专题34 常用逻辑用语-高中数学经典错题深度剖析及针对训练 含解析 精品

【标题01】没能准确全面理解命题的概念

【习题01】判断下列语句是否是命题？(1)2008年5月12日在四川汶川县难道没有发生了里氏8.0特大级地震吗？(2)对2(1)0x -≤，有210x -<.

【经典错解】(1)(2)都不是命题.

【习题01针对训练】判断下列语句是否是命题？（1）请举起手来！（2）今天天气真好！（3）0x > ；（4）0a b >>,则ac bc >.

【标题02】混淆了逻辑联结中的“或”与日常生活中的“或”

【习题02】若命题p ：方程(2)(1)0x x +-=的根是2-，命题q ：方程(2)(1)0x x +-=的根是1，则命题“方程(2)(1)0x x +-=的根是2-或1”是__________________(填“真”或“假”)命题.

【经典错解】由条件易知命题p 与命题q 都是假命题，而命题“方程(2)(1)0x x +-=的根是2-或1”为“p ∨q ”，故就填假命题.

【详细正解】所判断命题应为真命题.根据一真“或”为真判断出命题为真命题.

【深度剖析】（1）经典错解混淆了逻辑联结中的“或”与日常生活中的“或”.（2）命题“方程(2)(1)0x x +-=的根是2-或1”中的“或”不是逻辑联结词，有“和”的意思.正确区分数学中的“或”与日常用语中的“或”的不同点.日常用语中的“或”，带有两者选择其一的意思.如：我暑假准备到海南或昆明旅游，意思是或去海南，或去昆明，绝没有两地都去的意思，如果两地都去，应说成：我准备暑假到海南和昆明旅游.逻辑联结词“或”，用在数学命题的分解与合成上，包含了三层：如0ab =包含了“0a =，0b ≠；或0a ≠，0b =；或0a =且0b =”.

【习题02针对训练】已知命题

p :所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中是真命题的是（ ）

A ．()q p ∨⌝

B ．

q p ∧ C ．()()q p ⌝∨⌝ D ．()()q p ⌝∧⌝

【标题03】“且”的否定错误 【习题03】写出命题“若22(1)(3)0x y -+-=，则1x =，且3y =”的逆否命题.

【经典错解】逆否命题：“若1x ≠，且3y ≠，则22(1)(3)0x y -+-≠”.

【详细正解】逆否命题为：“若1x ≠，或3y ≠，则22

(1)(3)0x y -+-≠”.

【习题03针对训练】对于以下判断：

（1）命题“已知R y x ∈,”，若2x ≠或3y ≠，则5x y +≠”是真命题.

（2）设()f x 的导函数为()f x '，若0()0f x '=，则0x 是函数()f x 的极值点.

（3）命题“R x ∈∀,0x e > ”的否定是：“R x ∈∃,0x e >”.

（4）对于函数(),()f x g x ，()()f x g x ≥恒成立的一个充分不必要的条件是min max ()()f x g x ≥.

其中正确判断的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．0

【标题04】对命题的否定和命题的否命题两者没有区别清楚

【习题04】把命题“全等三角形一定相似”写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.

【经典错解】原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.

逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.

否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.

逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.

【详细正解】原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.

逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.

否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.

逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.

【深度剖析】（1）经典错解错在对命题的否定和命题的否命题两者没有区别清楚.（2）命题的否定是对命题的条件和结论的同时否定，经典错解中对“一定”的否定把握不准，误认为“一定”的否定 是“不一定”，实际上“一定”的否定是“一定不”.在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因此否命题与逆否命题错了.

【习题04】a 和b 都是偶数的否定是： .

【标题05】考虑命题的充分性时没有经过严格的推导

【习题05】设命题甲为：两个实数a b 、满足4a b +<，命题乙为：两个实数a b 、满足2a <且2b <，那么( )

A ．甲是乙的充分但不必要条件

B ．甲是乙的必要但不充分条件

C ．甲是乙的充要条件

D ．甲是乙的既不充分也不必要条件

【经典错解】4222,2a b a b +<=+⇔<<,所以本题甲是乙的充要条件，所以选C .

【详细正解】（1）先考虑充分性，看4a b +<是否能推出2a <且2b <.可以举反例：

134-+<错误！未找到引用源。所以4a b +<不能推出2a <且2b <，所以甲是乙的非充分条件.（2）再考虑必要性，即看2a <且2b <是否能推出4a b +<.因为2a <且2b <，所以由不等式性质得

4a b +<，所以2a <且2b <能推出4a b +<，所以甲是乙的必要条件.综合（1）（2）得甲是乙的必要非充分条件，所以选B .

【习题05针对训练】若R y ,x ∈，则1≤y ,x 是12

2≤+y x 成立的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【标题06】判断含有否定概念的命题的充要条件问题方法选择不对

【习题06】 已知命题甲：4a b +≠, 命题乙:1a ≠且3b ≠，则命题甲是命题乙的 .

【经典错解】通过举例得到命题甲是命题乙的充分不必要条件.

【详细正解】（1）先考虑充分性，即看命题甲能否推出命题乙.由于命题甲能否推出命题乙等价于命题乙的否命题能否推出命题甲的否命题，所以可以考虑命题乙的否命题能否推出命题甲的否命题.命题乙的否命题为：1a =或3b =，命题甲的否命题为4a b +=.显然命题乙的否命题不能推出命题甲的否命题，如1,6a b == 时不能推出4a b +=.所以甲是乙的非充分条件.

（2）再考虑必要性，即看命题乙能否推出命题甲.由于命题乙能否推出命题甲等价于命题甲的否命题能否推出命题乙的否命题，所以可以考虑命题甲的否命题能否推出命题乙的否命题.

命题甲的否命题为4a b +=，命题乙的否命题为：1a =或3b =，.显然命题甲的否命题不能推出命题乙的否命题，如3,7a b ==时4a b +=,但是不能推出1a =或3b =.所以甲是乙的非必要条件.综合（1）（2）得甲是乙的非充分非必要条件.

【习题06针对训练】命题p ：

“1≠x 或3y ≠”是命题q ：“4≠+y x ”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分

C.充要

D.既不充分也不必要

【标题07】对含逻辑联结词命题的真假规律理解不清

【习题07】 已知命题p :方程210x mx ++=有两个不等的负根；命题q :方程244(2)10x m x +-+=无

实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围．

【经典错解】若方程2

10x mx ++=有两不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆0042m m 解得2m >，即命题p ：2m >. 若

方程244(2)10x m x +-+=无实根，则22

16(2)1616(43)0m m m ∆=--=-+<解得：13m <<.即q ：13m <<.