第十三章轴对称13.4最短路径问题(练习)
13.4轴对称最短路径问题专题练习人教版2024—2025学年八年级上册
13.4轴对称最短路径问题专题练习人教版2024—2025学年八年级上册题型一、两定点一动点作图问题1.如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使P A+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（）A．B．C．D．2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．3.如图，直线l是一条公路，A、B是两个村庄．欲在l上的某点处修建一个车站，直接向A、B两地提供乘车服务．现有如下四种建设方案，图中实线表示铺设的行走道路，则铺设道路最短的方案是（）A．B．C．D．4.为了促进A，B两小区居民的阅读交流，区政府准备在街道l上设立一个读书亭C，使其分别到A，B两小区的距离之和最小，则下列作法正确的是（）A．B．C．D．5.如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（）A．A点B．B点C．C点D．D点题型二、两定点一动点求线段和最小值1.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD⊥BC于D点，AB＝12，．若点E、F分别是线段AD、线段AB上的动点，则BE+EF的最小值是（）A．6B．12C．D．2.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（）A．21B．7C．6D．3.53.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，CD平分∠BCA交AB于点D，点P，Q分别是CD，AC上的动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是（）A．6B．5C．4.8D．44.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值（）A．2.4B．4C．5D．4.85.如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为（）A．8B．9C．10D．126.如图，已知等边△ABC的边长为4，点D，E分别在边AB，AC上，AE＝2BD．以DE为边向右作等边△DEF，则AF+BF的最小值为（）A．4B．4C．4D．47.数形结合是重要的数学思想，借助图形，求解的最小值为．8.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．9.如图，A，B两个小镇在河流CD的同侧，到河的距离分别为AC＝6千米，BD＝14千米，且CD＝15千米，现要在河边建一自来水厂，同时向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最省，并求出总费用是多少？题型三、两定点一动点求周长最小值1.如图，在△ABC中，直线m是线段BC的垂直平分线，点P是直线m上的一个动点．若AB＝7，AC＝4，BC＝5，则△APC周长的最小值是（）A．12B．11C．9D．72.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（）A．8B．3C．6D．43.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）4.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）A．2.5B．3.5C．4.8D．65.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC 外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若BC＝5，∠CAB＝30°，点P是直线DE 上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（）A．15B．17C．18D．206.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2，3），P A⊥x轴，PB⊥y轴，C是OA的中点，D是OB上的一点，当△PCD的周长最小时，点D的坐标是（）A．（0，1）B．C．D．（0，2）7．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为______8.如图，点A（1，﹣1），B（2，﹣3）（1）点A关于x轴的对称点的坐标为．（2）若点P为坐标轴上一点，当△APB的周长最小时，点P的坐标为．三、一定点二动点线段或周长问题1.如图，在五边形中，∠BAE＝140°，∠B＝∠E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当△AMN的周长最小时，求∠AMN+∠ANM的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°2.如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则△CPD周长的最小值为．3.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，则MQ+PQ+PN的最小值为．四、一定点二动点角度问题1.如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D ＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．100°B．90°C．70°D．80°2，如图，∠MON＝45°，P为∠MON内一点，A 为OM上一点，B为ON上一点，当△P AB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°3.如图，点P为∠AOB内一点，点M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN的周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB的度数是（）A．55°B．50°C．40°D．45°4.已知点P在∠MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若∠MON＝50°，求∠GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当△P AB的周长最小值为6时，求∠MON的度数．五、二定点二动点1.如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°2.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，BC＝3，DC＝4，点E在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE的周长的最小值为．3.如图，锐角∠MON内有一定点A，连结AO，点B、C分别为OM、ON边上的动点，连结AB、BC、CA，设∠MON＝α（0°＜α＜90°），当AB+BC+CA取得最小值时，则∠BAC＝．（用含α的代数式表示）4.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）5.已知B，C是平面直角坐标系中与x轴平行且距离x轴1个单位长度的直线上的两个动点（点B在点C左侧），且BC＝2，若有点A（0，5）和点D（3，3），则当AB+BC+CD的值最小时，点C的坐标为．6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°8.如图，∠MON＝α，α＜30°，点A为ON上一定点，点C为ON上一动点，B，D为OM上两动点，当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC＝（）A．5αB．6αC．90°﹣αD．180°﹣α9.如图，直线l 1，l 2表示一条河的两岸，且l 1∥l 2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄A 经桥过河到村庄B 的路程最短，应该选择路线（ ）A ．B ．C ．D ．10.如图，直线l 1、l 2表示一条河的两岸，且l 1∥l 2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A 经桥过河到村庄B 的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（ ）方案一：①将点A 向上平移d 得到A '；②连接A 'B 交l 1于点M ；③过点M 作MN ⊥l 1，交l 2于点N ，MN 即桥的位置．方案二：①连接AB 交l 1于点M ；②过点M 作MN ⊥l 1，交l 2于点N ．MN 即桥的位置．A ．唯方案一可行B ．唯方案二可行C ．方案一、二均可行D ．方案一、二均不可行六、线段差的最大值1.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM ＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（）A．2B．3C．D．2.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|P A﹣PB|的最大值为．七、多条线段和的最小值1.如图所示，已知A、B、C、D，请在图中找出一点P，使P A+PB+PC+PD最小．2.如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D（0，2），点F（1，0），线段DE和EF构成一个“L”形，另有点A（﹣1，5），点B（﹣1，﹣1），点C（6，﹣1），连AD，BE，CF．若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE 的值最小时，E点坐标为；若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为．。
八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题同步训练新版新人教版
13.4 课题学习最短路径问题[学生用书P63]1．如图13-4-6，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是( )A．40° B．100° C．140° D．50°图13-4-62．如图13-4-7所示，四边形EFGH是一个矩形的台球桌面，有黑白两球分别位于A，B 两点，试说明怎样撞击B，才能使白球先撞击台球桌边EF，反弹后又能击中黑球A?图13-4-73．如图13-4-8，点A，B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m 于点P.(1)AB′与AP＋BP相等吗？为什么？(2)在m上再取一点N，并连接AN与BN，比较AN＋BN与AP＋BP的大小，并说明理由．图13-4-84．[2015·鄂尔多斯]如图13-4-9，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMMNNB最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)( D )图13-4-9A BC D5．[2015·营口改编]如图13-4-10，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5 cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5 cm ，求∠AOB 的度数．图13-4-106．[2016·百色]如图13-4-11，等边△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC 与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是( A )图13-4-11A．4 B．3 2C．2 D．2＋ 3参考答案【归类探究】例1略例2略【当堂测评】1．B 2.D 3.略【分层作业】1．B 2.略3．(1)AB′＝AP＋BP，理由略；(2)AN＋BN>AP＋BP，理由略．4．D 5.∠AOB＝30° 6.A。
2020年八年级数学上册第十三章13.4 课题学习 最短路径问题
16
2
详细答案 点击题序
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详细答案 点击题序
1．如图，∠AOB＝30°，点 M、N 分别是射线 OA、 OB 上的动点，OP 在∠AOB 内，且 OP＝6，则△ PMN 周长的最小值为 6 .
