(版)导数题型归类讲：交点与根的分布

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如何用导数探讨函数图像的交点问题

用导数探讨函数图象的交点问题运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。

如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？例1 已知函数f(x)=－x 2+8x,g(x)=6lnx+m （Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）略（II ）∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点， ∵x>0∴函数 (x)=g(x)－f(x) =2x －8x+6ln x+m 的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

∵)('x ϕ=2x －8+随x 变化如下表：∴极大值(1)=1-8+m=m-7，x 极小值= (3)=∵当x →0+时， (x )→ ，当x 时， (x ) ∴要使 (x)=0有三个不同的正实数根，必须且只须 ⎩⎨⎧<-=>-=,0153ln 6)(,07)(＋极小值极大值m x m x ϕϕ ∴7<m<15－6ln 3. 所以存在实数m ，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为（7，15—6ln 3）. （分析草图见下图1）图1图2 引申1：如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为 m+6In3-15>0或 m-7<0，即m>15-6In3 或m<7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有一个不同的交点（分析草图见图2和图3）。

引申2：如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为=极小值)(x ϕm+6In3-15=0或=极大值)(x ϕm-7=0，y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点（分析草图见图4和图5）),0()3)(1(268262>--=+-=x x x x x =极小值)(x ϕ=极大值)(x ϕϕϕ∞-+∞→+∞→ϕ)(x ϕϕϕ图4 图5从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数 (x)= f(x)－g(x)②求导 ③研究函数ϕ(x )的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）④画出函数ϕ(x )的草图，观察与x 轴的交点情况，列不等式⑤解不等式。

考前归纳总结导数中的有关方程根的问题

导数中的有关方程根的问题一、常见基本题型：(1) 判断根的个数问题，常常转化为函数图象的交点个数问题，通过构造函数来求解，例1.已知函数221()ln(1),().1f x x g x a x =+=+-求方程()()f x g x =的根的个数. 解：令221()()()ln(1)1h x f x g x x a x =-=+--- '2222222211()21(1)1(1)x x h x x x x x x ⎡⎤=+=+⎢⎥+-+-⎣⎦当[0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，'()0h x ≥当(,1)(1,0)x ∈-∞-⋃-时，'()0h x <因此，()h x 在(,1),(1,0)-∞--时，()h x 单调递减，在(0,1),(1,)+∞时，()h x 单调递增.又()h x 为偶函数，当(1,1)x ∈-时，()h x 极小值为(0)1h a =-当1x -→-时，()h x →-∞，当1x +→-时，()h x →+∞当x →-∞时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞故()()f x g x =的根的情况为：当10a ->时，即1a <时，原方程有2个根；当10a -=时，即1a =时，原方程有3个根；当10a -<时，即1a >时，原方程有4个根（2）已知方程在给定的区间上解的情况，去求参数的取值范围，另外有关方程零点的个数问题其实质也是方程根的问题。

例1.已知32()(),(,f x ax bx b a x a b =++-是不同时为零的常数），其导函数为()f x '，（1）求证：函数()y f x '=在(1,0)-内至少存在一个零点；（2）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x的方程1()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围.解：（1）证明：因为2()32f x ax bx b a '=++-当0a =时，12x =-符合题意；当0a ≠时，2321b b x x a a ++-，令b t a =，则2321x tx t ++- 令2()321h x x tx t =++-，11()024h -=-<，当1t >时，(0)10h t =->， ()y h x ∴=在1(,0)2-内有零点；当1t ≤时，(1)210h t -=-≥>，()y h x ∴=在1(1,)2--内有零点.∴当0a ≠时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点. 综上可知，函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点（2）因为32()()f x ax bx b a x =++-为奇函数，所以0b =，所以3()f x ax ax =-，2()3f x ax a '=-. 又()f x 在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，所以1a =，即3()f x x x =-.()f x ∴在(,),()33-∞-+∞上是单调递增函数，在[上是单调递减函数，由()0f x =解得1x =±，0x =，由1()4f x x =-解之得0x x ==作()y f x =与14y x =-的图知交点横坐标为02x x =±=当383[(0,){}x ∈时，过14y x =-图象上任意一点向左作平行于 x 轴的直线与()y f x =都只有唯一交点，当x 取其它任何值时都有两个或没有交点。

导数中分类讨论的三种常见类型

导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论. 1.导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时， ()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -. 点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况. 2.导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x > 在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x -=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：综上所述，当a ≤≤()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。

(完整版)导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。

(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。

这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间的大小。

因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。

（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。

故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

导数中方程根的问题

导数四：导数中的有关方程根的问题一、常见基本题型：(1) 判断根的个数问题，常常转化为函数图象的交点个数问题，通过构造函数来求解，例1.已知函数221()ln(1),().1f x x g x a x =+=+- 求方程()()f x g x =的根的个数.解：令221()()()ln(1)1h x f x g x x a x =-=+--- '2222222211()21(1)1(1)x x h x x x x x x ⎡⎤=+=+⎢⎥+-+-⎣⎦当[0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，'()0h x ≥当(,1)(1,0)x ∈-∞-⋃-时，'()0h x <因此，()h x 在(,1),(1,0)-∞--时，()h x 单调递减，在(0,1),(1,)+∞时，()h x 单调递增.又()h x 为偶函数，当(1,1)x ∈-时，()h x 极小值为(0)1h a =- 当1x -→-时，()h x →-∞，当1x +→-时，()h x →+∞ 当x →-∞时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞故()()f x g x =的根的情况为：当10a ->时，即1a <时，原方程有2个根；当10a -=时，即1a =时，原方程有3个根；当10a -<时，即1a >时，原方程有4个根（2）已知方程在给定的区间上解的情况，去求参数的取值范围，另外有关方程零点的个数问题其实质也是方程根的问题。

例1.已知32()(),(,f x ax bx b a x a b =++-是不同时为零的常数），其导函数为()f x '，（1）求证：函数()y f x '=在(1,0)-内至少存在一个零点；（2）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x 的方程1()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围.解：（1）证明：因为2()32f x ax bx b a '=++-当0a =时，12x =-符合题意；当0a ≠时，2321b b x x a a++-，令b t a =，则2321x tx t ++- 令2()321h x x tx t =++-，11()024h -=-<，当1t >时，(0)10h t =->， ()y h x ∴=在1(,0)2-内有零点；当1t ≤时，(1)210h t -=-≥>，()y h x ∴=在1(1,)2--内有零点.∴当0a ≠时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点.综上可知，函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点（2）因为32()()f x ax bx b a x =++-为奇函数，所以0b =，所以3()f x ax ax =-，2()3f x ax a '=-. 又()f x 在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，所以1a =，即3()f x x x =-.()f x ∴在(,),()33-∞-+∞上是单调递增函数，在[,]33-上是单调递减函数，由()0f x =解得1x =±，0x =，由1()4f x x =-解之得02x x =±=作()y f x =与14y x =-的图知交点横坐标为,02x x =±=当383[(0,){}229x ∈-时，过14y x =-图象上任意一点向左作平行于x 轴的直线与()y f x =都只有唯一交点，当x 取其它任何值时都有两个或没有交点。

高中数学第一章导数及其应用 1.3 导数在研究函数中

二次函数闭区间上的最值问题与根的分布一、二次函数闭区间上的最值问题一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设2()(0)f x ax bx c a =++≠，求在[,]x m n ∈上的最大值与最小值。

分析：将2()(0)f x ax bx c a =++≠配方，得对称轴方程2b x a=- 当0a >时，抛物线开口向上若[,]2b m n a-∈必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；若[,]2b m n a-∉ 当0a >时，抛物线开口向上，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴2bxa =-较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。

当0a <时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当0a >时 m a x 121()()()22()1()()()22b f m m n a f x b f n m n a ⎧-≥+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩如图如图，，f x f n b a n f b a m b a n f m b a m ()()()()()()()m in =->-≤-≤-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪，，，如图如图如图2222345当a <0时f x f n b a n f b a m b a n f m b a m ()()()()()()()m ax =->-≤-≤-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪，，，如图如图如图2222678 m i n 9101()()()22()1()()()22b f m m n a f x b f n m n a ⎧-≥+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩如图如图，，。

