27314_高中数学必修2同步第九讲精品拓展
苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第9章 平面向量 9.2.3 向量的数量积
)
答案 ABC
解析 因为a·b=|a||b|cos θ,
所以|a·b|≤|a||b|,所以A错误;
根据向量加法的平行四边形法则,|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b同向时,等号
成立,所以B错误;
因为(a·b)c是表示与向量c共线的向量,a(b·c)是表示与向量a共线的向量,所
②a 在 b 上的投影向量为(|a|cos
θ) =5×cos
||
1
5
120°× b=- b.
4
8
探究点三 向量的夹角
【例3】 (1)已知在△ABC中,AB=AC=4 , ·=8,则△ABC的形状
是
.
(2)|a|=3,|b|=4,a·b=-12,则向量a和b的夹角为
.
答案 (1)等边三角形
因为[(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)a·c-(a·c)b·c=0,所以(b·c)a-(c·a)b与c垂直,B错误;
因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边,
所以|a|-|b|<|a-b|成立,C正确;
根据平面向量的数量积的运算性质可知D正确.故选ACD.
规律方法
(2)180°
解析 (1) · =||| |cos∠BAC,
即 8=4×4cos∠BAC,于是
1
cos∠BAC= ,
2
因为 0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°.
又 AB=AC,故△ABC 是等边三角形.
(2)设向量 a 和 b 的夹角为 θ,则
cos
·
θ=||||
(a+b)2=a2+2ab+b2
高中数学教案9新人教A版必修2教案
高中数学教案9新人教A版必修2教案教案：高中数学新人教A版必修2第9讲三角函数基本关系的推导与应用一、教学目标1.知识目标（1）了解正弦、余弦、正切的定义及其间的基本关系。
（2）掌握正弦、余弦、正切的取值范围和周期。
2.技能目标（1）能够推导正弦、余弦的和差公式及其应用。
（2）能够应用三角函数基本关系解决实际问题。
3.情感目标培养学生对数学的兴趣和探索精神，培养学生合作学习的能力。
二、教学重点1.掌握正弦、余弦、正切的定义及其间的基本关系。
2.能够推导正弦、余弦的和差公式及其应用。
三、教学难点1.掌握正弦、余弦、正切的取值范围和周期。
2.能够应用三角函数基本关系解决实际问题。
四、教学过程1.导入新课通过展示一幅太阳之类的图片，引导学生思考太阳的位置与时间的关系。
提问：阳光直射地球的位置相对于地球的位置是如何变化的？阳光直射地球的位置与时间会有什么样的关系？2.引入新知通过引导学生进一步思考，得出阳光直射地球的位置与时间的关系，即太阳的仰角与时间之间的关系。
然后引入正弦、余弦的定义。
给出一个直角三角形ABC，角A为锐角，定义正弦、余弦分别为AB与BC的比值和AB与AC的比值。
引导学生通过观察，与其他角度的直角三角形进行比较，得出正弦、余弦的取值范围和周期。
3.拓展延伸（1）推导正弦的和差公式及其应用。
将两个正弦函数相加，用三角恒等式将其转化为一个正弦函数的形式。
进一步讨论推导余弦的和差公式。
最后给出一个实际问题，引导学生应用正弦的和差公式解决问题。
（2）探究被减量为π/4的余弦的和差公式。
让学生结合实际例子，观察余弦函数的相似性，基于类似的推理过程推导余弦的和差公式。
（3）应用三角函数基本关系解决实际问题。
给出一个实际问题，让学生通过建立三角函数之间的基本关系，使用正弦、余弦、正切函数解决问题。
4.归纳总结（1）总结正弦、余弦、正切的定义及其间的基本关系。
并让学生通过归纳总结记忆。
（2）总结正弦、余弦的和差公式的推导步骤与应用方法。
人教版高中数学必修2全册教案(K12教育文档)
人教版高中数学必修2全册教案(word版可编辑修改)人教版高中数学必修2全册教案(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（人教版高中数学必修2全册教案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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人教版高中数学必修2全册教案(word版可编辑修改)按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放人教版数学必修二第一章空间几何体重难点解析第一章课文目录1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积重难点：1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
2、画出简单组合体的三视图。
3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。
4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。
5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
知识结构：度量一、空间几何体的结构、三视图和直观图1．柱、锥、台、球的结构特征（1）柱棱柱:一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥:一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
人教B版高中数学必修二一轮复习全套复习第九章平面解析几何第一课时直线方程课件
b≠
0)则
1 a
＋
1 b＝________.
答案
1 2
5．过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程
为________．
答案 x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
xy 解析 由题意可设直线方程为a＋b＝1.
a＋ b＝ 6，
则2 a
＋1b＝1，
解 得 a＝ b＝ 3， 或 a＝ 4， b＝ 2.
π π，－ 2
D.－
π 2，
0
答案 B
1
－b1 ＝ b <0，又倾斜角的取值范围为
0－a
[0，π
)，故直
线
PQ的倾
斜角的取
值范围为π 2
， π .
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4．
(07·北京)若
A(2,2)，B(a,0)，
C(0，b)共线(a，
又直线经过点A(－1，－3)， 因此所求直线方程为y＋ 3＝－34(x＋1)，
即3x＋ 4y＋15＝0.
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探究2 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形 式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能 表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线， 故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，若采用 点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
∴ 直线 l的方 程为 x－ 6y＋ 6＝ 0或 x－ 6y－ 6＝ 0.
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题型三 直线方程的应用 例3 经过点P(2,1)的直线L分别与两坐标轴的正半轴交于A，B两点； (1)求当△AOB的面积最小时直线L的方程； (2)求当|OA|＋|OB|最小时直线L的方程； (3)求当|PA|·|PB|最小时直线L的方程； (4)求当|OA|·|OB|最小时直线L的方程． 【解析】 由条件知，斜率k必存在． 设直线方程为y－1＝k(x－2)，显然k<0，
人教A版高中同步训练数学必修第二册精品课件 第9章 统计 章 末核心素养整合
(3)由上述图表可知数据落在区间[109,121)内的频率为0.940.03=0.91,则估计这批树苗高度在区间[109,121)内的株数为2
000×0.91=1 820.
专题三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
【典型例题3】(1)若一组样本数据x1,x2,…,xn的平均数为10,
另一组样本数据2x1+4,2x2+4,…,2xn+4的方差为8,则两组样本
其中身高在区间[140,150]上的学生人数为10,则从身高在区
间[140,150]上选取的学生人数为 ×10=3.
(3)根据频率分布直方图知,区间[110,120)对应的小矩形最高,
+
因此估计这所小学学生身高的众数为
=115.
又0.005×10+0.035×10=0.4<0.5,0.4+0.030×10=0.7>0.5,
[75,85) [85,95) [95,105)
值分组
频数
6
26
38
[105,115) [115,125]
22
8
①估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数
据用该组区间的中点值作代表);
②根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品
符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”
∴产品合格率为×100%=85%.
∴10 000×85%=8 500.
故根据抽样检查结果,可以估计这批产品的合格个数为8
500.
【跟踪训练2】某花木公司为了调查某种树苗的生长情况,
抽取了一个容量为100的样本,测得树苗的高度(单位:cm)数据
2021年春季沪教版数学必修二--第9讲 期中复习(练习)提升卷(教师版)
第9讲 期中复习（练习）提升卷一、填空题（每题3分，共36分）1．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）如图，三个全等的三角形ABF 、BCD △、CAE 拼成一个等边三角形ABC ，且DEF 为等边三角形，若2EF AE =，设ACE θ∠=，则sin 2θ=______．【答案】26【分析】如果设AE x =，根据题意可知CD AE x ==，2EF DE x ==，且60CAE ACE ∠+∠=︒，由此在ACE 中借助于正弦定理，构造出ACE ∠的方程，再根据2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθθ===++计算可得．【详解】解：如图，设ACE θ∠=，22EF AE x ==，因为ABF BCD CAE ≅≅，且ABC 与DEF 均为为等边三角形，所以ACE BAF ∠=∠，所以60ACE CAE CAE BAF ∠+∠=∠+∠=︒，所以60CAE θ∠=︒-． 结合22EF AE x ==可得CD AE x ==，2DE EF x ==，所以3CE x =， 在ACE 中，由正弦定理得sin sin AE CEACE CAE=∠∠，即3sin sin(60)x x θθ=︒-， 即sin(60)3sin θθ︒-=1sin 3sin 2θθθ-=，7sin 2θθ=，解得tan θ=．所以222222sin cos 2tan 7sin 22sin cos sin cos tan 11θθθθθθθθθ=====+++⎝⎭．【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，利用正切求齐次式的值，属于中档题. 2．（2020·上海奉贤区·高一期中）设α 为第四象限角，且sin3sin αα＝135，则 2tan ＝α ________. 【答案】－34【解析】因为3sin sin αα＝()2sin sin ααα+ ＝22sin cos cos sin sin ααααα+＝()22221sin cos cos sin sin ααααα+-＝24sin cos sin sin αααα-＝4cos 2α－1＝2(2cos 2α－1)＋1＝2cos 2α＋1 ＝135，所以cos 2α＝45. 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．3．（2020·徐汇区·上海中学高一期中）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【答案】79-试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=），所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z . 4．（2020·上海奉贤区·高一期中）已知sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13，则cos 223πα⎛⎫-⎪⎝⎭＝________． 