2．尺规作图(保留作图痕迹)：如图，已知直线 l 及 其两侧两点 A、B.
(1)在直线 l 上求一点 Q，使到 A、B 两点距离之和 最短；
(2)在直线 l 上求一点 P，使 PA＝PB. 解：(1)如图，连接 AB 与直线 l 的交点 Q 即为所求． (2)作线段 AB 的垂直平分线 MN，直线 MN 与直线 l 的 交点 P 即为所求．
3．(1)如图①，在直线 AB 一侧有 C、D 两点，在 AB 上找一点 P，使 C、D、P 三点组成的三角形的周长 最短； 解：如图所示．
(1)若要使自来水厂到A，B两村的 距离相等，则应选择在哪建厂(要 求：尺规作图，保留作图痕迹， 不必写文字说明)?
分析：(1)欲求到A、B两村的距离相等的厂址，即 作出线段AB的垂直平分线与EF的交点即可； 解：(1)如图，点M即为所求．
(2)若要使自来水厂到A，B两村的距离之和最短， 应建在什么地方？ 分析：(2)作出A点关于直线EF的对称点A′，再连 接A′B，找到A′B与EF的交点即可． (2)如图，点N即为所求．
(2)如图②，在∠AOB 内部有一点 P，在 OA、OB 上 分别存在点 E、F，使得 E、F、P 三点组成的三角 形的周长最短，请找出 E、F 两点． 解：如图所示．
知识要点 最短路径问题
定义
关于“两点的所有连线中， 线段 最短
”“连接直线外一点与直线上各点的所 有线段中， 垂线段最短”等的问题，
2024年人教版八年级上册数学第13章第4节课题学习 最短路径问题
使MN ⊥ m， 且AM 交直线n 于点N，过点N作NM ⊥
＋MN＋NB 最小
m 于点M，连接AM
感悟新知
特别解读 解决连接河两边两地的最短路
径问题时，可以通过平移桥的方法 转化为求直线异侧两点到直线上一 点所连线段的和最小的问题.
知2－讲
感悟新知
知2－练
例4 如图13.4-5，从A 地到B 地要经过一条小河(河的两岸 平行)，现要在河上建一座桥(桥垂直于河的两岸)，应 如何选择桥的位置才能使
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂小结
设计最短路径 设计最短路径
两点在直 线异侧
两点在直 线同侧
利用轴对称转换
解：如图13 .4 -2，作点B 关于l 的对称点B1，连接 AB1交l 于点M，连接BM， 此时AM＋BM 最短，则点 M 即为所求的分支点.
感悟新知
知1－练
1-1.如图，在正方形网格中有M，N 两点，在直线l 上求一 点P 使PM＋PN 最短，则点P应选在( C ) A.A 点 B.B 点 C.C 点 D.D 点
四边形P M N Q周 长的最
小值为 P′Q′＋ PQ 的值
小
线的交点即为点M，N
感悟新知
知1－讲
特别解读 1.直线异侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问
题是根据“两点之间，线段最短”来设计的. 2.直线同侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问
题依据两点：一是对称轴上任何一点到一组对称 点的距离相等；二是将同侧的两点转化为异侧的 两点，依据异侧两点的方法找点.
感悟新知
知1－练
例1 [情境题 生活应用]某供电部门准备在输电主干线l 上连 接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B 两个居民小区送电．
最短路径问题最短路径(完整版)4
3.如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上 有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数. 解:如图，依题意,分别作点P关于ON、OM的 对称点P1、P2,连接P1P2交ON于点B，交OM于
点A，依次连接A、B、P，此时△PAB的周长为
最小值.
