高斯函数1习题
第八专题 高斯函数
第八专题 高斯函数一、基础知识（一）、定义1、[x ]表示不超过实数x 的最大整数，称函数y=[x ]叫做高斯函数，定义域为R ，值域为Z ，显然[x ]=k 当且仅当 1+<≤k x k 。
2、记][}{x x x -=为实数x 的小数部分，易知1}{0<≤x 。
（二）、y=[x]与y={x}的图象y={x}y=[x]（三）、[x]的主要性质1、 ][][y x =，则1||<-y x ；2、 若y x ≤，则][][y x ≤；3、 1][][1+<≤<-x x x x ；4、 n x n x +=+][][当且仅当Z n ∈；5、 ][][][y x y x +≥+，}{}{}{y x y x +≤+；6、 0,0≥≥y x ，则]][[][y x xy ≥；7、 ⎩⎨⎧∉--∈-=-)(1][)(][][Z x x Z x x x ；8、 Z y x ∉,，Z n y x ∈=+，则1][][-=+n y x ；特别地：若Z n y x ∈=+，10<<y ，则1][-=n x ；若Z n y x ∈=+，01<<-y ，则n x =][。
9、设+∈∈Z n R x ,，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x ][ 10、在!n 的质因数分解式中，质数p 的最高方幂（质数）是：+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=k p n p n p n n p 2)!( 二、例题选讲（1）、解含[x ]的方程例1、解方程02][2=--x x 。
例2、设a>1，n ≥2，方程[ax ]=x 恰有n 个不同根，求a 的范围。
例3、设N 为一正整数，问方程222])[(][x x x x -=-在],1[N 中有多少个解？（2）证含][x 的等式与不等式例4、+∈∈Z n R x ,,求证：][][1nx n ix n i =+∑-=（厄米特恒等式） 例5、]34[]24[]14[]1[+=+=+=++n n n n n （3）、估值与求和例6、求∑=102412][logn n 的值。
Gauss,Stokes公式练习及内容总结
x , 2 2 x +y y , 2 2 x +y
D
∑
向量点积法
−x −y 2 I = ∫∫ { y, − x, z } ⋅ , ,1dxdy x2 + y 2 x2 + y 2 ∑
= ∫∫ z dxdy
2 ∑
= − ∫∫ ( x + y )dxdy [ Dxy : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ]
O
x 2 + y 2 + z 2 = 4 所围立体的表面 外侧. 外侧.
如何直接计算 被积函数中有抽象函数, 被积函数中有抽象函数, 故无法直接计算. 高斯公式. 故无法直接计算. 用高斯公式.
分析
x
高斯(Gauss)公式 公式 高斯
解
1 y 3 y 3 f + y , R= f +z , y z z ∂P 1 y 1 y 2 ∂Q 2 ∂R ′ + 3 y , = 3x , = − 2 f ′ + 3 z 2 = 2 f z ∂z ∂y z ∂x z z 故由高斯公式 故由高斯公式
∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v = ∫∫∫ u∆vdxdydz + ∫∫∫ + + dxdydz ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z Ω Ω 移项后,即证. 移项后,即证.
高斯(Gauss)公式 公式 高斯
计算曲面积分
1987年研究生考题,计算(10分 1987年研究生考题,计算(10分) 年研究生考题 (10
∂2 ∂2 ∂2 称为拉普拉斯 拉普拉斯( )算子. ∆ = 2 + 2 + 2 ,称为拉普拉斯(Laplace)算子. ∂x ∂y ∂z
1高斯函数
第一讲:高斯函数 1第一讲:高斯函数高斯函数是数论中的重要函数,从小学、初中、高中,直到大学的各级、各类数学竞赛均有涉及,是数学竞赛极独特的内容.定义:[x]表示不超过实数x 的最大整数.则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=[x]+α(0≤α<1),这里,[x]称为x 的整数部分,而α,即x-[x]称为x 的小数部分,记{x}=x-[x].函数性质:①高斯函数y=[x]的定义域是R,值域是Z;函数y={x}的定义域是R,值域是[0,1);②函数y=[x]与y=x-[x],即y={x}的图像分别为:③函数y=[x]是一个分段表达的不减的无界函数,即当x 1≤x 2时,有[x 1]≤[x 2];y={x}是一有界、周期为1的非单调函数;等式性质:①[n+x]=n+[x],{x+n}={x},其中x ∈R,n ∈Z;②[-x]=⎩⎨⎧∉--∈-)(1][)]([Z x x Z x x ;③若n ∈N +,x ∈R,则[n nx ][]=[x],特别地,[n x ][]=[n x],[nm x][]=[mn x ](证明:由x-1<[x]≤x<[x]⇒n[x]≤nx<n([x]+1)⇒[x]≤[n nx ][]>[x]+1⇒[n nx ][]=[x])不等性质:①若x ∈R,则x-1<[x]≤x<[x]+1;②若x,y ∈R,则[x+y]≥[x]+[y],且{x}+{y}≥{x+y},一般地,若x i ∈R,则[∑=ni i x 1]≥∑=ni i x 1][,特别地,[nx]≥n[x],[b na ]≥n[b a ];③若x,y ∈R +,则[xy]≥[x][y],特别地,][][y x ≥[yx],一般地,若x i ∈R +,则[∏=ni i x 1]≥∏=ni i x 1][,特别地,[x n ]≥[x]n ,[x]≥[n x ]n;厄米特恒等式:若x ∈R,n ∈N 6,则[x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+nn 1-]=[nx]; 证明:引入辅助函数f(x)=[nx]-([x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-])⇒f(x+n 1)=[nx+1]-([x+n 1]+[x+n2]+…+[x+n n 1-]+[x+n 1+n n 1-])=[nx]+1-([x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-]+[x]+1)=f(x)⇒f(x)是一个以n1为周期的周期函数,而当x ∈[0,n1]时,直接计算知f(x)=0.故对任意x ∈R,厄米特等式成立. 1.函数性质:[例1]:(2010年全国高中数学联赛天津预赛试题)若关于x 的函数f(x)=|x-[x+a]|存在最大值M(a),则正实数a 的取值范是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数).[解析]:设x+a=n+α,其中,n ∈Z,0≤α<1,则f(x)=|x-[x+a]|=|n+α-a-n|=|α-a|;①当0<a<21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|>|-a|⇒f(x)无最大值;②当a ≥21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|≤|-a|⇒f(x)有最大值.故a 的取值范是[21,+∞).[练习1]:2 第一讲:高斯函数1.(1994年全国高中数学联赛河北预赛试题)设f(x)=xa +11-21,且[m]表示不超过m 的最大整数,则[f(x)]+[f(-x)]的值域是 .2.(2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设f(x)=⎩⎨⎧>-≤-)0)(1()0]([x x f x x x ,其中[x]表示不超过x 的最大整数,若f(x)=kx+k(k>0)有三个不同的实数根,则实数k 的取值范围是 .3.(2008年全国高中数学联赛湖南预赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k 棵树种植在点P k (x k ,y k )处,其中x 1=1,y 1=1,当k ≥2时,x k =x k-1+1-5[51-k ]+5[52-k ],y k =y k-1+[51-k ]-[52-k ].其中,[a]表示实数a 的整数部分,例如[206]=2,[0.6]=0.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 .2.求值问题:[例2]:(1993年全国高中数学联赛试题)整数[310103193+]的末两位数是_______.[解析]:由[310103193+]=[3103)310(313393+-+]=[(1031)2-1031×3+32-3103313+]=(1031)2-1031×3+32-1=1031(1031-3)+8⇒末两位数是08.[练习2]:1.(2006年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:d+[2.6m-0.2]+y+[4y]+ 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12[4c]-2c 除以7的余数,其中,c 表示年的前两位数字(即世纪),y 表示年的后两位数字,d 表示日,m 表示月对应的数字(见表). [x]表 示不于x 的最大整数.则2008年6月18日是星期 .2.①(2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)以[x]表示不超过x 的最大整数,试确定[sin1]+[sin2]+[sin3]+ [sin4]+[sin5]的值.②(2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[sin1]+[cos2]+[tan3]+[sin4]+[cos5] +[tan6]= .3.①(2005年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,求集合{n|n=[20052k ],1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数.②(2010年全国高中数学联赛山西预赛试题)设a n =21⋅+32⋅+…+)1(+n n ,则[na n2]= . ③(2011年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数n,设x n 是关于x 的方程nx 3+2x-n=0的实数根,记a n =[(n+1)x n ](n= 2,3,…)([x]表示不超过x 的最大整数).则10051(a 2+a 3+…+a 2011)= . ④(2007年全国高中数学联赛四川预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,比如[3.14]=3,[0]=0,[-3.14]=-4.数列满足{a n }:a n =3n-2,若b n =[5na ],则b 1+b 2+…+b 2007= . 3.求和问题:[例3]:(2012年全国高中数学联赛河南预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+ 第一讲:高斯函数 3[log 22012]= .[解析]:我们来解决一般性问题:设a ∈N +,且a ≥2,求和[log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n].当a t≤k<a t+1时,[log a k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[a t,a t+1)中的正整数有(a-1)a t个.并设a m≤n<a m+1,n=a m+b(b ∈N +),则 [log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n]=(a-1)[0×a 0+1×a+2×a 2+…+(m-1)×a m-1]+mb=(a-1){[1-a a (m-1)-2)1(-a a ]a m-1+ 2)1(-a a }+mb=[a(m-1)-1-a a ]a m-1+1-a a +m(b+1) 回到本题:a=2,由210<2012<211⇒m=10,由2012-210=2012-1024=988⇒b=988⇒和为(2×9-2)29+2+10×989=18084.[练习3]:对应的m 值 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.①(2008年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]= .②(2010年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2010]= . ③(2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)[x]表示不超过x 的最大整数,若[log 36]+[log 37]+[log 38]+…+ [log 3(n-1)]+[log 3n]=2009,试确定正整数n 的值.④(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题){x}表示不小于实数x 的最小整数,则{log 21}+{log 22}+…+{log 21991} = .2.①(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[1]+[2]+[3]+…+ [19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]的值是 .②(2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012的自然数n 的值.3.①(2012年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则∑+=+201201]222012[k k k = .②(2012年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数x,记m=[2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[k x 2],其中k 为满足2k≥x 的最小整数,符号[x]表示不超过x 的最大整数.x 与m 的差,即x-m 称为正整数x 的“亏损数”.(如x=100时,m=[2100]+[22100]+…+ [72100]=97,x-m=3,因此,数100的“亏损数”为3).则“亏损数”为9的最小正整数x 为________.4.方程问题:[例4]:(1995年全国高中数学联赛试题)用[x]表示不大于实数x 的最大整数,方程lg 2x-[lgx]-2=0的实根个数是_____.[解析]:由x ≥[x],lg 2x-[lgx]-2=0⇒lg 2x-2=[lgx]≤lgx ⇒-1≤lgx ≤2⇒[lgx]=-1,0,1,2;当[lgx]=-1时,lg 2x=1⇒lgx=-1;当[lgx]=0时,lg 2x=2⇒lgx=±2,无解;当[lgx]=1时,lg 2x=3⇒lgx=3;当[lgx]=2时,lg 2x=4⇒lgx=2⇒实根个数是3.[练习4]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不大于x 的最大整数,集合A={x|x 2-2[x]=3},B={x|81<2x<8},则A ∩B= .②(2008年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设集合A={x|x 2-[x]=2}和B={x||x|<2},其中符号[x]表示不大于x 的最大整数,则A ∩B= .③(1999年全国高中数学联赛广西预赛试题)[tanx]表示不超过tan 的最大整数,则方程[tanx]=2cos 2x 的解为 . ④(2009年上海市高中数学竞赛试题)若[a]表示不超过实数a 的最大整数,则方程[tanx]=2sin 2x 的解是 .2.①(2006年全国高中数学联赛湖南预赛试题)对于实数x,当且仅当n ≤x<n+1(n ∈N +)时,规定[x]=n.则不等式4[x]2-36[x] +45<0的解集为 .4 第一讲:高斯函数②(2009年全国高中数学联赛山东预赛试题)对任意的x ∈R,[x]表示不大于x 的最大整数,则满足[|x 2-1|]=10的x 的集合是( )(A)(-23,-11) (B)[11,23] (C)(-23,-11]∪[11,23) (D)[-23,-11)∪(11,23] ③(2009年全国高中数学联赛福建预赛试题)方程x [x]=29的实数解是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数). 3.①(2011年全国高中数学联赛内蒙古预赛试题)方程x 2-8[x]+7=0的所有解为 .②(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,且x 2-2008[x]+2007=0,则[x]的值是 .③(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则方程[3x-465]-2x-1=0的解是 .④(2011年全国高中数学联赛四川预赛试题)设x 为实数,定义[x]为不小于x 的最小整数,例如[π]=4,[-π]=-3,关于实数x 的方程[3x+1]=2x-21的全部实根之和等于 . 5.方程综合:[例5]:(1998年加拿大数学奥林匹克试题.2009年全国高中数学联赛安徽预赛试题)求方程[2x ]+[3x ]+[7x ]=x 的所有解([a]表示不超过实数a 的最大整数).[解析]:由方程知解x 是整数,设x=42p+q(p ∈Z,q ∈{0,1,…,41}),则(21p+[2q])+(14p+[3q ])+(6p+[7q ])=42p+q ⇒[2q ]+[3q ]+[7q]=p+q ⇒q=0,p=0,x=0;q=1,p=-1,x=-41;q=2,p=-1,x=-40;q=3,p=-1,x=-39,…,因此,方程的解集为{0, -6,-l2,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,- 51,-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,-67,-71,-73,-79,-85}.[练习5]:1.(2010年全国高中数学联赛福建预赛试题)将方程x 3-3[x]=4的实数解从小到大排列得x 1,x 2,…,x k ,则x 13+x 23+…+x k 3的值为 ([x]表示不超过x 的最大整数).2.①(1989年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示x 的整数部分,{x}=x −[x],则方程[x 3]+[x 2]+[x]={x}−1的所有实数根是 .②(1991年上海市高中数学竞赛试题)求满足[x 2−2x]=[x]2−2[x]的一切实数x.其中[x]表示不超过x 的最大整数. ③(1993年上海市高中数学竞赛试题)自然数x 使得[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x7]=1993.则x=_____. 3.①(2007年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)求正整数n,使得[log 31]+[log 32]+[log 33]+[log 34]+…+[log 3n]=2007.其中[x]表示不超过x 的最大整数.②(2009年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)对整数n>1,设x=1+21+…+n1,y=lg2+lg3+…+lgn.则满足[x]=[y]的所有整数n 构成的集合为 ([a]表示不超过实数a 的最大整数).6.方程应用:[例6]:(1989年全国高中数学联赛试题)一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为__________. [解析]:设该数为x,则(x-[x])x=[x]2⇒x=251+[x](x>0);由0<x-[x]<1⇒0<215-[x]<1⇒0<[x]<251+<2⇒[x]=1 第一讲:高斯函数 5⇒x=251+. [练习6]:1.(2009年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设a 是整数,0≤b<1.若a 2=2b(a+b),则b= . 注:本题也可以这样说:求实数x,使[x]2=2{x}x.2.①(2011年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面上,由满足[x]2+[y]2=50的点所形成的图形的面积是 .②(2011年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)若[x]表示不超过x 的最大整数.求在平面直角坐标系xOy 中满足[x][y]=2011的所有点(x,y)组成的图形的面积.③(2012年全国高中数学联赛新疆预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面直角坐标系xOy 中,满足[x][y]=2013的所有点(x,y)组成的图形面积为 .3.