【答案】79-【详解】由sin 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝13，得cos26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1－2sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝79，即cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝79， 所以cos 223πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos 23ππα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝79-，故答案为79-. 5．（2020·宝山区·上海交大附中高一期末）已知α，()0,βπ∈，且()tan 3αβ-=，tan 11β=-，2αβ-的值为_______. 【答案】23π-【分析】根据正切差角公式,代入tan 11β=-可求得tan 9α=.将角配凑后可求得()tan 2αβ-根据tan 19α=<及tan 011β=-<可得,αβ的范围,即可求得2αβ-的范围,进而求得2αβ-的值.【详解】因为()tan 3αβ-=,tan 11β=- 由正切差角公式展开可得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--==+⋅代入tan 11β=-tan α+=⎝⎭化简可求得tan α=则()()tan 2tan αβααβ-=+-⎡⎤⎣⎦()()tan tan 1tan tan ααβααβ+-=-⋅-==因为tan 19α=< 所以04πα<<,即022πα<<tan 011β=-< 所以2πβπ<<则20παβ-<-< 所以223παβ-=- 故答案为: 23π-【点睛】本题考查了正切差角与和角公式的应用,配凑角的形式求正切值,根据三角函数值判断角的取值范围,属于中档题.6．（2020·上海崇明区·高一期末）已知等腰三角形底角正弦值为45，则顶角的余弦值是_________ 【答案】725【分析】利用诱导公式及二倍角公式求解即可． 【详解】设等腰三角形的底角为α ，则顶角为2.πα-22247cos(2)cos 2(12sin )2sin 12()1.525παααα∴-=-=--=-=⨯-=【点睛】本题考查了诱导公式及二倍角的余弦公式，解题的关键是根据题目条件熟练地选用余弦的二倍角公式来解决问题．7．（2020·徐汇区·上海中学高一期中）已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．【分析】画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【详解】画出两个函数图像如下图所示，由图可知()()0,0,π,0A C ，对于B 点，由sin 1tan 2y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得π3B ⎛ ⎝⎭，所以1π224ABCS ∆=⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.8．（2019·上海市文来中学高一期末）已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当0x ≥时，()424,,n 04x x f x x x ππππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭⎛⎫≤⎧⎪⎪=⎨≤ ⎪⎝⎭，关于x 的方程()()f x m m R =∈有且仅有四个不同的实数根，若α是四个根中的最大根，则sin()2πα+=____.【答案】2-【分析】作出函数()y f x =的图像，结合图像可得1m =，即1y =，从而可得四个不同的实数根，进而可得34πα=，代入即可求解. 【详解】当0x ≥时，函数在区间0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭和,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，在区间,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，()f x 的极大值为4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭极小值为02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π， 作出函数当0x ≥时的图像如图， 函数函数()y f x =是R 上的偶函数，∴当0x <时()y f x =的图像与当0x ≥时的图像关于y 轴对称，故函数x ∈R 的图像如图所示，将()()f x m m R =∈进行平移，可得当1m =时， 两图像有且仅有四个不同的实数根， 令1y =，可得12,44x x ππ=-=，334x π=-，434x π=， 所以34πα=，3sin()cos cos242ππαα∴+===-故答案为：2-【点睛】本题考查了三角函数的图像以及根据方程根的个数求参数值、特殊角的三角函数值，考查了数形结合的思想，属于中档题.9．（2019·上海市实验学校高一期末）如图为函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<，x ∈R ）的部分图像，则()y f x =函数解析式为________【答案】()2sin(2)3f x x π=+【分析】由函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图像，先求得2,A T π==，得到()2sin(2)f x x ϕ=+，再由()212f π=，得到sin()16πϕ+=，结合||2ϕπ<，求得3πϕ=，即可得到函数的解析式.【详解】由题意，根据函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图像， 可得12,43124A T πππ==-=，所以T π=，又由22w Tπ==，即()2sin(2)f x x ϕ=+，又由()2sin(2)2sin()212126f πππϕϕ=⨯+=+=，即sin()16πϕ+=， 解得2,62k k Z ππϕπ+=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈，又因为||2ϕπ<，所以3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+.故答案为：()2sin(2)3f x x π=+.【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.10．（2019·上海黄浦区·高一期末）已知函数2()cos 2sin f x x a x b =-++，x ∈R （常数a 、b R ∈），若当且仅当sin x a =时，函数()f x 取得最大值1，则实数b 的数值为______. 【答案】-1【分析】先将函数转化成同名三角函数，再结合二次函数性质进行求解即可 【详解】()222()cos 2sin 1sin 2sin sin 2sin 1f x x a x b x a x b x a x b =-++=--++=++-令[]sin ,1,1t x t =∈-，()221f t t at b =++-，对称轴为t a =-；当0a >时，1t =时函数值最大，1a =，解得1b =-；当0a =时，对称轴为0t =，函数在1t =±时取到最大值，与题设矛盾； 当0a <时，1t =-时函数值最大，1a =-，解得1b =-； 故b 的数值为：-1 故答案为：-1【点睛】本题考查换元法在三角函数中的应用，分类讨论求解函数最值，属于中档题11．（2019·上海市宜川中学）有60个角12360θθθθ⋯、、、、，在它们的终边上各有一点12360P P P P ⋯、、、、，如果点k P 的坐标为()()()cos 30cos k 60160k k k N -︒+︒≤≤∈，，，，则12360sin sin sin sin θθθθ+++⋯+=___________.【答案】0.5-【分析】利用诱导公式得12360θθθθ⋯、、、、，的度数，结合正弦函数值关于x 轴对称求解【详解】()cos(30),cos(60)k k ︒︒-+即()cos(30),sin(30)k k --1160,,,θθθ∴分别为29,28,29,30︒⋯--，又29,29;28,21;8;,,︒--⋯-，1均关于x 轴对称，()sin 300.5,sin 00-=-=故60123sin sin sin sin 0.5θθθθ+++⋯+=-，故答案为0.5-【点睛】本题考查诱导公式，考查正弦函数的对称性，是基础题 12．（2019·上海市七宝中学高一期中）已知函数()()()1sin 20192019xxx f x x R π-=∈+，下别列命题:①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 在区间[]22ππ-，上共有13个零点； ③函数()f x 在区间()01，上单调递增；④函数()f x 的图像是轴对称图像．其中真命题有________(填所有真命题的序号). 【答案】②④【分析】由正弦函数的奇偶性和指数的运算性质，可判断()f x 的奇偶性；由()0f x =，解方程可得零点个数；由(1)()f x f x -=，可得()f x 的对称性，可判断正确结论． 【详解】由sin()sin()x x ππ-=-，可得sin()y x π=为奇函数， 而120192019x x y -=+，不为偶函数， 则()f x 不是奇函数，故①错误；由()0f x =，可得sin()0x π=，即x k ππ=，即x k =，k Z ∈，在[2π-，2]π上，6x =-，5-，⋯，0，1，⋯，6，共有13个实根，故②正确； 由11sin (1)sin (1)()2019201920192019x x x xx xf x f x ππ----===++，可得()f x 的图象关于直线12x =对称， 故函数()f x 在区间(0,1)上不单调，故③错误，④正确． 故答案为②④．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性、对称性的判断，以及零点个数，考查定义法和化简运算能力，属于基础题． 二、选择题（每题4分，共16分）13．（2020·上海奉贤区·高一期中）若α是第二象限的角，4sin25α=，则sin α的值为（ ） A ．925B ．2125C ．2425D ．2425-【答案】C【分析】α是第二象限的角，根据sin2α的值，利用三角函数的基本关系求出cos2α的值，再用二倍角公式即可求出sin α的值. 【详解】解：α是第二象限的角，所以22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，∴422k k παπππ+<<+,k Z ∈所以2α是第一或第三象限的角，又4sin025α=>，2α是第一象限的角，所以3cos25α=，由二倍角公式可得4324sin 2sin cos 2225525ααα==⨯⨯=. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，解答本题需用到同角三角函数基本关系，和而二倍角角公式.14．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【答案】B【分析】由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长.【详解】由题：“弓”所在弧长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==，两手之间距离 1.25 1.768d =≈.故选：B【点睛】此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息.15．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）将函数y=sin2x 的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是 A ．cos 2y x = B ．22cos y x =C ．D ．22sin y x =【答案】B【解析】由题意知:平移后的函数解析式为12sin 2()4y x π=++=12sin(2)2x π++ =212cos 22cos x x +=,选B.16．（2020·上海市实验学校高一期末）已知函数()sin()(0,)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A ．4π B ．2π C ．2π-D ．3π-【答案】C【解析】由函数()()(0)f x sin x ，ωϕωϕπ=+><的图象可知： T π=，2ω=122f ππϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭故选C三、解答题（本大题共5题，共48分，解答各题必须写出必要步骤） 17．（2020·上海市建平中学）已知1sin cos 5αα+=-，(0,)απ∈，求下列式子的值： （1）sin cos αα； （2）tan2α；（3）33sin cos αα+． 【答案】（1）1225-；（2）3；（3）37125-．