祝你学业有成
角形，就是最短路径。
求解原理 两点之间，线段最短
A1
m
B A
C
n
A2
探索新知
知识点1 将军饮马问题
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点
，AD=5，F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
E BF
EF B
E BF
探索新知
知识点1 将军饮马问题
l
A
问
题
将两地抽象为A、B两个 点，将河抽象为直线l ．
B 数 学 问 题
引例
将两地抽象为A、B两个点，将河抽象为直线l ．
A
问题一 你能用自己的语言把问题抽象为
l
数学问题吗？
C B
连接AB，与l 交于C点
在直线l 上找一点C，使AC+BC最短
问题二 点C应该在哪里？ 为什么呢？
两点之间线段最短
知识点1 将军饮马问题
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点
，AD=5，F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
【解析】∵△ABC为等边三角形，D是BC边的中点，∴
人教版八年级数学上册课时练 第十三章轴对称 13.4 课题学习--最短路径问题【答案】
人教版八年级数学上册课时练第十三章轴对称 13.4 课题学习--最短路径问题一、选择题1．如图，在锐角△ABC 中，∠ACB ＝50°；边AB 上有一定点P ，M 、N 分别是AC 和BC 边上的动点，当△PMN 的周长最小时，∠MPN 的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°2．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水. 某同学用直线（虛线）l 表示小河，,P Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）. A ． B ． C ． D ．3．如图，已知24AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，1OP =，C 在OA 上，D 在OB 上，E 在OP 上．当CP CD DE ++取最小值时，此时PCD ∠的度数为（ ）A ．36︒B ．48︒C ．60︒D ．72︒4．如图,在公路 MN 两侧分别有 A 1, A 2......A 7,七个工厂,各工厂与公路 MN(图中粗线)之间有小公路连接.现在需要在公路 MN 上设置一个车站,选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”.则下面结论中正确的是（ ）. ①车站的位置设在 C 点好于 B 点;②车站的位置设在 B 点与 C 点之问公路上任何一点效果一样;③车站位置的设置与各段小公路的长度无关.A ．①B ．②C ．①③D ．②③5．如图，在ABC ∆中，10BC =，CD 是ACB ∠的平分线．若P ，Q 分别是CD 和AC 上的动点，且ABC ∆的面积为24，则PA PQ +的最小值是（ ）A ．125B ．4C ．245D ．56．在△ABC 中，AB=BC ，点D 在AC 上，BD=6cm ，E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点，△DEF 周长的最小值为6 cm ，则ABC ∠=( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°7．如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且，若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ）A B C ．6 D ．38．如图，在等边△ABC 中，BF 是AC 边上的中线，点D 在BF 上，连接AD ，在AD 的右侧作等边△ADE ，连接EF ，当△AEF 周长最小时，∠CFE 的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．如图，某公司有三个住宅区，A ，B ，C 各区分别住有职工10人，15人，45人，且这三个区在一条大道上(A ，B ，C 三点共线)，已知AB ＝150m ，BC ＝90m ．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在( )A ．点AB ．点BC ．点A ，B 之间D ．点C10．如图，30AOB ∠=︒，M ，N 分别是边,OA OB 上的定点，P ，Q 分别是边,OB OA 上的动点，记,OPM OQN αβ∠=∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，关于α，β的数量关系正确的是（ ）A ．60βα-=︒B ．210βα+=︒C ．230βα-=︒D ．2240βα+=︒二、填空题11．如图，AD 为等边△ABC 的高，E 、F 分别为线段AD 、AC 上的动点，且AE ＝CF ，当BF ＋CE 取得最小值时，∠AFB ＝_______°．12．如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP=4，若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN周长的最小值是_________．13．已知∠AOB=45°，点P 在∠AOB 内部，点P 1与点P 关于OA 对称，点P 2与点P 关于OB 对称，连接P 1P 2交OA 、OB于E 、F ，若P 1E=12，，则EF 的长度是_____．14．如图，在锐角ABC ∆中，8AC cm =，218ABC S cm ∆=，AD 平分BAC ∠，M 、N 分别是AD 和AB 上 的动点，则BM MN +的最小值是__________cm ．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D 是BC 上一动点，以BD 为边在BC 的右侧作等边△BDE ，F 是DE 的中点，连结AF ，CF ，则AF+CF 的最小值是_____.三、解答题16．在平面直角坐标系中，B(2，)，以OB 为一边作等边△OAB （点A 在x 轴正半轴上）．（1）若点C 是y 轴上任意一点，连接AC ，在直线AC 上方以AC 为一边作等边△ACD ．①如图1，当点D 落在第二象限时，连接BD ，求证：AB ⊥BD ；②若△ABD 是等腰三角形，求点C 的坐标；（2）如图2，若FB 是OA 边上的中线，点M 是FB 一动点，点N 是OB 一动点，且OM+NM 的值最小，请在图2中画出点M 、N 的位置，并求出OM+NM 的最小值．17．如图1，已知直线l 的同侧有两个点A 、B ，在直线l 上找一点P ，使P 点到A 、B 两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l 的对称点，对称点与另一点的连线与直线l 的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.（1）如图2，在平面直角坐标系内，点A 的坐标为()1,1，点B 的坐标为()4,3，动点P 在x 轴上，求PA PB +的最小值；（2）如图3，在锐角三角形ABC 中，6AB =，60BAC ∠=︒，BAC ∠的角平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值为______.（3）如图4，30AOB ∠=︒，5OC =，12OD =，点E ，F 分别是射线OA ，OB 上的动点，则CF EF DE ++的最小值为__________.18．如图所示，已知点A 是锐角MON 内一点，试分别在,OM ON 上确定,B C 两点，使三角形ABC 的周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．19．（1）如图1，在△ABC 中∠A ＝60 º，BD 、CE 均为△ABC 的角平分线且相交于点O. ①填空：∠BOC ＝ 度；②求证：BC ＝BE+CD ．(写出求证过程)（2）如图2，在△ABC 中，AB=AC=m ，BC=n ， CE 平分∠ACB ．①若△ABC 的面积为S ，在线段CE 上找一点M ，在线段AC 上找一点N ，使得AM+MN 的值最小，则AM+MN 的最小值是 ．(直接写出答案)；②若∠A=20°，则△BCE 的周长等于 ．(直接写出答案)．20．如图所示，两条河12l l 、交于点O ，某人牧马，早上从家点C 出发，先到河岸1l 的点1P 处让马饮水，然后再到河岸2l 的点2P 处放牧，傍晚骑马到达马舍点D ．他应如何选择马的饮水点1P 和放牧点2P ，才能使所走的路程最短？（假定12l l 、都是直线）21．如图，在△ABC 的一边AB 上有一点P.(1)能否在另外两边AC 和BC 上各找一点M 、N ，使得△PMN 的周长最短？若能，请画出点M 、N的位置，若不能，请说明理由；(2)若∠ACB ＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN 的度数．22．如图所示,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ,过点O 作EF ∥BC ,交AB 于点E ,交AC 于点F .(1)若∠ABC=40°,∠ACB=60°,求∠BOE+∠COF的度数;(2)若△AEF的周长为8 cm,且BC=4 cm,求△ABC的周长.23．如图所示的是某风景区的旅游路线示意图，其中B，C，D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为两相应点间的距离(单位：千米)．一位游客从A处出发，以2千米／时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为34小时．(1)当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时，共用了4小时，求CE的长；(2)若此学生打算从A处出发，步行速度与景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，说明这样设计的理由。
