新高中必修三数学上期中试卷(含答案)
(新)高中数学必修三期中测试卷及答案
P（E）=1/ 20 =0.05
（2）事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，
P（F）=9 /20 =0.45
（3）事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，
三、解答题：（共75分，解答题应书写合理的解答或推理过程）
14.（6分）为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为 ，第二小组频数为12．
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？
（3）通过该统计图，可以估计该地学生跳绳次数的众数是，中位数是。
15．（14分）下面是计算应纳税所得额的算法过程，其算法如下：
第一步 输入工资x(注x<=5000);
第二步 如果x<=800,那么y=0;如果800<x<=1300,那么 y=0.05(x-800);
否则 y=25+0.1(x-1300)
16解：（1）甲网站的极差为：73-8=65；
乙网站的极差为：71-5=66（4分）
（2）甲网站点击量在[10，40]间的频率为4 /14 =2 7
（3）甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，
而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方．
从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎．
17解：把3只黄色乒乓球标记为A、B、C，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个
2020-2021厦门市双十中学高中必修三数学上期中试卷(附答案)
2020-2021厦门市双十中学高中必修三数学上期中试卷(附答案)一、选择题1．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m + C ．这组新数据的方差为an D ．这组新数据的标准差为a n3．在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<4．在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个5．设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程220x ax ++=有两个不相等的实数根的概率为（ ） A ．23B ．13C ．12D ．5126．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数120,140的人数占大半．则说法正确的是（）为60；④分数在区间[)A．①②B．①③C．②③D．②④7．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，88．微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（）A．1.19B．1.23C．1.26D．1.319．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是()A．336B．510C．1326D．360310．若框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．？B ．？C ．？D ．？11．已知函数()cos3xf xπ=，根据下列框图，输出S的值为()A．670B．16702C．671D．67212．已知平面区域()2,4yx yy x⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，直线2y mx m=+和曲线24y x=-有两个不的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为()P M．若01m≤≤，则()P M的取值范围为（）A．22,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B．22,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦二、填空题13．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．14．执行如下图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出S的值为__________．15．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为________．16．用秦九韶算法计算多项式f(x)=2x 4-x 3+3x 2+7,在求x=2时对应的值时,v 3的值为___. 17．以下四个命题错误的序号为_______(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=.(3) 若样本1210,,x x x L 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++L 的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.18．已知样本数据12345,,,,a a a a a 的方差222222123451(20)5s a a a a a =++++-，则样本数据1234521,21,21,21,21a a a a a +++++的平均数为__________．19．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区400名年年龄为17岁～18岁的男生体重()kg ，得到频率分布直方图如图5所示：根据图2可得这200名学生中体重在[64.5,76.5]的学生人数是__________． 20．已知变量,x y 之间的一组数据如下表：x0 1 2 3 y 1357则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点_______________三、解答题21．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：（1）画出散点图；（2）如果y 与x 有线性相关的关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？22．某车间为了规定工时额定，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了6次试验，得到数据如下：（1）试对上述变量x 与y 的关系进行相关性检验，如果x 与y 具有线性相关关系，求出y 对x 的回归直线方程；（2）根据（1）的结论，你认为每小时加工零件的数量额定为多少（四舍五入为整数）比较合理？附：相关性检验的临界值表()()nniii ix x y y x y nx yr ---==∑∑()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---==--∑∑∑∑$，$$y abx =+$42.0≈27.5≈23．现从某医院中随机抽取了7位医护人员的关爱患者考核分数(患者考核:10分制)，用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数(试卷考试:100分制),用相关的特征量x 表示，数据如下表:（1）求y 关于x 的线性回归方程(计算结果精确到0.01)；（2）利用(1)中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计当某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数(精确到0.1).参考公式及数据:回归直线方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 121(x x)(y y)ˆˆˆ,(x x)niii nii ba y bx ==--==--∑∑，其中72193,9.3,()()9.9i ii x y x x y y ===--=∑. 24．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位:千元）与月储蓄i y （单位:千元）的数据资料，计算得10180i i x ==∑，101120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720ii x==∑.（1）求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程y bx a =+$$$，并判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.（注:线性回归方程y bx a =+$$$中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑$，其中x ，y 为样本平均值.）25．一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率； (Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.26．[2019·朝鲜中学]在如图所示的程序框图中，有这样一个执行框1()i i x f x -=，其中的函数关系式为42()1x f x x -=+，程序框图中的D 为函数()f x 的定义域．（1）若输入04965x =，请写出输出的所有x 的值； （2）若输出的所有i x 都相等，试求输入的初始值0x ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式．2．D解析：D 【解析】 【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n ，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n . 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分， 对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p <<．（1） （2） （3） 考点：几何概型．4．D解析：D 【解析】在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1， ∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4， ∴二队很少不失球，故（4）正确. 故选：D ．5．A解析：A 【解析】分析：可以按照等可能时间的概率来考虑，可以先列举出试验发生包含的事件数，再求出满足条件的事件数，从而根据概率计算公式求解.详解：因为a 是抛掷一枚骰子得到的点数，所以试验发生包含的事件总数为6， 方程220x ax ++=有两个不等实根，所以280a ->， 以为a 为正整数，所以3,4,5,6a =，即满足条件的事件有4种结果，所以所求的概率为4263P ==，故选A. 点睛：本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，利用排列组合有关知识，正确找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数代入公式()()n A P n =Ω.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图8．C解析：C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可. 【详解】由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,⨯=⨯=⨯=⨯=故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.9．B解析：B 【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.10．A【解析】 【分析】根据所给的程序运行结果为，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．【详解】由题意可知输出结果为， 第1次循环，，， 第2次循环，，，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos 32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =， 直到2016n =时，程序运行终止，Q 函数cos3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=， ∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．12．D解析：D 【解析】 【分析】判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，即可求解相应概率的范围，得到答案． 【详解】由题意知，平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示，又由直线2y mx m =+过半圆24y x =-上一点(2,0)-，当0m =时直线与x 轴重合，此时()1P M =，故可排除,A B ， 若1m =，如图所示，可求得2()2P M ππ-=， 所以()P M 的取值范围为212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦．【点睛】本题主要考查了集合概型的应用，其中解答中判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，求解相应概率的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题13．【解析】14．15【解析】程序执行过程为：当i=1s=1i<6s=1当i=3i<6s=3当i=5i<6s=15当i=7i>6退出s=15填15解析：15 【解析】 程序执行过程为：当i=1,s=1,i<6,s=1,当i=3,i<6,s=3,当i=5,i<6，s=15,当i=7，i>6，退出s=15.填15.15．30【解析】时继续时继续时停止输出点睛:本题考查的是算法与流程图算法与流程图的的考查侧重于对流程图循环结构的考查先明晰算法及流程图的相关概念包括选择结构循环结构伪代码其次要重视循环起点条件循环次数循解析：30 【解析】3i =时，0236S =+⨯=，继续， 5i =时，62516S =+⨯=，继续，7i =时，162730S =+⨯=，停止， 输出30S =．点睛:本题考查的是算法与流程图.算法与流程图的的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.16．【解析】f(x)=2x4-x3+3x2+7=(((2x-1)x+3)x)x+7∴v0=2v1=2×2-1=3v2=3×2+3=9v3=9×2=18故答案为：18解析：【解析】f (x )=2x 4-x 3+3x 2+7=(((2x -1)x +3)x )x +7， ∴v 0=2,v 1=2×2-1=3,v 2=3×2+3=9,v 3=9×2=18. 故答案为：18.17．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关解析：（1）（2）（4） 【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x 0，y 0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案． 对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；对于(2), 设直线222233|9x l y k x y x y =+=-'=-∴'=-Q ：（）．，， 又∵直线与曲线均过点22-（，），于是直线22y k x （）+=- 与曲线33y x x =- 相切于切点22-（，）时，9k =-． 若直线与曲线切于点0002x y x ≠（，）（）， 则320000000002232122y y k y x x x x x x ++==-∴=-----Q ，，，又200|33k y x x x ='==-Q ，2220000021332240x x x x x ∴---=-∴--=，， 200021330x x k x ≠∴=-∴=-=Q ，，，故直线l 的方程为9160x y +-=或2y =-．故(2)错；对于(3)，若样本1210,,x x x L 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++L 的平均数是25111,⨯+= ，方差是22312⨯=.故(3)正确；对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误. 故选（1）（2）（4）点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..18．或【解析】设样本数据的平均数为则方差：结合可得：即样本数据的平均数为2或-2则样本数据的平均数为：或故答案为或点睛：平均数与方差都是重要的数字特征是对总体的一种简明的描述它们所反映的情况有着重要的实解析：5或3- 【解析】设样本数据的平均数为a ，则方差：()()522152215522115221522115125125512555155i i i i i i i i i i i i i s a a a aa a a a a a a a a a a a =======-=-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 结合()222222123451205s a a a a a =++++-可得：2520,2a a =∴=±， 即样本数据12345,,,,a a a a a 的平均数为2或-2，则样本数据1234521,21,21,21,21a a a a a +++++的平均数为：2215⨯+=或()2213⨯-+=-.