【分析】（1）将已知条件两边平方，由此求得sin cos αα的值.（2）由sin cos αα的值，求得cos sin αα-的值，进而求得sin ,cos αα的值，从而求得tan2α的值.（3）由sin ,cos αα的值求得33sin cos αα+的值.【详解】（1）由1sin cos 5αα+=-两边平方得()221sin cos 5αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 221sin 2sin cos cos 25αααα++=，即112sin cos 25αα+=，所以12sin cos 25αα=-. （2）由于12sin cos 25αα=-且(0,)απ∈，所以,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0,sin 0αα<>，所以cos sin 0αα-<.而()22449cos sin 12sin cos 12525αααα-=-=+=，所以 7cos sin 5αα-=-.由1sin cos 57cos sin 5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得34sin ,cos 55αα==-，所以21sin sincossin sin 2222tan1cos 21cos coscos 222αααααααααα⋅====++353415==-.（3）333334276437sin cos 55125125125αα⎛⎫⎛⎫+=+-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式和降次公式，属于中档题.18．（2020·上海市控江中学高一期中）已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值. 【答案】（1）3-；（2）1试题分析：（1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切公式，再把tan 2α=代入到展开后的式子中，即可求出所求答案．（2）本题考察的三角函数的化简求值，本题中需要利用齐次式来解，先通过二倍角公式进行展开，然后分式上下同除以2cos α，得到关于tan α的式子，代入tan 2α=，即可得到答案．试题解析：（Ⅰ）tan tan214tan() 3.41211tan tan 4παπαπα+++===--⨯-（Ⅱ）原式222sin cos sin sin cos 2cos aααααα=+- 22tan tan tan 2ααα=+- 2221222⨯==+-． 考点：（1）两角和的正切公式（2）齐次式的应用19．（2019·上海市向明中学高一期中）在ABC ∆，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin A C p B +=⋅，0p >，且214ac b =. （1）当54p =，1b =时，求a ，c 的值； （2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围.【答案】（1）1a =，14c =或14a =，1c =；（2）⎝. 【分析】（1）考虑用正弦定理将已知条件sin sin sin A C p B +=⋅化成边的形式，联立方程组求解即可；（2）先求出p 的表达式，然后观察该式的特点求p 的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===， 得sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===， 所以sin sin sin A C p B +=⋅，即a c p b +=⋅，所以54p =，1b =时，得54a c +=， 因为21144ac b ==，所以1a =，14c =或14a =，1c =；（2）由（1）知，a c p b +=⋅， 又由余弦定理2222cos b a c ac B =+-⋅，得()()()22222cos 21cos b a c ac ac B p b ac B =+--⋅=⋅-+， 因为214ac b =， 所以()()()22222cos 21cos b a c ac ac B a c ac B =+--⋅=+-+()()221=21cos 4p b b B ⋅-⋅+，所以()211=1cos 2p B -+，所以231=cos 22p B +，因为B 为锐角，所以0cos 1B <<，所以2322p <<且0p >，所以p ∈⎝.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，同时考查学生的推理与计算能力. 正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===， 正弦定理变形：sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===， 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C =⋅=⋅=⋅，余弦定理：2222cos b a c ac B =+-⋅， 其中()2222a c a c ac +=+-. 20．（2019·上海市宜川中学）已知函数()()23sin 2cos 1.2f x x x x ππ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的最大值和最小值,并求取得最大值和最小值时对应的x 的值； (2)设方程()f x m =在区间()0π，内有两个相异的实数根12x x 、，求12x x +的值； (3)如果对于区间63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意一个x ，都有()1f x a -≤成立,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）f （x ）的最大值为2，此时x ＝k π6π+，k ∈Z ，f （x ）的最小值为﹣2，此时x ＝k π3π-，k ∈Z ；（2）x 1+x 2＝3π或x 1+x 2＝43π；（3）a ≥1．【分析】（1）利用三角形的恒等变换，将f （x ）化简成f （x ）＝2sin （2x 6π+），再求f （x ）的最大值和最小值，（2）根据函数图象，找到m 的取值范围，观察x 1和x 2的关系，写出x 1+x 2的值， （3）根据定义域求得f （x ）的取值范围，再求a 的取值范围．【详解】（1）f （x ）＝（π+x ）sin （32π+x ）+2cos 2x ﹣1，=x +cos2x ，＝2sin （2x 6π+）， f （x ）的最大值为2，x 取得最大值对应的x 的值x ＝k π6π+，k ∈Z ， f （x ）的最小值为﹣2，x 取得最小值对应x 的值x ＝k π3π-，k ∈Z ，（2）f （x ）＝m ，sin （2x 6π+）2m=，f （x ）＝m 在（0，π）内有相异的两个实数根x 1，x 2，⇔f （x ）与y 2m=有两个不同的交点，1122m ＜＜或1122m -＜＜， 由图象可知：当m ∈（1，2）函数y ＝f （x ）的图象关于直线x 6π=对称，x 1+x 2＝263ππ⨯=；当m ∈（-1，2），函数y ＝f （x ）的图象关于直线x 23π=对称， x 1+x 2＝22433ππ⨯=，综上x 1+x 2＝3π或x 1+x 2＝43π （3）f （x ）﹣a ≤1，即a ≥f （x ）﹣1，x ∈[6π-，3π]，2x 6π+∈[6π-，56π]，∴f （x ）∈[﹣1，2]， ∴a ≥1．【点睛】本题考查根据三角恒等变换，化简求函数的最值，根据定义域求函数的取值范围，属于中档题．21．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）对于定义域为R 的函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如表：（1）求[]{}(0)ff f ：（2）数列{}n x 满足12x =，且对任意*n N ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图象上，求1234n x x x x +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+（3）若()sin()y f x A x b ωϕ==++，其中0,0,0,03A b ωπϕπ><<<<<<，求此函数的解析式，并求*(1)(2)(3)()f f f n n N ++⋅⋅⋅+∈． 【答案】（1）2；（2）4n ；（3）见解析 【分析】（1）由内往外计算即可；（2）由已知，通过计算易得数列{}n x 是以4为周期的周期数列，先计算1234x x x x +++的值，利用1234n x x x x n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=1234()x x x x +++即可得到答案；（3）代入表中数据即可得到()y f x =的解析式，再分n 为奇数、偶数讨论求和即可. 【详解】（1）由表中数据可得[]{}(0)f f f =((3))(1)2f f f =-=.（2）12x =，由于1()n n x f x +=，则21()(2)0x f x f ===，32()(0)3x f x f ===，43()(3)1x f x f ===-，54()(1)2x f x f ==-=，所以15,x x =，依次递推可得数列{}n x 的周期为4，又12344x x x x +++=，所以12344n x x x x n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=.（3）由题意得(1)2(1)2(0)3(2)0f f f f -=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，由(1)(1)f f -=，得sin()sin()ωϕωϕ+=-+，即sin cos 0ωϕ=，又0ωπ<<，则sin 0ω≠，从而cos 0ϕ=，而0ϕπ<<，所以2ϕπ=，故(0)3(2)cos 20(1)cos 2f A b f A b f A b ωω=+=⎧⎪=+=⎨⎪=+=⎩，消b ，得2cos 32(2cos 1)30A A A A ωω+-=⎧⎨-+-=⎩ 所以22242230A A A A -+-+=，解得12,1,cos 2A b ω===，又0ωπ<<， 所以3πω=，所以()2sin()12cos 1323f x x x πππ=++=+， 此函数有最小正周期6，且(6)(0)3f f ==，(1)(2)(3)(4)(5)(6)6f f f f f f +++++=，当*2,n k k N =∈时，(1)(2)(3)f f f n ++⋅⋅⋅+=(1)(2)(6)[(1)(2)(6)]63f f f k k f f f k n +++=+++==；当*21,n k k N =-∈时，(1)(2)(3)f f f n ++⋅⋅⋅+=(1)(2)(6)(62)(61)(6)[(1)(2)(6)]5f f f k f k f k f k k f f f +++-----=+++-6532k n =-=-.【点睛】本题考查三角函数与数列的综合应用，涉及到求三角函数的解析式、周期数列的和，是一道中档题.。
苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第9章 平面向量 9.4 向量应用
5√37
37
.
解析 因为物体处于平衡状态,所以 F1+F2+F3=0.
因此 F3=-(F1+F2),于是|F3|= (1 + 2 )2 = |1 |2 + |2 |2 + 21 ·2
=√32 + 42 + 2 × 3 × 4 × cos60°= √37,
设 F1 与 F3 的夹角是 θ.
A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),
则 =(2,1),=(1,-2).
因为 ·=2×1+1×(-2)=2-2=0.
所以 ⊥ ,即 AF⊥DE.
规律方法
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法:
①选取基底;
②用基底表示相关向量;
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③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系;
依题意可得
+ -16 = -( + )( > 0),
解得 x=8,y=-8,即风速为 8i-8j,
因此风速为西北方向,大小为 8√2 km/h.
学以致用•随堂检测全达标
1.一物体受到相互垂直的两个力 F1,F2 的作用,两力大小都为 5√3 N,则两个
力的合力的大小为(
)
A.5 N
和大小的,是一个向量.故选B.
3.已知A,B,C,D四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为(
A.梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
答案 A
解析
3
∵=(3,3), =(-2,-2),∴=- ,
2
∴与 共线.又||≠| |,∴该四边形为梯形.
