2020-2021学年浙江省绍兴一中高三(上)期中考试数学(文科)试题Word版含解析

2020-2021学年浙江省绍兴一中高三（上）期中考试

数学（文科）试题

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）

1．（3分）若全集U=R，集合A={x|x2﹣4≥0}，则∁U A=（）

A．（﹣2，2）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）

2．（3分）函数y=3﹣2sin2x的最小正周期为（）

A．B．πC．2πD．4π

3．（3分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）

A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）

4．（3分）对两条不相交的空间直线a和b，则（）

A．必定存在平面α，使得a⊂α，b⊂α

B．必定存在平面α，使得a⊂α，b∥α

C．必定存在直线c，使得a∥c，b∥c

D．必定存在直线c，使得a∥c，b⊥c

5．（3分）若||=||=2||，则向量+与的夹角为（）

A．B．C． D．

6．（3分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数

为（）

A．2 B．4 C．6 D．8

7．（3分）以BC为底边的等腰三角形ABC中，AC边上的中线长为6，当△ABC面积最大时，腰AB长为（）

A．6 B．6 C．4 D．4

8．（3分）到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为（）

A．相交直线 B．双曲线C．抛物线D．椭圆弧

二、填空题（每小题4分，共28分.）

9．（4分）已知f（x）=lg（2x﹣4），则方程f（x）=1的解是，不等式f（x）＜0的解集是．10．（4分）设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，已知a1+a4+a10=27，则a5= ，S9= ．

11．（4分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于．

12．（4分）已知实数a＞0，且a≠1，函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，函数

的大小关系为．

13．（4分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为．

14．（4分）已知F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是．

15．（4分）边长为2的正三角形ABC内（包括三边）有点P，•=1，求•的取值范围．

三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16．（8分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B﹣C）=4sinB•sinC﹣1．

（1）求A；

（2）若a=3，sin=，求b．

17．（10分）数列{a n}满足a1=1，（n∈N+）．

（1）证明：数列是等差数列；

（2）求数列{a n}的通项公式a n；

（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．

18．（10分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点，且CH=，设D为CC1中点，

（Ⅰ）求证：CC1⊥平面A1B1D；

（Ⅱ）求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．

19．（10分）已知抛物线y2=2px，过焦点且垂直x轴的弦长为6，抛物线上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2=4，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C．

（1）求抛物线方程；

（2）试证线段AB的垂直平分线经过定点，并求此定点；

（3）求△ABC面积的最大值．

20．（10分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+bx

（Ⅰ）当a=2，且f（x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；

（Ⅱ）当b=﹣2，且对任意a∈（﹣2，4），关于x的程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．

2020-2021学年浙江省绍兴一中高三（上）期中考试

数学（文科）试题参考答案

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）

1．（3分）若全集U=R，集合A={x|x2﹣4≥0}，则∁U A=（）

A．（﹣2，2）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）

【分析】所有不属于A的元素组成的集合就是我们所求，故应先求出集合A．再求其补集即得．

【解答】解：A={x|x≥2或x≤﹣2}，

易知C∪A={x|﹣2＜x＜2}，

故选A．

【点评】本题考查了补集的运算、一元二次不等式，属于基础运算．

2．（3分）函数y=3﹣2sin2x的最小正周期为（）

A．B．πC．2πD．4π

【分析】利用降幂法化简函数y，即可求出它的最小正周期．

【解答】解：∵函数y=3﹣2sin2x=3﹣2•=2+cos2x，

∴函数y的最小正周期为T==π．

故选：B．

【点评】本题考查了三角函数的化简以及求三角函数最小正周期的应用问题，是基础题目．

3．（3分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）

A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）

【分析】根据直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，可得圆心到直线x﹣y+1=0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．

【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点

∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为

∴|a+1|≤2

∴﹣3≤a≤1

故选C．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式．

4．（3分）对两条不相交的空间直线a和b，则（）

A．必定存在平面α，使得a⊂α，b⊂α

B．必定存在平面α，使得a⊂α，b∥α

C．必定存在直线c，使得a∥c，b∥c

D．必定存在直线c，使得a∥c，b⊥c