相似三角形的性质和判定测试试题

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相似三角形的性质和判定

一、选择题1、若032=-y x ，则=yx ，=+y x x ，=-+y x y x 。

2、图纸上某零件长32mm ，比例尺为1：200，则此零件的实际长度。

3、线段a=5，b=3，a ，b ，（a-b ）的第四比例项是，（a+b ）与（a-b ）的比例中项是。

4、若D 、E 各是ABC ∆的边AB ，AC 上的点，21==EC AE DB AD ，cm DE 3=，则BC=5、ABC ∆中，DE//BC ，分别交AB ，AC 于D ，E ，若DE 分ABC ∆成面积相等的两部分，则AD ：AB= 。

7、在ABC ∆中，AD 是角平分线，34=BD AB ，若BC=12，则ABC ∆的周长是。

8、图9，在ABC ∆中，DE 是中位线，设ABC ∆的面积为S ，则GDE ∆的面积是 .9、如图10，在ABC ∆中，AD ：DB=2：3，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，则FC ：BF= 。

10、如图11，在 ABCD 中，AB=20cm ，BC=12cm ，延长AB 至E ，使BE=8cm ，连结OE 交BC 于F ，则BF= cm 。

12、如图12，在ABC Rt ∆中，90=∠C °，内接正方形DEFG 边长x ，若AE=9，BF=4，则x = 。

13、如图13，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，则图中相似三角形有（）(A)3对 (B)4对 (C) 5对 (D)6对14、已知线段,,,,d c b a 且满足d c b a =，下列等式中不一定成立的是（）(A) c d a b = (B)c c d a ab -=- (C)dc c b a b +=+ (D)d cd b ca =++15、已知k cb a b ac a c b =+=+=+，则k 的值是（） (A) 1 (B) 2 (C) –1 (D) 2或-116、ABC Rt ∆中，90=∠C °，CD ⊥AB 于D ，下列等式中不成立的是（）(A) AB AD AC ∙=2（B ）CD AB BC AC ∙=∙ (C) DB CD AD 2= (D)BDAD BC AC = 17、如图，□ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为BC 上一点，且DCF ∆∽DAE ∆，若AD=10cm ，AB=6cm ，则ＢＦ＝（） A 、5cm (B) 8.2cm (C) 6.4cm (D)1.8cm18、两个相似三角形的相似比是2 : 3 ，较小三角形面积为3，则较大三角形面积（）(A) 2 (B) 34 (C)316 (D)427 19、已知梯形两底的长分别是3.6和6，高线长是0.3，则它的两腰延长线的交点到较长底边所在直线的距离是（）(A) 509 (B)2512 (C)209 (D)43 20、如图，D为ABC ∆的边AC 上一点，A DBC ∠=∠，已知BC=2，BCD ∆与ABC ∆的面积的比是2：3，则CD 的长是（）(A)322 (B)332 (C)34 (D)321、下列命题中正确的是（）①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似A 、①③B 、①④C 、①②④D 、①③④22、如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（）A AC AE AB AD = B FB EA CF CE =C BD AD BC DE = D CBCF AB EF = 23、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是（）A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC. BE=CD ，AB=ACD. AD ∶AC=AE ∶AB24、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（）A 1对B 2对C 3对D 4对25、在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF=90°，则一定有（）A ΔADE ∽ΔAEFB ΔECF ∽ΔAEFC ΔADE ∽ΔECFD ΔAEF ∽ΔABF26、如图1，ADE ∆∽ABC ∆，若4,2==BD AD ，则ADE ∆与ABC ∆的相似比是（）A ．1：2B ．1：3C ．2：3D ．3：227、一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（）A ．19B ．17C ．24D ．21A B CDE F B A C D28、在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离25cm,则甲,乙的实际距离是( )A.1250kmB.125kmC. 12.5kmD.1.25km29、在相同时刻，物高与影长成正比。

人教九下数学第27章相似三角形的判定及有关性质综合测试(含答案)

人教九下数学第27章相似三角形的判定及有关性质综合测试（含答案）一、选择题（每小题6分，共48分）1．在△ABC 中，D 、F 是AB 上的点，E 、H 是AC 上的点，直线DE//FH//BC ，且DE 、FH 将△ABC 分成面积相等的三部分，若线段FH=65，则BC 的长为（） A ．15 B ．10 C.6215 D ．15322．在△ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，且S △ADE ：S 四边形DBCE=1：2，则梯形的高与三角形的边BC 上的高的比为（）A ．1：2B ．1：)12(-C ．1：)13(-D ．)13(-：33．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的高，AC=5，BC=8，则S △ACD ：S △CBD 为（） A ．85B ．6425 C ．3925 D ．8925 4．如图1—5—1，D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4，△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是（）A.29，16 B. 9，4 C. 29，8 D. 49，165．如图1—5—2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC ；（3）ABAC AD CD =；（4）AB 2=BD ·BC 。

其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．如图1—5—3，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且31AC AD =，AE=BE ，则有（）A. △AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C. △AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD7．如图1—5—4，PQ//RS//AC ，RS=6，PQ=9，SC 31QC =，则AB 等于（） A. 415B. 436C. 217D. 58．如图1—5—5，平行四边形ABCD 中，O 1、O 2、O 3是BD 的四等分点，连接AO 1，并延长交BC 于E ，连接EO 2，并延长交AD 于F ，则FDAD等于（）A ．3：1B ．3：1C ．3：2 D. 7：39．如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形必是（） A ．等腰三角形 B. 任意三角形C ．直角三角形D ．直角三角形或等腰三角形10．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ： AC=A'B'：A'C'，∠B=∠B'，则这两个三角形（） A ．相似，但不全等 B ．全等C ．一定相似D ．无法判断是否相似11．如图1—6—1，正方形ABCD 中，E 是AB 上的任一点，作EF ⊥BD 于F ，则BEEF为（）A ．22B ．21C ．36D ．2图1—6—112．如图1—6—2，把△ABC 沿边AB 平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，若2AB =，则此三角形移动的距离AA'是（）A ．12-B ．22C ．1D ．21 图1—6—213．如图1—6—3，在四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=32，AD=2，则四边形ABCD 的面积是（）A ．24B ．34C ．4D ．6 图1—6—314．如图1—6—4，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对15．在直角三角形中，斜边上的高为6cm ，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（）A.265cm B ．64cm C ．65cmD ．325cm16．AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，作DE ⊥AC 于E ，45AC AB =，则EACE=（） A ．2516 B ．54C ．45D ．162517．如图1—6—5，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，已知AB=m ，BC=n ，求CD 的长。

相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)

相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠XXX∠BAD。

证明：=。

当GC⊥BC时，证明：∠BAC=90°。

2.在三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足。

证明：AC^2=AF•AD。

联结EF，证明：AE•DB=AD•EF。

3.在三角形ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC。

证明：△APC∽△ACB。

若AP=2，PC=6，求AC的长。

4.在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠XXX∠C。

证明：△ABF∽△EAD。

若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长。

5.在三角形ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。

证明：AB•BC=AC•CD。

6.在直角三角形ABC中，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S。

说明AF•BE=2S的理由。

7.在等边三角形ABC中，边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P。

若AE=CF，证明：AF=BE，并求∠APB的度数。

若AE=2，试求AP•AF的值。

若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。

8.在钝角三角形ABC中，AD，BE是边BC上的高。

证明。

9.在三角形ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC 上，DF与BE相交于点G，且∠XXX∠ABE。

证明：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF。

10.在等边三角形ABC、△DEF中，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2.问E在何处时CH的长度最大？11.在AB和CD交于点O的图形中，当∠A=∠C时，证明：OA•OB=OC•OD。

12.在等边三角形△AEC中，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。

相似三角形的性质和判定同步练习题

相似三角形的性质和判定同步练习一、仔仔细细，记录自信1．如图1，△OED ∽△OCB ，且OE =6，EC =21，则△OCB 与△OED 的相似比是（）A ．37 B ．52 C ．85 D ．352．如图2，点E ，F 分别在矩形ABCD 的边DC ，BC 上，∠AEF =90°，∠AFB =2∠DAE =72°，则图中甲、乙、丙三个三角形中相似的是（）A ．只有甲与乙B ．只有乙与丙C ．只有甲与丙D ．甲与乙与丙3．如图3，D 是AB 的中点，E 是AC 的中点，则△ADE 与四边形BCED 的面积比是（）A ．1B ．12C ．13D ．144．在相同水压下，口径为4cm 的水管的出水量是口径为1cm 的水管出水量的（）A ．4倍B ．8倍C ．12倍D ．16倍5．对于下列说法：（1）相似且有一边为公共边的两个三角形全等；（2）相似且面积相等的两个三角形全等；（3）相似且周长相等的两个三角形全等．其中说法正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．我国国土面积约为960万平方千米，画在比例尺为1∶1 000万的地图上的面积约是（）A ．960平方千米B ．960平方米C ．960平方分米D ．960平方厘米7、如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k (k ≠1)，则k 的值是（）A ．∠A ：∠A ′B ．A ′B ′：ABC ．∠B ：∠B ′D ．BC ：B ′C ′8、若△ABC ∽△A ′B ′C ′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B ′等于（）A ．30°B ．50°C ．40°D ．70°9、三角形三边之比3：5：7，与它相似的三角形最长边是21cm ，另两边之和是（）A ．15cmB ．18cmC ．21cmD ．24cm10如图AB ∥CD ∥EFA ．1对B ．2对C ．3对D ．4对11△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为2：3，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，相似比为5：4，则△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为（）A ．B ．C ．D ．12、在比例尺1：10000的地图上，相距2cm 的两地的实际距离是（）A ．200cmB ．200dmC ．200mD ．200km13、已知线段a=10，线段b 是线段a 上黄金分割的较长部分，则线段b 的长是（）A ．B ．C ．D ． 14、若则下列各式中不正确的是（）A ．B ．C ．D ．15、已知△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且AE=1.2，EC=0.8，AD=1.5，DB=1，则下列式子正确的是（）A ．B ．C ．D ．16、如图：在△ABC 中，DE ∥AC ，则DE ：AC=（）A ．8：3B ．3：8C ．8：5D ．5：8二、认认真真，书写快乐7．已知A B CA B C '''△∽△，且4A B =，6A B ''=，8B C ''=则BC = ．8．两个相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别是40°和30°，则另一个三角形的最大内角的度数是．9．如图4，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD与a、b满足关系时，△ABC∽△CDB．10．如图5，P是等腰梯形ABCD上底AD上一点，若∠A=∠BPC，则和△ABP相似的三角形有个．11．相似三角形对应、、的比都等于相似比．12．相似多边形的周长比等于，面积比等于．13．把一个三角形三边同时扩大4倍，则周长扩大了倍，面积扩大了倍．，则面积比是．14．两个相似三角形对应中线的比为23三、平心静气，展示智慧15．如图6，已知△ABC∽△DEF，AB=6，BF=2，CE=8，CA=10，DE=15．求线段DF，FC的长．16．要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别是4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？想想看，你有几种解决方案？17．如图7，已知△ABC∽△DEF，AM、DN是中线，试判断△ABM与△DEN是否相似？为什么？18．如图8，AD是△ABC角平分线，试判断B D A B是否成立？D C A C。

