(完整版)数学归纳法知识点大全(综合)
数学归纳法知识点大全(综合)
数学归纳法数学归纳法是用于证明与正整数n有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法.在数学竞赛中占有很重要的地位.(1)第一数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果①n n0( n0 N 1.数学归纳法的基本形式)时，P(n)成立；②假设n k(k n0,k N)成立，由此推得n k 1时，P(n)也成立,那么，根据①②对一切正整数n n o时，P(n)成立.(2)第二数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果①当n n0( n0 N )时，P(n)成立；②假设n k(k n0,k N)成立，由此推得n k 1时，P(n)也成立,那么，根据①②对一切正整数n n0时，P(n)成立.2.数学归纳法的其他形式(1)跳跃数学归纳法6 1 / 7①当n 1,2,3, ,l 时，P(1),P(2), P(3), ,P(I)成立，②假设n k时P(k)成立，由此推得n k I时，P(n)也成立，那么，根据①②对一切正整数n 1时，P(n)成立.(2)反向数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果①P(n)对无限多个正整数n成立；②假设n k时，命题P(k)成立，则当n k 1时命题P(k 1)也成立，那么根据①②对一切正整数n 1时，P(n)成立.例如，用数学归纳法证明：；为非负实数，有辰莎/+衍:•+气”士)在证明中，由’I:真，不易证出I ■真；然而却很容易证出'■真，又容易证明不等式对无穷多个叮(只要；匚型的自然数)为真；从而证明，不等式成立.(3)螺旋式归纳法P(n), Q(n)为两个与自然数有关的命题，假如①P(nO)成立;②假设P(k) (k>nO)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出6 2 / 7P(k+1)成立；综合(1)( 2),对于一切自然数n ( >n0), P(n),Q(n)都成立；(4)双重归纳法设J是一个含有两上独立自然数八的命题.①与-对任意自然数—成立；②若由八…’，和-1成立，能推出1 - 1■'成立；根据(1)、( 2)可断定，「亠’对一切自然数汕吃均成立.3 •应用数学归纳法的技巧(1)起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n都成立，但命题本身对n 0也成立，而且验证起来比验证n 1时容易，因此用验证n 0成立代替验证n 1，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以•因而为了便于起步，有意前移起点. (2)起点增多：有些命题在由n k向n k 1跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点.(3)加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多.(4)选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设n k时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法6 3 / 7中的某一形式，灵活选择使用.(5)变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明.5.归纳、猜想和证明在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法. 不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明.不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法.从0以外的数字开始如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：第一步，证明当n=b时命题成立。
数学归纳法
A、1
B、1 a
C、1 a a2
D、1 a a2 a3
2、用数学归纳法证明： 1 1 1
1
24 46 68
2n (2n 2)
n 4(n
1)
时，从k到k＋1时左边需要增添的项为__1_______
4(k 1)(k 2)
3、用数学归纳法证明： 当n N时，1 2 22 23 25n1是31 的倍数，当n＝1时，原式为 _____________
7、用数学归纳法证明：
1 1 1 1 234
1 2n 1
n(n
N
, 且n
1）时，
不等式在n＝k 1时的形式是 ____________
1
1 2
1 3
1 4
1 2k 1
1 2k
1 2k 1
1 2k1 1
共有多少项呢？ 2k 个项
例1已知数列
1 ,1 , 1 , 1×4 4×7 7×10
,
1
则当n=k+1时,
12 + 22 + … +
k2
+
(k + 1)2
13 35
(2k 1)(2k +1) (2k +1)(2k + 3)
= k2 + k +
(k + 1)2
= k(k + 1)(2k + 3)+ 2(k + 1)2
4k + 2 (2k +1)(2k + 3)
2(2k +1)(2k + 3)
k
1
3k 1 (3k 1)(3k 4)
3k 2 4k 1 (3k 1)(3k 4)
数学归纳法相关知识点总结
数学归纳法相关知识点总结数学归纳法是一种常用且重要的证明方法，广泛应用于数学和计算机科学等领域。
它是建立在自然数的基础上，通过确定基本情况成立和对于任意情况的假设进行推理，来证明任意情况成立的方法。
以下是与数学归纳法相关的知识点总结。
一、数学归纳法的基本思想1.1 证明基本情况成立：通过直接验证第一个情况是否成立来确保归纳法的开始。
1.2 假设第k个情况成立：假设前k个情况均成立，即假设第k个情况成立。
1.3 推导第k+1个情况成立：根据第k个情况的成立，推导第k+1个情况的成立。
1.4 利用数学归纳法原理：基于第一个情况成立、第k个情况成立能推导第k+1个情况成立，所以根据数学归纳法原理，可以得出所有情况均成立。
二、数学归纳法的应用场景2.1 整数证明：证明与整数相关的等式或不等式。
2.2 数列证明：证明数列的性质，如递推关系、通项公式等。
2.3 集合证明：证明集合的性质，如集合的元素个数等。
2.4 图论证明：证明与图论相关的问题，如图的染色问题、路径问题等。
三、数学归纳法常见误区及注意事项3.1 遗漏基本情况：在使用数学归纳法时，必须验证基本情况的成立，否则无法进行后续推导。
3.2 假设过强：假设第k个情况成立时，注意不要假设第k-1个情况也成立，否则可能导致推导错误。
3.3 步骤不清晰：数学归纳法需要严谨的逻辑推导，每一步的推导必须明确、清晰，不能存在模棱两可的推理。
3.4 漏掉递归关系：在推导第k+1个情况成立时，需要明确并合理利用第k个情况的假设，也即递归关系的应用。
四、数学归纳法的拓展应用4.1 强归纳法：相比于数学归纳法只假设前一个情况成立，强归纳法假设前k个情况均成立。
4.2 双重归纳法：在证明数学命题时，先对整数n归纳，再对其他相关数值归纳。
4.3 递归定义证明：对于递归定义的数列或集合，可以通过数学归纳法来证明其性质。
五、数学归纳法在计算机科学中的应用5.1 证明算法的正确性：通过数学归纳法来证明算法在各个情况下的正确性。