新高考数学复习考点知识培优专题讲解 22 导数解决函数零点交点和方程根的问题(解析版)

新高考数学复习考点知识培优专题讲解专题22 导数解决函数零点交点和方程根的问题一、单选题1．已知关于x 的方程2x e ax =有三个不等的实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(),e +∞D ．()2,e +∞【答案】B 【分析】参变分离后可根据直线y a =与函数()()20xef x x x=≠的图象有3个不同的交点可得实数a 的取值范围. 【详解】问题等价于2xe a x =又三个不等的实数根，令()()20xe f x x x =≠，()()32x e x f x x-'=，当(),0x ∈-∞时，()0f x '>，当()2,+x ∈∞时，()0f x '>，当()0,2x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在(),0-∞和()2,+∞上为增函数，在()0,2上为减函数，又()0f x >，且极小值为()224e f =，()f x 的图象如图所示：因此y a =与()f x 的图象有三个不同的交点时，24e a >. 故选：B. 【点睛】方法点睛：对于导数背景下的函数零点问题，我们可以针对不同的题型采取不同的策略：（1）填空题或选择题类：可以采用参变分离的方法把参数的范围问题归结为动直线与不含参数的函数的图象的交点问题，后者可以利用导数来刻画图象；（2）解题类：一般不可以利用参变分离的方法来处理，因为函数的图象可能有渐近线，一般地利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理来判断.2．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论错误的是（）A ．()f x 是奇函数B ．若0a =，则()f x 是增函数C ．当3a =-时，函数()f x 恰有三个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点【答案】C对A,根据奇函数的定义判定即可. 由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥,所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''=,所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-,将a 的值代入分别计算分析，可判断选项B ，C ，D 【详解】对A, ()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3sin f x x x ax -=-+-+3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''= 所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=- 对B, 当0a =时，()2'cos 30f x x x =+>，所以()f x 是增函数，故B 正确.对C,当3a =-时，由上可知, ()()014f x f a ''≥=-=，所以()f x 是增函数,故不可能有3个零点.故C 错误.对D,当3a =时，()2cos 33f x x x '=+-，由上可知在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增. 则()()min 0132f x f ''==-=-，()1cos10f '-=>，()1cos10f '=> 所以存在()()121,0,0,1x x ∈-∈，使得()10fx '=，()20f x '=成立则在()1,x -∞上，()0f x '>，在()12,x x 上，()0f x '<，在()2,x +∞上，()0f x '>.所以函数()3sin 3f x x x x =+-在()1,x -∞单调递增，在()12,x x 的单调递减，在()2,x +∞单调递增.所以函数()f x 恰有两个极值点，故D 正确. 故选：C关键点睛：本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''=，所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-，经过多次求导分析出单调性，属于中档题. 3．已知函数x y a =（1a >）与log a y x =（1a >）的图象有且仅有两个公共点，则实数a 的取值范围是（） A ．1e1ea <<B ．1e a <<C ．1ee e a <<D ．e a >【答案】A 【分析】将问题转化为()1xy aa =>的图象与y x =有两个公共点，即ln ln xa x=有两解，再构造新函数()ln xf x x=，根据()f x 的单调性和取值分析ln a 的取值即可得到结果. 【详解】因为函数()()1,log 1xa y aa y x a =>=>的图象关于直线y x =对称，所以两个图象的公共点在y x =上，所以()1xy aa =>的图象与y x =有两个公共点，即x x a =有两解，即ln ln x x a =有两解，即ln ln xa x=有两解，令()ln x f x x =，所以()21ln xf x x -'=，当()0,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，()f x 大致图象如下图所示：所以()10ln a f e e<<=，所以11e a e <<，故选：A. 【点睛】结论点睛：函数图象的交点个数、方程根的数目、函数的零点个数之间的关系：已知()()()h x f x g x =-，则有()h x 的零点个数⇔方程()()f x g x =根的数目⇔函数()f x 与函数()g x 的图象的交点个数.4．已知函数()ln xf x e x ax b =+--，则下列说法正确的是（）A ．存在a 、b ∈R ，函数()f x 没有零点B ．任意b ∈R ，存在0a >，函数()f x 恰有1个零点C ．任意0a >，存在b ∈R ，函数()f x 恰有2个零点D ．任意b ∈R ，存在0a >，函数()f x 恰有3个零点【答案】B 【分析】利用零点存在定理可判断A 选项的正误；分析出()()0min f x f x '='，讨论当()00f x '≥时，利用函数()f x 的单调性与零点存在定理可判断B 选项的正误；由B 选项可判断C 选项的正误；令()ln x g x e x ax =+-，可知当函数()f x 恰有3个零点，函数()g x 必有两个极值点，利用导数求得()g x 的极大值为负数，进而可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞时，所以，对任意的a 、b ∈R ，函数()f x 必有零点，A 选项错误；对于B 选项，()1xf x e a x '=+-，则()21x f x e x''=-，函数()f x ''在()0,∞+上单调递增， 2329034f e ⎛⎫''=-< ⎪⎝⎭，()110f e ''=->，所以，存在02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00f x ''=.当00x x <<时，()0f x ''<，此时函数()f x '单调递减；当0x x >时，()0f x ''>，此时函数()f x '单调递增.所以，()()00min 01x f x f x e a x ''==+-. 当010xa e x <≤+时，对任意的0x >，()0f x '≥，此时函数()f x 单调递增，由A 选项可知，函数()f x 有唯一的零点，B 选项正确；对于C 选项，任意0a >，由B 选项可知，当010x a e x <≤+时，对任意的0x >，()0f x '≥，此时函数()f x 单调递增，函数()f x 至多有1个零点，C 选项错误；对于D 选项，令()ln xg x e x ax =+-，则函数()f x 的零点个数等价于直线y b =与函数()g x 的图象的交点个数，若函数()f x 有三个零点，则函数()g x 必有两个极值点1x 、2x ，且满足102x x x <<，()1x g x e a x =+-'，由题意可得()()1211221010x x g x e a x g x e a x ⎧=+-=⎪⎪⎨⎪=+-='⎩'⎪，且()()g x f x ''=，由于函数()g x '在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x +∞上单调递增，所以，当10x x <<或2x x >时，()0g x '>，当12x x x <<时，()0g x '<. 所以，()()()1111111111111ln ln 1ln 1xxxx g x g x e x ax e x x e x e x x ⎛⎫==+-=+-+=-+- ⎪⎝⎭极大值，()()()22221ln 1x g x g x x e x ==-+-极小值，令()()1ln 1xh x x e x =-+-，则()()211x x h x xe x e xf x x x ⎛⎫'''=-=-=- ⎪⎝⎭，由B 选项可知，令()0h x '=，可得02,13x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭使得()00h x '=，则0201x e x =，可得002ln x x =-. 当00x x <<时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增；当0x x >时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减.所以，()()()000000022max 0001111ln 11122xx x x h x h x x e x x x x -==-+-=--=---3200022222x x x x ---=，函数()32222p x x x x =---在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，27620327p ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，当213x <<时，()203p x p ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以，()()0max 0h x h x =<. 所以，()()10g x g x =<极大值，因此，当0b >时，不存在0a >使得函数()f x 有3个零点，D 选项错误. 故选：B. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.5．函数()22ln 3xf x xe x x k =---+有且只有一个零点，则k 的值为（）A ．ln 5B ．52ln 2-C ．2D ．ln3【答案】B 【分析】分离参数22ln 3x k xe x x =--+有一个交点，设()22ln 3xg x xe x x =--+，利用导数求出()g x 的单调区间，若()g x 有且只有1个零点，所以()00g x =，代入函数()g x 求解即可. 【详解】函数()22ln 3xf x xe x x k =---+有且只有一个零点，22ln 3x k xe x x ∴=--+有一个交点，设()22ln 3xg x xe x x =--+，则()2e e 2xxg x x x '=+--，则()()()22e 20x g x x x''=⋅++>，所以()f x '单调递增. 而102f ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()20f '>，所以存在01,22⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 使得()000002e e 20x x g x x x '=+--=，即()00021e 0x x x ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，且当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以()g x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增.又因为0x →且0x >时，()g x →+∞，x →+∞时，()g x →+∞，且()g x 有且只有1个零点，所以()00g x =.由()00021e 0x x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（02x >）可得002e 0x x -=，即002e x x =，两边同时取自然对数得00ln 2ln x x =-，整理得00ln ln 2x x +=；又00e2x x =，所以()()00000e 2ln 322ln 230x f x x x x k k =-+-+=--+=，所以52ln 2k =-，故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的零点，解题的关键是转化为求()22ln 3x g x xe x x =--+的单调区间，考查了转化为与划归的思想.6．已知函数()ln f x x =，若函数()12g x kx =-与函数()y f x =的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是（）A ．