相似三角形的判定与性质练习题(附答案)

相似三角形的判定与性质练习题一、单选题1.如果两个相似三角形的相似比是1:2, 那么这两个相似三角形的面积比是( ) A.2:1 B. 1:2C.1:2D.1:42.如图,点D 是△ABC 的边AB 上的一点,过点D 作BC 的平行线交AC 于点E,连接BE,过点D 作BE 的平行线交AC 于点F,则下列结论错误的是( )A. AD AE BD EC= B. AF DF AE BE= C. AE AF EC FE= D. DE AF BC FE = 3.下列四条线段中，不能组成比例线段的是（）A.3,6,2,4a b c d ====B.1,2,3,6a b c d ====C.4,6,5,10a b c d ====D.2,5,23,15a b c d ====4.如图,在ABC ∆中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,下列条件中不能判断ABC AED ~△△ ( )A. AED B ∠=∠B. ADE C ∠=∠C. AD AC AE AB =D. AD AE AB AC= 5.如图27-4-4,在四边形ABCD 中,BD 平分,90,ABC BAD BDC E ∠∠=∠=°为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F.若4,30BC CBD =∠=°，则DF 的长为( )A.235B.233C.334D.4356.如图,在中,E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则:EF FC等于( )A.3:2B.3:1C.1:1D.1:27.如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1,7)，(11)，，(41)，，(61)，，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A.(60)，B.(63)，C.(65)，D.(42)，8.如图,在正方形网格上,若使△ABC∽△PBD,则点P应在处( )A.P1B.P2C.P3D.P49.如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF:FC=( )A.1:3B.1:4C.2:3D.1:210.如图,在等边三角形ABC 中,D 、E 分别在AC 、AB 上,且AD ︰AC=1︰3,AE=BE,则有( )A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD11.如图所示,四边形ABCD 是正方形,E 是CD 的中点,P 是BC 边上的一点,下列条件:①∠APB=∠EPC;②∠APE=∠APB;③P 是BC 的中点;④BP:BC=2:3.其中能推出△ABP∽△ECP 的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个12.如图，在ABC △中，CB CA =，90ACB ∠︒＝，点D 在边BC 上（与,B C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG CA ⊥，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论:AC FG =；四边形1:2FAB 四边形CBFG S :S ＝△③ABC ABF ∠=∠；④2AD FQ AC =，其中正确结论有（） A.1个 B.2个C.3个D.4个13.如图，点A 在线段BD 上.在BD 的同侧作等腰Rt ABC △和等腰Rt ADE △,CD 与BE ,AE 分别交于点,P M .对于下列结论:① BAE CAD △△;②MP MD MA ME ⋅=⋅;③22CB CP CM =⋅.其中正确的是( )A.①②③B.①C.①②D.②③14.如图,在平行四边形ABCD 中, E 为CD 上一点,连接AE 、BE 、BD ,且AE 、BD 交于点F ,:4:25DEF ABF S S ∆∆=,则:?DE EC = ( ) A. 2:3B. 2:5C. 3:5D. 3?:?2二、证明题15.如图，已知,,B C E 三点在同一条直线上，ABC △与DCE △都是等边三角形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F ，连接GF .求证：（1）ACE BCD ≅△△；（2）AG AF GC FE=. 16.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交,AB AC 于点,M N .求证：BP CP BM CN ⋅=⋅.17.如图，D BC 已知是边上的中点，且AD AC =，DE BC ⊥，DE BA E 与相交于点，EC AD F 与相交于点.（1）求证:ABC FCD △△；（2）若5FCD S =△，10BC ＝，求DE 的长18.如图，已知AD 平分BAC ∠， AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P .求证：2.PD PB PC =⋅19.如图，//AB FC ，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，分别延长FD 和CB 交于点G（1）求证:ADE CFE ≅△△；（2）若2GB =，4BC =，1BD =，求AB 的长.20.如图，在ABCD 中，,AM BC AN CD ⊥⊥，垂足分别为,M N .求证：（1）AMB AND △△；（2）AM MN AB AC=. 三、解答题21.如图，在4x3的正方形方格中,ABC △和DEC △的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1) 填空:ABC ∠= ,BC = ;(2) 判断ABC △和DEC △是否相似，并证明你的结论.22.如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米,点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动;点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动.如果P,Q 同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6),那么1.设△POQ 的面积为y,求y 关于t 的函数关系式;2.当t 为何值时,△POQ 与△AOB 相似.23.如图，已知矩形ABCD 的一条边8AD =，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处.已知折痕与边BC 交于点O ，连接,,.AP OP OA(1)求证:OCP PDA △△;(2)若OCP △与PDA △的面积比为1:4，求边AB 的长.24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =-+与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点45(,)33A ,点D 的坐标为(0)1，.(1)求直线AD 的解析式;(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当BOD △与BCE △相似时，求点E 的坐标. 25.如图，在矩形ABCD 中，12AB = cm ，6BC = cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P ，Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间（06t ≤≤），那么:（1）当t 为何值时，QAP △为等腰直角三角形？（2）对四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论（3）当t 为何值时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与ABC △相似？四、填空题26.如图,在直角梯形ABCD 中, 90ABC ∠=,//AD BC ,4AD =,5AB =,6BC =,点P 是AB 上一个动点,当PC PD +的和最小时, PB 的长为__________.27.如图,若AB∥CD,则△__________∽△__________,__________=__________=AO CO.28.如图,在等边三角形ABC 中,点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上,且90ADF BED CFE ∠=∠=∠=︒,则DEF ∆与ABC ∆的面积之比为__________ 29.已知578a b c ==，且329a b c -+=，则243a b c +-的值为 . 30.如图，已知在Rt ABC △中，5,3AB BC ==，在线段AB 上取一点D ，作DE AB ⊥交AC 于E ，将ADE △沿DE 析叠，设点A 落在线段BD 上的对应点为11,A DA 的中点为,F 若1FEA FBE △△，则AD= .31.已知:如图,在△ABC 中,点A 1,B 1,C 1分别是BC 、AC 、AB 的中点,A 2,B 2,C 2分别是B 1C 1,A 1C 1,A 1B 1的中点,依此类推….若△ABC 的周长为1,则△A n B n C n 的周长为__________.32.如图，正三角形ABC 的边长为2，以BC 边上的高1AB 为边作正三角形11AB C ，ABC △与1ABC △公共部分的面积记为1S ，再以正三角形11AB C 的边1C 上的高2AB 为边作正三角形22AB C ，11AB C △与22AB C △公共部分的面积记为2S ，……，以此类推，则n S ＝ .（用含n 的式子表示，n 为正整数）33.如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且 : 2:1,BE EC AE =与BD 交于点F ，则AFD △与四边形DFEC 的面积之比是 .34.如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P 从点B 出发,沿BC 以2 cm /s 的速度向点C 移动,点Q 从点C 出发,以1cm/s 的速度向点A 移动,若点P 、Q 分别从点B 、C 同时出发,设运动时间为ts,当t=__________时,△CPQ 与△CBA 相似.35.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且1,4CF CD =下列结论: ①30BAE ∠=°; ②;ABE ECF △△③AE EF ⊥; ④ADF ECF △△.其中正确结论是 .(填序号)36.如图27-4-9,在ABC △中,90,8m 10m,C BC AB ∠===,°点 P 从B 点出发,沿BC 方向以2m/s 的速度移动,点Q 从C 出发,沿CA 方向以1m/s 的速度移动.若P Q 、同时分别从B C 、出发,经过____________s,CPQ CBA △△~.37.如图24-4-10,ABC △的两条中线AD 和BE 相交于点G ,过点E 作//EF BC 交AD 于点F ,则FG AG=________.参考答案1.答案：C解析：2.答案：D解析：3.答案：C解析：A 选项，因为3:62:4=，所以,,,a b c d 四条线段成比例B 选项，因为1232,2226==，所以,,,a b c d 四条线段成比例C 选项，因为4:56:10≠，所以,,,a b c d 四条线段不成比例D 选项，因为2252325,55515==，所以,,,a b c d 四条线段成比例故选C 4.答案：D解析：∵DAE CAB ∠=∠,∴当AED B ∠=∠或ADE C ∠=∠时,由两角分别相等的两个三角形相似,可以得出ABC AED ~△△;当AD AC AE AB=时,由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,可得ABC AED ~△△. 只有选项D 中条件不能判断ABC AED ~△△,故选D.5.答案：D解析：如图，在Rt BDC △中，4,30,BC CBD =∠=°2,2 3.CD BD ∴=∴=连接,90,DE BDC ∠=°，点E 是BC 中点,1 2.2DE BE CE C ∴====30,30,CBD BDE DBC ∠=∴∠=∠=°°,30,BD CBC ABD DBC ∠∴∠=∠=°,//,,ABD BDE DE AB DEF BAF ∴∠=∠∴∴△△~.DF DE BF AB ∴=在Rt ABD △中，230,23,3,,3DF ABD BD AD BF ∠==∴=∴=°22243,23,5555DF DF BD BD ∴=∴==⨯=故选D.6.答案：D解析：在中, //AD BC ,∴DEF BCF ∆~∆,∴DE EF BC CF=. ∴点E 是边AD 的中点, ∴12AE DE AD ==, ∴12EF CF =. 7.答案：B解析：ABC ∆中, 90,6,3,:2ABCAB BC AB BC ∠====. A 、当点E 的坐标为()6,0时, 90,2,1CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ABC =∆~∆,故本选项不符合题意; B 、当点E 的坐标为()6,3时, 90,2,2CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ≠∆与ABC ∆不相似,故本选项符合题意; C 、当点E 的坐标为()6,5时, 90,2,4CDE CD DE ∠===,则::,AB BC DE CD EDC ABC =∆~∆,故本选项不符合题意; D 、当点E 的坐标为()4,2时, 90,2,1ECD CD CE ∠===,则::,?AB BC CD CE DCE ABC =∆~∆,故本选项不符合题意; 故选:B.8.答案：C解析：从图中可知，要使△ABC 与△PBD相似，根据勾股定理，得BC =BD =12BC AB BD BP ===,因为AB=2，那么BP=4，故选择P 3处 . 考点：相似三角形点评：该题主要考查学生对相似三角形概念的理解，以及对其性质的应用。

