实数及其运算的培优与提高

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浙教版七年级上册实数及其运算专题培优(附答案)

2020-2021学年浙教版七年级上册实数及其运算专题培优姓名班级基础巩固1.下列各式中，正确的是（）.A .241⎪⎭⎫ ⎝⎛± = 1 2 B .412= 1 1 2C .1694+= 2 + 3 4 = 2 3 4D .22713- = 13 - 7 = 62.实数: 5-，22，2 -2，2π，3，39在数轴上的对应点，既在点A ：-2，C :2之间，又在点B ：4，D ：-1之间的有（）.A .3个B .4个C .5个D .2个3.数轴上A ，B 两点分别表示实数23和23 + 6，则这两点的距离是（）. A .43 + 6B .43C .6D .43 - 64.若a 和a -都有意义，则a 的值是（）. A .a ≥0B .a ≤0C .a = 0D .a ≠05.已知x 满足|2008 - x | +2019-x = x ，那么x - 20082的值为（）. A .2007B .2008C .2009D .20106.（1）-2的相反数是 _________ ，绝对值是 _________ .（2）比较大小:3.14 _________ π；-2 _________- 32 ；-2- 3_________ 0.（3）如果整数a 满足5 < a < 10，则a = _________ . （4）如果4-x + （y+6）2 = 0，那么x + y = _________ .（5）比较大小:57 _________ 411（填“ > ”或“ < ”）；2)21(- = _________ .7.满足-3< x < 5的整数x 是 _________8.已知332-x 与353y -互为相反数，则 xy 的值为 _________ .9.已知实数a ，b 满足74932--+-a a b a = 0，则a = _________ ，b = _________ .10.已知40≈ 6.325，则5104⨯ ≈ _________ ；设2= a ，3 = b ，用含a ，b 的式子表54.0为 _________11.已知2a - 1的平方根是±3，3a + b - 9的立方根是2，c 是±57的整数部分，求a + 2b+c 的算术平方根. 12.阅读材料:我们定义:如果一个数的平方等于 - 1，记做i 2 =- 1，那么这个i 就叫做虚数单位.虚数与我们学过的实数结合在一起叫做复数，一个复数可以表示为a + bi （a ，b 均为实数）的形式，其中a 叫做它的实部，b 叫做它的虚部.复数的加、减、乘的运算与我们学过的实数加、减、乘的运算类似. 例如:计算（5 + i ） + （3 - 4i ） = （5 + 3） + （i - 4i ） = 8 - 3i . 根据上述材料，解决下列问题:（1）填空:i 3 = _________ ，i 4 = _________ . （2）计算:（6 - 5i ） + （ - 3 + 7i ）. （3）计算:3（2 - 6i ）-4（5 - i ）.13.阅读下面的文字:大家知道5是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此5的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用5- 2来表示5的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法有道理，因为5的整数部分是2，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如:∵9 < 13 <16，即3 < 13 < 4， ∴13的整数部分为3，小数部分为（13-3）. 请解答下列问题:（1）7的小数部分为a ，17的整数部分为b ，求a + b -7的值. （2）已知10 + 3= x + y ，其中x 是整数，且0 < y < 1，求x - y 的相反数.拓展提优1.若3 < a < 10，则下列结论中，正确的是（）. A .1 < a < 3B .1 < a < 4C .2 < a < 3D .2 < a < 42.下列关于8的叙述，不正确的是（）. A .8 = 22B .面积是8的正方形的边长是8C .8是有理数D .在数轴上可以找到表示8的点3.[泰安]下列四个数: -3， -3， - π， - 1，其中最小的数是（）. A .一πB . - 3C . - 1D . - 34.对于实数x ，我们规定[x ]表示不大于x 的最大整数，如:[4] = 4，[3] = 1， [- 2.5] =- 3.现对82进行如下操作:82第一次[8282] = 9第2次[39] = 3第3次[33] = 1，这样对82只需进行3次操作后就能变为1.类似地，对121需进行多少次操作后就能变为1（）. A .1B .2C .3D .45.若a < 6 < b ，且a ，b 是两个连续的整数，则a b = _________ .6.在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下:当a ≥b 时，a ⊕b = b 2；当a < b 时，a ⊕b = a .则当x = 2时，（1⊕x ）·x -（3⊕x ）的值为 _________ （“·”和“- ”仍为实数运算中的乘号和减号）.7.已知实数m ，n 满足|n - 2| + 1+m = 0，则m + 2n 的值为 _________ .8.在草稿纸上计算:①31；②3321+；③333321++；④33334321+++.观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值:333328321+⋯⋯+++= _________ .9.将一组数2，2，6，22，10，…，45按下面的方式进行排列:若22的位置记为（1，4），26的位置记为（3，3），则这组数中最大的有理数的位置记为 _________ .10.计算:-（-1）2017（2）（ - 2）2 + |2 - 1|-327.（1）|- 2| +3811.一个数值转换器，如图所示:（1）当输入的x为16时，输出的y值是 _________ .（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由.（3）若输出的y是3，请写出两个满足要求的x值: _________ .12.先填写下表，通过观察后再回答问题:（1）表格中x= _________ ，y= _________ .（2）从表格中探究a与a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题:①已知10≈ 3.16，则1000≈ _________ ；②已知m = 8.973，若b= 897.3，用含m的代数式表示b，则b = _________ .（3）试比较a与a的大小.冲刺重高1.如图所示，数轴上A ，B 两点表示的数分别为 - 1和3，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数为（）. A .-2-3 B . -1 -3C .-2 +3D .1 + 32.已知x 是实数，则π-x +x -π+ x−1π 的值是（）.A .1- 1 πB .1 + 1 πC . 1 π - 1D .无法确定3.一棵智利南美杉的树干直径是40 cm .此树干的皮占体积的19%，可防火.粗略估算可得此树皮的平均厚度为（）. A .0.4 cm B .1.2 cmC .2 cmD .2.8 cm4. 我们定义=ad - bc ，例如 = 2 × 5 - 3 × 4 = 10 - 12 =-2.若x ，y 均为整数，且满足则x+y 的值 5.观察下列各式:311+= 231，412+ = 341，513+ = 451，… 请你将猜想得到的规律用含自然数n （n ≥1）的代数式表示出来: _________ . 6.对于实数a ，我们规定:用符号[a ]表示不大于a 的最大整数，称[a ]为a 的根整数，例如:[9] = 3，[10] = 3.（1）仿照以上方法计算:[4] = _________ ；[26] = _________ . （2）若[x ]= 1，写出满足题意的x 的整数值: _________ .如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止.例如:对10连续求根整数2次[10] = 3→[3] = 1，这时候结果为1.（3）对100连续求根整数， _________ 次之后结果为1.（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 _________ .7.设a ，b ，c 均为不小于3的实数，求2-a +1+b + |1 - 1-c |的最小值.1、最困难的事就是认识自己。

八年级培优提升专题(二)

培优提升专题（二）实数二次根式一基础知识回顾实数：包括有理数和无理数。

1.全体实数和数轴上的点一一对应；有理数可以表示成既约分数的形式，有理数对四则运算是封闭的，无理数是无限不循环小数，不能表示成分数的形式，对四则运算不封闭；一个非零有理数与一个无理数的和、差、积、商（分母不为零）一定是无理数.三类非负数：绝对值、完全平方数、算术平方根；具有性质：（1）和与积仍非负；（2）若干个非负数和为0，则每一个非负数都等于0。

在实数范围内，任意实数可以开奇次方，只有非负数可以开偶次方2.根式:n 为正整数，1n >）称为根式，一般的n 次根式有如下性质和运算法则： 1.n a =.2. 当n a =；当n a =3. 根式运算法则 = = m = =以上各式均在等式两边有意义的前提下成立4. 设,,,a b c d 是有理数，且n 不是完全平方数，则当且仅当,ac bd ==时，a c ++5. 形如x a y a ==.如果它们的积不含有二次根式，则它们互为有理化根式.6. 重二次根式如果二次根式的被开方数中含有二次根式,这样的式子叫重二次根式。

化简重二次根式的方法有：平方法；配方法；构造法；待定系数法等.构造法是将二次根式的整体或一部分设为未知数，从而构造关于未知数的方程,解出待求值.二典例分析1 若,,a b a b ≠ )A 都是有理数 B. 一个是有理数,一个是无理数 C.都是无理数 D.不能确定2 _____________3设 ,,a b c 均为不小于3的实数，则 1- 的最小值是_____________.4 设10982),35m a m m m m =≤≤++++- 的值为________5设 ,m m >= ________（用m 表示）6若 ,u v 满足2v =，则22______u uv v -+= 7.设x 、y 都是有理数，且满足方程11()()402332x y πππ+++--=，求x y -的值8.若01x << 9. 设0,0x y <<，化简10已知a b a b +=-=ab 的值11. 已知52x =，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x ++++的值 12 1111x =-13已知 a R ∈且1a a+-a 的值 14已知,,a b c 都是实数，且满足2222,2,2236A a b B b c C c a πππ=-+=-+=-+。

八年级数学培优——实数

第06讲实数考点·方法·破译1．平方根与立方根：若2x＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝a的平方根为xa的算术平方根．若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式．3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2na≥0（n为正整数）≥0(a≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．02．已知mm的平方根是____．03____．y是____．【例2】已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于( )A ．－1B ． 0C ．1D ．2【变式题组】0l 3b +＝0成立，则a b ＝____．02()230b -=，则ab的平方根是____．03．若x 、y 为实数，且20x +=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－204．已知x 1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b 都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根．【变式题组】01．已知m 、n ＋2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．02．设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y −4−π＝0，则x −y ＝____．【例4】若a −2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．【变式题组】01．若3a ，3b ，则a ＋b 的值为____．02a ，小数部分为b a ）·b ＝____．演练巩固反馈提高0l ．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ． 16的平方根是±4D ．27的立方根是±3 02．设3a =-，b ＝－2，5c =-，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ． b <a <c D ．c <a <b 03．下列各组数中，互为相反数的是( )A ．－9与81的平方根B ．4与364- C ．4与364 D ．3与904．在实数1.414，2-，0.1•5•，5−16，π，3.1•4•，83125中无理数有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个 05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )A ．b >aB ．a b >C ．－a ＜bD ．－b >a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )A ． 1个B ．2个C ． 3个D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A . m ＝±nB .m ＝nC .m ＝－nD .m n ≠08．如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23-B ．－13-C ．－2 ＋3D ．l ＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A左边，则A、B之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，2，3…，19，20．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝a b+，如3※2＝32+＝5．那么12.※4＝____．12．已知a、b为两个连续整数，且a<7<b，则a＋b＝____．13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝()()22a b a bab a b⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m＝36，则实数m ＝____．14．设a是大于1的实数．若a，23a+，213a+在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．19．若b＝315a-＋153a-＋2且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn−2）(3mn＋4)的平方根与立方根．20．若x 、y 为实数，且（x −y ＋1）2培优升级奥赛检测01．一个正数x 的两个平方根分别是a ＋1与a −3，则a 值为( )A ． 2B ．－1C ． 1D ． 002( )A ．0B ． 1C ．1D ． 203−2的最小值为____．04．设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a 2＋3b ＋21−，则a ＋b ＝____． 05．若a b -＝1，且3a ＝4b ，则在数轴上表示a 、b 两数对应点的距离为____．06．已知实数a 满足2009a a -=，则a − 20092＝_______．07．若m 满足关系式=，试确定m 的值．08．若a 、b 满足5b ＝7，S ＝3b ，求S 的取值范围．09．已知0<a <1，并且123303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦g g g 2930a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a ]的值[其中[x ]表示不超过x 的最大整数] ．10．已知实数a 、b 、x 、y 满足y 21a =-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．11．巳知x ＝ba，a 、b 为互质的正整数．且a ≤8−1<x 1， (1)试写出一个满足条件的x ；(2)求所有满足条件的x ．。

部编数学七年级下册实数的运算大题提升训练(重难点培优30题)【拔尖特训】2023培优(解析版)

