物性学2.4

/ E2 σ / E1
八 . 多要素模型
前言：为了更准确的模拟实际粘弹性体的流变特 征，很多时候需要建立更复杂的模型，这些模型 包括的力学元件不仅多，还可以进行任意搭配， 这种复杂的模型称为多要素模型。 常见的粘弹性体流变学分析，多用应力松弛和蠕 变实验。 而研究着两种试验的复杂流变现象利用广义模型 较为方便。 利用广义模型：把若干个麦克斯韦或开尔芬模型 并联或串联而组成的模型。
σ / ŋ1· t / ŋ1· t。
当在时刻t1 去掉载荷，模型将发生蠕变恢复， E1的虎克体瞬时恢复到 t1 t 原长，开尔芬模型在t= ∞后完全恢复，而阻尼体的变形无法恢复，整个 模型将产生残余形变，大小为σ
∵ ŋ2 = ∞, ∴ τ2 = ∞, 此时应力松弛式应为：
七 三 要 素 模 型
σ= ε0 E1e-t/ τ1+ ε0 E2

由许多开尔芬模型串联而成 的模型，用来分析蠕变性质 比较方便。 n i=1
ε=σΣ 1/ EMi（1- е-t/ τKi ）
广义开尔芬模型
有残余应力存在的广义开尔芬模型
σ （t）= ε0 E1e-t/ τ1+ ε0 E2e-t/ τ2
四 要 素 模 型 的 应 力 松 弛 曲 线
σ(t)
σ= ε0 E1e-t/ τ1+ ε0 E2e-t/ τ2 ε E1+ ε E2
0
t
四 要 素 模 型 的 蠕 变 过 程 解 析
一个麦克斯韦模型和开尔芬模型串联
当加载荷应力σ时，整个模型的形变 相当于E1的虎克体，ŋ1 的阻尼体， 以及ŋ2 、E2的开尔芬体的叠加，设 开尔芬模型的弹性滞后时间 τk= ŋ2 / E2则有蠕变变形为：
注：既可表示牛顿流体性质，也可以表示非牛 顿流体性质。不特殊说明时，代表牛顿流体。

阻尼模型

σ

0
t1
t2
阻尼模型符号

ε
阻尼模型应力应变特性曲线

0
t1
t2
三. 滑块模型
表示有屈服应力存在的塑性流体性质。 滑 σ 块


σ
0
E
0
t1
t2
ε

滑块模型符号
模 型 的 应 力 应 变 特 性 曲 线
当t= ∞， 存在残余应力。
.
1 2
ε0 E1
ε0 E2 0
σ= ε0 E1e-t/ τ1+ ε0 E2
t
当粘弹性体存在不完全松弛的残余应力，我们 可以把模型1中ŋ2 = ∞，即ŋ2 成为不能流动的刚 性连接，此时模型1可简化成模型2
三要素模型
在这里假设 ŋ1= ∞，则模型1可用 模型2代替，此时的蠕边公式为： ε(t)=σ / E1 +σ / E2（1- е-t/ τM ）
四. 麦克斯韦模型


虎克模型与阻尼模型串 联而成的模型称为麦克 斯韦模型。主要是表示 E ε H 粘弹性体的应力松弛情 况。 应力松弛：当给粘弹性 ŋ εN 体加载，是其发生相应 变形，然后保持这一变 形，考察其内部应力的 σ 变化情况。 麦克斯韦模型
E 、εH 、έH 分 别为虎克体 弹性模量、 受力后应变应 变速率
五. 开尔芬-沃格特模型

虎克体和阻尼体并联组成 的模型称为开尔芬模型或 蠕边变模型。 特点：

蠕变实验：保持应力不变， 考察应变的实验

1）阻尼体和虎克体所发生 的应变相同，都等于模型 整体产生的应变ε0
2） σ的大小等于阻尼体和虎
ŋ
σ E t
克体所受应力之和
σ(t) = Eε(t) + ŋ · dε/dt 开尔芬方程式

广义麦克斯韦模型


有许多麦克斯韦模型并 联而成。 n σ = εΣ EMie-t/ τMi i=1 = ŋMi / Emi
广义麦克斯 韦模型
τMi
其中σ为松弛过程应力 有残余应力的 麦克斯韦模型
ε 为恒定应变