故答案为5或3-．点睛：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．要注意其区别与联系.19．232【解析】由图可知：段的频率为则频数为人解析：232 【解析】由图可知：64.576.5~段的频率为1(0.010.030.050.050.07)20.58-++++⨯=， 则频数为4000.58232⨯=人．20．【解析】由题意∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(154) 解析：()1.5,4【解析】由题意,()()110123 1.5,1357444x y =+++==+++= ∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(1.5,4)三、解答题21．（1）见解析；（2）ˆ0.72860.8575yx =-；（3）机器的转速应控制在14.9转/秒以下 【解析】 【分析】（1）由表中数据做图（2）根据线性回归方程中公式求ˆ,ba 即可写出方程（3）利用线性回归方程建立不等式求解. 【详解】（1）画出散点图，如图所示：（2）4421112.5,8.25,438,660,i ii i i x y x yx ======∑∑41422214438412.58.250.7286660412.ˆ54i i i i i x y xy bx x ==--⨯⨯∴==≈-⨯-∑∑，8.250.728612.50.857ˆˆ5ay bx =-≈-⨯=-. 故回归直线方程为0.72860.8575ˆyx =-. （3）要使100.72860.857510y x ≤-≤，则，14.9019x ≤.故机器的转速应控制在14.9转/秒以下. 【点睛】本题主要考查了散点图，线性回归方程，利用线性回归方程解决问题，属于中档题. 22．（1）答案见解析.（2）96 【解析】 【分析】（1）根据表中所给数据，计算出||r ，即可求得答案.（2）每小时加工零件的数量，即60x =，将60x =代入ˆ0.65757yx =+，即可求得答案. 【详解】（1）由表中数据得：6117950i ii x y==∑，6219100i i x ==∑，62139158i i y ==∑，35,80x y ==∴0.05||0.997r r ==>从而有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系，∴此求回归直线方程是有意义的．计算得：ˆˆ0.657,57ba== ∴ˆ0.65757yx =+ （2）Q 每小时加工零件的数量，即60x =将60x =代入ˆ0.65757y x =+ ˆ96.42y= 故每小时加工零件的数量额定为96比较合理 【点睛】本题考查回归直线方程以及应用，考查基本分析与求解能力，属基本题.23．(1) ˆ0.12 1.93yx =-. (2) 随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心。
高三期中考试数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则f'(x)的零点个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 0答案：B解析：f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，得x^2 = 1，即x = ±1。
因此，f'(x)的零点个数为2。
2. 下列函数中，在定义域内是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = x^5答案：B解析：奇函数的定义是f(-x) = -f(x)。
只有选项B中的函数y = x^3满足这个条件。
3. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an可以表示为（）A. a1 + (n-1)dB. a1 + ndC. a1 - (n-1)dD. a1 - nd答案：A解析：等差数列的通项公式是an = a1 + (n-1)d，所以正确答案是A。
4. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2 + b^2 = c^2，则△ABC是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 梯形答案：C解析：根据勾股定理，若a^2 + b^2 = c^2，则△ABC是直角三角形。
5. 下列各数中，属于无理数的是（）A. √4B. √9C. √16D. √25答案：A解析：√4 = 2，√9 = 3，√16 = 4，√25 = 5，这些都是有理数。
只有√4是无理数。
二、填空题（每题5分，共50分）6. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的对称轴方程是__________。
答案：x = 3/4解析：对称轴的公式是x = -b/2a，代入a = 2，b = -3，得x = 3/4。
7. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，d = 2，则S10 = ________。
答案：110解析：等差数列的前n项和公式是Sn = n/2 (2a1 + (n-1)d)，代入a1 = 3，d = 2，n = 10，得S10 = 110。
2020-2021高中必修三数学上期中试卷(附答案)(6)
2020-2021高中必修三数学上期中试卷(附答案)(6)一、选择题1．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 2．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>3．一组数据如下表所示：x1 2 3 4y e3e 4e 6e已知变量y 关于x 的回归方程为+0.5ˆbx ye =，若5x =，则预测y 的值可能为( ) A ．5eB ．112eC ．132eD ．7e4．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数是偶数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率()P A B =U （ ）A ．12B ．13C ．23 D ．565．已知变量,x y 之间满足线性相关关系ˆ 1.31yx =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示： x 1 2 3 4 y0.1m3.14则实数m =（ ） A ．0.8B ．0.6C ．1.6D ．1.86．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，87．下面的算法语句运行后，输出的值是（ ）A ．42B ．43C ．44D ．458．若框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．？B ．？C ．？D ．？ 9．如图所示是为了求出满足122222018n +++>L 的最小整数n ，和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．2018S >？，输出1n -B ．2018S >？，输出nC ．2018S ≤？，输出1n -D ．2018S ≤？，输出n10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．411．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.6 10.0 11.3 11.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元12．运行如图所示的程序框图，若输出S 的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．4?k <B ．5?k <C ．6?k <D ．7?k <二、填空题13．执行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为____.14．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数()2N N ≥和实数12,,...,N a a a ，输出,A B ，若输入的N 为20，12,,...,N a a a 依次为87，76，89，98，68，76，89，94，83，86，68，79，95，93，89，87，76，77，84，96，则A B =－________．15．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________．16．某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人，现采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，则这两人来自同一组的概率为__________．17．在1270x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域内任取一点(),x y ，则满足230x y -≥的概率是__________．18．已知一组数据分别是,10,2,5,2,4,2x ，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则数据x 的所有可能值为__________．19．某学生每次投篮的命中概率都为40%．现采用随机模拟的方法求事件的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值随机数，制定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以每3个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生如下20组随机数：989 537 113 730 488 556 027 393 257 431 683 569 458 812 932 271 925 191 966 907，据此统计，该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为__________． 20．已知函数log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为______________；三、解答题21．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y 关于t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－．22．(1)从区间[1，10]内任意选取一个实数x ，求26160x x --≤的概率； (2)从区间[1，12]内任意选取一个整数x ，求()ln 22x -<的概率.23．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m 不超过m第一种生产方式 第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，24．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（1）求1A 被选中的概率； （2）求1B 和1C 不全被选中的概率．25．已知关于x 的一元二次函数2()4 1.f x ax bx =-+（1）若,a b 分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率；（2）设点(,)a b 是区域28000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率.26．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温． 气温()℃141286用电量(度)22 26 34 38（I ）求线性回归方程；（参考数据：411120i ii x y==∑，421440i i x ==∑）（II ）根据（I ）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .2．A解析：A 【解析】 【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2,x s 的值，即可得到答案． 【详解】由题意，根据平均数的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x L ， 则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()2221248170707050050x x x L ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦L ， 故275s <．选A ． 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．3．C解析：C 【解析】【分析】令ln z y $=，求得,x z 之间的数据对照表，结合样本中心点的坐标满足回归直线方程，即可求得b ；再令5x =，即可求得预测值y . 【详解】将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =+，令ln z y $=，得到0.5z bx =+， 根据已知表格数据，得到,x z 的取值对照表如下：12342.54x +++==，1346 3.54z +++==， 利用回归直线过样本中心点，即可得3.5 2.50.5b =+， 求得 1.2b =，则 1.20.5z x =+， 进而得到$ 1.2+0.5x y e =，将5x =代入， 解得136.52y e e ==. 故选：C . 【点睛】本题考查利用样本中心点坐标满足回归直线方程求参数值，以及由回归方程进行预测值得求解，属中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况，得到答案. 【详解】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况， 故5()6P A B =U . 故选：D . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．D解析：D 【解析】分析：由题意结合线性回归方程的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：12345 2.542x +++===，0.1 3.14 1.844m my +++==+， 线性回归方程过样本中心点，则：1.8 1.3 2.514m+=⨯-， 解得：8.1=m . 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图7．C解析：C 【解析】 【分析】根据算法语句可知，程序实现功能为求满足不等式22000i <的解中最大自然数，即可求解. 【详解】 由算法语句知，运行该程序实现求不等式22000i <的解中最大自然数的功能， 因为24520252000=>，24419362000=<，所以44i =， 故选：C 【点睛】本题主要考查算法语句，考查了对循环结构的理解，属于中档题.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据所给的程序运行结果为，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．【详解】由题意可知输出结果为， 第1次循环，，，第2次循环，，，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．9．A解析：A 【解析】 【分析】通过要求122222018n +++>L 时输出且框图中在“是”时输出确定“”内应填内容；再通过循环体确定输出框的内容． 【详解】因为要求122222018n +++>L 时输出，且框图中在“是”时输出， 所以“”内输入“2018S >？”，又要求n 为最小整数， 所以“”中可以填入输出1n -，故选：A ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．10．C解析：C 【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k =，故选C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.11．B解析：B 【解析】试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．12．C解析：C 【解析】 【分析】最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体时要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体． 【详解】0S =，1k =；110121S -=+⨯=，2k =；211225S -=+⨯=， 3k =；3153217S -=+⨯=，4k =；41174249S -=+⨯=， 5k =；514952129S -=+⨯=，6k =，此时输出S ，即判断框内可填入的条件是“6?k <”.故选：C ． 【点睛】本题考查循环结构程序框图. 解决程序框图填充问题的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、执行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 二、填空题13．【解析】【分析】执行如图所示的程序框图逐次计算根据判断条件即可求解得到答案【详解】执行如图所示的程序框图可得：第1次循环满足判断条件；第2次循环满足判断条件；第3次循环满足判断条件；第4次循环满足判解析：6【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次计算，根据判断条件，即可求解，得到答案. 