【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题6.5实数的运算大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022春•右玉县期末）计算：（1）−12+×（2）【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：（1）−12+×＝﹣1+（﹣3）﹣6＝﹣4﹣6＝﹣10；（2）＝2﹣2+（﹣4）＝2﹣2++4＝2．（2021秋•兰考县期末）（1+（2．【分析】（1）首先计算开方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．（2）首先计算开方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：（1＝5﹣2+2＝5．（2＝2+（−32）﹣（2=12−2+=−323．（2021秋•安宁市校级期末）计算：（1）−12018+（2+．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先化简绝对值，然后再进行计算即可解答．【解答】解：（1）−12018++＝﹣1+51﹣2﹣3=（2+=+2＝2．4．（2021秋•大丰区校级月考）计算：（1）(−1)2021+（2【分析】（1）直接利用有理数的乘方运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案；（2）直接利用有理数的乘方运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案．【解答】解：（1）(−1)2021+＝﹣1+5＝4；（2＝2﹣（﹣2）＝4．5．（2021秋•道里区期末）计算：（1（2．【分析】（1）先化简各数，然后再进行计算即可；（2）先化简各式，然后再进行计算即可．【解答】解：（1+＝5+（﹣2）﹣6＝﹣3；（2＝3+3＝6．6．（2022春•仁怀市校级月考）计算：−43÷+．【分析】直接利用有理数的乘方运算法则、立方根的性质、绝对值的性质、算术平方根分别化简，进而合并得出答案．【解答】解：原式＝﹣64÷（﹣32）+2﹣（1﹣3）+1＝2+2+2+1＝57．（2022秋•铜山区期中）计算：（1（2）|﹣3|+（﹣1）0【分析】（1）首先计算开平方和开立方，然后计算除法，最后计算减法，求出算式的值即可．（2）首先计算零指数幂、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：（1÷＝9÷（﹣3）﹣5＝﹣3﹣5＝﹣8．（2）|﹣3|+（﹣1）0＝3+1﹣3+2＝3．8．（2022秋•永康市期中）计算：（1（﹣1）2023（22|【分析】（1）根据算术平方根，立方根和有理数的乘方运算可解答；（2）根据绝对值，算术平方根，立方根运算可解答．【解答】解：（1（﹣1）2023＝5﹣4+1＝2；（22|＝23+3＝29．（2022秋•镇平县期中）计算：（1|1（2）+（3（﹣3）（﹣2）2．【分析】（1）先算开方，再去绝对值符号，再进行计算即可；（2）先开方，再算加减即可；（3）先算乘方，开方，再算乘法，最后算加减即可．【解答】解：（1）原式＝2﹣|1﹣4|＝2﹣3＝﹣1；（2）原式=−54+5=15 4；（3）原式＝﹣6+（﹣3）×10﹣4＝﹣6﹣30﹣4＝﹣40．10．（2022秋•南岗区校级期中）计算：（2）+3+；（3+【分析】（1）先去括号，再合并同类二次根式；（2）先计算绝对值、去括号，再合并同类二次根式；（3）先计算平方根和立方根，再计算加减．【解答】解：（1）==（2）+3+=1+3+1＝+1；（3+＝2﹣2−1 2=−1 2．11．求下列各式的值．（1（2×+×【分析】（1）原式利用平方根的定义化简，计算即可得到结果；（2）原式利用平方根定义及二次根式的性质化简，计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝5﹣4+2＝3；（2）原式＝0.01×100+6×0.2＝1+1.2＝2.2．12．计算：（2×|﹣（3×1|0.001）（4（5+【分析】原式各项利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝+（2）原式=×=4（3）原式=×1）=3≈0.150；（4）原式＝2=2﹣（5）原式=+9﹣2+7．13．计算．（1（2+【分析】（1）原式利用平方根定义化简，计算即可得到结果；（2）原式利用平方根及立方根定义化简，计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝0.6+35=1.2；（2）原式=12−52×（−15）﹣7+3＝﹣4．14．计算（12；（2+0；（3+−2；（4．【分析】（1）原式利用平方根及立方根的定义化简，计算即可得到结果；（2）原式利用平方根，立方根，绝对值，以及零指数幂法则计算即可得到结果；（3）原式利用平方根，立方根，绝对值，以及负指数幂法则计算即可得到结果；（4）原式利用立方根，平方根，以及绝对值的定义化简即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝﹣2+2﹣3＝﹣3；（2）原式＝5﹣2+3+1＝7（3）原式＝2﹣4+3+13=43+（4）原式＝﹣1﹣2+2+1=15．计算：（1（2）+（3×(−12)2（41|﹣|3【分析】（1）原式利用平方根及立方根定义化简即可得到结果；（2）原式利用平方根及立方根定义化简即可得到结果；（3）原式利用平方根及立方根定义化简即可得到结果；（4）原式利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．【解答】解：（1）原式﹣0.5﹣（﹣3）＝0.5+3＝3.5；（2）原式＝﹣8+8＝0；（3）原式＝4﹣4×14−（﹣3）＝4﹣1+3＝6；（4）原式=2+11﹣37．16．计算：（1）2）（2）|1【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果；（2）原式利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．【解答】解：（1）原式=2=2；（2）原式=1++21．17．（2021春•柳南区校级期中）计算（1（2）﹣22×（12）2+|﹣2|．【分析】（1）首先根据二次根式的性质、立方根计算，再算加减即可；（2）首先计算有理数的乘方，开立方，根据绝对值的性质计算绝对值，然后再算乘除，后算加减即可．【解答】解：（1）原式＝5﹣3−13=123；（2）原式＝﹣4×14−4÷2＝﹣1﹣2＝﹣3．18．（2021春•青川县期末）计算：（1）（﹣3）2+2×1）﹣|﹣（2+|2+【分析】（1）先算乘方，化简绝对值，去括号，然后再算加减；（2）先化简立方根，算术平方根，绝对值，然后再计算．【解答】解：（1）原式＝2﹣＝7；（2）原式＝﹣2+2+4＝﹣2−35+2+4=−35．19．（2021春•柳南区校级期末）计算：（1）﹣12+（﹣2）×（21）2|【分析】（1）原式利用乘方的意义，立方根定义，以及乘法法则计算即可求出值；（2）原式利用二次根式乘法法则，绝对值的代数意义计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝﹣1+（﹣3）+2×3＝﹣1﹣3+6＝2；（2）原式＝3+2＝5．20．（2020秋•江都区期末）计算：（1+（2）|1（﹣2）2【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根分别化简得出答案；（2）直接利用绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝1﹣2+4 3=1 3；（2）原式=1+4＝3．21．（2022春•连山区期末）计算．（1（2）+(−5)2【分析】（1）实数的混合运算，先分别化简算术平方根，立方根，然后再计算；（2）实数的混合运算，先化简绝对值，有理数的乘方，然后再计算．【解答】解：（1）原式＝7﹣3+3＝7；（2）原式=1+25＝24．22．（2020秋•松北区期末）计算：（1|2（2）【分析】（1）首先计算开方、绝对值，然后从左向右依次计算即可．（2）首先计算绝对值，然后从左向右依次计算即可．【解答】解：（1|2＝﹣42）﹣＝﹣42﹣=5．（2）＝+＝23．（2021春•福州期末）计算：（1）|﹣2|+（﹣1）2019；（2）6+2．【分析】（1）直接利用实数的混合运算法则计算得出答案；（2）直接利用实数的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）|﹣2|+（﹣1）2019，＝2﹣2﹣（﹣1），＝1，（2）6+2，＝6×13−3+2，＝2﹣3+2，＝1．24．（2020秋•道里区期末）计算：（1（2+【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的性质化简得出答案；（2）直接利用绝对值的性质和算术平方根分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝4+3+7＝14；（2）原式=+5＝525．计算（1（2）+（﹣1）3【分析】（1）原式各项化简后，合并即可得到结果；（2）原式利用算术平方根、立方根定义，以及乘方的意义计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝0.8−32+1.2＝0.5；（2）原式=14−1−32=−94．26．（2021春•安定区校级期中）计算下列各题（1+|1（2【分析】（1）原式利用平方根、立方根定义，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）原式利用平方根、立方根的定义计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝2﹣2﹣3+14；（2）原式＝5+3+12=812．27．（2018春•遵义期中）计算下列各题：（1++（2）|7|【分析】（1）原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值；（2）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝1﹣3−12+0.5+18=−178；（2）原式＝7π+7＝﹣π．28．计算：（1（2）﹣【分析】（1）先进行开方运算，再合并同类项即可；（2）先开方运算，再合并即可得到答案．【解答】解：（1）原式＝0.4+0.7﹣0.9＝0.2；（2）原式＝﹣16×0.5﹣＝﹣8﹣4×（﹣4）＝﹣8+16＝8．29．计算下列各题：（1+（2）（3+2．【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算有理数的加减即可；（2）先化简绝对值、计算平方根，再计算实数的加减即可；（3）先计算算术平方根、化简绝对值、立方根、实数的平方，再计算实数的加减即可．【解答】解：（1+＝4+（﹣3）−12+0.5+18＝11 8；（2）＝（7π7＝7π7＝﹣π；（3+2＝6+1）﹣2+5＝830．（2022春•罗定市期中）计算：（﹣2）2+2|．【分析】运用负数的平方、二次根式、三次根式，绝对值的定义及性质进行计算．【解答】解：原式＝4+2＝4+3﹣3+2＝6。