第十三章 轴对称13.4 最短路径问题(练习)
第十三章轴对称13.4 最短路径问题（练习）精选练习一、单选题（共10小题）1．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB＝300米，BC＝600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．AB之间D．BC之间【答案】A【解析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×300+10×900=13500（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+10×600=15000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×900+15×600=36000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜300），则所有人的路程的和是：30m+15（300-m）+10（900-m）=13500+5m＞13500，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜600），则总路程为30（300+n）+15n+10（600-n）=15000+35n＞13500．∴该停靠点的位置应设在点A；故选：A．【点睛】考查了比较线段的长短，此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．2．已知村庄A和B分别在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN(假定河的两岸彼此平行，且桥与河岸互相垂直)，下列示意图中，桥的建造位置能使从村庄A经桥过河到村庄B 的路程最短的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】如图作AI∥MN，且AI=MN，连接BI，由两点之间线段最短可知此时从A点到B点的距离最短，所以AM∥BN.【详解】解：如图，作AI∥MN，且AI=MN，连接BI，∴四边形AMNI为平行四边形，∴AM∥BN，此时从A点到B点距离最短.故选：C.【点睛】本题主要考查了最短路径的问题，运用到了两点之间线段最短，平行四边形等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.3．某公司员工分别住在A、B、C、D四个住宅区，A区有20人，B区有15人，C区有5人，D区有30人，四个区在同一条直线上，位置如图所示．该公司的接送车打算在此间设立一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设置在（）A．D区B．A区C．AB两区之间D．BC两区之间【答案】D【解析】根据题意分别计算停靠点分别在各点时员工步行的路程和，选择最小的即可解答．【详解】解：∵当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：20×800+15×400+5×200=23000m；当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×400+5×600+30×800=33000m；当停靠点在AB两区之间时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：20×（400-x）+15x+5×（200+x）+30×（400+x）=（30x+21000）m；当停靠点在BC两区之间时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：20×（400+x）+15x+5×（200-x）+30×（400-x）=21000m．∴当停靠点在BC两区之间时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在BC两区之间．故选：D．【点睛】此题考查了比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键．要能把线段的概念在现实中进行应用．4．如图所示，从点A到点F的最短路线是( )A．A→D→E→F B．A→C→E→FC．A→B→E→F D．无法确定【答案】C【解析】认真分析图形,要求点A到点F的最短路线,其中AB,EF的线路是固定的,则需要确定点B到点E之间的最短路线,由两点之间,线段最短可得,点B到点E之间BE最短.【详解】解:由图中可以看出,从点A到点F,AB,EF是必须经过的路线,点B到点E的路线中BE最短,所以点A到点F的最短路线为A→B→E→F,故答案选C.【点睛】本题主要考查了线段的性质，根据两点之间线段最短确定出点A到点F的最短路线是解题的关键．5．如图，从A地到B地有①、②、③三条路线，每条路线的长度分别为l、m、n，则（）A．l＞m＞n B．l=m＞n C．m＜n=l D．l＞n＞m【答案】C【解析】分析：根据两点间直线距离最短，认真观察图形，可知①③都是相当于走直角线，故①③相等，②走的是直线，最短．详解：由题意可得：∵从C到B地有①②③条路线可以走，每条路线长分别为l，m，n，则AC+AB=l＞BC∴l=n＞m．故选：C．点睛：本题考查了生活中的平移现象，要求学生充分利用两点间线段距离最近．6．如图，直线表示一条河，点，表示两个村庄，想在直线的某点处修建一个向，供水的水站，现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设管道一定最短的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】依据轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离即可．【详解】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于P．根据两点之间，线段最短，可知选项A铺设的管道最短．故选：A．【点睛】本题考查了最短路线问题，这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7．下列命题是真命题的是（）A．两点之间的距离是这两点间的线段B．墙上固定一根木条，至少需要两根钉子，其依据是“两点之间，线段最短”C．同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交和垂直三种D．同平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【解析】根据两点间的距离的定义、垂线的性质即可作出判断．【详解】A、两点之间的距离是这两点间的线段的长度，故错误；B、墙上固定一根木条，至少需要两根钉子，其依据是“两点可以确定一条直线”，故错误；C、同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，故错误；D、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确．故选：D．【点睛】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．（2017·淄博市临淄区皇城镇第二中学初一期中）小李同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线C．经过两点有且只有一条直线D．两点之间线段最短【答案】D【解析】试题解析：由图可知，剪掉一部分，相当于用一条线段取代了连接原来两点之间的曲线.根据线段公理：两点之间，线段最短，所以剩下树叶的周长比原树叶的周长要小.故本题应选D.点睛：直线公理是指两点确定一条直线，而线段公理是指两点之间线段最短，我们要清楚这两者的区别.9．（2017·淄博市临淄区皇城镇第二中学初一期中）下列说法正确的是( )A．两点之间的连线中，直线最短B．若P是线段AB的中点，则AP＝BPC．若AP＝BP，则P是线段AB的中点D．两点之间的线段叫做这两点之间的距离【答案】B【解析】A中，两点之间线段最短，故A错误；B中，若P是线段AB的中点，则点P到A、B的距离相等，即AP=BP，故B正确；C中，若AP=BP，点P不一定是线段AB的中点，如,故C错误；D中，两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离，故D错误．故选B．10．如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据对称的性质以及两点之间线段最短可知选项C是正确的．故选C．二、解答题（共3小腿）11．（2019·兰州市外国语学校初一期末）如下图所示.(1)作出△ABC关于y轴对称的图形；(2)在x轴上确定一点P,使得PA+PC最小.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；（2）根据轴对称确定最短路线问题，找出点A关于x轴的对称点A′的位置，然后连接A′B 与x轴的交点即为点P【详解】解：(1)如图所示，△A BC即为所求；(2)如图所示，点P即为所求（有两种做法：作A或C的对称点均可）.