平面向量的应用学生版教师版合并版

平面向量的应用【常见考法】考点一 判断三角形的形状1．（2020·全国）点P 是ABC ∆所在平面上一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．（2018·全国高二课时练习）已知在ABC ∆中，,AB a AC b ==，且0a b ⋅<，则ABC ∆的形状为( )． A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形3．（2018·黑龙江青冈）已知O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形4．（2019·重庆）若ABC 内有一点O ,满足0OA OB OC ++=,且OA OB OB OC ⋅=⋅,则ABC 一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形考点二 三角形的面积（奔驰定理）1.（2019·恩施市第一中学）已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．22．（2019·四川涪城）如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且1255AP AB AC =+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比等于（ ）A ．15B ．12C ．25D ．13．已知O 是ABC 内部一点，0OA OB OC ++=，2AB AC ⋅=且∠BAC =60°，则OBC 的面积为（ ） A．3 B ．12 CD ．234．（2020·山东滨州.高三三模）已知点O 是ABC ∆内一点，且满足420,7AOB ABC S OA OB mOC S ∆∆++==，则实数m 的值为（ ） A ．4-B ．2-C ．2D ．45.P 是ABC ∆内一点，满足2340PA PB PC ++=，则::PBC PCA PAB S S S ∆∆∆=（ ） A ．4:3:2B ．2:3:4C ．111::432D ．111::234考点三 四心与平面向量1．（2020·内蒙古通辽）已知O 是平面上的一定点，、、A B C 是平面上不共线的三个动点，点P 满足OP OA =λ⎛⎫⎪++ ⎪ ⎪⎝⎭cos cos AB ACAC C AB B ，则动点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心2．（上海市七宝中学2020学年）已知O 是ABC ∆所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c++=++（其中P 是ABC ∆所在平面内任意一点），则O 点是ABC ∆的（ ）3．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，且满足0AB PC BC PA CA PB ⋅+⋅+⋅=，则点P 是ABC ∆的（ ） A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心4．平面内ABC ∆及一点O 满足,||||||||AO AB AO AC CO CA CO CBAB AC CA CB ==，则点O 是ABC ∆的( ) A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心考点四 平面向量与其他知识综合运用1．（2019·四川彭州中学）已知ABC 的重心为点P 3sin sin 0A PA B PB C PC ⋅+⋅+⋅=，则角B 为（ ） A ．5π12B ．π3C ．4π D ．6π2．（2020·黑龙江松北）如图，已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，3BD DC =，n E （*n N ∈）为AC 边上的一列点，满足11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+，其中实数列{}n a 中，0n a >，11a =，则{}n a 的通项公式为（ ）A ．1321n -⋅-B ．21n -C ．32n -D ．1231n -⋅-3．（2020·湖南雁峰.阳市八中高三其他（文））已知,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=（O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则224n m +的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．14．（2020·海南高三二模）设点G 是ABC ∆的重心，且满足2sin 3sin 2sin 0B AB A GA C GC ⋅+⋅+⋅=，则cos C （ ） A ．34B ．23C ．13D ．916【思维导图】【常见考法】考点一 判断三角形的形状1．（2020·全国）点P 是ABC ∆所在平面上一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形【答案】B【解析】点P 是ABC ∆所在平面上一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=， 则2PB PC PB PC PA -=+-，可得CB AB AC =+，即AB AC AC AB -=+， 等式AB AC AC AB -=+两边平方并化简得0AB AC ⋅=，AB AC ∴⊥， 因此，ABC ∆是直角三角形.故选：B.2．（2018·全国高二课时练习）已知在ABC ∆中，,AB a AC b ==，且0a b ⋅<，则ABC ∆的形状为( )． A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 【答案】A【解析】∵cos 0a b a b BAC ⋅=∠<，∴cos 0BAC ∠<∴90°<∠BAC <180°，故ABC ∆是钝角三角形． 