3.(第4届中国趣味数学决赛题)有20堆石子，每堆都有2006粒石子．从任意19堆中各取一粒放入另一堆，称为一次操作.经过不足20次操作后，某一堆中有1990粒石子，另一堆石子数在2080到2100之间，这一堆石子有______粒.4.(1995年全国联赛(民族卷)题)已知正整数a 、b 、c 满足下列条件：c b a >>，()()()72=---c a c b b a ，且100<abc ，求a ，b ，c .5.(2006年全国联赛题)2006个都不等于119的正整数200621,,a a a Λ排成一行，其中任意连续若干项之和都不等于119，求200621a a a +++Λ的最小值.6.(第13届日本奥数决赛题)平太给大介出了一道计算题（A ，B 各代表两位数中各位上的数字,相同的字母代表相同的数字）：=⨯BA AB .大介：“得数是2872.”平太：“不对”.大介：“个位的数字对吗?”平太：“对”.大介：“其它位的数字有对的吗?”平在：“这是保密的.但你调换一下四位数2872中4个数字的位置,就能得出正确答案.” 请求出正确答案.第二章 正整数的多项式表示及应用【典型例题与基本方法】例1 将()102010化为下列进位制的数：⑴二进位制的数；⑵八进位制的数.例2 试证：形如abcabc 的六位数总含有7，11，13的因数.例3 一个三位数xyz （其中x ，y ，z 互不相等），将其各个数位的数字重新排列，分别得到的最大数和最小数仍是三位数.若所得到的最大三位数与最小三位数之差是原来的三位数，求这个三位数.例4 设两个三位数xyz ，zyx 的乘积为一个五位数xzyyx （其中x ，y ，z 互不相等），求x ，y ，z.【解题思维策略分析】1.善于运用正整数的十进位制的多项式表示解题例5 若一个首位数字是1的六位数abcde 1乘以3所得的积是一个末位数字为1的六位数1abcde ，求原来的六位数.例6 有一个若干位的正整数，它的前两位数字相同，且它与它的反序数（011a a a a n n Λ-与n n a a a a 110-Λ互为反序数，其中00≠a ，0≠n a ）之和为10879，求原数.2.会利用非十进位制多项式表示解题例7 设在三进位置中，数N 的表示是20位数：12112211122211112222.求N 在九进位制中表示最左边的一位数字.例8 设1987可以在b 进位制中写成三位数xyz ，且7891+++=++z y x ，试确定出所有可能的x ，y ，z 和b .【模拟实战】A 组1.M 表示一个两位数，N 表示一个三位数，如果把M 放在N 的左边，组成一个五位数，那么这个五位数是（ ）.A. M+NB. MNC. 10000M+ND. 1000M+N2.一个两位数，它是本身数字和的k 倍，将个位数字与十位数字交换位置后，组成一个新数，则新数为其数字和的（ ）.A.()1-k 倍B.()k -11倍C.()k -10倍D.()k -9倍3.在大于10、小于100的正整数中，数字变换位置后所得的数比原数增加9的数的个数为_____.4.一个两位数，它的各位数字和的3倍与这个数加起来所得的和恰好是原数的两个数字交换了位置所得的两位数，这样的两位数有____个.5.已知ab 为两位数，且满足bbb ab b a =⋅⋅，求这个两位数.6.求一个最小的正整数n ，它的个位数字为6，将6移到首位，所得的新数是原数的4倍.B 组1.已知一个四位数的各位数字的和与这个四位数相加等于2010，试求这个四位数.2.有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者想好一个三位数abc ，然后，魔术师再要求他记下五个数acb 、bac 、bca 、cab 、cba ，并把这五个数加起来求出和N ，只要讲出N 的大小，魔术师就能说出原数abc 是什么.如果3194=N ，请你确定abc .3.两位数ab （个位数字与十位数字不同）的平方等于三位数xyz ；而这两位数ba 的平方恰好等于三位数zyx ，求上述两位属于三位数.4.(2008年全国联赛(江西卷)题)一本书共有61页，顺次编号1，2，...，61.某人在将这个数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（形如ab 的两位数被当成了两位数ba ），结果得到的总和是2008.那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是多少？5.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)把()21101001.0化为十进制小数.6.(1998年长春市竞赛题)证明：1218-能被7整除.7.(江西省第4届“八一杯”竞赛题)求证：12222222101112131415-++-+-+-Λ能被5整除.8.(第5届沈阳市竞赛题)若m ，n 是两个自然数，且2>n ，那么12+m 不能被12-n 整除，试说明理由.9.(江西省第2届探索与应用能力竞赛题)将十进制数2002化成二进制数.10.(1997年广州市竞赛题)化()1084375.53为二进制小数.11.有一个写成7进制的三位数，如果把各位数码按相反顺序写出，并把它看成是九进制的三位数，且这两数相等，求这个数.12.在哪种进位制中，16324是125的平方？13.N 是整数，它的b 进制表示是777.求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的4次方.14.在哪种进制中，100134=⋅？15.(2007年“卡西欧杯”武汉市竞赛题)军训基地购买苹果慰问学员.已知苹果总数用八进位制表示为abc ，七进位制表示为cba .那么，苹果的总数用十进位制表示为_____.16.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)化()81325为二进制数.17.(1995年“祖冲之”邀请赛决赛题)求证：对于任意进位制的数，10201都是合数.18.(第2届华杯赛决赛题)下面是两个1989位整数相乘：321Λ321Λ119891198911111111个个⨯. 问：乘积的数字和是多少？19.(第10届《中小学生数学报》邀请赛题)计算：⑴()()22101101111011010+；⑵()()2210101101101101-；⑶()()()222101101100111000000--.。
奥赛经典
