相似三角形性质与判定
相似三角形的性质与判定讲义)
相似三角形的性质与判定讲义)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形判定与性质
相似三角形专讲【知识要点】1．对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
2．相似三角形的判定：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。
③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
3．相似三角形具有下述性质：①相似三角形对应角相等、对应边成比例；②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比； ④相似三角形面积的比等于相似比的平方。
4．熟悉如图中形如“A ”型，“X ”型，“子母型”等相似三角形。
5.射影定理AC 2=AD ·BD BC 2=BD ·BACD 2=AD ·BD6.位似：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做 位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比.【典型例题】一、选择题（每小题4分，共40分）1.如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36º，BD 平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD 相似 三角形是（ ）。
A ．△ABC B ．△DAB C ．△ADE D ．△BDC 2．如图2，AB ∥CD ∥EF ，则图中相似三角形的对数为（ ）。
A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．如图3，已知在△ABC ，P 为AB 上一点，连结CP ，以下各条件中不能判定△ACP ∽△ABC 的是（ ）。
A ．∠ACP ＝∠B B ．∠APC ＝∠ACB C ．AC AP ＝AB AC D ． AC AB ＝CPBC图1 图2 图34．如图4，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应在（ ）。
A ．P 1处B ．P 2处C ．P 3处D ．P 4处5．如图5，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 四点中的（ ）。
相似三角形判定+性质
。
2．如图所示,当满足下列条件之一时，都可判定 △ADC∽△ACB．
① ② ③ ∠ACD=∠B ∠ACB=∠ADC ， ，
D C A
AD AC 或AC 2 AD AB B 。 AC AB
知识点二：相似三角形的性质
BC 点A
△ADE
18
45 C
知识点三：黄金分割
AC BC 点C把线段AB分成两部分, 如果 , AB AC
③三边对应成比例的两个三角形相似．
AB AC BC ' ' ' ' ' ' ABC∽A BC AB AC B C
相似三角形中的基本图形
A型
X型
双垂直型
1. △ABC和△ A1B1C1 中, ∠A=∠A1=80 , 。 。 ∠B=70 , ∠B1=30 ,这两个三角形相 似吗?并说明理由;
图形的相似复习
知识点一：相似三角形的判定
B
9;
①两角对应相等的两个三角形相似． ∵∠A=∠Aˊ, ∠B=∠Bˊ∴△ABC∽△A′B′C′ ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
AB AC A A , ' ' ' ' ABC∽A BC A B AC
'
A
B
10
D C
4 30°
E
1、有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在 灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝ 3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长 FG＝4m，如果小明得身高为1.6m，求路灯 杆AB的高度。 A
C E G
B
D
F
2、如图：小明想测量一颗大树AB的高度，发现树的 影子恰好落在土坡的坡面CD和地面CB上，测得 CD=4m,BC=10m，CD与地面成30度角，且测得1米竹杆 的影子长为2米，那么树的高度是多少？
相似三角形的判定及性质
相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）平行于三角形一边的直线和三角形其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；（3）如果两个三角形的两条对应边之比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是（ ）A ．AE AC AD AB = B ．DEBCAD AB = C ．∠B=∠D D ．∠C=∠AED如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF=14CD ，下列结论：①∠BAE=30°，②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ，④△ADF ∽△ECF ．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4如图，在△ABC 中．∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形共有A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对在△ABC 中，∠B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2=BD ·DC ，则∠BCA 的度数为_____如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5如图，∠BAD=∠C，DE⊥AB于E，AF⊥BC于F，若BD=6，AB=8，则DE：AF=学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。
（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。
类似地，你可以等到：“满足，或，两个直角三角形相似”。
（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足的两个直角三角形相似”。
相似三角形的判定及性质
例1 如图1 20 , 在 ABC 中, AB AC, D是AC边上一点, BD BC. 求证 : BC2 AC CD .
分析 要证明BC 2 AC CD ,即证明 AC BC , 只要证明 AC、BC 和 BC、 BC CD CD为一对相似三角形的两 组对应边 即可.为此, 要证明ABC和BDC相似.
例1 如图1 21,圆内接ABC的角平分线CD延长后 EB DB A 交圆于一点E .求证 : . EC CB E
EB DB 分析 要证 , 应考虑EB、EC、 EC CB DB、CB这四条线段所在的两个三角形 是否相似. EB、EC在EBD中, DB、CB
D
B
C
在 ECB 中,因此可以考虑证明EBD与 ECB相似.