相似三角形判定与性质专题

相似三角形判定与性质专题【例题1】（2019•海南省）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（）B．C．D．A.【例题2】（2019•四川省凉山州）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是．【例题3】（2019•湖北省荆门市）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．【例题4】（2019年广西梧州市）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H．（1）求DE的长；（2）求证：∠1＝∠DFC．【例题5】（2019年湖南省张家界市）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE ＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．训练一、选择题1.（2019年广西玉林市）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（）A．3对B．5对C．6对D．8对2.（2019年内蒙古赤峰市）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是（）A．1 B．2 C．3 D．43.（2019·广西贺州）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，若AD ＝2，AB ＝3，DE ＝4，则BC 等于（）A ．5B ．6C ．7D ．84.（2019•广西贵港）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，∠ACD ＝∠B ，若AD ＝2BD ，BC ＝6，则线段CD 的长为（）A ．2B ．3C ．2D ．55.（2019▪黑龙江哈尔滨）如图，在▱ABCD 中，点E 在对角线BD 上，EM ∥AD ，交AB 于点M ，EN ∥AB ，交AD 于点N ，则下列式子一定正确的是（）A ．＝ B ．＝ C ．＝ D ．＝6. （2019•江苏苏州）如图，在ABC V 中，点D 为BC 边上的一点，且2AD AB ==，AD AB ⊥，过点D 作DE AD ⊥，DE 交AC 于点E ，若1DE =，则ABC V 的面积为（）A．B ．4 C． D ．8D ABC7.（2019山东枣庄）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（）A．2 B．3 C．4 D．8.（2019四川巴中）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：99.（2019年四川省遂宁市）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ＝1：2；④S△BDP＝．其中正确的有（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④二、填空题10.（2019•浙江宁波）如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为．11. 2019黑龙江省龙东地区）一张直角三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，则CD 的长为________．12．（2019•山东泰安）如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝12，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将△AEF 沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF的长是．13.（2019江苏常州）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3AB＝点P 是AD 的中点，点E 在BC 上，CE ＝2BE ，点M 、N 在线段BD 上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，则MN ＝__________．14.（2019•山东省滨州市）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ．下列结论：①EO ⊥AC ；②S △AOD ＝4S △OCF ；③AC ：BD ＝：7；④FB 2＝OF •DF ．其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）15.（2019四川泸州）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15，点E 在边CB 上，CE ＝2EB ，点D 在边AB 上，CD ⊥AE ，垂足为F ，则AD 的长为．三、解答题16.（2019•四川省凉山州）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．17．（2019•山东泰安）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．18．(2019安徽)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．19.（2019年湖南省株洲市）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝，求正方形OEFG的边长．答案【例题1】（2019•海南省）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（）B．C．D．A.【答案】B．【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝＝3，∵PQ∥AB，∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，∴∠QBD＝∠BDQ，∴QB＝QD，∴QP＝2QB，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得，CP＝，∴AP＝CA﹣CP＝【例题2】（2019•四川省凉山州）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是．【答案】4：25或9：25．【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．分AE：ED＝2：3、AE：ED＝3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．①当AE：ED＝2：3时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AE：BC＝2：5，∴△AEF∽△CBF，∴S△AEF：S△CBF＝（）2＝4：25；②当AE：ED＝3：2时，同理可得，S△AEF：S△CBF＝（）2＝9：25。