奥赛经典——初中数学竞赛中的数论问题第一章 整数的封闭性运算【典型例题与基本方法】例1 (1995年全国联赛题)方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）.例2 (2007年天津市竞赛题)八年级二班的同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，乙组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个.若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有学生（ ）人.例3 (2002年“我爱数学”初中生夏令营竞赛题)如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数.所有四合数的总和等于 .【解题思维策略分析】1.注意整数乘积或幂中的特殊因数例5 (2008年青少年数学国际城市邀请赛题)已知n 为正整数，使得()()()k n n n n n n 2621211=--+-++(k 是正整数).求所有可能的n 值的总和. 2.注意整数运算的封闭性例6 (2007年“新知杯”上海市竞赛题)求满足下列条件的正整数n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a ，b ，使得函数()b ax x n x f ++=21对任意整数x ，()x f 都是整数. 3.注意在分数不等式中取整数的条件例7 已知n ，k 均为正整数，且满足不等式4396371<+-<k n k n .若对于某一给定的正整数n ，只有唯一的一个正整数k 使不等式成立.求所有符合要求的正整数n 中的最大值和最小值.【模拟实战】A 组1.若满足不等式137158<+<k n n 的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）.2.若12032+m 是整数，则所有满足条件的正整数m 的和为（ ）.3.若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均整数，则符合这样条件的直角三角形共有（ ）个.D.无数多是一个具有如下性质的年号：它的各位数码之和为11.那么，自古至今，这种四位数的年号共出现过______次.5.(2005年全国联赛题)不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为_____.B 组1.(2008年四川省竞赛题)已知正整数a 、b 、c 满足c b a <<，且abc ca bc ab =++.求所有符合条件的a 、b 、c .2.(2009年南昌市竞赛题)已知n 是大于1的整数.求证：3n 可以写成两个正整数的平方差.3.(第4届中国趣味数学决赛题)有20堆石子，每堆都有2006粒石子．从任意19堆中各取一粒放入另一堆，称为一次操作.经过不足20次操作后，某一堆中有1990粒石子，另一堆石子数在2080到2100之间，这一堆石子有______粒.4.(1995年全国联赛(民族卷)题)已知正整数a 、b 、c 满足下列条件：c b a >>，()()()72=---c a c b b a ，且100<abc ，求a ，b ，c .5.(2006年全国联赛题)2006个都不等于119的正整数200621,,a a a 排成一行，其中任意连续若干项之和都不等于119，求200621a a a +++ 的最小值.6.(第13届日本奥数决赛题)平太给大介出了一道计算题（A ，B 各代表两位数中各位上的数字,相同的字母代表相同的数字）：=⨯BA AB .大介：“得数是2872.”平太：“不对”.大介：“个位的数字对吗”平太：“对”.大介：“其它位的数字有对的吗”平在：“这是保密的.但你调换一下四位数2872中4个数字的位置,就能得出正确答案.” 请求出正确答案.第二章 正整数的多项式表示及应用【典型例题与基本方法】例1 将()102010化为下列进位制的数：⑴二进位制的数；⑵八进位制的数.例2 试证：形如abcabc 的六位数总含有7，11，13的因数.例3 一个三位数xyz （其中x ，y ，z 互不相等），将其各个数位的数字重新排列，分别得到的最大数和最小数仍是三位数.若所得到的最大三位数与最小三位数之差是原来的三位数，求这个三位数.例4 设两个三位数xyz ，zyx 的乘积为一个五位数xzyyx （其中x ，y ，z 互不相等），求x ，y ，z.【解题思维策略分析】1.善于运用正整数的十进位制的多项式表示解题例5 若一个首位数字是1的六位数abcde 1乘以3所得的积是一个末位数字为1的六位数1abcde ，求原来的六位数.例6 有一个若干位的正整数，它的前两位数字相同，且它与它的反序数（011a a a a n n -与n n a a a a 110- 互为反序数，其中00≠a ，0≠n a ）之和为10879，求原数.2.会利用非十进位制多项式表示解题例7 设在三进位置中，数N 的表示是20位数：1112222.求N 在九进位制中表示最左边的一位数字.例8 设1987可以在b 进位制中写成三位数xyz ，且7891+++=++z y x ，试确定出所有可能的x ，y ，z 和b .【模拟实战】A组1.M表示一个两位数，N表示一个三位数，如果把M放在N的左边，组成一个五位数，那么这个五位数是（）.A. M+NB. MNC. 10000M+ND. 1000M+N2.一个两位数，它是本身数字和的k倍，将个位数字与十位数字交换位置后，组成一个新数，则新数为其数字和的（）.A.()1-k倍B.()k-10倍 D.()k-9倍11倍 C.()k-3.在大于10、小于100的正整数中，数字变换位置后所得的数比原数增加9的数的个数为_____.4.一个两位数，它的各位数字和的3倍与这个数加起来所得的和恰好是原数的两个数字交换了位置所得的两位数，这样的两位数有____个.5.已知ab为两位数，且满足bbba=⋅，求这个两位数.⋅bab6.求一个最小的正整数n，它的个位数字为6，将6移到首位，所得的新数是原数的4倍.B组1.已知一个四位数的各位数字的和与这个四位数相加等于2010，试求这个四位数.2.有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者想好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个数acb、bac、bca、cab、cba，并把这五个数加起来求出和N，只要讲出N的大小，魔术师就能说出原数abc是什么.如果3194N，请你确定abc.=3.两位数ab（个位数字与十位数字不同）的平方等于三位数xyz；而这两位数ba的平方恰好等于三位数zyx，求上述两位属于三位数.4.(2008年全国联赛(江西卷)题)一本书共有61页，顺次编号1，2，...，61.某人在将这个数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（形如ab的两位数被当成了两位数ba），结果得到的总和是2008.那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是多少5.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)把()2.0化为十进制小数.11010016.(1998年长春市竞赛题)证明：1218-能被7整除.7.(江西省第4届“八一杯”竞赛题)求证：12222222101112131415-++-+-+- 能被5整除.8.