【点睛】此题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，掌握作图法则是解题关键12．（2018·泸西县中枢镇逸圃初级中学初二期中）作图题（保留作图痕迹，不写作法）如图，A、B两村在一条小河MN的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，在图1中用尺规作图．．．．作出厂址P的位置．（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，在图2中作出厂址Q的位置．【答案】作图见解析.【解析】试题分析：（1）根据中垂线的性质知，作AB的中垂线，交于直线MN于点P就是所求的点；（2）由三角形的三边关系，三角形是任意两边之和大于第三边知，故作出点A关于直线MN的对称点E，连接BE交于直线MN的点Q是所求的点．试题解析：（1）如图所示：点P即为所求；（2）如图所示：点Q即为所求.13．（2017·内蒙古鄂尔多斯康巴什新区第二中学初二期中）如图，在游艺室的水平地面上，沿着地面的AB边放一行球，参赛者从起点C起步，跑向边AB任取一球，再折向D点跑去，将球放入D点的纸箱内便完成任务，完成任务的时间最短者获得胜利，如果邀请你参加，你将跑去选取什么位置上的球？为什么？【答案】见解析【解析】试题分析：可过点D作关于AB的对称点D′，连接CD′与AB交于点E，即为所求．试题解析：如图，参赛者应向E点跑，因为AB所在直线是DD′的垂直平分线，所以ED=ED′，C、D′两点之间CE+ED′是最短的（两点之间线段最短），所以CE+ED是最短的．点睛：此题考查轴对称最短路径问题，能够利用两点之间线段最短求解一些简单的实际问题.凡是涉及到最短距离问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.。
初中数学《八上》 第十三章 轴对称《课题学习》最短路径问题 考试练习题
初中数学《八上》第十三章轴对称《课题学习》最短路径问题考试练习题姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分评卷人得分1、如图，在△ABC中，AB 的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4 ，EC＝2 ，则BC的长是（）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 8知识点：课题学习最短路径问题【答案】C【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4 ，结合图形计算，得到答案．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4 ，∴EB＝EA＝4 ，∴BC＝EB＋EC＝4 ＋ 2 ＝ 6 ，故选：C．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．2、如图，在△ABC中，按以下步骤作图：① 分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作对弧，两弧相交于M、N两点；② 作直线MN交BC于点D，交AC于E，连接AD，若AD＝BD，AB＝8 ，则DE＝___ ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】4【分析】根据作图即可得到是的垂直平分线，再根据，得到DE是△ABC的中位线，即可得到DE的长．【详解】解：根据作图即可得到是的垂直平分线∴，∴，∵∴∴为的中点∴DE是△ABC的中位线∴故答案为【点睛】本题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，利用三角形中位线定理是解决问题的关键．3、如图，在△ABC 中， AB ＝ AC ， AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点．若 BD 平分∠ABC, 则∠A ＝________________ ° ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】36 ．【详解】试题分析：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．∴∠A＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝2∠A＝∠ABC，设∠A为x，可得：x +x +x +2x＝180° ，解得：x＝36° ，故答案为36 ．点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得出角相等，然后在一个三角形中利用内角和定理列方程即可得出答案．4、在菱形ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，且AE ⊥BC，AF ⊥CD，那么∠EAF等于（）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°知识点：课题学习最短路径问题【答案】C【分析】连接AC，根据题意证得是等边三角形，再由等边三角形的性质求出∠EAC的度数，同理可求得∠FAC的度数，进而得到答案．【详解】解：如图，连接AC，∵E是BC中点，且AE ⊥BC，∴AE垂直平分BC，∴AB =AC，又∵ 四边形ABCD是菱形，∴AB =BC，∴AB =BC =AC，∴是等边三角形，∴∠BAC =60° ，AE平分∠BAC，∴∠EAC =30° ，同理可得，∠FAC =30° ，∴∠EAF =∠EAC +∠FAC =60° ．故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各性质及判定定理是解题的关键．5、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为_____cm ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】21 ．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC 和 AC=2AE=8cm ，根据三角形的周长公式计算即可求解．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，∵△ABD的周长＝AB +BD +DA＝AB +BD +DC＝AB +BC＝13cm，∴△ABC的周长＝AB +BC +AC＝21cm，故答案为21 ．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6、到三角形的三个顶点距离相等的点是（）．A ．三角形三条中线的交点B ．三角形三边垂直平分线的交点C ．三角形三条角平分线的交点D ．三角形三条高的交点知识点：课题学习最短路径问题【答案】B【分析】线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，三角形的三边是三条线段，从而可得答案.【详解】解：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，到三角形的三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点.故选：B【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边的垂直平分线的交点的性质，掌握“ 线段的垂直平分线的性质” 是解题的关键 .7、已知矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F，若AB＝4 ，BE＝3 ，则BF长为___ ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】6 或【分析】AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F可知点F的位置两种情况，一是点F在AB的延长线上，二是点F在AB上，然后分类用矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和勾股定理求解BF的长．【详解】解：① 当点F在AB的延长线上时，设BF =x，l∴△AOE ≌△AOH（ASA）∴AE =AH =5 ，又∵△FBE ∽△FAH，∴∴，解得：x =6 ，∴BF =6 ；② 当点F在AB的上时，设BF =y，如图2 所示：∵∠EFB =∠AFO，∠FBE =∠FOA，∴△EFB ∽△AFO，∴∠E =∠FAO，又∵△AFO +∠FAO =90° ，∠BCA +∠FAO =90° ，∴∠EFB =∠ACB，又∵∠EBF =∠ABC =90° ，∴△EBF ∽△ABC，∴，∴又∵AB =4 ，AB =AF +BF，∴AF =4-y，∵EH是AC的垂直平分线，∴AF =FC =4-y，在Rt △BFC中，由勾股定理得：BF2 +BC2 =FC2，∴，解得：或y =-6 （l 知识点：课题学习最短路径问题【答案】21 ．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC 和 AC=2AE=8cm ，根据三角形的周长公式计算即可求解．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，∵△ABD的周长＝AB +BD +DA＝AB +BD +DC＝AB +BC＝13cm，∴△ABC的周长＝AB +BC +AC＝21cm，故答案为21 ．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9、到三角形的三个顶点距离相等的点是（）．