复系数和实系数多项式

所以 上一元多项式的标准分解式为
m
r
∏ ∏ f ( x=) d ( x − ai )li ( x2 + bj x + c j )hj
=i 1=j 1
其中
ai
∈

且两两互异,
li
是正整数
(i
=
1,
2, ,
m);
bj ,cj ∈ ,
hj
是正整数,
b
2 j
− 4c j
<0
且 x2
+ bj x + cj
(
1 ci
)=
0.
又 c1,c2 ,,cn 非零且两两互异,所以 g(x)为所求.
5.6 复系数和实系数多项式
例2 设 f ( x)∈ [ x], 对于任意的 c ∈ , f (c)∈ .
求证: f ( x)∈ [ x].
证明 设 f ( x=) an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 , 其中
5.6 复系数和实系数多项式
引理 设 f ( x=) an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 ∈ [ x]. 若a + bi(b ≠ 0;a,b ∈ ) 是 f(x) 的根, 则 a − bi 也 是它的根.
证明 令 p( x) = ( x − (a+bi))( x − (a − bi)) = x2 − 2ax + (a2 + b2 ) ∈ [ x]
ai ∈ (i = 0,1,,n). 我们要证明ai ∈ (i = 0,1,,n)
事实上, 设
Байду номын сангаас

an an
1n 2n
+ +
an−11n−1 an−1 2n−1
++
a11 +
a0
=b1
+ + a1 2 + a0 =b2

an (n + 1)n + an−1(n + 1)n−1 + + a1(n + 1) + a0 =bn+1
由题设,bi ∈ =(i
1,
2, ,
n
+
1).
视
a0 ,a1,,an
为未知量,得到n+1元一次非齐次线性方程组,
系数矩阵的行列式是Vander Monde行列式,
其值非零.根据Cramer法则, 方程有唯一解,
且解是系数矩阵中的元素和b1,b2 ,,bn+1 经过
实数的四则运算得到,
ai
∈
在
F
中有
n
个根 c1,c2 ,,cn ,
即
f
(x)
=( x
− c1 )( x
−
c2
)(
x
−
cn ),
则
∑ c n i=1 i
=
−an−1 ,
∑ c c 1≤i< j≤n i j = an−2 ,
(2)
∑ c c c 1≤i< j<k≤n i j k = −an−3 ,
c1c2 ...cn = (−1)n a0
两
∑ ∑ 两互素(
j
=
1,
m
2, ,r)， =i
1= li + 2 rj
1 hj
= deg f ( x).
5.6 复系数和实系数多项式
例1 设f ( x=) an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 的n个互
异的非零根为 c1,c2 ,,cn ,
求以
1 c1
,
1 c2
则 p(x) 是实数域上不可约多项式. 因 p(x) 与 f(x) 在复数域上有公共根a+bi, 因此 p(x)|f(x), 故 a-bi 是 f(x) 的根.
5.6 复系数和实系数多项式
定理 实系数不可约多项式或为一次或为形如ax2 + bx + c
的二次多项式, 其中b2 − 4ac < 0 .
5.6 复系数和实系数多项式
(续)
an an
1n 2n
+ +
an−1 1n−1 an−1 2n−1
++
a11 +
a0
= b1
+ + a1 2 + a0 = b2

an (n + 1)n + an−1 (n + 1)n−1 + + a1 (n + 1) + a0 = bn+1
第五章 多项式
5.6 复系数和实系数多项式
5.6 复系数和实系数多项式
定理(代数学基本定理) 每个 上次数大于零的 多项式在 至少有一个根.
5.6 复系数和实系数多项式
定理 上一元n次多项式 f(x) 在 中恰有n个复
根(重根按重数计算).
f ( x) = c( x − a1 )e1 ( x − a2 )e2 ( x − am )em (1)
,,
1 cn
为根
的多项式.
解 因0=
f (ci )=
ancin
+
an−1cin−1
++
a1ci
+
a0 且ci
≠
0,
所以 0
=
c−n i
f
(ci )
=
an
+
an−1ci−1
++
a c−(n−1) 1i
+
a0c
−
i
n
,
令 g( x=)
a0 xn
+
a1 xn−1
++
an−1 x
+
an ,
则
g
其中 ai ∈ 且两两互异, ei > 0(i = 1,2,, m),
且
e1
+
e2
++
em
=n.
式(1)称为 上多项式的标准分解式.
5.6 复系数和实系数多项式
定理(Vieta定理) 若在数域 F 上多项式
f ( x) = xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 ,
(i
= 0,1, ,
n).
5.6 复系数和实系数多项式
小结 (1) 复系数多项式 不可约因式、标准分解式 (2) 实系数多项式 复根成对出现、不可约因式、标准分解式