(第5届沈阳市竞赛题)若m ，n 是两个自然数，且2>n ，那么12+m 不能被12-n 整除，试说明理由.9.(江西省第2届探索与应用能力竞赛题)将十进制数2002化成二进制数.10.(1997年广州市竞赛题)化()1084375.53为二进制小数.11.有一个写成7进制的三位数，如果把各位数码按相反顺序写出，并把它看成是九进制的三位数，且这两数相等，求这个数.12.在哪种进位制中，16324是125的平方13.N 是整数，它的b 进制表示是777.求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的4次方.14.在哪种进制中，100134=⋅15.(2007年“卡西欧杯”武汉市竞赛题)军训基地购买苹果慰问学员.已知苹果总数用八进位制表示为abc ，七进位制表示为cba .那么，苹果的总数用十进位制表示为_____.16.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)化()81325为二进制数.17.(1995年“祖冲之”邀请赛决赛题)求证：对于任意进位制的数，10201都是合数.18.(第2届华杯赛决赛题)下面是两个1989位整数相乘：119891198911111111个个⨯. 问：乘积的数字和是多少19.(第10届《中小学生数学报》邀请赛题)计算：⑴()()22101101111011010+；⑵()()2210101101101101-；⑶()()()222101101100111000000--.。
2024年广东省中学生数学奥林匹克竞赛一试+加试试题答案及评分标准
2024年广东省中学生数学奥林匹克竞赛答案及评分标准一试一、填空题1已知m ,a ,b ,c 为正整数,且a log m 2+b log m 3+c log m 5=2024,求m +a +b +c 的最小值是.【答案】 30662已知x >0,y >0,-log 3y +3x=y -2x =15⋅32x -1y,则y +x =【答案】 11 .3若A 、 B 为锐角且sin B ⋅sin A +B =sin A ,则tan A 的最大值为.【答案】434数列a n 满足:对任意n ≥2,a n =2024a n -1-n . 如果该数列的每一项都是正数,则a 1的最小值为【答案】40472023240474092529 5投篮测试规则如下:每人最多投三次,投中为止,且第i 次投中得分为4-i 分(i =1,2,3),若三次均未投中则得分为0分. 假设甲同学的投篮的命中率为p 0<p <1 ,若甲参加投篮测试的投篮次数的均值为 1.56，则p = ，甲投篮测试的得分的均值为. 【答案】 2.376 .6设x ,y 均为非零实数,且满足x sin π12+y cos π12x cos π12-y sin π12=tanπ3 . 在△ABC 中,若tan C =y x,则sin3A +3sin2B 的最大值为.【答案】327已知虚数z 满足z +2z∈R ,则z 2+2z -3 的最大值为【答案】1033 .8n 是正整数, 3n -1没有12以上的质因子,则所有满足条件的n 和是【答案】 129已知四面体PABC ,点A 1在△PBC 内,满足△A 1BP ,△A 1CP ,△A 1BC 的面积之比为3:2:1,G 在线段AA 1上,直线PG 交平面ABC 于点M ,且AG GA 1=PGGM ,则四面体PABC 与A 1AMB的体积之比为.【答案】 1210如图,在一个10×10的方格表中填入0和1,使得任意一个3×3的方格表中都恰有一个1 ,则满足要求的填法数共有种【答案】 261二、解答题1已知抛物线C :y 2=18x +27的焦点与椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点F 2重合, C 的准线经过E 的左顶点.(1)求E 的方程;(2)已知点F 1为E 的左焦点, P 为E 上的一点(异于左、右顶点), △PF 1F 2外接圆的半径为R ,内切圆的半径为r ,求R ⋅r 的取值范围.【解析】(1) 易知 C 的顶点坐标为 -32,0 ,p 2=184=92,所以 C 的焦点坐标为 -32+92,0 ,即 3,0 ,C 的准线方程为 x =-32-92=-6,所以 a =6,c =3,b 2=a 2-c 2=27 ,所以 E 的方程为 E :x 236+y 227=1;4 分(2)设 ∠F 1PF 2=θ,PF 1=a 1,PF 2=a 2,由正弦定理可得 2R =F 1F 2sin θ=2csin θ,即R =c sin θ=3sin θ,则 cos θ=a 21+a 22-2c 22a 1⋅a 2=a 1+a 2 2-2a 1⋅a 2-4c 22a 1⋅a 2=4b 2-2a 1⋅a 22a 1⋅a 2,即a 1⋅a 2=2b 2cos θ+1=54cos θ+1, -8 分S △PF 1F 2=12a 1a 2sin θ=27sin θcos θ+1=27sin θ2cos θ2cos 2θ2=27tanθ2又 S △PF 1F 2=S △IF 1F 2+S △IF 1P +S △IF 2P =12F 1F 2+PF 1+PF 2 r =122a +2c r =9r , -12 分所以 27tanθ2=9r ,即 r =3tan θ2,所以 R ⋅r =9tan θ2sin θ=92cos 2θ2,又因为当 P 在短轴的端点时, θ 最大,此时, θ=60° , -16 分所以 θ∈0,π3 ,即 θ2∈0,π6 ,所以 cos θ2∈32,1 ,故 R ⋅r =92cos 2θ2∈92,6. -20 分2已知方程ln x +x 1-m =0,m ∈R 有两个不同的零点,分别记为a ,b ,且a <b .(1)求实数m 的取值范围;(2)若不等式t +1<ln a +t ln b 恒成立,求正数t 的取值范围.【解析】(1)设 f x =ln x +x 1-m ,m ∈R 的定义域为 0,+∞ ,f x =1x+1-m ,当 m ≤1 时,因 f x >0,故函数 f x 在 0,+∞ 上单调递增,不存在两个零点,不合题意;当 m >1 时,设 g x =f x =1x +1-m ,g x =-1x2<0 ,故 g x 在 0,+∞ 上单调递减,即 f x =1x+1-m 在 0,+∞ 上单调递减,由 f x =0,得 x =1m -1,当 0<x <1m -1时, f x >0;当1m -1<x 时, f x <0;所以当 x =1m -1 时, f x 取得最大值.即 f 1m -1=ln 1m -1+1m -11-m =-ln m -1 -1,-⋯⋯-4 分若函数 f x 有两个不同的零点,则 -ln m -1 -1>0即 ln m -1 <-1=ln1e ,解得 m <1+1e,又 m >1当 x 趋近于 0+ 时, 1-m x 趋近于 0, ln x 趋近于负无穷, f x 趋近于负无穷;当 x 趋近于正无穷时, f x 趋近于负无穷.所以若函数 f x 有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围 1<m <1+1e.