八年级数学上册 2.6实数(2课时)培优教案系列北北师大版

●课题：§2.6实数(1)●教学目标(一)教学知识点1.了解有理数的运算法则在实数X 围内仍然适用.2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数X 围内正确计算.);0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a)0,0(>≥=b a b a ba . (二)能力训练要求1.让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的钻研精神和创新能力.2.能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识.(三)情感与价值观要求时代在进步，科学在发展，只靠在学校积累的知识已远远不能适应时代的要求，因此在校学习期间应培养学生的能力，具备某种能力之后就能应付日新月异的新问题.其中类比的学习方法就是一种学习的能力，本节课旨在让学生通过在有理数X 围内的法则，类比地学习在实数X 围内的有关计算，重要的是培养这种类比学习的能力，使得学生在以后的学习和工作中能轻松完成任务.●教学重点1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数X 围内正确进行运算.2.发现规律：);0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a)0,0(>≥=b a b a ba .并能用规律进行计算.●教学难点1.类比的学习方法.2.发现规律的过程.●教学方法类比法.●教具准备投影片两X ：第一X ：例题(记作§2.6.2 A)；第二X ：练习(记作§ B).●教学过程Ⅰ.新课导入上节课我们学习了实数的定义、实数的两种分类，还有在实数X 围内如何求相反数、倒数、绝对值，它们的求法和在有理数X 围内的求法相同.那么在有理数X 围内的运算法则、运算律等能不能在实数X 围内继续用呢？本节课让我们来一起进行探究.Ⅱ.新课讲解1.有理数的运算法则在实数X 围内仍然适用.［师］大家先回忆一下我们在有理数X 围内学过哪些法则和运算律.［生］加、减、乘、除运算法则，加法交换律，结合律，分配律.［师］好.下面我们就来验证一下这些法则和运算律是否在实数X 围内适用.我们知道实数包括有理数和无理数，而有理数不用再考虑，只要对无理数进行验证就可以了. 如：2332⋅=⋅，.252)32(2322,3)212(32123=+=+=⋅⋅=⋅⋅所以说明有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.下面看一些例题.投影片：(§2.6.2 A)解：(1)原式=1+1=2；(2)原式=0； (3)原式=22·(5)2=4×5=20；(4)原式=(2)2+2·2·21+(21)2=2+2+2921=.填空： (1)94⨯=_________，94⨯=_________； (2)916⨯=_________，916⨯=_________； (3)94=_________，94=_________； (4)=2516_________，2516=_________. 以下用计算器进行计算：(5)76⨯=_________，76⨯=_________；76=_________，76=_________；［师］请同学们先计算，然后分组讨论找出规律.［生］(1)63694,63294==⨯=⨯=⨯；(2)12144916,1234916==⨯=⨯=⨯； (3)32)32(94,32942===； (4)54)54(2516,5425162===； (5)76⨯≈×≈4276=⨯≈6.480，76≈646.2449.2≈0.9255，76≈ ［师］通过上面计算的结果，大家认真总结找出规律. ［生］9494⨯=⨯；.7676;7676;25162516,9494;916916=⨯=⨯==⨯=⨯ ［师］如果把具体的数字换成字母应怎样表示呢？［生］(1)b a b a ⋅=⋅； (2)b a ba =. ［师］上面式子中的a ，b 有什么要求吗？［生］a ,b 都是正数.［师］这位同学的回答完全吗？［生］不完全，在(2)中b 作分母不能为零.［师］这就完全正确了吗？［生］不完全正确.在(1)中，a ,b 可以为零，在(2)中a 可以为零，b 不能为零.［师］很好.大家在以后的学习中要细，不能漏掉任何一个条件.我认为大家刚才的讨论很到位，下面我再总结一下：b a b a ⋅=⋅(a ≥0,b ≥0)；b a ba = (a ≥0,b ＞0) 并作一些练习.投影片：(§ B)解：(1);24326326==⨯=⨯ (2);5494814327=-=-=-⨯.3191546546)5(;24312312326)4(;32413231132)3()13)(3(222=======⨯-=+-=+⋅⋅-=-［例题］化简：(1)5312-⨯； (2)236⨯；(3)(5+1)2； (4))12)(12(-+.解：(1)5312-⨯=36－5=6－5=1； (2)39218218236====⨯； (3)(5+1)2=(5)2+25+1=6+25； (4).1121)2()12)(12(2=-=-=-+Ⅲ.课堂练习(一)随堂练习化简：(1)2095⨯； (2)8612⨯； (3)(1+3)(2－3)； (4)(323-)2. 解：(1)234920952095==⨯=⨯； (2)3987287286128612====⨯=⨯； (3)(1+3)(2－3)=2－3+23－3=－1+3； (4)(323-)2=(3)2－2·3·32+(32)2=3－4+3134=. (二)补充练习1.化简： (1)250580⨯-⨯；(2)(1+5)(5－2)； (3))82(2+； (4)3721⨯； (5)2)313(-； (6)10405104+. 解：(1)101020100400250580250580=-=-=⨯-⨯=⨯-⨯； (2)(1+5)(5－2)=5－2+(5)2－25=5－2+5－25=3－5； (3)64216482228222)82(2=+=+=⨯+⨯=⋅+⋅=+； (4)749372137213721==⨯=⨯=⨯； (5)343123)31(3132)3()313(222=+-=+⋅⋅-=-； (6)454104*********4051010410405104+=⨯+⨯=+=+=4+10=14. 5 cm 和45 cm ，求这个直角三角形的面积.解：S =45521⨯⨯ )cm (5.71521)35(214552122=⨯=⨯⨯=⨯⨯= 答：这个三角形的面积为7.5 cm 2.Ⅳ.课时小结本节课主要掌握以下内容.1.在实数X 围内，有理数的运算法则、运算律仍然适用，并能正确运用.2.b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；b a ba =(a ≥0,b ＞0)的推导及运用. Ⅴ.课后作业1.化简： (1)313⨯； (2)23； (3)23222+； (4)850⨯－21.解：(1)1313313=⨯=⨯； (2)2141123123===； (3)16223222223222223222+=+=+=+=2+4=6； (4)12120214002185021850-=-=-=-⨯=-⨯. Ⅵ.活动与探究下面的每个式子各等于什么数？2222222003,2002,2001,,4,3,2 .由此能得到一般的规律吗？对于一个实数a 、2a 一定等于a 吗？解：22=2，23=3，24=4，…22001=2001，22002=2002，22003=2003. 由此能得出2a =a .(a ≥0)对于一个实数a ，2a 不一定等于a .当a ≥0时，2a =a .当a ＜0时，有.20032003)2003(,20022002)2002(,20012001)2001(,416)4(,39)3(,24)2(222222222==-==-==-==-==-==-所以当a ＜0时，有2a =－a .●板书设计●课题：§2.6 实数(2)●教学目标(一)教学知识点b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；b a ba = (a ≥0,b ＞0)的运用. 2.能利用化简对实数进行简单的四则运算.(二)能力训练要求1.让学生能根据实际情况灵活地运用两个法则进行有关实数的四则运算.2.让学生能根据实例进行探索，同学们互相交流合作，培养他们的合作精神和探索能力.(三)情感与价值观要求1.通过对法则的逆运用，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，从中体会数学的使用价值.●教学重点1.两个法则的逆运用.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题.●教学难点灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算.●教学方法指导探索法.●教具准备投影片三X：第一X：例题(记作§2.6.3 A)；第二X：练习(记作§ B)；第三X：课堂测验(记作§ C).●教学过程Ⅰ.导入新课［师］请大家先回忆一下算术平方根的定义.［生］若一个正数x的平方等于a，则x叫a的算术平方根.［师］大家能否根据定义举例说明呢？［生］能.［师］在我不点名的情况下，大家能否自觉站起来回答呢？［生］能.［师］请大家为这些积极回答问题的同学鼓掌，同时要向他们学习，学习他们积极投身于教学活动的这种精神.［师］下面我们用算术平方根的定义来求下列两个正方形的边长，以及边长之间的关系.投影片：(§2.6.3 A)设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b .请同学们互相讨论后得出结果. ［生］由正方形面积公式得a 2=8,b 2a =8，小正方形边长b =2.［师］那么a 与b 之间有怎样的倍分关系呢？请观察图中的虚线.8=22.［师］非常棒，那么8根据什么法则就能化成22呢？这就是本节课的任务. Ⅱ.新课讲解［师］请大家回忆一下上节课学的两个法则是什么？［生］b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；b aba = (a ≥0,b ＞0) ［师］请大家根据上面法则化简下列式子. (1)33⨯； (2)42⨯；(3)273；(4)12253⨯. ［生］(1)3333332==⨯=⨯； (2)84242=⨯=⨯；(3)3191273273===；(4)254251225312253==⨯=⨯.(1)3=333332⨯=⨯=能否成立？［生］不成立，因为3就是一个有理数，为什么非要把它化成无理数3与3的乘积呢？这不是反而把简单的数化成复杂的数了吗？［生］你说得不对.老师说的是这种推法是否成立，并不是问它是不是化简. ［师］对.刚才这位同学说得非常对，我是说这样的步骤是否正确.［生］对.因为从左到右是等式的推导，而从右向左也是等式的推导，只不过是反过来推也应成立.［师］确实成立.下面再分析这些式子：.1225312253)4(;273273)3(;224242)2(;3333)1(⨯=⨯==⨯=⨯⨯=⨯并和上节课的两个法则相比较，有什么不同吗？请大家交流后回答. ［生］正好和上节课的法则相反. ［师］大家能否用式子表示出来？［生］能.b a b a ⋅=⋅b a ba = ［师］没有条件限制吗？a ≥0,b ≥a ≥0,b ＞0.［师］那现在能否把8化成22呢？［生］行.222242428=⨯=⨯=⨯=.［师］下面我们进行简单的练习. 投影片：(§ B)请大家快速地进行化简，并能口述出步骤.［生］(1).3333939327=⨯=⨯=⨯= (2);5335959545=⨯=⨯=⨯=.545455452545251612516125)6(;32432432163216932932)5(;6336969654)4(;2828264264128)3(=⨯=⨯=⨯===⨯=⨯=⨯===⨯=⨯=⨯==⨯=⨯=⨯=［师］掌握得不错.大家能不能总结一下刚才化简的这些式子有何规律呢？［生］原来的式子中根号外面没有数，化简后的式子根号外面、里面都有数. ［师］这说明根号里面的数有一部分移到了根号外面，那么什么数能往外移呢？它们又具备什么条件呢？［生］是平方数.如(1)中根号内的9移到外面变成了3；(2)、(4)中也是，(3)中有64移到外面成了8.(5)中16移到外面变成4，(6)中分母16，分子25移到外面变成4，5.22424221===叫不叫化简呢？［生］叫化简.［师］能否说一下它的特征呢？［生］原来被开方数中含有分母，化简后被开方数中没有了分母.［师］如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个数，使得分母变成一个能开出来的数，然后把分母开出来，使被开方数中没有了分母.这也叫化简.根据刚才我们的讨论，对于两种情形可通过法则的逆运算进行化简，那么究竟是哪两种情形呢？其实在刚才的分析中我已作过介绍，大家可否记得？［生］记得.如果被开方数中含有分母，或者含有开得尽的因数，则可通过逆运算进行化简.［师］大家做的非常棒.上节课和本节课我们做的工作都是化简，并且用的是相同的两个公式，那么究竟什么情况下用法则、什么情况下又用法则的逆运算呢？这个问题比较难，请大家讨论后给出答案，能说多少说多少.［生］当被开方数中含有分母或含有开得尽的因数时用法则的逆运算，如果不是这样就用法则.［师］能回答到这个程度就相当不错了，可见大家是经过认真思考和相互合作的.确实是这样，一般地，当被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数时，用法则的逆运算；当两个含有根号的数相乘或相除，它们的被开方数单独开不出来，但是通过相乘或相除能出现开得尽的因数时用法则.如：;339393333131===⨯⨯= .3191182182;214112131213;66666621622=====⨯=⨯=⨯=⨯=但是这也不是绝对的，有时法则的运用和法则的逆运算要相互结合才能达到化简的目的.如：.2272249224924910495104952=⨯=⨯==⨯=⨯因为任何事物它都不是绝对的，而是相对的，所以不能生搬硬套，而要灵活运用法则，对于具体问题一定要具体分析，找到解决问题的方法，对症下药，才能达到题目的要求，所选择的方法要根据问题的不同而相应的变化.这正是现代教育的要求所在.例题讲解［例1］化简：(1)50；(2)348-；(3)515-. 解：(1)2522522550=⨯=⨯=；(2);3333433163316348=-=-⨯=-⨯=-(3).55455525552555515=-=-=-=-［例2］化简： (1)－230310⨯； (2)－ab a 101861⋅； (3)－yxy 1⋅； (4)1615； (5)013.039.0； (6).mn2n m 142解：(1)31063106310630103230310222⨯⨯-=⨯⨯-=⨯-=⨯⨯-=⨯-360-=；(2)－b a b a ab a ab a 536615366110186110186122⨯⨯⨯-=⨯-=⋅-=⋅ b a b a 55661-=⨯⨯⨯-=；(3)－x yxy y xy -=⋅-=⋅11； (4);4916811615== (5)3013390013.039.0013.039.0===；(6)m 7mn 2nm 14mn2n m 1422==.说明：对于被开方数中的字母不用讨论，就按满足条件进行化简就行了. Ⅲ.课堂练习化简：(1)18；(2)7533-；(3)72. 解：2323292918=⨯=⨯=⨯=； (2)3533353332533325337533-=⨯-=⨯-=⨯-=-32-=；(3)7147147147222===.课堂测验投影片：(§ C)1.解：4216228281==⨯=； (2)2626262322===； .1313213121113144121169144121169144121)6(;103010900109009000)5(;28264264128)4(;530530530562.1)3(22=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯==⨯=⨯=====2.解：(1);252322232429241882=+=⨯+⨯=⨯+⨯=+.665636266362663626632236)5(;2342425322162253221622592325092)4(;5514555356553554355955435145203)3(;88343431634231634248122)2(222222-=--=--=--=--=-+=⨯-⨯+=⨯-⨯+=-+=--=-⨯-⨯⨯=-⨯-⨯=--=+=⨯+⨯⨯=⨯+⨯=+Ⅳ.课时小节本节课我们学习了如下内容：1.若被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数的式子的化简.b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；b aba =(a ≥0,b ＞0) 或法则的逆运算的总结. 3.能用上述式子正确地进行化简. Ⅴ.课后作业习题2.10. Ⅵ.活动与探究化简： (1)221++x x ;(2)765125.0c b a ;(3)222432y x y x x y +; (4)23164a a +.解：(1)222221)1(212212===++=++x x x x ; (2)ac c b a c b a c b a 214181125.0664765765⋅==.4244)4(4164)4(;111)1()3(;2412221222122121)21(21)21(22232223222322223222432222432332332233233223322332+=+⨯=+=++=+=+=+=+=+=⨯=⨯=⨯=⨯=⋅=a a a a a a a a x xyy x x x y y x x x y y x x x yy x x x y y x y x x y ac c b a ac c b a ac c b a ac c b a acc b a ac c b a●板书设计。