相似三角形的性质与判定作业

相似三角形的性质与判定1．[2011·北京] 如图J22－1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AD ＝1，BC ＝3，则OA OC的值为( ) A.12 B.13 C.14 D.19图J22－1 图J22－22．[2010·北京] 如图J22－2，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ∶AB ＝3∶4，AE ＝6，则AC 等于( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 81．[2015·朝阳二模] 如图J22－3，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DE ∥BC 交AC 于点E .若AD DB ＝23，AE ＝6，则EC 的长为( ) A ．6 B ．9C ．15 D ．18图J22－3 图J22－42．[2015·石景山一模] 如图J22－4，△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接B D.要使△ABD ∽△ACB ，需要补充的一个条件为________．3．[2014·东城二模] 如图J22－5，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，将△BCD 沿BD 翻折，点C 落在斜边AB 上，若AC ＝12 cm ，DC ＝5 cm ，则BC ∶AB 的值为________．图J22－54．[2013·大兴一模] 已知：如图J22－6，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长AB 到点D ，使BD ＝AB ，取AB 的中点E ，连接CD 和CE .求证：CD ＝2CE .图J22－6一、选择题1．[2015·西城二模] 如图J22－7，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，且DE ∥B C.如果AD AB ＝23，AC ＝6，那么AE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．9 D ．12图J22－7 图J22－82．[2012·海淀一模] 如图J22－8，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在CB 上，DE ⊥AB 于点E .若DE ＝2, CA ＝4，则DB AB的值为( ) A.14 B.13 C.12 D.233．[2015·昌平] 如图J22－9，在△ABC 中，DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于点D ，E .若AD ＝1，DB ＝2，则△ADE 的面积与△ABC 的面积的比等于( )A.12B.14C.18D.19图J22－9 图J22－104．如图J22－10，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC ＝14B C.图中相似三角形共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对5.如图J22－11，在矩形AOBC 中，点A 的坐标是(－2，1)，点C 的纵坐标是4，则B ，C 两点的坐标分别是( )图J22－11A ．(32，3)，(－23，4)B ．(32，3)，(－12，4) C ．(74，72)，(－23，4) D ．(74，72)，(－12，4) 6．如图J22－12，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝16.点P 是斜边AB 上一点，过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC (或边CB )于点Q .设AP ＝x ，△APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为( )图J22－12图J22－13二、填空题7．[2015·石景山] 如图J22－14，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 在AC 上且AD ＝2，如果要在AB 上找一点E ，使△ADE 与△ABC 相似，那么AE ＝________．图J22－14 图J22－158．如图J22－15，跷跷板AB 的支柱OD 经过它的中点O ，且垂直于地面BC ，垂足为D ，OD ＝45 cm.当它的一端B 着地时，另一端A 离地面的高度AC 为________cm.9．如图J22－16，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，D 是边BC 上一动点(不与点B ，C 重合)，∠ADE＝∠B ＝α，DE 交AC 于点E ，且cos α＝45.下列结论：①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE 为直角三角形时，BD ＝8或252；④0<CE ≤6.4.其中正确的结论是________．(把你认为正确结论的序号都填上)图J22－16三、解答题10．如图J22－17，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E.(1)求证：△ACD≌△CBE；(2)已知AD＝4，DE＝1，求EF的长．图J22－17参考答案北京真题演练1．B2．D [解析] 本题主要考查平行线分线段成比例定理，对应线段一定要找准确．∵DE ∥BC ，∴AD ∶AB ＝AE ∶AC ，∴3∶4＝6∶AC ，∴AC ＝8.故选D.北京模拟训练1．B2．答案不唯一，如∠ABD ＝∠C 等3.574．证明：由E 是AB 的中点，可设AE ＝BE ＝x .∵AB ＝AC ，BD ＝AB ，则有AC ＝2x ，AD ＝4x ，∴AE AC ＝AC AD ＝12. 又∵∠A ＝∠A ，∴△AEC ∽△ACD ，∴CE CD ＝12，∴CD ＝2CE . 北京自测训练1．B 2.C 3.D4．C [解析] △ADE ∽△ECF ，△ADE ∽△AEF ，△AEF ∽△ECF .5．B [解析] 如图，作BE ⊥x 轴于点E ，AF ∥x 轴，CF ⊥AF ，交AF 于点F ，AD ⊥x 轴于点D.∵四边形AOBC 是矩形，∴AC ∥OB ，AC ＝OB ，∴∠CAF ＝∠BOE .在△ACF 和△OBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠BEO ＝90°，∠CAF ＝∠BOE ，AC ＝OB ，∴△CAF ≌△BOE (AAS )，∴BE ＝CF ＝4－1＝3.∵∠AOD ＋∠BOE ＝∠BOE ＋∠OBE ＝90°，∴∠AOD ＝∠OBE .∵∠ADO ＝∠OEB ＝90°，∴△AOD ∽△OBE ，∴AD OE ＝OD BE ，即1OE ＝23，∴OE ＝32，即点B (32，3)，∴AF ＝OE ＝32，∴点C 的横坐标为－(2－32)＝－12，∴C (－12，4)． 6．B [解析] 分点Q 在AC 上和BC 上两种情况进行讨论即可．当点Q 在AC 上时(0≤x ≤12)，∵∠A ＝30°，AP ＝x ，∴PQ ＝x tan30°＝33x ，∴y ＝12AP ·PQ ＝12x ·33x ＝36x 2；当点Q 在BC 上时(x >12)，∵AP ＝x ，AB ＝16，∠A ＝30°，∴BP ＝16－x ，∠B ＝60°，∴PQ ＝BP ·tan60°＝3(16－x )．∴S △APQ ＝12AP ·PQ ＝12x ·3(16－x )＝－32x 2＋8 3x .∴该函数图象前半部分是抛物线，开口向上，后半部分也为抛物线，开口向下．故选B. 7.83或328．909．①②③④ [解析] ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.又∵∠ADE ＝∠B ，∴∠ADE ＝∠C ，∴△ADE ∽△ACD ，故①正确．∵AB ＝AC ＝10，∠ADE ＝∠B ＝α，cos α＝45，∴BC ＝2AB ·cos B ＝2×10×45＝16.∵BD ＝6，∴DC ＝10，∴AB ＝DC.在△ABD 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD ＝∠CDE ，∠B ＝∠C ，AB ＝DC ，∴△ABD ≌△DCE (ASA )．故②正确．当∠AED ＝90°时，由①可知：△ADE ∽△ACD ，∴∠ADC ＝∠AED .∵∠AED ＝90°，∴∠ADC ＝90°，即AD ⊥B C.∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∴∠ADE ＝∠B ＝α且cos α＝45，AB ＝10，BD ＝8.当∠CDE ＝90°时，易知△CDE ∽△BAD ，∵∠CDE ＝90°，∴∠BAD ＝90°.∵∠B ＝α且cos α＝45，AB ＝10，∴cos B ＝ABBD ＝45，∴BD ＝252.故③正确．易证得△CDE ∽△BAD ，由②可知BC ＝16，设BD ＝y ，CE ＝x ， ∴ABDC ＝BDCE ，∴1016－y ＝yx ，整理得y 2－16y ＋64＝64－10x ，即(y －8)2＝64－10x ，∴0<x ≤6.4，故④正确．10．解：(1)证明：∵AD ⊥CE ，∴∠2＋∠3＝90°.又∵∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3.又∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ， ∴∠E ＝∠ADC ＝90°.在△ACD 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠E ，∠3＝∠1，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE .(2)∵△ACD ≌△CBE ，∴CE ＝AD ＝4，∴CD ＝CE －DE ＝4－1＝3＝BE . ∵∠E ＝∠ADF ，∠BFE ＝∠AFD ， ∴△BEF ∽△ADF ，∴BE AD ＝EF DF .设EF ＝x ，则DF ＝1－x ， ∴34＝x1－x ，解得x ＝37.∴EF ＝37.。

相似三角形的判定与性质(六大类型)(题型专练)(原卷版)

专题02 相似三角形的判定与性质（六大类型）【题型1 相似三角形的概念】【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【题型4 两角对应相等，两三角形相似】【题型5 相似三角形的性质】【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】【题型1 相似三角形的概念】1．（2023春•阳信县月考）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2022秋•道外区期末）下列三角形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个直角三角形D．有一角为70°的两个等腰三角形3．（2022秋•武城县期末）下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组4．（2022秋•承德县期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③5．（2022秋•襄都区校级期末）下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】6．（2022秋•常州期末）如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（）A．B．C．2D．3 7．（2023•陇南模拟）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（）A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81 8．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，则CD的长是（）A．1B．2C．3D．49．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为．10．（2023•惠城区校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝cm．11．（2022秋•于洪区期末）两个相似三角形的周长比是3：4，其中较小三角形的面积为18cm2，则较大三角形的面积为cm2．12．（2022秋•鸡西期末）如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为．13．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是．14．（2022秋•内乡县期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE ＝4，则BC＝．15．（2022秋•零陵区期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC 的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为cm2．【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】16．（2022秋•仓山区校级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，求证：△ADE∽△ACB．17．（2021秋•武陵区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．18．（2022秋•丰泽区校级期中）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE ＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED．19．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．求证：△ABC∽△DEF．【题型4 两角对应相等，两三角形相似】20．（2022秋•蚌山区月考）已知：如图D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠A＝40°，∠C＝80°，∠AED＝60°，求证：△ADE∽△ACB．21．（2022秋•龙胜县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．求证：△ABC∽△CBD．22．（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．23．（2021秋•晋江市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．24．（2022•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC 的平分线．求证：△ABC∽△BDC．【题型5 相似三角形的性质】25．（2020秋•思南县校级月考）判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．26．（大观区校级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF的顶点都在格点上，请判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】27．（2022秋•历城区校级月考）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝4，AE＝2，AC＝8．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．28．（2023•殷都区一模）如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A 作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D．（1）求证：△AOC∽△OBD；（2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长．29．（2023•西湖区校级二模）如图，在菱形ABCD中，点M为对角线BD上一点，连接AM并延长交BC于点E，连接CM．（1）求证：CM＝AM．（2）若∠ABC＝60°，∠EMC＝30°，求的值．30．（2023•港南区四模）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．31．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．（1）证明：△BCD∽△ABD；（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．32．（2022秋•顺平县期末）矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝4，AD＝8，求CE的长．33．（2022秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD 上，AE，BF交于点G．（1）若＝，求证AE⊥BF；（2）若E，F分别是BC，CD的中点，则的值为．34．（2023•桐乡市校级开学）如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．35．（2022秋•海陵区校级期末）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在等腰三角形ABC的边上．已知△ABC的AB＝AC＝10，BC＝16，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．（1）求S关于x的函数表达式；（2）当S＝24时，求x的值．36．（2022秋•平城区校级期末）如图，已知在△ABC中，边BC＝6，高AD＝3，正方形EFGH的顶点F，G在边BC上，顶点E，H分别在边AB和AC上，求这个正方形的边长．。

相似三角形性质和判定的应用练习题(含答案)