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数学概括法数学概括法是用于证明与正整数n 相关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学比赛中据有很重要的地位．（1）第一数学概括法设 P( n) 是一个与正整数相关的命题，假如① n n0（ n0N 1．数学概括法的基本形式）时，P(n) 建立；②假定 n k(k n0 , k N ) 建立，由此推得n k 1时，P(n)也建立，那么，依据①②对全部正整数n n0时， P(n) 建立．（2）第二数学概括法设 P( n) 是一个与正整数相关的命题，假如①当 n n0（ n0N ）时， P(n) 建立；②假定 n k(k n, k N )建立，由此推得n k 1时， P(n) 也建立，那么，依据①②对全部正整数n n0时， P(n) 建立．2．数学概括法的其余形式（1）跳跃数学概括法①当 n 1,2,3, , l 时， P(1), P(2), P(3),, P(l ) 建立，②假定 n k 时P(k)建立，由此推得 n k l 时，P( n)也建立，那么，依据①②对全部正整数n 1 时，P(n)建立．（2）反向数学概括法设 P( n) 是一个与正整数相关的命题，假如① P( n) 对无穷多个正整数n 建立；②假定 n k 时，命题P(k)建立，则当 n k 1时命题P(k1) 也成立，那么依据①②对全部正整数n 1 时，P(n)建立．比如，用数学概括法证明：为非负实数，有在证明中，由真，不易证出真；但是却很简单证出真，又简单证明不等式对无量多个（只需型的自然数）为真；进而证明，不等式建立．（ 3）螺旋式概括法P（n）， Q（ n）为两个与自然数相关的命题，若是①P(n0)建立；②假定P(k) (k>n0) 建立，能推出Q(k) 建立，假定Q(k) 建立，能推出P(k+1) 建立；综合（ 1）（ 2） ,关于全部自然数n（>n0）， P(n),Q(n) 都建立；（ 4）两重概括法设是一个含有两上独立自然数的命题．①与对随意自然数建立；②若由和建立，能推出建立；依据（ 1）、（ 2）可判定，对全部自然数均建立．3．应用数学概括法的技巧（1）起点前移：有些命题对全部大于等于1 的正整数正整数n都建立，但命题自己对 n 0 也建立，并且考证起来比考证 n 1时简单，所以用考证 n 0建立取代考证 n 1，同理，其余起点也能够前移，只需前移的起点建立且简单考证就能够．因此为了便于起步，存心前移起点．（2）起点增加：有些命题在由 n k 向 n k 1跨进时，需要经其余特别情况作为基础，此时常常需要增补考证某些特别情况，所以需要适合增加起点．（3）加大跨度：有些命题为了减少概括中的困难，适合能够改变跨度，但注意起点也应相应增加．（4）选择适合的假定方式：概括假定为必定要拘泥于“假定 n k 时命题建立”不行，需要依据题意采纳第一、第二、跳跃、反向数学概括法中的某一形式，灵巧选择使用．（5）变换命题：有些命题在用数学概括证明时，需要引进一个协助命题帮助证明，或许需要改变命题马上命题一般化或增强命题才能知足概括的需要，才能顺利进行证明．5．概括、猜想和证明在数学中常常经过特例或依据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这类不严格的推理方法称为不完整概括法．不完整概括法得出的结论，只好是一种猜想，其正确与否，一定进一步查验或证明，常常采纳数学概括法证明．不完整概括法是发现规律、解决问题极好的方法．从 0 之外的数字开始假如我们想证明的命题其实不是针对所有自然数，而不过针对所有大于等于某个数字 b 的自然数，那么证明的步骤需要做以下改正：第一步，证明当 n=b 时命题建立。
数学归纳法(各种全)
解：设椭圆221mx ny +=，则4191m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得335835m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆方程为223813535x y +=.六、数学归纳法（一）数学归纳法应用关于正整数的命题的证明可以用数学归纳法.本部分的数学归纳法指的是第一数学归纳法.第一数学归纳法的思维方法是：命题在1n =成立的条件下，如果n k =时命题成立能够推出1n k =+时命题也成立，我们就可以下结论，对于任意正整数命题都成立.1.证明等式典型例题：证明222112(1)(21)6n n n n ++⋅⋅⋅+=++，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，左边211==，右边11(11)(21)16=⨯⨯++=，等式成立.(2)假设n k =时等式成立，即222112(1)(21)6k k k k ++⋅⋅⋅+=++.则当1n k =+时，左边22222112(1)(1)(21)(1)6k k k k k k =++⋅⋅⋅+++=++++1(1)(2)(23)6k k k =+++1(1)[(1)1][2(1)1]6k k k =+++++=右边，即1n k =+时等式成立.根据（1）（2）可知，等式对于任意n N *∈都成立.2.证明不等式典型例题 1.证明1111223n n+++⋅⋅⋅+<，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，左边1=，右边2=，不等式成立.（2）假设n k =时不等式成立，即1111223k k+++⋅⋅⋅+<，则当1n k =+时，左边11111122311k k k k =+++⋅⋅⋅++<+++，右边21k =+.要证左边<右边，536只需证12211k k k +<++，而此式2112(1)k k k ⇔++<+2121k k k ⇔+<+24(1)(21)01k k k ⇔+<+⇔<，显然01<成立，故1n k =+时不等式也成立.综上所述，不等式对任意n N *∈都成立.典型例题2.已知,0a b >，a b ≠，n N ∈，2n ≥，证明()22n nn a b a b ++<.证明：（1）当2n =时，2222222222()2442a b a ab b a b a b +++++=<=，不等式成立.（2）假设n k =时不等式成立，即()22k kk a b a b ++<，则当1n k =+时，左边1()2k a b ++11224k k k k k k a b a b a b a b ab +++++++<⋅=，因为11()()k k k ka b a b ab +++-+()()k k a b a b =--0>，所以11k k k k a b ab a b +++<+，则111142k k k k k k a b a b ab a b ++++++++<，即111()22k k k a b a b +++++<，故1n k =+时不等式也成立.由（1）（2）可知，不等式对任意n N ∈，2n ≥都成立.3.证明整除性问题典型例题：证明22nn ab -能被a b +整除，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，显然22a b -能被a b +整除.（2）假设n k =时命题成立，即22k k a b -能被a b +整除，则当1n k =+时，2(1)2(1)2(1)2(1)2222k k k k k k a b a b a b a b ++++-=-+-222222()()k k k a a b b a b =-+-，因为22a b -与22k k a b -都能被a b +整除，所以222222()()k kk a a b b a b -+-能被a b +整除，即1n k =+时命题也成立.综上所述，原命题成立.4.证明几何问题典型例题：求证平面内n 条直线的交点最多有1(1)2n n -个.证明：平面内n 条直线的交点最多，只需任意三条直线不过同一点，任意两条直线不平行，下面在此条件下证明.