答案为：A3．（2018·黑龙江青冈）已知O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】因为CB OB OC =-，AB OB OA =-，因为|||2|OB OC OB OC OA -=+-，所以||||CB AB AC =+， 因为CB AB AC =-，所以||||AB AC AB AC -=+， 由此可得以,AB AC 为邻边的平行四边形为矩形，所以2BAC π∠=，得ABC ∆的形状是直角三角形．4．（2019·重庆）若ABC 内有一点O ,满足0OA OB OC ++=,且OA OB OB OC ⋅=⋅,则ABC 一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形【答案】D【解析】因为OA OB OB OC ⋅=⋅，所以,所以,所以O 在AC的高线上，又0OA OB OC ++=，所以,设AC 的中点为D,所以,故O 在AC 的中线上,所以三角形一定是等腰三角形.选D.考点二 三角形的面积（奔驰定理）1.（2019·恩施市第一中学）已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】A 【解析】由题意，O 是'AB C ∆的重心，'2OB OB =，所以OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为12．故选A ． 2．（2019·四川涪城）如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且1255AP AB AC =+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比等于（ ）A ．15B ．12C ．25D ．1【答案】C【解析】连接CP 并延长交AB 于D ，∵P 、C. D 三点共线,∴AP AD AC λμ=+，且1λμ+=，设AB k AD =，结合1255AP AB AC =+，得255k AP AD AC =+， 由平面向量基本定理，解之得35λ=，3k =且25μ=，∴3255AP AD AC =+，可得25PD CD =，∵ABP ∆与ABC ∆有相同的底边AB ，高的比等于PD 与CD 之比，∴ABP ∆的面积与ABC ∆面积之比为25. 故选：C.3．已知O 是ABC 内部一点，0OA OB OC ++=，2AB AC ⋅=且∠BAC =60°，则OBC 的面积为（ ） AB ．12CD ．23【答案】A【解析】∵0OA OB OC ++=，∴OA OB OC +=-，∴O 为三角形的重心，∴OBC 的面积为ABC 面积的13，∵2AB AC ⋅=，∴cos 2AB AC BAC ⋅∠＝，∵60BAC ∠=︒，∴4AB AC ⋅=，ABC 的面积为1sin 2AB AC BAC ⋅∠=OBC 的面积为33，故选A ． 4．（2020·山东滨州.高三三模）已知点O 是ABC ∆内一点，且满足420,7AOB ABC S OA OB mOC S ∆∆++==，则实数m 的值为（ ） A ．4- B ．2-C ．2D ．4【答案】D【解析】由2OA OB mOC +=-得：12333mOA OB OC +=- 设3mOC OD -=，则1233OA OB OD += ,,A B D ∴三点共线 如下图所示：OC 与OD反向共线，0m >, 3OD mOC ∴= 3313mOD m m m CD ∴==++734AOB ABC D S OD m S m C ∆∆∴+=== 4m ⇒= 故选：D.5.P 是ABC ∆内一点，满足2340PA PB PC ++=，则::PBC PCA PAB S S S ∆∆∆=（ ） A ．4:3:2 B ．2:3:4C ．111::432D ．111::234【答案】B 【解析】P 是ABC ∆内一点，且满足2340PA PB PC ++=，∴3202PA PB PC ++=．延长PB 到1B ，使得132PB PB =，延长PC 到1C ，使得12PC PC =， 连结1PB 、1PC 、11B C ，则110PA PB PC ++=．P ∴是11AB C ∆的重心，设113PB C SS =，则1111APB APC PB C SSSS ===，211323PBC S S S ∆=⨯⨯=，12PCA S S ∆=，23PAB S S ∆=， 112::::2:3:4323PBC PCA PAB S S S S S S ∆∆∆∴==．故选：B ．考点三 四心与平面向量1．（2020·内蒙古通辽）已知O 是平面上的一定点，、、A B C 是平面上不共线的三个动点，点P 满足OP OA =λ⎛⎫⎪++ ⎪ ⎪⎝⎭cos cos AB ACAC C AB B ，则动点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．重心 B ．外心C ．垂心D ．内心【答案】C【解析】λ⎛⎫ ⎪-=+ ⎪ ⎪⎝⎭cos cos AB AC OP OA AC C AB B ， λ⎛⎫ ⎪=+⎪ ⎪⎝⎭cos cos AB ACAP AC C AB B ()cos cos cos cos cos cos BC AB B BC AC C BC AB BC ACBC AP AB B AC C AB B AC C πλλ⎛⎫⎛⎫-⋅⋅ ⎪ ⎪⋅=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0BC AP BC BCλ⋅=-+=所以⊥BC AP ，动点P 在BC 的高线上，动点P 的轨迹一定通过ABC 的垂心， 故选：C2．