专题8：相似三角形性质和判定的应用【典例引领】例：如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点．（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE．当OE=DE时，求AE的长；（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G．当BE平分∠ABC时，求BG的长；（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1．的值；①求SΔED′MSΔEMN②连接BE，△D'MH与△CBE是否相似？请说明理由．【强化训练】1．如图1，以□ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；（2）延长DE,BA交于点H，其他条件不变，的值；①如图2，若∠ADC=60°，求DGBH的值.（用含α的三角函数表示）②如图3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接写出DGBH2．已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE．（1）如图，当∠ACB=90°时①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数；（2）当∠ACB=α，其它多件不变时，∠BDE的度数是（用含α的代数式表示）（3）若△ABC是等边三角形，AB=3√3，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．3．如图，△ABC中，∠BAC为钝角，∠B=45°，点P是边BC延长线上一点，以点C为顶点，CP为边，在射线BP下方作∠PCF=∠B．（1）在射线CF上取点E，连接AE交线段BC于点D．①如图1，若AD=DE，请直接写出线段AB与CE的数量关系和位置关系；②如图2，若AD DE，判断线段AB与CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图3，反向延长射线CF，交射线BA于点C′，将∠PCF沿CC′方向平移，使顶点C落在点C′处，记平移后的∠PCF为∠P′C′F′，将∠P′C′F′绕点C′顺时针旋转角α（0°＜α＜45°），C′F′交线段BC于点M，C′P′交射线BP于点N，请直接写出线段BM，MN与CN之间的数量关系．4．（2016辽宁省大连市）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：B C=2AE．小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．（1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是A AS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 为BC 的中点，E 为DC 的中点，点F 在AC 的延长线上，且∠CDF =∠EAC ，若CF =2，求AB 的长；（3）如图4，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且AD =kDB （其中0＜k ＜√33），∠AED =∠BCD ，求AE EC的值（用含k 的式子表示）．5．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF ，BE 是△ABC 的中线，AF ⊥BE ，垂足为P ，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．特例探索（1）如图1，当∠ABE ＝45°，c ＝2√2时，a ＝，b ＝；如图2，当∠ABE ＝30°，c ＝4时，a ＝，b ＝；归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；拓展应用（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2√5，AB＝3．求AF的长．专题8：相似三角形性质和判定的应用【典例引领】例：如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，E 是AD 上的一个动点．（1）如图1，连接BD ，O 是对角线BD 的中点，连接OE ．当OE=DE 时，求AE 的长；（2）如图2，连接BE ，EC ，过点E 作EF ⊥EC 交AB 于点F ，连接CF ，与BE 交于点G ．当BE 平分∠ABC 时，求BG 的长；（3）如图3，连接EC ，点H 在CD 上，将矩形ABCD 沿直线EH 折叠，折叠后点D 落在EC 上的点D'处，过点D′作D′N ⊥AD 于点N ，与EH 交于点M ，且AE=1． ①求SΔED ′M S ΔEMN的值；②连接BE ，△D'MH 与△CBE 是否相似？请说明理由．【答案】（1）AE=3310；（2）BG=5√26；（3）①54；②相似，理由见解析. 【分析】（1）先求出BD ，进而求出OD=OB=OA ，再判断出△ODE ∽△ADO ，即可得出结论；（2）先判断出△AEF ≌△DCE ，进而求出BF=1，再判断出△CHG ∽△CBF ，进而求出BK=GK=56，最后用勾股定理即可得出结论；（3）①先求出EC=5，再求出D'C=1，根据勾股定理求出DH=43，CH=53，再判断出△EMN ∽△EHD ，得出MNHD＝EM EH ，△ED'M ∽△ECH ，得出D′M CH ＝EM EH ，进而得出D′M MN ＝CH HD ＝54，即可得出结论；②先判断出∠MD'H=∠NED'，进而判断出∠MD'H=∠ECB ，即可得出D′M CB＝D′H CE，即可．【解答】（1）如图1，连接OA ，在矩形ABCD 中，CD=AB=3，AD=BC=5，∠BAD=90° 在Rt △ABD 中，根据勾股定理得，BD=√34， ∵O 是BD 中点，∴OD=OB=OA=√342，∴∠OAD=∠ODA，∵OE=DE，∴∠EOD=∠ODE，∴∠EOD=∠ODE=∠OAD，∴△ODE∽△ADO，∴DOAD =DEDO，∴DO2=DE•DA，∴设AE=x，∴DE=5﹣x，∴（√342）2=5（5﹣x），∴x=3310，即：AE=3310；（2）如图2，在矩形ABCD中，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=45°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3，∴AE=CD=3，∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠CED=90°，∵∠A=90°，∴∠AEF+∠AFE=90°，∴∠CED=∠AFE，∴△AEF ≌△DCE ， ∴AF=DE=2， ∴BF=AB ﹣AF=1，过点G 作GK ⊥BC 于K ， ∴∠EBC=∠BGK=45°，∴BK=GK ，∠ABC=∠GKC=90°， ∵∠KCG=∠BCF ， ∴△CHG ∽△CBF ， ∴GK FB=CK CB，设BK=GK=y ， ∴CK=5﹣y ， ∴y=56， ∴BK=GK=56，在Rt △GKB 中，BG=5√26；（3）①在矩形ABCD 中，∠D=90°， ∵AE=1，AD=5， ∴DE=4， ∵DC=3， ∴EC=5，由折叠知，ED'=ED=4，D'H=DH ，∠ED'H=∠D=90°， ∴D'C=1，设D'H=DH=z ， ∴HC=3﹣z ，根据勾股定理得，（3﹣z ）2=1+z 2， ∴z=43，∴DH=43，CH=53，∵D'N ⊥AD ， ∴∠AND'=∠D=90°， ∴D'N ∥DC ， ∴△EMN ∽△EHD ， ∴MNHD =EMEH ， ∵D'N ∥DC ，∵∠MED'=∠HEC，∴△ED'M∽△ECH，∴D′MCH ＝EMEH，∴MNHD ＝D′MCH，∴D′MMN ＝CHHD＝54，∴S△ED′MS△EMN ＝54；②相似，理由：由折叠知，∠EHD'=∠EHD，∠ED'H=∠D=90°，∴∠MD'H+∠ED'N=90°，∵∠END'=90°，∴∠ED'N+∠NED'=90°，∴∠MD'H=∠NED'，∵D'N∥DC，∴∠EHD=∠D'MH，∴∠EHD'=∠D'MH，∴D'M=D'H，∵AD∥BC，∴∠NED'=∠ECB，∴∠MD'H=∠ECB，∵CE=CB=5，∴D′MCB ＝D′HCE∴△D'MH∽△CBE．【强化训练】1．如图1，以□ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；（2）延长DE,BA交于点H，其他条件不变，①如图2，若∠ADC=60°，求DGBH的值；②如图3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接写出DGBH的值.（用含α的三角函数表示）【答案】（1）BG=EG，理由见解析；（2）12；（3）cosα.【分析】（1）BG=EG，根据已知条件易证△BAG≌△EFG，根据全等三角形的对应边相等即可得结论；（2）①方法一：过点G作GM∥BH，交DH于点M，证明ΔGME∽ΔBHE，即可得GMBH =GEBE=12，再证明ΔMGD是等边三角形，可得DG=MG，由此可得DGBH =MGBH=12；方法二：延长ED，BC交于点M，证明ΔHBM为等边三角形，再证明ΔEDG∽ΔEMB，即可得结论；②如图3，连接EC交DF于O根据三角函数定义得cosα=OEEF，则OF=bcosα，DG=a+2bcosα，同理表示AH的长，代入DGBH计算即可．【解答】（1）BG=EG，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.∵四边形CDEF是菱形，∴CD∥EF，CD=EF.∴AB∥EF，AB=EF.∴∠ABG=∠FEG.又∵∠AGB=∠FGE，∴ΔABG≌ΔFEG(AAS).∴BG=EG.（2）方法1：过点G作GM∥BH，交DH于点M，∴∠EMG=∠EHA.∵∠GEM=∠BEH，∴ΔGME∽ΔBHE.∴GMBH =GEBE.由（1）结论知BG=EG.∴EG=12BE.∴GMBH =GEBE=12.∵四边形CDEF为菱形，∴∠ADC=∠EDF=60°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠CDF=∠HAD=60°.∵GM∥AH，∴∠MGD=∠HAD=60°.∴∠GMD=180°−∠MGD−∠MDG=60°，即∠GMD=∠MGD=∠MGD=60°.∴ΔMGD是等边三角形。