1 1 2 2
那么它们就相似.又由于三角形的内角和为1800 , 所以只要 两个三角形中有两个对应角相等, 那么第三个对应角一定 相等, 这样就有"两角对应相等, 两三角形相似".
单击图标, 打开几何画板, 通过动 画演示, 实验.解释 : 预备定理P 11 , 探究P . 13 ,引理P 14
D
A E
图1 16
C
E
D
探究 如果 D、E交于BA、CA的延长 线上, 且DE // BC图1 17, 那么结论是 否还成立?
B
A
对于图1 17的情形,同样可以证明 图1 17 ADE ~ ABC.这是判定两个三角 形相似的一个定理, 我们把它称为预备定理 .
C
预备定理 平行于三角形一边的直 线和其他两边(或两 边的延长线)相交, 所构成的三角形与原三 角形相似.
A D
B
C
图1 20
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。
（2）相似三角形的周长比等于相似比。
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。
二、典型例题例 1：如图，已知直线 AB： y=4/3 x+b 交 x 轴于点 A（ -3 ， 0），交 y 轴于点 B，过点 B 作BC⊥AB 交 x 轴于点 C．（1）试证明：△ ABC∽△ AOB；（ 2）求△ ABC 的周长．例 2：如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点A（ -1 ，0）和点（ 1，4）交 y 轴于点 B．（ 1）求一次函数解析式和 B 点坐标．（ 2）过 B 点的另一直线 1 与直线 AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点 P 的坐标．（3）点 M（ 0，a）为 y 轴正半轴上的动点，点N（ b，O）为 X 轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线 AB时，求 a： b 的值．例 3：（ 2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中， EF 是 BD 的垂直平分线，已知 BD=20， EF=15，求矩形 ABCD 的周长．例 4：（ 2010·攀枝花）如图所示，在△ ABC 中， BC ＞ AC ，点 D 在 BC 上，且 DC=AC ，∠ ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F ．点 E 是 AB 的中点，连接 EF ．（ 1）求证： EF ∥BC ；（ 2）若△ ABD 的面积是 6，求四边形 BDFE 的面积．例题(1) 两个相似三角形的面积比为 s 1 : s 2 ，与它们对应高之比h 1 : h 2 之间的关系为 _______(2) 如图，已知 D E ∥ BC ， CD 和 BE 相交于 O ，若 SABC:SCOB9 :16 ，则 AD:DB=_________AABADD ’DEODEEFFGA A ’CC ’OCB B ’BCDBC(2)题图(3) 题图(4) 题图(5) 题图(3)如图，已知 AB ∥CD,BO:OC=1:4, 点 E、 F 分别是 OC， OD的中点，则 EF:AB 的值为(4) 如图，已知DE∥FG∥ BC,且 AD:FD:FB=1:2:3, 则S ABC: S四边形DFGE: S四边形FBCG()A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 A’B ’C’D ’的位置，它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半，若AC= 2 ,则正方形移动的距离 AA ’是(6) 梯形 ABCD中， AD∥BC，（ AD<BC）， AC、 BD交于点 O,若S OAB6S ABCD,则△AOD与△BOC的周长25之比为 __________ 。
相似的性质和判定
三角形相似的判定和性质1一、知识梳理：1、相似的判定：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（两角对应相等，两个三角形相似。
）②如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
）③如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
（三边对应成比例，两个三角形相似。
）④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
（斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
）⑤两个三角形三边对应平行，则两个三角形相似。
（三边对应平行，两个三角形相似。
）⑥如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（全等三角形相似）。
2、相似的性质：①相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例。
②相似三角形的周长比，对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似比等于面积比的算术平方根。
3、推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
4、射影定理：射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
①CD2＝AD·BD；②AC2＝AD·AB；③BC2＝BD·AB二、相似的基本图形：（一）平行线型如图，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC,形象地说图为“A”型或“X”型,故称之为平行线型的基本图形.例1、如图,在平行四边形ABCD中,E是AB延长线上一点,连结DE交AC于G，交BC于F,则图中相似三角形(不含全等三角形)共有 对. （二）相交线型若∠AED=∠B,则△ADE ∽△ABC,称之为相交线型的基本图形.例2、如图，D 、E 分别为△ABC 的边AC 、AB 上一点，BD,CE 交于点O,且CODOBO EO,试问△ADE 与△ABC 相似吗?如果是,请说明理由.（三）母子型如图，有△ACD ∽△ABC,称之为“子母”型的基本图形.特别地,令∠ACB=90,CD 则为斜边上高(如图9), 则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD.DABCABCD例3 如图,在△ABC 中,P 为AB 上一点,要使△APC ∽△ACB,还需具备的一个条件是 或 或 或 ； （四）旋转型△ADE ∽△ABC,称之为旋转型的基本图形.AB例4、如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4． 证明：△ABC ∽△DBE ．（五）三垂直型如右图，AB⊥BC, AD⊥DE, CE⊥BC,则△ABD∽△DCE,这种图形称之为三垂直型.AEBD C随堂练习一．选择题：1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．= D．=2．△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC与△DEF相似的是（）DE=EF=DF=，AC=BC=DE=△BDE△CDE△DOE△AOC 的值为（）A． B． C． D．