二次函数与一元二次方程的关系
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• y随x的增大而增大， • ∴3.5＜x2＜3.75.
(4)取3.5和3.75的中间数3.625代入表达 式中试值．
当x＝3.625时， y＝3.6252－2×3.625－6＝－0.109 375＜0； 当x＝3.75时，y＞0.在3.625＜x＜3.75 范围内， y随x的增大而增大，∴3.625＜x2＜ 3.75. ∴可取x2≈3.7为精确到0.1的近似值．
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是 方程ax2+bx+c=0的根。
1 (中考·柳州)小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象 如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( D ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
2 下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( D ) A．y＝3x2－5x＋3 B．y＝4x2－12x＋9 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝2x2＋3x－4
3 【中考·枣庄】已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常 数，a≠0)，下列结论正确的是( D ) A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1) B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点 C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方 D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
(2)取3和4的中间数3.5代入表达式 中试值．
当x＝3.5时，y＝3.52－2×3.5－ 6＝－0.75＜0；
当x＝4时，y＞0，在3.5＜x＜4 范围内，
y随x的增大而增大，∴3.5＜x2 ＜4.
• (3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式 中试值．
• 当x＝3.75时，y＝3.752－2×3.75－6 ＝0.562 5＞0； • 当x＝3.5时，y＜0.在3.5＜x＜3.75范 围内，
30.5 二次函数与一元二次方程 的关系
教学目标
• 1．探究二次函数与一元二次方程的关系。 • 2．利用图像法求一元二次方程的近似根。 • 3.拓展：二次函数与一元二次不等式之间的关 系。
• 重点：二次函数与一元二次方程的关系；
•
二次函数与一元二次不等式的关系
• 难点：通过图像估算一元二次方程的近似根
知识点 2 利用二次函数的图像解一元二次不等式
根据图像可直观地回答使得y的值大于、等于或小于零时x的 取值(范围)，具体如下表所述：
ax2+bx+c=0 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
抛物线 y=ax2+bx+c
不等式ax2+bx+c>0的 解集
x<x1或x>x2
不等式ax2+bx+cΒιβλιοθήκη Baidu0的 解集
• 值A．范t≥围﹣是1（C ）
• B．﹣1≤t＜3
• C．﹣1≤t＜8
• D．3＜t＜8
-1
4
知识点 3 利用二次函数的图像解一元二次方程
根据图像求x2－2x－6=0中较大根的近 似值.（结果精确到0.1） 解：如图 ，画出二次函数 y＝x2－2x－6 的图像.
观察画出的抛物线，现在求x2 的近似值． (1)容易看出：当x＝3时，y＜0，当x＝4时，y＞0，且 在3＜x＜4范围内，y随x的增大而增大，∴3＜x2＜4.
3.625
1 根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的 自变量x与函数值y的对应值，判断方程 ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的 一个解x的范围是（ C ）
x
6.17
y＝ax2+bx+c ﹣0.03
6.18 ﹣0.01
6.19 0.02
6.20 0.04
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位置关系与一元 二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
x1<x<x2
x b 2a
无解
全体实数 无解
• 1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其 对称轴为直线x＝2，图象和x轴的一个交点坐标为（5，0），
由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（D ）
• A．﹣1＜x＜5 • B．x＞5
• C．x＜﹣1且x＞5 • D．x＜﹣1或x＞5
• 2．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A （﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n ＞ax2+bx+c的解集是 x<-1或x>4 ．
• 3．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直 线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0 （t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
2 【中考·兰州】下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的 自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( C )
A．1
B．1.1
C．1.2
D．1.3
1、二次函数与一元二次方程的关系： 二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程 ax2+bx+c=0的根。 二次函数与x轴交点的个数：看Δ 2、二次函数与一元二次不等式的关系：
导入
一元二次方程根的判别式： 式子b²-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通 常用希腊字母Δ表示. (1)当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根. (2)当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根. (3)当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
(4)取3.5和3.75的中间数3.625代入表达 式中试值．
当x＝3.625时， y＝3.6252－2×3.625－6＝－0.109 375＜0； 当x＝3.75时，y＞0.在3.625＜x＜3.75 范围内， y随x的增大而增大，∴3.625＜x2＜ 3.75. ∴可取x2≈3.7为精确到0.1的近似值．
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是 方程ax2+bx+c=0的根。
1 (中考·柳州)小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象 如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( D ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
2 下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( D ) A．y＝3x2－5x＋3 B．y＝4x2－12x＋9 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝2x2＋3x－4
3 【中考·枣庄】已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常 数，a≠0)，下列结论正确的是( D ) A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1) B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点 C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方 D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
(2)取3和4的中间数3.5代入表达式 中试值．
当x＝3.5时，y＝3.52－2×3.5－ 6＝－0.75＜0；
当x＝4时，y＞0，在3.5＜x＜4 范围内，
y随x的增大而增大，∴3.5＜x2 ＜4.
• (3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式 中试值．
• 当x＝3.75时，y＝3.752－2×3.75－6 ＝0.562 5＞0； • 当x＝3.5时，y＜0.在3.5＜x＜3.75范 围内，
30.5 二次函数与一元二次方程 的关系
教学目标
• 1．探究二次函数与一元二次方程的关系。 • 2．利用图像法求一元二次方程的近似根。 • 3.拓展：二次函数与一元二次不等式之间的关 系。
• 重点：二次函数与一元二次方程的关系；
•
二次函数与一元二次不等式的关系
• 难点：通过图像估算一元二次方程的近似根
知识点 2 利用二次函数的图像解一元二次不等式
根据图像可直观地回答使得y的值大于、等于或小于零时x的 取值(范围)，具体如下表所述：
ax2+bx+c=0 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
抛物线 y=ax2+bx+c
不等式ax2+bx+c>0的 解集
x<x1或x>x2
不等式ax2+bx+cΒιβλιοθήκη Baidu0的 解集
• 值A．范t≥围﹣是1（C ）
• B．﹣1≤t＜3
• C．﹣1≤t＜8
• D．3＜t＜8
-1
4
知识点 3 利用二次函数的图像解一元二次方程
根据图像求x2－2x－6=0中较大根的近 似值.（结果精确到0.1） 解：如图 ，画出二次函数 y＝x2－2x－6 的图像.
观察画出的抛物线，现在求x2 的近似值． (1)容易看出：当x＝3时，y＜0，当x＝4时，y＞0，且 在3＜x＜4范围内，y随x的增大而增大，∴3＜x2＜4.
3.625
1 根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的 自变量x与函数值y的对应值，判断方程 ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的 一个解x的范围是（ C ）
x
6.17
y＝ax2+bx+c ﹣0.03
6.18 ﹣0.01
6.19 0.02
6.20 0.04
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位置关系与一元 二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
x1<x<x2
x b 2a
无解
全体实数 无解
• 1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其 对称轴为直线x＝2，图象和x轴的一个交点坐标为（5，0），
由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（D ）
• A．﹣1＜x＜5 • B．x＞5
• C．x＜﹣1且x＞5 • D．x＜﹣1或x＞5
• 2．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A （﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n ＞ax2+bx+c的解集是 x<-1或x>4 ．
• 3．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直 线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0 （t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
2 【中考·兰州】下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的 自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( C )
A．1
B．1.1
C．1.2
D．1.3
1、二次函数与一元二次方程的关系： 二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程 ax2+bx+c=0的根。 二次函数与x轴交点的个数：看Δ 2、二次函数与一元二次不等式的关系：
导入
一元二次方程根的判别式： 式子b²-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通 常用希腊字母Δ表示. (1)当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根. (2)当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根. (3)当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.