---8 分(2)因为 f x =ln x +x 1-m m ∈R 有两个不同的零点 a ,b ,由题知 0<a <b ,且 ln a +a -am =0ln b +b -bm =0 ,相减得到:m -1=ln a -ln b a -b由 t +1<ln a +t ln b 恒成立,所以 t +1<am -a +t mb -b 恒成立,即 t +1<a +tb m -1 恒成立,---12 分所以 t +1<a +tb ln a -ln b a -b 恒成立,即 t +1<ab+t a b-1ln a b 恒成立.设 k =ab ,则 k ∈0,1 时,不等式 t +1<t +k ln k k -1恒成立,因为 t +k >0,k -1<0 进而得 ln k -t +1 k -1t +k<0 在 k ∈0,1 时恒成立,设 h k =ln k -t +1 k -1t +k, k ∈0,1 ,注意到 h 1 =0 .则 h k =1k -t +1 t +k -k -1 t +k2 ,即 hk =1k -t +1 2t +k2=t 2+k 2-t 2k -kk t +k 2=k -1 k -t 2 k t +k 2, -16 分又因为 k ∈0,1 且 t >0,则k -1k t +k 2<0 ,所以当 t ≥1 时, k -t 2<0,即 h k >0,故 h k 在 k ∈0,1 单调递增,而 k =1 时 ln k -t +1k -1t +k=0,所以 h k <0 恒成立,故 t ≥1 满足题意.当 0<t <1 时,若 k ∈t 2,1 ,由 h k <0,则 h k 在 k ∈t 2,1 单调递减,所以当 k ∈t 2,1 时 h k >0,与题设不符.综上所述,正数 t 的取值范围 t ≥1. ---20 分加试1设有限集A ,B ,C ⊆R ,A ,B ,C 为有限集,对任意x ∈R ,定义:N A ,B ,C x =a ,b ,c ∣a ∈A ,b ∈B ,c ∈C ,a +b +c =x ∣ . 证明以下结论:(1)存在x ∈R ,使得0<N A ,B ,C x ≤A ⋅B ⋅C A +B +C(2)x ∈A +B +CN A ,B ,C x 2≥A2⋅B 2⋅C 2A +B +C 其中:A 表示集合A 中的元素个数, A +B +C ={a +b +c ∣a ∈A ,b ∈B ,c ∈C } .【解析】(1)x ∈A +B +CN A ,B ,C x =x ∈A +B +C a ,b ,c ∈A ×B ×C ,a +b +c =x1=a ,b ,c ∈A ×B ×C1=A ⋅B ⋅C由平均值原理,存在 x ∈A +B +C ,使得 0<N A ,B ,C x ≤A ⋅B ⋅C A +B +C. .20 分(2)由柯西不等式x ∈A +B +CN A ,B ,C x 2≥X ∈A +B +C N A ,B ,C x 2⋅1A +B +C .. .30 分=1A +B +C x ∈A +B +C a ,b ,c ∈A ×B ×C a +b +c =x12=1A +B +Ca ,b ,c ∈A ×B ×C12=A2⋅B 2⋅C 2A +B +C. .40 分2如图, AB 为圆O 的一条弦(AB <3R ,R 为圆O 的半径), C 为优弧AB的中点, M 为弦AB 的中点. 点D ,E ,N 分别在BC ,CA和劣弧AB上,满足BD=CE,且AD ,BE ,CN 三线共点于F . 延长CN 至G ,使GN =FN . 求证:∠FMB =∠GMB .【解析一】如图,延长 CM 交圆 O 于 T ,以 T 为圆心, TA 为半径作圆,与 CN 延长线交于 G ∵C 为优弧 AB 中点, ∴B 在圆 T 上,且 CA 与 CB 是圆 T 的切线∵∠AFB =AB+ED2=∠ACB +∠CAB =180°-12∠ATB∴F 在圆 T 上. .10 分∵CT 是圆 O 的直径,所以 ∠TNF =90°∴N 为 FG 的中点, G 与 G 重叠∴AFBG 四点共圆. . .20 分(实际上点出圆心 T 的目的是为了证明 AFBG 的共圆,证明共圆之后这个圆心就再也不会 出现, 只要能够证明 AFBG 共圆无论是否点出圆心都可以获得 20 分)∵CA 与 CB 是圆 T 的切线∴△CAF ∽△CGA ,△CBF ∽△CGB∴AF ⋅BG =AG ⋅BF . .30 分由托勒密定理知, AG ⋅BF =12AB ⋅FG =BM ⋅FG ,且 ∠FBM =∠AGF ∴△BFM ∽△GFA ∴∠BMF =∠FAG同理 ∠BMG =∠FAG ∴BM 平分 ∠FMG .40 分证毕(最后导出等角后面的证明调和四边形, 都是相对平凡的步骤了, 各占 10 分)【解析二】解析二使用了调和点列的一些性质, 答案中会备注使用调和点列的地方, 请审卷 老师注意评分如图,连接 NB ,NA ,CN 交 AB 于 Q ∵C 是优弧 AB 的中点∴∠ANC =∠BNC ∵BD=EC∴∠BFN =BN+EC2=BN +BD2=DN2=∠NAF∴△BNF ∞△FNA∴NF 2=NA ⋅NB .10 分又 NC 平分 ∠ANB ,∴△QNB ∽△ANC ∴NA ⋅NB =NQ ⋅NC∴NF2=NQ⋅NC . . .20 分(每一个相似占 10 分)∵N 为 FG 中点∴NF NC =NQNF, ∴NF-NQNC-NF=NF+NQNC+NF,即FQFC=GQGC∴CFQG 成调和点列 (调和点列的性质) . .30 分(注: 有的学生可能会写成 C,Q;F,G=-1 也代表调和点列,可以给分)∵M 是 AB 中点, ∴CM⊥AB∴MQ 与 MC 分别是 ∠FMG 的内角平分线和外角平分线 (调和点列的性质) . .40 分 证毕。
第三届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动概述
下的教材, 但 不同版 本的 教材 在结 构体 系、 内容安 排、 呈现 方式 等方面 还是 存在 很大 的差 异. 教材多 样化的趋势逐渐形成. 为了更加符合各地教 学的实 际情况, 为各地参 评教师留有更多的 发挥空 间, 对 课题 的选择, 参评 教师具有很大的自主权. 关于本次活动说课的 具体课 题. 从三 个领域来 看, 数与代数! 领域 32 个课题, 图形与空间! 领域 58 个课题, 统计与概率! 领域 31 个课题. 图形与空 间! 领域的课题最多, 比较集中的几个 课题是: 勾股 定理( 6 个) , 旋转 ( 7 个) , 三 角形的 内角和、 全等、 相 似( 10 个) ; 数与代数! 领域 中比较 集中的 课题 是: 函数( 6 个) , 方程( 4 个) ; 统计与 概率! 领域的内 容 比较分散, 涵盖其基本 内容, 包 括概率的 基本含 义, 数据的收集、 整理与分析, 统计图 表等等. 出现这 种 情况的原因, 主要是由于 说课的 性质及课 题本身 的 内涵决定的. 讲课! 的具体课题, 依据此次活 动承办地提 供 的实际数学课程进度, 8 节课涵盖初中三个年级.