①(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)数(3+8)2n (n ∈N +),且n ≥2009,设[x]为x 的整数部分,则[(3+8)2n]除以8的余数是( )(A)1 (B)3 (C)4 (D)7②(2009年全国高中数学联赛吉林预赛试题)(2+3)2010的小数点后一位数字是 .7.等式问题:[例7]:(1987年第19届加拿大数学奥林匹克试题)对每一个正整数n,证明:[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[解析]:设正整数m 满足:m 2>4n+1;若m 为偶数,则m 2=4k>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+4>4n+3;若m 为奇数,则m 2=4k+1>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+5>4n+3;综上m 2>4n+3,即m>34+n ;特别地,取m=[14+n ]+1,满足:m 2>4n+1,则m>34+n⇒[14+n ]+1>34+n >14+n ≥[14+n ]⇒[34+n ]=[14+n ]⇒[14+n ]=[24+n ]=[34+n ];因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n >2n+1+2n=4n+1⇒n +1+n >14+n ⇒[n +1+n ]≥[14+n ];且(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+2(n+1)=4n+3⇒n +1+n <34+n ⇒[n +1+n ]<[34+n ]⇒[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[练习7]:1.①(1981年第44届莫斯科数学奥林匹克试题)试问:对x>1,下面的等式[][x ]=[x ]一定能成立吗？②(1948年第8届普特南数学奥林匹克试题)如果n 为一正整数,试证:[n +1+n ]=[24+n ]. 2.①(1991年第9届美国数学邀请赛试题)设r 是实数,且满足条件[r+10019]+[r+10020]+…+[r+10091]=546.求[100r]. ②(1981年第13届加拿大数学奥林匹克试题)试证方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解. 3.(1989年国家理科试验班入学考试试题)通项为a n =b[c n +]+d 的数列{a n }:1,3,3,3,5,5,5,5,5,…,其中每一个正奇数m 恰好连续出现m 次.上述b 、c 、d 是侍定的整数,求b+c+d 的值.8.不等问题:[例8]:(1981年美国数学奥林匹克试题)对正整数n 和一切实数x.求证:[nx]≥1][x +2]2[x +…+nnx ][. [解析]:为方便,记a n =1][x +2]2[x +…+nnx ][.用数学归纳法证明:①当n=1时,a 1=[x],[nx]=[x]⇒原不等式成立;②假设当k<n 时,原不等式均成立,即a 1≤[x],a 2≤[2x],…,a n-1≤[(n-1)x];注意到:a k -a k-1=kkx ][⇒ka k -ka k-1=[kx]⇒na n =a 1+(2a 2-a 1) 6 第一讲:高斯函数+(3a 3-2a 2)+…+[na n -(n-1)a n-1]=a 1+(2a 2-2a 1)+(3a 3-3a 2)+…+(na n -na n-1)+(a 1+a 2+…+a n-1)=[x]+[2x]+[3x]+…+[nx]+(a 1+a 2+…+a n-1)≤n[nx]⇒a n ≤[nx].[练习8]:1.(第10届地中海地区数学奥林匹克试题)设x 为大于1的实数.证明:(][}{x x x +-}{][x x x +)+(}{][x x x +-][}{x x x +)>29.2.(2005年国家集训队训试试题)求所有正整数m 、n,使得不等式[(m+n)α]+[(m+n)β]≥[m α]+[m β]+[n(α+β)]对任意实数α、β都成立.3.(2005年国家集训队选拔考试试题)设n 是任意给定的正整数,x 是正实数.证明:∑++-=nk x kx x k x 1])1)[1(][(≤n.第一讲:高斯函数 1第一讲:高斯函数高斯函数是数论中的重要函数,从小学、初中、高中,直到大学的各级、各类数学竞赛均有涉及,是数学竞赛极独特的内容.定义:[x]表示不超过实数x 的最大整数.则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=[x]+α(0≤α<1),这里,[x]称为x 的整数部分,而α,即x-[x]称为x 的小数部分,记{x}=x-[x].函数性质:①高斯函数y=[x]的定义域是R,值域是Z;函数y={x}的定义域是R,值域是[0,1);②函数y=[x]与y=x-[x]与y={x}的图像分别为:③函数y=[x]是一个分段表达的不减的无界函数,即当x 1≤x 2时,有[x 1]≤[x 2];y={x}是一有界、周期为1的非单调函数;等式性质:①[n+x]=n+[x],{x+n}={x},其中x ∈R,n ∈Z;②[-x]=⎩⎨⎧∉--∈-)(1][)]([Z x x Z x x ;③若n ∈N +,x ∈R,则[n nx ][]=[x],特别地,[n x ][]=[n x],[nm x][]=[mn x ](证明:由x-1<[x]≤x<[x]⇒n[x]≤nx<n([x]+1)⇒[x]≤[n nx ][]>[x]+1⇒[n nx ][]=[x])不等性质:①若x ∈R,则x-1<[x]≤x<[x]+1;②若x,y ∈R,则[x+y]≥[x]+[y],且{x}+{y}≥{x+y},一般地,若x i ∈R,则[∑=ni i x 1]≥∑=ni i x 1][,特别地,[nx]≥n[x],[b na ]≥n[b a ];③若x,y ∈R +,则[xy]≥[x][y],特别地,][][y x ≥[yx],一般地,若x i ∈R +,则[∏=ni i x 1]≥∏=ni i x 1][,特别地,[x n ]≥[x]n ,[x]≥[n x ]n;厄米特恒等式:若x ∈R,n ∈N 6,则[x]+[x+n1]+[x+n2]+…+[x+nn 1-]=[nx];证明:引入辅助函数f(x)=[nx]-([x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-])⇒f(x+n 1)=[nx+1]-([x+n 1]+[x+n2]+…+[x+ n n 1-]+[x+n 1+n n 1-])=[nx]+1-([x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-]+[x]+1)=f(x)⇒f(x)是一个以n1为周期的周期函数,而当x ∈[0,n1]时,直接计算知f(x)=0.故对任意x ∈R,厄米特等式成立. 1.函数性质:[例1]:(2010年全国高中数学联赛天津预赛试题)若关于x 的函数f(x)=|x-[x+a]|存在最大值M(a),则正实数a 的取值范是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数).[解析]:设x+a=n+α,其中,n ∈Z,0≤α<1,则f(x)=|x-[x+a]|=|n+α-a-n|=|α-a|;①当0<a<21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|>|-a|⇒f(x)无最大值;②当a ≥21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|≤|-a|⇒f(x)有最大值.故a 的取值范是[21,+∞).[练习1]:2 第一讲:高斯函数1.(1994年全国高中数学联赛河北预赛试题)设f(x)=xa+11-21,且[m]表示不超过m 的最大整数,则[f(x)]+[f(-x)]的值域是 .解:因f(x)+f(-x)=(x a +11-21)+(x a -+11-21)=x a +11+xxa a +1-1=0⇒f(-x)=-f(x);设f(x)=k+α,其中,k ∈Z,0≤α<1,①若α=0,则f(x)=k ⇒-f(x)=-k ⇒[f(x)]=k,[f(-x)]=-k ⇒[f(x)]+[f(-x)]=0;②若α≠0,则f(x)=k+α⇒-f(x)=-k-α= -(k+1)+(1-α)⇒[f(x)]=k,[f(-x)]=-(k+1)⇒[f(x)]+[f(-x)]=-1⇒[f(x)]+[f(-x)]的值域是{-1,0}. 2.(2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设f(x)=⎩⎨⎧>-≤-)0)(1()0]([x x f x x x ,其中[x]表示不超过x 的最大整数,若f(x)=kx+k(k>0)有三个不同的实数根,则实数k 的取值范围是 . 解:令g(x)=kx+k,由图知g(2)≤1,g(3)>1⇒41<k ≤31. 3.(2008年全国高中数学联赛湖南预赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k 棵树种植在点P k (x k ,y k )处,其中x 1=1,y 1=1,当k ≥2时,x k =x k-1+1-5[51-k ]+5[52-k ],y k =y k-1+[51-k ]-[52-k ].其中,[a]表示实数a 的整数部分,例如[206]=2,[0.6]=0.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 . 解:令f(k)=[51-k ]-[52-k ],则f(k+5)=[515-+k ]-[525-+k ]=[1+51-k ]-[1+52-k ]=[51-k ]-[52-k ]=f(k),故f(k)是周期为5的函数;计算可知:f(2)=0,f(3)=0,f(4)=0,f(5)=0,f(6)=1;由x k =x k-1+1-5f(k)⇒x k -x k-1=1-5f(k)⇒x 2008=x 1+(x 2- x 1)+(x 3-x 2)+…+(x 2008-x 2007)=x 1+2007-5[f(2)+f(3)+…+f(2008)]=x 1+2007-5[4001(f(2)+f(3)+…+f(6))+f(2)+f(3)]=3;同理可得y 2008=402.所以,2008棵树的种植点为(3,402).2.求值问题:[例2]:(1993年全国高中数学联赛试题)整数[310103193+]的末两位数是_______.[解析]:由[310103193+]=[3103)310(313393+-+]=[(1031)2-1031×3+32-3103313+]=(1031)2-1031×3+32-1=1031(1031-3)+8⇒末两位数是08.[练习2]:1.(2006年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:d+[2.6m-0.2]+y+ [4y ]+[4c]-2c 除以7的余数,其中,c 表示年的前两位数字(即世纪),y 表示年的后两位数字,d 表示日,m 表示月对应的数字 (见表). [x]表 示不于x 的最大整数.则2008年6月18日是星期 . 解:因c=20,y=8,d=18,m=4⇒d+[2.6m-0.2]+y+[4y ]+[4c]-2c=18+[10.2]+8+[2]+[5]-40=3≡3(mod7)⇒2008年6月18日是星期三.2.①(2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)以[x]表示不超过x 的最大整数,试确定[sin1]+[sin2]+[sin3]+ [sin4]+[sin5]的值. 解:因为0<1<2π,2π<2、3<π,π<4<23π,23π<5、6<2π⇒sin1、sin2、sin3∈(0,1),sin4、sin5∈(-1,0)⇒[sin1]=第一讲:高斯函数 3[sin2]=[sin3]=0,[sin4]=[sin5]=-1⇒[sin1]+[sin2]+[sin3]+[sin4]+[sin5]=-2.②(2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[sin1]+[cos2]+[tan3]+[sin4]+[cos5] +[tan6]= . 解:因为0<1<2π,2π<2<π,43π<3<π,π<4<23π,23π<5<2π,47π<6<2π⇒sin1∈(0,1),cos2∈(−1,0),tan3∈(−1, 0),sin4∈(−1,0),cos5∈(0,1),tan6∈(−1,0)⇒[sin1]+[cos 2]+[tan 3]+[sin 4]+[cos5]+[tan 6] =0+(-1)+(-1)+(-1) +0+(-1)=-4.3.①(2005年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,求集合{n|n=[20052k ],1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数. 解:当20052k <1,即k<44时,[20052k ]=0;当1≤20052k <2,即45≤k<63时,[20052k ]=1;当2≤20052k <3,即64≤k<77时,[20052k ]=2; 当3≤20052k <4,即78≤k<89时,[20052k ]=3;当4≤20052k <5,即90≤k<100时,[20052k ]=4;当5≤20052k <6,即100≤k<109时,月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对应的m 值111212345678910[20052k ]=5;当6≤20052k <7,即110≤k<118时,[20052k ]=6;当7≤20052k <8,即119≤k<126时,[20052k ]=7;…,集合{n|n=[20052k ], 1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数=1503.②(2010年全国高中数学联赛山西预赛试题)设a n =21⋅+32⋅+…+)1(+n n ,则[na n2]= . 解:由k<)1(+k k <k+21⇒2)1(+n n <a n <2)1(+n n +21n ⇒n+1<n a n 2<n+2⇒[n a n 2]=n+1. ③(2011年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数n,设x n 是关于x 的方程nx 3+2x-n=0的实数根,记a n =[(n+1)x n ](n= 2,3,…)([x]表示不超过x 的最大整数).则10051(a 2+a 3+…+a 2011)= . 解:设f(x)=nx 3+2x-n,易知,当n 为正整数时,f(x)为增函数;f(1)=2>0,且当n ≥2时,f(1+n n )=n(1+n n )3+21+n n -n=3)1(+n n (- n 2+n+1)<0⇒x n ∈(1+n n ,1)⇒n<(n+1)x n <n+1⇒a n =[(n+1)x n ]=n ⇒10051(a 2+a 3+…+a 2011)=2013. ④(2007年全国高中数学联赛四川预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,比如[3.14]=3,[0]=0,[-3.14]=-4.数列满足{a n }:a n =3n-2,若b n =[5na ],则b 1+b 2+…+b 2007= . 解:由b n =[5n a ]=[523-n ]⇒b 5k+r =[52)5(3-+r k ]=[3k+523-r ]=3k+[523-r ](r=0,1,2,3,4)⇒b 5k =3k-1,b 5k+1=b 5k+2=3k,b 5k+3=3k+1,b 5k+4=3k+2⇒b 5k-4+b 5k-3+b 5k-2+b 5k-1+b 5k =15k-10⇒b 1+b 2+…+b 2007=(b 1+b 2+…+b 5)+…+(b 401×5-4+b 401×5-3+b 401×5-2+b 401×5-1+b 401×5)+(b 401×5+1+b 401×5+2)=152)4011(401+-10×401+(3×401+3×401)=(15×201-4)401=1207411.3.求和问题:[例3]:(2012年全国高中数学联赛河南预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 22012]= .[解析]:我们来解决一般性问题:设a ∈N +,且a ≥2,求和[log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n].当a t≤k<a t+1时,[log a k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[a t,a t+1)中的正整数有(a-1)a t个.并设a m≤n<a m+1,n=a m+b(b ∈N +),则 [log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n]=(a-1)[0×a 0+1×a+2×a 2+…+(m-1)×a m-1]+mb=(a-1){[1-a a (m-1)-2)1(-a a ]a m-1+ 4 第一讲:高斯函数2)1(-a a }+mb=[a(m-1)-1-a a ]a m-1+1-a a +m(b+1) 回到本题:a=2,由210<2012<211⇒m=10,由2012-210=2012-1024=988⇒b=988⇒和为(2×9-2)29+2+10×989=18084.[练习3]:1.①(2008年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]= .解:当2t ≤k<2t+1时,[log 2k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[2t ,2t+1)中的正整数有2t 个.设f(x)=[log 2x],注意到29=512,所以, [log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]=∑=5001)(k k f =f(1)+∑-=1222)(k k f +∑-=12232)(k k f +∑-=12243)(k k f +∑-=12254)(k k f +∑-=12265)(k k f +∑-=12276)(k k f +∑-=12287)(k k f +∑=50028)(k k f =0+1×21+2×22+3×23+4×24+5×25+6×26+7×27+8(28-11)=3498.②(2010年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2010]= . 解:因为1≤k ≤9⇒[lgk]=0;10≤k ≤99⇒[lgk]=1;100≤k ≤999⇒[lgk]=2;1000≤k ≤2010⇒[lgk]=3;所以,[lg1]+ [lg2]+[lg3]+…+[lg2010]=60×1+900×2+1011×3=4923.③(2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)[x]表示不超过x 的最大整数,若[log 36]+[log 37]+[log 38]+…+ [log 3(n-1)]+[log 3n]=2009,试确定正整数n 的值.解:由[log 36]=[log 37]=[log 38]=1⇒[log 36]+[log 37]+[log 38]=3;[log 39]=[log 310]=…=[log 326]=2⇒[log 39]+[log 310]+ …+[log 326]=36;[log 327]=[log 328]=…=[log 380]=3⇒[log 327]+[log 328]+…+[log 380]=162;[log 381]=[log 382]=…= [log 3242]=4⇒[log 381]+[log 382]+…+[log 3242]=648;3+36+162+648=849;[log 3243]=[log 3244]=…=[log 3728]=5⇒ [log 3243]+[log 3244]+…+[log 3728]=2430⇒n=474.④(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题){x}表示不小于实数x 的最小整数,则{log 21}+{log 22}+…+{log 21991} = .解:当log 2n 为整数时,{log 2n}=[log 2n](n=20,21,…,210);当log 2n 为整数时,{log 2n}=[log 2n]+1;所以,{log 21}+{log 22}+…+{log 21991}=[log 21]+[log 22]+…+[log 21991]+1991-11;由a=2,1024=210<1991<211⇒m=10,由1991-210=967⇒b=967⇒ [log 21]+[log 22]+…+[log 21991]+1991-11=[2×9-2]29+2+10×968+1991-11=19854.2.①(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[1]+[2]+[3]+…+ [19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]的值是 .