相似三角形的性质与判定

相似图形的性质与判定（1）一．选择题（共20小题）1．如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：162．如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的相似比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 3．如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边长为39，那么较大的三角形的面积为（）A．90 B．180 C．270 D．5404．两个相似三角形，他们的周长分别是36和12．周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是（）A．52 B．54 C．56 D．585．已知两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm，它们的周长相差20cm，则这两个三角形的周长分别为（）A．45cm，65cm B．90cm，110cmC．45cm，55cm D．70cm，90cm6．下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF 相似的是（）A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠FC．∠A=∠E 且D．∠A=∠E且7．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列说法中，错误的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACDC．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB 8．如图所示，AB是⊙O的直径，D、E是半圆上任意两点，连接AD、DE，AE与BD相交于点C，要是△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是（）A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD•AB=CD•BD D．AD2=BD•CD9．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A ．=B ．=C ．=D ．=10．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），若△CDE与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（4，2）B．（6，0）C．（6，4）D．（6，5）二. 填空题（共8小题）11．如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3：4：6，△DEF的最长边是10cm，那么△DEF 的最短边是cm．12．一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了5个部分．①，②，③这三块的面积比依次为1：4：41，那么④，⑤这两块的面积比是．13．如果两个相似三角形的周长的比为1：4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为．14．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=．15．如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC 上，请添加一个条件：，使△ABC∽△AED．16．如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE．若△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为．17．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则AC的长为．18．如图，△ABC的内接正方形EFGH中，EH∥BC，其中BC=4，高AD=6，则正方形的边长为．三．解答题（共10小题）19．如图，D为△ABC边AB上一点，且CD分△ABC 为两个相似比为1：的一对相似三角形；（不妨如图假设左小右大），求：（1）△BCD与△ACD的面积比；（2）△ABC的各内角度数．20．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．21．如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD．（1）求证：△ABF∽△CEB；（2）若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．22．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连结BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G．（1）若FD=2，，求线段DC的长；（2）求证：EF•GB=BF•GE．23．如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D；（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）如图2，延长DC至点G，联结BG，过点A 作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点E，求证：CD2=DE•DG．相似三角形的性质与判定（2）一. 选择题（共10小题）1．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC 的“相似线”最多有几条？（）A．1条B．2条C．3条D．4条2．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点C落在AB边上的点D，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B、D、F为顶点的三角形与△ABC相似，那么CF的长度是（）A．2 B ．或2 C ．D ．或23．如图，已知点P在△ABC的边AC上，下列条件中，不能判断△ABP∽△ACB的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC．AB2=AP•AC D ．=4．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC 上，∠AED=∠B，那么下列各式中一定正确的是（）A．AE•AC=AD•AB B．CE•CA=BD•AB C．AC•AD=AE•AB D．AE•EC=AD•DB 5．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD 上，连接AE交BD于点F，则下列结论错误的是（）A ．=B ．=C ．=D ．=6．如图，在△ABC中，D、F、E分别为边BC、AB、AC上的一点，连接BE、FD，它们相交于点G，连接DE，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法正确的是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E，F是线段AB上的两个动点，且∠ECF= 45°，过点E，F分别作BC，AC的垂线相交于点M，垂足分别为H，G．下列判断：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③=；④AF+BE=EF．其中正确的结论有（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④8．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC 上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为21，那么AB的长为（）A．5 B．12.5 C．25 D ．9．如图，在△ABC中，AC=10，AB=8，直线l分别与AB，AC交于M，N两点，且l∥BC，若S△AMN：S△ABC=4：9，则AM+AN的长为（）A．10 B．12 C．14 D．1610．如图，在△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形，PQ与AC相交于点M，则下列结论中正确的是（）①AB∥CQ；②∠ACQ=60°；③AP2=AM•AC；④若BP=PC，则PQ⊥AC．A．只有①②B．只有①③C．只有①②③D．①②③④二．填空题（共8小题）11．如图，已知D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，如果AE=1，CE=2，那么EF：BF等于．12．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，正方形DEFG内接于△ABC，点D、E分别在边AB、AC 上，点G、F在边BC上．如果BC=20，正方形DEFG 的面积为25，那么AH的长是．13．如图，正方形CDEF内接于Rt△ABC，点D、E、F分别在边AC、AB和BC上，当AD=2，BF=3时，正方形CDEF的面积是．14. 如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD=1，DB=2，则=．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，点E是AB的中点，DE=DC，∠EDC=90°，若AB=2，则AD的长是．16．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2，0），直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为．17．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC 交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=2，CD=1．下列结论：①∠AED=∠ADC；②=；③BF=2AC；④BE=DE，其中正确的有（把所有正确结论的序号都填在横线上）．18．如图，点P在正方形ABCD内，△PBC是正三角形，AC与PB相交于点E．有以下结论：①∠ACP=15°；②△APE是等腰三角形；③AE2=PE•AB；④△APC的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，则S1：S2=1：4．其中正确的是（把正确的序号填在横线上）．三. 解答题（共5小题）19．已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA=BC，DA=DE．如果点D在BC边上，且∠EDC=∠BAD．点O为AC与DE的交点．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求证：DA•OC=OD•CE．20．如图，在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，点E是斜边AB上的一个动点（不与A、B重合），作EF⊥AB交边BC于点F，联结AF、EC交于点G．（1）求证：△BEC∽△BFA；（2）若BE：EA=1：2，求∠ECF的余弦值．21．如图，Rt△ABC的两条直角边AB=4cm，AC=3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒．动点E到达点C时运动终止．连接DE、CD、AE．（1）当动点运动几秒时，△BDE与△ABC相似？（2）设动点运动t秒时△ADE的面积为s，求s与t的函数解析式；（3）在运动过程中是否存在某一时刻t，使CD⊥DE？若存在，求出时刻t；若不存在，请说明理由．22．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=16，点P 是AB所在直线上一点，OP=10，点C是⊙O上一点，PC交⊙O于点D，sin∠BPC=，求CD的长．23．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DF∥AB分别交AC、BC于点E、F．（1）求证：四边形ABFD是菱形；（2）设AC⊥AB，求证：AC•OE=AB•EF．相似三角形的性质与判定参考答案一．选择题（共20小题）1．B．2．B．3．C．4．B．5．B．6．C．7．C．8．C．9．C．10．（2016•虹口区一模）如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），若△CDE与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（4，2）B．（6，0）C．（6，4）D．（6，5）【解答】解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．A、当点E的坐标为（4，2）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；C、当点E的坐标为（6，4）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=3，则AB：BC≠DE：CD，△EDC与△ABC不相似，故本选项符合题意；D、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC不相似，故本选项不符合题意；故选：C．11．C．12．解：∵△ABC沿EF折叠C和D重合，∴FD=CF，设CF=x，则BF=4﹣x，以点B、D、F为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①若∠BFD=∠C，则=，即=，解得：x=；②若∠BFD=∠A，则==1，即：=1，解得：x=2．综上所述，CF 的长为或2．故选：B．13．解：A、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；B、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；C、∵∠A=∠A，AB2=AP•AC ，即=，∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；D 、根据=和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确；故选：D．14．解：∵在△ABC中，点D、E分别在AB、AC 上，∠AED=∠B，而∠A公共，∴△ABC∽△AED，∴AB：AE=AC：AD，∴AB•AD=AC•AE．故选A．15．解：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴，=，故B，∴△ABF∽△EDF，∴，故A正确，同理：D正确；∴=，故C错误；故选C．16．（2016•南岗区一模）如图，在△ABC中，D、F、E分别为边BC、AB、AC上的一点，连接BE、FD，它们相交于点G，连接DE，若四边形AFDE 是平行四边形，则下列说法正确的是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A、∵四边形AFDE是平行四边形，∴AE∥DF，DE∥AB，DE=AF，∴△BFG∽△EDG，∴，∴，故正确；B 、∵，，∴，故错误；C、∵DF∥AC，∴，故错误；D 、∵，，∴=．故错误．故选A．17．（2016•石家庄模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E，F是线段AB上的两个动点，且∠ECF=45°，过点E，F分别作BC，AC的垂线相交于点M，垂足分别为H，G．下列判断：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③=；④AF+BE=EF．其中正确的结论有（）A．①②③ B．①③④ C．①②④D．①②③④【解答】解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，则AB==，故①正确；②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，∴MB⊥BC，∠MBC=90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，∴MH=MB=CG，∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF，∴FG是△ACB的中位线，∴GC=AC=MH，故②正确；④如图2所示，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2．在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE．