粘性流体力学第七次作业

二维柱坐标下的 N-S 方程为
rv u r 0 r z u u 1 p 2u 1 u 2u v u ( 2 ) r z z r r r z 2 v v v 1 p 2v 1 v 2v v u ( 2 ) r z r r r r z 2 r 2
u y U u y 0
y
(1.1)
2u y 2
0
y
解得 a 1, b 2, c 0, d 2, e 0 所以：
u f ( ) 4 2 3 2 U
(1.2)
利用动量积分关系式来求 ，由于已得到速度分布的形式，可以得到
(2.7)
注意右边的粘性项量级，并假设 Re 2 O(1) ，可令 2 似化简为
rv u r 0 r z u u p 2u 1 u v u 2 r z z r r r p 0 r
1 ，则一阶近 Re
(2.8)
认为压强沿径向为常数，边界层内压强等于边界层外来流压强。 若将无粘流边界的压强按伯努利方程算出： p* ( z ) p0* ue*2 ( z ) / 2 ，则边 界层内的压强也等于该值。代入 N-S 方程后，化为
2

0 1 u u 37 (1 )dy f (1 f )d 0 U U 315
(1.3)
w u y

y 0
U

f '(0) 2
U

(1.4)
代入动量积分关系式，得
37 d 2 315 dx U
(1.5)
由定解条件 x 0, 0 ，得到

1260 x x 5.84 37 U U
(1.6) (1.7)
w 0.343U 2

U x
0.343
U 2
Re x
题 2：推导细长圆柱被不可压缩流体沿纵向绕流的边界层方程。假设 所讨论的范围离前缘较远,且该处圆柱的半径与边界层厚度同量级流 动分为外区和内区。外区是无粘流，内区为边界层。 解：外区用常规尺度作无量纲化：
(2.5)
将内场的无量纲形式代入柱坐标下的 N-S 方程，得到
rv u r 0 r z 1 u u p 1 1 2u 1 1 u 2u v u ( ) r z z Re 2 r 2 2 r r z 2 1 v v 1 p 1 1 2 v 1 1 v 2v 1 v v u ( ) r z r Re 2 r 2 2 r r z 2 2 r 2
rv u r 0 r z * u u 2u 1 u * due v u ue 2 r z dz r r r
(2.9)
边界条件为： a.壁面无滑移 r r0 , u v 0 b.内外区衔接条件 r , u ue* ( z ) 写回有量纲形式为
思考题 2：某些飞机（如波音 777）或汽车上的涡流发生器的作用原 理？ 解释一：将层流边界层扰动成湍流边界层，湍流边界层抗分离能 力较强，使得边界层分离点推迟，减小损失。 解释二：涡流发生器实际上是以某一安装角垂直地安装在机体表面
上的小展弦比小机翼，所以它在迎面气流中和常规机翼一样能产生翼 尖涡，但是由于其展弦比小，因此翼尖涡的强度相对较强。这种高能 量的翼尖涡与其下游的低能量边界层流动混合后，就把能量传递给了 边界层，使处于逆压梯度中的边界层流场获得附加能量后能够继续贴 附在机体表面而不致分离。这就是涡流发生器的基本工作原理。
粘性流体力学第七次作业
班级： 热博 13 姓名：林敦 学号：2013310330
题 1：对零压力梯度平板边界层,若边界层内速度为四次多项式分布, 试用动量积分方法求边界层名义厚度、动量厚度以及壁面摩擦应力。 解： 设速度分布为 足 5 个条件：
u y 0 0 2u y 2 0
y 0
y u f ( ) a 4 b 3 c 2 d e ，其中 ，需满 U
(2.2)
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其中 z z* z / L, r r * / r / ( L) 应该满足渐进衔接条件，即
r 0
lim u* ( z* , r * ) lim u ( z , r ) *
r r
(2.3) (2.4)
r* 0
lim p* ( z* , r * ) lim p( z , r )
u 0 z 0 2u 0 xz 0
(1.1)
对于满足牛顿摩擦定律的实际流动，分离条件为：
zx 0 0
zx 0 x 0
(1.2)
[1] 张扬军, 陈乃祥. 水力机械分离流动研究[C]. 第十二次中国水电设备学术讨论会论文集. 重庆: 1995, 6-11 [2] 张涵信. 三维定常粘性流动的分离条件及分离线附近流动的性状[J]. 空气动力学学报,1985,01:112.
rv u r 0 r z dU e u u 2u 1 u v u Ue ( 2 ) r z dz r r r
(2.10)
思考题 1：如何分析和判断三维流动的分离？ 三维分离形成的机理与二维一样, 流动中存在逆压梯度并作用于 有粘性阻滞的边界层流动起着关键作用。但在三维流动中, 即使沿 某个方向存在压力梯度, 由于边界层内的流体还可以沿其它方向流 出, 此时边界层的流动仍可以是附着的, 所以不能将二维分离的判别 准则简单地推广应用到三维流动中[1]。 张涵信先生在调研了 Brown，Stewartson, Williams, Eichelbrenner, Oudar, Maskell, 王国璋等人的工作后归纳出三维流动分离的判定条 件为：
(2.6)
由连续方程可知，内层的无量纲径向速度为 量级，即 v O( ) ，因此 内层径向速度的量级应为 v U v ( z , r ) 将上式代入 N-S 方程，得到
rv u r 0 r z u u p 1 1 2u 1 1 u 2u v u ( ) r z z Re 2 r 2 2 r r z 2 v v 1 p 1 1 2v 1 1 v 2v 1 v (v u ) ( ) r z r Re r 2 r r z 2 r 2
u U u* ( z * , r * ), v U v* ( z * , r * ), p U 2 p* ( z * , r * )
(2.1)
其中 z* z / L, r * r / L 内区暂设为：
u U u ( z , r ), v U v ( z , r ), p U 2 p ( z , r )