高一必修二数学第9章知识点总结
高一必修二数学第9章知识点总结第一节探究勾股定理勾股定理是我们研究数学的基础之一，它被广泛应用在几何、物理等领域中。
勾股定理的数学表达式为：在一个直角三角形中，直角边的两边的平方和等于斜边的平方。
在勾股定理的使用过程中，我们可以利用它求解直角三角形的各个边长，或者验证一个三边是否构成了一个直角三角形。
第二节直角三角函数直角三角函数是计算直角三角形各边长度和角度大小的重要工具。
在直角三角函数中，我们主要学习了正弦、余弦和正切三种基本函数。
正弦函数表示的是一个角的相对于斜边的长度，余弦函数表示的是一个角的相对于直角边的长度，正切函数表示的是一个角的正弦值与余弦值的商。
在实际应用中，我们可以利用直角三角函数求解各种问题，比如测量不可直接测量的高度、距离等。
第三节三角恒等式三角恒等式是指在三角函数中成立的恒等关系。
掌握了三角恒等式的性质，我们可以在求解问题过程中化简表达式、变换角度等。
常见的三角恒等式有：用各种角度表示的正弦、余弦、正切函数之间的关系，以及与角度平方和的关系等。
在解决问题的过程中，利用三角恒等式可以简化计算步骤，提高计算效率。
第四节解直角三角形解直角三角形是通过给定的初等三角函数值，求解直角三角形各个边长和角度大小的问题。
我们可以利用之前学习过的直角三角函数或者三角恒等式，结合已知条件来求解未知量。
解直角三角形的基本步骤是：根据已知条件确定所求解的直角三角形种类，然后利用相应的三角函数或者三角恒等式，通过解方程来求解未知量。
在解题过程中，我们需要注意合理选择解法，注意单位的转换以及问题的实际意义。
第五节平面向量平面向量是指在数学中用有向线段表示的量，它有大小和方向两个特征。
在平面向量的运算中，我们主要学习了向量的加法、数乘和点乘三种运算法则。
向量的加法是将两个向量的位移效果进行相加，数乘是将向量的大小进行缩放或者反向，点乘是将两个向量的夹角与大小进行运算得到一个标量。
平面向量的运用十分广泛，可以用于解决平面几何、力学等实际问题，也可以用于向量方程和直线方程的表示。
2021高中人教A版数学必修第二册课件：第9章
第九章ꢁꢁ统计9.1ꢁ随机抽样9.1.1简单随机抽样1.了解普查与抽样调查的概念，知道两种调查方法的优缺点，能结合实际问题选择恰当的数据调查方法.2.了解总体、样本、样本量的概念，了解抽样调查的随机性.3.结合具体的实际问题情境，了解随机抽样的必要性和重要性.4.在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.5.能从样本数据中提出基本的数字特征——平均数，并给出合理的解释重点：1.普查与抽样调查的意义.ꢁꢁ2.总体与样本的意义.ꢁꢁꢁꢁꢁꢁ3.简单随机抽样及其应用.ꢁꢁ4.数据的平均数的概念及意义.难点：1.简单随机抽样的应用.2.平均数的意义.一、普查与抽样调查知识梳理1.普查:对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查.在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体,组成总体的每一个调查对象称为个体.2.抽样调查:根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查.我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本,样本中包含的个体数称为样本量.3.普查和抽样调查的对比ꢁꢁ方法普查抽样调查特点（1）迅速及时；优点调查结果全面、系统（2）节约人力、物力和财力缺点工作量大，有时费时费力调查结果不如普查全面、系统1.调查对象少；2.调查对象多，适用范围但是调查结果要求必须全面、系统、准确时1.调查对象太多，且不必要普查的；2.调查方式有破坏性时例1给出以下调查：①了解一批汽车驾校训练班学员的训练成绩是否达标；②了解一批炮弹的杀伤力；③某饮料厂对一批产品质量进行检查；④调查对2020年央视春晚节目的满意度；⑤检验航天设备中各零件产品的质量.其中适宜用抽样调查的是ꢁꢁꢁꢁ.（将正确答案的序号全填上）【解析】若调查的目的必须通过普查才能实现，一般用普查，但若存在一定的破坏性则用抽样调查，关键还是看实际需要.驾校训练的司机直接影响驾驶安全，必须普查；炮弹的杀伤力调查具有破坏性，只能采用抽样调查；饮料质量的调查也具有破坏性，应该采用抽样调查；央视春晚节目的满意度调查比较复杂，普查成本高，也没必要，适宜用抽样调查；航天设备不能有一点疏忽，每一个零件的质量都需要检查.【答案】ꢁ②③④例2某工厂为了了解其加工的一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是（ꢁꢁꢁ）A.总体ꢁꢁB.个体ꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁC.总体的一个样本D.样本量【解析】总体是这批零件的长度，个体是这批零件中每个零件的长度，抽取的200个零件的长度是样本，样本量是200.【答案】ꢁC训练题①③④ꢁ下列调查适合用抽样调查的是ꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁ.1.①了解某电视机厂生产的电视机的质量；②语文老师要检查某个学生作文中的错别字；③某部门要了解某湖的水质情况；④调查某市高中生对健康知识的了解情况.解析：①某电视机厂生产的电视机很多，普查费时费力，应采用抽样调查；②错别字是必须纠正的，应采用普查；③湖水不能全部分析，应采用抽样调查；④高中生较多，调查结果不需要非常精确，应采用抽样调查.2.为了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，5 000名学生成绩的全体是C（ꢁꢁ）A.总体B.个体C.从总体中抽取的一个样本D.样本量ꢁ二、简单随机抽样知识梳理1.简单随机抽样的定义：如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.2.简单随机抽样的特点（1）总体个数有限：简单随机抽样要求被抽取样本的总体个数有限，这样便于通过样本对总体进行分析.（2）逐个抽取：简单随机抽样是从总体中逐个进行抽取，这样便于实际操作.（3）不放回抽样：简单随机抽样是一种不放回抽样，这样便于样本的获取和一些相关的计算.ꢁ（4）等可能抽样：不仅每次从总体中抽取一个个体时各个个体被抽到的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽到的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性.ꢁꢁ例3已知下列抽取样本的方式：①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出1个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；③从20件玩具中不放回地依次抽取3件进行质量检验；④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.（ꢁꢁ）其中，不是简单随机抽样的个数是A.1B.2C.3D.4【解题提示】ꢁ根据简单随机抽样的特征：有限性，逐一性，不放回性，等可能性判断即可.【解析】ꢁ①不是简单随机抽样，原因是简单随机抽样中总体的个数是有限的，而题中是无限的；②不是简单随机抽样，原因是本章讲的简单随机抽样是不放回抽取，而题中是放回的；③是简单随机抽样，符合本章讲的简单随机抽样的特征；④不是简单随机抽样，原因是个子最高的5名同学是56名同学中特定的，不存在随机性，不是等可能抽样.【答案】ꢁC◆简单随机抽样必须具备下列特征（1）被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；（2）抽取的样本是从总体中逐个抽取的；（3）简单随机抽样是一种不放回抽样；（4）简单随机抽样是一种等可能的抽样.如果四个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样.训练题1.C下列抽样方法是简单随机抽样的是（ꢁꢁ）A.坛子中有1个大球，4个小球，搅均匀后，随机取出一个球B.在校园里随意选三名同学进行调查C.在剧院里为抽取三名观众调查，将所有座号写在同样的纸片上，放入箱子搅匀后逐个抽取，共取三张D.买彩票时随手写几组号B2下列问题中，适合用简单随机抽样方法抽样的是（ꢁ）A.某报告厅有32排座位，每排有40个座位，座位号是1~40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下每排32号听众进行座谈B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C.某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本D.某乡农田有山地800公顷，丘陵1ꢁ200公顷，平地2ꢁ400公顷，洼地400公顷，现抽取农田48公顷估计全乡农田平均每公顷产量四、抽签法与随机数法知识梳理1.抽签法的操作步骤：第一步，编号：将N个个体编号（号码可以从1到N，也可以使用已有的号码）.第二步，写签：将N个号码写到大小、形状相同的号签上.第三步，抽签：将号签搅拌均匀，每次从中抽取一个号签，连续不放回地抽取n次，并记录其编号.第四步，定样：从总体中找出与号签上的号码对应的个体，组成样本.提示：（1）给个体编号时可利用已有编号，如学号、考号、标签号等；（2）制作号签时，所使用的工具（如纸条、小球等）形状、大小应当都一样，以确保每个号签被抽到的可能性相等；（3）在抽签法中，搅拌均匀的目的是让每个号签被抽到的机会均等.2.随机数法的步骤（1）先给N个个数编号，例如按1~N进行编号；（2）用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数；（3）把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本；（4）重复上述过程，直到抽足样本所需要的人数.3.抽签法与随机数法的比较（1）抽签法与随机数法的相同点ꢁꢁ①抽签法与随机数法都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总ꢁꢁꢁ体的个数有限；ꢁꢁ②抽签法与随机数法都是从总体中逐个进行抽取，都是不放回抽样.（2）抽签法与随机数法的不同点随机数法更适用于总体个数较多的时候，而抽签法适用于总体个数较少时.ꢁ一ꢁ、抽签法的应用例4要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程.【解题提示】ꢁ已知N＝30，n＝3，抽签法抽样时编号1，2，…，30，抽取3个编号，对应的汽车组成样本.【解】ꢁ应使用抽签法，步骤如下：①将30辆汽车编号，号码是1，2，3， (30)②将1~30这30个编号写在大小、形状都相同的号签上；③将写好的号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀；④从容器中每次抽取一个号签，连续抽取3次，并记录上面的编号；⑤所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象.应用抽签法的4个注意点（1）编号.如果已有编号可不必重新编号.（2）号签要求大小、形状完全相同.（3）号签要均匀搅拌.（4）要逐一不放回地抽取.【注意】一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显.一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法.训练题1.B下列抽样试验中，用抽签法方便的是（ꢁꢁ）A.从某厂生产的3ꢁ000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的3ꢁ000件产品中抽取10件进行质量检验2某中学从40名学生中选1人作为男篮啦啦队的成员，采用下面两种选法，则抽签法的序号是ꢁꢁꢁ①ꢁ.①将这40名学生从1~40进行编号，相应地制作1~40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的学生幸运入选；②将39个白球与1个红球（球除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取一球，摸到红球的学生成为啦啦队成员.ꢁ二ꢁ、随机数法的应用例4现有120台机器，请用随机数法抽取10台机器，写出抽样过程.【解题提示】ꢁ已知N＝120，n＝10，用随机数法抽样时编号000，001，002，…，119，抽取10个编号（都是三位数），对应的机器组成样本.【解】ꢁ第一步，先将120台机器编号，可以编为000，001，002， (119)第二步，利用工具（转盘、科学计算器或计算机等）产生000，001，002，…，119中的随机数，产生的数是几，就选第几号个体；第三步，重复第二步，若生成的随机数重复，则剔除重复的编号并重新产生随机数，凡不在000~119中的数跳过去不取，直至选到预先设定的样本容量.◆随机数法抽样的三个步骤1.编号：将总体中N个个体依次编号为0，1，2，…，N-1.ꢁ2.利用随机数法确定抽取个体编号：利用工具（转盘、科学计算器或计算机等）产生0，1，2，…，N-1中的随机数，产生的数是几，就选第几号个体.3.获取样本：读数在总体编号内的取出，而读数不在总体编号内的和已取出的跳过，依次下去，直至得到容量为n的样本.注意：当题目所给的编号位数不一致时，不便于直接从随机数表中读取，这时需要对号码作适当的调整使新编号位数相同.训练题总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下，则选出来的第5个个体的编号为（ꢁꢁ）B 66ꢁ06ꢁ58ꢁ61ꢁ54ꢁ35ꢁ02ꢁ42ꢁ35ꢁ48ꢁ96ꢁ32ꢁ14ꢁ52ꢁ41ꢁ52ꢁ48A.54ꢁꢁꢁꢁꢁB.14ꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁC.35ꢁꢁꢁꢁD.32五、简单随机抽样中的两类特征数知识梳理简单随机抽样的总体平均数和样本平均数例5从某项综合能力测试成绩表中抽取100人的成绩，统计如下，则这100人的成绩的平均数为（ꢁꢁ）A.3B.2.5C.3.5D.2.75分数/分人数12345 2010401020ꢁ训练题1.某校组织了一次知识竞赛.在参加的同学中随机抽取100位同学的回答情况进行统计，答对的题数如下：答对5题的有10人，答对6题的有30人，答对7题的有30人，答对8题的有15人，答对9题的有10人，答对10题的有5人.则可以估7计在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数为ꢁꢁꢁꢁ.2.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用的时间的条形图如图，根据条形图可得这50名学生这一天B平均每人的课外阅读时间为（ꢁꢁ）A.0.6小时ꢁC.1.0小时B.0.9小时D.1.5小时小结1对普查与抽样调查的理解（1）普查是一项非常艰巨的工作，它要对所有的对象进行调查，当检验对象数量很大或对检验对象具有破坏性时，采用普查的方式是行不通的，要进行抽样调查.（2）普查与抽样调查的适用条件是不同的，在具体问题中，用普查还是抽样调查的方式，要根据它们的特点和适用范围进行判断.2.统计的基本概念（1）总体：调查对象的全体.（2）个体：组成总体的每一个调查对象.（3）样本：从总体中抽取的那部分个体.（4）样本量：样本中包含的个体数.3.