北师大版八年级上册第二章实数复习培优教案

北师大版八年级上册第二章实数复习培优教案
一、教学内容
北师大版八年级上册第二章实数复习培优教案：
1.实数的定义及其分类；
2.有理数的性质与运算法则；
3.无理数的理解与估算；
4.实数的数轴表示及大小比较；
5.实数的混合运算；
6.实数在实际问题中的应用。
二、核心素养目标
1.理解实数的概念，培养学生的数学抽象素养，使其能够把握数的本质属性；
-实数的概念及其分类：理解实数的定义，掌握有理数与无理数的区别，明确实数的包含关系。
-举例：解释有理数的有限小数和无限循环小数特性，以及无理数的无限不循环特性，如π和√2等。
-实数的数轴表示：能够准确地在数轴上表示实数，并进行大小比较。
-举例：在数轴上标出√3和2的位置，并比较它们的大小。
-实数的混合运算：掌握实数的加减乘除运算法则，特别是带根号的运算。
2.通过实数的性质与运算，提升学生的逻辑推理能力和数学运算能力；
3.利用数轴和估算无理数，增强学生的直观想象和数学建模能力；
4.在解决实际问题时，提高学生的数据分析能力和数学应用意识；
5.通过实数的学习，引导学生形成严谨的科学态度和良好的数学学习习惯，培养其终身学习的素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要回顾实数的基本概念。实数是包含有理数和无理数的数集，它们在数轴上有着广泛的应用。实数的重要性在于它们可以精确地描述自然界中的各种量。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们有一个边长为√2的正方形，我们如何计算它的面积？通过这个案例，我们可以看到实数在实际问题中的应用。
-实数的运算规则：特别是无理数的运算，学生容易混淆运算规则，导致计算错误。

七(下)培优训练(二)实数(提高版)

培优训练二：实数（提高篇）（一）【内容解析】（1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数；要准确、深刻理解概念。

如平方根的概念：①文字概念：若一个数x 的平方是a ，那么x 是a 的平方根；②符号概念：若a x =2，那么a x ±=；③逆向理解：若x 是a 的平方根，那么a x =2。

（2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数a ≥0⇔式子有意义；②在算术平方根中，其结果a 是非负数，即a ≥0； ③计算中的性质1：a a =2)(（a ≥0）；④计算中的性质2：⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ；⑤在立方根中，33a a -=-（符号法则）⑥计算中的性质3：a a =33)(；a a =33（3）实数的分类：（二）【典例分析】1、利用概念解题：例1. 已知：18-+=b a M 是a +8的算术数平方根，423+--=b a b N 是b -3立方根，求N M +的平方根。

练习：1. 已知234323-=-=+y x y x ，，求x y +的算术平方根与立方根。

2．若2a ＋1的平方根为±3，a －b ＋5的平方根为±2，求a+3b 的算术平方根。

例2、已知x 、y 互为倒数，c 、d 互为相反数，a 的绝对值为3，z 的算术平方根是5，求22c d xy a -++的值。

2、利用性质解题：例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数．变式：①已知2a －1和a －11是一个数的平方根，则这个数是；②若2m －4与3m －1是同一个数两个平方根，则m 为。

例2．若y =x -3＋3-x ＋1，求（x ＋y ）x的值例3．x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

⑴⑵⑶ ⑷例4．已知321x -与323-y 互为相反数，求yx21+的值. 练习： 1.若一个正数a 的两个平方根分别为x +1和x +3，求a2005的值。

中考一轮复习实数(培优训练)

实数（培优训练）知识解读1.实数的大小比较常用的两种方法来比较无理数的大小：用无理数的近似值来进行比较；通过乘方将一些无理数转化为有理数进行比较。

2.实数的估算通过与相近的有理数比较来估算无理数的近似值。

3.整数部分和小数部分小数x由其整数部分和小数部分组成，如果其整数部分是，则其小数部分是。

4.实数的性质有理数和无理数具有下面的基本性质：两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）都是有理数；一个无理数和一个非零的有理数的和、差、积商都是无理数。

一个无理数与某个有理数相乘，如果其结果为有理数，那么只能是0.培优学案典例示范1.实数的比较大小例1 比较大小：；【提示】（1）因为5>3,所以；（2；【答案】（1）< (2) < (3) >【技巧点评】如果，那么；两个算术平方根比较大小，可先将它们乘方，化成有理数，对于整数，如果，那么；借助一个数的近似值来比较大小，也是常用的方法。

【跟踪训练1】比较下列各组数的大小：；；；【答案】(1) > (2) > (3) > (4) >2.实数的估算例2 是两个连续的整数，若，则分别是（）A.2,3B. 3,2C. 3,4D. 6,8【答案】A【提示】的平方等于7,7介于连续的两个正整数2和3的平方之间。

【点评】将算术平方根乘方化为有理数后，通过两面夹的办法与相近的有理数比较大小，给出其估算值。

【跟踪训练2】估计在（）A.0-1之间B.1-2之间C.2-3之间D.3-4之间【答案】C3.整数部分和小数部分例3 已知是的整数部分，是的值。

【提示】根据估算，可知所以。

【答案】0【技巧点评】先估算出实数在哪两个相邻的整数之间，然后写出其整数部分，其小数部分就是。

【跟踪训练3】已知的小数部分为，的小数部分为b。

（1）的值；（2）的值。

【答案】(1) 1 (2)4.实数的性质例4 已知，求的值。

【提示】把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于的方程组。

初中数学实数培优进阶教案

初中数学实数培优进阶教案教学目标：1. 理解实数的概念，掌握实数的性质和运算方法；2. 能够运用实数解决实际问题，提高学生的数学应用能力；3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。

教学内容：1. 实数的概念和性质；2. 实数的运算方法；3. 实数在实际问题中的应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾实数的概念，回顾有理数和无理数的定义；2. 提问：实数包括哪些类型？它们之间有什么关系？二、实数的性质（15分钟）1. 介绍实数的性质，如： commutative law、associative law、distributive law等；2. 通过例题讲解实数的性质，让学生理解并掌握；3. 让学生进行练习，巩固所学的知识。

三、实数的运算方法（15分钟）1. 介绍实数的运算方法，如加法、减法、乘法、除法等；2. 通过例题讲解实数的运算方法，让学生理解并掌握；3. 让学生进行练习，巩固所学的知识。

四、实数在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍实数在实际问题中的应用，如长度、面积、体积等；2. 通过例题讲解实数在实际问题中的应用，让学生理解并掌握；3. 让学生进行练习，巩固所学的知识。

五、总结与反思（5分钟）1. 让学生总结本节课所学的知识，实数的性质和运算方法；2. 让学生反思自己在学习过程中的优点和不足，提出改进措施；3. 鼓励学生继续努力，提高自己的数学水平。

教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性；2. 学生练习的准确性和熟练程度；3. 学生对实际问题中实数应用的能力。