120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭）B ．1122,e e --⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1122,00,e e --⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1122,00,e e -⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【分析】()g x 的图象是直线，()f x 的图象是()ln f x x =的图象及关于y 轴对称的图象，直线与()f x 的图象要有三个交点，可求出直线与()y f x =的图象相切时的斜率k ，然后结合图象利用分类讨论思想可得结论．【详解】易知函数()12g x kx =-的图象是过定点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，斜率为k 的直线，设为l ；利用偶函数()f x 的图象关于y 轴对称的性质，作出()f x 的图象如图所示（左右两支），其中1,0A ，结合图形易知函数()g x 与函数()fx 的图象有且仅有三个交点时，直线l 与左支有两个交点()0k <或与右支有两个交点()0k >.当0k >时，直线l 与()fx 图象的右支相切于点B 为临界状态，且0PBk k<<.设()()000,1B x y x >，1()f x x '=，则有00011ln 2PB PB k x x k x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⋅-⎪⎩，解得12012PBx e k e -⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以120k e -<<；当0k <时，由于函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以120ek --<<.故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查直线与函数图象交点个数问题，解题方法是数形结合思想，即作出函数图象与直线，观察它们交点个数，求出临界点的直线斜率，然后得出结论．7．已知函数()3ln ,393x f x x x <≤=⎨<≤⎪⎩，若函数()()g x f x ax =-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A．12⎫⎪⎪⎣⎭B ．ln 311,932e ⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭C．1ln 31,,3923e ⎡⎡⎫⋃⎢⎪⎢⎣⎭⎣⎭D．ln 3110,9332e ⎫⎛⎫⎧⎫⋃⋃⎪⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎩⎭⎣⎭【答案】D 【分析】函数()()g x f x ax =-有两个不同的零点等价于方程()f x a x=有两个不同的根，即可得答案；【详解】函数()()g x f x ax =-有两个不同的零点等价于方程()f x a x=有两个不同的根，3,()ln3,39,x f x x x x x<≤⎪=⎨⎪<≤⎪⎩，令()u x =∴''()u x == ''()012,()023,u x x u x x >⇒<<<⇒<<∴()u x 在(1,2)递增，在(2,3)递减，∴1(1)0,(2),(3)23u u u ===∴()(0,]3u x ∈，且令lnln33()33x xv x x x ==⨯，39x <≤，令3xt =，则1ln ()3t y v x t ==，13t <≤，'211ln 3t y t-=⋅，当'0y t e =⇒=，'01y t e >⇒<<，'03y e t <⇒<<，∴y 在(1,)e 递增，在(,3)e 递减，且1ln 3(1)0,(),(3)39y y e y e === ∴1()(0,]3v x e∈，所以直线y a =与3,()ln3,39,x x f x x x x x<≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩有两个交点，可得a的取值范围为：ln 3110,932e ⎫⎛⎫⎧⎫⋃⋃⎪⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎩⎭⎣⎭. 故选：D. 【点睛】利用参变全分离，再结合导数研究函数的图象特征，从而得到参数的取值范围，是常用的方法；本题若是采用半分离，图象不好作出，容易犯错.8．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点，则实数a 的取值范围为（） A ．1a e<B ．0a <C ．0a ≤D ．10a e<<【答案】D 【分析】求出()f x 的导数，可得0a ≤时函数单调递增，不满足题意，0a >时，利用()max 0f x >可得. 【详解】可知()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，则()f x 不可能有两个零点；当0a >时，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在1x a =处取得极大值即最大值11ln 1f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要满足()ln f x x ax =-有两个零点，则1ln 10a ->，解得10a e<<，综上，10a e<<.故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的零点，根据零点个数求参数，一般如下步骤：（1）求出函数的定义域，求出函数的导数；（2）先讨论参数范围（以明显使得导数为正或负为参数界点讨论）；（3）利用导数正负讨论函数单调性，得出极值或最值；（4）以极值或最值列出满足条件的等式或不等式，即可求出.9．已知函数()()22,02ln ,0x x f x a x x x x -⎧<⎪=⎨++>⎪⎩，若恰有3个互不相同的实数1x ，2x ，3x ，使得()()()1232221232f x f x f x x x x ===，则实数a 的取值范围为（） A ．1a e>-B ．10a e-<< C ．0a ≥ D ．0a ≥或1a e=-【答案】D 【分析】根据题意，令()()221,02ln 2,0x x f x x g x x x a x x ⎧<⎪⎪⋅==⎨⎪++>⎪⎩，得到函数()()2f xg x x =与直线2y =共有三个不同的交点；根据导数的方法，分别判断0x <和0x >时，函数的单调性，以及最值，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】因为()()22,02ln ,0x x f x a x x x x -⎧<⎪=⎨++>⎪⎩，令()()221,02ln 2,0x x f x xg x x x a x x ⎧<⎪⎪⋅==⎨⎪++>⎪⎩，由题意，函数()()2f x g x x=与直线2y =共有三个不同的交点；当0x <时，()212x g x x =⋅，则()()()()222232222ln 222ln 22222x x x x x x x x x x g x x x x '-⋅⋅+⋅+'==-=-⋅⋅⋅，由()3ln 2202x x g x x +'=-=⋅解得222log ln 2x e =-=-；所以()2,2log x e ∈-∞-时，()0g x '<，即函数()212x g x x=⋅单调递减； ()22log ,0x e ∈-时，()0g x '>，即函数()212x g x x=⋅单调递增；所以()()()()222222min 2log 2212log 2422log 4log ee e g x g e e e -=-==<<⋅-，又2121122122g -⎛⎫-==> ⎪⎝⎭⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，()()271128724927g --==>⋅-，所以()212x g x x=⋅与直线2y =有且仅有两个不同的交点；当0x >时，()ln 2xg x a x =++，则()21ln x g x x-'=，由()21ln 0xg x x-'==得x e =，所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，则函数()ln 2xg x a x =++单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，则函数()ln 2xg x a x=++单调递减；所以()()max 12g x g e a e ==++，又当1≥x 时，()ln 22xg x a a x =++≥+；当01x <<时，()2g x a <+；当x e ≥时，()ln 22xg x a a x =++>+，所以为使()ln 2xg x a x=++与直线2y =只有一个交点，只需122a e ++=或22a +≥，即1a e=-或0a ≥.故选：D.【点睛】本题主要考查由方程根的个数求参数，转化为函数交点个数问题求解即可，属于常考题型. 10．已知函数2()ln (2)(0)f x x ax b a x a b x =++-+->恰有三个零点，则（） A ．0a > B ．0b ≤C ．0ab ≥D ．0ab ≤【答案】A 【分析】由函数式确定函数有一个零点1，然后变形为：两个零点是方程ln (1)1xa xb x -=-+-的两根．确定ln ()1xg x x =--的单调性，同时求出1x →时，()g x 的极限为1-，从而作出函数()g x 的图象，作直线(1)y a x b =-+，由图象可得0a >时直线与()g x 的图象才可能有两交点．【详解】222()ln (2)ln (21)(1)ln (1)(1)f x x ax b a x a b x a x x b x x a x b x =++-+-=+-++-=+-+-，显然1x =是函数的一个零点，因此另两个零点是方程ln (1)1xa xb x -=-+-的两根．即函数ln ()(01xg x x x =->-且1)x ≠的图象与直线(1)y a x b =-+有两个交点，直线(1)y a x b =-+过点(1,)b ，2211ln ln 1()(1)(1)x x x x x g x x x ---+'=-=--，设1()ln 1h x x x=-+，则22111()x h x x x x -'=-=，01x <<时，()0h x '<，()h x 递减，1x >时，()0h x '>，()h x 递增，∴()(1)0h x h ≥=．∴0x >且1x ≠时，()0g x '>，∴()g x 在(0,1)和(1,)+∞上都是增函数，又1111ln lim ()lim lim 111x x x x x g x x →→→⎛⎫⎪⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭，因此定义(1)1g =-，这样新函数()g x 在(0,)+∞上是增函数，作出函数ln ,01()11,1xx x g x x x ⎧->≠⎪=-⎨⎪-=⎩且的图象，作直线(1)y a x b =-+，显然只有0a >，它们才可能有两个交点．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题解题关键是把零点转化为方程的解，再转化为函数图象与直线的交点，通过导数研究出新函数的性质，作出大致图象，可得直线与函数图象交点个数情况，从而得解． 11．已知函数()()ln f x a x x a a R =--∈有两个零点，则a 的取值范围（） A ．(),e -∞ B ．()2,e-∞C ．(),e +∞D ．()2,e +∞【答案】D 【分析】求导，分类讨论a ，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，()f x 最多只有一个零点，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 上递增，在(,)a +∞上递减，()f x 取得最大值()ln 2f a a a a =-，由()ln 20f a a a a =->解得结果即可得解. 【详解】()f x 的定义域为(0,)+∞，()1a a x f x x x'-=-=，当0a ≤时，()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，()f x 最多只有一个零点，不符合题意；当0a >时，由()0f x '<得x a >，由()0f x '>得0x a <<，所以()f x 在(0,)a 上递增，在(,)a +∞上递减，所以当x a =时，()f x 取得最大值()ln 2f a a a a =-，因为x 趋近于0时，()f x 趋近于负无穷大，x 趋近于正无穷大时，()f x 趋近于负无穷大，所以要使()f x 有两个零点，只需()ln 20f a a a a =->，因为0a >，所以ln 2a >，所以2a e >. 故选：D 【点睛】方法点睛：已知函数零点的个数求参数值(取值范围)常用的方法：利用导数判断函数的单调性，研究函数的极值与最值，根据函数变化趋势作出大致图象，通过图象直观分析解决问题. 12．若函数2()x f x mx e -=-+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为（） A ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,)eD ．