（1）当2n =时，显然两条直线只有1个交点，而1(1)12n n -=，命题成立.537（2）假设n k =时命题成立，即平面内k 条直线的交点有1(1)2k k -个，则当1n k =+即平面上有1k +条直线时，因为任意三条直线不过同一点，任意两条直线不平行，所以第1k +条直线与原来的k 条直线共有k 个交点.这时交点的总个数为1(1)2k k k-+1(1)[(1)1)]2k k =++-，即1n k =+时命题也成立.综上所述，原命题成立.（二）其他数学归纳法除了第一数学归纳法以外，还有一些特别的数学归纳法.1.第二数学归纳法典型例题:设n N *∈，且12cos x x α+=，证明：12cos n n x n x α+=.证明：（1）当1n =时，12cos x xα+=，命题成立.当2n =时，21()x x +2212x x =++24cos α=，得2212cos 2x xα+=，命题成立.(2)假设n k ≤(2)k ≥时命题成立，则当1n k =+时，有111k k x x +++11111()()()k k k k x x x x x x--=++-+2cos 2cos 2cos(1)k k ααα=⋅--2[cos(1)cos(1)]2cos(1)k k k ααα=++---2cos(1)k α=+，故1n k =+时不等式也成立.由（1）（2）可知，命题成立.2.反向数学归纳法典型例题:函数:f N N **→满足（1）(2)2f =，（2）对任意正整数m 、n ，()()()f mn f m f n =，（3）当m n >时，()()f m f n >；证明：()f n n =.证明：令2m =、1n =，则(2)(2)(1)f f f =，故(1)1f =.令2m =、2n =，则22(2)(2)(2)2f f f ==；令22m =、2n =，则323(2)(2)(2)2f f f ==；由第一数学归纳法易证(2)2mmf =.下面用反向数学归纳法证()f n n =.（1）由上面推证知，存在无数个形如2m的数使()f n n =成立.（2）假设1n k =+时成立，即(1)1f k k +=+.因为存在t N *∈满足1212t t k +<+≤，则122t t k +≤<.设2t k s =+，s N *∈，则1112(2)(21)(22)(2)(21)(2)2t t t t t t t t f f f f s f f +++=<+<+<⋅⋅⋅<+<⋅⋅⋅<-<=.所以1(21),(22),,(2),,(21)t t t t f f f s f +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-是区间1(2,2)t t +内的21t -个不同的自然数，538而区间1(2,2)t t +内恰好有21t -个不同的自然数121,22,,2,,21t t t t s +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-，于是11(21)21,(22)22,,(21)21t t t t t t f f f +++=++=+⋅⋅⋅-=-，即()f k k =.由反向数学归纳法知，对任意n N *∈都有()f n n =.3.跷跷板数学归纳法典型例题:n S 是数列{}n a 的前n 项和，设223n a n =，213(1)1n a n n -=-+，n N *∈，求证：2211(431)2n S n n n -=-+及221(431)2n S n n n =++.证明：设()P n ：2211(431)2n S n n n -=-+；()Q n ：221(431)2n S n n n =++.（1）当1n =时，111S a ==，则(1)P 成立.（2）假设n k =时，则()P k 成立，即2211(431)2k S k k k -=-+，则2212k k k S S a -=+=221(431)32k k k k -++21(431)2k k k =++，即()Q k 成立.当()Q k 成立时，21k S +=221k k S a ++21(431)3(1)12k k k k k =+++++21(1)[4(1)3(1)1]2k k k =++-++，即(1)P k +成立.由跷跷板数学归纳法可知，原命题成立.4.二重数学归纳法典型例题:设(,)f m n 满足(,)(,1)(1,)f m n f m n f m n ≤-+-，其中,m n N *∈，1mn >，且(,1)(1,)1f m f n ==，证明：12(,)m m n f m n C -+-≤.证明：设命题(,)P m n 表示(,)f m n .（1）112(,1)1m m f m C -+-==，012(1,)1n f n C +-==，即(,1)P m 、(1,)P n 成立.（2）假设(1,)P m n +、(,1)P m n +成立，即1(1,)m m n f m n C +-+≤，11(,1)m m n f m n C -+-+≤.则(1,1)(1,)(,1)f m n f m n f m n ++≤+++11111(1)(1)2m m m m m n m n m n m n C C C C -+++-+-++++-≤+==，即(1,1)P m n ++也成立.由二重数学归纳法知，原不等式成立.539。
数学归纳法总结
数学归纳法总结数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，通过对基础情况的证明和对后续情况的假设进行归纳推理，从而证明一般情况成立。
本文将从介绍数学归纳法的定义和原理出发，阐述数学归纳法的使用步骤和注意事项，最后总结其在数学领域的应用。
1. 数学归纳法的定义和原理数学归纳法是一种证明方法，其基本思想是通过两个步骤来证明某个命题的成立。
首先，证明命题在某个基础情况下成立，通常这个基础情况是一个整数。
其次，假设命题在某个情况下成立，然后通过数学推理证明命题在下一个情况下也成立。
2. 数学归纳法的使用步骤（1）第一步，证明基础情况。
首先，我们需要证明命题在基础情况下成立。
通常情况下，基础情况是一个整数，我们可以进行直接计算或推理，证明命题在该整数下成立。
（2）第二步，假设归纳假设。
假设在某个情况下，命题成立。
这个假设是数学归纳法步骤中最为关键的一步，通过该假设，我们可以推导出命题在下一个情况下的成立。
（3）第三步，证明归纳步骤。
通过使用数学推理，证明命题在下一个情况下成立。
这一步骤通常是利用归纳假设和基本推理规则进行推导。
3. 数学归纳法的注意事项（1）确保基础情况成立。
在进行数学归纳法证明时，必须确保命题在基础情况下成立，否则归纳法无法进行。
（2）确保归纳步骤正确。
在归纳步骤中，必须正确使用归纳假设和基本推理规则进行推导，以保证命题在后续情况下的成立。
（3）注意命题的递推关系。
数学归纳法证明的前提是命题在某情况下成立，则在下一个情况下也成立。
因此，需要确保命题的递推关系正确，以保证证明的有效性。
4. 数学归纳法在数学领域的应用数学归纳法在数学领域被广泛应用，特别是在证明整数的性质和定理时。
例如，证明任意正整数的和公式、整数的奇偶性、斐波那契数列等都可以通过数学归纳法进行证明。
此外，在计算机科学、概率论等领域中，数学归纳法也具有重要的应用价值。
5. 总结数学归纳法是一种常用的证明方法，通过对基础情况的证明和对后续情况的假设进行归纳推理，能够有效证明数学命题的成立。
高考数学归纳法知识点精华总结