A ．三角形三条中线的交点B ．三角形三边垂直平分线的交点C ．三角形三条角平分线的交点D ．三角形三条高的交点知识点：课题学习最短路径问题【答案】B【分析】线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，三角形的三边是三条线段，从而可得答案.【详解】解：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，到三角形的三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点.故选：B【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边的垂直平分线的交点的性质，掌握“ 线段的垂直平分线的性质” 是解题的关键 .10、如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则__________．知识点：课题学习最短路径问题【答案】【分析】由等腰三角形，“ 等边对等角” 求出，再由垂直平分线的性质得到，最后由三角形外角求解即可．【详解】解：,,垂直平分．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线性质，三角形外角概念，能正确理解题意，找到所求的角与已知条件之间的关系是解题的关键．11、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B =60° ，∠C =25° ，则∠BAD =___________° .知识点：课题学习最短路径问题【答案】70 ．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC ，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C ，根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，计算出结果．【详解】解：∵DE 是 AC 的垂直平分线，∴DA=DC ，∴∠DAC=∠C=25° ，∵∠B=60° ，∠C=25° ，∴∠BAC=95° ，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70° ，故答案为70 ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．12、如图，在中，，．（1 ）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________ ，射线是的__________ ；（2 ）在（1 ）所作的图中，求的度数．知识点：课题学习最短路径问题【答案】（1 ）垂直平分线，角平分线；（2 ）25°【分析】（1 ）根据图形结合垂直平分线、角平分线的作法即可得到答案；（2 ）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可得到，再结合三角形的内角和便能求得，，再根据角平分线的定义即可得到答案．【详解】解：（1 ）由图可知：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，故答案为：垂直平分线，角平分线；（2 ）∵是线段的垂直平分线，∴，∴，∵，，∴，∴．∵ 射线是的平分线，∴．【点睛】本题考查了垂直平分线、角平分线的作法以及它们的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握垂直平分线、角平分线的性质是解决本题的关键．13、如图，已知直线，直线分别与、交于点、．请用尺规作图法，在线段上求作点，使点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）知识点：课题学习最短路径问题【答案】见解析【分析】作出线段AB 的垂直平分线即可．【详解】解：如图所示，点即为所求．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本作图．14、如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点，点F是的中点，连接、，若，则的周长为_________ ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】8【分析】根据垂直平分线的性质求得∠BEA的度数，然后根据勾股定理求出EC长度，即可求出的周长．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴，BE =AE，∴，∵∴∴又∵AC =5 ，∴ 在中，，解得：CE =3 ，又∵ 点F是的中点，∴，∴的周长=CF +CE +FE =．故答案为：8 ．【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质．15、《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10 步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10 步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向．（1 ）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；（2 ）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在中，______________ ，是的中点，（______________ ）（填推理的依据）．∵ 直线表示的方向为东西方向，∴ 直线表示的方向为南北方向．知识点：课题学习最短路径问题【答案】（1 ）图见详解；（2 ），等腰三角形的三线合一【分析】（1 ）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D；（2 ）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答．【详解】解：（1 ）如图所示：（2 ）证明：在中，，是的中点，（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．∵ 直线表示的方向为东西方向，∴ 直线表示的方向为南北方向；故答案为，等腰三角形的三线合一．【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键．16、如图，在中，，，的垂直平分线交与点，交于点，则的周长是__________．知识点：课题学习最短路径问题【答案】13【解析】根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式求解即可【详解】是的垂直平分线..的周长为:故答案:13.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和三角形的周长公式,熟练掌握垂直平分线的性质和三角形的周长公式是解题关键.17、如图，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为（）A．65° B．60°C．55° D．45°知识点：课题学习最短路径问题【答案】A【解析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．【详解】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，故选A．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．18、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( )A．20° B．30° C．45° D．60°知识点：课题学习最短路径问题【答案】B【解析】根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．【详解】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，故选B．【点睛】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．19、如图，在△ABC中，∠A=40º，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是_________．知识点：课题学习最短路径问题【答案】30°．【解析】已知∠A=40°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．解：∵∠A=40°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，又∵DE垂直平分AB，∴DB=AD∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°．故答案为：30°．20、如图，已知：在△ABC中，AD平分∠ BAC，AB=AD，CE⊥AD，交AD的延长线于E .求证：AB+AC=2AE .知识点：课题学习最短路径问题【答案】详见解析【分析】延长 AE到 M，使 ME=AE，连接 CM，求出 AC=CM，求出 DM=MC，即可得出答案．【详解】延长 AE到 M，使 ME=AE，连接 CM，则 AM=2AE，∵ CE ⊥ AE，∴ AC=CM，∴∠ M= ∠ CAD= ∠ DAB，∴ AB ∥ MC，∴∠ B= ∠ MCD，∵ AB=AD，∴∠ B= ∠ ADB，∵∠ ADB= ∠ MDC，∴∠ MCD= ∠ MDC，∴ MC=MD，∴ AM=2AE=AD+MD=AB+AC，即 AB+AC=2AE.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出 DE=EC，有一定的难度．。