(,)e +∞【答案】B 【分析】根据题意，得到方程有两不等实根，构造函数2()x e g x x-=，0x ≠，对其求导，判定函数单调性，求出极值，画出函数大致图像，结合图像，即可得出结果. 【详解】显然，0x =不是函数()f x 的零点，令2()0x f x mx e-=-+=，得2x e m x-=，构造函数2()x e g x x -=，0x ≠，则22(1)()x e x g x x--'=，令()0g x '>得到1x >，令()0g x '<得到1x <且0x ≠，即函数2()x e g x x-=在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；所以函数2()x e g x x-=有极小值1(1)g e =；画出函数()g x 的图象，如图所示，由图像可知，当0m ≤时，直线y m =与()g x 的图象不可能有两个交点，当0m >，只需1m e>，()g x 的图象与直线y m =即有两个不同的交点，即函数2()x f x mx e -=-+恰有两个不同的零点，∴m 的取值范围为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的零点，利用数形结合的方法即可求解，属于常考题型.二、多选题13．函数()ln 1xx kf x e x+=--在()0,∞+上有唯一零点0x ，则（） A ．001x x e=B ．0112x << C ．1k = D ．1k >【答案】ABC 【分析】由()0f x =，可得出()ln xxk xe xe=-，令()xu x xe =，0x >，利用导数得出函数()u x 在()0,∞+上为增函数，再令()ln g t t t =-，其中0t >，利用导数分析函数()g t 在()0,∞+上的单调性，可求得1k =，可判断ACD 选项的正误，再结合函数()u x 的单调性可判断B 选项的正误. 【详解】由()0f x =，可得()ln 0xxe x x k -+-=，即()ln xxk xe xe=-，令()xu x xe =，其中0x >，则()()10xu x x e '=+>，所以，函数()xu x xe =在区间()0,∞+上单调递增，则()()00u x u >=，令()ln g t t t =-，其中0t >，()111t g t t t'-=-=. 当01t <<时，()0g t '<，此时函数()g t 单调递减；当1t >时，()0g t '>，此时函数()g t 单调递增. 所以，()()min 11g t g ==.若函数()f x 在()0,∞+上有唯一零点0x ，则1k =. 所以，()0001x u x x e==，由于函数()u x 在()0,∞+上单调递增，112u ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()11u e =>，即()()0112u u x u ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，0112x ∴<<，所以，ABC 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC.【点睛】利用导数求解函数的零点个数问题，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程（或不等式）组求解，实现形与数的和谐统一. 14．已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论，其中正确的是（） A ．曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++= B ．()f x 恰有2个零点C ．()f x 既有最大值，又有最小值D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】BD 【分析】本题首先可根据()10f -=以及13f判断出A 错误，然后根据当0x >时的函数单调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误，最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，根据函数单调性即可证得121=x x ，D 正确. 【详解】函数()1ln f x x x x=-+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，当0x >时，()1ln f x x x x=-+，()2221111x x f x x x x -+-'=--=；当0x <时，1ln f x xx x，()2221111x x f x x x x -+-'=--=，A 项：1ln 1110f，22111131f，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ，即33y x =--，A 错误；B 项：当0x >时，222215124x xx f xx x ，函数()f x 是减函数，当0x <时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，因为()10f -=，()10f =，所以函数()f x 恰有2个零点，B 正确； C 项：由函数()f x 的单调性易知，C 错误； D 项：当1>0x 、20x >时，因为()()120f x f x +=，所以1222222221111ln lnf x f x x x x fx x x x ，因为()f x 在()0,∞+上为减函数，所以121x x =，120x x >，同理可证得当10x <、20x <时命题也成立，D 正确，故选：BD. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于0，则函数是增函数，若导函数值小于0，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题. 15．已知函数()()2+cos 4x f x x x R ππ=-∈，则下列说法正确的有（）A ．直线y =0为曲线y =f (x )的一条切线B ．f (x )的极值点个数为3C ．f (x )的零点个数为4D ．若f (1x )=f (2x )(1 x ≠2x )，则1x +2x =0 【答案】ABD 【分析】求导()()'2sin xfx x x R π=-∈，令'0f x，即2sin xx π=，令1sin y x =，22xy π=，在同一坐标系中作出两函数的图像，得出导函数取得正负的区间，从而可得出原函数的单调性，再求出()0f ，2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫- ⎪⎝⎭，可作出函数()f x 的图象，从而可得出选项. 【详解】因为()()2+cos 4x f x x x R ππ=-∈，所以()()'2sin xf x x x R π=-∈，令'0f x，即2sin xx π=，令1sin y x =，22xy π=，在同一坐标系中作出两函数的图像，由图像得：当,2x π⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭和,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2sin x x π<，所以此时()'>0f x ，所以()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭和,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 上单调递增；当,2x π⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭和02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2sin >x x π，所以此时()'0f x <，所以()f x 在2π⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，和0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；且()014f π=-，22+cos 0224f πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪⎝⎭，22+cos 0224f πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，作出函数()f x 的图象如下图所示：对于A 选项：根据函数的图象，知A 选项正确；对于B ：由图象得'0f x 有3个不同的解，有3个极值点，故B 正确；对于C ：当2x π=或2x π=-时，()0f x =，所以函数()f x 有2个零点，故C 不正确；对于D ：因为()()()()22+cos +cos 44x x f x x x f x ππππ--=--=-=，所以函数()f x 是偶函数，所以函数()f x 关于y 轴对称，若()()12f x f x =，则()()()122f x f x f x ==-，所以12x x =-，即12+0x x =，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查运用导函数求函数的切线方程，运用导函数研究函数的单调性，极值，零点，关键在于由导函数的正负，得出原函数所对应的单调性，从而得出原函数的图象趋势，运用数形结合的思想解决问题，属于中档题.16．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】ABD 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln x g x x -'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增；当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<. 由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<；函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确.故选：ABD. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．三、解答题17．已知函数()sin f x x =，()cos xg x e x =．（1）讨论函数()()()g x h x f x =在()0,π上的单调性；（2）求函数()()()H x g x xf x =-在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点个数．【答案】（1）函数在()0,π上的单调递减；（2）有且只有一个零点．【分析】（1）由题设得()e cos sin x xh x x=，求导()21e sin 212sin x x h x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=，可判断()0h x '<，故函数()()()g x h x f x =在()0,π上的单调递减．（2）由题设()e cos sin xH x x x x =-，求()()e cos sin cos sin xH x x x x x x '=---，可判断()0H x '<，故函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又π04H ⎛⎫> ⎪⎝⎭，π02H ⎛⎫< ⎪⎝⎭，可知函数()()()H x g x xf x =-在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点．【详解】（1）()e cos sin x x h x x=，则()()221e sin 21e sin cos 12sin sin x x x x x h x x x⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==．当()0,πx ∈时， 0x e >，2sin 0x >，111sin 2,222x -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即1sin 2102x -<， ()0h x '∴<，故函数()()()g x h x f x =在()0,π上的单调递减．（2）()()()e cos sin xH x g x xf x x x x =-=-，则()e cos e sin cos sin x x H x x x x x x '=---()e cos sin cos sin x x x x x x =---，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos 0x x∴≥，sin 0x >，又cos sin 4x x x π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且ππ3π,424x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，cos sin 0x x ∴-<()0H x '∴<，故函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又π4ππe 0424H ⎫⎛⎫=->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ022H ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，因此，函数()()()H x g x xf x =-在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点．