【详解】执行如图所示的程序框图，可得：0,1S m ==， 第1次循环，满足判断条件，10122,2S m =+⨯==； 第2次循环，满足判断条件，222210,3S m =+⨯==； 第3次循环，满足判断条件，3103234,4S m =+⨯==； 第4次循环，满足判断条件，4344298,5S m =+⨯==； 第5次循环，满足判断条件，59852258,6S m =+⨯==； 不满足判断条件，此时输出6m =. 故答案为6. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．30【解析】【分析】根据程序框图可知和分别为中最大和最小的数通过已知中的取值得到和的具体值从而求得差值【详解】由于且时将值赋给因此为中最大的数由于且时将值赋给因此为中最小的数本题正确结果：【点睛】本解析：30 【解析】 【分析】根据程序框图可知A 和B 分别为12,,,⋅⋅⋅N a a a 中最大和最小的数，通过已知中的取值得到A 和B 的具体值，从而求得差值. 【详解】由于k x a =，且x A >时将x 值赋给A ，因此A 为12,,,⋅⋅⋅N a a a 中最大的数由于k x a =，且x B <时将x 值赋给B ，因此B 为12,,,⋅⋅⋅N a a a 中最小的数98A ∴=，68B = 30A B ∴-=本题正确结果：30 【点睛】本题考查根据程序框图判断框图的作用，属于中档题.15．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：解析：15【解析】若以线段AP 为边的正方形的面积介于225cm 与249cm 之间， 则线段AP 的长介于5cm 与7cm 之间， 满足条件的P 点对应的线段长为2cm ， 而线段AB 的总长度为10cm ，故正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率21105P ==． 故答案为：15. 16．【解析】某班按座位将学生分为两组第一组18人第二组27人采取分层抽样的方法抽取5人第一组抽取：第二组抽取：再从这5人中安排两人去打扫卫生基本事件总数这两人来自同一组包含的基本事件个数∴这两人来自 解析：25【解析】某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人， 采取分层抽样的方法抽取5人，第一组抽取：18521827⨯=+人，第二组抽取：27531827⨯=+人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，基本事件总数2510n C ==，这两人来自同一组包含的基本事件个数22234m C C ＝，=+∴这两人来自同一组的概率为42105m p n ＝＝＝． 即答案为25. 【点睛】本题考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，其中正确掌握有关知识是解题的关键17．【解析】分析：首先绘制可行域结合点的坐标求得可行域的面积然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示由解得即A(32）且故作出直线2x-3y=0则2x- 解析：29【解析】分析：首先绘制可行域，结合点的坐标求得可行域的面积，然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果.详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示，由127x y x y -=⎧⎨+=⎩解得32x y =⎧⎨=⎩，即A (3,2）.且()70,,0,12B C ⎛⎫-⎪⎝⎭， 故172713224ABC S ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭V . 作出直线2x -3y =0.则2x -3y ≥0所以表示区域为△OAC ， 即不等式2x -3y ≥0所表示的区领为△OAC ，面积为131322AOC S =⨯⨯=V ， 所以满足230x y -≥的概率是为3222794AOCABCS p S V V ===.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.18．-11或3或17【解析】分析：设出未知数根据这组数的平均数中位数众数依次成等差数列列出关系式因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同所以要讨论x 的三种不同情况详解：由题得这组数据的平均数为众数是解析：-11或3或17 【解析】分析：设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同，所以要讨论x 的三种不同情况．详解：由题得这组数据的平均数为10252422577x x +++++++=，众数是2，若x ≤2，则中位数为2，此时x=﹣11，若2＜x ＜4，则中位数为x ，此时2x=2527x++，x=3， 若x ≥4，则中位数为4，2×4=2527x++，x=17， 所有可能值为﹣11，3，17. 故填 -11或3或17.点睛：本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．在求数列的中位数时，必须分类讨论,不能不分类讨论.19．【解析】这20组随机数中该学生三次投篮中恰有一次命中的有537730488027257683458925共8组则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为故填 解析：25【解析】这20组随机数中, 该学生三次投篮中恰有一次命中的有537,730,488,027,257,683,458,925共8组,则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为82205=,故填25.20．【解析】为单独递增函数所以点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性除注意各段的单调性外还要注意 解析：45a ≤<【解析】()()12120f x f x x x ->-⇒ log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）为单独递增函数，所以15045log (32)3(5)3aa a a a >⎧⎪->⇒≤<⎨⎪-≥--⎩ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围三、解答题21．（Ⅰ）ˆy＝0.5t ＋2.3；（Ⅱ）预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元. 【解析】试题分析：（1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b$的值，再求出$a 的值，即可求出线性回归方程；（2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t 的值，即可预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 试题解析：（1）由已知得1(1234567)47t =⨯++++++=，1(2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9) 4.37y =⨯++++++=.721()941014928ii tt =-=++++++=∑，71()()(3)( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.93 1.614ii i tt y y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=∑121()()140.58)ˆ2(niii ni i t t y y bt t ==--===-∑∑，$ 4.30.54 2.3ay bt =-=-⨯=$ ∴所求回归方程为$0.5 2.3y t =+．（2）由（1）知，ˆ0.50b=>，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号9t =代入(1)中的回归方程，得$0.59 2.3 6.8y =⨯+=，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．22．(1)79；（2）712. 【解析】 【分析】（1）求解不等式26160x x --≤可得x 的范围，由测度比为长度比求得26160x x --≤的概率；（2）求解对数不等式可得满足()ln 22x -<的x 的范围，得到整数个数，再由古典概型概率公式求得答案． 【详解】解：（1）26160x x --≤Q ，∴28x -剟，又[]1,10x ∈Q []1,8x ∴∈故由几何概型可知，所求概率为8110971-=-．（2）()ln 22x -<Q ，222x e ∴<<+，则在区间[]1,12内满足()ln 22x -<的整数为3,4,5,6,7,8,9共有7个， 故由古典概型可知，所求概率为712． 【点睛】本题考查古典概型与几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题． 23．（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析 （2）80 （3）能 【解析】 【分析】 【详解】分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可． （2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表． （3）由公式计算出2k ，再与6.635比较可得结果． 详解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下：（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高. 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知7981802m +==. 列联表如下：（3）由于()24015155510 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活． 24．（1）13;（2）56.【解析】 【分析】 【详解】（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，， 132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，， 231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“1A 恰被选中”这一事件，则M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}事件M 由6个基本事件组成，因而61()183P M ==． （2）用N 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“11B C ，全被选中”这一事件，由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个基本事件组成， 所以31()186P N ==，由对立事件的概率公式得15()1()166P N P N =-=-=． 25．(1)14;(2) 15【解析】 【分析】（1）由题意函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，可得0a ＞，2b a ≤，可得可得先后抛掷两次骰子的基本事件数为36个，求出所求事件包含基本事件，可得其概率； （2）由（1）可得0a ＞，2b a ≤，可得实验的全部结果所构成的区域与所求事件所构成的区域，由几何概型可得答案. 【详解】解：可得函数2()41f x ax bx =-+的对称轴为：2b x a=， 要使函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，当且仅当0a ＞，21ba≤，2b a ≤， 由题意可得先后抛掷两次骰子的基本事件数为36个，所求事件包含基本事件：(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(6,3)， 所求事件包含的事件为为9个，可得所求事件的概率为：91364=； （2）由（1）得，要使函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，当且仅当0a ＞，21ba≤，2b a ≤， 由题意可得实验的全部结果所构成的区域是：280(,)00a b a b a b ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭，构成所求事件的区域为三角形部分，由2802a b ab +-≤⎧⎪⎨=⎪⎩得交点坐标168(,)55P ，可得所求事件概率为：18412515482p ⨯⨯==⨯⨯ 【点睛】本题主要考查不等式，线性规划问题及几何概率求解，属于中档题，注意运算准确.26．(1)250y x =-+. (2) 30度. 【解析】分析：()I 求出,x y 的均值，再由公式，计算出系数的值，即可求出线性回归方程；()II 10x =代入线性回归方程，计算出y 得值，即为当气温为10℃时的用电量．详解：()44211103011204402i i i i i I x y x y x b ======∴=-∑∑，，，， 把()1030，代入回归方程得30210a =-⨯+，解得50a =． ∴回归方程为250y x =-+；()II 当10x =时，30y =，估计当气温为10℃时的用电量为30度．点睛：本题主要考查了线性回归分析的实际应用问题，其中根据最小二乘法求解回归系数是解答的关键和计算的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．。
2020-2021高中必修三数学上期中试卷(及答案)(4)
2020-2021高中必修三数学上期中试卷(及答案)(4)一、选择题1．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为 ( )A ．11347250C C C B ．20347250C C C C ．1233250C C C +D ．1120347347250C C C C C + 2．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x ＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N ＝3，则输出的i ＝A ．9B ．8C ．7D ．64．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④5．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，86．将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为( )A ．192181020C C C B ．1921810202C C C C ．1921910202C C C D ．192191020C C C 7．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．100，20B ．200，20C ．100，10D ．200，108．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( ) A ．15B ．24125C ．48125D ．961259．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（ ）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人； ③西部地区学生小刘被选中的概率为150； ④中部地区学生小张被选中的概率为15000A ．①④B ．①③C ．②④D ．②③10．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn11．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元12．设点(a,b)为区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内任意一点，则使函数f(x)=2ax 2bx 3-+在区间[12，+∞）上是增函数的概率为 A ．13B ．2 3C ．1 2D ．1 4二、填空题13．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________．14．变量X 与Y 相对应的5组数据和变量U 与V 相对应的5组数据统计如表：用b 1表示变量Y 与X 之间的回归系数，b 2表示变量V 与U 之间的回归系数，则b 1与b 2的大小关系是___．15．高二某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为__________．16．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.17．在1270x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域内任取一点(),x y ，则满足230x y -≥的概率是__________．18．以下说法正确的是_____________ . ①类比推理属于演绎推理.②设有一个回归方程ˆ23yx =- ，当变量每增加1个单位，y 平均增加3个单位.③样本相关系数r 满足以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱.④对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅.19．已知一组数据分别是,10,2,5,2,4,2x ，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则数据x 的所有可能值为__________．20．已知x ，y 取值如表，画散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归方程为$35y x =-，则m 的值为__________．三、解答题21．