（不放回）简单随机抽样必须具备下列特征（1）被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；（2）抽取的样本是从总体中逐个抽取的；（3）简单随机抽样是一种不放回抽样；（4）简单随机抽样是一种等可能的抽样.4.总体平均数与样本平均数的概念第九章统计9.1随机抽样9.1.2分层随机抽样9.1.3获取数据的途径1.通过实例了解分层随机抽样的特点和适用范围.2.了解分层随机抽样的必要性.3.掌握各层样本量化比例分配的方法.重点：分层随机抽样的方法及计算.难点：实际问题中抽样方法的选择与操作.知识梳理一、分层随机抽样的概念一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样（stratified random sampling），每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.二、分层随机抽样的特点（1）从分层随机抽样的定义可看出，分层随机抽样适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况.（2）分层随机抽样是等可能抽样.用分层随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相等，都等于.（3）分层随机抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，更能充分反映总体的情况，在实践中的应用也更广泛.三、分层随机抽样的实施步骤（1）根据已经掌握的信息，将总体分成互不相交的层；（2）根据总体中的个体数N和样本量n计算抽样比k＝；（3）确定第i层应该抽取的个体数目n≈N×k（N为第i层所包含的个i i i体数），使得各n i之和为n；（4）在各个层中，按步骤（3）中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为n的样本.四、分层随机抽样中的平均数五、数据获取途径1.通过调查获取数据：对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据.2.通过试验获取数据：通过试验获取数据时，我们需要严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量，为获得好的分析结果奠定基础.3.通过观察获取数据：通过观察自然现象所获取的数据性质比较复杂，其中蕴含着所观察现象的本质信息，这些信息十分宝贵，统计学理论和方法是挖掘这些信息的强有力的工具之一.4.通过查询获得数据：我们可以收集前人的劳动成果并加以利用，从而减少收集数据的成本.我们往往把这样获得的数据叫做二手数据.随着信息技术的发展，通过互联网获取数据越来越成为获取二手数据的主要方式.但从网络上查找的数据，因为数据来历和渠道多样，所以质量会参差不齐，必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真，为进一步的数据分析奠定基础.一分层随机抽样的理解例从某地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A.抽签法B.按性别分层随机抽样C.按学段分层随机抽样D.随机数法【解析】∵小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，∴学段对统计结果影响较大.∵同一学段男女生肺活量差异不大，∴性别对统计结果无明显影响，∴最合理的抽样方法是按学段分层随机抽样.故选C.【答案】C解题方法分层随机抽样的一个前提和遵循的两个原则（1）前提：分层随机抽样的适用前提是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小.（2）遵循的两个原则：①将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；②分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.选择抽样方法的思路（1）若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层随机抽样.（2）若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样.当总体中的个体数较小时，宜用抽签法；当总体中的个体数较大、样本量较小时，宜用随机数法.训练题BD训练题AC训练题A200。
人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第九章 统计 本章 总结提升
100
=0.029 6,
s= 0.029 6=0.02× 74≈0.17.
所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.
专题四
总体百分位数的应用
1.一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少
有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个
需要增加平时体育锻炼时间的人数.
解(1)(0.004+x+0.022+0.025+0.015+0.01+0.005)×10=1,
解得x=0.019.
(2)该地区有6 000名高中学生,每分钟跳绳不超过120次的学生所占频率为
(0.004+0.019+0.022)×10=0.45,
∴估计其中需要增加平时体育锻炼时间的人数为0.45×6 000=2 700.
的最大速度(单位:m/s)的数据如下:
甲
27
38
30
乙
33
29
38
37
34
35
28
31
36
分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度数据的平均数、极差、方差,并
判断选谁参加比赛比较合适.
解甲 =
27+38+30+37+35+31
=33,
6
乙 =
33+29+38+34+28+36
=33,
6
2
甲
=
1
2
第九章
本章总结提升
内
容
索
引
01
网络构建归纳整合
苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第9章 平面向量 9.2.1 第1课时 向量的加法
.
答案 2 2
解析 | + + + |=|( + )+( + )|=| + |=2 2.
探究点三 向量加法在实际问题中的应用
【例3】 在静水中船的速度为20 m/min,水流的速度为10 m/min.如果船从
岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向.
第9章
第1课时 向量的加法
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
1.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义.
课标要求
2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,会进行向量的
加法运算.
3.掌握向量加法的交换律和结合律,会用它们进行计算.
基础落实•必备知识全过关
C. = +
D. + =0
答案 C
解析 因为 = + ≠ + ,所以 C 错误.
2.化简 + + =
.
答案 0
解析 + + = + =0.
3.如果 + + =0,那么 A,B,C 三点一定能构成三角形吗?
.
答案 8 2 东北
解析 如图所示,作=a, =b,
则 a+b= + = ,
所以|a+b|=||= 82 + 82 =8 2.
因为∠AOB=45°,所以 a+b 的方向是东北.
km,向
本 课 结 束
②
探究点二 向量的加法及运算律
2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第二册) 9
9.2 用样本估计总体(精讲)考点一 频率分布直方图【例1-1】(2021·全国·高一课时练习)有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频数如下：[)10,15，4；[)15,20，5；[)20,25，10；[)25,30，11；[)30,35，9；[)35,40，8；[]40,45，3． (1)求出样本中各组的频率；(2)画出频率分布直方图及频率分布折线图．【例1-2】(2021·吉林·长春十一高)某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中50,60的学生人随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图(如图所示)，其中成绩在[)数为6.(1)求直方图中x的值；(2)求n的值；(3)试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩≥70”的概率.【一隅三反】1．(2021·全国·高一单元测试)某制造商生产一批直径为40mm的乒乓球，现随机抽样检查20个，测得每个球的直径(单位：mm，保留两位小数)如下：40.03 40.00 39.98 40.00 39.99 40.00 39.9840.01 39.98 39.99 40.00 39.99 39.95 40.0140.02 39.98 40.00 39.99 40.00 39.96(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02mm为合格品.若这批乒乓球的总数为10000，试根据抽样调查结果估计这批产品的合格个数.2．(2021·四川省南充市李渡中学 )对某校高一年级学生参加“社区志愿者”活动次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加“社区志愿者”活动的次数．据此作出频数和频率统计表及频率分布直方图如下：(1)求出表中M，p及图中a的值；15,20内的人数.(2)若该校高一学生有720人，试估计他们参加“社区志愿者”活动的次数在[)3．(2021·陕西富平·高一期末)为了了解某地高中学生的体能状况，抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图．为提高本地学生的身体素质，教育主管部门要求，每分钟跳绳不超过120次的学生，需要增加平时体育锻炼的时间．(1)求x值；(2)若该地区有6000名高中学生，估计其中需要增加平时体育锻炼时间的人数．考点二常见统计图表【例2-1】(2021·黑龙江齐齐哈尔)某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了5%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是( )A．总体中对平台一满意的消费人数约为35B．样本中对平台二满意的消费人数为300C．样本中对平台一和平台二满意的消费总人数为50mD．若样本中对平台三满意的消费人数为120，则80%【例2-2】(2021·湖南永州 )“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则( )A．该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍B．该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的1 3C．该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的1 6D．该直播间第三季度服装收入高于前两个季度的服装收入之和【一隅三反】1．(2021·内蒙古赤峰 )汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A．消耗1L汽油，乙车最多可行驶5kmB．甲车以80km/h的速度行驶1h消耗8L汽油C．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多D．若机动车最高限速80km/h，在相同条件下，乙，丙两辆车节油情况无法比较．2(2021·全国·高一课时练习)(多选)如图所示的两个扇形统计图分别统计了某地2010年和2020年小学生参加课外兴趣班的情况，已知2020年当地小学生参加课外兴趣班的总人数是2010年当地小学生参加课外兴趣班的总人数的4倍，则下列说法正确的是( )A．2020年参加音乐兴趣班的小学生人数是2010年参加音乐兴趣班的小学生人数的4倍B．这10年间，参加编程兴趣班的小学生人数变化最大C．2020年参加美术兴趣班的小学生人数少于2010年参加美术兴趣班的小学生人数D．相对于2010年，2020年参加不同课外兴趣班的小学生人数更平均3．(2021·全国·高一课时练习)现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等，视力日渐减退，某市为了了解学生的视力变化情况，从全市九年级随机抽取了1500名学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，根据视力在4.9以下的人数变化制成折线统计图，并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形统计图，如图．解答下列问题：(1)图中D所在扇形的圆心角度数为______；(2)若2019年全市共有30000名九年级学生，请你估计视力在4.9以下的学生有______名．考点三百位分数【例3】(2021·广东·仲元中学高一期末)已知10个数据：4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，则这组数据第40百分位数是( )A．8 B．7 C．8.5 D．7.5【一隅三反】1．(2021·安徽省涡阳第一中学 )高二年级一名学生一年以来7次考试数学成绩(满分150分)依次为100，120，117，98，135，124，89.则这名学生7次月考数学成绩的第70百分位数为( )A．100 B．117 C．120 D．1222．(2021·云南 )通过抽样调查得到某栋居民楼24户居民的月均用水量数量(单位：t)，将其按从小到大排序如下：2.13.2 3.24.3 4.35.56.7 8.9 9.4 9.5 9.5 9.910.1 10.5 11.1 11.2 12.5 14.8 15.2 15.3 18.4 19.0 20.8 22.4则估计这24户居民的月均用水量的第25百分位数为( )A．4.3 B．5.5 C．6.1 D．6.73．(2021·黑龙江·大庆实验中学高 )某公园对“十一”黄金周7天假期的游客人数进行了统计，如下表：则该公园“十一”黄金周7天假期游客人数的平均数和第75百分位数分别是( )A．2万､2.2万B．2万､2.25万C．2.2万､2.2万D．2万､2.3万考点四特征数【例4-1】(2021·云南·玉溪市江川区第二中学)某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h )分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论错误的是( )A ．这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5B ．这80辆小型车辆车速的中位数的估计值为77.5C ．这80辆小型车辆车速的平均数的估计值为77.5D ．在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75km/h 的概率为0.65【例4-2】(2021·黑龙江·大庆中学 )如果数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的平均数为x ，方差为2s ，则152x +，252x +，⋅⋅⋅，52n x +的平均数和方差分别为( )A ．