【点睛】方法点睛：本题考查判断函数单调性，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 18．已知函数()()ln xx xf x ax a e +=-∈R ．（1）当1a e=时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 只有1个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间()1,+∞；（2）(]1,0e ⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）由1a e=得到()f x ，求得()f x '，然后由()()0,0f x f x ''><求解. （2）由()0f x =得到ln xx x ax e+=，令()()ln 0x x xG x x e +=>，将问题转化为y ax =与函数()G x 的图象有且只有一个交点，利用导数法画出()G x 的大致图象，利用数形结合法求解.【详解】（1）()f x 的定义域是()0,∞+，当1a e =时，()ln xx x x f x e e +=-，()1111ln 1ln 1x x xx x e x xx x f x e e e -+----++'=-=，易知111ln x y ex x x-=--++单调递增，且当1x =时，0y =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间()1,+∞．（2）由()0f x =，得ln xx xax e +=，令()()ln 0xx xG x x e+=>，若函数()f x 只有一个零点，则直线y ax =与函数()G x 的图象有且只有一个交点．()()()2111ln 1ln x x xx e x x ex x x x G x e e ⎛⎫+-++-- ⎪⎝⎭'==，令()()11ln 0H x x x x x =+-->，则()21110H x x x'=---<，所以()H x 在()0,∞+上单调递减，易知()1111ln110H =+--=>，()11212ln 2ln 2022H =+--=--<，所以存在()01,2x ∈，使得()00H x =，当00x x <<时，()0H x >，()0G x '>，()G x 单调递增；当0x x >时，()0H x <，()0G x '<，()G x 单调递减．易知当0x +→时，()G x →-∞；当x →+∞时，()0G x →．作出直线y ax =与函数()G x 的大致图象如图所示，由图可知，若0a ≤，则直线y ax =与函数()G x 的图象有且只有一个交点．若0a >，则当直线y ax =与函数()G x 的图象相切时，有且只有一个交点，设切点为()(),0m am m >，则11ln ln m mm mm a e m mam e ⎧+--⎪=⎪⎨⎪+=⎪⎩，得1m =，1a e =．故实数a 的取值范围是(]1,0e ⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭．【点睛】方法点睛：函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．19．已知函数()()3ln 1f x x x =-，()ln 4m g x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．（1）求()f x 的最值；（2）若4m ≤，求关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数．【答案】（1）最小值为2e 3-，无最大值；（2）当4m =时，关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数为2；当4m <时，关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数为1．【分析】（1）求出()()23ln 2f x xx '=-得出()f x 的单调区间，从而得出其最值.（2）将问题转化为()()221ln h x x x x =--（1≥x ）的图象与射线4my =-（1≥x ）的交点个数，求出()h x '得出()h x 的单调区间，分析其交点情况，得出答案. 【详解】（1）因为()()3ln 1f x x x =-（0x >），所以()()2223ln 23ln 2f x x x x xx '=-=-．令()0f x '=，解得23e x =，当230e x <<时，()0f x '<；当23e x >时，()0f x '>．所以函数()()3ln 1f x x x =-在230,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在23e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．故()32222333mine e e ln e 13f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当x →+∞ 时，()f x →+∞所以()f x 的最小值为2e 3-，无最大值．（2）因为()()f x g x =（1≥x ），所以()221ln 4mx x x --=-（1≥x ），关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数等价于函数()()221ln h x x x x =--（1≥x ）的图象与射线4my =-（1≥x ）的交点个数．因为()12ln h x x x x x'=--（1≥x ），令()()x h x ϕ='（1≥x ），则()212ln 10x x xϕ'=++>，所以()h x '在[)1,+∞上单调递增，又()120h '=-<，()11e 2ln 0h e e e e e e'=--=->，故存在唯一的()01,x e ∈，使得()00h x '=，所以()h x 在[)01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，且()()1e 1h h ==-，因为当2x e >时，()()()2222221ln 1ln 2h x x x x x e x x =-->--=-，所以当x e >时，()1h x >-．因为4m ≤，所以14m-≥-，当4m =时，函数()h x 的图象与射线1y =-（1≥x ）有两个交点，当4m <时，函数()h x 的图象与射线4my =-（1≥x ）有一个交点．综上，当4m =时，关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数为2；当4m <时，关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数为1．【点睛】方法点睛：根据方程的根的个数（或零点个数）求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 20．已知函数()3213f x x ax bx ab =-+++．（1）若()f x 是奇函数，且有三个零点，求b 的取值范围；（2）若()f x 在1x =处有极大值223-，求当[]1,2x ∈-时()f x 的值域．【答案】（1）()0,∞+；（2）5022,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先由函数奇偶性，得到0a =，得出()313f x x bx =-+，对其求导，分别讨论0b ≤和0b >两种情况，根据导数的方法判定函数单调性，结合零点个数，即可求出结果；（2）先对函数求导，根据极大值求出2,5.a b =-⎧⎨=⎩，根据函数单调性，即可求出值域.【详解】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，所以0a =，且()00f =． ∴()313f x x bx =-+， ∴()2f x x b '=-+．当0b ≤时，()20f x x b '=-+≤，此时()f x 在R 上单调递减，()f x 在R 上只有一个零点，不合题意．当0b >时，()20f x x b '=-+>，解得x <<∴()f x 在(,-∞，)+∞上单调递减，在(上单调递增，∵()f x 在R 上有三个零点，∴0f >且(0f <，即3103f=-+>，即0>，而0>恒成立，∴0b >．所以实数b 的取值范围为()0,∞+．（2）()22f x x ax b '=-++，由已知可得()1120f a b '=-++=，且()122133f a b ab =-+++=-，解得2,3,a b =⎧⎨=-⎩或2,5.a b =-⎧⎨=⎩ 当2a =，3b =-时，()3212363f x x x x =-+--，()243f x x x '=-+-，令()0f x '≥，即2430x x -+-≥，解得13x ≤≤，令()0f x '<，即2430x x -+-<，解得1x <或3x >，即函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减；所以1x =是()f x 的极小值点，与题意不符．当2a =-，5b =时，()32125103f x x x x =--+-，()245f x x x '=--+．令()0f x '≥，即2450x x --+≥，解得51x -≤≤；令()0f x '<，即2450x x --+<，解得5x <-或1x >，即函数()f x 在(),5-∞-上单调递减，在()5,1-上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以1x =是()f x 的极大值点，符合题意，故2a =-，5b =．又∵[]1,2x ∈-，∴()f x 在[]1,1-上单调递增，在[]1,2上单调递减．又()5013f '-=-，()2213f =-，()3223f =-．所以()f x 在[]1,2-上的值域为5022,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】思路点睛：导数的方法求函数零点的一般步骤：先对函数求导，由导数的方法求出函数的单调性区间，根据函数极值的定义，求出函数的的极值，再根据函数函数的零点个数，确定极值的取值情况，进而可得出结果. 21．设函数21()sin cos 2f x x x x ax =+-．（1）当12a =时，讨论()f x 在(,)ππ-内的单调性；（2）当13a >时，证明：()f x 有且仅有两个零点．【答案】（1）在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭或,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；（2）证明见解析. 【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性，结合三角函数的性质即可求出单调区间；（2）先判断出函数为偶函数，则问题转化为()f x 在(0,)+∞有且只有一个零点，再利用导数和函数单调性的关系，以及函数零点存在定理即可求出．【详解】（1）当12a =时，21()sin cos 4f x x x x x =+-， 11()sin cos sin (cos )22f x x x x x x x x ∴'=+--=-，令()0f x '=，解得0x =或3x π=，3x π=-，当()0f x '<时，解得03x π-<<或3x ππ<<，当()0f x '>时，解得3x ππ-<<-或03x π<<，()f x ∴在(3π-，0)或(3π，)π上单调递减，在(,)3ππ--或(0,)3π上单调递增；（2）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2211()()sin()cos()()sin cos ()22f x x x x a x x x x ax f x -=--+-+-=+-=，()f x ∴为偶函数， (0)10f =>，()f x ∴有且仅有两个零点等价于()f x 在(0,)+∞有且只有一个零点， ()(cos )f x x x a '=-，当1a 时，cos 0x a -，()0f x '恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减，2211()sin cos 1022f a a ππππππ=+-=--<，(0)?()0f f π∴<，()f x ∴在(0,)+∞上有且只有一个零点，当113a <<时，令()(cos )0f x x x a '=-=，即cos x a =，可知存在唯一(0,)2πθ∈，使得cos a θ=，当(0,)x θ∈或(22,22)x k k ππθππθ∈+-++时，k ∈N ，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当(2,22)x k k πθππθ∈++-时，k ∈N ，()0f x '<，函数()f x 单调递减，。