我省某校要进行一次月考，一般考生必须考5门学科，其中语、数、英、综合这四科是必考科目，另外一门在物理、化学、政治、历史、生物、地理、英语2中选择.为节省时间，决定每天上午考两门，下午考一门学科，三天半考完.（1）若语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场考试，则“考试日程安排表”有多少种不同的安排方法；（2）如果各科考试顺序不受限制；求数学、化学在同一天考的概率是多少？22．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（1）求三种粽子各取到1个的概率．（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．23．我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准.为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样抽查，获得了n个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表及图所示.分组频数频率[)0,1025[)10,200.19[)20,3050[)30,400.23[)40,500.18[)50,605（1）分别求出n，,a b的值；（2）若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭年均用水量；50,60（单位：立方米）的5个家庭中任选3个，作进一步的（3）从样本中年用水量在[]跟踪研究，求年用水量最多的家庭被选中的概率（5个家庭的年用水量都不相等）.24．为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00～10：00各自的点击量，得到如图所示的茎叶图，根据茎叶图回答下列问题．(1)甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？ (2)甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？ (3)甲、乙两网站哪个更受欢迎？并说明理由．25．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长该地一建设银行统计连续五年的储蓄存款（年底余额）得到下表： 年份x2014 2015 2016 2017 2018 储蓄存款y （千亿元）567810为便于计算，工作人员将上表的数据进行了处理（令2013,t x =-5=-z y ），得到下表： 时间t 1 2 3 4 5 储蓄存款z1235（1）求z 关于t 的线性回归方程；（2）通过（1）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；（3）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nx yb xnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-. 26．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【解析】 【分析】由题意，恰好两件都是次品，共有23C 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C 种不同的取法，即可求解． 【详解】由题意，从含有3件次品的50件产品中，任取2件，共有250C 种不同的取法， 恰好两件都是次品，共有20347C C 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C 种不同的取法，所以至少取到1件次品的概率为1120347347250C C C C C +，故选D ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理分类讨论，利用组合数的公式是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．2．B解析：B 【解析】 【分析】设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n n P C =-，由21P P …，得10.90.3n-…， 由此能求出n 的最小值． 【详解】Q 李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1， 现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究M ， 设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n nP C =-， 21P P Q …，10.90.3n∴-…， 解得4n ≥．n ∴的最小值是4．故选B ． 【点睛】本题考查实数的最小值的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．B解析：B 【解析】模拟执行程序，当3,1n i == ，n 是奇数，得10,2n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，5,3n i == ，不满足条件1n =，满足条件n 是奇数，16,4n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，8,5n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，4,6n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，2,7n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，1,8n i ==，满足条件1n =，输出8i =，选B.点睛：本题主要考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多或有规律时，常常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．4．B解析：B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图6．A解析：A 【解析】 【分析】由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得出结果. 【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是20名学生平均分成两组共有1020C 种结果， 而满足条件的事件是2名学生干部恰好被分在不同组内共有19218C C 中结果，根据古典概型的概率公式得192181020=C C P C . 故选：A. 【点睛】本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题.7．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.8．C解析：C 【解析】五所学生自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：213554C C A 种，则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率：2135545485125C C A p == 本题选择C 选项.9．B解析：B 【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生2400100240016001000⨯=++48人、中部地区学生1600100240016001000⨯=++32人、西部地区学生1000100240016001000⨯=++20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误； ③西部地区学生小刘被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．C解析：C 【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ． 11．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．12．A解析：A 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：若f （x ）=2ax 2bx 3-+在区间[12，+∞）上是增函数， 则02122a b a >⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，即020a a b >⎧⎨-≥⎩，则A （0，4），B （4，0），由4020a b a b +-=⎧⎨-=⎩得8343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即C （83，43）， 则△OBC 的面积S=14423⨯⨯=83． △OAB 的面积S=14482⨯⨯=． 则使函数f(x)=2ax 2bx 3-+在区间[12，+∞）上是增函数的概率为P=OBC OAB S S n n =13， 故选：A ．二、填空题13．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：解析：15【解析】若以线段AP 为边的正方形的面积介于225cm 与249cm 之间， 则线段AP 的长介于5cm 与7cm 之间， 满足条件的P 点对应的线段长为2cm ， 而线段AB 的总长度为10cm ，故正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率21105P ==． 故答案为：15. 14．【解析】分析：根据回归系数几何意义得详解：因为Y 与X 之间正增长所以因为V 与U 之间负增长所以因此点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是解析：12b b >. 【解析】分析：根据回归系数几何意义得120b b >> 详解：因为Y 与X 之间正增长，所以10b > 因为V 与U 之间负增长，所以20b < 因此120b b >>，点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求$,a b$，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .b $的正负，决定正相关与负相关.15．【解析】∵高二某班有学生56人用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本∴样本组距为56÷4=14则5+14=19即样本中还有一个学生的编号为19 解析：19【解析】∵高二某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本， ∴样本组距为56÷4=14， 则5+14=19，即样本中还有一个学生的编号为19.16．【解析】【分析】【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目表示从三种组合中解析：23【解析】 【分析】 【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种，有且仅有两人选择的项目完全相同有21133218C C C ⨯⨯=种,其中23C 表示3个同学中选2个同学选择的项目，13C 表示从三种组合中选一个，12C 表示剩下的一个同学有2中选择,故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是182273=. 考点：古典概型及其概率计算公式．17．【解析】分析：首先绘制可行域结合点的坐标求得可行域的面积然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示由解得即A(32）且故作出直线2x-3y=0则2x- 解析：29【解析】分析：首先绘制可行域，结合点的坐标求得可行域的面积，然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果.详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示，由127x y x y -=⎧⎨+=⎩解得32x y =⎧⎨=⎩，即A (3,2）.且()70,,0,12B C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故172713224ABC S ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭V . 作出直线2x -3y =0.则2x -3y ≥0所以表示区域为△OAC ， 即不等式2x -3y ≥0所表示的区领为△OAC ，面积为131322AOC S =⨯⨯=V ， 所以满足230x y -≥的概率是为3222794AOCABCS p S V V ===.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.18．③④【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式即可判断；③利用线性相关指数的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断详解：对于①类比推理是合情推理的重要形式则不解析：③④ 【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式，即可判断；③利用线性相关指数r 的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断. 详解：对于①，类比推理是合情推理的重要形式，则不属于演绎推理，故①错误；对于②，根据回归方程为ˆ23yx =-，可得当变量每增加1个单位，y 平均减少3个单位，故②错误；对于③，在回归分析中，r 具有以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱，故③正确；对于④，根据复数的乘法运算律，对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅，故④正确.故答案为③④.点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，考查相关关系及复数的运算，是一个考查的知识点比较多的题目，解题本题的关键是理解概念及掌握运算公式，如在回归分析中，r 具有的性质，复数遵循的运算律等．19．-11或3或17【解析】分析：设出未知数根据这组数的平均数中位数众数依次成等差数列列出关系式因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同所以要讨论x 的三种不同情况详解：由题得这组数据的平均数为众数是解析：-11或3或17 【解析】分析：设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同，所以要讨论x 的三种不同情况．详解：由题得这组数据的平均数为10252422577x x +++++++=，众数是2，若x ≤2，则中位数为2，此时x=﹣11，若2＜x ＜4，则中位数为x ，此时2x=2527x++，x=3， 若x ≥4，则中位数为4，2×4=2527x++，x=17， 所有可能值为﹣11，3，17. 故填 -11或3或17.点睛：本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．在求数列的中位数时，必须分类讨论,不能不分类讨论.20．3【解析】由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：解得：点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归直线方程必过样本点中心(3)在分析两个变量的相关关系时可根据样本数据解析：3 【解析】由题意可得：0135635x ++++== ，回归方程过样本中心点，则：=3354y ⨯-= ，即：()123 3.89.245m m ++-++= ，解得：3m = .点睛：(1)正确理解计算$,a b$的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．三、解答题21．（1）120960；（2）211. 【解析】 【分析】（1）分布计算出语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场和其余7门学科的安排方法，根据分步乘法计数原理计算可得结果；（2）分别计算出所有安排方法和数学、化学在同一天考的安排方法的种数，根据古典概型概率公式计算可得结果. 【详解】（1）语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场，共有4424A =种排法； 其余7门学科共有775040A =种排法，∴“考试日程安排表”共有504024120960⨯=种不同的安排方法.（2）各科考试顺序不受限制时，共有1111A 种安排方法；数学和化学在同一天考共有：2912929339A A C A A +种安排方法，∴数学、化学在同一天考的概率291292933911112362111011A A C A A P A ++⨯===⨯. 【点睛】本题考查排列组合计数问题、古典概型概率问题的求解，涉及到分类加法和分步乘法计数原理的应用，考查学生的分析和解决问题的能力. 22．(1) 1()4P A =;(2)见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望试题解析：（1）令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有P （A ）＝111235310C C C C ＝14. （2）X 的可能取值为0,1,2，且P （X ＝0）＝38310C C ＝715，P （X ＝1）＝1228310C C C ＝715， P （X ＝2）＝2128310C C C ＝115综上知，X 的分布列为：故E （X ）＝0×15＋1×15＋2×15＝5（个） 考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式 23．