4．如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH上．若AB=5，BG=3，则△GFH的面积为何？（）A．10 B．11 C． D．二．填空题：5．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为．6．如图，四边形ABCD为矩形，，则∠MAN的度数为度．7．如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为米．8．△ABC中，AB：AC：BC=4：3：2，△A1B1C1中，A1B1：A1C1：B1C1=3：2：4，则△ABC与△A1B1C1（相似或不相似）．9．如图，已知△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2，AD与CE相交于F，则= ．10．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则+= ．11．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，=，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．12．已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1=2，且点A，D1，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是．三．解答题：13．如图，等边△ABC，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试求出∠AFE的度数．（2）△AEF与△ABE相似吗？说说你的理由．（3）BD2=AD•DF吗？请说明理由．14．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2=GF•EF．15．如图，过▱ABCD的顶点A的直线交BD于点P，交CD于点Q，交BC的延长线于点R．求证：．16．如图，四边形ABCD，DCFE，EFGH是三个正方形．求∠1+∠2+∠3的度数．17．如下图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？九年级数学图形的相似2参考答案一．选择题（共4小题）1．D 2．C 3．D 4．D二．填空题（共8小题）5．5 6．90 7．2.4 8．相似 9．10．1 11．12．。
三角形的相似性及其性质
三角形的相似性及其性质三角形是几何学中重要的图形，它们由三条边和三个角组成。
在研究三角形时，了解三角形的相似性及其性质对于解决各种几何问题非常有帮助。
本文将详细探讨三角形的相似性及其性质。
一、相似三角形的定义及判定相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们是相似的。
判定两个三角形是否相似有以下几种方法：1. AAA相似判定法：当两个三角形的对应角度分别相等时，它们是相似的。
例如，如果一个三角形的三个内角分别等于另一个三角形的三个内角，那么这两个三角形就是相似的。
2. AA相似判定法：当两个三角形的一个角相等，且两个角所对的边成比例时，这两个三角形是相似的。
例如，如果一个三角形的一个内角等于另一个三角形的一个内角，并且这两个角所对的边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
3. SSS相似判定法：当两个三角形的对应边成比例时，它们是相似的。
例如，如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
二、相似三角形的性质在相似三角形中，存在一些重要的性质，这些性质对于解决各种几何问题有很大的帮助。
下面介绍几个常见的相似三角形性质：1. 相似三角形的对应边成比例：如果两个三角形是相似的，那么它们的对应边的长度成比例。
即对应边的比值相等。
例如，如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边成比例，那么第三条边也与第三条边成比例。
2. 相似三角形的对应角相等：如果两个三角形是相似的，那么它们的对应角度相等。
即对应角相等。
例如，如果一个三角形的一个内角与另一个三角形的一个内角相等，那么这两个角所对的边的比值也相等。
3. 相似三角形的周长和面积之比：如果两个三角形是相似的，那么它们的周长和面积之比等于对应边长度的比值的平方。
例如，如果一个三角形的周长和面积分别是另一个三角形的周长和面积的2倍，那么这两个三角形就是相似的。
三、应用实例三角形的相似性及其性质在实际问题中有广泛的应用。
相似三角形的判定和性质
A 'B 'C 'CBAA 'B 'C 'CB A相似三角形的性质和判定 一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”。
2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。
三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比） 。
3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。
如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）．M 'MA 'B 'C 'C B A图（1）H 'H AB C C 'B 'A '图（2）D 'D A 'B 'C 'C B A图（3）A 'B 'C 'CBAH 'HA BC C 'B 'A '如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△． 图4图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似。
相似三角形的判定和性质-备战2023年中考数学考点微专题
考向5.6 相似三角形的判定和性质【知识要点】1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。
2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。
3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。
4、三角形相似的判定定理：（1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
（2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。
（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。
第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。
第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。
5、相似三角形的性质：（1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
相似三角形的判定及性质
R
r
19
习题 1.3
5.如图,线段EF平行于四边形ABCD的一边AD,BE与CF
交于一点G,AE与DF交于一点H.