四种方法解根的分布问题

四种方法解根的分布问题根的分布问题作为高考的一个重要题型，也是学生学习的难点之一，本文就一道题介绍一下根的分布问题的几种解法，并加以分析：问题：方程0422=+-ax x 的两根均大于1，求实数a 的取值范围。

设x x 21,为方程0422=+-ax x 的两根，根据题意，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧>∆>-->-+-00)1)(1(0)1()1(2121x x x x 解得：252<≤a 方程0422=+-ax x 的两根为42164222-±=-±=a a a a x 要使两根均大于1，只需小根142>--a a 即可解之得：252<≤a 点评：因为无理不等式的解法考纲中已不做要求，加上学生计算普遍易错，所以这种解法在教学中一般不提倡。

解法三：使用二次函数图象设,42)(2+-=ax x x f 要使方程2则图象如下图所示由图知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->≥∆1220)1(0a f解之得：252<≤a 点评：此解法需要准确画出函数的图象，然后从四个方面（开口方向、判别式、对称轴、区间端点函数值的符号）并列出与之等价的不等式组，即本命题的充要条件。

解法四：分离参数法由0422=+-ax x 知0≠x xx a 42+=∴ 由方程0422=+-ax x 的两根均大于1，求实数a 的取值范围即转换为求对号函数x x y 4+=在),1(+∞∈x 时的值域。

利用函数xx y 4+=的单调性可得出)5,4[2∈a 即)25,2[∈a 点评：这种解法将根的分布问题转化为利用单调性求值域，在教学中学生比较容易理解，并且计算量较小，比较受学生欢迎。

(完整版)导数知识点各种题型归纳方法总结(浦仕国)

）2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）3、注意：极大值不一定比极小值大。

如1()f x xx=+的极大值为2-，极小值为2。

注意：当x=x0时，函数有极值⇒f/(x0)＝0。

但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。

题型一、求极值与最值题型二、导数的极值与最值的应用（不等式恒成立问题，讨论方程的根的个数问题）题型四、导数图象与原函数图象关系导函数（看正负）原函数（看升降增减）'()f x的符号()f x单调性'()f x与x轴的交点且交点两侧异号()f x极值'()f x的增减性()f x的每一点的切线斜率的变化趋势（()f x的图象的增减幅度）'()f x增()f x的每一点的切线斜率增大（()f x的图象的变化幅度快）'()f x减()f x的每一点的切线斜率减小（()f x的图象的变化幅度慢）【题型针对训练】1. 已知f(x)=e x-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值. （请你欣赏）3.当0>x，证明不等式xxxx<+<+)1ln(1.证明：xxxxf+-+=1)1ln()(，xxxg-+=)1ln()(，则2)1()(xxxf+='，当0>x时。

)(xf∴在()+∞,0内是增函数，)0()(fxf>∴，即01)1ln(>+-+xxx，又xxxg+-='1)(，当0>x时，0)(<'xg，)(xg∴在()+∞,0内是减函数，)0()(gxg<∴，即0)1ln(<-+xx，因此，当0>x时，不等式xxxx<+<+)1ln(1成立.点评：由题意构造出两个函数xxxxf+-+=1)1ln()(，xxxg-+=)1ln()(.利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.（请你欣赏）4、已知函数32f(x)ax bx(c3a2b)x d (a0)=++--+>的图象如图所示。

【高中数学】导数知识点梳理(附题型答题技巧)

高中数学导数知识点梳理一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数y=f(x)在x=图片处的瞬时变化率是2. 导数的几何意义：曲线的切线，当点图片趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。

容易知道，割线的斜率是当点图片趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=图片处的导数就是切线PT的斜率k，即3. 导函数：当x变化时，图片便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作图片，即二. 导数的计算基本初等函数的导数公式：导数的运算法则：复合函数求导：y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。

三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数：一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2. 函数的极值与导数：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。

求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；3. 函数的最大(小)值与导数：求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。

四.推理与证明（1）合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。

根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。

类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3)一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一些性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4)一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。

导数知识点各种题型归纳方法总结(浦仕国)

《导数》知识点和各种题型归纳方法总结一．导数的定义：2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：；②求平均变化率：；③取极限得导数：（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①；②；；③；④⑤⑥；⑦；⑧法则1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2：(口诀：前导后不导相乘+后导前不导相乘)法则3：(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数的导数求法：①换元，令，则②分别求导再相乘③回代题型一、导数定义的理解1..已知的值是（）A. B. 2 C. D. －2变式1：（）A．－１Ｂ．－2 C．－3 D．1变式2：（）A．B．C．D．题型二：导数运算1、已知，则2、若，则3.=ax3+3x2+2 ，，则a=（）三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在时的导数，即有。

2.V＝s/(t)表示即时速度。

a=v/(t) 表示加速度。

（了解）四．导数的几何意义：函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。

于是相应的切线方程是：。

题型三．用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线在点处切线：性质：。

相应的切线方程是：（2）曲线过点处切线：先设切点，切点为,则斜率k=，切点在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。

例：在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：（1）当x0=-1时，k有最小值3，此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0五．函数的单调性：设函数在某个区间内可导，（1）该区间内为增函数；（2）该区间内为减函数；注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。

（3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；（4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：解题模板：（1）求导数(2)判断导函数在区间上的符号(3)下结论①该区间内为增函数；②该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数单调区间的步骤为：（1）分析的定义域；（2）求导数（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一：（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；思路二：先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。

导数常见题型方法总结

导数题型总结例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，假设在区间D上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数〞，实数m 是常数，4323()1262x mx x f x =-- 〔1〕假设()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数〞，求m 的取值围；〔2〕假设对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数〞，求b a -的最大值.解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32()332x mx f x x '=--2()3g x x mx ∴=-- 〔1〕()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数〞，则 2()30g x x mx ∴=--<在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：别离变量法：∵当0x =时, 2()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立等价于233x m x x x ->=-的最大值〔03x <≤〕恒成立，而3()h x x x=-〔03x <≤〕是增函数，则max ()(3)2h x h ==2m ∴>(2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数〞则等价于当2m ≤时2()30g x x mx =--< 恒成立变更主元法再等价于2()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立〔视为关于m 的一次函数最值问题〕30110x >⇒-<<> 例2),10(32R b a b x a ∈<<+-],2+a 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值围. 解：〔Ⅰ〕()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为〔a ,3a 〕令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为〔－∞，a 〕和〔3a ，+∞〕∴当*=a 时，)(x f 极小值=;433b a +- 当*=3a 时，)(x f 极大值=b.〔Ⅱ〕由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 2243a x ax a a -≤-+≤恒成立① 则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x ag x a≤⎧⎨≥-⎩22()43g x x ax a =-+的对称轴2x a=01,a <<12a a a a +>+=〔放缩法〕即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