数学归纳法(1)数学归纳法的基本形式设P (n )是关于自然数n 的命题，若 1°P (n 0)成立(奠基)2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立 典型题例示范讲解例3是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (an 2+bn +c ) 解 假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立，这时令n =1,2,3,有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=10113 3970)24(2122)(614c b a cb ac b a c b a于是，对n =1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n (n +1)2=)10113(12)1(2+++n n n n 记S n =1·22+2·32+…+n (n +1)2设n =k 时上式成立，即S k =12)1(+k k (3k 2+11k +10)那么S k +1=S k +(k +1)(k +2)2=2)1(+k k (k +2)(3k +5)+(k +1)(k +2)2=12)2)(1(++k k (3k 2+5k +12k +24)=12)2)(1(++k k ［3(k +1)2+11(k +1)+10］也就是说，等式对n =k +1也成立综上所述，当a =3,b =11,c =10时，题设对一切自然数n 均成立学生巩固练习1 已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A 30B 26C 36D 62 用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除，其中n ∈N *3 已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145 (1)求数列{b n }的通项公式b n ; (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论 4 设实数q 满足|q |＜1,数列{a n }满足 a 1=2,a 2≠0,a n ·a n +1=－q n ,求a n 表达式，又如果lim ∞→n S 2n ＜3,求q 的取值范围参考答案1 解析 ∵f (1)=36,f (2)=108=3×36,f (3)=360=10×36 ∴f (1),f (2),f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除 证明 n =1,2时，由上得证，设n =k (k ≥2)时， f (k )=(2k +7)·3k +9能被36整除，则n =k +1时， f (k +1)－f (k )=(2k +9)·3k +1(2k +7)·3k =(6k +27)·3k －(2k +7)·3k=(4k +20)·3k =36(k +5)·3k －2(k ≥2) ⇒f (k +1)能被36整除∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36 答案 C2 证明 (1)当n =1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n =k 时，42k +1+3k +2能被13整除，则当n =k +1时， 42(k +1)+1+3k +3=42k +1·42+3k +2·3－42k +1·3+42k +1·3 =42k +1·13+3·(42k +1+3k +2)∵42k +1·13能被13整除，42k +1+3k +2能被13整除 ∴当n =k +1时也成立由①②知，当n ∈N *时，42n +1+3n +2能被13整除 3 (1)解 设数列{b n }的公差为d ,由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=311452)110(10101111d b d b b ,∴b n =3n －2 (2)证明 由b n =3n －2知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n ) =log a ［(1+1)(1+41)…(1+ 231-n )］而31log a b n +1=log a 313+n ,于是，比较S n 与31log a b n+1⇔比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小 取n =1，有(1+1)=33311348+⋅=> 取n =2，有(1+1)(1+33312378)41+⨯=>>推测 (1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n (*) ①当n =1时，已验证(*)式成立②假设n =k (k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41)…(1+231-k )＞313+k则当n =k +1时，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k3131323+++=k k k333222333331)1(343)23(13130)13(49)13()13)(43()23()43()131323(++=+>+++∴>++=+++-+=+-+++k k k k k k k k k k k k k k k 31)1(3)1311)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k 从而,即当n =k +1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立于是，当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1,当 0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n+14 解 ∵a 1·a 2=－q ,a 1=2,a 2≠0,∴q ≠0,a 2=－29,∵a n ·a n +1=－q n ,a n +1·a n +2=－q n+1两式相除，得qa a n n 12=+,即a n +2=q ·a n 于是，a 1=2,a 3=2·q ,a 5=2·q n …猜想 a 2n +1=－21q n(n =1,2,3,…)综合①②，猜想通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时时下证 (1)当n =1,2时猜想成立(2)设n =2k －1时，a 2k －1=2·q k －1则n =2k +1时，由于a 2k +1=q ·a 2k －1∴a 2k +1=2·q k 即n =2k －1成立 可推知n =2k +1也成立 设n =2k 时，a 2k =－21q k,则n =2k +2时，由于a 2k +2=q ·a 2k ,所以a 2k +2=－21q k+1,这说明n =2k 成立，可推知n =2k +2也成立 综上所述，对一切自然数n ,猜想都成立这样所求通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时当时当S 2n =(a 1+a 3…+a 2n －1)+(a 2+a 4+…+a 2n ) =2(1+q +q 2+…+q n -1)－21(q +q 2+…+q n ) )24)(11()1()1(211)1(2q q q q q q q q n n n ---=--⋅---=由于|q |＜1,∴n n nn S q 2lim ,0lim ∞→∞→=故=)24)(11(qq q n --- 依题意知)1(24q q--＜3,并注意1－q ＞0,|q |＜1解得－1＜q ＜0或0＜q ＜52Ⅱ、示范性题组：例1. 已知数列223·11·8，…，22)12(·)12(·8+-n n n ，…。