求证:GH//AB.
H
A
D
E F
B
C
G
BH BC AD AG EH EF EF EG
预备定理 定义 引理 20
习题 1.3
6.已知:DE//AB,EF//BC. O 求证:△DEF∽△ABC.
(2) AD BC AC ED
3、已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，AB=a，AC=b， A′B′=a′，当 A′C′为多少时，△ABC∽△A′B′C′？
22
小结
相
似
三
角 形
预备定理
的
概
念
判定定理1
判定定理2 直角三角形判定定理
判定定理3
23
EF 1 BC, FD 1 CA, DE 1 AB
2
2
2
EF FD DE 1 BC CA AB 2
∴△DEF∽△ABC
A
F
E
B
D
C
9
直角三角形相似的判定定理
定理
两角对应相等
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它 们相似。
两边对应成比例及夹角相等
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例， 那么它们相似。
类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等
的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定
理.
10
定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
三角形的相似性质及证明
三角形的相似性质及证明三角形是基础的几何图形之一，它具有多种性质和特点。
其中之一便是相似性质。
本文将会介绍三角形的相似性质，以及其证明过程。
一、相似性质的定义在几何学中，当两个三角形的对应角度相等，而对应边的比值相等时，我们称这两个三角形为相似三角形。
记作∆ABC∼∆DEF。
二、相似性质的判定1. AAA判定法：如果两个三角形的三个内角相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，可以得到三角形ABC与DEF中的角度对应关系相等。
因此，根据AAA判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
2. AA判定法：若两个三角形的两个角度对应相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知∠A=∠D，∠B=∠E，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知∠A=∠D，∠B=∠E，可以得到三角形ABC与DEF中的角度对应关系相等。
因此，根据AA判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知∠A=∠D，AB/DE=BC/EF，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知∠A=∠D，AB/DE=BC/EF，可以得到三角形ABC与DEF中的角度和边长对应关系相等。
因此，根据SAS判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
4. SSS判定法：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知AB/DE=BC/EF=AC/DF，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知AB/DE=BC/EF=AC/DF，可以得到三角形ABC与DEF中的边长对应关系相等。
因此，根据SSS判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
三、相似性质的应用相似性质在几何学中有广泛的应用，以下列举几个例子。
1. 相似三角形的比例关系：根据相似三角形的定义，可以得到相似三角形的对应边长之间的比例关系。
相似三角形的判定与性质
A 2
D
3
4
E
1
B
C
如图已知点D,E分别在AC,AB上,
AE=3,AD=2,DB=4,EC=1.你能找到两个三
角形相似吗?说出你的理由.A
2
AD
3 A
E2
6
4
D
3
4
E
1
B
CB
C
A
D E
B
C
A
D
E
B
C
D
E
3A0 36
54
45
B
C
32
D
E
30 36
A A
54
45
B
C
48
∵ △ABC∽△A'B'C'
解:⑴∵∠A= ∠A，∴当∠1= ∠ACB （或∠2= ∠B）
时，△ ACP∽△ABC
A
⑵ ∵∠A= ∠A，∴当AC:AP＝AB:AC时， △ ACP∽△ABC
B
P1
2 C
答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AC:AP＝AB:AC 时,△ ACP∽△ABC.
五、巩固提高： 在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P 从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点 B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别 从A、B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？
B
C
的相似比为＿5＿:2＿
2、 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形
乙的最大边为12cm，则三角形乙的最短边为___6___cm.