导数常见题型与解题方法总结

导数常见题型与解题方法总结导数题型总结：1.分离变量：在使用分离变量时，需要特别注意是否需要分类讨论（大于0，等于0，小于0）。

2.变更主元：已知谁的范围就把谁作为主元。

3.根分布。

4.判别式法：结合图像分析。

5.二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系；（2）端点处和顶点是最值所在。

基础题型：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：1.令f'(x)=0，得到两个根。

2.画两图或列表。

3.由图表可知。

另外，变更主元（即关于某字母的一次函数）时，已知谁的范围就把谁作为主元。

例1：设函数y=f(x)在区间D上的导数为f'(x)，f'(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)<___成立，则称函数y=f(x)在区间D上为“凸函数”。

已知实数m是常数，f(x)=(-x^4+mx^3+3x^2)/62.1.若y=f(x)在区间[0,3]上为“凸函数”，求m的取值范围。

解法一：从二次函数的区间最值入手，等价于g(x)<0在[0,3]上恒成立，即g(0)<0且g(3)<0.因此，得到不等式组-3<m<2.解法二：分离变量法。

当x=0或x=3时，g(x)=-3<0.因此，对于0≤x≤3，g(x)<___成立。

根据分离变量法，得到不等式组-3<m<2.2.若对满足m≤2的任何一个实数m，函数f(x)在区间(a,b)上都为“凸函数”，求b-a的最大值。

由f(x)=(-x^4+mx^3+3x^2)/62得到f'(x)=(-4x^3+3mx^2+6x)/62，f''(x)=(-12x^2+6mx+6)/62.因为f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”，所以f''(x)>0在(a,b)___成立。

因此，得到不等式组a≤x≤b和-12a^2+6ma+6>0，即a≤x≤b且m≤2或a≤x≤b且m≥1/2.由于m≤2，所以a≤x≤b且m≤2.根据变更主元法，将F(m)=mx-x^2+3视为关于m的一次函数最值问题，得到不等式组F(-2)>0和F(2)>0，即-2x-x^2+3>0且2x-x^2+3>0.解得-1<x<1.因此，b-a=2.Ⅲ）由题意可得，对任意x∈[1,4]，有f(x)≤g(x)代入g(x)得：x3+(t-6)x2-(t+1)x+3≥x3+(t-6)x2/2化___：x2(t-7/2)-x(t+1/2)+3≥0由于对于任意x∈[1,4]，不等式都成立，所以判别式≤0：t+1/2)2-4×3×(t-7/2)≤0化___：t2-10t+19≤0解得：1≤___≤9综上所述，a=-3，b=1/2，f(x)的值域为[-4,16]，t的取值范围为1≤t≤9.单调增区间为：$(-\infty,-1),(a-1,+\infty)$和$(-1,a-1)$。

高中数学-函数的交点与根问题及例题解析

高中数学-函数的交点与根问题及例题解析介绍本文档将讨论高中数学中与函数的交点和根相关的问题，并提供例题解析。

通过研究本文档，读者将获得对这些概念的基本理解以及如何解决相关的数学问题的技巧。

函数的交点在数学中，函数的交点是指两个不同函数的图像在某一点上相交。

交点通常表示为一个坐标，包括横坐标和纵坐标。

要确定函数的交点，首先需要明确哪些函数需要比较。

通过方程式，可以找到交点的横坐标。

将这些横坐标代入对应的函数中，可以找到纵坐标，从而确定交点的坐标。

函数的根函数的根是指函数的图像与x轴相交的点。

根通常被表示为一个或多个实数。

要找到函数的根，需要解决函数的方程式。

通过将方程式设置为0，可以找到x的值，即函数的根。

解决函数的方程式通常需要运用代数运算和解方程的技巧。

可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法求解方程。

例题解析例题1已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3和g(x) = 2x - 1，求两个函数的交点。

解析：首先，将f(x)和g(x)设置为相等，即x^2 - 4x + 3 = 2x - 1。

通过整理方程，得到x^2 - 6x + 4 = 0。

然后，可以使用配方法或求根公式等方法解决这个方程。

在这个例子中，我们使用求根公式来解方程。

根据求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，代入方程的系数，即可得到x的值。

通过计算，得到x = 1和x = 3。

将这些x的值代入原来的函数中，可以得到相应的y值。

因此，交点的坐标为(1, -1)和(3, 5)。

例题2已知函数h(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2，求h(x)的根。

解析：要找到h(x)的根，我们需要解决方程x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0。

这是一个三次方程，可以使用因式分解、配方法、牛顿法等方法求解。

在这个例子中，我们使用因式分解方法来解决方程。

通过试除法，我们可以找到x = 1是方程的一个解。

如何用导数探讨函数图像的交点问题

(2015版)导数题型归类第二讲：交点与根的分布

2015版导数题型归类第二讲交点与根的分布一、学习目标1.交点问题转化为函数的最值问题2.根的分布利用数形结合转化为基本的不等式问题二、重难点重点：交点问题难点：交点问题三、引入我们知道导数可以用于研究切线、单调性、极值、最值问题，那么：已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点，若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，则b 的取值范围为．它是哪一类啦？四、过程【知识点一】交点（零点或其变形）两个函数的图像有交点也就是方程组有解，但是对于超越函数我们往往解不出，那么转化为一个函数，再利用图像研究其极值和最值问题成为了一种思路。

例题1.已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c = ．A ．-2或2B ．-9或3C ．-1或1D ．-3或1例题2.（交点个数与根的分布）已知x=3是函数f(x)=aln(x+1)+2x -10x 的一个极值点。

1）求a;2）求函数的单调区间;3）若直线y=b 与函数y=f(x)的图像有三个交点，求b 的取值范围.【巩固练习】1.若函数x e y x a 4)1(+=-有大于零的极值点，则a 的范围为_______.2.（2011年福建）已知a,b 为常数，且0≠a ，函数x ax b ax x f ln )(++-=，2)(=e f1）求实数b;2）求函数的单调区间3）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m<M ），使得对于每一个],[M m t ∈，直线y=t 与曲线),1)((⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=e ex x f y 都有交点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由。

【知识点二】根的分布二次函数根的分布主要考虑开口、对称轴、判别式、特殊点的函数值；那么利用导函数也可以研究一些特殊函数的零点（根）的分布问题。

方法：数形结合、分类讨论例题2.（利用根的分布）已知函数x e b ax x x x f -+++=)3()(231）若a=b=-3，求函数的单调区间2）若f(x)在区间),2(),,(βα-∞单调增加，在),(),2,(+∞βα单调减小，证明6<-αβ[巩固练习]1.【2013学年第一学期期中杭州地区七校联考】函数32()f x x ax ax =++()x R ∈不存在极值点，则a 的取值范围是_________.2.（转换变量后为根的分布）已知函数x x x f -=3)(1）求曲线y=f(x)在点M （t,f(t)）处的切线方程2）设a>0,如果过点（a,b ）可做曲线y=f(x)的三条切线，证明：-a<b<f(a)3.已知函数)0(,221ln 2<--a x ax x . 1）若函数f(x)存在单调减去减，求a 的范围；2）若21-=a 且关于x 的方程b x x f +-=21)(在区间[ 1 , 4 ]上恰有两个不等的实数根，求实数b 的取值范围.五、课堂巩固1.【2014全国1高考理第11题】已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．(),2-∞-D ．(),1-∞-2.【2014高考山东卷第20题】设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.六、课后作业1.【浙江省湖州中学2013学年第一学期高三期中考试】函数21()2ln 2f x x x x a =+-+在区间(0,2)上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是_____.2.【2014高考四川第21题】已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈，2.71828e =为自然对数的底数.（Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值；（Ⅱ）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围。