解:当k 为整数时,[k ]+[-k ]=0(k=12,22,…,19892),当k 不是整数时,设k =n+α(0<α<1),则[k ]=n,[-k ]=[-n-α]=[-(n+1)+(1-α)]=-(n+1)⇒[k ]+[-k ]=-1⇒[1]+[2]+[3]+…+[19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]=-1989×1990+1989=-19892.②(2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012的自然数n 的值.解:因为nlg2和nlg5是无理数,那么可以表示nlg2=m+a 其中m=[nlg2],a={nlg2}≠0,而nlg5=n-nlg2=n-m-a=(n-m-1)+(1- a)⇒[nlg5]=n-m-1⇒[nlg2]+[nlg5]=n-1=2012⇒n=2013.3.①(2012年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则∑+=+201201]222012[k k k = . 解:由1222012++k k <1⇒2012+2k <2k+1⇒2k>2012⇒k>11⇒当k>11时,[1222012++k k ]=0;当k=0时,[1222012++k k ]=1006;当k=1时,[1222012++k k]=503;当k=2时,[1222012++k k ]=250;当k=3时,[1222012++k k ]=126;当k=4时,[1222012++k k ]=63;当k=5时,[1222012++k k ]=31;当k=6时,[1222012++k k ]=16;当k=7时,[1222012++k k ]=8;当k=8时,[1222012++k k ]=4;当k=9时,[1222012++k k ]=2;当k=10、第一讲:高斯函数 511时,[1222012++k k ]=1⇒∑+=+20121]222012[k k k =1006+503+250+126+63+31+16+8+4+2+1+1=2012.②(2012年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数x,记m=[2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[k x 2],其中k 为满足2k≥x 的最小整数,符号[x]表示不超过x 的最大整数.x 与m 的差,即x-m 称为正整数x 的“亏损数”.(如x=100时,m=[2100]+[22100]+…+ [72100]=97,x-m=3,因此,数100的“亏损数”为3).则“亏损数”为9的最小正整数x 为________.解:设下x=a n ×2n+a n-1×2n-1+…+a 2×22+a 1×21+a 0×20,其中a i ∈{0,1}(i=0,1,2,…,n),则x-2[2x ]=a 0;[2x ]-2[22x]=a 1; [22x ]-2[32x ]=a 2,…,[nx 2]-2[12+n x ]=a n ⇒a 0+a 1+a 2+…+a n =(x-2[2x ])+([2x ]-2[22x ])+([22x ]-2[32x ])+…+([n x2]- 2[12+n x])=x-([2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[12+n x ])=x-m=x 的“亏损数”⇒亏损数”为9的最小正整数x=1+2+22+…+28=511. 4.方程问题:[例4]:(1995年全国高中数学联赛试题)用[x]表示不大于实数x 的最大整数,方程lg 2x-[lgx]-2=0的实根个数是_____.[解析]:由x ≥[x],lg 2x-[lgx]-2=0⇒lg 2x-2=[lgx]≤lgx ⇒-1≤lgx ≤2⇒[lgx]=-1,0,1,2;当[lgx]=-1时,lg 2x=1⇒lgx=-1;当[lgx]=0时,lg 2x=2⇒lgx=±2,无解;当[lgx]=1时,lg 2x=3⇒lgx=3;当[lgx]=2时,lg 2x=4⇒lgx=2⇒实根个数是3.[练习4]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不大于x 的最大整数,集合A={x|x 2-2[x]=3},B={x|81<2x<8},则A ∩B= .解:由81<2x <8⇒-3<x<3⇒[x]=-3,-2,-1,0,1,2;①若[x]≤-2,则x 2=2[x]+3<0,没有实数解;②若[x]=-1,则x 2=1⇒x=-1; ③若[x]=0,则x 2=3,没有符合条件的解;④若[x]=1,则x 2=5,没有符合条件的解;⑤若[x]=2,则x 2=7⇒有一个符合条件的解x=7⇒ A ∩B={-1,7}.②(2008年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设集合A={x|x 2-[x]=2}和B={x||x|<2},其中符号[x]表示不大于x 的最大整数,则A ∩B= .解:因|x|<2⇒[x]的值可取-2,-1,0,1;当[x]=-2,则x 2=0无解;当[x]=-1,则x 2=1⇒x=-1;当[x]=0,则x 2=2无解;当[x]=1,则x 2=3⇒x=3⇒A ∩B={-1,3}.③(1999年全国高中数学联赛广西预赛试题)[tanx]表示不超过tan 的最大整数,则方程[tanx]=2cos 2x 的解为 . 解:由0≤2cos 2x ≤2⇒0≤[tanx]≤2⇒[tanx]=0,1,2;当[tanx]=0时,cosx=0,tanx 无意义;当[tanx]=1时,cosx=±22, 注意:[tanx]=1⇒x=k π+4π(k ∈Z);当[tanx]=2时,cosx=1⇒sinx=0⇒tanx=0,矛盾. ④(2009年上海市高中数学竞赛试题)若[a]表示不超过实数a 的最大整数,则方程[tanx]=2sin 2x 的解是 . 解:由0≤2sin 2x ≤2⇒0≤[tanx]≤2⇒[tanx]=0,1,2;当[tanx]=0时,sinx=0,tanx=0⇒x=k π;当[tanx]=1时,sinx=±22,注意:[tanx]=1⇒x=2k π+4π(k ∈Z);当[tanx]=2时,sinx=1⇒cosx=0⇒tanx=0无意义.2.①(2006年全国高中数学联赛湖南预赛试题)对于实数x,当且仅当n ≤x<n+1(n ∈N +)时,规定[x]=n.则不等式4[x]2-36[x] +45<0的解集为 .6 第一讲:高斯函数解:由4[x]2-36[x]+45<0⇒23<[x]<215⇒2≤[x]≤7⇒2≤x<8. ②(2009年全国高中数学联赛山东预赛试题)对任意的x ∈R,[x]表示不大于x 的最大整数,则满足[|x 2-1|]=10的x 的集合是( )(A)(-23,-11) (B)[11,23] (C)(-23,-11]∪[11,23) (D)[-23,-11)∪(11,23]解:因[|x 2-1|]=10⇔10≤|x 2-1|<11⇔-11<x 2-1≤-10,或10≤x 2-1<11⇔x ∈(-23,-11]∪[11,23),选(C).③(2009年全国高中数学联赛福建预赛试题)方程x [x]=29的实数解是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数). 解:显然x>0;①若x ≥3,则[x]≥3⇒x [x]≥27>29;②若0<x<2,则0≤[x]<2⇒x [x]<22=4<29;③若2≤x<3,则[x]=2⇒x 2=29 ⇒x223. 3.①(2011年全国高中数学联赛内蒙古预赛试题)方程x 2-8[x]+7=0的所有解为 .解:由x ≥[x]=872+x ⇒1≤x ≤7⇒[x]=1,2,3,4,5,6,7⇒x=1,33,41,7.②(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,且x 2-2008[x]+2007=0,则[x]的值是 .解:1,2005,2006,2007.③(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则方程[3x-465]-2x-1=0的解是 .解:设2x+1=k,则x=21-k ,3x-465=6389-k =k+6383-k ,于是原方程等价于[k+6383-k ]-k=0⇒[6383-k ]=0⇒0≤6383-k<1⇒338≤k<344⇒k=13,14⇒解是x=6,213. ④(2011年全国高中数学联赛四川预赛试题)设x 为实数,定义[x]为不小于x 的最小整数,例如[π]=4,[-π]=-3,关于实数x 的方程[3x+1]=2x-21的全部实根之和等于 . 解:设2x-21=k ∈Z,则x=412+k ,3x+1=k+1+432+k ,于是原方程等价于[432+k ]=-1,即-2<432+k ≤-1⇒-211<k ≤-27⇒k=-5,-4⇒x=-49,-47⇒所有实根之和为-4. 5.方程综合:[例5]:(1998年加拿大数学奥林匹克试题.2009年全国高中数学联赛安徽预赛试题)求方程[2x ]+[3x ]+[7x ]=x 的所有解([a]表示不超过实数a 的最大整数).[解析]:由方程知解x 是整数,设x=42p+q(p ∈Z,q ∈{0,1,…,41}),则(21p+[2q ])+(14p+[3q ])+(6p+[7q ])=42p+q ⇒[2q ]+[3q ]+[7q]=p+q ⇒q=0,p=0,x=0;q=1,p=-1,x=-41;q=2,p=-1,x=-40;q=3,p=-1,x=-39,…,因此,方程的解集为{0, -6,-l2,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,- 51,-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,-67,-71,-73,-79,-85}.第一讲:高斯函数 7 [练习5]:1.(2010年全国高中数学联赛福建预赛试题)将方程x 3-3[x]=4的实数解从小到大排列得x 1,x 2,…,x k ,则x 13+x 23+…+x k 3的值为 ([x]表示不超过x 的最大整数).解:由x-1<[x]≤x;①当x ≥3时,x 3-3[x]≥x 3-3x=x(x 2-3)≥3(32-3)=18;②当x ≤-3时,x 3-3[x]<x 3-3(x-1)=x(x 2-3)+3≤ -3[(-3)2-3]+3=-15;③当-3<x<3时,[x]=-3,-1,-1,0,1,2;若[x]=-3,则x 3=3[x]+4=-5,不合要求;若[x]=-2,则x 3=3[x]+4= -2⇒x=-32,合要求;若[x]=-1,则x 3=3[x]+4=-1,不合要求;若[x]=0,则x 3=3[x]+4=4,不合要求;若[x]=1,则x 3=3[x]+4= 7⇒x=37,合要求;若[x]=2,则x 3=3[x]+4=10⇒x=310,合要求⇒(-32)3+(37)3+(310)3=15.2.①(1989年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示x 的整数部分,{x}=x −[x],则方程[x 3]+[x 2]+[x]={x}−1的所有实数根是 .解:由[x 3]+[x 2]+[x]∈Z ⇒{x}−1∈Z ⇒{x}=0⇒x ∈Z ⇒x 3+x 2+x=-1⇒(x+1)(x 2+1)=0⇒x=-1.②(1991年上海市高中数学竞赛试题)求满足[x 2−2x]=[x]2−2[x]的一切实数x.其中[x]表示不超过x 的最大整数. 解:设[x]=n,x-[x]=α(0≤α<1),则x 2−2x=(n+α)2-2(n+α)=n 2-2n+α2+2(n-1)α,所以原方程等价于[n 2-2n+α2+2(n-1)α]=n 2-2n ⇔[α2+2(n-1)α]=0⇔0≤α2+2(n-1)α<1;当α=0时,不等式成立,此时,x=n;当α≠0时,由0≤α2+2(n-1)α<1⇔0<α<1)1(2+-n -(n-1)⇔0<x-n<1)1(2+-n -(n-1)⇔x ∈(n,1)1(2+-n +1)(n=1,2,…). ③(1993年上海市高中数学竞赛试题)自然数x 使得[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x7]=1993.则x=_____. 解:由[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x 7]=1993⇒[x]<1993⇒x<1994⇒[！x 7]=0⇒[x]+[！x 3]+[！x5]=1993⇒x>5！;设x=5！n+r(0≤r<5！=120)⇒(120n+r)+(20n+[6r ])+n=1993⇒141n+r+[6r ]=1993=14×141+19⇒n=14,r+[6r]=19⇒r=17⇒x=1697. 3.①(2007年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)求正整数n,使得[log 31]+[log 32]+[log 33]+[log 34]+…+[log 3n]=2007.其中[x]表示不超过x 的最大整数.解:因为当3k≤n<3k+1时,[log 3n]=k(k=0,1,2,…),且区间[3k,3k+1)内的正整数个数=3k+1-3k=2×3k,所以,S k =[log 31]+[log 32]+ [log 33]+[log 34]+…+[log 3(3k+1-1)]=2(0×30+1×31+2×32+…+k ×3k)=(23k-43)3k +43;令(23k-43)3k+43≤2007⇒(2k- 1)3k≤2675⇒k ≤5;S 5=1391,2007-1391=6×101⇒n=36+100=829. ②(2009年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)对整数n>1,设x=1+21+…+n1,y=lg2+lg3+…+lgn.则满足[x]=[y]的所有整数n 构成的集合为 ([a]表示不超过实数a 的最大整数). 解:{5,6}.6.方程应用:[例6]:(1989年全国高中数学联赛试题)一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为__________. [解析]:设该数为x,则(x-[x])x=[x]2⇒x=251+[x](x>0);由0<x-[x]<1⇒0<215-[x]<1⇒0<[x]<251+<2⇒[x]=1 ⇒x=251+. [练习6]:1.(2009年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设a 是整数,0≤b<1.若a 2=2b(a+b),则b= .解:若a 为负整数,则a 2>0,2b(a+b)<0,不可能,故a ≥0;于是a 2=2b(a ＋b)<2(a+1)⇒a 2-2a-2<0⇒0≤a<1+3⇒a=0,1,8 第一讲:高斯函数2;a=0时,b=0;a=1时,2b 2+2b-1=0⇒b=213-;a=2时,b 2+2b-2=0⇒b=3-1. 注:本题也可以这样说:求实数x,使[x]2=2{x}x.2.①(2011年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面上,由满足[x]2+[y]2=50的点所形成的图形的面积是 .解:由[x]2+[y]2=50⇒[x]=±1,[y]=±7;[x]=±5,[y]=±5;[x]=±7,[y]=±1.每组解有4种情况,每种情况下的面积为1⇒图形的面积是12.②(2011年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)若[x]表示不超过x 的最大整数.求在平面直角坐标系xOy 中满足[x][y]=2011的所有点(x,y)组成的图形的面积.解:设[x]=a,[y]=b,即所有这样的点(x,y)组成的图形就是a ≤x<a+1,b ≤y<b+1界定的区域,它的面积为1,又2011是质数,所以满足[x][y]=2011的点(x,y)组成的图形是4个面积为1的区域,即[x]=1,[y]=2011;[x]=2011,[y]=1;[x]=−1,[y] =−2011;[x]=−2011,[y]=−1.这些图形的总面积是4.③(2012年全国高中数学联赛新疆预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面直角坐标系xOy 中,满足[x][y]=2013的所有点(x,y)组成的图形面积为 .解:由[x][y]=2013=1×2013=3×671=11×183=33×61,共有16种情况,每种情形下的面积为1,所以,所有点(x,y)组成的图形面积为16.3.①(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)数(3+8)2n (n ∈N +),且n ≥2009,设[x]为x 的整数部分,则[(3+8)2n]除以8的余数是( )(A)1 (B)3 (C)4 (D)7解:设a n =(3+8)2n +(3-8)2n =(17+122)n +(17-122)n ,则a 1=34,a 2=342-2=1154,a n+2=34a n+1-a n ⇒a 1≡2(m0d8),a 2≡2(m0d8),a 3≡34×2-2≡2(m0d8)⇒a n ≡2(m0d8);又因0<(3-8)2n <1⇒[(3+8)2n ]=a n -1⇒[(3+8)2n]≡1(m0d8).选(A).②(2009年全国高中数学联赛吉林预赛试题)(2+3)2010的小数点后一位数字是 .解:因(2+3)2010+(2-3)2010为整数,则(2+3)2010的小数部分为1-(2-3)2010,又因0<(2-3)2010<0.21005<(0.008)300,所以0.9<1-(2-3)2010<1,可知(2+3)2010的小数点后一位数字是9.7.等式问题:[例7]:(1987年第19届加拿大数学奥林匹克试题)对每一个正整数n,证明:[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[解析]:设正整数m 满足:m 2>4n+1;若m 为偶数,则m 2=4k>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+4>4n+3;若m 为奇数,则m 2=4k+1>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+5>4n+3;综上m 2>4n+3,即m>34+n ;特别地,取m=[14+n ]+1,满足:m 2>4n+1,则m>34+n⇒[14+n ]+1>34+n >14+n ≥[14+n ]⇒[34+n ]=[14+n ]⇒[14+n ]=[24+n ]=[34+n ];因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n >2n+1+2n=4n+1⇒n +1+n >14+n ⇒[n +1+n ]≥[14+n ];且(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+2(n+1)=4n+3⇒n +1+n <34+n ⇒[n +1+n ]<[34+n ]⇒[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[练习7]:1.①(1981年第44届莫斯科数学奥林匹克试题)试问:对x>1,下面的等式[][x ]=[x ]一定能成立吗？解:设[x ]=n,由[x ]≤x <[x ]+1⇒n ≤x <n+1⇒n 2≤x <(n+1)2⇒n 2≤[x ]<(n+1)2⇒n ≤][x <n+1⇒n ≤[][x ]<n+1⇒[][x ]=n ⇒[][x ]=[x ]成立.②(1948年第8届普特南数学奥林匹克试题)如果n 为一正整数,试证:[n +1+n ]=[24+n ].第一讲:高斯函数 9解:因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+[n+(n+1)]=4n+2⇒n +1+n <24+n ⇒[n +1+n ]≤[24+n ];若存在某个正整数n,使得[n +1+n ]≠[24+n ],则[n +1+n ]<[24+n ];设[24+n ]=k,则n +1+n <k ≤24+n⇒2n+1+2)1(+n n <k 2≤4n+2⇒2)1(+n n <k 2-(2n+1)≤2n+1⇒4n(n+1)<[k 2-(2n+1)]2≤4n(n+1)+1(因4n(n+1)与4n(n+1)+1是连续整数)⇒[k 2-(2n+1)]2=4n(n+1)+1⇒k 2=4n+2,但任意整数的平方被4除不余2,矛盾. 2.①(1991年第9届美国数学邀请赛试题)设r 是实数,且满足条件[r+10019]+[r+10020]+…+[r+10091]=546.求[100r]. 解:设[r]=n,r=n+α(0≤α<1),则[r+100i ]=[n+α+100i ]=n(当0<α+100i <1时),或n+1(当1≤α+100i<2时),设其中有 73-k 个n,k 个n+1,则(73-k)n+k(n+1)=546⇒n=7+7335k -⇒k=35,n=7⇒α+10056<1,α+10057≥1⇒10043≤α<10044⇒7+10043≤r<7+10044⇒743≤100r<744⇒[100r]=743. ②(1981年第13届加拿大数学奥林匹克试题)试证方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解. 解:设f(x)=[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x],则f(x)单调不减;由f(x)≤[(1+2+4+8+16+32)x]=[63x]≤63x ⇒x ≥6312345>195;f(196)=63×196=12348⇒x<196⇒x ∈(195,196);令t=x-195,则t ∈(0,1),且f(x)=[195+t]+[2(195+t)]+ [4(195+t)]+[8(195+t)]+[16(195+t)]+[32(195+t)]=63×195+[t]+[2t]+[4t]+[8t]+[16t]+[32t]<12285+0+1+3+7+15+31 =12342⇒方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解.3.(1989年国家理科试验班入学考试试题)通项为a n =b[c n +]+d 的数列{a n }:1,3,3,3,5,5,5,5,5,…,其中每一个正奇数m 恰好连续出现m 次.上述b 、c 、d 是侍定的整数,求b+c+d 的值.解:由a n+1-a n =b([c n ++1]-[c n +]),由题知,a n+1-a n =0,或2⇒b([c n ++1]-[c n +])=0,或2;由c n ++1-c n +=cn c n ++++11≤1⇒c n +<c n ++1≤c n ++1⇒[c n +]<[c n ++1]≤[c n +]+1⇒[c n ++1]-[c n +]=0,或1;显然b ≠0,当b([c n ++1]-[c n +])=2时,b=2,[c n ++1]-[c n +]=1;由a 1=2[c +1]+d=1⇒c ≥-1,d=1-2[c +1];注意到2k a =2k-1⇒2[c k +2]+d=2k-1⇒2[c k +2]+1-2[c +1]=2k-1⇒[c k +2]-[c +1]=k-1对任意的k ∈N +恒。