∵∠5=45°，∴∠BDE=90°，∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故④错误；③∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，∵∠A=∠5=45°，∴△ACE∽△BFC，∴=；故③正确．故选A．18．（2016•石家庄模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为21，那么AB的长为（）A．5 B．12.5 C．25 D ．【解答】解：∵∠AED=∠B，∠A是公共角，∴△ADE∽△ACB，∴=（）2，∵△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为21，∴△ABC的面积为25，∵AE=2，∴=（）2，解得：AB=5．故答案为：A．19．（2016•河北模拟）如图，在△ABC中，AC=10，AB=8，直线l分别与AB，AC交于M，N两点，且l∥BC，若S△AMN：S△ABC=4：9，则AM+AN 的长为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：∵l∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，==，∴=，∴，∵AC=10，AB=8，∴，∴AM+AN=12，故选B．20．（2016•青岛一模）如图，在△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形，PQ与AC相交于点M，则下列结论中正确的是（）①AB∥CQ；②∠ACQ=60°；③AP2=AM•AC；④若BP=PC，则PQ⊥AC．A．只有①②B．只有①③C．只有①②③D．①②③④【解答】证明：如图，∵△ABC和△APQ是等边三角形，∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，∴∠BAP=∠CAQ=60°﹣∠PAC，在△ABP和△ACQ中，，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，故②正确，∴AB∥CQ，故①正确，∵∠APQ=∠ACQ=60°，∠PAC=∠PAC，∴△APM∽△ACP，∴，∴AP2=AC•AM，故③正确，∵BP=PC，∴∠BAP=30°，∴∠PAC=30°，∵∠APC=60°，∴∠AMP=90°，∴PQ⊥AC，故④正确．故选D．二．解答题（共10小题）21．（2016•宝山区一模）如图，D为△ABC边AB 上一点，且CD分△ABC为两个相似比为1：的一对相似三角形；（不妨如图假设左小右大），求：（1）△BCD与△ACD的面积比；（2）△ABC的各内角度数．【解答】解：（1）∵△BCD和△CAD的相似比为1：，∴△BCD和△CAD的面积比为1：3；（2）∵△BCD∽△CAD，∴∠BDC=∠ADC=90°，tanA===，∴∠A=30°，tanB==，∴∠B=60°，∴∠ACB=90°．22．（2015•湖州模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．23．（2016•苏州模拟）如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD．（1）求证：△ABF∽△CEB；（2）若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB∥CD，∴∠ABF=∠CEB，∴△ABF∽△CEB；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB平行且等于CD，∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，∵DE=CD，∴=（）2=，=（）2=，∵S△DEF=2，∴S△CEB=18，S△ABF=8，∴S四边形BCDF=S△BCE﹣S△DEF=16，∴S四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24．24．（2016•浦东新区一模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连结BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G．（1）若FD=2，，求线段DC的长；（2）求证：EF•GB=BF•GE．【解答】（1）解：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴=，∴FC=3FD=6，∴DC=FC﹣FD=4；（2）证明：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，∴，，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE，∴，∴EF•GB=BF•GE．25．（2016•崇明县一模）如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D；（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）如图2，延长DC至点G，联结BG，过点A 作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点E，求证：CD2=DE•DG．【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∴∠BCD+∠B=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B，又∵∠ADC=∠CDB，∴△ACD∽△CBD；（2）∵AF⊥BG，∴∠AFB=90°，∴∠FAB+∠GBA=90°，∵∠GDB=90°，∴∠G+∠GBA=90°，∴∠G=∠FAB，又∵∠ADE=∠GDB=90°，∴△ADE∽△GDB，∴，∴AD•BD=DE•DG，∵△ACD∽△CBD，∴，∴CD2=AD•BD，∴CD2=DE•DG．26．（2016•嘉定区一模）已知：如图，已知△ABC 与△ADE均为等腰三角形，BA=BC，DA=DE．如果点D在BC边上，且∠EDC=∠BAD．点O为AC 与DE的交点．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求证：DA•OC=OD•CE．【解答】证明：（1）∵∠ADC=∠ABC+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∴∠B=∠ADE，∵=1，∴△ABC∽△ADE；（2）∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE=∠CDE，∵∠COD=∠EOA，∴△COD∽△EOA，∴，∵∠AOD=∠COE，∴△AOD∽△EOC，∴DA：CE=OD：OC，即DA•OC=OD•CE．27．（2016•闸北区一模）如图，在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，点E是斜边AB上的一个动点（不与A、B重合），作EF⊥AB交边BC于点F，联结AF、EC交于点G．（1）求证：△BEC∽△BFA；（2）若BE：EA=1：2，求∠ECF的余弦值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，∵EF⊥AB，∴∠BEF=90°，∵∠B=∠B，∴△BEF∽△ABC，∴，∴△△BEC∽△BFA；（2）∵BE=EF，BE：EA=1：2，∴，∴tan∠EAF=，设EF=k，AE=2k，∴AF=，∵△BEC∽△BFA，∴∠BAF=∠BCE，∴cos∠ECF=cos∠EAF==．28．（2016•滨江区模拟）如图，Rt△ABC的两条直角边AB=4cm，AC=3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒．动点E到达点C时运动终止．连接DE、CD、AE．（1）当动点运动几秒时，△BDE与△ABC相似？（2）设动点运动t秒时△ADE的面积为s，求s与t的函数解析式；（3）在运动过程中是否存在某一时刻t，使CD⊥DE？若存在，求出时刻t；若不存在，请说明理由．【解答】解：设D点运动时间为t，则AD=t，BD=4﹣t，BE=2t，CE=5﹣2t（0≤t ≤），（1）当∠BDE=∠BAC，即ED⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BAC，∴BD：BA=BE：BC，即（4﹣t）：4=2t：5，∴t=；当∠BDE=∠BAC，即DE⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BCA，∴BD：BC=BE：BA，即（4﹣t）：5=2t：4，∴t=；所以当动点运动秒或秒时，△BDE与△ABC相似；（2）过E作EF⊥AB于F，如图，易证Rt△BEF∽Rt△BAC，∴EF：AC=BF：AB=BE：BC，即EF：3=BF：4=2t：5，∴EF=，BF=，∴S=AD•EF=•t •=t2（0≤t ≤）；（3）存在．DF=AB﹣AD﹣BF=4﹣t ﹣=4﹣t，若CD⊥DE，易证得Rt△ACD∽Rt△FDE，∴AC：DF=AD：EF，即3：（4﹣t）=t ：，∴t=．29．（2016•黄浦区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=16，点P是AB所在直线上一点，OP=10，点C是⊙O上一点，PC交⊙O于点D，sin∠BPC=，求CD的长．【解答】解：过O作OE⊥CD于E，∴CD=2CE，∵AB是⊙O的直径，AB=16，∴OC=8，∵sin∠BPC=，OP=10，∴OE=OP×sin∠BPC=6，∴CE==2，∴CD=2CE=4．30．（2016•普陀区二模）如图，已知在四边形ABCD 中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，BD 平分∠ABC，过点D作DF∥AB分别交AC、BC 于点E、F．（1）求证：四边形ABFD是菱形；（2）设AC⊥AB，求证：AC•OE=AB•EF．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，∴四边形ABFD是平行四边形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴四边形ABFD是菱形；（2）连接AF，OF，∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∴∠CEF=∠BAC=90°，∵四边形ABFD是菱形，∴BD垂直平分AF，∴AO=OF，∴∠ABD=∠FAC，∴∠FOE=2∠FCA=2∠ABD=∠ABC，∴△ABC∽△EOF，∴，∴AC•OE=AB•EF．相似图形参考答案与试题解析一．填空题（共16小题）1．5．2．解：由题意得，①、②、④都是等腰直角三角形，∵①，②这两块的面积比依次为1：4，∴设①的直角边为x，∴②的直角边为2x，∵①，③这两块的面积比依次为1：41，∴①：（①+③）=1：42，即x2：3xy=1：42，∴y=7x，∴④的面积为6x•6x÷2=18x2，⑤的面积为4x•7x=28x2，∴④，⑤这两块的面积比是18x2：28x2=9：14．3．解：∵两个相似三角形的周长的比为1：4，∴两个相似三角形的相似比为1：4，∴周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为1：4，故答案为：1：4．4．解：①当△APD∽△PBC 时，=，即=，解得：PD=1，或PD=4；②当△PAD∽△PBC 时，=，即=，解得：DP=2.5．综上所述，DP的长度是1或4或2.5．故答案是：1或4或2.5．5．（解：∵∠AEB=∠B，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，故添加条件∠AEB=∠B即可以使得△AED∽△ABC，故答案为：∠AEB=∠B（答案不唯一）．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∵CD=2DE，∴CE=3DE，AB=2DE，∴=，=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，∴=（）2=，=（）2=，∵△DEF的面积为1，∴△CEB的面积是9，△ABF的面积是4，∴四边形BCDF的面积是9﹣1=8，∴平行四边形ABCD的面积是8+4=12，故答案为：12．7．解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE=BC，∵DE=2cm，∴BC=4cm，∵AB=AC，四边形DEFG是正方形．∴△BDG≌△CEF，∴BG=CF=1，∴EC=，∴AC=2cm．故答案为：2cm．8．解：∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC；设正方形的边长为x，则：，解得x=2.4=；故正方形的边长为2.4．9．解：∵AE=1，CE=2，∴AC=3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵DE∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，故答案为：1：3．10．解：由正方形DEFG得，DE∥E=GF，即DE∥BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DE，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，即，解得：AH=．故答案为：．11．解：∵四边形CDEF是正方形，∴DE∥BC，∴∠AED=∠B，∠ADE=∠EFB=90°，∴△ADE∽△BEF，∴，即，∴DE•EF=2×3=6，∴正方形CDEF的面积是6．故答案为：6．12．解：DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=（）2，∵AD=1，DB=2，∴，∴．故答案为：．13．解：延长DE交CB的延长线于点F，如图，∵AD ∥BC ， ∴∠ADE=∠F ，∵点E 是AB 的中点， ∴AE=BE=1，在△ADE 和△BFE中，，∴△ADE ≌△BFE （AAS ）， ∴AD=BF ，DE=EF ，∵∠B=∠F+∠BEF=45°，DE=DC ，∠EDC=90°， ∴∠CED=∠F+∠ECF=45°，CE=DE ， ∴∠BEF=∠ECF ， ∵∠F=∠F ，∴△BEF ∽△ECF ， ∴=，即=，∴=， ∴AD=．故答案为：．14．解：当PM ⊥AB 时，PM 的长取得最小值，y=x+4，令x=0，得y=4，令y=0，得x=﹣3， ∴AO=3，BO=4， ∴AB==5，AP=0A+OP=5，在△AOB 和△AMP 中，，∴△AOB ≌△AMP ， ∴PM=BO=4，故答案为：4．15．解：①∠AED=90°﹣∠EAD ，∠ADC=90°﹣∠DAC ，∵∠EAD=∠DAC ， ∴∠AED=∠ADC ．故本选项正确；②∵∠EAD=∠DAC ，∠ADE=∠ACD=90°，∴△ADE ∽△ACD ，得DE ：DA=DC ：AC=3：AC ，但AC 的值未知，故不一定正确； ③连接DM ．在Rt △ADE 中，MD 为斜边AE 的中线，则DM=MA ．∴∠MDA=∠MAD=∠DAC ， ∴DM ∥BF ∥AC ，由DM ∥BF 得FM ：MC=BD ：DC=2：1；由BF ∥AC 得△FMB ∽△CMA ，有BF ：AC=FM ：MC=2：1， ∴BF=2AC ．故本选项正确；④由③可知BM ：MA=BF ：AC=2：1∵BD ：DC=2：1，∴DM ∥AC ，DM ⊥BC ， ∴∠MDA=∠DAC=∠DAM ，而∠ADE=90°， ∴DM=MA=ME ，在Rt △BDM 中，由BM=2AM 可知BE=EM ，∴ED=BE ．故④正确．故答案为：①③④．16解：∵△PBC 是等边三角形，∴∠PCB=60°，PC=BC ，∠PCB=60°， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC=AB ，∠ABC=90°， ∴∠ACB=45°，∴∠ACP=60°﹣45°=15°，∴①正确； ∵∠ABC=90°，∠PBC=60°， ∴∠ABP=90°﹣60°=30°， ∵BC=PB ，BC=AB ， ∴PB=AB ，∴∠BPA=∠PAB=（180°﹣30°）=75°，∵∠ABP=30°，∠BAC=45°，∴∠AEP=45°+30°=75°=∠BPA，∴AP=AE，∴△APE为等腰三角形，∴②正确；∵∠APB=∠APB，∠AEP=∠PAB=75°，∴△PAE∽△ABP，∴，∴AP2=PE•AB，∴AE2=PE•AB；∴③正确；连接PD，过D作DG⊥PC于G，过P作PF⊥AD 于F，设正方形的边长为2a，则S2=4a2，等边三角形PBC 的边长为2a，高为a，∴PF=2a﹣a=（2﹣）a，∴S△APD=AD•PF=（2﹣）a2，∴∠PCD=90°﹣60°=30°，∴GD=CD=a，∴S△PCD=PC•DG=a2，S△ACD=2a2，∴S1=S△ACD﹣S△ADP﹣S△PCD=2a2﹣a2﹣（2﹣）a2=（﹣1）a2＜a2，∴S1：S2≠1：4．∴④错误；故答案为：①②③．。

