第二节 数集与确界原理.

x inf A 或 x inf B. x min inf A , inf B .
即
min inf A , inf B 是数集 S 的下界, inf S min inf A , inf B .
又 S A, S 的下界就是 A 的下界, inf S 是 S 的下界, inf S 是 A 的下界
inf S xinfinAf; A同或理x 有 ininff BS. inf xB. m于in是 in有f A , inf B .
即
min inf A , inf B 是数集inf SS的下mi界n , infA ,ininff SBm. in inf A , inf B .
上确界 M
上界
M1
M2
下界
m2 m1 m
下确界
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确界的精确定义 定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条： （1） 对一切 x S 有 x ，即 是数集 S 的上界； （2） 对任意 0 ，存在 x0 S 使得 x0 （即 是 S 的最小上界），
则称数 为数集 S 的上确界。记作 sup S
inf S inf A; 同理有 inf S inf B. 于是有
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即
min inf A ,ininff SBm是in数 i集nf SA的, in下f B界., inf S min inf A , inf B .
又证S Ax ,S, 有S x的下A界或就x 是B,A 的由下inf界A,和inifnfSB是分S别的是下A界和, B 的下in界f ,S有是 A 的下界,
则称数 为数集 S 的下确界。记作 inf S
例1
（1）
(1 )n
S 1
n
,
则 sup S ______,
inf S _______ .
（2） E y y sin x, x (0, ). 则
sup E ________, inf E _________ .
定理 1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界； 若 S 有下界，则 S 必有下确界。
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二 有界数集 . 确界原理:
1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界) 设 S 为实数 R 上的一个数集，若存在一个数 M（ L）, 使得对一切 x S 都有 x M ( x L) ，则称 S 为有上界(下界)的数集。 若集合 S 既有上界又有下界，则称 S 为有界集。
例如，闭区间、 (a,b) (a,b 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合
E y y sin x, x ( , ) 也是有界数集.
无界数集: 若对任意 M 0 ，存在 x S , | x | M ，则称 S 为无界集。
例如， ( , ) , ( , 0 ) , ( 0 , ) ，有理数集等都是无界数集,
例1
证明集合
E
y
y 1, x
x ( 0 ,1 ) 是无界数集.
例3 设 S 和 A 是非空数集，且有 S A. 则有
sup S sup A, inf S inf A. .
例 4 设 A 和 B 是非空数集. 若对 x A 和 y B, 都有 x y, 则有
sup A inf B.
证 x A 和 y B, 都有 x y, y 是 A 的上界, 而 sup A 是 A 的最
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证明：对任意 M 0 , 存在 x 1 (0, 1) , y 1 E, y M 1 M
M 1
x
由无界集定义，E 为无界集。
确界，先给出确界的直观定义：若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上
界，其中最小的一个上界我们称它为数集 S 的上确界，记作 sup S ；同样，有下
界数集的最大下界，称为该数集的下确界，记作 inf S 。
x0
定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条： 1）对一切 x S 有 x ，即 是数集 S 的下界；
S
x0
2）对任意 0 ，存在 x0 S 使得 x0 （即 是 S 的最大下界），
则称数 为数集 S 的下确界。记作 inf S
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x0 2）对任意 0 ，存在 x0 S 使得 x0 （即 是 S 的最大下界），
oa
x
(,b) {x x b}
ob
( , )
x
x
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邻域
定义 1（邻域的定义） 是一实数, 0(读作 delta),称数集
a
a
a
x
有时我们仅仅研究点 附近(不包含 点)的情况,需要使用到所谓去心
邻域的概念.
定义 2 去心邻域的定义)称数集
为点 的去心 邻域. （见下页示图）
5
a
a
a x
小上界 sup A y. 此式又 sup A 是 B 的下界, sup A inf B（B 的最大
下界）
例 5 A 和 B 为非空数集, S A B. 试证明:
inf S min inf A , inf B .
证 x S, 有 x A 或 x B, 由 inf A 和 inf B 分别是 A 和 B 的下界,有
证明(建教材 p7)
例2 非空有界数集的上（或下）确? 界是唯一的.
例3 设 S 和 A 是非空数集，且有 S A. 则有
sup S sup A, inf S inf A. .
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例 4 设 A 和 B 是非空数集. 若对 x A 和 y B, 都有 x y, 则有
例2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的.
§2 数集·确界原理
教学内容： 区间与邻域；有界集与确界原理 重点：区间与邻域的概念，确界定义与确界原理 要求：正确理解数集上下确界与数集上下界的定义。
本节先定义 R 中两类重要的数集——区间与邻域，然后讨论有
界集§并2给数出集确.界确定界义原与理确界原理。
一 区间与邻域:
区间 ：
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
a
b
1
aa
bb
{{x a x bb}} 称称为为闭闭区区间间,,记记作作[a[,ab,]b]
aa
bb
{ x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
2
{ x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
a
b
无限区间
oa
[a,) {x a x}
3
[a,) {x a x}