教学资源：1. 教材《初中数学实数培优进阶》；2. 教案、PPT等教学资料；3. 练习题及答案。

教学建议：1. 注重学生的个体差异，因材施教；2. 鼓励学生提问，培养学生的思维能力；3. 加强练习，让学生熟练掌握实数的性质和运算方法。

专题6.5实数的运算与解方程(重难点培优)-2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优

2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】专题6.4实数的运算与解方程（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共25小题） 1．（2020秋•香坊区期末）计算：（1）√25+√−273+√214；（2）2√2−|√2−1|．【分析】（1）首先计算开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．（2）首先计算绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解析】（1）√25+√−273+√214＝5+（﹣3）+32＝2+32=72．（2）2√2−|√2−1| ＝2√2−√2+1 =√2+1．2．（2020秋•松北区期末）计算：（1）√−643−|2−√5|−√(−3)2+2√5；（2）3√5−|√6−√5|．【分析】（1）首先计算开方、绝对值，然后从左向右依次计算即可．（2）首先计算绝对值，然后从左向右依次计算即可．【解析】（1）√−643−|2−√5|−√(−3)2+2√5 ＝﹣4−√5+2﹣3+2√5 =√5−5．（2）3√5−|√6−√5| ＝3√5−√6+√5 ＝4√5−√6．3．（2020秋•道里区期末）计算：（1）√16−√−273+√49；（2）|√2−√3|+√(−5)2−√3．【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的性质化简得出答案；（2）直接利用绝对值的性质和算术平方根分别化简得出答案．【解析】（1）原式＝4+3+7 ＝14；（2）原式=√3−√2+5−√3 ＝5−√2．4．（2020秋•禅城区期末）计算：（√6−2√15）×√3−6√12．【分析】首先根据乘法分配律去括号，然后化简二次根式计算．【解析】原式=√6×3−2√15×3−6×√22 ＝3√2−6√5−3√2 ＝﹣6√5．5．（2020秋•中原区校级月考）计算：√32−√−273−√(−23)2+|1−√2|．【分析】直接利用算术平方根和立方根的定义、绝对值的性质分别化简得出答案．【解析】原式＝4√2+3−23+√2−1 =5√2+43．6．（2020秋•崇川区校级月考）已知a ，b 为实数，且√1+a −(b −1)√1−b =0，求a 2020﹣b 2021的值．【分析】由已知条件得到√1+a +（1﹣b ）√1−b =0，利用二次根式有意义的条件得到1﹣b ≥0，再根据几个非负数和的性质得到1+a ＝0，1﹣b ＝0，解得a ＝﹣1，b ＝1，然后根据乘方的意义计算a 2020﹣b 2021的值．【解析】∵√1+a −(b −1)√1−b =0，∴√1+a +（1﹣b ）√1−b =0， ∵1﹣b ≥0，1+a ≥0， ∴1+a ＝0，1﹣b ＝0，解得a ＝﹣1，b ＝1，∴a 2020﹣b 2021＝（﹣1）2020﹣12021＝1﹣1＝0． 7．（2020秋•龙岗区校级期中）计算下列各题：（1）（−32）2×√(−2)2+12×√−1253−（﹣5）3×√0.0083；（2）（√3+3√2−√6）（√3−3√2−√6）．【分析】（1）直接利用立方根的定义和算术平方根的定义分别化简得出答案；（2）直接利用乘法公式计算得出答案．【解析】（1）原式=94×2+12×（﹣5）+125×0.2 =92−52+25 ＝27；（2）原式＝[（√3−√6）+3√2][（√3−√6）﹣3√2] ＝（√3−√6）2﹣（3√2）2 =3+6−2√18−18 =−9−6√2．8．（2020春•越秀区校级月考）计算：（1）√36−√273+√(−2)2−√214；（2）|√3−2|−√4−（3−√3）．【分析】（1）直接利用立方根的定义和算术平方根的定义分别化简得出答案；（2）直接利用绝对值的性质以及算术平方根的定义分别化简得出答案．【解析】（1）原式＝6﹣3+2−32 ＝3.5；（2）原式＝2−√3−2﹣3+√3＝﹣3．9．（2020春•越秀区校级期中）（1）√643−|√3−3|+√36；（2）计算√2(√2−3)−|2√2−3|+√(−3)2．【分析】（1）首先根据立方根的定义、绝对值的性质、二次根式的性质进行计算，再算加减即可；（2）利用乘法分配律计算乘法，根据绝对值的性质、二次根式的性质进行化简，再算加减即可．【解析】（1）原式＝4﹣（3−√3）+6，＝4﹣3+√3+6，＝7+√3；（2）原式＝2﹣3√2−（3﹣2√2）+3，＝2﹣3√2−3+2√2+3，＝2−√2．10．（2020秋•锦江区校级月考）计算（1）计算：√16+√−643−√(−3)2+|√3−1|；（2）解方程：18﹣2x2＝0；（3）解方程：（x+1）3+27＝0．（4）计算：（3√12−2√13）÷2√3．【分析】（1）首先计算开方、绝对值，然后从左向右依次计算即可．（2）根据平方根的含义和求法计算即可．（3）根据立方根的含义和求法计算即可．（4）根据除法的性质计算即可．【解析】（1）√16+√−643−√(−3)2+|√3−1|＝4+（﹣4）﹣3+√3−1=√3−4．（2）∵18﹣2x2＝0，∴2x2＝18，∴x2＝9，解得x1＝﹣3，x2＝3．（3）∵（x+1）3+27＝0，∴（x+1）3＝﹣27，∴x+1＝﹣3，解得x＝﹣4．（4）（3√12−2√13）÷2√3＝3√12÷2√3−2√13÷2√3＝3−1 3=83．11．（2020春•越秀区校级期中）已知2（x﹣2）2＝8，求x的值．【分析】把方程化为（x﹣2）2＝4，再根据平方根的定义解答即可．【解析】2（x﹣2）2＝8，（x﹣2）2＝4，x−2=±√4，x﹣2＝±2，x﹣2＝2或x﹣2＝﹣2，解得x＝4或x＝0．12．（2020春•中山区期末）定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数，且未知数的最高次数是2的⼀程，叫做⼀元⼀次⼀程．如x2＝9，（x﹣2）2＝4，3x2+2x﹣1＝0…都是⼀元⼀次⼀程．根据平⼀根的特征，可以将形如x2＝a（a ≥0）的⼀元⼀次⼀程转化为⼀元⼀次⼀程求解．如：解⼀程x2＝9的思路是：由x＝±√9，可得x1＝3，x2＝﹣3．解决问题：（1）解⼀程（x﹣2）2＝4．解：∵x﹣2＝±√4，∴x﹣2＝2，或x﹣2＝﹣2．∴x1＝4，x2＝0．（2）解⼀程：（3x﹣1）2﹣25＝0．【分析】根据例题运用平方根解一元二次方程的方法解答即可．【解析】（1）∵x﹣2＝±√4，∴x﹣2＝2，或x﹣2＝﹣2．∴x1＝4，x2＝0．（2）∵（3x﹣1）2﹣25＝0∴（3x﹣1）2＝25，∴3x﹣1＝±√25，∴3x﹣1＝5，或3x﹣1＝﹣5．∴x1＝2，x2=−4 3．故答案为：﹣2，0．13．（2020秋•姑苏区期中）求下列式子中x的值（1）5x2＝10．（2）（x+4）2＝8．【分析】（1）根据等式的性质，可得乘方的形式，根据平方根的定义可得答案；（2）根据开平方，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．【解析】（1）两边都除以5，得x2＝2，开方，得x＝±√2；（2）开方，得x+4＝±2√2，解得x＝﹣4+2√2或x＝﹣4﹣2√2．14．（2020秋•常州期中）求下列各式中的x．（1）4x2﹣9＝0；（2）（2x+1）2＝81．【分析】（1）先移项，再系数化1，然后开平方可得答案；（2）先开方，再求出x的值即可．【解析】（1）4x2﹣9＝0，4x2＝9，x2=9 4，x ＝±32；（2）∵（2x +1）2＝81， ∴2x +1＝9或2x +1＝﹣9，解得：x 1＝4，x 2＝﹣5．15．（2020秋•和平区校级月考）解方程：16（x ﹣1）2﹣9＝0．【分析】先移项，然后化系数为1，利用平方根的定义解答即可．【解析】∵16（x ﹣1）2﹣9＝0， ∴（x ﹣1）2=916， ∴x ﹣1=±34， ∴x 1=74，x 2=14．16．（2020春•曹县期末）已知6（x +4）3+48＝0，x +2y 的算术平方根是6，求4y ﹣3的平方根．【分析】直接利用立方根的定义以及算术平方根的定义得出x ，y 的值，进而求出答案．【解析】∵6（x +4）3+48＝0， ∴（x +4）3＝﹣8， ∴x +4＝﹣2， ∴x ＝﹣6；∵x +2y 的算术平方根是6， ∴x +2y ＝36， ∴﹣6+2y ＝36， ∴y ＝21，∴4y ﹣3＝4×21﹣3＝81， ∴4y ﹣3的平方根是9或﹣9．17．（2020秋•工业园区校级月考）解方程：（1）2（x ﹣1）2﹣18＝0；（2）3x 3+4＝﹣20．【分析】（1）依据平方根的定义，进行计算即可得出结论；（2）依据立方根的定义，进行计算即可得出结论．【解析】（1）2（x﹣1）2﹣18＝0，2（x﹣1）2＝18，（x﹣1）2＝9，x﹣1＝±3，解得x＝4或﹣2；（2）3x3+4＝﹣20，3x3＝﹣24，x3＝﹣8，解得x＝﹣2．18．（2020秋•鼓楼区校级月考）解方程：（1）（x﹣1）2＝81；（2）8x3+27＝0．【分析】（1）依据平方根的定义进行计算，即可得出x的值；（2）依据立方根的定义进行计算，即可得出x的值．【解析】（1）（x﹣1）2＝81，x﹣1＝±9，解得x＝10或﹣8；（2）8x3+27＝0，8x3＝﹣27，x3=−27 8，解得x=−3 2．19．（2020秋•双流区校级月考）解方程：（1）2（x﹣1）2﹣49＝1；（2）3（2x﹣1）3＝﹣81．【分析】（1）依据平方根的定义，即可得到x的值；（2）依据立方根的定义，即可得到x的值．【解析】（1）2（x﹣1）2﹣49＝1，2（x﹣1）2＝50，（x﹣1）2＝25，∴x﹣1＝±5，解得x＝﹣4或6；（2）3（2x﹣1）3＝﹣81，（2x﹣1）3＝﹣27，2x﹣1＝﹣3，解得x＝﹣1．20．（2020秋•沙坪坝区校级月考）解方程：（1）4（x﹣1）2＝25；（2）2（x+2）3＝1024．【分析】（1）根据平方根解答方程即可；（2）根据立方根解答方程即可．【解析】（1）4（x﹣1）2＝25，x−1=±52，x1＝3.5，x2＝﹣1.5；（2）2（x+2）3＝1024，x+2＝8，x＝6．21．（2020秋•青羊区校级月考）解方程．（1）（x﹣2）2＝9．（2）3x3﹣81＝0．【分析】（1）根据平方根解答方程即可；（2）根据立方根解答方程即可．【解析】（1）（x﹣2）2＝9．x﹣2＝±3，x1＝5，x2＝﹣1．（2）3x3﹣81＝0，3x3＝81，x3＝27，x＝3．22．（2020秋•灞桥区校级月考）解方程（1）4（3x+1）2＝1；（2）（x+2）3+1＝0．【分析】（1）根据等式的性质可得（3x+1）2=14，再根据平方根的定义解答即可；（2）根据等式的性质可得（x+2）3＝﹣1，再根据立方根的定义求解即可．【解析】（1）4（3x+1）2＝1，（3x+1）2=1 4，3x+1=±12，3x+1=12或3x+1=−12，解得x=−16或−12．（2）（x+2）3+1＝0，（x+2）3＝﹣1，x+2＝﹣1，解得x＝﹣3．23．（2020秋•武侯区校级月考）解方程：（1）（x﹣1）3＝﹣27．（2）3（x﹣2）2＝12．【分析】（1）直接利用立方根的定义计算得出答案；（2）直接利用平方根的定义得出答案．【解析】（1）（x﹣1）3＝﹣27，则x﹣1＝﹣3，解得：x＝﹣2；（2）3（x﹣2）2＝12则（x﹣2）2＝4，故x﹣2＝±2，解得：x1＝4，x2＝0．24．（2020春•江夏区月考）求下列各式中的x．（1）3x2﹣15＝0；（2）2（x﹣1）3＝﹣54；【分析】（1）式子根据等式的性质变形可得x2＝5，再根据平方根的定义求解即可；（2）式子根据等式的性质变形可得（x﹣1）3＝﹣27，再根据立方根的定义求解即可．【解析】（1）3x2﹣15＝0，3x2＝15，x2＝5，x＝±√5；（2）2（x﹣1）3＝﹣54，（x﹣1）3＝﹣27，x﹣1＝﹣3，x＝﹣2．25．（2020春•海淀区校级期末）已知正实数x的平方根是n和n+a．（1）当a＝6时，求n；（2）若n2x2+（n+a）2x2＝10，求x的值．【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出a的值；（2）利用平方根的定义得到（n+a）2＝x，a2＝x，代入式子n2x2+（n+a）2x2＝10即可求出x值．【解析】（1）∵正实数x的平方根是n和n+a，∴n+n+a＝0，∵a＝6，∴2n+6＝0∴n＝﹣3；（2）∵正实数x的平方根是n和n+a，∴（n+a）2＝x，n2＝x，∵n2x2+（n+a）2x2＝10，∴x3+x3＝10，∴x3＝5，∵x＞0，3∴x=√5。