相似三角形的判定、性质(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：相似三角形的判定定理：①________________________________________；②________________________________________；③________________________________________；④_________________________________________________________．问题2：①如果两个图形不仅________，而且__________________________________，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做_________．位似图形上__________________________________等于相似比．②在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是_______，它们的相似比为________．相似三角形的判定、性质一、单选题(共11道，每道9分)1.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定2.如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质3.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是( )A.△AED∽△ACBB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定5.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接CE并延长，交BA的延长线于点F，若，CD=3，则AF的长为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质6.如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，交AC于点E，若，则的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定7.如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF于点H，AD=3，DC=4，，∠EDF=90°，则DF的长是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定8.如图，以点O为位似中心，将△ABC扩大到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为( )A.1:2B.1:4C.1:5D.1:6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定9.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大为原来的2倍，得到．若点A的坐标是（1，2），则点的坐标是( )A.(2，4)B.(-1，-2)C.(2，4)或(-2，-4)D.(2，4)或(-4，-2)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定10.如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为( )A.3B.3或C.3或D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定11.如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=60°，，D为BO的中点，若E是线段AB上的一动点，连接DE，当△BDE与△AOB相似时，点E的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定。

相似三角形的性质与判定练习题含答案

和
相似．
，点 p 在 BD 上移动，
【答案】或 12cm 或 2cm
【解析】解：由
，
，
，
设
，则
，
若
∽
，
则
，
即
，
变形得：
，即
，
因式分解得：
，
解得：
，
，
所以
或 12cm 时，
∽
；
若
∽
，
则
，
即
，解得：
，
，
综上，
或 12cm 或时，
∽
．
故答案为：或 12cm 或 2cm．
设出
，由
表示出 PD 的长，若
．
综上所述，当
或时，
与
相似．
故答案为或．
19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点，AC
与 DE 相交于点 F，若
，
，则
等于_____．
20.
21.
【答案】11
【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题首先利用平行四边形的构造相似三角形
的相似条件，然后利用其性质即可求解由于四边形 ABCD 是平行四边形，所以得到
根据对称性可知：
，
∽
，根据相似的性质可得出：
，又，
，所以，在
中，由勾股定理可求得 AC 的值，
，
【解答】
解：设 BE 的长为 x，则
、
在
中，
，将这些值代入该式求出 BE 的值．
，
∽
两对对应角相等的两三角形相似
，故选：C．
，
，

相似三角形的性质与判定典型题(30道题之后是分析、解答、点评)

相似三角形的判定与性质练习同学们：这份试题难度较大，希望能够通过大家的研究掌握相似三角形的一些基本图形及应用，并从中总结一些解题规律和方法。

一．选择题（共14小题）1．（2011•义乌市）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD•AE=EF•CG；一定正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2011•遵义）如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A．5 B．6 C．7 D．123．（2011•乌鲁木齐）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（）A．B．C．D．14．（2011•威海）在▱ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF=（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：55．（2011•潼南县）如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC 于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④6．（2011•铜仁地区）已知：如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．7．（2011•台湾）如图为一△ABC，其中D、E两点分别在AB、AC上，且AD=31，DB=29，AE=30，EC=32．若∠A=50°，则图中∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系，下列何者正确？（）A．∠1＞∠3 B．∠2=∠4 C．∠1＞∠4 D．∠2=∠38．（2011•台湾）如图为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且∠AEC=∠C=∠D=90°，AD=3，BC=9，CD=8．若以AE为折线，将C折至BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为何（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．69．（2011•遂宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列说法中正确的个数是（）①AC•BC=AB•CD②AC2=AD•DB③BC2=BD•BA④CD2=AD•DB．A．1个B．2个C．3个D．4个10．（2011•锦州）如图，四边形ABCD，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．611．（2011•河北）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（）A．B．2 C．3 D．412．（2011•大连）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于（）A．B．1 C．D．213．（2011•北京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为（）A．B．C．D．14．（2010•湘西州）如图，△ABC中，DE∥BC，=，DE=2cm，则BC=（）A．6cm B．4cm C．8cm D．7cm二．填空题（共12小题）15．（2011•牡丹江）在△ABC中，AB=6，AC=9，点D在边AB所在的直线上，且AD=2，过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E，则CE的长为_________．16．（2010•梧州）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线BD上的点，且EF∥AB，DE：EB=2：3，EF=4，则CD的长为_________．17．（2009•烟台）如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC=∠C；②DE=CF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD=∠CAF其中正确的结论是_________．18．（2009•黄石）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE=_________．19．（2008•衢州）如图，点D、E分别在△ABC的边上AB、AC上，且∠AED=∠ABC，若DE=3，BC=6，AB=8，则AE的长为_________．20．（2008•南宁）如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB= _________．21．（2007•厦门）如图，在平行四边形ABCD中，AF交DC于E，交BC的延长线于F，∠DAE=20°，∠AED=90°，则∠B=_________度；若=，AD=4厘米，则CF=_________厘米．22．（2007•乌鲁木齐）如图，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=_________．23．（2006•绵阳）如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA=3：1，BC=10，则AE的长为_________．24．（2006•鄂州）如图，D为△ABC边AB上一点，要使AC2=AD•AB成立则需添加一个条件，这个条件可以是_________．25．（2006•长春）图中x=_________．26．（2004•芜湖）如图，已知CD是Rt△ABC的斜边上的高，其中AD=9cm，BD=4cm，那么CD等于_________ cm．三．解答题（共4小题）27．（2011•佛山）如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD=2，BD=4，∠ACD=∠B，求AC的长．28．（2011•眉山）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F．（1）求证：∠DCP=∠DAP；（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．29．（2011•济南）如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由；（3）求证：∠APC=∠BPC．30．（2011•岳阳）如图1，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．（1）操作：如图2，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF2（2）操作：如图3，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．探究：FD+DG=_________．请予证明．答案与评分标准一．选择题（共14小题）1．（2011•义乌市）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD•AE=EF•CG；一定正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质。

相似三角形的性质与判定(专项提高)

相似三角形的性质与判定（专项提高）一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=24，则△EFC的周长为（）A．11B．10 C．9 D．8第（1）题第（2）题第（3）题第（4）题2．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm3. 如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF∶S四边形BCED的值为（）A．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶54．在平行四边形ABCD中E为CD上一点，DE∶EC=1∶2，连接AE、BE、BD，且AE、BD 交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=（）A．1∶3∶9 B．1∶5∶9 C．2∶3∶5 D．2∶3∶95. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，那么下列结论中错误的是（）A．AC2•BD=BC2•AD B．BC2•BD=CD2•ABC．AD•BC=AC•CDD．CD•BC=AC•BD6. 如图，已知在△ABC中，边BC=6，高AD=3，正方形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于（）A．3 B．2.5 C．2 D．1.5第（5）题第（6）题第（7）题第（8）题7. 如图，在□ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF∶S△ABF=4∶25，则DE∶EC=（）A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶28. 在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD，则以下结论中一定正确的个数有（）①EF=FD；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等边三角形．A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题9. 如图，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 和AC 上，且DE ∥BC ，S △AED ∶S 梯形EDBC =1∶2，则AE ∶AC 的比值是．第（9）题第（10）题第（11）题第（12）题10. 如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为．11. 如图，在□ABCD 中，E 在AB 上，CE 、BD 交于F ，若AE ：BE=4：3，且BF=2，则DF= ．12. 如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB=2，CD=3，则GH 的长为．13. 如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为．第（13）题第（14）题第（15）题第（16）题14. 将一副三角板如图所示叠在一起，则的CEBE 值是． 15. 如图△ABC 中，DE ∥BC ，CD 、BE 交于点F ，若DF=1，CF=3，AD=2，则线段BD 的长等于．16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A 、C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且QO=OC ，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ．则点P 的坐标为．三、解答题17. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 边上一点，AD ⊥DE ，且DE 交AB 于点E ，CF ⊥AB 交AD 于点G ，F 为垂足，（1）求证：△ACG ∽△DBE ；（2）当CD=BD ，BC=2AC 时，求ADDE .18. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点P 为AC 边上的一点，将线段AP 绕点A 顺时针方向旋转（点P 对应点P′），当AP 旋转至AP′⊥AB 时，点B 、P 、P′恰好在同一直线上，此时作P′E ⊥AC 于点E ．（1）求证：∠CBP=∠ABP ；（2）当23=PE CP ，55'=BP 时，求线段AB 的长．19. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，在边AB 的延长线上截取BE=AB ，点F 在AE 的延长线上，CE 和DF 交于点M ，BC 和DF 交于点N ．（1）求证：四边形DBEC 是平行四边形；（2）如果AD 2=AB•AF ，求证：CM•AB=DM•CN ．20. 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AB=DC ，AC 与BD 交于点O ，廷长BC 到E ，使得CE=AD ，连接DE ．（1）求证：BD=DE ．（2）若AC ⊥BD ，AD=4，S △BOC =16，求AB 的长．。

相似三角形判定和性质

相似三角形判定和性质1、(2008年乐山市)如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为（）A、B、1C、D、2、（2008湖南常德市）如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）AB边上的高为，（3）△CDE∽△CAB，（4）△CDE的面积与△CAB面积之比为1：4.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、（2008 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）4、(2008 重庆)若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则S△ABC︰S△DEF为（）A、2∶3B、4∶9C、∶D、3∶25、(2008 湖南长沙)在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）A、4.8米B、6.4米C、9.6米D、10米6、（2008江苏南京）小刚身高1.7m，测得他站立在阳关下的影子长为0.85m。

紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）A.0.5mB.0.55mC.0.6mD.2.2m7、（2008湖北黄石）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（）8、（2008浙江金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（）A、6米B、8米C、18米D、24米9（2008湖北襄樊）如图,已知AD与VC相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC的大小为（）A.60°B.70°C.80°D.120°10.（2008湘潭市）如图，已知D、E分别是的AB、AC边上的点，且那么等于（）A．1 : 9 B．1 : 3 C．1 : 8 D．1 : 211、（2008湖南株洲）如图，在中，、分别是、边的中点，若，则等于（）A．5B．4C．3D．212（2008福建泉州）两个相似三角形对应边的比为6，则它们周长的比为_______。

相似三角形的性质和判定测试试题