（上海市七宝中学2020学年）已知O 是ABC ∆所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c++=++（其中P 是ABC ∆所在平面内任意一点），则O 点是ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【解析】因为aPA bPB cPCPO a b c++=++则()a b c PO aPA bPB cPC ++=++,即aPO bPO cPO aPA bPB cPC ++=++ 移项可得0aPA aPO bPB bPO cPC cPO -+-+-= 即()()()0a PA PO b PB PO c PC PO -+-+-= 则0aOA bOB cOC ++=因为,,OB OA AB OC OA AC =+=+所以()()0OA AB aOA b c OA AC ++++=化简可得0OA AB OA aOA b b c c AC ++++=,即()A a B b OA b cAC c --++= 设i 为AB 方向上的单位向量,j 为AC 方向上的单位向量 所以AB ci =,ACb j =则()a b c OA bci bc j ++=--()()i j a b c OA bc -+++=所以()bcOA a b ci j =++-+则O 在BAC ∠的角平分线上 同理可知 O 在CBA ∠的角平分线上 因而O 为ABC ∆的内心 故选:B3．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，且满足0AB PC BC PA CA PB ⋅+⋅+⋅=，则点P 是ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．内心C ．垂心D ．重心【答案】B【解析】由题：0AB PC BC PA CA PB ⋅+⋅+⋅= 即：()()0AB PC BC PC CA CA PC CB ⋅+⋅++⋅+=，()0AB BC CA PC BC CA CA CB ++⋅+⋅+⋅=，()()1PC BC CA CA CB AB BC CA =-⋅+⋅++因为CA CB CABC+与角C 的角平分线共线，所以CA CB BC CA CA CB CA BC CA BC ⎛⎫⎪⋅+⋅=⋅⋅+ ⎪⎝⎭与角C 的角平分线共线， 所以PC 与角C 的角平分线共线，即点P 在C 的角平分线上，同理可得点P 在,A B 的角平分线上， 所以点P 是ABC ∆的内心. 故选：B4．平面内ABC ∆及一点O 满足,||||||||AO AB AO AC CO CA CO CB AB AC CA CB ==，则点O 是ABC ∆的( ) A ．重心 B ．垂心 C ．内心 D ．外心【答案】C【解析】平面内ABC ∆及一点O 满足||||AO AB AO ACAB AC =， 可得()0||||AB ACAO AB AC -=，所以O 在CAB ∠的平分线上， ||||CO CA CO CB CA CB =，可得：()0||||CA CBCO CA CB -=， 所以O 在ACB ∠的平分线上， 则点O 是ABC ∆的内心． 故选：C ．考点四 平面向量与其他知识综合运用1．（2019·四川彭州中学）已知ABC 的重心为点P 3sin sin 0A PA B PB C PC ⋅+⋅+⋅=，则角B 为（ ） A ．5π12B ．π3C ．4π D ．6π 【答案】D【解析】取BC 的中点D ，由ABC的重心为点P ，可得2AP PD =，又2PB PC PD +=，所以PA PB PC =--，()3sin sin 0A PB PC B PBC PC ⋅--+⋅+⋅=， 即()()3sin 3sinsin 0PB BA PC C A ⋅-+⋅-=，因为,PB PC 不共线，所以0sin 0B AC A -==⎪⎩，故sin B A C A B=⎧⎪⎨==⎪⎩， 所以()sin sin sin 22sin cos C A B B B B =+==，故2sin cos B B B =，又sin 0B ≠，所以cos 2B =， 因为()0,πB ∈，所以π6B =. 故选：D.2．（2020·黑龙江松北）如图，已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，3BD DC =，n E （*n N ∈）为AC 边上的一列点，满足11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+，其中实数列{}n a 中，0n a >，11a =，则{}n a 的通项公式为（ ）A ．1321n -⋅-B ．21n -C ．32n -D ．1231n -⋅-【答案】D 【解析】11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+，34n n n E D BD BE BC BE =-=-，n EnA BA BE =-，1193(33)()442n n n n a a BE BA a BC +∴-++=++()n E n N +∈为边AC 的一列点，1193331442n n n a a a +∴-++=++，化为：132n n a a +=+，即113(1)n n a a ++=+，∴数列{1}n a +是等比数列，首项为2，公比为3．1123n n a -∴+=⨯，即1231n n a -=⨯-，故选：D ．3．（2020·湖南雁峰.阳市八中高三其他（文））已知,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=（O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则224n m +的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1 【答案】B【解析】由2PA PB PO += 有点O 为线段AB 的中点,设()()1122,,,A x y P x y ,则()11,B x y -- ,所以21212121y y y y m n x x x x -+==-+， ,故()()()()2221212122212121y y y y y y mn x x x x x x +--==+-- ,由于点A,B,P 在双曲线上,所以222212121,144y y x x -=-= ,代入上式中,有()22212221414y y mn y y -==- ,所以2244n m mn +≥== ,故最小值为4.