EMi ， τMi，为第i 个麦克 斯韦模型弹性率，松弛 时间和黏度。
广义的开尔芬模型
t1
t
ε∞ （1-1/ е）

四 要 素 模 型
伯 格 斯 模 型
的素弹 多 模 性为 要 型 体了 素 的更 模 力确 型 学切 。 四 性地 用 质 要 模 素 型 模 表 型 述 是 需实 最 要际 基 多粘 本要
两要素模型
开 尔 芬 模 型 缺 乏 应 力 松 弛
麦 克 滑 斯 快 韦 模 模 型 型 残弹 余性 应滞 力后 ，
E
εH
总应变 ε = εH+ εN = σ/ E +（ σ/ ŋ）· t 将（1）式分别对时间 t 求导则有：
ŋ
εN
σ
d ε/dt =1/E · d σ /dt + 1/ ŋ · σ（t）麦克斯韦方程
设τM = ŋ / E 则有： E · d ε/dt = d σ /dt + σ/ τM
∵ d ε/dt =0
ŋ 、εN 、έN 分 别为粘性体的 黏度 受力后应变、 应变速率
麦克斯韦及其基本应力松弛曲线
ε ε（t）
0
ε
σ
0
σ（t）=σ е-t/ τ M
0 0
t
σ
t0
t1
t
σ
E 0
τ
M
t
0
t0
t1
t
应力松弛曲线
瞬时卸载的应变曲线
麦克斯韦公式
εH=σ/ E έH = 1/E · d σ /dt εN=（ σ/ ŋ）· t έN = σ/ ŋ （1）
ε(t)=σ / E1 +σ / E2（1- е-t/ τM ）+ σ / ŋ1· t
当施加载荷σ时，立刻发生σ/ E1应变，然后的形变由ŋ1阻 尼体在速度σ/ ŋ1下的运动与开尔芬模型弹性滞后运动的叠 加。
ε（t）
蠕变
蠕变恢复 当t= ∞，开尔 σ/ E1

σ/ E2 σ/ E1
芬模型变形停止 ，曲线趋向于阻 尼体的变形曲线
前 言 ：
阻 尼 模 型
组 成 复 杂 模 型 基 本 要 素
虎 克 模 型
六 四 要 素 模 型
.


四要素模型及其等效表现形式

（a）
（b）
（c）

（d）

（e）
2个麦克斯韦模型并联
总应力为2个麦克斯韦模型应力之和 粘弹性参数分别ŋ1 、E1 、ŋ2 、E2 应力松弛时间分别是τ1= ŋ1 /E1 τ2 = ŋ2 /E2 在恒定应变ε0下，应力松弛公式为
特点：加载荷的瞬时同时发生相应的变形，变 形 的大小与所受力的大小成正比。
虎克模型

σ

E

0


ε
t1
t2
虎克模型符号 虎克模型应力应变特性曲线


0
t1
t2
二. 阻尼模型

流变学中把物体粘性性质用一个阻尼体模 型表示，因此成为“阻尼模型”或“阻尼体”。

特点：阻尼模型瞬时加载时，阻尼体即开始运 动，当载荷去掉时，阻尼体立刻停止运动，并 保持变形，没有弹性恢复。

解得此方程 当t
∴ d σ /dt + σ/ τM = 0 σ=A е-t/ τM + C
∞ ，σ=0；
t = 0 ，σ= σ0 因此 σ= σ0 е-t/ τM ， σ0 =E ε0
应力松弛时间


注：粘弹性体在受力变 形时，存在着恢复变形的弹 性能力，但由于内部粒子也 应力松弛时间：当应力减少 到原来的1/e时所需的时间。 具有流动的性质，当在内部 用 τM表示 。 应力的作用下，各部分粒子 流动到平衡位置，产生永久 用 应力松弛情况 性变形时，内部的应力也就 应力松弛时间 消失 这种现象称为 来研究和分析食品的品质 应力松弛。 应力松弛时间越长，肌原纤维 蛋白分子间粘性越大。 应力完全消失的时间非常长
第四节： 粘弹性的基本力学模型
前言：

研究复杂粘弹性体的流变性质 复杂问题简单化
建立相应的力学模型
归纳为可以用数学公式表示的规律 明确控制或测定流变性质的方法
一. 虎克模型
在研究粘弹性体时，其弹性部分用一个 代表弹性体模型表示，此模型称为弹簧体模型 或虎克模型。
代表完全弹性体的力学表现；
开尔芬-沃格特模型解析
ε ε∞ εk σ=0
ε(t)= ε∞ （1- е-t/ τM ）
弹性滞后时间 τk= ŋ / E
ε1
ε(t) = ε1 е-（t-t1）/ τM
0


当施加一个恒定作用力σ0 时，由于粘性阻滞的作用，虎 克体只能逐渐变形，直到t = ∞ 时，虎克体才能伸长到与 作用力平衡的位置。 当变形到一定程度后，在某时刻t1突然除去作用力，虎克 体同样不能立刻恢复到无应力的状态，也要滞后很长时 间，称这种现象为弹性滞后。理论上，弹性恢复需要很 长时间。