数学归纳法相关知识总结
数学归纳法相关知识总结数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，用于证明某种性质对于所有自然数成立。
它是数学推理和证明的重要基础，具有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将对数学归纳法的基本概念、步骤以及一些常见的应用进行总结和讨论。
一、数学归纳法的基本概念数学归纳法基于自然数的递增性质，通过证明某个性质在第一个自然数上成立，并证明该性质在一个自然数成立时也在下一个自然数上成立，从而得出该性质对于所有自然数成立的结论。
二、数学归纳法的步骤数学归纳法一般分为三个步骤：基础步骤、归纳步骤和归纳假设。
1. 基础步骤：首先证明当n等于某个确定的值时，所要证明的性质成立。
这个确定的值通常是第一个自然数1或者0。
2. 归纳步骤：假设当n等于k时，所要证明的性质成立。
然后证明当n等于k+1时，所要证明的性质也成立。
在归纳步骤中，对于任意一个自然数k，只需要证明性质在k+1上成立即可。
3. 归纳假设：在归纳步骤中，我们假设当n等于k时，所要证明的性质成立。
这个假设是数学归纳法的关键，通过它我们可以得出当n等于k+1时，所要证明的性质成立的结论。
三、数学归纳法的应用1. 数列的性质证明：数学归纳法常用于证明数列的性质。
例如，我们可以通过数学归纳法证明斐波那契数列的递推公式。
假设当n=k时，斐波那契数列的递推公式成立，即F(k) = F(k-1) + F(k-2)。
然后证明当n=k+1时，递推公式也成立，即F(k+1) = F(k) + F(k-1)。
通过数学归纳法，我们可以证明递推公式对所有自然数成立。
2. 数学恒等式的证明：数学归纳法也可以应用于证明一些数学恒等式。
例如，我们可以通过数学归纳法证明1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
首先，在n=1时，等式左边为1，右边为1(1+1)/2，两边相等成立。
然后，假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+...+k = k(k+1)/2。
接着证明当n=k+1时，等式也成立，即1+2+3+...+k+(k+1) = (k+1)(k+1+1)/2。
数学归纳法-高中数学知识点讲解
数学归纳法
1．数学归纳法
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0 的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0 时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1 时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，
n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k 命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0 并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k 时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1 时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
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《数学归纳法》 知识清单
《数学归纳法》知识清单数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的重要方法。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开一系列看似复杂的数学谜题的大门。
一、数学归纳法的基本原理想象有一列无限长的多米诺骨牌，我们想要证明所有的骨牌都会倒下。
首先，我们需要保证第一张骨牌能够倒下，这是基础。
然后，我们要证明的是，只要任意一张骨牌倒下，那么它后面紧挨着的那张骨牌也一定会倒下。
当这两个条件都满足时，我们就可以确定所有的骨牌都会倒下。
数学归纳法的原理也是如此。
第一步，我们要证明当 n 取第一个值n₀（通常 n₀＝ 1）时，命题成立，这被称为“基础步骤”。
第二步，假设当 n ＝ k（k ≥ n₀，k 为自然数）时命题成立，然后证明当 n ＝ k ＋1 时命题也成立，这被称为“归纳步骤”。
二、基础步骤的重要性基础步骤就像是大厦的基石，如果基础不牢固，整个证明就会摇摇欲坠。
在很多问题中，直接验证n ＝1 时命题的正确性相对较为简单。
但也有一些情况，可能需要从n ＝0 或者其他特定的起始值开始验证。
例如，证明“1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2n 1) ＝n²”这个命题。
当 n ＝ 1 时，左边是 1，右边是 1²＝ 1，等式成立，基础步骤得以完成。
三、归纳步骤的关键归纳步骤是数学归纳法的核心部分。
在这一步中，我们要利用假设n ＝ k 时命题成立这个条件，来推导 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
还是以“1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2n 1) ＝n²”为例。
假设当 n ＝ k 时，1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＝ k²成立。
那么当 n ＝ k ＋ 1 时，左边变为 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＋（2(k ＋ 1) 1)，利用假设，可将其化简为 k²＋（2k ＋ 1) ＝（k ＋ 1)²，从而证明了 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
四、数学归纳法的应用1、证明数列的通项公式比如证明等差数列的通项公式 an ＝ a1 ＋（n 1)d。
完整版初中数学知识点归纳总结精华版
初中数学知识点归纳总结一元一次方程1.概念：含有一个未知数，未知数的最高次数为1，这样的方程叫一元一次方程。
2.形式：ax + b = 0（a、b是常数，且a≠0）3.解法：移项、合并同类项、化简系数二元一次方程1.概念：含有两个未知数，未知数的最高次数为1，这样的方程叫二元一次方程。
2.形式：ax + by = c（a、b、c是常数，且a、b≠0）3.解法：消元法、代入法、行列式法一元一次不等式1.概念：含有一个未知数，未知数的最高次数为1，这样的不等式叫一元一次不等式。
2.形式：ax > b（a、b是常数，且a≠0）3.解法：同解一元一次方程，注意不等号的方向4.概念：分式是指形如a/b的表达式，其中a、b是整式，且b≠0。
5.性质：分式的分子、分母同时乘以（或除以）同一个非零整式，分式的值不变。
6.运算：加减乘除、分式的乘方点、线、面1.点：没有长度、宽度、高度的物体。
2.线：只有长度，没有宽度、高度的物体。
3.面：只有长度和宽度，没有高度的物体。