x ，sB ．52x +，2sC ．52x +，225sD ．x ，225s【一隅三反】1．(2021·全国·高一课时练习)在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( ) A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，众数为0 C ．丙地：中位数为2，众数为3 D ．丁地：总体均值为1，中位数为12．(2021·云南师大附中 )袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者，是当代神农,50多年来，他始终在农业科学的第一线辛勤耕耘､不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获.袁老的科研团队发现“野败”后，将其带回实验，在试验田中随机抽取了100株水稻统计每株水稻的稻穗数(单位：颗)得到如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，则下列说法错误的是( )A ．a =0.01B ．这100株水稻的稻穗数平均值在区间[280，300)中C ．这100株水稻的稻穗数的众数是250D ．这100株水稻的稻穗数的中位数在区间[240，260)中3．(2021·湖北省直辖县级单位)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在下图两种分布形态中，a b c d ,,,分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是( )A ．a 为中位数，b 为平均数，c 为平均数，d 为中位数B ．a 为平均数，b 为中位数，c 为平均数，d 为中位数C ．a 为中位数，b 为平均数，c 为中位数，d 为平均数D ．a 为平均数，b 为中位数，c 为中位数，d 为平均数4．(2021·辽宁丹东)高三(1)班男女同学人数之比为3:2，班级所有同学进行踢毽球(毽子)比赛，比赛规则是：每个同学用脚踢起毽球，落地前用脚接住并踢起，脚接不到毽球比赛结束.记录每个同学用脚踢起毽球开始到毽球落地，脚踢到毽球的次数，已知男同学用脚踢到毽球次数的平均数为17，方差为11，女同学用脚踢到毽球次数的平均数为12，方差为16，那么全班同学用脚踢到毽球次数的平均数和方差分别为( ) A ．14.5，13.5 B ．15，13C ．13.5，19D ．15，195．(2021·广西·浦北中学 )若n 个样本11x -、21x -、31x -、⋅⋅⋅、1n x -的平均数是5-，方差为3，则对于样本112x +、212x +、312x +、、12n x +的平均数与方差分别是( )A ．10、6B ．10、6-C ．13、6D ．13、12考点五 综合运用【例5】(2021·全国·高一专题练习)某高校在2019年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩(满分200分)，按成绩分组，得到的频率分布表如下：(1)请先求出频率分布表中①②处应填写的数据，并完成如图所示的频率直方图；(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试．【一隅三反】1．(2021·广西河池·高一月考)下图是某班高三摸底考试数学成绩不低于90分的人数的频率分布直方图，为激励学生的学习热情，学校决定对数学成绩高于110分的同学进行奖励．100,110分数段的人数为10人，求此次考试应奖励的人数;(1)若图中成绩在[](2)用统计学知识估计数学成绩在90分及以上的学生成绩的中位数和平均数．(结果保留整数)2(2021·广西玉林·高一期中(文))某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试他们的笔试成绩都在[40,50)内，按照[40,100]，[50,60)，…，[90,100]分组，得到如下频率分布直方图：(1)求图中a的值；(2)求全体应聘者笔试成绩的平均数；(每组数据以区间中点值为代表)(3)该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少.3．(2021·全国·高一课时练习)某商店销售了30双皮鞋，其中各种尺码的销售量如下表所示：(1)计算30双皮鞋尺码的平均数、中位数、众数；(2)从实际出发，问题(1)中的三种统计特征量对商店有无指导意义？4．(2021·陕西·西北工业大学附属中学 )某校100名学生期中考试化学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100.(1)求图中a 的值；(2)请根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间中点值代替)及中位数.。
2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第二册) 第九章 统计 章末测试(基础)(学生版)
第九章统计章末测试(基础)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)1．(2021·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高一期末)3个数1，3，5的方差是( )A．23B．34C．2 D．832．(2021·全国·高一课时练习)某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700，从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第8个样本编号是( )32 21 18 34 2978 64 54 07 3252 42 06 44 3812 23 43 56 7735 78 90 56 4284 42 12 53 3134 57 86 07 3625 30 07 32 8623 45 78 89 0723 68 96 08 0432 56 78 08 4367 89 53 55 7734 89 94 83 7522 53 55 78 3245 77 89 23 45A．623 B．368 C．253 D．0723．(2021·吉林·延边二中高一月考)已知某企业有职工80000人，其职工年龄情况和绿色出行情况分别如图1和图2所示，则下列说法正确的是( )A．该企业老年职工绿色出行的人数最多B．该企业青年职工绿色出行的人数最多C．该企业老年职工绿色出行的人数和青年职工绿色出行的人数之和与中年职工绿色出行的人数相等D．该企业绿色出行的人数占总人数的80%4．(2021·全国专题练习)如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若由直方图得到的众数，中位数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)分别为,,a b c ，则( )A ．b a c >>B ．a b c >>C ．2a c b +>D ．2b c a +> 5．(2021·江西·奉新县第一中学)在某次测量中得到的A 样本数据如下17，22，37，42，31，58，61，若B 样本数据恰好是A 样本数据都减2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差6．(2021·全国·高一课时练习)一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x ，7，8(其中7x ≠)，若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的方差是( ) A ．133 B ．143 C ．163 D ．1737．(2021·全国·高一课时练习)根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10C 即为入冬．现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：①甲地：5个数据的中位数为7，众数为6；②乙地：5个数据的平均数为8，极差为3；③丙地：5个数据的平均数为5，中位数为4；④丁地：5个数据的平均数为6，方差小于3．则肯定进入冬季的地区是( )A ．甲地B ．乙地C ．丙地D ．丁地8．(2021·全国·高一课时练习)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：123 S S S ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( )甲的成绩乙的成绩丙的成绩A ．312S S S >>B ．213S S S >>C ．123S S S >>D ．231S S S >>二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·全国·高一课时练习)统计某校1000名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分)，根据成绩依次分为六组，[)90,100，[)100,110，[)110,120，[)130140,，[]140,150，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是( )A ．0.031m =B ．0.31m =C ．100分以下的人数为60D ．成绩在区间[)120.140的人数有470人10．(2021·福建·闽江学院附中高一月考)下列命题是真命题的有( )A ．有甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30B ．数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C ．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙D ．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为511．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中是真命题的有( )A ．有A ，B ，C 三种个体按312︰︰的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体数为9，则样本容量为30 B ．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C ．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲D ．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[]114.5124.5，内的频率为0.412．(2021·福建省南安市柳城中学高二期中)一组数据12321,21,21,,21n x x x x +++⋯+的平均值为7，方差为4，记12332,32,32,,32n x x x x +++⋯+的平均值为a ，方差为b ，则( )A ．a =7B ．a =11C ．b =12D ．b =9三、填空题(每题5分，共20分)13．(2021·天津·高一期末)某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则这个样本中共有___________人.14．(2021·黑龙江·嫩江市第一中学校高一期末)某社会爱心组织面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45)，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3组抽取__________名志愿者．15．(2021·全国·高一课时练习)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_______，_______，_______辆.16．(2021·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高一月考)已知一组数据3,2,4,5,1,9a a --的平均数为3(其中a R ∈)，则中位数为_____________．四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)17．(2021·全国·高一课时练习)某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题：用户用水量频数直方图用户用水量扇形统计图(1)此次抽样调查的样本容量是________；(2)补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；(3)如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．18．(2021·全国·高一课时练习)近年来，我国电子商务行业迎来了蓬勃发展的新机遇，但是电子商务行业由于缺乏监管，服务质量有待提高．某部门为了对本地的电商行业进行有效监管，调查了甲、乙两家电商的某种同类产品连续十天的销售额(单位：万元)，得到如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断甲、乙两家电商对这种产品的销售谁更稳定些？(2)如果日销售额超过平均销售额，相应的电商即被评为优，根据统计数据估计两家电商一个月(按30天计算)被评为优的天数各是多少．19．(2021·江苏·高一课时练习)某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下：[0,0.5)，4；[0.5,1)，8；[1,1.5)，15；[1.5,2)，22；[2,2.5)，25；[2.5,3)，14；[3,3.5)，6；[3.5,4)，4；[4,4.5)，2．(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；(3)当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？20．(2021·浙江·高一单元测试)目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控揩施，某医院组织专家统计了该地区1000名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图(用频率作为概率).潜伏期低于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期不低于平均数的患者，称为“长潜伏者”.(1)求这1000名患者潜伏期的众数、平均数；(2)计算出这1000名患者中“短潜伏者”的人数.21．(2021·全国·高一课时练习)成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查(满分100分，最低分20分).根据检查结果：得分在[80,100]评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在[60,80)评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在[40,60)评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在[20,40)评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图：(1)依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；(2)学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.22．(2021·吉林·延边二中高一月考)为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分.成9组，制成了如图所示的频率分布直方图,其中0.4a b(1)求直方图中,a b的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表)；(2)设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由.。
