高考数学猜题教案

高考数学猜题教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

【所猜考点】

概率与数列综合问题

【适合地区】

四川省、全国大纲卷地区

【呈现题型】

解答题，其中某一知识点或方法的考查也可以是选择题或填空题

【命制试题】

甲乙二人轮流掷一枚均匀的正方体骰子，规定：如果某人某一次掷出1点，则下一次继续由此人掷，如果掷出其他点数，则由另一人来掷，且第一次由甲掷.设第n 次由甲掷的概率为p n ，由乙掷的概率为q n .

(1)计算p 2，p 3的值；

(2)求证{p n －q n }是等比数列；

(3)求lim n →∞

p n . 【试题立意】

如果分开来说，概率问题和数列问题高考中都已经屡见不鲜，但其交汇点处的命题还是空白，各地的模拟练习也已经开始注意这方面问题，高考中考查只是迟早的问题了.

【标准解答与评分标准】

(1)由已知，p 1＝1，q 1＝0

p 2＝16，且q 2＝56 ……1分

p 3＝16p 2＋56q 2＝2636＝1318 ……3分

(2)由已知，p n ＝16p n －1＋56q n －1，q n ＝16q n －1＋56p n －1(n ≥2) ……5分

两式相减得：p n －q n ＝16(p n －1－q n －1)＋56(q n －1－p n －1)

＝－23(p n －1－q n －1) ……7分

即数列{p n －q n }是公比为－23等比数列； ……8分

(3)由(2)得：p n －q n ＝(－23)n －1(p 1－q 1)＝(－23)n －1

又p n ＋q n ＝1 ……9分

∴p n ＝(－23)n －1＋q n ＝(－23)n －1＋(1－p n ) ……10分

∴p n ＝12(－23)n －1＋12(n ∈N ＋) ……11分

∴lim n →∞

p n ＝12. ……12分

【详细解析】

本题难度并不大，但很有新意，如何将前后两次的概率之间建立起联系是解决本题的关键，而其中的p n＋q n＝1这个概率中的一个基本常识容易被学生忽略，从中也体现出对学生的思维品质有较高的要求。

为降低试题难度，设置了第(2)小问“求证{p n－q n}是等比数列”，其实是为第(3)问搭台阶，否则，如果直接要求“求{p n}的通项公式”，可能会让不少考生手脚无措。

【猜题理由】

人教版老教材对概率始终是重点照顾对象，但考查的题型几年来一直是常规的求概率、期望、方差等套路，在新教材逐步逼近的情况下，如果将常规考点演变出新花样，是命题者的一个主要思路。概率与数列（极限）相对来说就是一个很好的结合点，值得关注。

【教学启示】

通常情况下，老师们的教学总是将知识点相对独立地进行教学和复习，综合问题也只是集中在函数、不等式、解析几何等板块.在向新课程的过渡阶段，(相对而言)试题难度正在逐步减小，如何保证考题的选拔性，使得命题者必然在一些常规问题上变花样。于是，在知识的交汇点上命题成为当今热点。比如常见的向量与函数、向量与三角函数、向量与解析几何等等。希望通过该题的“抛砖引玉”，能让大家都来关注这个共同性的问题，以期望在高考中取得好成绩。