高斯函数[x]性质及其应用
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高斯函数ｘ[]性质及其应用文贵双(甘肃省天水市一中㊀７４１０００)摘㊀要:高斯函数是一个有名的特殊的函数.教材以及各类考试中经常出现有关高斯函数的试题.文章列举了高斯函数的性质ꎬ举例说明高斯函数在考试中的各种应用.关键词:高斯函数ꎻ高考试题ꎻ教材中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００５１－０３收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:文贵双(１９６４.１１－)ꎬ男ꎬ甘肃省天水人ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高考试题根植于教材ꎬ但又不断创新ꎬ将教材内容与高等数学巧妙结合ꎬ成为高考㊁竞赛的热点.高斯函数就是一个好的结合点ꎬ高斯函数出现在教材的习题中ꎬ各类考试中都有高斯函数的 倩影 ꎬ此类问题新颖灵活ꎬ能更好考查学生的思维品质和数学素养.高斯函数也叫取整函数.取整函数ｘ[]表示不大于ｘ的最大整数ꎬ且由于对于任意的实数ｘꎬ对应的函数值ｘ[]都是整数ꎬ故称函数ｙ＝ｘ[]为取整函数.ｘ[]满足下面几条简单性质(１)ｘ[]是整数.(２)ｘ[]ɤｘ<ｘ[]＋１.(３)取整函数是一个不减函数ꎬ即对任意ｘ１ꎬｘ２ɪＲꎬ若ｘ１<ｘ２ꎬ则ｘ１[]ɤｘ２[](４)若ｘꎬｙɪＲꎬ则ｘ[]＋ｙ[]ɤｘ＋ｙ[]ɤｘ[]＋ｙ[]＋１(５)若ｎ是正整数ꎬｘɪＲꎬ则ｎｘ[]ȡｎｘ[](６)若ｍ是整数ꎬ则ｘ＋ｍ[]＝ｘ[]＋ｍꎬｙ＝ｘ[]的图象如图１所示.其图象是一组阶高为１的平行与ｘ轴的线段ꎬ不包括右端点ꎬ这组平行线段成阶梯状ꎬ故取整函数亦称阶梯函数.而函数ｆ(ｘ)＝ｘ－ｘ[]称为ｘ的非负纯小数部分ꎬ并用 ｘ{} 表示.任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和ꎬ即:ｘ＝ｘ[]＋ｘ{}ꎬ其中ｘ{}ɪ[０ꎬ１)称为小数部分函数.ｆ(ｘ)＝ｘ－ｘ[]图象如图２所示ꎬ是一个周期函数.高斯函数ｘ[]是一个非常有趣的数论函数ꎬ在许多数学分支中都有广泛的应用ꎬ在高中数学竞赛和高考试题中也经常出现与高斯函数有关的试题.由于高斯函数ｘ[]性质不如初等函数(利如二次函数ꎬ指数函数㊁对数函数㊁三角函数)多ꎬ使用起来不方便.所以涉及取整函数ｘ[]的题目ꎬ有其特殊的技巧ꎬ下面举例说明其解法.㊀㊀一㊁有关高斯函数求值题例１㊀Ｓｎ为等差数列{ａｎ}的前ｎ项和ꎬ且ａ１＝１ꎬＳ７＝２８.记ｂｎ＝[ｌｇａｎ]ꎬ其中[ｘ]表示不超过ｘ的最大整数ꎬ如[０.９]＝０ꎬ[ｌｇ９９]＝１.(１)求ｂ１ꎬｂ１１ꎬｂ１０１ꎻ(２)求数列{ｂｎ}的前１０００项和.解㊀(１)设ａｎ{}的公差为ｄꎬＳ７＝７ａ４＝２８ꎬ由ａ４＝４ꎬ得ｄ＝ａ４－ａ１３＝１ꎬａｎ＝ａ１＋(ｎ－１)ｄ＝ｎ.故ｂ１＝ｌｇａ１[]＝ｌｇ１[]＝０ꎬｂ１１＝ｌｇａ１１[]＝ｌｇ１１[]＝１ꎬｂ１０１＝ｌｇａ１０１[]＝ｌｇ１０１[]＝２.(２)记ｂｎ{}的前ｎ项和为Ｔｎꎬ则Ｔ１０００＝ｂ１＋ｂ２＋ ＋ｂ１０００＝ｌｇａ１[]＋ｌｇａ２[]＋ ＋ｌｇａ１０００[].当０ɤｌｇａｎ<１时ꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ９ꎻ当１ɤｌｇａｎ<２时ꎬｎ＝１０ꎬ１１ꎬ ꎬ９９ꎻ当２ɤｌｇａｎ<３时ꎬｎ＝１００ꎬ１０１ꎬ ꎬ９９９ꎻ当ｌｇａｎ＝３时ꎬｎ＝１０００.故Ｔ１０００＝０ˑ９＋１ˑ９０＋２ˑ９００＋３ˑ１＝１８９３例２㊀求ｌｏｇ２１[]＋ｌｏｇ２２[]＋ｌｏｇ２３[]＋ ＋ｌｏｇ２２０１２[]的值.解㊀ｌｏｇ２１[]＝０ꎬｌｏｇ２２[]＝１ꎬｌｏｇ２３[]＝１ꎬｌｏｇ２４[]＝ｌｏｇ２５[]＝ｌｏｇ２６[]＝ｌｏｇ２７[]＝２ꎬ当２ｋɤｎ<２ｋ＋１时ꎬｌｏｇ２ｎ[]＝ｋꎬｋꎬｎ是自然数ꎬ故有:１５原式＝０＋１ˑ(２２－２)＋２ˑ(２３－２２)＋ ＋９ˑ(２１０－２９)＋１０ˑ(２０１２－１０２３)＝１ˑ２＋２ˑ２２＋３ˑ２３＋ ９ˑ２９＋９８９０＝８１９４＋９８９０＝１８０８４评注例１ꎬ例２不需要什么技巧ꎬ只要理解取整函数的概念即可解决问题.㊀㊀二㊁有关高斯函数图象题例３㊀已知ｘɪＲꎬ若函数ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ－ａꎬ(ｘʂ０)有且有３个零点ꎬ则ａ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.３４ꎬ４５æèç]ɣ４３ꎬ３２[öø÷㊀㊀Ｂ.３４ꎬ４５[]ɣ４３ꎬ３２[]Ｃ.１２ꎬ２３æèç]ɣ５４ꎬ３２[öø÷Ｄ.１２ꎬ２３[]ɣ５４ꎬ３２[]图３解㊀ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ－ａ的零点ꎬ就是方程ｘ[]＝ａｘꎬ(ｘʂ０)的根ꎬ即为函数ｙ＝ｘ[]ꎬｙ＝ａｘꎬ(ｘʂ０)交点的横坐标.作出两函数图象可知选Ａ.例４㊀已知ｘɪＲꎬ符号ｘ[]表示不超过ｘ的最大整数.若函数ｆ(ｘ)＝ｘ－ｍ[]ｘ－ｍꎬ其中ｍɪＮ∗ꎬ则给出以下四个结论其中正确的是(㊀㊀).Ａ.函数ｆ(ｘ)在ｍ＋１ꎬ＋¥()上的值域为１２ꎬ１æèç]Ｂ.函数ｆ(ｘ)图象关于直线ｘ＝ｍ对称Ｃ.函数ｆ(ｘ)在ｍꎬ＋¥()是减函数Ｄ.函数ｆ(ｘ)在ｍ＋１ꎬ＋¥()上的最小值为１２.图４解㊀函数ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ中ꎬ当０<ｘ<１时ꎬｆ(ｘ)＝０ꎻ当１ɤｘ<２时ꎬｆ(ｘ)＝１ｘꎻ当２ɤｘ<３时ꎬｆ(ｘ)＝２ｘꎻ 函数ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ在(０ꎬ＋¥)值域是１２ꎬ１æèç]ꎬ将函数ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ的图象向右平移ｍ个单位得到ｆ(ｘ)＝ｘ－ｍ[]ｘ－ｍ的图像ꎬ故选Ａ.评注㊀熟练地掌握函数ｙ＝ｘ[]ꎬｆ(ｘ)＝ｘ－ｘ[]ꎬｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ的图像ꎬ由图定夺.㊀㊀三㊁有关高斯函数方程题例５㊀解方程５＋６ｘ８[]＝１５ｘ－７５解㊀令１５ｘ－７５＝ｎ(ｎɪＺ)ꎬ则ｘ＝５ｎ＋７１５ꎬ代入原方程得:１０ｎ＋３９４０[]＝ｎꎬ由取整函数的定义有０ɤ１０ｎ＋３９４０－ｎ<１ꎬ解得:－１３０<ｎɤ１３１０ꎬ则ｎ＝０ꎬ１.当ｎ＝０时ꎬ则ｘ＝７１５ꎻ当ｎ＝１时ꎬ则ｘ＝４５.例６㊀解方程１＋ｘ２[]＋３－２ｘ[]＝２解㊀设１＋ｘ２[]＝ｎꎬ３－２ｘ[]＝ｍꎬ则原方程ｎ＋ｍ＝２ꎬ且有ｎɤ１＋ｘ２<ｎ＋１ꎬｍɤ３－２ｘ<ｍ＋１ꎬ即２ｎ－１ɤｘ<２ｎ＋１ꎬ１－ｍ２<ｘɤ３－ｍ２ꎬ结合这两个不等关系ꎬ得１－ｍ２<２ｎ＋１２ｎ－１ɤ３－ｍ２ìîíïïïïꎬ即－ｍ<４ｎ４ｎ<５－ｍ{ꎬ又ｍ＝２－ｎꎬ解得ｎ＝０ꎬｎ＝１ꎬ进而可得ｎ＝０ｍ＝２{ꎬｎ＝１ｍ＝１{ꎬ得到方程的解为０<ｘɤ１２与ｘ＝１.评注㊀型如ａｘ＋ｂ[]＝ｃｘ＋ｄ或ａｘ＋ｂ[]＋ｃｘ＋ｄ[]＝ｅ的方程通常利用取整函数的定义与性质ꎬ结合换元法求解.㊀㊀㊀四㊁有关高斯函数的数列题例７㊀记[ｘ]为不超过实数ｘ的最大整数ꎬ例如ꎬ[２]＝２ꎬ[１.５]＝１ꎬ[－０.３]＝－１.设ａ为正整数ꎬ数列ｘｎ{}满足ｘ１＝ａꎬｘｎ＋１＝[ｘｎ＋[ａｘｎ]２](ｎɪＮ∗)ꎬ现有下列命题:①当ａ＝５时ꎬ数列ｘｎ{}的前３项依次为５ꎬ３ꎬ２ꎻ②对数列ｘｎ{}都存在正整数ｋꎬ当ｎȡｋ时总有ｘｎ＝ｘｋꎻ③当ｎȡ１时ꎬｘｎ>ａ－１ꎻ④对某个正整数ｋꎬ若ｘｋ＋１ȡｘｋꎬ则ｘｎ＝[ａ].其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)解㊀当ａ＝５时ꎬｘ１＝ａ＝５ｘ２＝５＋５５２＝３ꎬｘ３＝２５[３＋[５３]２]＝２ꎬ故①正确ꎻ当ａ＝１时ꎬｘ１＝１ꎬｘ２＝ｘ３＝ ＝ｘｎ＝１ꎬ但当ａ＝３时ꎬｘ１＝３ꎬｘ２＝２ꎬｘ３＝１ꎬｘ４＝２ꎬｘ５＝１ꎬｘ６＝２ꎬｘ７＝１ꎬ ꎬ此时可以看出数列ｘｎ{}ꎬ从第二项起是以２为周期重复出现ꎬ不存在正整数ｋꎬ使得当ｎȡｋ时总有ｘｎ＝ｘｋꎬ故②不正确.对于③ꎬｘ１＝ａ>ａ－１成立ꎬ因ｘｎ是整数ꎬ故若ｘｎ＋ａｘｎ[]是正奇数ꎬ则ｘｎ＋１＝ｘｎ＋ａｘｎ[]－１２>ｘｎ＋ａｘｎ－２２ȡ２ａ－１２>ａ－１ꎬ若ｘｎ＋ａｘｎ[]是正偶数ꎬｘｎ＋１＝ｘｎ＋ａｘｎ[]２>ｘｎ＋ａｘｎ－１２ȡ２ａ－１２>ａ－１.综上知③正确.对于④ꎬ由ｘｋ＋１ȡｘｋ得ａｘｋ[]－ｘｋȡ０ꎬａｘｋ－ｘｋȡａｘｋ[]－ｘｋȡ０ꎬｘｋɤａꎻ结合③有ａ－１<ｘｋɤａꎬ因此有ｘｋ＝ａ[]ꎬ④正确.综上知真命题是①③④.评注㊀本题借用取整函数ꎬ构造一个新数列ꎬ主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力.本题是取整函数(高斯函数)与数列二者交汇而成ꎬ设计新颖ꎬ构思精妙ꎬ难度较大.解此类题的关键是理解函数ｘ[]的意义.㊀㊀参考文献:[１]蒋孝国.数学竞赛中的高斯函数[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１５(１９):４５－４８.[责任编辑:李㊀璟]点差法的基本原理及其在高考数学中的简单应用武增明(云南省玉溪第一中学㊀６５３１００)摘㊀要:本文给出点差法的基本原理和点差法的简单应用ꎬ与同仁及同学们共飨.关键词:点差法ꎻ圆锥曲线ꎻ解题研究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００５３－０３收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:武增明(１９６５.５－)ꎬ男ꎬ云南省玉溪市易门人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁点差法的基本原理在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时ꎬ设出弦端点坐标ꎬ并分别代入圆锥曲线方程得两式ꎬ将其两式相减ꎬ可得弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式ꎬ这种解题方法叫做点差法.如ꎬ圆锥曲线ｍｘ２＋ｎｙ２＝１(ｍꎬｎɪＲꎬ且ｍʂ０ꎬｎʂ０ꎬ)上两点ＰꎬＱꎬ设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ弦ＰＱ的中点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ弦ＰＱ的斜率为ｋꎬ则ｍｘ２１＋ｎｙ２１＝１ꎬ①ｍｘ２２＋ｎｙ２２＝１ꎬ②{由①－②ꎬ得ｍ(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)＋ｎ(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)＝０ꎬ又ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝ｋ(ｘ１ʂｘ２)ꎬ于是ｍｘ０＋ｎｋｙ０＝０ꎬ这一等式建立了圆锥曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式.㊀㊀二㊁点差法的简单应用与弦中点相关的问题有三种ꎬ一是平行弦的中点轨迹ꎻ二是过定点的弦的中点轨迹ꎻ三是过定点且被定点平分的弦所在直线方程.其他问题都是由这三类问题衍生出来的.１.已知弦中点坐标简求弦所在直线方程此类问题是点差法的最基本的简单应用.例１㊀(２００２年高考江苏卷 文理２０)设ＡꎬＢ是双曲线ｘ２－ｙ２２＝１上的两点ꎬ点Ｎ(１ꎬ２)是线段ＡＢ的中点.３５。
高斯公式
2. 简单应用
例1 计算曲面积分
∫∫ ( x − y )dxdy + ( y − z ) xdydz，
Σ
其 中 Σ 为 柱 面 x + y = 1及 平 面 z = 0， z = 3
2 2
所 围 成 的 空 间 闭 区 域 Ω的 整 个 边 界 曲 面 的 外 侧.
4
解 P = ( y − z ) x , Q = 0, R = x − y , z 3 ∂P ∂Q ∂R = y − z, = 0, = 0, ∂x ∂y ∂z
其中 Σ 为锥面 x + y = z 介于平面 z = 0 及 z = h( h > 0 )之间的部分的下侧， cos α , cos β , 之间的部分的下侧， cos γ 是 Σ 在 ( x , y , z ) 处的法向量的方向余弦 .
解 由第二型曲面积分的定义
原式 = ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
Σ Ω . 这里 是 的整个边界曲面的外侧
2
由两类曲面积分之间的关系知
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dv Ω = ∫∫ ( P cosα + Qcos β + Rcosγ )dS.
Σ
Gauss公式的实质 Gauss公式的实质 揭示了空间闭区域上的三重积分与 其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 其边界曲面上的曲面积分之间的关系
原式 = ∫∫∫ ( y − z )dxdydz
= ∫∫∫ ( ρ sinθ − z ) ρ d ρ dθ dz
= ∫ dθ ∫ ρdρ ∫ ( ρ sin θ − z )dz
高数高斯公式
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
2、高斯公式的实质
（1）应用的条件
（2）物理意义 divAdv AdS
21
习题10 6
P174
高斯 ( Gauss ) 公 式25
1(2)(3)(4),2(3),3(2)
22
1
3
x2 y2 dxdy
Dxy
2
d
R
r rdr
2 R3
0
0
3
1
1
1
高斯
1 4 R3 2 R3 4 R3
( Gauss ) 公 式10
23
3
3
9
例 3 计算曲面积分
高斯
( x2 cos y2 cos z2 cos )ds,其中Σ为
( Gauss ) 公 式11
解 P ( y z)x, Q 0, x R x y,
1
3
z
o1
y
5
P y z, Q 0, R 0,
x
y
z
z
高斯 ( Gauss ) 公
式7
1
3
原式 ( y z)dxdydz
(利用柱面坐标得)
(r sin z)rdrddz
o1
y
x
2
1
3
0 d 0 rdr 0 (r sin z)dz
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为
AdS Pdydz Qdzdx Rdxdy
如E为称电为场向强量 度,场单A位(时x,间y,通z)过向正的侧电穿通过量曲面I Σ的E通dS量.
[应用随机过程][习题][01]
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上海理工大学
2010-7-30
第三章习题
(2)在宽平稳的基础上讨论各态历经性 时间均值:
1 T 1 X (t ) = lim ∫T X (t )dt = Tlim 2T T →∞ 2T →∞ 1 T 1 +T = ∫ s (t + )dt = ∫ s (θ )dθ T 0 T = E[ X (t )]
∫
T
T
s (t + )dt
X(t)的均值具有各态历经性
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第三章习题
时间相关性:
1 T X (t ) X (t + τ ) = lim X (t ) X (t + τ )dt T → ∞ 2T ∫T 1 T = lim s (t + ) s (t + τ + )dt T →∞ 2T ∫T 1 T = ∫ s (t + ) s (t + τ + )dt T 0 1 +T = ∫ s (θ ) s (θ + τ )dθ = RX (t ) T
Page 7 上海理工大学 2010-7-30
第二章习题
R X (t1 , t 2 ) = E[ X (t1 ) X (t 2 )] = E{[ A cos(ω 0 t1 ) + B sin(ω 0 t1 )][ A cos(ω 0 t 2 ) + B sin(ω 0 t 2 )]} = E[ A 2 cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + B 2 sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = E[ A 2 ] cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + E[ B 2 ] sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 ) = σ 2 [cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = σ 2 cos[ω 0 (t1 t 2 )]
高斯函数基础练习题(基础有梯度)
高斯函数基础练习题(基础有梯度)高斯函数是一种常见的数学函数，它在统计学和机器研究中经常被使用。
本文将提供一些基础的练题，帮助您巩固对高斯函数及其梯度的理解。
练题一已知高斯函数的定义如下：高斯函数: f(x) = exp(-0.5 * (x - μ)² / σ²)请计算以下问题：1. 当x = 0, μ = 1, σ = 2 时，高斯函数的值是多少？2. 当x = 2, μ = 1, σ = 2 时，高斯函数的值是多少？练题二已知高斯函数的梯度计算公式如下：高斯函数梯度: ∇f(x) = -((x - μ) / σ²) * f(x)请计算以下问题：1. 当x = 0, μ = 1, σ = 2 时，高斯函数的梯度是多少？2. 当x = 2, μ = 1, σ = 2 时，高斯函数的梯度是多少？练题三给定一个数据集X，其中包含多个样本，每个样本有多个特征。
我们希望使用高斯函数来拟合这些样本。
请编写一个函数，该函数接受参数X, μ, σ，返回一个概率向量，表示每个样本属于高斯分布的概率。
函数签名为：def gaussian_prob(X, μ, σ):"""计算每个样本属于高斯分布的概率参数:X: 样本数据集，形状为 (样本数, 特征数)μ: 高斯分布的均值参数，形状为 (特征数,)σ: 高斯分布的标准差参数，形状为 (特征数,)返回:概率向量，形状为 (样本数,)"""在此实现函数体return prob_vector请根据给定的函数签名，完成函数的编写。
以上是关于高斯函数基础练习题的内容，希望对您的学习有所帮助。
如有疑问，请随时提问。
初中数学竞赛代数专题讲义之高斯函数例题习题及详解
初中数学竞赛之高斯函数对于任意实数x ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，称为取整数。
符号[]叫做取整符号，或者叫做高斯记号。
一般地，[]x y =叫做取整函数，也叫做高斯函数或数论函数，自变量x 的取值范围是一切实数。
一、专题知识1.R ∈x ,[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]x y =称为高斯函数。
记{}[]x x x -=称为x 的小数部分，{}10≤≤x 。
2.设R ∈y x ，，高斯函数[]x y =有如下性质：（1）[][]1+≤≤x x x .（2）若y x ≤，则[][]y x ≤.（3）[][]x n x n +≤+.（4）[][][]⎩⎨⎧∉--∈-=-)Z (1)Z (x x x x x （5）[][][]y x y x +≤+.（6）[][][]y x y x -≤-或[]1+-y x .（7）[][][][][]y y x x y x +++≥+22.二、例题分析例题1若[]a 表示实数a 的整数部分，求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-76161的值。