2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第二册) 第九章 统计 章末测试(提升)(教师版含解析)
第九章统计章末测试(提升)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)1．(2021·四川·成都七中)奥运会跳水比赛中共有7名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分，则与7个原始评分(不全相同)相比，一定会变小的数字特征是( )A．众数B．方差C．中位数D．平均数【答案】B【解析】对于A：众数可能不变，如8,7,7,7,4,4,1，故A错误；对于B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故B正确；对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误；对于C：平均数可能变大、变小或不变，故D错误；故选：B2．(2021·云南大理 )在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段事件内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：总体平均数为3，中位数为4；乙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丙地：中位数为2，众数为3；丁地：总体平均数为2，总体方差为3．则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是( )A．甲地B．乙地C．丙地D．丁地【答案】D【解析】对于甲地，若连续10日的数据为0,0,0,0,4,4,4,4,4,10，则满足平均数为3，中位数为4，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，A错误；对于乙地，若连续10日的数据为0,0,0,0,0,0,0,0,0,10，则满足平均数为1，方差大于0，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，B错误；对于丙地，若连续10日的数据为0,0,1,1,2,2,3,3,3,10，则满足中位数为2，众数为3，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，C 错误；对于丁地，若总体平均数为2，假设有一天数据为8人，则方差()22182 4.538s >⨯-=>，不可能总体方差为3，则不可能有一天数据超过7人，符合没有发生大规模群体感染的标志，D 正确.故选：D.3．(2021·四川 )2021年是中国共产党成立100周年，某学校团委在7月1日前，开展了“奋斗百年路，启航新征程”党史知识竞赛.团委工作人员将进入决赛的100名学生的分数(满分100分且每人的分值为整数)分成6组：[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]得到如图所示的频率分布直方图，则下列关于这100名学生的分数说法错误的是( )A ．分数的中位数一定落在区间[85,90)B ．分数的众数可能为97C ．分数落在区间[80,85)内的人数为25D ．分数的平均数约为85 【答案】B【解析】A ，由频率分布直方图可得()0.010.0220.030.0751b +⨯+++⨯=，解得0.05b =，前三组的概率为()0.0220.0550.450.5⨯+⨯=<， 前四组的概率为()0.0220.050.0750.70.5⨯++⨯=>， 所以分数的中位数一定落在第四组[85,90)内，故A 正确； B ，分数的众数可能为87.5，故B 错误；C ，分数落在区间[80,85)内的人数约为0.05510025⨯⨯=，故C 正确.D ，分数的平均数为：72.50.02577.50.02582.50.055⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯87.50.07592.50.03597.50.01585+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故D 正确.故选：B4．(2021·四川郫都 )为比较甲，乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场的得分制成如图所示的茎叶图. 有下列结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数； ②甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数； ③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定； ④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定. 其中所有正确结论的序号是( ) A ．②③ B ．①④ C ．①③ D ．②④【答案】A【解析】甲的得分为25,28,29,31,32； 乙的得分为28,29,30,31,32； 因为()12528293132295++++=，()12829303132305++++= ()()()()()2222212529282929293129322965⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦ ()()()()()2222212830293030303130323025⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦ 故甲、乙得分中位数分别为29、30；平均数分别为29、30；方差分别为6、2； 故正确的有②③； 故选：A5．(2021·江西·吉安一中 )若样本12,,,n a x a x a x +++的平均值是5，方差是3，样本1212,12,,12nx x x +++的平均值是9，标准差是b ，则( )A ．1,a b ==B ．2,a b ==C ．2,3a b ==D ．1,a b ==【答案】D 【解析】设12,,,n x x x 的平均值为x ，方差为2s ，因为样本12,,,n a x a x a x +++的平均值是5，方差是3，所以25,3a x s +==， 因为样本1212,12,,12n x x x +++的平均值是9，标准差是b ，所以912x =+，224s b =，所以4,1x b a === 故选：D6．(2021·广东·广州大学附属中学 )2021年3月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图(如图)和前200名中高一学生排名分布的频率条形图(如图)，则下列命题错误．．的是( )A ．成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人B ．成绩第1-100名的100人中，高一人数不超过一半C ．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人D ．成绩第51-100名的50人中，高二人数比高一的多 【答案】D【解析】由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多200(45%30%)30⨯-=，A 正确； 由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为120045%45502⨯⨯=<，B正确；成绩第1-50名的50人中，高一人数为20045%0.218⨯⨯=，因此高三最多有32人，C 正确；第51-100名的50人中，高二人数不确定，无法比较，D 错误． 故选：D ．7．(2021·浙江丽水·高一期末)新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力．2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是( )A ．第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平B ．第一产业的生产总值超过第三产业中“房地产业”的生产总值C ．若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，则“金融业”生产总值为32500亿元D ．若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元 【答案】D【解析】对于选项A ：第一产业的生产总值为6%，在第三产业中，第三产业中“租赁和商务服务业”的行业比重为6%，但第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值为57%6% 3.42%⨯=，故选项A 错误； 对于选项B ：第一产业的生产总值为6%，在第三产业中，第三产业中“房地产业”的行业比重为13%，但第三产业中“房地产业”的生产总值为57%13%7.41%⨯=，6%7.41%<，故选项B 错误；对于选项C ：若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，因为“住宿餐饮业”行业比重为3%，所以第三产业生产总值为75002500003%=亿元，因为“金融业”行业比重为16%，所以“金融业”生产总值为25000016%40000⨯=亿元，故选项C 错误，对于选项D ：若“金融业”生产总值为41040亿元，因为“金融业”行业比重为16%，所以第三产业生产总值为4104025650016%=亿元，又因为第三产业生产总值占比57%，第二产业生产总值占比37%，所以第二产业生产总值为25650037%16650057%⨯=亿元，所以选项D 正确；8．(2021·全国· 专题练习 )关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为( ) A ．4a mB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 【答案】D【解析】根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(),x y ，即0101x y <<⎧⎨<<⎩， 对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数,x y 能与1构成钝角三角形三边，则有22110101x y x y x y ⎧+<⎪+>⎪⎨<<⎪⎪<<⎩，其面积142S π=-；则有142a m π=-，解得42a mmπ+= 故选：D ．二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·广东·仲元中学 )某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赌，该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用样本估计总体，以下四个选项正确的是( ) A ．30~41周岁参保人数最多B ．随着年龄的增长人均参保费用越来越少C ．30周岁以上的参保人数约占总参保人数20%D ．丁险种最受参保人青睐【解析】对A ：由扇形图可知，31～41周岁的参保人数最多，故选项A 正确； 对B ：由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故选项B 错误； 对C ：由扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总参保人数的80%，故选项C 错误； 对D ：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故选项D 正确. 故选：AD.10．(2021·广东肇庆·高一期末)已知在一次射击预选赛中，甲､乙两人各射击10次，两人成绩(所中环数越大，成绩越好)的频数分布表分别为：下面判断正确的是( )A ．甲所中环数的平均数大于乙所中环数的平均数B ．甲所中环数的中位数小于乙所中环数的中位数C ．甲所中环数的方差小于乙所中环数的方差D ．甲所中环数的方差大于乙所中环数的方差 【答案】AC【解析】甲所中环数的平均数为50617284931007.9012430⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++++乙所中环数的平均数为：51627282921017.5122221⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++++所以甲所中环数的平均数7.9大于乙所中环数的平均数7.5，选项A 正确； 甲所中环数的中位数为：8，乙所中环数的中位数为：7.5所以甲所中环数的中位数大于乙所中环数的中位数，选项B 错误；甲所中环数的方差为：()1022110.8910i ii x x S ==-==∑，乙所中环数的方差为：()102212 2.2510i ii x x S ==-==∑所以乙所中环数的方差大于甲所中环数的方差，选项C 正确；选项D 错误.11．(2021·广东中山·高一期末)为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量(单位：本)等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．下面推断合理的是( )A．这200名学生阅读量的平均数可能是26本；B．这200名学生阅读量的75%分位数在区间[30,40)内；C．这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间[20,30)内；D．这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间[20,30)内．