直线方程1.点斜式：y - y1 = k(x - x1)（k是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一点）2.截距式：y = kx + b（k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距）三角形1.概念：由三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫三角形。
2.性质：三角形的内角和为180°，三角形的对边相等。
3.分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形四边形1.概念：由四条线段首尾顺次连接所组成的图形叫四边形。
2.性质：四边形的内角和为360°，四边形的对边相等。
3.分类：矩形、平行四边形、梯形、菱形4.概念：平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合叫圆。
5.性质：圆的半径相等，圆心到圆上任意一点的距离相等。
6.公式：圆的周长C = 2πr，圆的面积S = πr²概率与统计1.概念：事件发生的可能性叫概率。
2.求法：列举法、树状图法、列表法3.概念：统计学是研究数据收集、处理、分析、解释的科学。
数学知识点归纳总结(精华版)
第一章 有理数考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：32,7，3π+8，sin60o 。
第二章 整式的加减考点一、整式的有关概念 （3分）1、单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2314-，这种表示就是错误的，应写成b a 2313-。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如c b a 235-是6次单项式。
考点二、多项式 （11分）1、多项式几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
2、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
第三章 一元一次方程考点一、一元一次方程的概念 （6分）1、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项。
第四章 图形的初步认识考点一、直线、射线和线段 （3分） 1、点和直线的位置关系有线面两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。
②点在直线外，或者说直线不经过这个点。
2、线段的性质（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。
也可简单说成：两点之间线段最短。
（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。
（3）线段的中点到两端点的距离相等。
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
3、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
高中数学讲义：数学归纳法
数学归纳法一、基础知识：1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设n k =成立，再结合其它条件去证1n k =+成立即可。
证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N =³Î成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ³Î时，命题均成立3、第一归纳法要注意的地方：（1）数学归纳法所证命题不一定从1n =开始成立，可从任意一个正整数0n 开始，此时归纳验证从0n n =开始（2）归纳假设中，要注意0k n ³，保证递推的连续性（3）归纳假设中的n k =，命题成立，是证明1n k =+命题成立的重要条件。
在证明的过程中要注意寻找1n k =+与n k =的联系4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n k =命题成立时，可用的条件只有n k =，而不能默认其它n k £的时依然成立。
第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设n k £，命题均成立，然后证明1n k =+命题成立。
可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N £³Î成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ³Î时，命题均成立二、典型例题例1：已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，设n S 是它的前n 项和，求证：131n n S n S n++£思路：根据等比数列求和公式可化简所证不等式：321n n ³+，n k =时，不等式为321k k ³+；当1n k =+时，所证不等式为1323k k +³+，可明显看到n k =与1n k =+中，两个不等式的联系，从而想到利用数学归纳法进行证明证明：()11311n nn a q S q -==--，所证不等式为：1313131n n n n+-+£-()()()1313131n n n n +\-£+-1133331n n n n n n n ++Û×-£×+--321n n Û³+，下面用数学归纳法证明：（1）验证：1n =时，左边=右边，不等式成立（2）假设()1,n k k k N =³Î时，不等式成立，则1n k =+时，()()133332163211k k k k k +=׳+=+>++所以1n k =+时，不等式成立n N *\"Î，均有131n n S n S n++£小炼有话说：数学归纳法的证明过程，关键的地方在于寻找所证1n k =+与条件n k =之间的联系，一旦找到联系，则数学归纳法即可使用例2（2015，和平模拟）：已知数列{}n a 满足0n a >，其前n 项和1n S >，且()()112,6n n n S a a n N *=++Î（1）求数列{}n a 的通项公式（2）设21log 1n n b a æö=+ç÷èø，并记n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：233log ,2n n a T n N *+æö>Îç÷èø解：（1）2632n n n S a a =++①()21116322,n n n S a a n n N *---=++³Î②①-②可得：()222211116333n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----=-+-Þ+=-0n a >Q 所以两边同除以1n n a a -+可得：13n n a a --={}n a \是公差为3的等差数列()131n a a n \=+-，在2632n n n S a a =++中令1n =可得：211116321S a a a =++Þ=（舍）或12a =31n a n \=-（2）思路：利用（1）可求出n b 和n T ，从而简化不等式可得：33633225312n n n +æö×××>ç÷-èøL ，若直接证明则需要进行放缩，难度较大。
2024高考数学数学归纳法知识点整理
2024高考数学数学归纳法知识点整理数学归纳法是高中数学中的重要概念和解题方法之一。
它是一种推理方法，用于证明一些关于整数或正整数的性质。
在高考数学中，对于数学归纳法的理解和运用都是必备的知识点。
本文将整理归纳了2024年高考数学数学归纳法的知识点，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