2006 年
第 45 卷
第 12 期
数学通报
29
积极贯彻课改精神 全面落实教材要求 努力提高教学质量
卡西欧杯! 第五届全国初中青年数学教师优秀课观摩与评比活动概述
张劲松
( 人民教育出版社中 学数学室 100081)
朱文芳
( 北京师范大学数科院 )
李善良
( 江苏教 育科学研究院 )
卡西欧杯! 第五届全国 初中青年 数学教师 优 秀课观摩与评比活动于 2006 年 10 月 22 日至 25 日在 陕西省西安市举行. 来自全国 30 个省( 自治区、 直辖 市) , 新疆生产建设兵团、 海南农 垦及全 国油田系 统 的优秀一线数 学教师、 数 学教 学研 究人 员、 数学 教 育专家、 教材编 写人员、 编辑共 约 1200 人参加了 此 次活动. 考虑到当前教学的 实际情况, 组织 实施优秀 课 观摩的可操作性, 本次 活动以 说课为主、 讲课为 辅. 来自全国各地的 127 名一等奖参评教师为与会代表 提供了 120 节精彩的说课和 7 节精彩的讲课, 当地一 所学校提供了 1 节观摩示范课. 中国教育学会副会 长、 东北 师范大 学校长史 宁 中教授做 了 关 于∀ 全日 制义 务教 育数 学课 程标 准 ( 实验稿) # 的若干思考! 的大会报告. 下面分三个方面概述一下本次活动. 1 关于 说课! 课题 2005 年秋季, 义务教育阶段 初中起 始年级全 部 进入课改, 使 用课 程标准 教材. 虽 然都 是课 程标 准
全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何
历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解 - 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心C．重心D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个 C．12个 D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC 中，D 是边BC 上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC 的面积是（ ）．A ．30B ．36C ．72D ．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（ ）。
广州红棉杯数学竞赛题目
1、在直角坐标系中，点A(3,4)关于x轴对称的点的坐标是：A. (-3, -4)B. (3, -4)C. (-3, 4)D. (4, 3)（答案）B2、若等腰三角形的一个内角为80°，则另外两个角的度数分别为：A. 50°，50°B. 65°，65°C. 50°，50°或65°，65°D. 65°，50°（答案）C3、下列四边形中，不一定是平行四边形的是：A. 两组对边分别平行的四边形B. 对角线互相平分的四边形C. 一组对边平行且相等的四边形D. 对角线相等的四边形（答案）D4、已知圆的半径为r，圆心到直线l的距离为d，若直线l与圆相切，则：A. d > rB. d < rC. d = rD. d与r的大小关系不确定（答案）C5、某商店进行打折促销，原价为a元的商品打八折后售价为：A. 0.8a元B. 0.2a元C. a/0.8元D. a/0.2元（答案）A6、下列选项中，能判定两个三角形全等的是：A. 两边及一边的对角相等B. 两边及夹角相等C. 三个角相等D. 两条边相等且面积相等（答案）B7、已知数据x₁，x₂，x₃，...，xₙ的平均数为x，方差为S²，若新数据为x₁+2，x₂+2，x₃+2，...，xₙ+2，则新数据的方差为：A. S²+ 2B. S²+ 4C. S²D. 2S²（答案）C8、在平行四边形ABCD中，若AB = 6，BC = 8，则对角线AC的取值范围是：A. 2 < AC < 14B. 4 < AC < 10C. 6 < AC < 8D. 8 < AC < 14（答案）A。
广州市卡西欧杯中学数学讲题比赛
广州市“卡西欧杯”中学数学“讲题比赛”获奖通知各区（县级市）教研室中数科，各中学数学科：2014年12月12日，广州市“卡西欧杯”中学数学“讲题比赛”成功举行。
本次活动由广州市教育研究院数学科和广州市中学数学教学研究会联合主办，“卡西欧”公司协办，得到了番禺区星海中学、天河区第十八中学、花都区秀全外国语学校鼎力相助。
聘请了市区主管初中的教研员和市区初中数学骨干教师担任“讲题比赛”评委。
共有290名初中数学教师参加本次“讲题比赛”。
这些教师都是各区（县级市）“讲题比赛”的优胜者。
在为期一天的“讲题比赛”中，他们践行数学新课程的教学理念，充分展示了有效教学的教学策略，注重学生数学素养的培养，教学效果显著，为数学学科教学领域深化素质教育提供了行之有效的讲题案例。
经各评比小组的认真评选和各小组之间的协调，共评出一等奖36名，二等奖92名，三等奖162名，获奖名单附后。