完整版)导数的综合大题及其分类

完整版)导数的综合大题及其分类.导数在高考中是一个经常出现的热点，考题难度比较大，多数情况下作为压轴题出现。

命题的主要热点包括利用导数研究函数的单调性、极值、最值，不等式，方程的根以及恒成立问题等。

这些题目体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用。

题型一：利用导数研究函数的单调性、极值与最值这类题目的难点在于分类讨论，包括函数单调性和极值、最值综合问题。

1.单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，将函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号。

如果不能确定导数等于零的点的相对位置，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论。

2.极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点。

3.最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的。

在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值。

例题：已知函数f(x)＝x－，g(x)＝alnx(a∈R)。

x1.当a≥－2时，求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；2.设h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)有两个极值点为x1，x2，其中h(x1)＝h(x2)，求a的值。

审题程序]1.在定义域内，依据F′(x)＝0的情况对F′(x)的符号进行讨论；2.整合讨论结果，确定单调区间；3.建立x1、x2及a间的关系及取值范围；4.通过代换转化为关于x1（或x2）的函数，求出最小值。

规范解答]1.由题意得F(x)＝x－x/(x2－ax＋1)－alnx，其定义域为(0，＋∞)。

则F′(x)＝(x2－ax＋1)－x(2ax－2)/(x2－ax＋1)2.令m(x)＝x2－ax＋1，则Δ＝a2－4.①当－2≤a≤2时，Δ≤0，从而F′(x)≥0，所以F(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a>2时，Δ>0，设F′(x)＝0的两根为x1＝(a＋√(a2－4))/2，x2＝(a－√(a2－4))/2，求h(x1)－h(x2)的最小值。

导数证交点及方程实根的分布

（2009福建卷理）（本小题满分14分）已知函数321()3f x x ax bx =++,且'(1)0f -=(1) 试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间；（2）令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点M (1x ,1()f x )，N(2x ,2()f x )，P(,()m f m ), 12x m x <<,请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：（I ）若对任意的m ∈(1x , x 2)，线段MP 与曲线f(x)均有异于M,P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；（II ）若存在点Q(n ,f(n)), x ≤n< m ,使得线段PQ 与曲线f(x)有异于P 、Q 的公共点，请直接写出m 的取值范围（不必给出求解过程）解法一:(Ⅰ)依题意,得2'()2f x x ax b =++由'(1)12021f a b b a -=-+==-得. 从而321()(21),'()(1)(21).3f x x ax a x f x x x a =++-=++-故令'()0,112.f x x x a ==-=-得或①当a>1时, 121a -<-当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：x(,12)a -∞- (12,1)a -- (1,)-+∞ '()f x+ － + ()f x 单调递增单调递减单调递增由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --。

②当1a =时，121a -=-此时有'()0f x >恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调增区间为R③当1a <时，121a ->-同理可得，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --.(Ⅱ)由1a =-得321()33f x x x x =--令2()230f x x x =--=得121,3x x =-= 由（1）得()f x 增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在处121,3x x =-=取得极值，故M （51,3-）N （3,9-）。

2021届高考数学交点与根的分布问题

2021届高考数学交点与根的分布问题11月典例精析1. （交点个数与根的分布）已知函数⑴求在区间上的最大值⑵是否存在实数使得的图像与的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

解：⑴当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上 ⑵函数的图像与的图像有且只有三个不同的交点，即函数的图像与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+()f x [],1t t +();h t ,m ()y f x =()y g x =m 22()8(4)16.f x x x x =-+=--+14,t +<3t <()f x [],1t t +22()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++41,t t ≤≤+34t ≤≤()(4)16;h t f ==4t >()f x [],1t t +2()()8.h t f t t t ==-+2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩ ()y f x =()y g x =()()()x g x f x φ=-x 22()86ln ,62862(1)(3)'()28(0),x x x x m x x x x x x x x x x φφ=-++-+--∴=-+==>Q (0,1)x ∈'()0,()x x φφ>(0,3)x ∈'()0,()x x φφ<(3,)x ∈+∞'()0,()x x φφ>1,x =3x ='()0.x φ=当充分接近0时，当充分大时，要使的图像与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即 ∴存在实数，使得函数与的图像有且只有三个不同的交点，的取值范围为2. （交点个数与根的分布）已知函数⑴求f (x )在[0,1]上的极值；⑵若对任意成立，求实数a 的取值范围；⑶若关于x 的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围. 解：⑴，令（舍去）单调递增；当递减.上的极大值.⑵由得设，，依题意知上恒成立，， ()(1)7,()(3)6ln 315.x m x m φφφφ∴==-==+-最大值最小值Q x ()0,x φ<x ()0.x φ>∴()x φx ()70,()6ln 3150,x m x m φφ=->⎧⎪⎨=+-<⎪⎩最大值最小值7156ln 3.m <<-m ()y f x =()y g x =m (7,156ln 3).-.23)32ln()(2x x x f -+=0]3)(ln[|ln |],31,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式b x x f +-=2)(23)13)(1(33323)(+-+-=-+='x x x x x x f 1310)(-==='x x x f 或得)(,0)(,310x f x f x >'<≤∴时当)(,0)(,131x f x f x <'≤<时]1,0[)(613ln )31(在为函数x f f -=∴0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a x x a x x a 323ln ln 323lnln ++<+->或332ln323ln ln )(2x x x x x h +=+-=x x x x x g 323ln 323ln ln )(+=++=]31,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或0)32(2)32(33)32(3332)(2>+=+⋅-+⋅+='x x x x x x x x g Θ，上单增，要使不等式①成立，当且仅当⑶由令，当上递增；上递减，而，恰有两个不同实根等价于3. (宁夏，利用根的分布)已知函数⑴如，求的单调区间；⑵若在单调增加，在单调减少，证明：＜6.解：⑴时，，故03262)62(31323)(22>++=+⋅+='x x xx x x x h ]31,61[)()(都在与x h x g ∴.51ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或.0223)32ln(2)(2=-+-+⇒+-=b x x x b x x f xx x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(22+-=+-+='-+-+=ϕϕ则]37,0[)(,0)(,]37,0[在于是时x x x ϕϕ>'∈]1,37[)(,0)(,]1,37[在于是时x x x ϕϕ<'∈)1()37(),0()37(ϕϕϕϕ>>]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ϕ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+=>-+-+=≤-=0215ln )1(067267)72ln()37(02ln )0(b b b ϕϕϕ.37267)72ln(215ln +-+<≤+∴b 32()(3)xf x x x ax b e -=+++3a b ==-()f x ()f x (,),(2,)αβ-∞(,2),(,)αβ+∞βα-3a b ==-32()(333)xf x x x x e-=+--322'()(333)(363)x x f x x x x e x x e --=-+--++-(3)(3)xx x x e -=--+当当从而单调减少.⑵ 由条件得从而因为所以将右边展开，与左边比较系数得，故又由此可得于是 4. （天津文，利用根的分布讨论）设函数，其中 ⑴当时，求曲线在点处的切线的斜率 ⑵求函数的单调区间与极值⑶已知函数有三个互不相同的零点，且，若对任意的恒成立，求的取值范围.解：⑴当所以曲线在点处的切线斜率为1.⑵，令，得到因为，当x 变化时，的变化情况如下表：3x <-或03'()0;x f x <<>时，303'()0.x x f x -<<><或时，()(,3),(0,3)303f x -∞--+∞在单调增加，在（，），（，）3223'()(3)(36)[(6)].x x x f x x x ax b e x x a e e x a x b a ---=-++++++=-+-+-3'(2)0,22(6)0,4,f a b a b a =+-+-==-即故3'()[(6)42].x f x e x a x a -=-+-+-'()'()0,f f αβ==3(6)42(2)()()x a x a x x x αβ+-+-=---2(2)[()].x x x αβαβ=--++2, 2.a αβαβ+=-=-βα-==(2)(2)0,2()40.βααβαβ--<-++<即 6.a <- 6.βα->()()()322113f x x x m x x =-++-∈R 0m >1m =()y f x =()()1,1f ()f x ()f x 120x x 、、12x x <[]()()12,,1x x x f x f ∈>m 1)1(,2)(,31)(1'2/23=+=+==f x x x f x x x f m 故时，()y f x =(1,(1))f 12)(22'-++-=m x x x f 0)('=x f m x m x +=-=1,1m m m ->+>11,0所以)(),('x f x f在和内减函数，在内增函数。

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