（1）200n =，0.0025a =，0.0125b =（2）27.25（立方米）（3）35【解析】 【分析】（1）观察图和表，用水量在[)20,30内的频数是50，频率是0.025100.25⨯=，由此可求得样本容量n ，再由相应的频率求出,a b ； （2）用每组中点值代表这组的估计值计算均值．（3）可把五个家庭编号用列举法写出任取3个各种情况，同时得用水量最多的家庭被选中的情况，计数后可得概率． 【详解】解：（1）用水量在[)20,30内的频数是50，频率是0.025100.25⨯=， 则502000.25==n ， 用水量在[)0,10内的频率是250.125200=，则0.1250.012510==b ， 用水量在[)50,60内的频率是50.025200=，则0.0250.002510a ==； （2）估计全市家庭年均用水量为50.125150.19250.25350.23450.18550.02527.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）设,,,,A B C D E 代表年用水量从多到少的5个家庭， 从中任选3个，总的基本事件为,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ，共10个，其中包含A 的有,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，共6个，所以63105P ==，即年用水量最多的家庭被选中的概率是35.【点睛】本题考查频率分布直方图和频率分布表，考查古典概型，属于基础题． 24．(1)65，66； (2)0.286； (3) 甲网站更受欢迎 【解析】 【分析】（1）根据茎叶图，得到甲乙两网站的最大点击量和最小点击量，即可求解极差； （2）由茎叶图可知，在[10,40]中，有20,24,25,38，共4个数据，即可求解相应的概率；（3）由茎叶图，可知甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，即可作出判定． 【详解】（1）由茎叶图可知，甲网站最大点击量为73，最小的点击量为8，所以甲网站的点击量的极差为73–8=65， 乙网站最大点击量为71，最小的点击量为5，所以乙网站的点击量的极差为71–5=66． （2）由茎叶图可知，在[10,40]中，有20,24,25,38，共4个数据， 所以甲网站在[10,40]内的概率为40.28614P =≈． （3）由茎叶图，可知甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，可判定甲网站更受欢迎． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及茎叶图的应用，其中解答正确根据茎叶图读取相应的数据，及注意茎叶图的数据分布特点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．25．（1） 1.2 1.4z t =-$（2）$1.22412y x =-（3）12千亿元【解析】 【分析】 （1）求出t 、z 、15i i i t z =∑、521ii t=∑后代入公式即可得解；（2）由题意可得$()5 1.22013 1.4y x -=--，化简即可得解； （3）把2020x =代入线性回归方程即可得解. 【详解】 （1）由题意()11234535t =++++=，()101235 2.25z =++++=， 则51102132435545i ii t z==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，521149162555ii t==++++=∑，∴55122154553 2.2ˆ 1.25559i i i i i t z t zbt nt==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ 2.2 1.23 1.4a z bt=-=-⨯=-， ∴ 1.2 1.4zt =-$. （2）由令2013,t x =-5=-z y ，结合（1）中结论可得$()5 1.22013 1.4y x -=--即$1.22412y x =-（3）由题意，当2020x =时，$1.22020241212y =⨯-=，所以可预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达12千亿元. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于中档题. 26．（1）见解析；（2）29(,]8. 【解析】试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将角用表示,换元法求函数的值域即可.试题解析：(Ⅰ)由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，∴sin cos B A =， 即sin sin()2B A π=+，又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈， 故2B A π=+，即2B A π-=；(Ⅱ)由（1）知，()C A B π=-+(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+，∵04A π<<，∴20sin 2A <<，因此221992(sin )2488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是29]8． 考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用.。
2019年高中必修三数学上期中第一次模拟试卷(附答案)(1)
2019年高中必修三数学上期中第一次模拟试卷(附答案)(1)一、选择题1．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数x （天） 3 4 56 繁殖个数y （千个）2.5344.5由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9 B ．5.25 C ．5.95D ．6.153．在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．144．从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ） A ．2m nB ．2mnC ．4m nD ．16m n5．如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x ＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N ＝3，则输出的i ＝A ．9B ．8C ．7D ．66．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )A ．“甲站排头”与“乙站排头”B ．“甲站排头”与“乙不站排尾”C ．“甲站排头”与“乙站排尾”D ．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 7．已知0,0,2,a b a b >>+=则14y a b=+的最小值是 ( ) A ．72B ．4C ．92D ．58．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A ．()()1212,p p E E ξξ><B ．()()1212,p p E E ξξC ．()()1212,p p E E ξξ>>D ．()()1212,p pE E ξξ<<9．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第一营区，从201到500住在第二营区，从501到600住在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）． A ．16，26，8 B ．17，24，9C ．16，25，9D ．17，25，810．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元）8.28.6 10.0 11.3 11.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元11．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A ．23B ．13C ．1 2D ．5612．运行如图所示的程序框图，若输出S 的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．4?k <B ．5?k <C ．6?k <D ．7?k <二、填空题13．若x 是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，y 也是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，则221x y +<的概率为__________．14．如图所示，正六边形ABCDEF 中，线段AD 与线段BE 交于点G ，圆O 1，O 2分别是△ABG 与△DEG 的内切圆，圆O 3，O 4分别是四边形BCDG 与四边形AGEF 的内切圆，则往六边形ABCDEF 中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．15．以下四个命题错误的序号为_______(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=.(3) 若样本1210,,x x x L 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++L 的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.16．根据下图所示的流程图，回答下面问题：若a ＝50.6，b ＝0.65，c ＝log0.65，则输出的数是________．17．下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，则x y +的值为__________．18．为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[)85,95，由此得到频率分布直方图如下图，则这些学生的平均分为__________.19．如图，古铜钱外圆内方，外圆直径为6cm ，中间是边长为2cm 的正方形孔,随机地在古铜钱所在圆内任取一点，则该点刚好位于孔中的概率是__________;20．如图程序框图的输出结果是_________.三、解答题21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位:千元）与月储蓄i y （单位:千元）的数据资料，计算得10180i i x ==∑，101120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720ii x==∑.（1）求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程y bx a =+$$$，并判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.（注:线性回归方程y bx a =+$$$中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑$，其中x ，y 为样本平均值.）22．我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准.为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样抽查，获得了n 个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表及图所示.分组 频数 频率 [)0,10 25[)10,200.19[)20,3050[)30,40 0.23 [)40,500.18[)50,605（1）分别求出n ，,a b 的值；（2）若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭年均用水量；（3）从样本中年用水量在[]50,60（单位：立方米）的5个家庭中任选3个，作进一步的跟踪研究，求年用水量最多的家庭被选中的概率（5个家庭的年用水量都不相等）. 23．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长该地一建设银行统计连续五年的储蓄存款（年底余额）得到下表： 年份x2014 2015 2016 2017 2018 储蓄存款y （千亿元）567810为便于计算，工作人员将上表的数据进行了处理（令2013,t x =-5=-z y ），得到下表：（1）求z 关于t 的线性回归方程；（2）通过（1）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；（3）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nx yb xnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-. 24．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．（I ）求线性回归方程；（参考数据：411120i ii x y==∑，421440i i x ==∑）（II ）根据（I ）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅． 25．某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m 、13、n ，己知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m n >.（1）求m 与n 的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．26．某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据制成频率分布直方图（如图），若上学路上所需时间的范围为[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100.（1）求直方图中a 的值；（2）如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，若招收学生1200人，请估计所招学生中有多少人可以申请住宿； （3）求该校学生上学路上所需的平均时间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式． 2．B解析：B 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为97(,)22，代入回归直线方程，求得ˆ0.35a =，得到回归直线的方程为ˆ0.70.35yx =+，即可作出预测，得到答案． 【详解】由题意，根据表格中的数据，可得34569 2.534 4.57,4242x y ++++++====， 即样本中心为97(,)22，代入回归直线方程ˆˆ0.7yx a =+，即79ˆ0.722a=⨯+， 解得ˆ0.35a=，即回归直线的方程为ˆ0.70.35y x =+，当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =. 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.4．B解析：B 【解析】 【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可. 【详解】 如下图：由题意，从区间[]0,2随机抽取的2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于4对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为2124ππ⋅=，所以由几何概型可知42π=m n ，所以2π=m n. 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.5．B解析：B 【解析】模拟执行程序，当3,1n i == ，n 是奇数，得10,2n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，5,3n i == ，不满足条件1n =，满足条件n 是奇数，16,4n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，8,5n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，4,6n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，2,7n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，1,8n i ==，满足条件1n =，输出8i =，选B.点睛：本题主要考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多或有规律时，常常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．6．A解析：A 【解析】 【分析】根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断． 【详解】根据互斥事件不能同时发生，判断A 是互斥事件；B 、C 、D 中两事件能同时发生，故不是互斥事件； 故选A ． 【点睛】本题考查了互斥事件的定义．是基础题．7．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合均值不等式的结论即可求得14y a b=+的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】 由题意可得：14y a b =+()11414522b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭152⎛≥⨯+ ⎝92=， 当且仅当24,33a b ==时等号成立. 