【解】27379176161+=-=-，而372<<，从而327325<+<，从而276161=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-例题2[]x ，[]y ，[]z 分别不大于z y x ，，的最大整数。
若[]5=x ，[]3-=y ，[]1-=z ，求[]z y x --的值。
【解】由已知条件知65<≤x ，23-<≤-y ，01<≤-z ，32≤-<y ，10≤-<z ，107<--<z y x []z y x --的值为7，8，9。
例题3已知n 为正整数，证明：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 。
【证明】由于[][][]1+⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，变形得[][][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n 对于任意实数x ，有[][]1-<≤x x x 或[]x x x ≤<-1，由于[]⎪⎭⎫⎝⎛n x n 和[]⎪⎭⎫⎝⎛+1n x n 都是整数，且[][]1-<≤x x x ，所以[][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n ，故[][][]1+<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，所以[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 例题4解方程4)12(3534+=⎦⎤⎢⎣⎡+x x .【解】设m x =+4)12(3，则634-=m x ，则原方程化为m m =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-⋅536344，化简得m m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1538因为[]10<-≤x x ，所以115380<-+≤m m ，解得73712≤<-m ，由于Z ∈m ，所以0=m 或1-=m ，代入634-=m x 得，21-=x 或67-=x 原方程的解为21-=x 或67-=x三、专题训练1.已知n 为正整数，222131211nS n ++++= ，求[]n S 的值。
一个关于高斯函数计算问题的解答与推广
事实上 ， 因￣ ｊ ２ ｍ ＝ １ ０ ２ ４ ￣Ｐ Ａ ｋ ＝ Ｉ Ｏ ． 故 由 定 理结 论 得
，
于 是
一
［ １ ０ ｇ ｍ］ ＝ （ １ ０ ２ ４ ＋ １ ） ｘ ｌ Ｏ － ２ ｌ ＋ ２ ２ ｍ］ ＝ （ ） ＋ ２
ｓ ： ２ ＋ ２ ２ ＋ ２ 十． ． ． ＋ ２ ９ ． ９ ｘ ２ １ ０ ：
０ ＋ （ ２ ２２ ‘ ） × １ ＋ （ ２ ３ － ２ ２ ） × ２ ＋ … ＋ （ ２ ４ — ２ ３ ） × ３ ＋ … ＋ （ ２ 。 ＿ ＿ ２ ） × ９ ＋ １ ０
－
＝
ｌ ｘ ２ ＋ ２ × ２ ２ ＋ ３ ｘ ２ ＋
…
＋ ９ × ２ ９ ＋１ ０
定理 得 证 ． 至此 ， 我 们 完 成 了对 第 １ 节 中所提 出问题的推广 ， 从 而 得 到 了一 个 更 具 一 般 性 的 结 果 ． 下 面 我 们 利 用 这 一 结 果 重 新 计
（ １ ） （ ２ ）
于是 （ １ ） 一 （ ２ ） 得
一
ｓ ＝ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＋… ＋ ２ ｋ － Ｉ
一
（ ｋ — １ ） × ２ ＝ — ！ ： 一 （ ｋ 一 １ ） × ２
： 一 ２ ｘ （ １ — ２ ～） 一 （ ｋ 一１ ） × ２ 进 而 ｋ ＋ ｋ×２ ｋ２ ｋ２ Ｓ ＝ ２ ×（ １ —２ ｋ － １ ） ＋（ ｋ １ ） × ２ ｋ ＝ ２２ — ２ ｋ ￣ ｌ ＋ ｋ × ２
—
—
＿
＝
［ １ ｏ ｇ ２ ｍ］ 的值
２ ． 问题 的解 答
上 述 问 题 完 整 的 解 答 过 程 如 ：
［ １ ０ ｇ ２ ｉ ］ ＝ ｓ ＋ （ ｎ － ２ ｋ ＋ １ ） × ｋ
高斯考试练习题
高斯考试练习题[正文]题目一：计算以下数列的和：2 + 4 + 6 + 8 + ... + 100。
解答：该数列是一个等差数列，首项为2，公差为2，末项为100。
根据等差数列求和公式 Sn = (a1 + an) * n / 2，其中 Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
代入公式，得到 Sn = (2 + 100) * 50 / 2 = 51 * 50 = 2550。
所以，数列的和为2550。
题目二：计算以下数列的和：1 + 4 + 7 + 10 + ... + 100。
解答：该数列是一个等差数列，首项为1，公差为3，末项为100。
根据等差数列求和公式 Sn = (a1 + an) * n / 2，其中 Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
由于公差为3，无法直接使用上述公式求解，因此需要确定数列的项数。
末项 an = a1 + (n-1) * d，其中 d表示公差，an表示末项，n 表示项数。
代入公式，得到 100 = 1 + (n - 1) *3，化简得到 n = 34。
所以，数列的项数为34。
再将项数代入 Sn = (a1 + an) * n / 2 公式中，得到 Sn = (1 + 100) * 34 / 2 = 101 * 17 = 1717。
所以，数列的和为1717。
题目三：一队运动员参加了10个项目的比赛，每个项目都按照100分制进行评分。
每个运动员的得分都是随机生成的，不同项目之间也没有关联。
现在给出这队运动员在所有项目上的得分，请计算该队在所有项目上的总得分。
解答：首先，我们需要将每个项目的得分相加来计算总得分。
设这队运动员在第i个项目上的得分为Xi（i = 1, 2, ..., 10）。
总得分为Sum = X1 + X2 + X3 + ... + X10。
将具体的得分代入公式，即可计算出总得分。
题目四：已知一个函数 f(x) = x^2 - 2x + 1，求 f(3)的值。
高斯数学 练习题
高斯数学练习题1. 问题描述高斯数学是数学中的一个重要分支，以其深奥的理论和独特的解题方法而闻名。
本文将为您提供一系列高斯数学的练习题，旨在帮助您更好地理解和掌握该学科。
请按照要求完成各题，并在纸上写出详细的解题过程。
2. 乘法计算（1）计算下列两个复数的乘积：a = 3 + 4ib = 2 - i（2）计算下列两个复数的乘积：c = 5id = -2 + i（3）计算下列两个复数的乘积：e = 2 - 3if = -4 + i请在纸上写出计算步骤及最终结果。
3. 矩阵运算（1）已知矩阵 A = [1, 2; 3, 4]，B = [2, 3; 1, 5]，计算 A+B。
（2）已知矩阵 C = [2, 1; -1, 3]，D = [4, -2; 0, 1]，计算 C-D。
（3）已知矩阵 E = [3, 2; -1, 4]，F = [2, -4; 3, 1]，计算 E*F。
请在纸上写出计算步骤及最终结果。
4. 多项式求解已知多项式 P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 2，求该多项式的根。
请在纸上写出求解步骤及最终结果。
5. 参数方程已知参数方程：x = t^2y = 2t + 1求出 t = 2 时，对应的坐标 (x, y)。
请在纸上写出求解步骤及最终结果。
6. 图形问题给定平面上的三个点 A(1, 2)，B(3, 5)，C(4, 1)，求出△ABC的周长和面积。
请在纸上写出求解步骤及最终结果。
7. 几何问题已知三角形 ABC 的边长分别为 a = 5，b = 7，c = 8，求解该三角形的内角 A、B、C 的大小。
请在纸上写出求解步骤及最终结果。
8. 概率问题设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) = 2x, 0<x<1，求 X 的期望值E(X)。
请在纸上写出求解步骤及最终结果。
9. 极限计算求极限 lim(x->0) [(2x^2 + 3x - 4)/(4x^2 - x + 3)]。
第11章第6节-高斯公式
Mac 上页 下页 上页首页 下页返回
例3：设 为曲面 z 2 x2 y2 , 1 z 2 取上侧, 求
I ( x3z x)d y d z x2 yz d z d x x2z2 d x d y.
Mac
Dzx 上页 下页 上页首页 下页返回
详解： 一投、二代、三定号
投：将积分曲面投影到与积分变量元素（如dxdy） 中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面）
代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数
定号：由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号
注： ① 积分曲面的方程必须表示为单值显函数 否则分片计算，结果相加
回顾：对坐标的曲面积分的计算 流过有向曲面 的流体的流量 化为二重积分计算
1. : z z( x, y), ( x, y) Dx y （上下两侧）
R( x, y, z)dxdy R[ x, y, z( x, y)]dxdy (上正下负)
Dxy
2. : x x( y, z), ( y, z) Dyz ,则有 （前后两侧）
nz
dS
M dxdy
cos ,cos ,cos 为曲面在点( x, y, z)处的方向余弦
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§6 高斯公式
一、高斯公式 二、简单应用
Mac 上页 下页 上页首页 下页返回
一、高斯公式
定理：设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数 P( x, y, z)、Q( x, y, z)、 R( x, y, z)在上具有 一阶连续偏导数, 则有公式
高斯函数实例 (1)
1、重力区位模型∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或市场或供应1市场或供应源的横工厂到每一供应供应源700120013890.9500625159.97952524102506006500.95300185250.00000000002258258550.85700508803.2834504900市场600500781 1.5225263595.9265618500105012001595 1.5150358767.4211797940800300854 1.5250320400.14044940709259751344 1.5175352791.6014625350100010801472 1.5300662341.30174706803277109.6543763900总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或市场或供应2市场或供应源的横工厂到每一供应供应源70012004530.9500203894.25046173002506003720.95300105992.00068004402258253650.85700217405.1010608810市场600500262 1.522588495.246213473210501200639 1.5150143786.4411836490800300509 1.5250191033.6768046330925975401 1.5175105377.250283235010001080523 1.5300235379.93903910401291363.9057267500总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或市场或供应3市场或供应源的横工厂到每一供应供应源70012004060.9500182756.71381014002506004150.95300118220.88426553702258253870.85700230240.9798202950市场600500304 1.5225102557.996798429010501200591 1.5150133012.6316605950800300538 1.5250201684.8438025260925975357 1.517593811.958847766010001080477 1.5300214586.71891537301276872.7279206600总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或∑Dn*dn*Fn工厂到每一供应市场或供应4市场或供应源的横供应源70012003780.9500169925.26068340302506004440.95300126575.27191292502258254060.85700241369.7239769060市场600500330 1.5225111454.983881573010501200560 1.5150126007.7833917720800300555 1.5250208225.6741959270925975329 1.517586272.497848431810001080447 1.5300201003.55636530601270834.7522562400总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或市场或供应5市场或供应源的横工厂到每一供应供应源70012003590.9500161726.58937226202506004650.95300132408.64249726902258254200.85700250074.025*******市场600500348 1.5225117372.079076100010501200539 1.5150121226.1699294700800300567 1.5250212450.5683023430925975309 1.517581092.355720805410001080426 1.5300191679.82376099101268030.2537968900总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或工厂到每一供应∑Dn*dn*Fn市场或供应6市场或供应源的横供应源70012003470.9500156255.45065210802506004790.95300136522.94612199802258254310.85700256551.0826923360市场600500360 1.5225121474.039485006010501200524 1.5150117886.2670810790800300574 1.5250215350.4735964640925975295 1.517577466.678121616610001080411 1.5300185148.84996375401266655.7877143600总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或工厂到每一供应∑Dn*dn*Fn市场或供应7市场或供应源的横供应源70012003390.9500152497.33361830802506004890.95300139444.66762297502258254390.85700261275.9157989830市场600500369 1.5225124380.178659433010501200513 1.5150115524.6794346320800300580 1.5250217408.4547794430925975285 1.517574906.293587680210001080401 1.5300180526.83150801501265964.3550094700总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或工厂到每一供应∑Dn*dn*Fn市场或供应8市场或供应源的横供应源70012003330.9500149870.64174943802506004970.95300141530.010*******2258254450.85700264698.6480219060市场600500375 1.5225126459.282701934010501200506 1.5150113842.6794167640800300584 1.5250218888.4876984280925975278 1.517573087.149235165210001080394 1.5300177234.74990807301265611.6494716100总的运输成本(上一单元格）工厂到每一供应∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或市场或供应9市场或供应源的横供应源70012003290.9500148015.48786860402506005020.95300143023.82670553002258254490.85700267172.8329590410市场600500379 1.5225127953.082521329010501200501 1.5150112639.2160011690800300587 1.5250219957.3511907720925975273 1.517571788.712150403410001080389 1.5300174879.77185712801265430.2812539800总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或∑Dn*dn*Fn工厂到每一供应10市场或供应源的横市场或供应供应源70012003260.9500146696.58472747002506005060.95300144096.62148790602258254520.85700268960.3620570810市场600500382 1.5225129028.491340893010501200497 1.5150111775.5842214760800300589 1.5250220729.9696243890925975270 1.517570858.783373844010001080385 1.5300173190.16653129901265336.5633643600总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或∑Dn*dn*Fn市场或供应11市场或供应源的横工厂到每一供应供应源70012003240.9500145754.77593025402506005080.95300144868.39161932102258254540.85700270251.6640754300市场600500385 1.5225129803.501309574010501200494 1.5150111154.6037528110800300590 1.5250221288.4107698440925975267 1.517570191.145765780310001080382 1.5300171975.49548214901265287.9887051600总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或12市场或供应源的横市场或供应工厂到每一供应供应源70012003220.9500145080.16311243602506005100.95300145424.25845282002258254560.85700271184.4759788890市场600500386 1.5225130362.370749624010501200492 1.5150110707.5066562960800300591 1.5250221691.9430745390925975266 1.517569710.988462220210001080380 1.5300171101.05591740501265262.7624042300总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或工厂到每一供应∑Dn*dn*Fn13市场或供应源的横市场或供应供应源70012003210.9500144595.86731335602506005120.95300145824.94318748602258254570.85700271858.3071360320市场600500387 1.5225130765.543496488010501200491 1.5150110385.3122164910800300592 1.5250221983.4725823650925975264 1.517569365.244958593110001080379 1.5300170470.95361655501265249.6445073700总的运输成本(上一单元格）工厂到每一供应∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或14市场或供应源的横市场或供应供应源70012003210.9500144247.63565605802506005130.95300146113.92802091402258254580.85700272345.0431284100市场600500388 