【答案】BCD【解析】对于A选项，由表中数据可知，男生的阅读量为24.5本，女生的阅读量为25.5本，故200名学24.5,25.5内，故错误；生的平均阅读量在区间()+++++=人，在[30,40)内的有对于B选项，由于20075%150⨯=，阅读量在[0,30)内的有7831292526126303262+=人，故这200名学生阅读量的75%分位数在区间[30,40)内，正确；对于C 选项，设在区间[0,10)中的初中生有x 人，由于在[0,10)内的人数共15人，故[]0,15,x x N ∈∈，故当0x =时，初中学生共116人，中位数为第58个与第59个的平均数，此时区间[10,20)有25人，[20,30)有36人，故中位数在[20,30)内；当15x =时，初中学生共131人，中位数为第66个,，此时区间[0,10)有15人，[10,20)有25人，[20,30)有36人，故中位数在[20,30)内，所以当区间[0,10)人数最多和最少时，中位数都在区间[20,30)内，故这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间[20,30)内，正确；对于D 选项，设在区间[0,10)中的初中生有x 人，由于在[0,10)内的人数共15人，故[]0,15,x x N ∈∈，故当0x =时，初中学生共116人，则11625%29⨯=人，此时区间[10,20)有25人，[20,30)有36人，故25%分位数可能在区间[20,30)内；当15x =时，初中学生共131人，则13125%32.75⨯=，此时区间[0,10)有15人，[10,20)有25人，共40人，25%分位数可能在区间[10,20)内，故这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间[20,30)内，正确. 故选：BCD12．(2021·广东·广州市培正中学 )在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：中位数为2，极差为5； 乙地：总体平均数为2，众数为2； 丙地：总体平均数为1，总体方差大于0； 丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有( ) A ．甲地 B ．乙地 C ．丙地 D ．丁地【答案】AD【解析】设甲地最多一天疑似病例超过7人，甲地中位数为2，说明有一天疑似病例小于2，极差会超过5，∴甲地每天疑似病例不会超过7，∴选A ．根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，∴不选BC ；假设丁地最多一天疑似病例超过7人，丁地总体平均数为2，说明极差会超过3，∴丁地每天疑似病例不会超过7，∴选D ． 故选：AD ．三、填空题(每题5分，共20分)13．(2021·江苏·扬中市第二高级中学高一期末)已知样本数据1x ，2x ，⋯，2020x 的平均数与方差分别是m 和n ，若2(1i i y x i =-+=，2，⋯，2020)，且样本数据的1y ，2y ，⋯，2020y 平均数与方差分别是n 和m ，则222122020x x x ++⋯+=__．【答案】4040【解析】由题意得：2m n m n -+=⎧⎨=⎩，解得1m =，1n =，∴2221220201[(1)(1)(1)]12020x x x -+-+⋅⋅⋅+-=， 22212202012202020202()2020x x x x x x ∴++⋯++-++⋅⋅⋅+=， 2221220201220202()220204040x x x x x x ∴++⋯+=++⋅⋅⋅+=⨯=．故答案为：4040．14．(2021·北京·清华附中模拟预测)下图是国家统计局发布的2020年2月至2021年2月全国居民消费价格涨跌幅折线图．说明：(1)在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2021年2月与2020年2月相比较：环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2020年4月与2020年3月相比较． (2)同比增长率=100%-⨯本期数同期数，同期数环比增长率=100%-⨯本期数上期数上期数． 给出下列四个结论：①2020年11月居民消费价格低于2019年同期；②2020年3月至7月居民的消费价格持续增长；③2020年3月的消费价格低于2020年4月的消费价格；④2020年7月的消费价格低于2020年3月的消费价格．其中所正确结论的序号是____________．【答案】①④【解析】①：由国居民消费价格涨跌幅折线图可知：同比增长率为0.5%-，由题中说明所给同比增长率定义可知：2020年11月居民消费价格低于2019年同期，故本结论正确；②：由国居民消费价格涨跌幅折线图可知：2020年3月至6月环比增长率为负值，由题中所给的环比增长率定义可知：2020年3月至6月居民的消费价格持续下降，所以本结论不正确；③：设2020年3月的消费价格为3a ，2020年4月的消费价格为4a ， 根据题中所给的环比增长率公式可得：43433100%0.9%0.991a a a a a -⨯=-⇒≈， 所以43a a <，因此本结论不正确；④：设2020年5月的消费价格为5a ，2020年6月的消费价格为6a ，2020年7月的消费价格为7a ， 根据题中所给的环比增长率公式可得：54534100%0.8%0.983a a a a a -⨯=-⇒≈，65635100%0.1%0.982a a a a a -⨯=-⇒≈， 76636100%0.6%0.988a a a a a -⨯=⇒≈，所以73a a <，因此本结论正确； 故答案为：①④15．(2021·辽宁沈阳 )设某组数据均落在区间[]10,60内，共分为[)[)[)[)[]10,20,20,30,30,40,40,50,50,60五组，对应频率分别为12345,,,,.p p p p p 已知依据该组数据所绘制的频率分布直方图为轴对称图形，给出下列四个条件：①130.1,0.4p p ==；②252p p =；③14250.3p p p p +=+=；④12345242p p p p p ．其中能确定该组数据频率分布的条件有__________．【答案】①④【解析】已知1524,p p p p ==，123451p p p p p ++++=，若①130.1,0.4p p ==，则2450.2,0.2,0.1p p p ===；若②252p p =，则3161p p +=，不能得出13,p p ；若③14250.3p p p p +=+=，则可得30.4p =，但1245,,,p p p p 的解不确定，若12345242p p p p p ．则12345242p p p p p ====，可得3113p =，15413p p ==，24213p p ==， 故答案为：①④．16．(2021·河北·大名县第一中学高一月考)某班40名学生，在一次考试中统计所得平均分为80分，方差为70，后来发现有两名同学的成绩有损，甲实得80分错记为60分，乙实得70分错记为90分，则更正后的方差为______．【答案】60【解析】因为甲实得80分，记为60分，少记20分，乙实得70分，记为90分，多记20分，所以总分没有变化，因此更正前后的平均分没有变化，都是80分，设甲乙以外的其他同学的成绩分别为3440,,...,a a a ，因为更正前的方差为70，所以()()()()22223406080908080...807040a a -+-+-++-=⨯，所以()()2234080...8028004001002300a a -++-=--=，更正后的方差为： ()()()()222234028080708080...80100+2300604040a a s -+-+-++-===， 所以更正后的方差为60，故答案为：60.四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)17．(2021·安徽·淮北一中 )某次数学考试后，抽取了20名同学的成绩作为样本绘制了频率分布直方图如下：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)求20位同学成绩的平均分；(3)估计样本数据的第一四分位数和第80百分位数(保留三位有效数字)．【答案】(1)0.005a =；(2)76.5；(3)第一四分位数为70.0；第80分位数为86.7．【解析】(1)依图可得：(23762)101a a a a a ++++⨯=，解得：0.005a =．(2)根据题意得，(552653757856952)1076.5a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．(3)由图可知，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100对应频率分别为：0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，前两组频率之和恰为0.25，故第一四分位数为70.0．前三组频率之和为0.6，前四组频率之和为0.9，所以第80分位数在第四组．设第80分位数为x ，则()0.68060.030.8x +-⨯⨯=，解得：86.7x ≈．18．(2021·江西·赣州市赣县第三中学 )2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业。
人教B版高中数学必修二第9课时.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第9课时 1.1.7 柱、锥、台和球的体积课时目标1.了解祖暅原理．2．掌握柱、锥、台和球的体积计算公式．3．会利用柱、锥、台和球的体积公式解决有关几何体的体积问题．识记强化1．柱体(棱柱、圆柱)的体积公式为V 柱体＝Sh ，(S 为柱体底面积，h 为柱体的高)，V 圆柱＝πr 2h (r 为底面半径，h 为圆柱的高)．2．若一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S ，高为h ，则它的体积是V 锥体＝13Sh ，若圆锥的底面半径为r ，高为h ，则它的体积为V 圆锥＝13πr 2h .3．若一个台体上、下底面的面积分别为S ′、S ，高为h ，则它的体积公式为V 台体＝13h (S＋SS ′＋S ′)，若圆台上、下底面半径分别为r ′、r ，高为h ，则它的体积为V 圆台＝13πh (r 2＋rr ′＋r ′2)．4．球的半径为R ，则球的体积为V 球＝43πR 3.课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3或192π cm 3 D ．192π cm 3 答案：C解析：圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫122π2×8＝288π cm 3.当圆柱的高为12 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫82π2×12＝192πcm 3. 2．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240°，则该圆锥的体积为( )A.2281πB.881πC.4581πD.1081π 答案：C解析：圆锥的底面圆的周长为240°360°×2π×1＝43π，设底面圆的半径为r ，则有2πr ＝43π，所以r ＝23，于是圆锥的高h ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53，故圆锥的体积V ＝13×π×⎝⎛⎭⎫232×53＝4581π. 3.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34 答案：D解析：VB 1—ABC ＝13×34×12×3＝34.4．在棱长为a 的正方体中，连接各相邻面的中心，以这些线段为棱的几何体是一个正八面体，则该正八面体的体积为( )A.13a 3B.14a 3C.16a 3D.112a 3 答案：C解析：正八面体可以看成由两个正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为22a ，高为12a ，则正八面体的体积V ＝2×13×⎝⎛⎭⎫22a 2×12a ＝16a 3.5．设正三棱柱的外接圆柱体积为V 1，内切圆柱体积为V 2，则V 1：V 2的值为( ) A ．：1 B ．：1 C ．：1 D ．：1 答案：B解析：由于这些棱柱的高相等，因此它们的体积比就等于底面积的比，设正三棱柱底面边长为a ，则内切圆半径为36a ，外接圆半径为33a ，∴V 1：V 2＝π⎝⎛⎭⎫33a 2：π⎝⎛⎭⎫36a 2＝：1.6．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．2 2 B.233C.423D.433 答案：D解析：设正方体的棱长为x ，则正方体的体对角线长为3x ，由题设有43π⎝⎛⎭⎫3x 23＝323π，解得x ＝433.所以选D.二、填空题(每个5分，共15分)7．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________． 答案：12π解析：设球的半径为R ，则43πR 3＝43π，∴R ＝3，∴球的表面积S ＝4πR 2＝4π×3＝12π.8．木星的表面积约是地球的120倍，体积约是地球的__________倍． 答案：24030解析：由题意，得4πR 2木＝4πR 2地·120，所以R 木＝120R 地． 所以V 木＝43πR 3木＝43π·(120R 地)3＝24030·43πR 3地＝24030V 地．9．如图，E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，AB ＝2，沿图中虚线将该正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是________．答案：13解析：折叠起来后，B ，C ，D 三点重合，设为点S ，则围成的三棱锥为S －AEF ，其中，SA ⊥SE ，SA ⊥SF ，SE ⊥SF ，且SA ＝2，SE ＝SF ＝1，如图，所以此三棱锥的体积V ＝13×12×1×1×2＝13.三、解答题10．(12分)已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S ，求其内接正四棱柱的体积．解：设等边圆柱的底面半径为r ，则高h ＝2r . ∵S ＝S 侧＋2S 底＝2πrh ＋2πr 2＝6πr 2，∴r ＝S6π.∴内接正四棱柱的底面边长a ＝2r sin45°＝2r .∴V ＝S 底·h ＝(2r )2·2r ＝4r 3＝4·(S 6π)3＝6πS 9π2·S . 即圆柱的内接正四棱柱的体积为6πS9π2S .11．(13分)已知四棱锥P －ABCD 的直观图及三视图如图所示，求该四棱锥的体积．解：由该四棱锥的三视图，可知该四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2，∴V P －ABCD ＝13S 四边形ABCD ·PC ＝23.能力提升12．(5分)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )答案：C解析：若该几何体的俯视图是选项A ，则该几何体的体积为1，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项B ，则该几何体的体积为π4，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项C ，则该几何体的体积为12，满足题意；若该几何体的俯视图是选项D ，则该几何体的体积为π4，不满足题意．故选C.13．(15分)某几何体的三视图如图所示．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1和直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10.。