选B.4．（2020·海南高三二模）设点G 是ABC ∆的重心，且满足2sin 3sin 2sin 0B AB A GA C GC ⋅+⋅+⋅=，则cos C （ ） A ．34B ．23C ．13D ．916【答案】B【解析】因为点G 是ABC ∆的重心, 所以0GA GB GC ++=,因为2sin 3sin 2sin 0B AB A GA C GC ⋅+⋅+⋅=, 由正弦定理可得2320b AB a GA c GC ⋅+⋅+⋅=, 所以2()320b GB GA a GA c GC ⋅-+⋅+⋅=,即(32)220a b GA bGB cGC -++=,故2232b c a b ==-,则4,3c b a b ==, 则由余弦定理可得2222221629cos 42323b b ba b c C b ab b -+-===⨯⨯+. 故选:B考点五 平面向量在几何中最值1.（2020·浙江高三其他）已知AB 是半圆O 的直径，AB =2，等腰三角形OCD 的顶点C ､D 在半圆弧AB 上运动，且OC =OD ，∠COD =120°，点P 是半圆弧AB 上的动点，则PC PD ⋅的取值范围（ ）A ．33[,]44-B ．3[,1]4-C ．1[,1]2-D ．11[,]22-【答案】C【解析】以点O 为原点，AB 为x 轴,垂直于AB 的直线为y 轴建立直角坐标系，如下图所示，不妨取()1,0C，则12D ⎛- ⎝⎭，设(cos ,sin )([0,])P αααπ∈， ()11111cos ,sin cos sin cos sin +22226PC PD πααααααα⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[0,]απ∈，所以7+[,]666πππα∈，所以1sin +[,1]62πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以11sin +[,1]262πα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故选：C.2．（2020·湖南雨花 雅礼中学高三其他（理））已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，P 为对角线AC 上一点，则()PA PB PD ⋅+的最小值是（ ） A ．0B ．14-C ．12-D ．2-【答案】B【解析】作出图形如下图所示，()2+2222PA POPA PB PD PA PO PA PO ⎛⎫⎪⋅+=⋅≥-⋅≥- ⎪⎝⎭，而此时2+PA PO =所以()2+1224PA POPA PB PD ⎛⎫⎪⋅+≥-=- ⎪⎝⎭，当且仅当PA PO =时取等号，所以()PA PB PD ⋅+的最小值是14-，故选：B.3．（2019·武邑宏达学校高一月考）在ABC ∆中，26AB AC ==，2BA BC BA ⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内的一点，则当222PA PB PC ++取得最小值时，AP BC ⋅= A ．35B ．9-C ．7D ．25-【答案】B 【解析】2||||cos ||BA BC BA BC B BA ⋅=⋅=，||cos ||BC B BA ∴⋅=，CA AB ∴⊥，2CAB π∠=，以A 为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则(6,0),(0,3)B C ，设(,)P x y ，则222222222(6)(3)PA PB PC x y x y x y ++=++-+++-222231236453(2)(1)10x x y y x y ⎡⎤=-+-+=-+-+⎣⎦，所以当x =2，y =1时222PA PB PC ++取最小值， 此时(2,1)(6,3)9AP BC ⋅=⋅-=-. 故选B .4．（2020·四川省绵阳南山中学高三其他（理））如图，在平行四边形ABCD 中，π3BAD ∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM NCBC DCλ==，其中[]0,1λ∈，则AM AN ⋅的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]1,4 C ．[]2,5 D ．[]1,7【答案】C 【解析】因为BM NCBC DCλ==,所以BM BC λ=,NC DC λ=，所以AM AN ⋅=()()AB BC AD DN λ+⋅+=()()AB BC AD AB DC λλ+⋅+-=()()1AB AD AD AB λλ⎡⎤+⋅+-⎣⎦=()()411AB AD AB AD λλλλ⋅+-++-⋅=()()1411λλλλ+-++-=225λλ--+. 当0λ=时,AM AN ⋅取得最大值5; 当1λ=时,AM AN ⋅取得最小值2,AM AN ⋅的取值范围是[]2,5.本题选择C 选项.5．（2020·浙江）在矩形ABCD 中，24AB AD ==，P 为DC 上的动点，则PA PB PB AD →→→→⋅-⋅的最小值为（ ） A ．4 B ．2C ．1D ．0【答案】A【解析】以A 为坐标原点可建立如下图所示平面直角坐标系：则()0,0A ，()4,0B ，()4,2C ，()0,2D ，设(),2P x ，04x ≤≤，(),2PA x →∴=--，()4,2PB x →=--，()0,2AD →=， ()244448PA PB PB AD x x x x →→→→⋅-⋅=--++=-+∴， ∴当2x =时，PA PB PB AD →→→→⋅-⋅取得最小值4884-+=.故选：A .。