13.4 课题学习 最短路径问题
类型1 2．(2017·天津)如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD，CE 是△ABC
的两条中线，P 是 AD 上的一个动点，则下列线段的长度等 于 BP＋EP 的最小值的是( B ) A．BC B．CE C．AD D．AC
类型2 3．(中考·遵义)如图，在四边形 ABCD 中，∠C＝50°，∠B＝∠D
＝90°，E，F 分别是 BC，DC 上的点，当△AEF 的周长最小 时，∠EAF 0°
类型2 【点拨】如图，分别作点 A 关于直线 BC 和 CD 的对称点 A′，A″， 连接 A′A″，交 BC 于 E，交 CD 于 F，则 A′A″的长即为△AEF 周长的最小值．作 DA 的延长线 AH. ∵∠C＝50°，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠DAB＝130°. ∴∠HAA′＝50°. ∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝50°. 易知∠A′＝∠EAA′，∠A″AF＝∠A″，∴∠EAA′＋∠A″AF＝50°. ∴∠EAF＝130°－50°＝80°. 【答案】D
类型2 ∵点 P 关于直线 OB 的对称点为 C， ∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB. ∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝12∠COD. ∵△PMN 周长的最小值是 5 cm.∴PM＋PN＋MN＝5 cm. ∴DM＋CN＋MN＝5 cm，即 CD＝5 cm＝OP. ∴OC＝OD＝CD. ∴△OCD 是等边三角形． ∴∠COD＝60°. ∴∠AOB＝30°.
类型3 5．茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直
排(图中的 AO，BO)，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆 满了糖果，站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到 D 处座位上．请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总 路程最短．
类型3 解：如图所示．
人教版八年级数学上册同步练习题 第十三章轴对称 13.4 课题学习--最短路径问题
人教版八年级数学上册同步练习题第十三章轴对称13.4 课题学习--最短路径问题一、单选题1．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB＝300米，BC＝600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．AB之间D．BC之间2．已知两点M（3（5（（N（1（（1），点P是x轴上一动点，若使PM（PN最短，则点P的坐标应为（）A．（12（（4（B．（23（0（C．（43（0（D．（32（0（3．平面直角坐标系xOy中，已知A(（1（0)（B(3（0)（C(0（（1)三点，D(1（m)是一个动点，当△ACD的周长最小时，则△ABD的面积为（（A．13B．23C．43D．834．x是数轴上任意一点表示的数，若|x﹣3|+|x+2|的值最小，则x的取值范围是（）A．x≥3B．x≤﹣2C．﹣2≤x≤3D．﹣2＜x＜35．如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．2B．4C．6D．86．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④7．如图，ABC ∆中，BAC 90︒∠=，6AB =，10BC =，8AC =，BD 是ABC ∠的平分线.若P 、Q 分别是BD 和AB 上的动点，则PA PQ +的最小值是（ ）A ．125B ．4C ．245D ．58．如图，在矩形ABCD 中8AB =，16BC =，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为( )A ．6B ．12C ．D ．9．A ，B ，C 三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在( )A ．在A 的左侧B ．在AB 之间C ．在BC 之间D ．B 处10．A（B 是直线l 上的两点，P 是直线l 上的任意一点，要使PA+PB 的值最小，那么点P 的位置应在（ ） A ．线段AB 上 B ．线段AB 的延长线上C ．线段AB 的反向延长线上D ．直线l 上二、填空题11．如图，在Rt（ABC中，（ACB（90°（（ABC（60°（BC（4（E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1（EF（____（（2）若D是BC边上一动点，则（EFD的周长最小值是____（12．如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB=30°，OP=8cm，M，N是OA，OB上的两个动点，则△MPN周长的最小值_____cm．13．如图，已知（AOB=45°（（AOB内有一点（M为射线OA上一动点，N为射线OB上一动点，则PM+MN+PN的最小值为________（14．如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF=________度。
13.4--课题学习--最短路径问题
知识点 2 运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题
问题1 牧人饮马问题 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，
名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一 个百思不得其解的问题：
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马， 然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走 的路径最短？
B
A
l
C
B
两点之间，线段最短.
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？
（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？
（3）利用什么知识可以实现转化目标？
如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
B A
l
C
B′
1. 最短路径问题的类型： (1)两点一线型的线段和最小值问题； (2)两线一点型线段和最小值问题； (3)两点两线型的线段和最小值问题； (4)造桥选址问题．
2. 解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知 识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或 “垂线段最短”来求线段和的最小值．
B A
l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
分析：
B B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？
联想：
如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？
13.4 课题学习 最短路径问题【课课练】八年级上册人教版数学
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(2)如图2，在直线 AB 同侧有两点 C ， D ，在直线上找一点 P 使 PC ＋ PD 的长最短； 解：(2)如图2，作点 C 关于直线 AB 的对称点C'，连接C'D，交 AB 于点 P ，则点 P 即为所求.
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13.4 课题学习 最短路径问题
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测评等级(在对应方格中画“√”) 易错题记录
A□ B□ C□ D□
13.4 课题学习 最短路径问题
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1. 如图，点 M ， N 在直线 l 的同侧，小东同学想通过作图在直线 l 上确 定一点 Q ，使 MQ 与 QN 的和最小，那么下面的作图中，正确的是 (C)
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13.4 课题学习 最短路径问题
(3)如图3，在∠ AOB 内部有一点 P ，在 OA ， OB 上找出 E ， F 两点，使 得以 E ， F ， P 三点为顶点的三角形的周长最短. 解：(3)如图3，分别作点 P 关于 OA 的对称点 C ，点 P 关于 OB 的对称点 D ，连接 CD ，交 OA 于点 E ，交 OB 于点 F ，则点 E ， F 即为所求.