1.5225131056.479052330010501200490 1.5150110152.9821881320800300593 1.5250222194.0543068220925975263 1.517569116.075594130710001080378 1.5300170016.61912631501265242.8170731100总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或∑Dn*dn*Fn市场或供应15市场或供应源的横工厂到每一供应供应源70012003200.9500143996.94494296202506005130.95300146322.43180549302258254580.85700272696.6186536990市场600500389 1.5225131266.466253677010501200489 1.5150109985.3791316620800300593 1.5250222346.1503722180925975263 1.517568936.397357444810001080377 1.5300169688.87295187301265239.2614690300总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或工厂到每一供应16市场或供应源的横市场或供应供应源70012003200.9500143816.31791227702506005140.95300146472.90854622802258254590.85700272950.5562189470市场600500389 1.5225131418.050854901010501200488 1.5150109864.4330603010800300593 1.5250222455.9981538480925975262 1.517568806.774981556110001080377 1.5300169452.36926870301265237.4089967600总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或市场或供应17市场或供应源的横工厂到每一供应供应源70012003190.9500143686.09105613502506005140.95300146581.52782130202258254590.85700273133.9651159770市场600500390 1.5225131527.488315804010501200488 1.5150109777.1367283040800300593 1.5250222535.3306154920925975262 1.517568713.235562255110001080376 1.5300169281.66835753201265236.4435728000总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或工厂到每一供应∑Dn*dn*Fn市场或供应18市场或供应源的横供应源70012003190.9500143592.15821265602506005150.95300146659.94344295202258254590.85700273266.4302399950市场600500390 1.5225131606.503878653010501200488 1.5150109714.1183191090800300594 1.5250222592.6237933890925975262 1.517568645.720291902210001080376 1.5300169158.44215436601265235.9403330200总的运输成本(上一单元格）工厂到每一供应∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或市场或供应19市场或供应源的横供应源70012003190.9500143524.38171033902506005150.95300146716.55950882302258254590.85700273362.0996174940市场600500390 1.5225131663.557787167010501200487 1.5150109668.6208847490800300594 1.5250222633.9999972130925975261 1.517568596.981415966310001080376 1.5300169069.47705211701265235.6779738700总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或∑Dn*dn*Fn市场或供应20市场或供应源的横工厂到每一供应供应源70012003190.9500143475.46627349102506005150.95300146757.43908388802258254600.85700273431.1930585740市场600500390 1.5225131704.755892120010501200487 1.5150109635.7704743240800300594 1.5250222663.8810585990925975261 1.517568561.793270798910001080376 1.5300169005.24206921001265235.5411810100总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或21市场或供应源的横市场或供应工厂到每一供应供应源70012003190.9500143440.15698859502506005150.95300146786.95758196902258254600.85700273481.0924218700市场600500390 1.5225131734.505617900010501200487 1.5150109612.0502161320800300594 1.5250222685.4604946480925975261 1.517568536.386396994410001080375 1.5300168958.86013431701265235.4698524300总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或22市场或供应源的横工厂到每一供应市场或供应供应源70012003190.9500143414.66597516202506005150.95300146808.27317212102258254600.85700273517.1294472360市场600500390 1.5225131755.988808780010501200487 1.5150109594.9218553210800300594 1.5250222701.0446558410925975261 1.517568518.040856322210001080375 1.5300168925.36788640401265235.4326571900总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn23市场或供应源的横每单位获供应源或工厂到每一供应市场或供应供应源70012003190.9500143396.26142408402506005150.95300146823.66575184002258254600.85700273543.1549856620市场600500390 1.5225131771.502742450010501200487 1.5150109582.5531285740800300594 1.5250222712.2991598310925975261 1.517568504.793556016510001080375 1.5300168901.18251201701265235.4132604700总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或∑Dn*dn*Fn工厂到每一供应市场或供应24市场或供应源的横供应源70012003190.9500143382.97242564002506005150.95300146834.78136289502258254600.85700273561.9502397530市场600500390 1.5225131782.706156327010501200487 1.5150109573.6212376220800300594 1.5250222720.4268857470925975261 1.517568495.227412079510001080375 1.5300168883.71742505501265235.4031451200总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或∑Dn*dn*Fn工厂到每一供应市场或供应25市场或供应源的横供应源70012003190.9500143373.37664824902506005150.95300146842.80850498802258254600.85700273575.5238380040市场600500390 1.5225131790.796792498010501200487 1.5150109567.1711074270800300594 1.5250222726.2965275760925975261 1.517568488.319360538710001080375 1.5300168871.10509059101265235.3978698700总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或∑Dn*dn*Fn工厂到每一供应市场或供应26市场或供应源的横供应源70012003190.9500143366.44744694002506005150.95300146848.60536287202258254600.85700273585.3264214980市场600500391 1.5225131796.639548408010501200487 1.5150109562.5131196150800300594 1.5250222730.5354363330925975261 1.517568483.330736095310001080375 1.5300168861.99704698101265235.3951187400总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn27市场或供应源的横每单位获供应源或工厂到每一供应市场或供应供应源70012003190.9500143361.44367963502506005150.95300146852.79163358102258254600.85700273592.4056383370市场600500391 1.5225131800.858988499010501200487 1.5150109559.1493079130800300594 1.5250222733.5966700250925975261 1.517568479.728179592410001080375 1.5300168855.41958638501265235.3936839700总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或工厂到每一供应∑Dn*dn*Fn28市场或供应源的横市场或供应供应源70012003190.9500143357.83025571202506005150.95300146855.81481420402258254600.85700273597.5180901940市场600500391 1.5225131803.906135177010501200487 1.5150109556.7200842380800300594 1.5250222735.8074161290925975261 1.517568477.126557455510001080375 1.5300168850.66958258601265235.3929356900总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或∑Dn*dn*Fn工厂到每一供应29市场或供应源的横市场或供应供应源70012003190.9500143355.22082108402506005150.95300146857.99805893002258254600.85700273601.2101844310市场600500391 1.5225131806.106693812010501200487 1.5150109554.9657790930800300594 1.5250222737.4039613750925975261 1.517568475.247759359110001080375 1.5300168847.23928736601265235.3925454500总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或30市场或供应源的横市场或供应工厂到每一供应供应源70012003190.9500143353.33639962502506005150.95300146859.57473274002258254600.85700273603.8765272260市场600500391 1.5225131807.695874537010501200487 1.5150109553.6988740310800300594 1.5250222738.5569461690925975261 1.517568473.890953252310001080375 1.5300168844.76203434301265235.3923419200总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或市场或供应31市场或供应源的横工厂到每一供应供应源70012003190.9500143351.97554218302506005150.95300146860.71336134402258254600.85700273605.8020955920市场600500391 1.5225131808.843537010010501200487 1.5150109552.7839522930800300594 1.5250222739.3896027500925975261 1.517568472.911109659410001080375 1.5300168842.97303494501265235.3922357800总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或工厂到每一供应∑Dn*dn*Fn市场或供应32市场或供应源的横供应源70012003190.9500143350.99277788702506005150.95300146861.53564735902258254600.85700273607.1926939890市场600500391 1.5225131809.672347939010501200487 1.5150109552.1232215730800300594 1.5250222739.9909263550925975261 1.517568472.203495269910001080375 1.5300168841.68107004801265235.3921804200总的运输成本(上一单元格）工厂到每一供应∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或市场或供应33市场或供应源的横供应源70012003190.9500143350.28305688202506005150.95300146862.12948009602258254600.85700273608.1969498550市场600500391 1.5225131810.270893264010501200487 1.5150109551.6460599110800300594 1.5250222740.4251871080925975261 1.517568471.692476059510001080375 1.5300168840.74804837301265235.3921515500总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或∑Dn*dn*Fn工厂到每一供应市场或供应34市场或供应源的横供应源70012003190.9500143349.77051770702506005150.95300146862.55833034902258254600.85700273608.9221985180市场600500391 1.5225131810.703147068010501200487 1.5150109551.3014665220800300594 1.5250222740.7387992770925975261 1.517568471.323431945710001080375 1.5300168840.07424510501265235.3921364900总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或∑Dn*dn*Fn市场或供应35市场或供应源的横工厂到每一供应供应源70012003190.9500143349.40037663202506005150.95300146862.86803478202258254600.85700273609.4459550230市场600500391 1.5225131811.015309585010501200487 1.5150109551.0526102480800300594 1.5250222740.9652820800925975261 1.517568471.056918153010001080375 1.5300168839.58764213701265235.3921286400总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或36市场或供应源的横工厂到每一供应市场或供应供应源70012003190.9500143349.13307101702506005150.95300146863.09169530202258254600.85700273609.8241988710市场600500391 1.5225131811.240745337010501200487 1.5150109550.8728927220800300594 1.5250222741.1288422490925975261 1.517568470.864448904910001080375 1.5300168839.23623014101265235.3921245400总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或工厂到每一供应37市场或供应源的横市场或供应供应源70012003190.9500143348.94003013002506005150.95300146863.25321717902258254600.85700273610.0973570970市场600500391 1.5225131811.403549276010501200487 1.5150109550.7431053600800300594 1.5250222741.2469612790925975261 1.517568470.725452620110001080375 1.5300168838.98244946601265235.3921224100总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或市场或供应38市场或供应源的横工厂到每一供应供应源70012003190.9500143348.80062112402506005150.95300146863.36986414802258254600.85700273610.2946251080市场600500391 1.5225131811.521122135010501200487 1.5150109550.6493762550800300594 1.5250222741.3322638640925975261 1.517568470.625073088010001080375 1.5300168838.79917557101265235.3921212900总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn工厂到每一供应每单位获供应源或市场或供应39市场或供应源的横供应源70012003190.9500143348.69994358902506005150.95300146863.45410361702258254600.85700273610.4370871070市场600500391 1.5225131811.606030268010501200487 1.5150109550.5816874870800300594 1.5250222741.3938672400925975261 1.517568470.552581562710001080375 