部编数学七年级下册专题6.3实数专项提升训练(重难点培优)2023培优(解析版)【人教版】含答案

2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优题典【人教版】专题6.3实数专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•锦江区校级期中）以下四个数： 3.14，227，0.101，无理数的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【解答】解：3.14，0.101是有限小数，属于有理数；227是分数，属于有理数；无理数有1个．故选：A ．2．（2022秋•开福区校级期中）在四个数﹣2，﹣0.6，12，A ．﹣2B ．﹣0.6C ．12D 【分析】根据实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：∵﹣2＜﹣0.6＜12＜∴四个数中最小的数是﹣2．故选：A ．3．（2022秋•鄞州区校级期中）现有4个数：﹣3.5，π，﹣22，其中在﹣3和4之间的有（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【分析】根据实数大小比较方法，比较各数与﹣3，4的大小即可得答案．【解答】解：∵﹣3.5＜﹣3＜π＜4＜22，∴在﹣3和4之间的有π两个，故选：B ．4．（2022秋•A．点E B．点F C．点M D．点P∴23，∴点M符合题意，故选：C．5．（2022秋•杭州期中）以下几种说法：①每一个无理数都可以用数轴上的点来表示；②近似数1.70所表示的准确数x的范围是1.695≤x＜1.705；③在数轴上表示的数在原点的左边；④立方根是它本身的数是0和1；其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①数轴上的点与实数是一一对应关系，每一个无理数都可以用数轴上的点来表示；②根据四舍五入来判定x的取值范围；③在数轴上表示的数可以在原点的左边右边或原点上；④根据立方根的定义解答．【解答】解：①数轴上的点与实数是一一对应关系，每一个无理数都可以用数轴上的点来表示；②根据四舍五入来判定近似数1.70所表示的准确数x的范围是1.695≤x＜1.705；③在数轴上表示的数可以在原点的左边右边或原点上；④立方根是它本身的数为0，1，﹣1．故选B．6．（2022秋•杭州期中）下列大小关系判断正确的是（）A．0＞|﹣10|B．−19＞−（−110）C．﹣3＞D．﹣32＞﹣π【分析】根据实数比较大小的法则对各选项进行比较即可．【解答】解：|﹣10|＝10＞0，故A不符合题意；∵−19＜0，﹣（−110）=110＞0，∴−19＜−（−110），故B不符合题意；∵10＞9，3，∴﹣3＞C符合题意；∵32＝9，π≈3.14，∴32＞π，∴﹣32＜﹣π，故D不符合题意．故选：C．7．（2022秋•+1介于整数（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间1的大小即可．【解答】解：∵23，∴3+1＜4，故选：C．8．（2022秋•朝阳区校级期中）在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B B关于点A的对称点为C，则C所表示的数为（）A B C．D．【分析】首先根据数轴上点A表示的数为1，点B AB的长度，然后根据点B和点C关于点A对称，求出AC的长度，最后可以计算出点C的坐标．【解答】解：∵数轴上点A表示的数为1，点B∴BA=（﹣1）1，∵点B关于点A的对称点为点C，∴BA＝AC，设点C表示的数为x，则1＝﹣1﹣x，∴x＝﹣2∴点C的坐标为：﹣2故选：C．9．（2022•[n ]表示不超过n 的最大整数）（）A 2B 3C ．4D ．﹣2【分析】根据算术平方根的性质（被开方数越大，则其算术平方根越大）解决此题．【解答】解：∵1＜1.96＜2＜2.89＜3＜4，∴1＜1.42．∴1.4 1.72．．故选：B ．10．（2022•南京模拟）对于示数x ，规定f （x ）＝x 2﹣2x ，例如f （5）＝52﹣2×5＝15，f(−13)=(−13)2−2×(−13)=79，现有下列结论：①若f （x ）＝3，则x ＝﹣1；②f （x ）的最小值为﹣1；③对于实数a ，b ，若a +bab ＝﹣1，则f(a)+f(b)=④f （10）﹣f （9）+f （8）﹣f （7）+⋯+f （2）﹣f （1）＝65．以上结论正确的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【分析】依据题意，规定f （x ）＝x 2﹣2x ，①题直接解一元二次方程；②题用配方法求最值；③题用完全平方公式进行变形；④题把特殊值代入，即可得出答案．【解答】解：依据题意f （x ）＝x 2﹣2x ，①f （x ）＝3，即x 2﹣2x ＝3，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，因此①错误，不符合题意，②f （x ）＝x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1，故f （x ）的最小值为﹣1，因此②正确，符合题意，③对于实数a ，b ，若a +bab ＝﹣1，即f （a ）+f （b ）＝（a 2﹣2a ）+（b 2﹣2b ）＝（a +b ）2﹣2ab ﹣2（a +b ）=2−2×(−1)−2×5−2③正确，符合题意，④∵f （10）＝102﹣2×10＝80，f （9）＝92﹣2×9＝63，f （8）＝82﹣2×8＝48，f （7）＝72﹣2×7＝35，f （6）＝62﹣2×6＝24，f （5）＝52﹣2×5＝15，f （4）＝42﹣2×4＝8，f （3）＝32﹣2×3＝3，f（2）＝22﹣2×2＝0，f （1）＝12﹣2×1＝﹣1，∴f （10）﹣f （9）+f （8）﹣f （7）+f （6）﹣f （5）+f （4）﹣f （3）+f （2）﹣f （1）＝45，故④错误，不符合题意．∴答案为②③．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•−2　＞　4．【分析】比较两数的大小，可以比较两数差与0的大小，差大于0，被减数大于减数，反之，则被减数小于减数．2﹣4=6=0，2＞4．故答案为：＞．12．（2022秋•萧山区校级期中）已知a，小数部分b，则a＝　2　，2a﹣b【分析】先估算6a和小数部分b，最后代入计算2a﹣b．34，∴﹣4＜−3，∴6﹣4＜66﹣3，即2＜63．∴a＝2，b＝62＝4∴2a﹣b＝2×2﹣（4＝4﹣4+=故答案为：213．（2022春•3的相反数是　3−　±3　．2 ＞　4，2．【分析】利用相反数的意义，平方根的意义和有理数的大小比较的法则解答即可．3的相反数是33；故答案为：3±3；6，4+2，2＞4；故答案为：＞；2，∴−2．故答案为：＜．14．（2022春•海丰县期末）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则|a﹣b|﹣|b+a|＝　2b　．【分析】根据点在数轴的位置，知：a＜0，b＞0，且a的绝对值大于b的绝对值．根据实数的运算法则，知：a﹣b＜0，a+b＜0．再根据绝对值的性质进行化简即可．【解答】解：根据数轴得：a﹣b＜0，a+b＜0，∴原式＝b﹣a+b+a＝2b．故答案为：2b．15．（2022春•牡丹江期中）已知a b a）3+（b+2）2＝　0　．【分析】根据4＜8＜9a与b的值，代入所求式子计算即可求出值．【解答】解：∵4＜8＜9，∴23，a＝2，小数部分b=2，则原式＝﹣8+8＝0．故答案为：016．（2022春•滨州期末）m，n1的整数部分和小数部分，则2m﹣n＝　1−1的整数部分和小数部分，从而可得到m、n的值，最后代入计算即可．【解答】解：∵1＜2＜4，∴12，∴01＜1．∴m＝0，n=1．∴2m﹣n＝01）＝1故答案为：117．（2022春•启东市期中）对于任意两个正数x和y，规定x⊕y=≥y)y)，例如，4⊕1=1＝1．请计算（5⊕2）﹣（5⊕3−5　．【分析】利用规定x⊕y的运算法则分别计算5⊕2和5⊕3后，再利用实数的运算法则运算即可．【解答】解：∵5⊕22，5⊕3＝3∴（5⊕2）﹣（5⊕3）2）﹣（3=2﹣3+＝5，故答案为：5．18．（2022春•黔西南州期末）如图，面积为4的正方形ABCD的边AB在数轴上，且点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，点A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S＝1时，数轴上点B'表示的数是　2.5　．【分析】根据正方形ABCD的面积为4得到边长AD＝AB＝2，移动方向不确定，应该分类讨论，即可得到点B'表示的数．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为4，∴边长AD＝AB＝2，∴点A表示的数为3，当正方形沿数轴向右移动时，当S＝1时，AD×AB′＝1，∴AB′=1 2，∴点B'表示的数为2.5；当正方形沿数轴向左移动时，当S＝1时，BC×A′B＝1，∴A′B=1 2，∴BB′＝1.5，∴点B'表示的数为1﹣1.5＝﹣0.5；故答案为：2.5或﹣0.5．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022秋•安岳县校级月考）计算：（1）2+（2）（﹣2）3×（﹣1）2013（3+【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（3）先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：（1）2＝3﹣4+（﹣2）＝﹣3；（2）（﹣2）3×（﹣1）2013＝﹣8×112+（﹣1）﹣3＝﹣44﹣1﹣3＝﹣48；（3+＝4+32+32−5＝2．20．（2022秋•萧山区校级期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：−47，|−12|，0，π3，−“−47”，乙同学说，丙同学说“π3”．（1）甲、乙、丙三位同学中，说错的是甲　．（2）请将老师所给的数字按要求填入横线内：整数：　0、−负分数：　−47　．【分析】（1）根据无理数的定义解答即可；（2）根据有理数的分类解答即可．【解答】解：（1）因为“−47”是负分数，属于有理数；是无理数，“π3”是无理数．所以甲、乙、丙三个人中，说错的是甲；故答案为：甲；（2）−4，|−12|=12，整数有：0，负分数有：−47．故答案为：0，−47．21．（2022春•重庆月考）a b ，c ﹣1是9的算术平方根，2b a+|b +1|的值．【分析】估算无理数的大小得到a ，b 的值，再根据算术平方根的定义求出c 的值，然后代入代数式进行计算即可得出答案．【解答】解：∵4＜5＜9，∴23，∴a ＝2，b =2，∵c ﹣1是9的算术平方根，∴c ﹣1＝3，∴c ＝4，+2b a −+|b +1|=+2+1|＝22﹣22+1＝3．22．（2022秋•杭州期中）（1）若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c=，|x+2|+ =0．则a＝　1　；b＝　0　；c x＝　﹣2　；y＝　3　．（2）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，|e|=4（a+b）+（﹣cd）2﹣e2的值．【分析】（1）根据绝对值，算术平方根的非负性，进行计算即可解答；（2）根据相反数，倒数，绝对值的意义可得a+b＝0，cd＝1，e＝解答．【解答】解：（1）∵a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，∴a＝1，b＝0，∵c=，∴c∵|x+2|=0，∴x+2＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣2，y＝3，故答案为：1；02；3；（2）∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，|e|=∴a+b＝0，cd＝1，e∴4（a+b）+（﹣cd）2﹣e2的＝4×0+（﹣1）﹣2＝0﹣1﹣2＝﹣3，∴4（a+b）+（﹣cd）2﹣e2的值为﹣3．23．（2022秋•南岸区校级期中）（1）若|2x﹣4|+（y+3）2+=0，求x﹣2y+z的平方根．（2）如图，实数a，b，c是数轴上A，B，C+|c﹣b||a+c|．【分析】（1）已知等式为三个非负数的和为0的形式，只有这几个非负数都为0，求x、y、z的值，即可求得x﹣2y+z的值，进一步得出答案；（2）根据数轴判断a、b、c的正负，然后判断c﹣b、a﹣b、a+c的正负，然后去绝对值，去根号，最后整理即可．【解答】解：（1）∵|2x﹣4|+（y+3）20，∴2x﹣4＝0，y+3＝0，x+y+z＝0，∴x＝2，y＝﹣3，z＝1，∴x﹣2y+z＝2+6+1＝9，∴x﹣2y+z的平方根为±3．（2）由数轴可知，b＜a＜0＜c，|c|＞|a|，∴c﹣b＞0，a﹣b＞0，a+c＞0，+|c﹣b||a+c|＝c+c﹣b﹣（a﹣b）+a+c＝c+c﹣b﹣a+b+a+c＝3c．24．（2022秋•温州期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），（1）折叠纸片，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示　2　的点重合；（2）折叠纸片，使表示﹣1的点与表示3的点重合，回答以下问题：①表示5的点与表示　﹣3　的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为13（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是　−112　；点B表示的数是　152　．③　2−（3）已知数轴上P，Q两点表示的数分别为﹣1和3，有一只电子小蜗牛从P点出发以每秒2个单位的速度向右移动，运动多少秒时，它到点P的距离是到点Q的距离的2倍？【分析】（1）根据题意确定纸片是沿着0点进行折叠的，再求解即可；（2）①由题意确定纸片是沿着表示1的点进行折叠的，再求解即可；②设点A表示的数是x，则点B表示的数是x+13，根据折叠的性质可得x x132=1，求出x的值再求解即可；③由①2（3）设运动时间为t秒，小电子小蜗牛运动的点表示的数为x，则x＝﹣1+2t，根据题意列出方程|x+1|＝2|x﹣2|，求出x后再求t的值即可求解．【解答】解：（1）∵表示1的点与表示﹣1的点重合，∴纸片是沿着0点进行折叠的，∴表示﹣2的点与表示2的点重合，故答案为：2；（2）①∵表示﹣1的点与表示3的点重合，又∵−132=1，∴纸片是沿着表示1的点进行折叠的，∴表示5的点与表示﹣3的点重合，故答案为：﹣3；②设点A表示的数是x，则点B表示的数是x+13，∵A、B两点经折叠后重合，∴x x132=1，解得x=−11 2，∴−112+13=152，∴点A表示的数是−112，点B表示的数是152，故答案为：−112，152；③∵纸片是沿着表示1的点进行折叠的，2故答案为：2（3）设运动时间为t秒，小电子小蜗牛运动的点表示的数为x，∴x＝﹣1+2t，∵它到点P的距离是到点Q的距离的2倍，∴|x+1|＝2|x﹣2|，解得x＝1或x＝5，当x＝1时，2t﹣1＝1，解得t＝1，当x＝5时，2t﹣1＝5，解得t＝3，∴运动1秒或3秒时，它到点P的距离是到点Q的距离的2倍．。

八年级数学培优——实数

第06讲实数考点·方法·破译1．平方根与立方根：若2x ＝a (a ≥0)则x 叫做a 的平方根，记为：a 的平方根为x ＝±a ，其中a 的平方根为x ＝a 叫做a 的算术平方根．若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x ＝3a ．2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数p q（p 、q 是两个互质的整数，且q ≠0）的形式． 3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a >0，2n a ≥0（n 为正整数），a ≥0(a ≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．02．已知m 是小于152+的最大整数，则m 的平方根是____．03．9的立方根是____．y 是____．【例2】已知非零实数a 、b 满足()2242342a b a b a -+++-+=，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ． 0 C ．1 D ．2【变式题组】0l ．在实数范围内，等式223a a b ----+＝0成立，则a b ＝____． 02．若()2930a b -+-=，则a b的平方根是____． 03．若x 、y 为实数，且220x y ++-=，则2009x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－2 输入x 取算术平方根输出y是无理数是有理数04．已知x 是实数，则1x x x πππ--+-+的值是( ) A ．11π- B ．11π+ C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b 都为有理效，且满足123a b b -+=+．求a ＋b 的平方根．【变式题组】01．已知m 、n 是有理数，且（5＋2）m ＋(3－25)n ＋7＝0求m 、n ．02．设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y −4−π＝0，则x −y ＝____．【例4】若a 为17−2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．【变式题组】01．若3＋5的小数部分是a ，3−5的小数部分是b ，则a ＋b 的值为____．02．5的整数部分为a ，小数部分为b ，则（5＋a ）·b ＝____．演练巩固反馈提高0l ．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ． 16的平方根是±4D ．27的立方根是±302．设3a =-，b ＝－2，5c =-，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ． b <a <c D ．c <a <b03．下列各组数中，互为相反数的是( )A ．－9与81的平方根B ．4与 364-C ．4与364D ．3与904．在实数1.414，2-，0.1•5•，5−16，π，3.1•4•，83125中无理数有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )A ．b >aB ．a b >C ．－a ＜bD ．－b >a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )A ． 1个B ．2个C ． 3个D ．4个07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A. m＝±nB.m＝n C .m＝－n D.m n≠08．如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1和3，点B关于点A的对称点C，则点C 所表示的数为( )A．－23-B．－13-C．－2 ＋3D．l＋309．点A在数轴上和原点相距5个单位，点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点A左边，则A、B之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，2，3…，19，20．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝a ba b+-，如3※2＝3232+-＝5．那么12.※4＝____．12．已知a、b为两个连续整数，且a<7 <b，则a＋b＝____．13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝()()22a b a bab a b⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m＝36，则实数m＝____．14．设a是大于1的实数．若a，23a+，213a+在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．19．若b＝315a-＋153a-＋2且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn−2）(3mn＋4)的平方根与立方根．20．若x 、y 为实数，且（x −y ＋1）2培优升级奥赛检测01．一个正数x 的两个平方根分别是a ＋1与a −3，则a 值为( )A ． 2B ．－1C ． 1D ． 002( )A ．0B ． 1C ．1D ． 203−2的最小值为____．04．设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a 2＋3b ＋21−a ＋b ＝____． 05．若a b -＝1，且3a ＝4b ，则在数轴上表示a 、b 两数对应点的距离为____．06．已知实数a 满足2009a a -=，则a − 20092＝_______．07．若m 满足关系式=，试确定m 的值．08．若a 、b 满足5b ＝7，S ＝3b ，求S 的取值范围．09．已知0<a <1，并且123303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦g g g 2930a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a ]的值[其中[x ]表示不超过x 的最大整数] ．10．已知实数a 、b 、x 、y 满足y 21a =-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．11．巳知x ＝b a，a 、b 为互质的正整数．且a ≤8−1<x 1， (1)试写出一个满足条件的x ；(2)求所有满足条件的x ．。