特此通知广州市教育研究院数学科广州市中学数学教学研究会二〇一四年十二月三十日附：2014年广州市“卡西欧杯”中学数学讲题比赛获奖名单（排名不分先后）一等奖二等奖三等奖黄埔区赵丽晓86中分校三等奖黄埔区杨山石化中学三等奖黄埔区肖琼87中三等奖黄埔区吴丽敏84中三等奖荔湾区张家智广州市一中外国语学校三等奖荔湾区蚁丹霞荔湾区双桥实验学校三等奖荔湾区杨家玉美华中学三等奖荔湾区周建阳广州市第四中学三等奖荔湾区王甫仕广州市荔湾区真光实验学校三等奖荔湾区周文辉广州市第四中学逸彩新世界校区三等奖荔湾区陈建辉广州市荔湾区真光实验学校三等奖荔湾区江波真光中学岭南校区三等奖荔湾区刘倩娴广州市陈嘉庚纪念中学三等奖荔湾区廖炽强广州市第九十三中学三等奖荔湾区黄元英广州市第一中学三等奖荔湾区杨亚兴广州市陈嘉庚纪念中学三等奖荔湾区郭力广州市荔湾中学三等奖荔湾区陈玲广州市第四中学逸彩新世界校区三等奖荔湾区丁胜广州市荔湾区金道中学三等奖荔湾区黄安莉荔湾区立贤学校（中学部）三等奖荔湾区林结英广州市荔湾区四中聚贤中学三等奖荔湾区梁远玲广州市荔湾中学三等奖萝岗区许启希广州市萝岗区镇龙中学三等奖萝岗区连明瑞广州市玉岩中学三等奖萝岗区杨健美广州市玉岩中学三等奖萝岗区吴杰广州二中苏元实验学校三等奖萝岗区张伟广州市萝岗区华峰中学三等奖萝岗区李定锋广州市玉岩中学三等奖南沙区王霞广州外国语学校三等奖南沙区陈璐玲榄核第二中学三等奖南沙区冯少勤潭山中学三等奖南沙区陈金旺榄核中学三等奖南沙区戴安然南沙第一中学三等奖南沙区刘娜横沥中学三等奖南沙区黄碧莲潭山中学三等奖南沙区麦凤珊东涌中学三等奖南沙区王福生广州外国语学校三等奖南沙区钟国杯鱼窝头第二中学三等奖南沙区杨东成鱼窝头中学三等奖天河区张惠广州市长兴中学三等奖天河区林秀红广州市东圃中学三等奖天河区陈晓燕广州市东圃中学三等奖天河区王比翼广州市长兴中学三等奖天河区陈紫红广州市第四十七中学三等奖天河区刘惠梅广州市天河外国语学校三等奖天河区桂庆华广州市第四十七中学三等奖天河区周慕仪广州市东圃中学三等奖天河区王秀文广州市第一一三中学三等奖天河区陈舒芳广州市第四十七中学三等奖天河区张珏广州市第一一三中学三等奖天河区刘伟光广州市第四十四中学三等奖天河区彭锋广州市第四十七中学三等奖越秀区李佳广州市第3中学三等奖越秀区郭新妍广州市五羊中学三等奖越秀区黄惠霞广州市执信中学三等奖越秀区孙苏平广州市第2中学三等奖越秀区何浩明广州市第10中学三等奖越秀区王曼莹广州市第17中学三等奖越秀区钟瑞云广州市东环中学三等奖越秀区邓颖广州市第7中学三等奖越秀区李颖颐广州市五羊中学三等奖越秀区梁镇辉广州市第16中学三等奖越秀区唐仕珍广州市东环中学三等奖越秀区黄粤华广州市矿泉中学三等奖增城市刘振梅朱村中学三等奖增城市陈颖东正果中学三等奖增城市张英杰大鹏中学三等奖增城市何志娴增城市小楼中学三等奖增城市王苗才广州市香江中学三等奖增城市欧阳顺银增城市第二中学三等奖增城市赖东潮增城市增城中学三等奖增城市龚志明三江二中三等奖增城市刘艳玲正果中学三等奖增城市黄观洪广州市香江中学三等奖增城市汤月嫦荔景中学三等奖增城市隋华荣增城市增城中学三等奖增城市张少毅增城市小楼中学三等奖增城市李健增城市增城中学三等奖增城市李志强凤凰城中英文学校三等奖增城市吴前进正果中学三等奖增城市李春燕增城市第二中学三等奖增城市余雯水电二局学校三等奖增城市赖育章荔城二中三等奖增城市周心冰凤凰城中英文学校三等奖增城市郭燕娜大鹏中学三等奖增城市唐小艳凤凰城中英文学校三等奖增城市刘燕增城市小楼中学三等奖增城市毛朝华增城市凤凰城中英文学校三等奖。
辽宁省沈阳市第十五中学2020年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 关于卡西欧计算器的应用
辽宁省沈阳市第十五中学2020年高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生关于卡西欧计算器的应用步入高中，我初次接触到了卡西欧计算器（卡西欧 fx-cg20），自己根据说明书上的指导将每个出现在主界面的程序都试了一遍，简单的能计算了一些课本上的例题或绘制图形等。
相比手算，卡西欧计算器可以达到很高的精准度和速度，在高中大题海的攻击下，这种计算机的辅助可以帮助我们在繁琐的数学题中节省大量时间、提高效率，从此卡西欧计算机成为我数学学习中很重要的一部分，这也是我在日后参加到卡西欧数学竞赛中的重要因素。
而且在卡西欧杯竞赛中所接触的专业题，还可以使我掌握到更多有关卡西欧计算器的应用，用不同的方法解同一道题。
下面我们来举几个例子：不等式|2x-1|>2√x的解集为___________________（结果精准到0.001）【此为2020年卡西欧杯全国数学竞赛题目，特此注明】我们能在这道题上找到很多不同的解法，例如:①方法1首先打开图形这一功能，在Y1=后面填入2√x，在Y2后面填入|2x-1|，并点击绘图键后出现两像于同一坐标系中，按下F5键点击交点，找到两图像交点横坐标值，再找出y=|2x-1|在y=2√x 上方的部分，即当x<0.134或x>1.866时（结果精准到0.001），得出结果为(- ∞,0.134]U[1.866,∞).② 方法2首先在审题后发现若使2x-1的绝对值大于2√x，那么就有2x-1<-2√x 或2x-1>2√x，将两个不等式化为1-2x-2√x>0或2x-2√x-1>0，还是在图形功能中分别画出y 关于x 的方程y=2x-2√x -1和y=1-2x-2√x，点击F5键选择求x 值，得出当y=0时两图像与x 轴交点横坐标值，找出y>0即图像在x 轴上半轴的图像，即当x<0.134或x>1.866时（结果精准到0.001），得出结果(- ∞,0.134]U[1.866,∞).