1.5300168838.66681984201265235.3921207100总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或40市场或供应源的横市场或供应工厂到每一供应供应源70012003190.9500143348.62723688102506005150.95300146863.51493922202258254600.85700273610.5399695770市场600500391 1.5225131811.667348769010501200487 1.5150109550.5328043810800300594 1.5250222741.4383556450925975261 1.517568470.500230033110001080375 1.5300168838.57123590201265235.3921204100总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或工厂到每一供应市场或供应41市场或供应源的横供应源70012003190.9500143348.57472996602506005150.95300146863.55887315302258254600.85700273610.6142687070市场600500391 1.5225131811.711631439010501200487 1.5150109550.4975022420800300594 1.5250222741.4704840490925975261 1.517568470.462423089910001080375 1.5300168838.50220760601265235.3921202500总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或∑Dn*dn*Fn工厂到每一供应42市场或供应源的横市场或供应供应源70012003190.9500143348.53681081502506005150.95300146863.59060112602258254600.85700273610.6679256670市场600500391 1.5225131811.743611263010501200487 1.5150109550.4720079310800300594 1.5250222741.4936863710925975261 1.517568470.435119874910001080375 1.5300168838.45235712001265235.3921201700总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或∑Dn*dn*Fn市场或供应43市场或供应源的横工厂到每一供应供应源70012003190.9500143348.50942657002506005150.95300146863.61351426502258254600.85700273610.7066753710市场600500391 1.5225131811.766706284010501200487 1.5150109550.4535965850800300594 1.5250222741.5104425040925975261 1.517568470.415402184610001080375 1.5300168838.41635636001265235.3921201300总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或44市场或供应源的横工厂到每一供应市场或供应供应源70012003190.9500143348.48965036502506005150.95300146863.63006155602258254600.85700273610.7346594310市场600500391 1.5225131811.783384925010501200487 1.5150109550.4403003770800300594 1.5250222741.5225433600925975261 1.517568470.401162567610001080375 1.5300168838.39035752201265235.3921201000总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn45市场或供应源的横每单位获供应源或工厂到每一供应市场或供应供应源70012003190.9500143348.47536849002506005150.95300146863.64201159102258254600.85700273610.7548688140市场600500391 1.5225131811.795429819010501200487 1.5150109550.4306981910800300594 1.5250222741.5312822940925975261 1.517568470.390879076110001080375 1.5300168838.37158181701265235.3921200900总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或工厂到每一供应∑Dn*dn*Fn46市场或供应源的横市场或供应供应源70012003190.9500143348.46505448202506005150.95300146863.65064160502258254600.85700273610.7694635200市场600500391 1.5225131811.804128337010501200487 1.5150109550.4237637340800300594 1.5250222741.5375933310925975261 1.517568470.383452598310001080375 1.5300168838.35802247701265235.3921200900总的运输成本(上一单元格）工厂到每一供应∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或47市场或供应源的横市场或供应供应源70012003190.9500143348.45760596602506005150.95300146863.65687398302258254600.85700273610.7800034500市场600500391 1.5225131811.810410187010501200487 1.5150109550.4187558450800300594 1.5250222741.5421510030925975261 1.517568470.378089383610001080375 1.5300168838.34823026401265235.3921200800总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或∑Dn*dn*Fn市场或供应48市场或供应源的横工厂到每一供应供应源70012003190.9500143348.45222683702506005150.95300146863.66137484902258254600.85700273610.7876151210市场600500391 1.5225131811.814946781010501200487 1.5150109550.4151392740800300594 1.5250222741.5454424380925975261 1.517568470.374216205310001080375 1.5300168838.34115857501265235.3921200800总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或工厂到每一供应49市场或供应源的横市场或供应供应源70012003190.9500143348.44834216502506005150.95300146863.66462526102258254600.85700273610.7931120770市场600500391 1.5225131811.818222995010501200487 1.5150109550.4125274770800300594 1.5250222741.5478194300925975261 1.517568470.371419093710001080375 1.5300168838.33605158001265235.3921200800总的运输成本(上一单元格）∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或市场或供应50市场或供应源的横工厂到每一供应供应源70012003190.9500143348.44553675302506005150.95300146863.66697262702258254600.85700273610.7970818410市场600500391 1.5225131811.820588993010501200487 1.5150109550.4106413040800300594 1.5250222741.5495360340925975261 1.517568470.369399090310001080375 1.5300168838.33236343701265235.3921200800总的运输成本(上一单元格）每单位获供应源或工厂到每一供应∑Dn*dn*Fn市场或供应51市场或供应源的横供应源70012003190.9500143348.44351075502506005150.95300146863.66866783502258254600.85700273610.7999487040市场600500391 1.5225131811.822297658010501200487 1.5150109550.4092791570800300594 1.5250222741.5507757220925975261 1.517568470.367940294810001080375 1.5300168838.32969995301265235.3921200800总的运输成本(上一单元格）工厂到每一供应∑Dn*dn*Fn每单位获供应源或市场或供应52市场或供应源的横供应源70012003190.9500143348.44204763102506005150.95300146863.66989207202258254600.85700273610.8020190800市场600500391 1.5225131811.823531613010501200487 1.5150109550.4082954490800300594 1.5250222741.5516709930925975261 1.517568470.3668867894 10001080375 1.5300168838.32777645201265235.3921200800总的运输成本(上一单元格）最终，管理者确认坐标点（681,882）是使总运费最小的工厂区位x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标226.742388.70050.3239177001200109.6154263.07690.438462250600156.5549574.03450.695799225825259.2747216.06220.432124600500148.1635169.32980.14110810501200351.1234131.67130.438904800300180.6684190.43420.195317925975305.7336330.19230.30573410001080∑1737.8762263.502 2.971366585762元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标695.21331191.7940.9931627001200191.5829459.79880.766331250600366.39261343.44 1.628412225825772.2872643.5727 1.287145600500369.6889422.50160.35208510501200588.9014220.8380.736127800300604.8581637.55310.653901925975860.3112929.13610.86031110001080∑4449.2365848.6347.277474611804元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标775.62131329.637 1.108037001200171.7653412.23680.687061250600345.96631268.543 1.537628225825666.3912555.326 1.110652600500399.6331456.72350.38060310501200557.801209.17540.697251800300679.426716.15170.734515925975943.67441019.1680.94367410001080∑4540.2795966.9627.199415631829元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标834.19031430.04 1.19177001200160.4283385.02780.641713250600330.0151210.055 1.466733225825613.196510.9967 1.021*********421.8489482.11310.40176110501200540.2792202.60470.675349800300738.8019778.73710.7987059259751007.4451088.04 1.00744510001080∑4646.2046087.6157.205399645845上一单元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标876.47931502.536 1.2521137001200153.3605368.06510.613442250600318.52821167.937 1.415681225825582.2829485.23570.970471600500438.4882501.12940.41760810501200529.5349198.57560.661919800300785.9962828.48250.8497269259751056.4491140.965 1.05644910001080∑4741.1196192.9267.237409655856元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标907.16841555.146 1.2959557001200148.7387356.9730.594955250600310.48641138.45 1.37994225825562.6202468.85020.9377600500450.9113515.32720.42943910501200522.4042195.90160.653005800300822.7832867.2580.8894959259751093.7151181.212 1.09371510001080∑4818.8276279.1187.274204662863元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标929.52441593.47 1.3278927001200145.6223349.49350.582489250600304.87171117.863 1.354985225825549.4746457.89550.915791600500460.129525.86170.43821810501200517.4592194.04720.646824800300850.9069896.90190.9198999259751121.7171211.454 1.12171710001080∑4879.7056346.9877.307816668869元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标945.81571621.398 1.3511657001200143.4766344.34390.573907250600300.92951103.408 1.337464225825540.4408450.36730.900735600500466.9273533.63120.44469310501200513.9603192.73510.64245800300872.086919.22580.9427969259751142.5521233.957 1.14255210001080∑4926.1896399.0667.335762672872元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标957.67011641.72 1.36817001200141.9781340.74740.567912250600298.14271093.19 1.325079225825534.1313445.10940.890219600500471.916539.33260.44944410501200511.4628191.79850.639328800300887.8594935.85180.9598489259751157.9381250.573 1.15793810001080∑4961.0996438.3237.357869674875元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标966.28021656.48 1.38047001200140.9211338.21060.563684250600296.16121085.924 1.316272225825529.6795441.39960.882799600500475.5623543.49970.45291610501200509.6725191.12720.637091800300899.5114948.13360.9724459259751169.2351262.774 1.16923510001080∑4987.0236467.5497.374843676877元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标972.52391667.184 1.389327001200140.1703336.40880.560681250600294.74611080.736 1.309983225825526.517438.76420.877528600500478.2191546.53610.45544710501200508.3863190.64490.635483800300908.0673957.1520.9816949259751177.4931271.693 1.17749310001080∑5006.1236489.1187.387629678878元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标977.0461674.936 1.395787001200139.6345335.12290.558538250600293.73221077.018 1.305477225825524.2598436.88320.873766600500480.1504548.74330.45728610501200507.4609190.29780.634326800300914.3219963.74470.9884569259751183.5111278.192 1.18351110001080∑5020.1176504.9387.397141679879元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标980.31851680.546 1.4004557001200139.2509334.20210.557003250600293.00421074.349 1.302241225825522.6434435.53620.871072600500481.5518550.3450.45862110501200506.7945190.04790.633493800300918.8792968.54840.9933839259751187.8861282.917 1.18788610001080∑5030.3286516.4917.404154679880元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标982.68511684.603 1.4038367001200138.9755333.54110.555902250600292.48051072.429 1.299914225825521.4832434.56930.869139600500482.5675551.50570.45958810501200506.3142189.86780.632893800300922.1918972.04010.9969649259751191.061286.345 1.1910610001080∑5037.7586524.97.409295680881元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标984.39591687.536 