初中-数学-人教版-4.6 实数课后提升(二)

4.6 实数课后提升（二）1．如图，在图中空白处填上恰当的实数，使每一行、每一列、每一条对角线上3个实数的和都是0．2．如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点A表示的数为-1，正方形ABCD 的面积为16．（1）数轴上点B表示的数为______．（2）将正方形ABCD沿数轴水平移动，移动后得到的正方形记为A'B'C'D'，正方形A'B'C'D'与正方形ABCD重叠部分的面积记为S．①当S=4时，画出图形，并求出数轴上点A'表示的数；①设正方形ABCD的移动速度为每秒2个单位，点E为线段AA'的中点，点F在线段BB'上，且14BF BB'=．经过ts后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值．参考答案1、【答案】略【分析】【解答】2、【答案】【分析】【解答】（1）因为正方形ABCD的面积为16，所以AB=4，因为点A表示的数为-1，所以AO=1，所以BO=5，所以数轴上点B表示的数为-5，故答案为：-5．（2）①因为正方形的面积为16，所以边长为4．当S=4时，分两种情况：若将正方形ABCD向左平移，如图1，A'B=4÷4=1，所以AA'=4÷1=3，所以点A'表示的数为-1-3=-4；若将正方形ABCD向右平移，如图2，AB'=4÷4=1，所以AA'=4-1=3，所以点A'表示的数为-1+3=2．综上所述，点A'表示的数为-4或2．①t的值为4．理由如下：当正方形ABCD沿数轴负方向运动时，点E，F表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意，所以当点E，F所表示的数互为相反数时，正方形ABCD沿数轴正方向运动，如图3．因为11222E AA t t'==⨯=，点A表示-1，所以点E表示的数为-1+t．因为1112442BF BB t t'==⨯=，点B表示-5，所以点F表示的数为152t-+．因为点E，F所表示的数互为相反数，所以1152t t⎛⎫-++-+⎪⎝⎭，解得t=4．答案第1页，共2页。

初二-第02讲-实数与实数计算(培优)-学案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(上) 课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第02讲-实数与实数计算授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解实数的基本内容；②掌握算术平方根、平方根、立方根、实数的概念及二次根式的相关概念；③重点掌握无理数的相关概念及二次根式的混合运算。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、无理数（1）概念：无限不循环小数；（2）估算无理数的近似值——“夹逼法”。

2、平方根（1）算术平方根；（2）平方根：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根；（3）开平方：被开方数为非负数。

3、立方根体系搭建（1）正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数；（2）开立方：被开方数为任意实数。

4、实数的分类（1）按定义分：分为有理数和无理数；（2）按符号性质分：分为正实数、0、负实数。

5、实数的有关概念与性质（1）实数的绝对值、相反数、倒数（2）实数与数轴上的点一一对应 6、实数的运算（1）实数的大小比较（2）实数的混合运算 7、二次根式（1）概念：形如()0a a ≥的式子叫二次根式；被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

（2）性质：()0,0ab a b a b =≥≥g ，()0,0a a a b b b=≥≥。

（3）运算：①加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式分别合并；②混合运算：先算乘方，再算乘除，后算加减，有括号的先算括号内的。

考点一：无理数例1、下列实数中的无理数是（）A ．0.7B ．C ．πD ．﹣8例2、阅读下列材料：设=0.333…①，则10x=3.333…②，则由②﹣①得：9x=3，即．所以=0.333…=．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数．= ，= ．例3、把下列各数分别填在相应的集合中：﹣，，﹣，0，﹣，、，0.，3.14例4、定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以，是无理数．可以这样证明：设与b 是互质的两个整数，且b≠0．则a2=2b2因为b是整数且不为0，所以，a是不为0的偶数，设a=2n，（n是整数），所以b2=2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以，是无理数．仔细阅读上文，然后，请证明：是无理数．考点二：平方根与立方根例1、已知一个正数的平方根是2x和x﹣6，这个数是．例2、下面是一个某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第n行倒数第二个数是．（用含n的代数式表示）例3、已知x+y=，x﹣y=，则x4﹣y4= ．考点三：实数的有关概念与性质例1、实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．|a|＜|b| B．a＞b C．a＜﹣b D．|a|＞|b|例2、已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）A．a•b＞0 B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a﹣b＞0例3、化简= ．例4、（1）已知|2012﹣x|+=x，求x﹣20132的值；（2）已知a＞0，b＞0且（+）=3（+5）．求的值．考点四：实数的运算例1、计算：+（）﹣3+20160．例2、计算：（﹣1）2016+﹣|﹣|﹣（π﹣3.14）0．例3、计算：（﹣3）0﹣|﹣|+．考点五：二次根式例1、使二次根式有意义的x的取值范围是（）A．x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1例2、在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为．例3、计算：例4、已知=﹣（x，y为有理数），则x﹣y= ．例5、观察下列各式及其验证过程：（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反应的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并说明它成立．例6、阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：==；（一）=（二）==（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：=（四）（1）请用不同的方法化简．①参照（三）式得=（）；②参照（四）式得=（）（2）化简：．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、下列式子正确的是（）A．=±2B．=﹣2C．=﹣2D．=﹣22、实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣2 B．a＜﹣3C．a＞﹣b D．a＜﹣b3、实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（）A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b4、在，3.14159，，﹣8，，0.6，0，，中是无理数的个数有个．5、在：，，0，3.14，﹣，﹣，7.151551…（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中，整数集合{ …}，分数集合{ …}，无理数集合{ …}．6、代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．7、计算（+1）2﹣π0﹣|1﹣|8、计算：（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣．9、若二次根式有意义，则a的取值范围是（）A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠210、计算：．11、观察下列等式：第1个等式：a1==﹣1，第2个等式：a2==﹣，第3个等式：a3==2﹣，第4个等式：a4==﹣2，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n个等式：a n= = - ；（2）a1+a2+a3+…+a n= ．➢课后反击1、下列各数：1.414，，﹣，0，其中是无理数的为（）A．1.414 B．C．﹣D．02、的平方根是（）A．﹣3 B．±3C．±9 D．﹣93、下列说法中，正确的是（）A．等于±4 B．﹣42的平方根是±4C．8的立方根是±2 D．﹣是5的平方根4、若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断错误的是（）A．a＜0 B．ab＜0C．a＜b D．a，b互为倒数5、如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（）A．p B．q C．m D．n6、在下列各数中：3.1415、0.2060060006（相邻的两个6之间依次多一个0）、0、、﹣π、、、、，无理数的个数是．7、如果整数x＞﹣3，那么使函数y=有意义的x的值是（只填一个）8、把下列各数填入相应的集合内：，π，，1.14141，﹣，|﹣7|，，，9、计算：．1、【2016•富顺县】已知，求（m+n）2016的值？直击中考2、【2008•凉山州】阅读材料，解答下列问题．例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（2）猜想与|a|的大小关系．S(Summary-Embedded)——归纳总结1、无理数的识别与估算；2、平方根、立方根的求法；3、实数的性质；重点回顾4、实数大小的比较与混合运算。