接下来是一道高二有关圆锥曲线的填空题:对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题： ① 椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ② 双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;③ 双曲线与椭圆共焦点; ④ 椭圆与双曲线有两个顶点相同.其中正确命题的序号是 .如果是计算或者是徒手画图，都会花费我们很长的时间去得出结论，那么打开卡西欧图形计算机的菜单，选中圆锥曲线这一功能，让我们一起看看解法：首先在圆锥曲线功能中画出椭圆图形191622=+y x 的图像， 并且按下F5键后找到焦点与顶点，得出椭圆图形191622=+y x 的焦点约为（2.64,0）和（-2.64,0）， 顶点（4，0）和（-4,0）接下来绘制出双曲线19722=-y x 的图像， 并且按下F5键后找到焦点与交点得出双曲线19722=-y x 的焦点为（4，0）和（-4,0）交点约为（2.64,0）和（-2.64,0），所以正确的命题应该是①和②我们举了数学竞赛亦或是学习中很简单的两道题，都可以运用图形计算机帮助我们，所以我认为它并不是只有高等绘图计算才可以使用的东西，而是可以运用在我们身边的解题或者生活中，特别是高二学习到椭圆、双曲线等知识后，大量的构造平面图形，使得卡西欧计算机的许多功能都成为了辅助我们学习的极大助手。
2013年广州市中学数学教师“教学设计” 比 赛 通 知
2013年广州市中学数学教师“教学设计”
比赛通知
各区（县级市）教研室中数科，各中学数学科：
广州市“卡西欧杯”中学数学青年教师“讲课比赛”各区已于上学期完成初赛，为了真正选拔出我市中学数学青年教师的教学能手，经研究决定，“讲课比赛”增设“教学设计比赛”，参赛者现场完成一节课的教学设计，“教学设计”比赛获得一、二等奖的老师参加“讲课比赛”决赛。
请通知贵区（县级市）（校）的参赛老师准时参加。
参赛对象：各区（县级市）初赛后已上报的参赛名单（见附件）。
参赛时间：2013年3月24日上午9:00—11:30。
考点安排：
第一考点：执信中学（越秀区、荔湾区、海珠区、天河区、白云区、黄埔区、萝岗区等参赛教师）。
第二考点：象贤中学（番禺区、南沙区等参赛教师）。
第三考点：秀全中学（花都区参赛教师）。
第四考点：从化中学（从化市参赛教师）。
第五考点：荔城一中（原华侨中学）（增城市参赛教师）。
说明：参赛者请自带钢笔和以下课本，并出示本人身份证。
高中参赛老师自带人教A版教材《数学·选修1—1或2—1》；
初中参赛教师自带人教版教材《七年级（上）》。
不能带电脑和任何教学参考书。
广州市教育局教研室数学科
广州市中学数学教学研究会
二〇一三年三月十五日
2013年“教学设计”参赛名单（高中）
2013年“教学设计”参赛名单（初中）。
“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题及试题参考答案
“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题及试题参考答案一、选择题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分．以下每小题均给出了代号为 A , B , C , D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1、如图，有一块矩形纸片ABCD , 8=AB , 6=AD ．将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边折痕为AE ，再将AED ∆沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则CEF ∆的面积为（ ）。
( A ) 2 ( B ) 4 ( C ) 6 ( D ) 8答：A 。
解：由折叠过程知，6==AD DE ，︒=∠=∠45CEF DAE ，所以CEF ∆是等腰直角三角形，且268=-=EC ，所以，2=∆CEF S 。
故选 A 。
2、若 136498322++-+-=y x y xy x M (x , y 是实数），则M 的值一定是 ( ) 。
( A ）正数 （ B ）负数 （ C ）零 （ D ）整数 答：A 。
解：因为0)3()2()2(2136498322222≥++-+-=++-+-=y x y x y x y xy x M , 且 y x 2-，2-x ，3+y 这三个数不能同时为0，所以 0>M 。
故选 A 。
3、已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，1A ，1B ，1C 分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点．若点B 在 111C B A ∆的外接圆上，则ABC ∠ 等于（ ）。
( A ) ︒30 ( B ) ︒45 ( C ) ︒60 ( D ) ︒90 答：C 。
解：因为r IC IB IA 2111===（r 为ABC ∆的内切圆半径），所以点I 同时是111C B A ∆的外接圆的圆心。
设1IA 与BC 的交点为D ，则ID IA IB 21==，所以︒=∠30IBD 。
同理，︒=∠30IBA 。