1. 数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种证明方法，基本思想是：首先证明当n=1时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立。
这样，就可以通过递推的方式证明命题对于所有正整数都成立。
2. 数学归纳法的三个步骤数学归纳法主要包含三个步骤：2.1 基础步骤（或称初始步骤）首先，我们需要证明当n=1时命题成立。
这是数学归纳法的基础，也是推理的起点。
2.2 归纳步骤（或称归纳假设）假设当n=k时命题成立，我们需要证明当n=k+1时命题也成立。
这是数学归纳法的关键，通过这一步骤我们可以建立起命题成立的递推关系。
2.3 归纳结论在经过归纳步骤后，我们可以得出结论：对于所有大于等于1的正整数n，命题都成立。
这是数学归纳法的最终目标，通过这一步骤我们将命题的正确性扩展到了所有正整数上。
3. 数学归纳法的应用数学归纳法在高考数学中有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景：3.1 证明数列的性质我们可以使用数学归纳法证明某个数列的性质。
以等差数列为例，假设我们已知当n=k时等差数列的某个性质成立，通过归纳步骤可以推导出当n=k+1时该性质也成立。
3.2 证明数学等式数学归纳法也可以用来证明某些数学等式的成立。
例如，我们可以使用数学归纳法证明等式1+2+...+n=n(n+1)/2。
3.3 证明不等式的性质对于一些数学不等式，我们也常常使用数学归纳法进行证明。
例如，证明2^n > n^2对于所有大于等于5的正整数n成立。
4. 数学归纳法的注意事项在使用数学归纳法时，需要注意以下几个方面：4.1 对于基础步骤的证明要充分，不能遗漏。
数学归纳法高中知识点总结
数学归纳法高中知识点总结数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，它在高中数学中也是一个重点知识点。
在本文中，将对数学归纳法的概念、原理以及具体应用进行总结。
希望通过本文的阐述，能够帮助大家更好地理解和掌握数学归纳法的相关知识。
一、概念和原理数学归纳法是一种用于证明某个命题对于所有自然数都成立的方法。
它的基本思想是：首先证明当n=m时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，从而可以得出结论：对于任意自然数n，命题都成立。
数学归纳法的推理过程分为两步：归纳基础和归纳步骤。
归纳基础是证明当n=m时命题成立，通常情况下令m=1或m=0。
归纳步骤是证明当n=k+1时，命题也成立。
二、具体应用1. 证明数学等式或不等式的成立数学归纳法可以用来证明一些与自然数有关的等式或不等式的成立。
具体的做法是，首先证明当n=m时命题成立，再假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立，从而得出结论：对于任意自然数n，命题都成立。
例如，我们要证明1+2+3+...+n = n(n+1)/2对于任意正整数n成立。
首先当n=1时，显然等式两边相等。
然后假设当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
我们需要证明当n=k+1时等式也成立。
根据归纳步骤，易知1+2+3+...+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。
因此，通过数学归纳法，我们可以证明该等式对于任意正整数n成立。
2. 证明命题关于自然数集的成立数学归纳法还可以用于证明一些命题关于自然数集的成立。
通常情况下，我们需要在归纳步骤中利用归纳假设来进行推理。
例如，我们要证明命题P(n)：1+3+5+...+(2n-1) = n^2对于任意正整数n成立。
首先当n=1时，命题显然成立。
然后假设当n=k时命题成立，即1+3+5+...+(2k-1) = k^2。
我们需要证明当n=k+1时命题也成立。
根据归纳步骤，易知1+3+5+...+(2(k+1)-1) = (k+1)^2。
数学全部知识点归纳
数学全部知识点归纳一、数与代数。
1. 整数。
- 整数的认识。
- 自然数：0、1、2、3……用来表示物体个数的数。
- 整数包括正整数、0和负整数。
- 整数的运算。
- 加法：把两个或多个数合并成一个数的运算。
- 减法：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，是加法的逆运算。
- 乘法：求几个相同加数和的简便运算。
- 除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，是乘法的逆运算。
- 运算顺序：先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的。
2. 小数。
- 小数的认识。
- 小数由整数部分、小数点和小数部分组成。
- 小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
- 小数的运算。
- 小数加减法：小数点对齐，然后按照整数加减法的方法进行计算。
- 小数乘法：先按照整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
- 小数除法：除数是整数时，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；除数是小数时，先把除数转化为整数，再按照除数是整数的除法进行计算。
3. 分数。
- 分数的认识。
- 分数表示把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数。
- 分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数。
- 分数的运算。
- 分数加减法：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。
- 分数乘法：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
- 分数除法：除以一个数（0除外）等于乘以这个数的倒数。
4. 百分数。
- 表示一个数是另一个数的百分之几的数。
- 百分数与分数、小数的互化：- 百分数化小数：去掉百分号，小数点向左移动两位。
- 小数化百分数：小数点向右移动两位，加上百分号。
- 百分数化分数：先把百分数写成分母是100的分数，再化简。
- 分数化百分数：先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再化成百分数。
(完整版)初中数学知识点归纳总结(精华版)
(完整版)初中数学知识点归纳总结(精华版)【完整版】初中数学知识点归纳总结（精华版）一、数的性质与运算1. 自然数与整数自然数是大于等于0的整数，而整数包括正整数、负整数和0。
2. 有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。
3. 实数实数包括有理数和无理数，可以用数轴表示。
4. 数的分类与运算规律数可以分为正数、负数和零，对于加法、减法、乘法和除法，都有相应的运算法则和运算规律。
二、代数表达式与简单方程1. 代数表达式代数表达式是用数、字母和运算符号表示的数学式子。
2. 同类项与合并同类项同类项具有相同的字母部分和相同的指数，可以合并同类项简化代数表达式。
3. 方程与解方程方程是含有未知数的等式，解方程就是求出使等式成立的未知数的值。