即14y a b =+的最小值是92.故选：C. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．8．A解析：A 【解析】()11222m n m np m n m n m n +=+⨯=+++， ()()()()()()()()2112111313m m n n mn p m n m n m n m n m n m n --=+⨯+⨯++-++-++-()()2233231m m mn n n m n m n -++-=++-，()()()()()()()()2222123212332233223161m n m n m m mn n nm n m m mn n n p p m n m n m n m n m n ++---++-+-++--=-=+++-++-()()()51061mn n n m n m n +-=>++-，故12p p >，()()()112201222nm n m n E m n m n m n ξ++⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪+++⎝⎭，()()()()()()()()22212133201131331n n mn m m mn n n E m n m n m n m n m n m n ξ⎛⎫⎛⎫--++-=⨯⨯+⨯+⨯ ⎪⎪ ⎪ ⎪++-++-++-⎝⎭⎝⎭()()2233231m m mn n n m n m n -++-=++-，由上面比较可知()()12E E ξξ>，故选A考点：独立事件的概率,数学期望.9．D解析：D 【解析】 【分析】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，从而求出三个营区被抽中的人数. 【详解】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，记为{},n a n N +∈，其中13a =，公差12d =，则第n 个号()11129n a a n d n =+-=-.令200n a ≤，即5129200,1712n n -≤∴≤，所以第一营区抽17人；令500n a ≤，即5129500,4212n n -≤∴≤，所以第二营区抽421725-=人； 三个营区共抽50人，所以第三营区抽5017258--=人. 故选： D . 【点睛】本题考查系统抽样，属于基础题.10．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．11．A解析：A 【解析】 【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A 和事件B 发生的概率，又通过列举可得事件A 和事件B 为互斥事件，进而得出事件A 或事件B 至少有一个发生的概率即为事件A 和事件B 的概率之和． 【详解】事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”， ∴P (A )2163==，P (B )2163==， 又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6， 所以事件A 和事件B 为互斥事件，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为 P （A ∪B ）＝P (A )+P (B )112333=+=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．12．C解析：C 【解析】 【分析】最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体时要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体． 【详解】0S =，1k =；110121S -=+⨯=，2k =；211225S -=+⨯=， 3k =；3153217S -=+⨯=，4k =；41174249S -=+⨯=， 5k =；514952129S -=+⨯=，6k =，此时输出S ，即判断框内可填入的条件是“6?k <”. 故选：C ． 【点睛】本题考查循环结构程序框图. 解决程序框图填充问题的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、执行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 二、填空题13．【解析】分析：不等式组表示的是正方形区域面积为满足的平面区域为阴影部分的面积利用几何概型概率公式可得结果详解：根据题意画出图形如图所示则不等式组表示的是正方形区域面积为其中满足的平面区域为阴影部分的 解析：36p 【解析】分析：不等式组0303x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的是正方形区域，面积为339⨯=，满足221x y +<的平面区域为阴影部分的面积21144ππ⋅=，利用几何概型概率公式可得结果.详解：根据题意，画出图形，如图所示，则不等式组0303x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的是正方形区域，面积为339⨯=，其中满足221x y +<的平面区域为阴影部分的面积21144ππ⋅=，故所求的概率为4936P ππ==，故答案为36p . 点睛：对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．14．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相 解析：133108π【解析】 【分析】不妨设2AB =，小圆与正三角形相切，小圆的半径为3363AB =，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，圆半径为1332AB =率公式可得结果. 【详解】依题意，不妨设2AB =， 小圆与正三角形相切，小圆的半径为3363AB =， 大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高， 可得大圆半径为1332AB =由几何概型概率公式可得该点落在图中阴影区域内的概率为：2222108Pππ⨯⨯+⨯⨯==，故答案为108.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 15．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关解析：（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x0，y0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案．对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；对于(2), 设直线222233|9xl y k x y x y=+=-'=-∴'=-Q：（）．，，又∵直线与曲线均过点22-（，），于是直线22y k x（）+=-与曲线33y x x=-相切于切点22-（，）时，9k=-．若直线与曲线切于点0002x y x≠（，）（），则320000000002232122y yk y x x x xx x++==-∴=-----Q，，，又200|33k y x x x='==-Q，2220000021332240x x x x x∴---=-∴--=，，200021330x x k x≠∴=-∴=-=Q，，，故直线l的方程为9160x y+-=或2y=-．故(2)错；对于(3)，若样本1210,,x x xL的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x+++L的平均数是25111,⨯+=，方差是22312⨯=.故(3)正确；对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误.故选（1）（2）（4）点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..16．6【解析】因为所以输出 解析：6 【解析】因为a b c >>，所以输出50.6.a =17．9【解析】阅读茎叶图由甲组数据的中位数为可得乙组的平均数：解得：则:点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)叶的位置只有一个数字而茎的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录不能遗漏特别解析：9 【解析】阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为14 可得4x = ，乙组的平均数：824151810165y+++++= ，解得：5y = ，则:459x y +=+= .点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．18．64【解析】结合频率分布直方图可得平均分为：即这些学生的平均分为64分点睛：利用频率分布直方图求众数中位数和平均数时应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形解析：64 【解析】结合频率分布直方图可得，平均分为：()()()()()500.02010600.04010700.02510800.01010900.0051064⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，即这些学生的平均分为64分.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19．【解析】古铜钱外圆内方外圆直径为面积为中间是边长为的正方形孔面积为根据几何概型概率公式可得随机地在古铜钱所在圆内任取一点则该点刚好位于孔中的概率为故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属解析：49π 【解析】古铜钱外圆内方，外圆直径为6cm ，面积为29cm π，中间是边长为2cm 的正方形孔，面积为24cm ，根据几何概型概率公式可得，随机地在古铜钱所在圆内任取一点，则该点刚好位于孔中的概率为49π，故答案为49π. 【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.20．【解析】执行程序框图第一次循环；第二次循环；第三次循环；第十五次循环；退出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆 解析：15S =【解析】执行程序框图，第一次循环，1S = ；第二次循环，2S = ；第三次循环，3S = ；... 第十五次循环，15S = ；退出循环，输出15S =，故答案为15.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.三、解答题21．（1）$0.30.4y x =-，正相关（2）1.7千元 【解析】 【分析】（1）利用公式求出ˆb，ˆa ，即可得出所求回归方程，再根据变量y 的值随x 的值增加而增加，可判断正相关还是负相关；（2）当7x =时带入，即可预测该家庭的月储蓄． 【详解】解：（1）由题意知10n =，111801208,21010n n i i i i x x y y n n ========∑∑， 222172010880nxx i i l x nx ==-=-⨯=∑，1184108224n xy i i i l x y nxy ==-=-⨯⨯=∑，由此得24ˆ0.380xy l blxx ===， 所以ˆˆ20.380.4ay bx =-=-⨯=-， 故所求回归方程为0.30.4y x =-．由于变量y 的值随x 的值增加而增加(0.30)b =>，故x 与y 之间是正相关． （2）将7x =代入回归方程0.30.4y x =-． 可得：0.370.4 1.7y =⨯-=（千元）可以预测该家庭的月储蓄为0.370.4 1.7y =⨯-=（千元） 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，以及最小二乘法和变量间的相关关系，还考查计算能力． 22．（1）200n =，0.0025a =，0.0125b =（2）27.25（立方米）（3）35【解析】 【分析】（1）观察图和表，用水量在[)20,30内的频数是50，频率是0.025100.25⨯=，由此可求得样本容量n ，再由相应的频率求出,a b ； （2）用每组中点值代表这组的估计值计算均值．（3）可把五个家庭编号用列举法写出任取3个各种情况，同时得用水量最多的家庭被选中的情况，计数后可得概率． 【详解】解：（1）用水量在[)20,30内的频数是50，频率是0.025100.25⨯=， 则502000.25==n ， 用水量在[)0,10内的频率是250.125200=，则0.1250.012510==b ， 用水量在[)50,60内的频率是50.025200=，则0.0250.002510a ==； （2）估计全市家庭年均用水量为50.125150.19250.25350.23450.18550.02527.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）设,,,,A B C D E 代表年用水量从多到少的5个家庭， 从中任选3个，总的基本事件为,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ，共10个，其中包含A 的有,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，共6个，所以63105P ==，即年用水量最多的家庭被选中的概率是35.【点睛】本题考查频率分布直方图和频率分布表，考查古典概型，属于基础题．23．（1） 1.2 1.4z t =-$（2）$1.22412y x =-（3）12千亿元【解析】 【分析】 （1）求出t 、z 、15i i i t z =∑、521ii t=∑后代入公式即可得解；（2）由题意可得$()5 1.22013 1.4y x -=--，化简即可得解； （3）把2020x =代入线性回归方程即可得解. 【详解】 （1）由题意()11234535t =++++=，()101235 2.25z =++++=， 则51102132435545i ii t z==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，521149162555ii t==++++=∑，∴55122154553 2.2ˆ 1.25559i i i i i t z t zbt nt==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ 2.2 1.23 1.4a z bt=-=-⨯=-， ∴ 1.2 1.4zt =-$. （2）由令2013,t x =-5=-z y ，结合（1）中结论可得$()5 1.22013 1.4y x -=--即$1.22412y x =-（3）由题意，当2020x =时，$1.22020241212y =⨯-=， 所以可预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达12千亿元. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于中档题.24．(1)250y x =-+. (2) 30度. 【解析】分析：()I 求出,x y 的均值，再由公式，计算出系数的值，即可求出线性回归方程；()II 10x =代入线性回归方程，计算出y 得值，即为当气温为10℃时的用电量．详解：()44211103011204402i i i i i I x y x y x b ======∴=-∑∑，，，，把()1030，代入回归方程得30210a =-⨯+，解得50a =． ∴回归方程为250y x =-+；()II 当10x =时，30y =，估计当气温为10℃时的用电量为30度．点睛：本题主要考查了线性回归分析的实际应用问题，其中根据最小二乘法求解回归系数是解答的关键和计算的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 25．（1）11,24m n == ； （2）16.【解析】 【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m 、13、n ，已知三个社团都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m n >，利用相关公式建立方程组，即可求得m 与n 的值； （2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果. 【详解】（1）依题()()1132413111134mn m n m n⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为i X ， 获得本选修课学分分数不低于4分为事件A ， 则()4121123412P X =⨯⨯=；()5111123424P X =⨯⨯=；()6111123424P X =⨯⨯=. 故()11111224246P A =++=. 【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键. 26．（1）0.0135a =（2）276人（3）32.8 【解析】 【分析】（1）由直方图中频率和（小矩形面积和）为1可求得a ；（2）求出上学路上所需时间不少于40分钟的学生的频率，然后乘以1200可得； （3）用各小矩形中点估算为这一组的均值，然后乘以频率，并相加可得． 【详解】解：（1）由200.025200.0055200.0032201a ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， 解得0.0135a =.（2）Q 上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，招收学生1200人，∴估计所招学生中有可以申请住宿人数为：()+⨯⨯⨯=.0.00550.0032201200276（3）该校学生上学路上所需的平均时间为：⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 100.013520300.02520500.005520700.00320900.0032032.8【点睛】本题考查频率分布直方图，考查数学期望，解题关键是掌握频率分布直方图的性质：直方图中所有频率之和为1，即各小矩形面积和为1.。