实数的运算与解方程大题专项提升训练(重难点培优)八年级数学上册尖子生同步培优题典(解析版)【苏科版】

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题4.5实数的运算与解方程大题专项提升训练（重难点培优）一．解答题（共30小题）1．（2022秋•锡山区期中）计算：（1）√9+|﹣1|+（﹣2）3；（2）√(−5)2+|1−√2|+√−83−（12）﹣1．【分析】（1）先算乘方，开方，再算加减即可；（2）先算开方，再去绝对值符号，最后算加减即可．【解析】（1）原式＝3+1﹣8＝﹣4；（2）原式＝5+√2−1﹣2﹣2=√2．2．（2022秋•惠山区期中）计算：（1）(√2−1)0+|−3|−√273+(−1)2022；（2）√16+√−83−2−2．【分析】（1）直接利用零指数幂的性质、绝对值的性质、立方根的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案；（2）直接利用二次根式的性质、立方根的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．【解析】（1）原式＝1+3﹣3+1＝2；（2）原式＝4﹣2−14=134．3．（2022秋•江阴市期中）（1）计算：π0−√(−3)2+|√3−2|；（2）解方程：（2﹣x ）2﹣64＝0．【分析】（1）首先计算零指数幂、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．（2）首先求出（2﹣x ）2的值，然后根据平方根的含义和求法，求出2﹣x 的值，进而求出x 的值即可．【解析】（1）π0−√(−3)2+|√3−2|＝1﹣3+（2−√3）＝1﹣3+2−√3=−√3．（2）∵（2﹣x）2﹣64＝0，∴（2﹣x）2＝64，∴2﹣x＝8或2﹣x＝﹣8，解得：x＝﹣6或x＝10．4．（2022秋•溧阳市期中）计算：（1）(√2)2−(√33)3；（2）√9+(−3)2+√−643．【分析】（1）首先计算乘方，然后计算减法，求出算式的值即可．（2）首先计算乘方、开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解析】（1）(√2)2−(√33)3＝2﹣3＝﹣1．（2）√9+(−3)2+√−643＝3+9+（﹣4）＝8．5．（2022秋•苏州期中）计算：(12)−2−√(−2)2+√−273．【分析】首先计算负整数指数幂、开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解析】(12)−2−√(−2)2+√−273＝4﹣2+（﹣3）＝﹣1．6．（2022秋•苏州期中）已知一个正数的平方根分别是2a﹣5和2a+1，另一个实数b的立方根是2．求：（1）a，b的值；（2）a与b和的平方根．【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列出算式，求出a的值，再根据另一个实数b的立方根是2，求出b即可；（2）先求出a +b 的值，再根据平方根的定义即可得出答案．【解析】（1）∵一个正数的平方根分别是2a ﹣5和2a +1，另一个实数b 的立方根是2，∴2a ﹣5+2a +1＝0，b ＝8，解得：a ＝1．则a 的值是1，b 的值是8；（2）根据题意得：a +b ＝1+8＝9，则a 与b 和的平方根是±3．7．（2022秋•江阴市校级月考）计算：（1）|1−√2|−√16+√273．（2）√(−2)33+（π﹣1）0−√(−3)2+（﹣2）﹣3．【分析】（1）根据绝对值的性质，平方根与立方根的定义进行计算便可；（2）根据立方根的性质，零指数幂法则，算术平方根的性质，负整数指数幂法则进行计算便可．【解析】（1）|1−√2|−√16+√273=√2−1−4+3=√2−2；（2）√(−2)33+（π﹣1）0−√(−3)2+（﹣2）﹣3 ＝﹣2+1﹣3−18＝﹣418． 8．（2022秋•江阴市校级月考）求下列各式中x 的值：（1）48﹣3（x ﹣2）2＝0．（2）27（x +1）3+1＝0．【分析】（1）根据平方根的定义即可求解；（2）根据立方根的定义即可求解．【解析】（1）48﹣3（x ﹣2）2＝0，﹣3（x ﹣2）2＝﹣48，（x ﹣2）2＝16，x ﹣2＝±4，x ＝6或﹣2；（2）27（x +1）3+1＝0，27（x +1）3＝﹣1，（x +1）3=−127， x +1=−13，x =−43．9．（2022秋•射阳县校级月考）计算：（1）（3.14﹣π）0+（14）﹣1+√−83；（2）（﹣2）2﹣（3﹣5）−√4+√−643．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解析】（1）（3.14﹣π）0+（14）﹣1+√−83 ＝1+4+（﹣2）＝5﹣2＝3；（2）（﹣2）2﹣（3﹣5）−√4+√−643＝4﹣（﹣2）﹣2+（﹣4）＝4+2﹣2﹣4＝0．10．（2022秋•惠山区期中）求下列各式中x 的值：（1）2x 2﹣50＝0；（2）3（x +1）3+24＝0．【分析】（1）利用平方根的意义，进行计算即可解答；（2）利用立方根的意义，进行计算即可解答．【解析】（1）2x 2﹣50＝0，2x 2＝50，x 2＝25，x ＝±5；（2）3（x +1）3+24＝0，3（x +1）3＝﹣24，（x +1）3＝﹣8，x +1＝﹣2，x ＝﹣3．11．（2022秋•锡山区期中）求下列各式中x 的值．（1）4x 2﹣9＝0；（2）3+（x +1）3＝﹣5．【分析】（1）根据平方根的定义解决此题．（2）根据立方根的定义解决此题．【解析】（1）∵4x 2﹣9＝0，∴4x 2＝9．∴x 2=94．∴x ＝±32．（2）∵3+（x +1）3＝﹣5，∴（x +1）3＝﹣8．∴x +1＝﹣2．∴x ＝﹣3．12．（2022秋•吴江区校级月考）计算：（1）(√2)2+|1−√3|−(π−1)0；（2）√36−√273+√(−2)2．【分析】（1）利用二次根式的性质，绝对值的有意义和零指数幂的意义化简运算即可；（2）利用算术平方根的意义，立方根的意义和二次根式的性质化简运算即可．【解析】（1）原式＝2+√3−1﹣1=√3；（2）原式＝6﹣3+2＝5．13．（2022秋•吴江区校级月考）求出下列x 的值：（1）5x 2＝125；（2）3（x ﹣1）3+81＝0．【分析】（1）由等式的性质，两边都除以5，再根据平方根的定义进行计算即可；（2）根据等式的性质，移项得3（x ﹣1）3＝﹣81，两边除以3得，（x ﹣1）3＝﹣27，再根据立方根的定义进行计算即可．【解析】（1）两边都除以5得，x 2＝25，由平方根的定义得，x ＝±5；（2）移项得，3（x ﹣1）3＝﹣81，两边除以3得，（x ﹣1）3＝﹣27，由立方根的定义得，x ﹣1＝﹣3，解得x ＝﹣2．14．（2020秋•江都区期末）计算：（1）√(−1)2+√(−2)33+√179；（2）|1−√3|+（﹣2）2−√3．【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根分别化简得出答案；（2）直接利用绝对值的性质分别化简得出答案．【解析】（1）原式＝1﹣2+43=13；（2）原式=√3−1+4−√315．（2021春•林州市月考）计算，解方程：（1）√(−1)2+√(−2)33+√179；（2）|1−√3|+（﹣2）2−√3；（3）16x 2﹣49＝0；（4）2（x +1）3+16＝0．【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案；（2）直接利用绝对值的性质以及实数运算法则化简得出答案；（3）直接利用平方根的定义得出答案；（4）直接利用立方根的定义得出答案．【解析】（1）√(−1)2+√(−2)33+√179 ＝1﹣2+43=13；（2）|1−√3|+（﹣2）2−√3=√3−1+4−√3＝3；（3）16x 2﹣49＝0，则16x 2＝49，解得：x ＝±74；（4）2（x +1）3+16＝0则2（x +1）3＝﹣16，故x +1＝﹣2，解得：x ＝﹣3．16．（2021春•青川县期末）计算：（1）（﹣3）2+2×（√2−1）﹣|﹣2√2|；（2）√−83−√1−1625+|2−√5|+√(−4)2．【分析】（1）先算乘方，化简绝对值，去括号，然后再算加减；（2）先化简立方根，算术平方根，绝对值，然后再计算．【解析】（1）原式＝9+2√2−2﹣2√2＝7；（2）原式＝﹣2−√925+√5−2+4＝﹣2−35+√5−2+4=√5−35．17．（2020秋•射阳县期末）计算：（1）|−1|+√−83−√(−3)2；（2）−14+(−2)÷(−13)−|−9|．【分析】（1）直接利用立方根的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；（2）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．【解析】（1）原式＝1﹣2﹣3＝﹣4；（2）原式＝﹣1+6﹣9＝﹣4．18．（2022春•连山区期末）计算．（1）√49−√273+√(−3)2；（2）|1−√2|+(−5)2−√2．【分析】（1）实数的混合运算，先分别化简算术平方根，立方根，然后再计算；（2）实数的混合运算，先化简绝对值，有理数的乘方，然后再计算．【解析】（1）原式＝7﹣3+3＝7；（2）原式=√2−1+25−√2＝24．19．（2020秋•松北区期末）计算：（1）√−643−|2−√5|−√(−3)2+2√5；（2）3√5−|√6−√5|．【分析】（1）首先计算开方、绝对值，然后从左向右依次计算即可．（2）首先计算绝对值，然后从左向右依次计算即可．【解析】（1）√−643−|2−√5|−√(−3)2+2√5＝﹣4﹣（√5−2）﹣3+2√5＝﹣4−√5+2﹣3+2√5=√5−5．（2）3√5−|√6−√5|＝3√5−√6+√5＝4√5−√6．20．（2021春•古丈县期末）计算：（1）−12020+√4−|1−√2|；（2）√−273−√0−√14+√1−63643．【分析】（1）先分别化简有理数的乘方，算术平方根，绝对值，然后再计算；（2）先分别化简立方根，算术平方根，然后再计算．【解析】（1）原式＝﹣1+2﹣（√2−1）＝﹣1+2−√2+1＝2−√2，（2）原式＝﹣3﹣0−12+14＝﹣3−14＝﹣314． 21．（2020秋•道里区期末）计算：（1）√16−√−273+√49；（2）|√2−√3|+√(−5)2−√3．【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的性质化简得出答案；（2）直接利用绝对值的性质和算术平方根分别化简得出答案．【解析】（1）原式＝4+3+7＝14；（2）原式=√3−√2+5−√3＝5−√2．22．（2020秋•鼓楼区期末）求下列各式中的x ：（1）4x 2﹣81＝0；（2）（x ﹣1）3+4=58．【分析】（1）直接利用平方根的定义计算得出答案；（2）直接利用立方根的定义计算得出答案．【解析】（1）4x 2﹣81＝0，则x 2=814，故x ＝±92；（2）（x ﹣1）3+4=58（x ﹣1）3=58−4，则（x ﹣1）3=−278，故x ﹣1=−32，解得：x =−12． 23．（2020秋•南京期末）求下列各式中的x ．（1）3（x ﹣1）2﹣75＝0；（2）（x +2）3＝﹣125．【分析】（1）根据题意，可得：（x ﹣1）2＝25，据此求出x 的值是多少即可．（2）根据立方根的含义和求法，据此求出x 的值是多少即可．【解析】（1）∵3（x﹣1）2﹣75＝0，∴（x﹣1）2＝25，∴x﹣1＝5，或x﹣1＝﹣5，解得：x＝6或x＝﹣4．（2）∵（x+2）3＝﹣125，∴x+2＝﹣5，解得：x＝﹣7．24．（2020秋•东台市期末）求下列各式中x的值．（1）2x2＝72；（2）（x+1）3+3＝﹣61．【分析】（1）直接利用平方根的定义计算得出答案；（2）直接利用立方根的定义计算得出答案．【解析】（1）x 2＝36，故x＝±6，则x＝6或x＝﹣6；（2）（x+1）3＝﹣64，x+1＝﹣4∴x＝﹣5．25．（2020秋•海陵区期末）求出下列x的值．（1）3x2﹣1＝2；（2）8（x+1）3＝﹣64．【分析】（1）直接利用平方根的定义计算得出答案；（2）直接利用立方根的定义计算得出答案．【解析】（1）3x2﹣1＝2，则3x2＝3，故x2＝1，解得：x＝±1；（2）8（x+1）3＝﹣64，则（x+1）3＝﹣8，故x+1＝﹣2，解得：x＝﹣3．26．（2018春•番禺区校级期中）求下列各式中的x．（1）（x+2）2＝16；（2）（x+1）3＝64．【分析】（1）依据平方根的定义进行计算，即可得出x的值；（2）依据立方根的定义进行计算，即可得出x的值．【解析】（1）∵（x+2）2＝16，∴x+2＝±4，即x+2＝4，或x+2＝﹣4，解得x＝2或﹣6；（2）∵（x+1）3＝64，∴x+1＝4，解得x＝3．27．（2020秋•相城区月考）解方程：（1）2（x﹣1）2﹣18＝0；（2）3x3+4＝﹣20．【分析】（1）依据平方根的定义，进行计算即可得出结论；（2）依据立方根的定义，进行计算即可得出结论．【解析】（1）2（x﹣1）2﹣18＝0，2（x﹣1）2＝18，（x﹣1）2＝9，x﹣1＝±3，解得x＝4或﹣2；（2）3x3+4＝﹣20，3x3＝﹣24，x3＝﹣8，解得x＝﹣2．28．（2020秋•双流区校级月考）解方程：（1）2（x﹣1）2﹣49＝1；（2）3（2x﹣1）3＝﹣81．【分析】（1）依据平方根的定义，即可得到x的值；（2）依据立方根的定义，即可得到x的值．【解析】（1）2（x﹣1）2﹣49＝1，2（x﹣1）2＝50，（x﹣1）2＝25，∴x﹣1＝±5，解得x＝﹣4或6；（2）3（2x﹣1）3＝﹣81，（2x﹣1）3＝﹣27，2x﹣1＝﹣3，解得x＝﹣1．29．（2022春•龙岩期中）求下列各式中x的值：（1）（x+1）3﹣27＝0；（2）（2x﹣1）2﹣25＝0．【分析】（1）根据立方根的定义进行求解即可；（2）根据平方根的定义进行求解，即可得出答案．【解析】（1）（x+1）3﹣27＝0，（x+1）3＝27，x+1＝3，x＝2；（2）（2x﹣1）2﹣25＝0，（2x﹣1）2＝25，2x﹣1＝±5，x1＝3，x2＝﹣2．30．（2021春•阳谷县月考）求下列各式中的x．（1）3x2﹣15＝0；（2）2（x﹣1）3＝﹣54；【分析】（1）式子根据等式的性质变形可得x2＝5，再根据平方根的定义求解即可；（2）式子根据等式的性质变形可得（x﹣1）3＝﹣27，再根据立方根的定义求解即可．【解析】（1）3x2﹣15＝0，3x2＝15，x2＝5，x＝±√5；（2）2（x﹣1）3＝﹣54，（x﹣1）3＝﹣27，x﹣1＝﹣3，x＝﹣2．。

实数及其运算的培优与提高

浙教版七年级上册实数及其运算专题培优(附答案)

八年级培优提升专题(二)

八年级数学培优——实数

部编数学七年级下册实数的运算大题提升训练(重难点培优30题)【拔尖特训】2023培优(解析版)

八年级数学上册 2.6实数(2课时)培优教案系列 北北师大版

北师大版八年级上册第二章实数复习培优教案

七(下)培优训练(二)实数(提高版)

中考一轮复习实数(培优训练)

初中数学实数培优进阶教案

专题6.5实数的运算与解方程(重难点培优)-2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优

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八年级数学培优——实数

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初二-第02讲-实数与实数计算(培优)-学案

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