三、平面图形与坐标系1. 点、直线、线段与射线点是没有长度、宽度和高度的，直线是由无穷多个点连在一起的路径，线段是在两个点之间的部分，射线是一个起点固定的直线段。
2. 角与三角形角是由两条射线共享一个公共起点形成的，三角形是由三条线段相交形成的，有等边三角形、等腰三角形和直角三角形等。
3. 坐标系与坐标坐标系由横纵两条相互垂直的线段组成，坐标是表示一个点在坐标系中位置的数对。
四、比例与相似1. 比例和比例的性质比例是两个等式之间的比较关系，其中有比的前项和比的后项，比例具有相等的比值。
2. 类比与相似类比是指两个或多个比例关系相同的比，相似是指形状相似，但尺寸不同的图形。
3. 相似三角形与比例定理相似三角形的对应角相等，对应边成比例，有相似三角形的比例定理可以解决各种相关问题。
五、数与代数1. 分式与整式分式是由分子和分母构成的，整式则不包含分式。
2. 一元二次方程与解方程一元二次方程是最高次项的次数为2的一元方程，可以使用求根公式求解。
六、函数与图象1. 函数的概念与函数的图象函数是一个将定义域中的每个元素映射到值域中唯一元素的关系，函数的图象可以表示函数各点的对应关系。
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数学归纳法
数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位．
（1）第一数学归纳法
设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果
① 0n n =（N n ∈01．数学归纳法的基本形式）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立．
（2）第二数学归纳法
设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果
①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立；
②假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立．
2．数学归纳法的其他形式
（1）跳跃数学归纳法
①当l n ,,3,2,1 =时，)(,),3(),2(),1(l P P P P 成立，
②假设k n =时)(k P 成立，由此推得l k n +=时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立．
（2）反向数学归纳法
设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果
① )(n P 对无限多个正整数n 成立；
②假设k n =时，命题)(k P 成立，则当1-=k n 时命题)1(-k P 也成立，那么根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立． 例如，用数学归纳法证明： 为非负实数，有
在证明中，由
真，不易证出 真；然而却很容易证出 真，又容易证明不等式对无穷多个 （只要
型的自然数）为真；从而证明
，不等式成立． （3）螺旋式归纳法 P （n ），Q （n ）为两个与自然数 有关的命题，假如
①P(n0)成立；
②假设 P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立； 综合（1）（2）,对于一切自然数n （>n0），P(n),Q(n)都成立；
（4）双重归纳法
设
是一个含有两上独立自然数 的命题． ①
与 对任意自然数 成立； ②若由 和 成立，能推出 成立；
根据（1）、（2）可断定，
对一切自然数 均成立． 3．应用数学归纳法的技巧
（1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n 都成立，但命题本身对0=n 也成立，而且验证起来比验证1=n 时容易，
因此用验证0=n 成立代替验证1=n ，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点．
（2）起点增多：有些命题在由k n =向1+=k n 跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点．
（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多．
（4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设k n =时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用．
（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明．
5．归纳、猜想和证明
在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法． 从0以外的数字开始
如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b 的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：
第一步，证明当n=b时命题成立。
第二步，证明如果n=m(m ≥b)成立，那么可以推导出n=m+1也成立。
用这个方法可以证明诸如“当n≥3时，n2>2n”这一类命题。
只针对偶数或只针对奇数
如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：
奇数方面：
第一步，证明当n=1时命题成立。
第二步，证明如果n=m 成立，那么可以推导出n=m+2也成立。
偶数方面：
第一步，证明当n=0或2时命题成立。
第二步，证明如果
n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。
递降归纳法
数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。
对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题，如果对一般的n 比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,...,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的
n=0,1,2,...,m，原命题均成立。
（二）第二数学归纳法：
对于某个与自然数有关的命题P(n），
（1）验证n=n0时P(n）成立；
（2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。
（三）倒推归纳法（反向归纳法）：
（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；
（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立，综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立；
（四）螺旋式归纳法
对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n），
（1）验证n=n0时P(n）成立；
（2）假设P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假设Q(k）成立，能推出P(k+1）成立；
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。