3、等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上
相似三角形的性质和判定
相似三角形的性质和判定
相似三角形的性质是：
1. 三角形的边长比例相同；
2. 锐角的角度相同；
3. 所有顶角的平分线比例相同。
判定相似三角形：
1. 通迗等腰三角形：两边角相等，其它边等于相应两边角和的一半；
2. 通过等比三角形：边之比等同，两个角之间比例也相同；
3. 通过比例定理：三边比例相同，平分线比例也相同；
4. 通过勾股定理：比值即可表示三边的比例；
5. 通过拉贝尔定理：长度的平方和等于平分线的平方和；
6. 通过比例图：图像表示比例定理，可以比较快速判定相似三角形。
相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学知识体系中有着重要的地位。
相似三角形是指两个或更多个三角形在形状上相似的特殊三角形。
它们的边长比例相等，对应的角度也相等。
通过研究相似三角形的性质和判定条件，我们可以在解决实际问题时更好地应用相似三角形的概念。
首先，我们来介绍一些相似三角形的性质。
相似三角形具有以下性质：1. 对应角相等性质。
如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。
具体而言，如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们一定是相似三角形。
这是相似三角形的性质中最重要的一条。
2. 对应边比例相等性质。
如果两个三角形的对应边的长度比例相等，那么它们是相似三角形。
具体而言，如果两个三角形的三条边的对应长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。
这个性质可以直接从三角形的定义和角相等性质推导出来。
其次，我们来介绍一些相似三角形的判定条件。
判定两个三角形是否相似主要有以下几种方法：1. AA 判定法。
如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们一定是相似三角形。
2. SSS 判定法。
如果两个三角形的三个边的长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。
3. SAS 判定法。
如果两个三角形的一个角相等，而且两个边的长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。
4. 等腰三角形判定法。
如果两个三角形的两条边长比例相等且夹角相等，那么它们一定是相似三角形。
相似三角形的性质和判定条件在解决实际问题时非常有用。
例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量实际的距离和角度，计算出高楼的高度。
又如，在地图上测量两个城市之间的直线距离时，我们可以利用相似三角形的判定条件，通过测量两个城市之间的实际距离和角度，计算出直线距离。
这些都是利用相似三角形的性质和判定条件解决实际问题的典型例子。
总的来说，相似三角形是一个重要的几何概念，它涉及到对角、边长比例的研究。
相似三角形的性质和判定条件在解决实际问题时非常有用，能够帮助我们计算出实际的距离和角度，解决实际问题。
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个三角形。
在几何学中，相似三角形具有一些独特的性质。
本文将介绍相似三角形的性质，并讨论其在实际问题中的应用。
一、相似三角形的定义和判定相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个三角形。
两个三角形相似的判定条件有以下几种：1. 三角形的对应角相等：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似的。
这可以表示为∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2. 三角形的对应边成比例：如果两个三角形的对应边之比相等，则它们是相似的。
这可以表示为AB/DE = BC/EF = AC/DF。
3. 两个角相等且夹在两边之间的比例相等：如果两个三角形的两个角分别相等，并且夹在两边之间的比例也相等，则它们是相似的。
这可以表示为∠A=∠D，∠B=∠E，并且AB/DE = BC/EF。
二、相似三角形具有以下性质：1. 对应边之比相等：如果两个三角形相似，它们的对应边之比相等。
这是相似三角形的最重要性质之一。
2. 对应角相等：如果两个三角形相似，它们的对应角是相等的。
3. 对应角平分线相交于一点：如果两个三角形相似，它们的对应角的平分线交于一点。
4. 对应中线之比相等：如果两个三角形相似，则它们的对应中线之比等于对应边之比。
5. 对应高之比相等：如果两个三角形相似，则它们的对应高之比等于对应边之比。
6. 相似三角形的面积之比等于边长之比的平方：如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边之比的平方。
7. 相似三角形的周长之比等于边长之比：如果两个三角形相似，则它们的周长之比等于对应边之比。
三、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 测量不可直接测量的物体高度：通过测量相似三角形的一些已知边长和角度，可以推算出无法直接测量的物体的高度。
2. 利用相似三角形进行放缩：在地图制作、建筑设计等领域中，可以利用相似三角形进行放缩和缩小，以便在实际工作中进行精确的测量和设计。