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广州市“卡西欧杯”中学数学“讲题比赛”
获奖通知
各区（县级市）教研室中数科，各中学数学科：
2011年10月28日，广州市“卡西欧杯”中学数学“讲题比赛”成功举行。
本次活动由广州市教育局教研室数学科和广州市中学数学教学研究会联合主办，“卡西欧”公司协办，得到了越秀区第21中学、海珠区绿翠中学、番禺星海中学鼎力相助。
聘请了市区主管初中的教研员和市区初中数学骨干教师担任“讲题比赛”评委。
共有305名初中数学教师参加本次“讲题比赛”。
这些教师都是各区（县级市）“讲题比赛”的优胜者。
在为期一天的“讲题比赛”中，他们践行数学新课程的教学理念，充分展示了有效教学的教学策略，注重学生数学素养的培养，教学效果显著，为数学学科教学领域深化素质教育提供了行之有效的讲题案例。
经各评比小组的认真评选和各小组之间的协调，共评出一等奖31名，二等奖89名，三等奖185名，获奖名单附后。
特此通知
广州市教育局教研室数学科
广州市中学数学教学研究会
二〇一一年十一月十日
附：2011年广州市“卡西欧杯”中学数学讲题比赛获奖名单
（排名不分先后）
一等奖
二等奖
三等奖
番禺区陈迪银钟村奥园学校三等奖番禺区张焕连象达中学三等奖番禺区沈晓欢桥兴中学三等奖番禺区翁文钰石碁中学三等奖番禺区林赞娟富丽中学三等奖番禺区赖锦发石壁中学三等奖海珠区邓广源蓝天中学三等奖海珠区邓璐璐广州市江南中学三等奖海珠区谭丽梦广州市绿翠中学三等奖海珠区周达荣广州市第三十三中学三等奖海珠区周竞灿广州市南武实验学校三等奖海珠区毕文霞广州市海珠中学三等奖海珠区蔡丽群广州市南石中学三等奖海珠区许丽珍广州市第九十七中学三等奖海珠区阙志祥广州市第九十八中学三等奖海珠区唐光灿广州市第九十七中学三等奖花都区张翠怡迳口中学三等奖花都区刘勇冯村中学三等奖花都区温春好梯面中学三等奖花都区罗文珍邝维煜纪念中学三等奖花都区刘珠花山中学三等奖
花都区吴彩红联安中学三等奖花都区张小敏大塘中学三等奖花都区胡余华赤坭中学三等奖花都区张旭宏雅瑶中学三等奖花都区叶雯秀全外国语学校三等奖花都区王雪莹雅瑶中学三等奖花都区汤燕芳云山中学三等奖花都区李强军冯村中学三等奖花都区宋大春雅瑶中学三等奖花都区王文东迳口中学三等奖花都区徐桂欣金华中学三等奖花都区李雄彬雅瑶中学三等奖花都区周文强冯村中学三等奖花都区肖海英华侨中学三等奖花都区黄桂英迳口中学三等奖黄埔区陈劲浩广州市第一二三中学三等奖黄埔区黄佳丽广州市黄埔中大附属外国语实验中学三等奖黄埔区罗玲广州市黄埔区双沙中学三等奖黄埔区陈婷广州市第八十七中学三等奖黄埔区张雨红广州市黄埔中大附属外国语实验中学三等奖黄埔区钟淑欢广州市黄埔区港湾中学三等奖
黄埔区秦柳儿广州市黄埔区新港中学三等奖黄埔区徐慧君广州市第八十七中学三等奖黄埔区高伟明广州市第八十四中学三等奖黄埔区韩学涛广州市黄埔区港湾中学三等奖黄埔区饶秋莎广州市第八十六中分校三等奖荔湾区周桃安23中三等奖荔湾区韦宏平一中实验三等奖荔湾区江喜婵广雅实验三等奖荔湾区李俊广州市美华中学三等奖荔湾区王甫仕真光实验三等奖荔湾区张卫华24中三等奖荔湾区甘厚清西关外国语学校三等奖荔湾区周文辉广州市第四中学三等奖荔湾区唐振宁西关外国语学校三等奖荔湾区郭晋西关外国语学校三等奖荔湾区邓永东花地中学三等奖荔湾区王亚南广雅实验三等奖荔湾区刘天亮广州市美华中学三等奖荔湾区刘超然第九十三中学三等奖荔湾区李勉聪南海中学三等奖荔湾区林结英广州市第四中学三等奖
荔湾区卢燕玲双桥中学三等奖荔湾区黎乐锋一中实验三等奖荔湾区陈珅一中实验三等奖萝岗区邱蓝青广州市玉岩中学三等奖萝岗区李定锋广州市玉岩中学三等奖萝岗区黎洁蕴广州市第九十一中学三等奖萝岗区赵干花萝岗区九佛第二中学三等奖萝岗区赵丰雪广州市玉岩中学三等奖萝岗区胡晓丽广州开发区中学三等奖萝岗区邱传林广州市二中苏元实验学校三等奖萝岗区刘克谱广州市二中苏元实验学校三等奖萝岗区刘新柱萝岗区东区中学三等奖南沙区林莲英黄阁中学三等奖南沙区陈炳坤黄阁中学三等奖南沙区李洁南沙一中三等奖南沙区邝立斌英东中学三等奖南沙区吴小莉横沥中学三等奖南沙区郭桂珍南沙一中三等奖南沙区黄安锦珠江中学三等奖南沙区陈君敏南沙一中三等奖南沙区梁桂雄南沙一中三等奖
南沙区张华平横沥中学三等奖南沙区汤泽娜南沙一中三等奖天河区何文泰安中学三等奖天河区梁艳珍骏景中学三等奖天河区谢林艳47中三等奖天河区刘汉科天秀中学三等奖天河区刘伟光44中三等奖天河区李远清113中学三等奖天河区费华菲省实天河三等奖越秀区唐琦广州市第2中学三等奖越秀区廖远萍广州市长堤真光中学三等奖越秀区周利华八一实验学校三等奖越秀区黄海龙广州市越秀区育才实验学校三等奖越秀区齐美丽广州市梅花中学三等奖越秀区张碧铿广州市培正中学三等奖越秀区陆曼丽广州市第7中学三等奖越秀区劳珠琼广州三中三等奖越秀区梁惠平17中三等奖越秀区陈罕聪应元2中三等奖越秀区邱丹曼广州市铁一中学三等奖越秀区黄木生37中三等奖
越秀区陈思远五羊中学三等奖增城市罗文欢增城实验中学三等奖增城市李春燕增城二中三等奖增城市陈文锋荔城三中三等奖增城市江耀雄仙村中学三等奖增城市毕燕平永新中学三等奖增城市姚仁忠荔景中学三等奖增城市谭宗标海伦堡学校三等奖增城市李健增城中学三等奖增城市梁志敏增城中学三等奖增城市谢翠环大鹏中学三等奖增城市刘右城增城二中三等奖增城市赖灶兰增城二中三等奖增城市黄柳仪英华学校三等奖增城市吴小兰小楼中学三等奖增城市林彩霞增城二中三等奖增城市盘香荣正果中学三等奖增城市林惠新塘三中三等奖。