1.406287001200138.7774333.06580.55511250600292.10351071.046 1.298238225825520.649433.87410.867748600500483.3029552.34610.46028810501200505.9678189.73790.63246800300924.5955974.57360.9995639259751193.3611288.829 1.19336110001080∑5043.1526531.0097.413047680881元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标985.63221689.655 1.4080467001200138.6349332.72360.554539250600291.83171070.05 1.29703225825520.0484433.37370.866747600500483.8349552.95420.46079510501200505.718189.64420.632147800300926.3373976.4096 1.0014469259751195.0261290.628 1.19502610001080∑5047.0636535.4387.415777681881元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标986.52551691.187 1.4093227001200138.5321332.47710.554128250600291.63571069.331 1.296159225825519.6157433.01310.866026600500484.2197553.39390.46116210501200505.5377189.57660.631922800300927.5983977.7388 1.0028099259751196.2311291.93 1.19623110001080∑5049.8966538.6477.41776681881元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标987.17091692.293 1.410244700.00000000001200.0000000000138.4581332.29930.553832250.0000000000600.0000000000291.49441068.813 1.295531225.0000000000825.0000000000519.3037432.75310.865506600.0000000000500.0000000000484.4978553.71180.4614261050.00000000001200.0000000000505.4076189.52780.631759800.0000000000300.0000000000928.5106978.7004 1.003795925.0000000000975.00000000001197.1031292.871 1.1971031000.00000000001080.0000000000∑5051.9466540.9697.419197680.9289066546881.6276148945元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标987.63711693.092 1.41091700.00000000001200.0000000000138.4046332.17110.553618250.0000000000600.0000000000291.39241068.439 1.295077225.0000000000825.0000000000519.0787432.56560.865131600.0000000000500.0000000000484.6988553.94150.4616181050.00000000001200.0000000000505.3137189.49260.631642800.0000000000300.0000000000929.1704979.3958 1.004508925.0000000000975.00000000001197.7321293.551 1.1977321000.00000000001080.0000000000∑5053.4286542.6487.420238681.0331622744881.7302806753元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标987.97381693.669 1.411391700.00000000001200.0000000000138.3661332.07860.553464250.0000000000600.0000000000291.31871068.169 1.29475225.0000000000825.0000000000518.9163432.43030.864861600.0000000000500.0000000000484.844554.10750.4617561050.00000000001200.0000000000505.2458189.46720.631557800.0000000000300.0000000000929.6472979.8984 1.005024925.0000000000975.00000000001198.1881294.043 1.1981881000.00000000001080.0000000000∑5054.56543.8637.420991681.1084474538881.8044063089元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标988.2171694.086 1.411739700.00000000001200.0000000000138.3382332.01180.553353250.0000000000600.0000000000291.26561067.974 1.294514225.0000000000825.0000000000518.7992432.33260.864665600.0000000000500.0000000000484.949554.22740.4618561050.00000000001200.0000000000505.1969189.44880.631496800.0000000000300.0000000000929.9919980.2617 1.005397925.0000000000975.00000000001198.5171294.398 1.1985171000.00000000001080.0000000000∑5055.2746544.747.421536681.1628136217881.8579290910元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标988.39261694.387 1.411989700.00000000001200.0000000000138.3182331.96360.553273250.0000000000600.0000000000291.22721067.833 1.294343225.0000000000825.0000000000518.7146432.26210.864524600.0000000000500.0000000000485.0248554.3140.4619281050.00000000001200.0000000000505.1615189.43560.631452800.0000000000300.0000000000930.2409980.5241 1.005666925.0000000000975.00000000001198.7541294.655 1.1987541000.00000000001080.0000000000∑5055.8346545.3747.42193681.2020740014881.8965772577元格）x'分子y'分子分母x'坐标y'坐标988.51951694.605 1.412171700.00000000001200.0000000000138.3037331.92880.553215250.0000000000600.0000000000。
高斯公式
4 xdxdy
x 2 y 2 1
0
4r cos rdrd
1
4 cos d r 2 dr 0
0
2
练习：设 是锥面z x 2 y 2 被平面 z 0, z 1
所截部分的下侧，求 解：加 原式
xdydz ydzdx zdxdy
x
1
y
3 dv
3 3 3 81
2
例2.求
yzdydz xzdzdx xydxdy
是单位球面
解: 这里
x y z 1 的外侧.
2 2 2
P yz , Q xz , 0,
R xy
利用Gauss 公式, 得
yzdydz xzdzdx xydxdy
x2 y 2 z R2 x2 y 2
球面坐标
0 2 : 0 4 0r R
d v r sin d r d d
2
f ( x, y, z)dxd ydz
2
x r cos cos y r cos sin z r cos
Q 0, R x y,
R 0, z
z
高斯公式
3
P Q y z, 0, x y 原式 ( y z )dxdydz
1
o
1
y
x
( r sin z )rdrddz
d dr r (sin z )rdz
0 0 0
2
d d F (r , , )r sin d r
高斯函数型1
高斯函数型11.（南模月考）设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.1]2-=-，[]3π=等，若直线y kx k =+(0)k >与函数()y f x =的图像恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ；2.定义函数()f x 如下：对于实数x ，如果存在整数m ，使得1||2x m -<，则()f x m =， 已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比0q <，又123()()()3f a f a f a ++=，则q 的取值 范围是 ；3. 定义函数(){{}}f x x x =⋅，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{1.4}2=，{2.3}-= 2-；当(0,]x n ∈*()n N ∈时，函数)(x f 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数n a ，则 12111lim(...)n na a a →∞+++= ； 4.已知x R ∈，符号[]x 表示不超过x 的最大整数,若函数[]()x f x a x=-有且仅有3个零点，则a 的取值范围是 ； 5. （闵行区期中统考）设[]x 表示不超过x 的最大整数，用数组2222123100[],[],[],...,[]100100100100组成集合A 的元素的个数是 ；6.（七校联考）设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[ 1.2]2-=-，给出下列命题： ① 对任意的实数x ，都有1[]x x x -<≤；② 对任意的实数,x y ，都有[][][]x y x y +≥+； ③ [lg1][lg 2][lg3]...[lg 2014][lg 2015]4940+++++=；④ 若函数[]()[]f x x x =，当[0,)x n ∈*()n N ∈时，令()f x 的值域为A ，记集合A 中元素个数为n a ，则49n a n +的最小值为192；其中所有真命题的序号为 ； 7. 函数()f x 是这样定义的：对于任意整数m ，当实数x 满足不等式1||2x m -<时，有 ()f x m =；（1）求函数()f x 的定义域D ，并画出它在[0,3]x D ∈上的图像；（2）若数列2210()5n n a =+⋅，记123()()()...()n n S f a f a f a f a =++++，求n S 。
高斯函数-1
高斯函数定义：y ＝[x]叫高斯函数，记号[x]表示不超过x 的最大整数，也叫取整函数．如 [－0.128]＝－1，[19.98]＝19等等．含有记号[x]的数学问题，一方面因为它是整数，所以经常与数论问题联系在一起，另一方面因为[x]满足不等式x －1＜[x]≤x ＜[x]＋1，因而借助于不等式又容易使问题得到解决。
性质一：1]x [x (1)[x ]+<≤ x ]x [1-(2)x <<1}x {(2)0<≤ 等号当且仅当x 为整数时成立。
性质二：]x [n ]x n )[1(+=+，n 为整数。
{y }{x}y}(3){x [y][x]y](2)[x +≤++≥+ ]y []x []y x [,0y ,0x )4(⋅≥⋅≥≥则若1、解方程：（1）27]x [2x =- （2）212x ]13x [-=+2、试求])37[(6+的值。
3、已知k 是正整数，且k 11200010021001 ⋅是整数，则k 的最大值是多少？4、求2008！中末尾0的个数。
5、求满足125]x [}x {25=+的所有实数x 的和。
6、已知2003<x<2004，如果要求]x [}x {⨯是正整数，求满足条件的所有实数x 的和。
7、设2222200814131211S +++++= ，求[S]。
8、设992016131211S ++++= ，试求[S]的值。
9、解方程：3]x [x 3=-10、解方程：[x]99]x [x 99x +=+。
11、证明：对于任意实数x ，有]2x []21x []x [=++12、计算和式]10110023[]101223[]101123[⨯++⨯+⨯ 的值。
13、已知0<a<1，且满足18,]3029[a ]302[a ]301[a =++++++求[10a]的值。
14、设x ，y 为正整数，且（x ，y ）=1，求证：2)1y )(1x (]y 1)x -(y []y 2x []y x [--=+++15、设a 、b 、c 是正实数，求]ba c []a cb []c b a [u +++++=的最小值。
16高斯函数1—高斯函数的定义、图像、性质(不带答案)
一、背景知识Gauss 函数是一个重要的数论函数，在高中阶段经常出现与[]x 有关的题目.Gauss 函数的定义：[]x 表示不超过实数x 的最大整数，例如[3.2]3=，[0.6]1-=-。
在解题过程中经常与[]x 配合使用的是实数x 的小数部分{}[]x x x -=.二、探究图像与基本性质试画出函数()[]f x x =以及(){}g x x =的图像，并指出他们的定义域、值域、单调性、最值、奇偶性、周期性.练1 ()[]2log f x x =，则()()()()1111234432f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值_____练2 已知函数1()43242x x f x =⨯-⋅+（02x <<），则函数[]()y f x =的值域为____三、典型问题例1 (){}21f x x x x =--的所有零点之和为________________________例2 设函数()(ln h x x =，则函数[][]()()()f x h x h x =+-的值域为__________例3 已知函数11()[sin ][sin ][sin ]23f x x x x =++++，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则()f x 的值域为______________例4 求证：[][]1,22x R x x x ⎡⎤∀∈++=⎢⎥⎣⎦例5 方程[]2tan 2cos x x =的解为_________例6 已知函数()[]f x x x x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.若其定义域为[]0,4，则其值域为________.四、跟踪训练1.的值为____________2.已知02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则22sin cos 33x x ⎡⎤+=⎣⎦____________ 3.2021++++=______________________4.函数()()0,11x xa f x a a a =>≠+，则()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域为____. 5.方程22019[]20200x x --=的所有实数根的个数为_____________6．定义区间(,)a b ，[,)a b ，(,]a b ，[,]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如(1,2)[3,5)的长度(21)(53)3d =-+-=，设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，{}[]x x x =-．若用d 表示不等式()()f x g x ≥解集区间的长度，则当[2020,2020]x ∈-时，d =________.7.求证：[][][][][],,22x y R x y x y x y ∀∈+≥+++。
【初中数学】专题四十六 取整运算（高斯函数） (练习题)
专题四十六 取整运算（高斯函数） (361)1.解方程：2[x]=x +2{x }(x ≥0)．(注：[x]表示实数x 的整数部分，{x }表示实数x 的小数部分，如[2.13]=2，{2.13}=0.13)2.设[a]表示不超过a 的最大整数．已知0<a <1，且[a +130]+[a +230]+⋯+[a +2930]=18，求[10a]的值．3.设[x]表示不超过x 的最大整数，如[4.3]=4，[−4.3]=−5.(1)下列各式正确的是（）A.[x]=|x|B.[x]=|x|−1C.[x]=−xD.[x]<[x]+1 (2)解方程：[2x +1]=x −13；(3)已知x ，y 满足方程组{y =2[x]+3，y =3[x −2]+5， 若x 不是整数，求x +y 的取值范围．4.函数[x]称为高斯函数，它表示不超过x 的最大整数，例如[5.3]=5，[−2.4]=−3，[4]=4.对任意的实数x ，x −1<[x]≤x ．(1)试说明：对于任意实数x ，有[x]+[x +12]=[2x]；(2)解方程：[5+6x 8]=15x−75．5.设[x]表示不大于实数x 的最大整数，满足[−1.77x]=[−1.77]x 的自然数有（）A.4个B.5个C.6个D.7个参考答案1.【答案】:解：原方程可转化为2[x]=[x]+{x }+2{x }，即3{x }=[x]．因为0≤{x }<1，所以0≤[x]<3，所以[x]只能为0，1，2，且x =[x]+{x }=43[x]．当[x]=0时，x =0；当[x]=1时，x =43；当[x]=2时，x =83．综上，原方程的解为x =0或x =43或x =83．2.【答案】:解：因为0<a <1，所以0<a +n 30<2(n 为1到29的整数)，所以[a +n 30]=0或[a +n 30]=1.因为[a +130]+[a +230]+⋯+[a +2930]=18，所以[a +130]=⋯=[a +1130]=0，[a +1230]=⋯=[a +2930]=1，所以0<a +1130<1，1⩽a +1230<2，所以0<a <1930,且1830⩽a <1，所以1830⩽a <1930，所以6⩽10a <613，所以[10a]=6.3(1)【答案】D(2)【答案】解：因为[2x +1]=x −13，所以[2x]=x −43．令[2x]=n ，代入[2x]=x −43，得n =x −43，即x=n+43．又因为[2x]≤2x<[2x]+1，所以n≤2n+83<n+1.整理，得−83≤n<−53，所以n=−2.代入方程[2x]=x−43，得−2=x−43，解得x=−23．(3)【答案】由方程组{y=2[x]+3,y=3[x−2]+5,可得{y=2[x]+3,①y=3[x]−1.②②-①,得0=[x]−4.解得[x]=4，y=11，所以[x]+y=15，所以15<x+y<16.4(1)【答案】证明：①若x为整数，则[x]+[x+12]=x+x=2x=[2x]．②若x不为整数，设x=a+r(0<r<1),其中a为x的整数部分，r为x的小数部分．当0<r<0.5时，此时0.5<r+12<1，0<2r<1，[x]+[x+12]=2a，[2x]=[2a+2r]=2a，所以[x]+[x+12]=[2x];当0.5≤r<1时，此时1≤r+12<1.5，1≤2r<2，[x]+[x+12]=a+a+1=2a+1，[2x]=[2a+2r]=2a+1，所以[x]+[x+12]=[2x]．综上可得，对于任意实数x，有[x]+[x+12]=[2x]．(2)【答案】因为x −1<[x]≤x ， 所以5+6x 8−1<[5+6x 8]≤5+6x 8， 即5+6x 8−1<15x−75≤5+6x 8． 解得4190<x ≤8190,所以696720<5+6x 8≤936720， 所以[5+6x 8]=0或1， 则15x−75=0或1. 解得x =715或x =45．经检验，x =715和x =45都符合题意， 故原方程的解为x =715或x =45．5.【答案】:B【解析】:因为[−1.77x]=[−1.77]x ，x 是自然数， 所以−2x +[0.23x]=−2x , 所以[0.23x]=0, 所以0≤0.23x <1, 所以0≤x <4823． 故x =0或1或2或3或4. 故选B ．。