2020-2021学年浙江省绍兴一中高三(上)期中考试数学(文科)试题Word版含解析
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2020-2021学年浙江省绍兴一中高三(上)期中考试
数学(文科)试题
一、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分.)
1.(3分)若全集U=R,集合A={x|x2﹣4≥0},则∁U A=()
A.(﹣2,2)B.(﹣,)C.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)D.(﹣∞,﹣]∪[,+∞)
2.(3分)函数y=3﹣2sin2x的最小正周期为()
A.B.πC.2πD.4π
3.(3分)若直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+y2=2有公共点,则实数a取值范围是()
A.[﹣3,﹣1] B.[﹣1,3] C.[﹣3,1] D.(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞)
4.(3分)对两条不相交的空间直线a和b,则()
A.必定存在平面α,使得a⊂α,b⊂α
B.必定存在平面α,使得a⊂α,b∥α
C.必定存在直线c,使得a∥c,b∥c
D.必定存在直线c,使得a∥c,b⊥c
5.(3分)若||=||=2||,则向量+与的夹角为()
A.B.C. D.
6.(3分)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=﹣(x﹣1)2+1,满足f[f(a)]=的实数a的个数
为()
A.2 B.4 C.6 D.8
7.(3分)以BC为底边的等腰三角形ABC中,AC边上的中线长为6,当△ABC面积最大时,腰AB长为()
A.6 B.6 C.4 D.4
8.(3分)到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹,被过一直线与另一直线垂直的平面所截,截得的曲线为()
A.相交直线 B.双曲线C.抛物线D.椭圆弧
二、填空题(每小题4分,共28分.)
9.(4分)已知f(x)=lg(2x﹣4),则方程f(x)=1的解是,不等式f(x)<0的解集是.10.(4分)设数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,已知a1+a4+a10=27,则a5= ,S9= .
11.(4分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积等于.
12.(4分)已知实数a>0,且a≠1,函数f(x)=log a|x|在(﹣∞,0)上是减函数,函数
的大小关系为.
13.(4分)设x,y满足约束条件,若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为35,则a+b的最小值为.
14.(4分)已知F1、F2分别为双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在右支上存在点A,使得点F2到直线AF1的距离为2a,则该双曲线的离心率的取值范围是.
15.(4分)边长为2的正三角形ABC内(包括三边)有点P,•=1,求•的取值范围.
三、解答题(本大题共5小题,共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(8分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2cos(B﹣C)=4sinB•sinC﹣1.
(1)求A;
(2)若a=3,sin=,求b.
17.(10分)数列{a n}满足a1=1,(n∈N+).
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求数列{a n}的通项公式a n;
(3)设b n=n(n+1)a n,求数列{b n}的前n项和S n.
18.(10分)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面AA1B1B是边长为2的正方形,点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点,且CH=,设D为CC1中点,
(Ⅰ)求证:CC1⊥平面A1B1D;
(Ⅱ)求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值.
19.(10分)已知抛物线y2=2px,过焦点且垂直x轴的弦长为6,抛物线上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1≠x2且x1+x2=4,线段AB的垂直平分线与x轴交于点C.
(1)求抛物线方程;
(2)试证线段AB的垂直平分线经过定点,并求此定点;
(3)求△ABC面积的最大值.
20.(10分)已知函数f(x)=x|x﹣a|+bx
(Ⅰ)当a=2,且f(x)是R上的增函数,求实数b的取值范围;
(Ⅱ)当b=﹣2,且对任意a∈(﹣2,4),关于x的程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,求实数t 的取值范围.
2020-2021学年浙江省绍兴一中高三(上)期中考试
数学(文科)试题参考答案
一、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分.)
1.(3分)若全集U=R,集合A={x|x2﹣4≥0},则∁U A=()
A.(﹣2,2)B.(﹣,)C.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)D.(﹣∞,﹣]∪[,+∞)
【分析】所有不属于A的元素组成的集合就是我们所求,故应先求出集合A.再求其补集即得.
【解答】解:A={x|x≥2或x≤﹣2},
易知C∪A={x|﹣2<x<2},
故选A.
【点评】本题考查了补集的运算、一元二次不等式,属于基础运算.
2.(3分)函数y=3﹣2sin2x的最小正周期为()
A.B.πC.2πD.4π
【分析】利用降幂法化简函数y,即可求出它的最小正周期.
【解答】解:∵函数y=3﹣2sin2x=3﹣2•=2+cos2x,
∴函数y的最小正周期为T==π.
故选:B.
【点评】本题考查了三角函数的化简以及求三角函数最小正周期的应用问题,是基础题目.
3.(3分)若直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+y2=2有公共点,则实数a取值范围是()
A.[﹣3,﹣1] B.[﹣1,3] C.[﹣3,1] D.(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞)
【分析】根据直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+y2=2有公共点,可得圆心到直线x﹣y+1=0的距离不大于半径,从而可得不等式,即可求得实数a取值范围.
【解答】解:∵直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+y2=2有公共点
∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为
∴|a+1|≤2
∴﹣3≤a≤1
故选C.
【点评】本题考查直线与圆的位置关系,解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径,建立不等式.
4.(3分)对两条不相交的空间直线a和b,则()
A.必定存在平面α,使得a⊂α,b⊂α
B.必定存在平面α,使得a⊂α,b∥α
C.必定存在直线c,使得a∥c,b∥c
D.必定存在直线c,使得a∥c,b⊥c