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2. 如图， A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN ，使从 A 到 B 的路径 A — M — N — B 最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要 与河岸垂直)( D )
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13.4 课题学习 最短路径问题
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3. 如图，△ ABC 是等边三角形， AD 是 BC 边上的高， E 是 AC 的中 点， P 是 AD 上的一个动点，当 PC 与 PE 的和最小时，∠ ACP ＝ 30°.
2023-2024学年八年级上学期数学：等腰三角形(附答案解析)
13.3 等腰三角形 13.4 课题学习 最短路径问题
基础训练
一、选择题
1．已知一个等腰三角形的两边长分别为 3cm 、7cm ，则该三角形的周长是 ( )
A．13cm
B．13cm 或17cm C．17cm
D． 16cm
2．如图，ABC 中，B 60 ，BC 18 ，点 D 在边 AB 上，CA CD ，BD 7 ，则 AD
① BE DE 2 ；
② DE 垂直平分线段 AC ；
③ AB 3 ；
④ CD 12 ．
其中正确的个数是 ( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为 9cm 和15cm 两部
分，则这个等腰三角形的腰长为 ( )
A． 6cm
B．10cm
C． 6cm 或10cm
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D． 11cm
4．如图，在矩形 ABCD 中， BC AB ， E 为矩形 ABCD 内一点且 ABE 为等边三角 形，连接 CE 并延长交 AD 于点 F ．若 AEF 20 ，则 BCF 的度数为 ( )
A． 48
B． 50
C． 52
D． 60
5．如图，在四边形 ACBD 中， AD BD ，ADB 120 ，点 C 为动点，ACB 90 ，
E 是 BD 的中点，连接 CE ，当 CE 的长度最大时，此时 CAB 的大小是 ( )
A． 30
B． 45
C． 60
D． 75
6．已知射线 OC 平分 AOB ，点 P 、M 、N 分别在射线 OC 、OA 、OB 上，且 PM PN ，
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第十三章轴对称
13.4 最短路径问题（练习）
精选练习
一、单选题（共10小题）
1．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB＝300米，BC＝600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停
靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）
A．点A B．点B C．AB之间D．BC之间
【答案】A
【解析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程
之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．
【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×300+10×900=13500（米），
②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+10×600=15000（米），
③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×900+15×600=36000（米），
④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜300），则所有人的路程的
和是：30m+15（300-m）+10（900-m）=13500+5m＞13500，
⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜600），则总路程为30（300+n）+15n+10（600-n）=15000+35n＞13500．
∴该停靠点的位置应设在点A；
故选：A．
【点睛】考查了比较线段的长短，此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．2．已知村庄A和B分别在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN(假定河的两岸彼此平行，且桥与河岸互相垂直)，下列示意图中，桥的建造位置能使从村庄A经桥过河到村庄B 的路程最短的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图作AI∥MN，且AI=MN，连接BI，由两点之间线段最短可知此时从A点到B
点的距离最短，所以AM∥BN.
【详解】
解：如图，作AI∥MN，且AI=MN，连接BI，
∴四边形AMNI为平行四边形，
∴AM∥BN，此时从A点到B点距离最短.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了最短路径的问题，运用到了两点之间线段最短，平行四边形等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
3．某公司员工分别住在A、B、C、D四个住宅区，A区有20人，B区有15人，C区有5人，D区有30人，四个区在同一条直线上，位置如图所示．该公司的接送车打算在此间设
立一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设置在
（）
A．D区B．A区C．AB两区之间D．BC两区之间
【答案】D
【解析】根据题意分别计算停靠点分别在各点时员工步行的路程和，选择最小的即可解答．
【详解】解：∵当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：
；
20×800+15×400+5×200=23000m
当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×400+5×600+30×800=33000m；
当停靠点在AB两区之间时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：20×（400-x）+15x+5×（200+x）+30×（400+x）=（30x+21000）m；
当停靠点在BC两区之间时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：20×（400+x）+15x+5×（200-x）+30×（400-x）=21000m．
∴当停靠点在BC两区之间时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该
在BC两区之间．
故选：D．
【点睛】此题考查了比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键．要能把线段的概念在现
实中进行应用．
4．如图所示，从点A到点F的最短路线是( )
A．A→D→E→F B．A→C→E→F
C．A→B→E→F D．无法确定
【答案】C
【解析】认真分析图形,要求点A到点F的最短路线,其中AB,EF的线路是固定的,则需要确
定点B到点E之间的最短路线,由两点之间,线段最短可得,点B到点E之间BE最短.
【详解】解:由图中可以看出,从点A到点F,AB,EF是必须经过的路线,点B到点E的路线中BE最短,所以点A到点F的最短路线为A→B→E→F,
故答案选 C.
【点睛】本题主要考查了线段的性质，根据两点之间线段最短确定出点A到点F的最短路线是解题的关键．
5．如图，从A地到B地有①、②、③三条路线，每条路线的长度分别为l、m、n，则（）
A．l＞m＞n B．l=m＞n C．m＜n=l D．l＞n＞m
【答案】C
【解析】分析：根据两点间直线距离最短，认真观察图形，可知①③都是相当于走直角线，
故①③相等，②走的是直线，最短．
详解：由题意可得：∵从C到B地有①②③条路线可以走，每条路线长分别为l，m，n，则AC+AB=l＞BC
∴l=n＞m．
故选：C．
点睛：本题考查了生活中的平移现象，要求学生充分利用两点间线段距离最近．
6．如图，直线表示一条河，点
，
表示两个村庄，想在直线
的某点
处修建一个向，
供水的水站，现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设管道一定最短的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依据轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离即可．。