2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |lnx ≤0}，B ＝{x |x ≤0}，A ∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，1]C ．[1，+∞）D ．∅2．已知复数z ＝1﹣2i ，则1z 的虚部是（ ）A ．−23iB ．−23C ．25iD ．253．白居易的《别毡帐火炉》写道：“赖有青毡帐，风前自张设．”古代北方游牧民族以毡帐为居室．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4m ，圆柱的高为3m ，底面圆的直径为6m ，则该毡帐的侧面积（单位m 2）是（ ）A ．39πB ．32πC ．33πD ．45π4．已知S n 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{a n }的前n 项和，设甲：数列{S n }是递增数列，乙：对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．已知抛物线C ：y 2＝4x （y ＞0）的焦点为F ，点A 为抛物线上一点，|AF |＝5，若2FB →=BA →，则点B 的纵坐标是（ ） A ．43B ．83C ．163D ．3236．今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ） A ．18B ．24C ．32D ．647．函数f(x)=Asin(ωx −π3)+b （A ＞0，ω＞0，b ∈R ）的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g （x ）的图象，g （x ）与f （x ）的图象关于y 轴对称，则ω可能的取值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数f （x ）的定义域为R +，对于任意的x ，y ∈R +，都有f （x ）+f （y ）＝f （xy ）+1，当x ＞1时，都有f （x ）＞1，且f （2）＝2，当x ∈[1，16]时，则f （x ）的最大值是（ ） A ．5B ．6C ．8D ．12二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分） 9．已知平面向量a →=(1，0)，b →=(2，2)，下列叙述正确的是（ ） A ．a →与b →的夹角为45° B ．a →与b →的夹角为135° C ．|a →−b →|=√5D ．b →在a →上的投影向量为2a →10．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2，满足f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则（ ） A ．实数t 的取值范围是﹣4＜t ＜0B ．f （x ）关于点（1，﹣2）中心对称C ．f(0)+f(12)+f(1)+f(32)+f(2)=−8 D ．x 1+x 2+x 3的值与t 有关11．四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，且PA =PD =AD =2√3，AB ＝4，Q 为线段PB 上一动点（不包含端点），则（ ） A ．存在点Q 使得CQ ∥平面P AD B ．存在点Q 使得CQ ⊥BDC ．四棱锥P ﹣ABCD 外接球的表面积为32πD ．Q 为PB 中点时，过点C ，D ，Q 作截面交P A 于点E ，则四棱锥B ﹣CDEQ 的体积为3√312．人教A 版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上动点P 到左焦点F （﹣c ，0）的距离和动点P 到直线x =−a 2c 的距离之比是常数c a ．已知椭圆C ：x 24+y 23=1，F 为左焦点，直线l ：x ＝﹣4与x 相交于点M ，过F 的直线与椭圆C相交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），分别过点A ，B 向l 作垂线，垂足为A 1，B 1，则（ ） A ．|AA 1|＝2|AF |B ．|MA |•|BF |＝|MB |•|AF |C ．直线MA 与椭圆相切时，|AB |＝4D ．sin ∠AFM ＝2tan ∠AMF三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上） 13．(3x −1x)4展开式中常数项为 ．（用数字作答）14．已知圆M ：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝4，过点P （5，0）的直线l 与圆M 相交于A ，B 两点，当△ABM 面积最大时，直线l的斜率为．（写出一个即可）15．已知e ax﹣e2x≥0在x＞0时恒成立，则实数a的最小值为．（注：e为自然对数的底数）16．已知数列{a n}的首项为1，且a n+a n+1=n2⋅cos nπ2（n∈N*），则a40的值是．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c•cos B＝2a+b．（1）求角C的大小；（2）若b＝1，c=√7，∠ACB的角平分线交AB于D，求CD的值．18．（12分）某商场举办为期一周的店庆购物优惠活动，不仅购物有优惠，还有抽奖活动．（1）已知该商场前5天店庆活动当天成交额如表所示：求成交额y（万元）与时间变量x的线性回归方程，并预测活动第6天的成交额（万元）；（2）小明分别获得A、B两店的抽奖机会各一次，且抽奖成功的概率分别为p、q，两次抽奖结果互不影响．记小明中奖的次数为ξ．求ξ的分布列及E（ξ）；附：对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），⋯，（x n，y n），其回归直线y=a+b x的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=∑(x i−x)ni=1(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．19．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，EF∥平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于AC，EF＝AC ＝EC＝2．（1）求证：DE∥平面ABF；（2）若平面ABCD⊥平面ACEF，∠ACE＝60°，且四棱锥E﹣ABCD的体积是2√3，求直线ED与平面BCE所成角的正弦值．20．（12分）已知数列{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，S n是{a n}的前n项和，n∈N*．（1）若a3＝14，且S6＞S3＞S9，求公差d的取值范围；（2）若a 1＝2d ，数列{a b n }的首项为a 1，满足a b n+1=2a b n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 21．（12分）已知双曲线E ：y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）过点Q （3，2），且离心率为2，F 2，F 1为双曲线E 的上、下焦点，双曲线E 在点Q 处的切线l 与圆F 2：x 2+(y −c)2=10（c =√a 2+b 2）交于A ，B 两点．（1）求△F 1AB 的面积；（2）点P 为圆F 2上一动点，过P 能作双曲线E 的两条切线，设切点分别为M ，N ，记直线MF 1和NF 1的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值． 22．（12分）已知函数f （x ）＝alnx +x ，a ∈R ． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若存在x ∈[e ，e 2]，使f(x)≤(ax +12)lnx 成立，求实数a 的取值范围．注：e 为自然对数的底数．2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |lnx ≤0}，B ＝{x |x ≤0}，A ∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，1]C ．[1，+∞）D ．∅解：A ＝{x |lnx ≤0}，lnx ≤ln 1，∴0＜x ≤1，A ＝（0，1]，B ＝{x |x ≤0}＝（﹣∞，0]，∴A ∩B ＝∅． 故选：D ．2．已知复数z ＝1﹣2i ，则1z的虚部是（ ）A ．−23iB ．−23C ．25iD ．25解：z ＝1﹣2i ，则1z =11−2i =1+2i (1−2i)(1+2i)=15+25i ，其虚部为25．故选：D ．3．白居易的《别毡帐火炉》写道：“赖有青毡帐，风前自张设．”古代北方游牧民族以毡帐为居室．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4m ，圆柱的高为3m ，底面圆的直径为6m ，则该毡帐的侧面积（单位m 2）是（ ）A ．39πB ．32πC ．33πD ．45π解：由于圆锥的高为4m ，圆柱的高为3m ，底面圆的直径为6m ，则圆锥的母线长为√32+42=5， 故圆锥的侧面积为π•3•5＝15π； 圆柱的侧面积为2π•3•3＝18π； 故毡帐的侧面积为15π+18π＝33π． 故选：C ．4．已知S n 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{a n }的前n 项和，设甲：数列{S n }是递增数列，乙：对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解：若数列{S n }是递增数列，则d ＞0，但是对任意n ∈N *，S n ＞0不成立，所以由甲推不出乙， 若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列，所以由乙可以推出甲， 所以甲是乙的必要不充分条件． 故选：B ．5．已知抛物线C ：y 2＝4x （y ＞0）的焦点为F ，点A 为抛物线上一点，|AF |＝5，若2FB →=BA →，则点B 的纵坐标是（ ） A ．43B ．83C ．163D ．323解：由抛物线C ：y 2＝4x ，可得F （1，0），准线方程为x ＝﹣1，因为|AF |＝5，所以|AF |＝x A +1＝5，所以x A ＝4，所以y A ＝4或y A ＝﹣4（舍去）， 设B （x 1，y 2），由2FB →=BA →，所以2（x 1﹣1，y 2）＝（4﹣x 1，4﹣y 2）， 所以2y 2＝4﹣y 2，解得y 2=43．故选：A ．6．今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ） A ．18B ．24C ．32D ．64解：在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有n =C 31A 32=18种．故选：A ．7．函数f(x)=Asin(ωx −π3)+b （A ＞0，ω＞0，b ∈R ）的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g （x ）的图象，g （x ）与f （x ）的图象关于y 轴对称，则ω可能的取值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：∵函数f(x)=Asin(ωx −π3)+b （A ＞0，ω＞0，b ∈R ），将函数f （x ）的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g （x ）＝A sin （ωx +ωπ3−π3）+b 的图象，∵g （x ）与f （x ）的图象关于y 轴对称，∴f （x ）＝g （﹣x ）， ∴A sin （ωx −π3）+b ＝A sin （﹣ωx +ωπ3−π3）+b ，∴（ωx −π3）+（﹣ωx +ωπ3−π3）＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k +2，k ∈Z ，则令k ＝1，可得ω的值为5． 故选：C ．8．已知函数f （x ）的定义域为R +，对于任意的x ，y ∈R +，都有f （x ）+f （y ）＝f （xy ）+1，当x ＞1时，都有f （x ）＞1，且f （2）＝2，当x ∈[1，16]时，则f （x ）的最大值是（ ） A ．5B ．6C ．8D ．12解：∵对于任意的x ，y ∈R +，都有f （x ）+f （y ）＝f （xy ）+1，又f （2）＝2， ∴f （2）+f （2）＝f （2×2）+1，∴f （4）＝2f （2）﹣1＝3， 又f （4）+f （4）＝f （4×4）+1，∴f （16）＝2f （4）﹣1＝5， ∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）+f （x 2x 1）＝f （x 2）+1，∴f （x 2）﹣f （x 1）＝f （x 2x 1）﹣1，又当x ＞1时，都有f （x ）＞1∵x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，∴x 2x 1＞1，∴f （x 2x 1）＞1，∴f （x 2x 1）﹣1＞0，即f （x 2）﹣f （x 1）＞0，∴f （x 2）＞f （x 1），∴f （x ）在（0，+∞）单调递增，∴f （x ）在[1，16]也单调递增， ∴当x ∈[1，16]时，则f （x ）的最大值是f （16）＝5． 故选：A ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分） 9．已知平面向量a →=(1，0)，b →=(2，2)，下列叙述正确的是（ ） A ．a →与b →的夹角为45° B ．a →与b →的夹角为135° C ．|a →−b →|=√5D ．b →在a →上的投影向量为2a →解：已知平面向量a →=(1，0)，b →=(2，2)，则|a →|=1，|b →|=2√2，a →⋅b →=1×2+0×2=2，则cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=21×2√2=√22， 又＜a →，b →＞∈[0°，180°]，则＜a →，b →＞=45°，即选项A 正确，选项B 错误；又|a →−b →|=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√1−4+8=√5，即选项C 正确； b →在a →方向上的投影向量为a →⋅b →|a →|a→|a →|=2a →，即选项D 正确．故选：ACD ．10．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2，满足f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则（ ） A ．实数t 的取值范围是﹣4＜t ＜0B ．f （x ）关于点（1，﹣2）中心对称C ．f(0)+f(12)+f(1)+f(32)+f(2)=−8 D ．x 1+x 2+x 3的值与t 有关解：因为f （x ）＝x 3﹣3x 2，x ∈R ，f ′（x ）＝3x 2﹣6x ＝3x （x ﹣2）， 所以当x ＜0或x ＞2时，f ′（x ）＞0；当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，所以函数f （x ）的单调递减区间为（0，2），单调增区间为（﹣∞，0），（2，+∞）， 作出函数y ＝f （x ）的图象，如图所示：所以f （x ）极大值＝f （0）＝0，f （x ）极小值＝f （2）＝﹣4，又因为f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，所以﹣4＜t ＜0，故A 正确； 因为f （x ）+f （2﹣x ）＝x 3﹣3x 2+（2﹣x ）3﹣3（2﹣x ）2 ＝x 3+（2﹣x ）3﹣3[x 2+（2﹣x ）2]＝2[x 2﹣x （2﹣x ）+（2﹣x ）2]﹣3（2x 2﹣4x +4） ＝2（3x 2﹣6x +4）﹣3（2x 2﹣4x +4） ＝﹣4，所以f （x ）关于点（1，﹣2）中心对称，故B 正确； 由B 可知f （0）+f （2）＝﹣4，f （12）+f （32）＝﹣4，又f （1）＝1﹣3＝﹣2，所以f （0）+f （12）+f （1）+f （32）+f （2）＝﹣4﹣4﹣2＝﹣10，故C 错误；对于D ，设x 1＜x 2＜x 3，因为f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，即x 3﹣3x 2＝t ，x 3﹣3x 2﹣t ＝0有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3， 等价于（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x ﹣x 3）＝0，即x 3﹣（x 1+x 2+x 3）x 2+（x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3）x ﹣x 1x 2x 3＝0，所以x 1+x 2+x 3＝3，x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3＝0，x 1x 2x 3＝t ，所以x 1+x 2+x 3＝3，与t 无关，故D 错误． 故选：AB ．11．四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，且PA =PD =AD =2√3，AB ＝4，Q 为线段PB 上一动点（不包含端点），则（ ） A ．存在点Q 使得CQ ∥平面P AD B ．存在点Q 使得CQ ⊥BDC ．四棱锥P ﹣ABCD 外接球的表面积为32πD ．Q 为PB 中点时，过点C ，D ，Q 作截面交P A 于点E ，则四棱锥B ﹣CDEQ 的体积为3√3 解：取AD 中点O ，连接OP ，因为P A ＝PD ，所以OP ⊥AD ，又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， OP ⊂面P AD ，所以OP ⊥平面ABCD ， 过O 作Oy ∥AB ，所以以O 为坐标原点，分别以OA 、Oy 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，因为PA =PD =AD =2√3，AB ＝4，则A(√3，0，0)，B(√3，4，0)，C(−√3，4，0)，D(−√3，0，0)，P （0，0，3）， 所以BD →=(−2√3，−4，0)，PB →=(√3，4，−3)，设PQ →=λPB →（0＜λ＜1），则Q(√3λ，4λ，3−3λ)（0＜λ＜1）， 所以CQ →=(√3λ+√3，4λ﹣4，3﹣3λ），对于A 项，又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ， AB ⊂面ABCD ，所以AB ⊥平面P AD ，所以平面P AD 的一个法向量为n →=（0，1，0），假设CQ ∥平面P AD ， 则CQ →⋅n →=4λ−4=0．解得λ＝1，又因为0＜λ＜1， 所以不存在点Q 使得CQ ∥平面P AD ，故A 项错误；对于B 项，假设存在点Q 使得CQ ⊥BD ，则CQ →⋅BD →=−2√3(√3λ+√3)+(−4)×(4λ−4)=0，解得λ=511，所以存在点Q使得CQ⊥BD，故B项正确；对于C项，连接AC、BD相交于点O1，取等边三角形P AD的外心O2，过O1作O1M∥PO，过O2作O2M∥OO1，连接OO1，如图所示，则O1M⊥平面ABCD，O2M⊥平面P AD，所以M为四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心，又O1M=OO2=13PO=1，O1A=12AC=12√AB2+AD2=12√42+(2√3)2=√7，所以r=MA=√O1M2+O1A2=2√2，所以四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为4πr2=4×(2√2)2π=32π，故C项正确；对于D项，连接EQ、ED、EB，如图所示，因为平面CDQ∩P A＝E，P A⊂平面P AB，所以点E在平面CDQ与平面P AB的交线处，又Q∈平面CDQ且Q∈平面P AB，所以点Q在平面CDQ与平面P AB的交线处，所以平面CDQ∩平面P AB＝EQ，因为CD∥AB，CD⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，所以CD∥平面P AB，又因为CD⊂平面CDQ，平面CDQ∩平面P AB＝EQ，所以CD∥EQ，又CD∥AB，所以AB∥EQ，又因为Q为PB中点，所以E为P A的中点，EQ=12CD．又因为AB∥EQ，AB⊄平面CDEQ，EQ⊂平面CDEQ，所以AB∥平面CDEQ，所以点B到平面CDEQ距离等于点A到平面CDEQ距离，所以V B﹣CDEQ＝3V B﹣DEQ＝3V A﹣DEQ＝3V Q﹣ADE=32V B﹣ADE=34V B﹣P AD=34×13S△P AD×AB=34×13×12P A×AD×sinπ3=34×13×12×2√3×2√3×√32×4＝3√3，故D项正确．故选：BCD．12．人教A版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆x2 a2+y2b2=1（a＞b＞0）上动点P到左焦点F（﹣c，0）的距离和动点P到直线x=−a2c的距离之比是常数ca．已知椭圆C：x24+y23=1，F为左焦点，直线l：x＝﹣4与x相交于点M，过F的直线与椭圆C相交于A，B两点（点A在x轴上方），分别过点A，B向l作垂线，垂足为A1，B1，则（）A ．|AA 1|＝2|AF |B ．|MA |•|BF |＝|MB |•|AF |C ．直线MA 与椭圆相切时，|AB |＝4D ．sin ∠AFM ＝2tan ∠AMF解：对于选项A ：易知|AF||AA 1|=ca =12， 所以|AA 1|＝2|AF |，故选项A 正确；对于选项B ：过点A 作AA 2⊥x 轴，过点B 作BB 2⊥x 轴，此时△AA 2F ∽△BB 2F ，所以|AA 1||BB 1|=|AF||BF|=|AA 2||BB 2|=|A 1M||B 1M|，因为AA 1⊥A 1M ，BB 1⊥A 1M ，所以△AA 1M ～△BB 1M ，则|AM||BM|=|AA 1||BB 1|=2|AF|2|BF|=|AF||BF|，即|MA |•|BF |＝|MB |•|AF |，故选项B 正确；对于选项C 项：若直线MA 与椭圆相切时，不妨设MA 的方程为y ＝k （x +4）， 联立{y =k(x +4)x 24+y 23=1，消去y 并整理（3+4k 2）x 2+32k 2x +64k 2﹣12＝0，此时Δ＝（32k 2）2﹣4（3+4k 2）（64k 2﹣12）＝4k 2﹣1＝0，解得k 2=14，所以4x 2+8x +4＝0，解得x ＝﹣1，所以|AB |为通径，则|AB|=2b2a=3，故选项C 错误；对于选项D ：因为sin ∠AFM =sin ∠AFA 2=AA 2AF ，tan ∠AMF =AA 2MA 2， 不妨设sin ∠AFM ＝2tan ∠AMF ，此时AA 2AF=2AA 2MA 2，即MA 2＝2AF ，又|AA 1|＝2|AF |，|AA 1|＝|MA 2|，所以MA 2＝2AF ，故选项D 正确． 故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上） 13．(3x −1x)4展开式中常数项为 54 ．（用数字作答）解：根据二项式的展开式T r+1=C 4r ⋅(3x)4−r ⋅(−x)−r =C 4r⋅34−r ⋅(−1)r ⋅x 4−2r （r ＝0，1，.....，4）r ∈N ； 当4﹣2r ＝0时，解得r ＝2；故常数项为C 42⋅32=54．故答案为：54．14．已知圆M ：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝4，过点P （5，0）的直线l 与圆M 相交于A ，B 两点，当△ABM 面积最大时，直线l 的斜率为 （﹣2+√3）x ﹣y +10﹣5√3=0（不唯一） ．（写出一个即可） 解：设其方程是kx ﹣y ﹣5k ＝0，由圆M ：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝4，可得圆心M （3，2），半径r ＝2， 由S △ABM =12|BM |•|AM |•sin ∠AMB ，知sin ∠AMB ＝1时，△ABM 面积最大，此时∠AMB ＝90°，圆心M 到直线的距离为√2， 所以√k 2+1=√2，解得k ＝﹣2±√3，故直线l 的方程是：（﹣2+√3）x ﹣y +10﹣5√3=0或（﹣2−√3）x ﹣y +10+5√3=0． 故答案为：（﹣2+√3）x ﹣y +10﹣5√3=0（不唯一）．15．已知e ax ﹣e 2x ≥0在x ＞0时恒成立，则实数a 的最小值为 e ．（注：e 为自然对数的底数） 解：∵e ax ﹣e 2x ≥0在x ＞0时恒成立⇔e ax ≥e 2x 在x ＞0时恒成立 ⇔ax ≥2+lnx 在x ＞0时恒成立⇔a ≥2+lnxx在x ＞0时恒成立， 令f(x)=2+lnx x ，则f ′(x)=−1−lnx x 2＞0⇒0＜x ＜1e ，f （x ）在(0，1e )上是增函数，在(1e ，+∞)上是减函数，∴a ≥f(1e)=e ，∴实数a 的最小值为e ． 故答案为：e ．16．已知数列{a n }的首项为1，且a n +a n+1=n 2⋅cos nπ2（n ∈N *），则a 40的值是 759 ． 解：依题意，由a n +a n+1=n 2⋅cosnπ2， 可得a n +1+a n +2＝（n +1）2•cos (n+1)π2，两式相减，可得a n +2﹣a n ＝（n +1）2•cos (n+1)π2−n 2•cos nπ2，当n ＝1时，a 1+a 2＝12•cos π2=0，∵a 1＝1，∴a 2＝﹣1，当n 为偶数时，n +1为奇数，cos (n+1)π2=0，此时a n +2﹣a n ＝（n +1）2•cos (n+1)π2−n 2•cos nπ2=−n 2•cos nπ2，此时a 2＝﹣1，a 4﹣a 2＝﹣22•cos 2π2=22，a 6﹣a 4＝﹣42•cos 4π2=−42，a 8﹣a 6＝﹣62•cos 6π2=62，a 10﹣a 8＝﹣82•cos 8π2=−82，…a 38﹣a 36＝﹣362•cos 36π2=−362，a 40﹣a 38＝﹣382•cos 38π2=382，各项相加，可得a 40＝﹣1+22﹣42+62﹣82+…+342﹣362+382，＝﹣1﹣2×（2+4）﹣2×（6+8）﹣…﹣2×（34+36）+382， ＝﹣1﹣2×（2+4+…+36）+382， ＝﹣1﹣2×(2+36)×182+382， ＝759． 故答案为：759．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2c •cos B ＝2a +b ．（1）求角C 的大小；（2）若b ＝1，c =√7，∠ACB 的角平分线交AB 于D ，求CD 的值． 解：（1）根据题意，若2c •cos B ＝2a +b ， 则有：2c ×a 2+c 2−b 22ac=2a +b ，整理得：a 2+b 2﹣c 2＝﹣ab ，可得：cos C =a 2+b 2−c 22ab =−ab 2ab =−12，又在△ABC 中，0°＜C ＜180°， 所以C ＝120°；（2）因为C＝120°，b＝1，c=√7，∠ACB的角平分线交AB于D，所以由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得7＝a2+1﹣2×a×1×（−12），可得a2+a﹣6＝0，解得a＝2或﹣3（舍去），因为S△ABC＝S△ACD+S△BCD，所以12ab sin120°=12b•CD•sin60°+12a•CD•sin60°，所以2×1＝1×CD+2×CD，解得CD=2 3．18．（12分）某商场举办为期一周的店庆购物优惠活动，不仅购物有优惠，还有抽奖活动．（1）已知该商场前5天店庆活动当天成交额如表所示：求成交额y（万元）与时间变量x的线性回归方程，并预测活动第6天的成交额（万元）；（2）小明分别获得A、B两店的抽奖机会各一次，且抽奖成功的概率分别为p、q，两次抽奖结果互不影响．记小明中奖的次数为ξ．求ξ的分布列及E（ξ）；附：对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），⋯，（x n，y n），其回归直线y=a+b x的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=∑(x i−x)ni=1(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．（1）易知x=1+2+3+4+55=3，y=9+12+17+21+275=17.2，而∑5i=1x i y i=1×9+2×12+3×17+4×21+5×27=303，∑5i=1x i2=12+22+32+42+52=55，可得b=∑5i=1x i y i−5xy∑5i=1x i2−5x2=303−5×3×17.255−5×32=4.5，则a=y−b x=17.2−4.5×3=3.7，所以y关于x的线性回归方程为y=4.5x+3.7，当x＝6时，y=4.5×6+3.7＝30.7（万元），所以预测活动第6天的成交额为30.7万元；（2）易知ξ的所有可能取值为0，1，2，此时P（ξ＝0）＝（1﹣p）（1﹣q），P（ξ＝1）＝（1﹣p）q+（1﹣q）p，P（ξ＝2）＝pq，则ξ的分布列为：故E（ξ）＝0×（1﹣p）（1﹣q）+1×（1﹣p）q+（1﹣q）p+2×pq＝p+q．19．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，EF∥平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于AC，EF＝AC ＝EC＝2．（1）求证：DE∥平面ABF；（2）若平面ABCD⊥平面ACEF，∠ACE＝60°，且四棱锥E﹣ABCD的体积是2√3，求直线ED与平面BCE所成角的正弦值．（1）证明：因为EF∥平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于AC，所以EF∥AC，又EF＝AC，所以四边形ACEF是平行四边形，所以CE∥AF，AF⊂平面ABF，CE⊄平面ABF，所以CE∥平面ABF；因为四边形ABCD为菱形，所以CD∥AB，AB⊂平面ABF，CD⊄平面ABF，所以CD∥平面ABF；CD∩CE＝C，CD，CE⊂平面CDE，所以平面CDE∥平面ABF，而DE⊂平面CDE，所以DE∥平面ABF．（2）解：连接BD交AC于O，连接CO，因为AC＝EC＝2，∠ACE＝60°，所以四边形ACEF是菱形，且EO⊥AC，EO=√3，因为平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，所以EO⊥平面ABCD，因为四棱锥E﹣ABCD的体积是2√3，所以13S ABCD OE＝2√3，所以S ABCD＝6=12AC⋅BD，所以BD＝6，所以BE＝DE=√3+9=2√3，设AB＝a，则由余弦定理得：{a 2+a2−2a2cos∠ABD=4a2+a2+2a2cos∠ABD=36，得a=√10，在△BCE中，由余弦定理得：cos∠EBC=BE2+BC2−CE22BE⋅BC=12+10−4430=3√3020，sin∠EBC=√1−2740=√13020，所以S△BCE=12BE⋅BC sin∠EBC=12×2√3×√10×√13020=√392，因为V E﹣BCD＝V D﹣BCE，所以点D到平面BCE的距离为3V E−BCDS△BCE=√3√392=6√1313，所以直线ED与平面BCE所成角的正弦值为6√13132√3=√3913．20．（12分）已知数列{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，S n是{a n}的前n项和，n∈N*．（1）若a3＝14，且S6＞S3＞S9，求公差d的取值范围；（2）若a1＝2d，数列{a bn }的首项为a1，满足a bn+1=2a bn，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由题意，可得首项a1＝a3﹣2d＝14﹣2d，则S6＝6•（14﹣2d）+6×52•d＝3d+84，S 3＝3•（14﹣2d ）+3×22•d ＝42﹣3d ， S 9＝9•（14﹣2d ）+9×82•d ＝18d +126， ∵S 6＞S 3＞S 9，∴3d +84＞42﹣3d ＞18d +126， 即{3d +84＞42−3d 42−3d ＞18d +126，解得﹣7＜d ＜﹣4，∴公差d 的取值范围为（﹣7，﹣4）．（2）由题意，可得a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2d +（n ﹣1）d ＝（n +1）d ， 则a b n =（b n +1）d ，a b n+1=（b n +1+1）d ， ∵a b n+1=2a b n ，∴（b n +1+1）d ＝2（b n +1）d ， ∵d ≠0，∴b n +1+1＝2（b n +1）， ∵数列{a b n }的首项为a 1，即a b 1=a 1， ∴b 1＝1， ∴b 1+1＝1+1＝2，∴数列{b n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴b n +1＝2•2n ﹣1＝2n ，∴b n ＝2n ﹣1，n ∈N *， ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n＝（21﹣1）+（22﹣1）+…+（2n ﹣1） ＝（21+22+…+2n ）﹣n =21−2n+11−2−n＝2n +1﹣n ﹣2．21．（12分）已知双曲线E ：y 2a 2−x 2b2=1（a ＞0，b ＞0）过点Q （3，2），且离心率为2，F 2，F 1为双曲线E 的上、下焦点，双曲线E 在点Q 处的切线l 与圆F 2：x 2+(y −c)2=10（c =√a 2+b 2）交于A ，B 两点．（1）求△F 1AB 的面积；（2）点P 为圆F 2上一动点，过P 能作双曲线E 的两条切线，设切点分别为M ，N ，记直线MF 1和NF 1的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值． 解：（1）因为双曲线E 经过点Q （3，2）， 所以4a 2−9b 2=1，①因为双曲线E 的离心率为2， 所以ca=2，②又c 2＝a 2+b 2，③联立①②③，解得a ＝1，b =√3， 则双曲线E 的方程为y 2−x 23=1， 不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 此时过点Q 的切线l 的方程为2y ﹣x ＝1， 因为直线l 交y 轴于点H(0，12)，联立{2y −x =1x 2+(y −2)2=10，消去y 并整理得5x 2﹣6x ﹣31＝0， 此时Δ＝656＞0，由韦达定理得x 1+x 2=65，x 1x 2=−315，所以S △F 1AB =12|F 1H|⋅|x 1−x 2|=12(12+2)•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12(12+2)•4√415=√41；（2）证明：不妨设P （x 0，y 0），M （x 3，y 3），N （x 4，y 4）， 因为点P 在圆F 2上，所以x 02+(y 0−2)2=10，过点M ，N 的双曲线E 的切线方程分别为{y 3y −x 3x3=1y 4y −x 4x3=1因为两切线均过点P （x 0，y 0）， 所以{y 3y 0−x 3x 03=1y 4y 0−x 4x03=1， 则直线MN 的方程为y 0y −x 0x3=1，联立{y0y−x0x3=1y2−x23=1，消去y并整理得(x02−3y02)x3+6x0x+(9−9y02)=0，由韦达定理得x3+x4=−6x0x02−3y02，x3⋅x4=9−9y02x02−3y02，所以(y3+2)(y4+2)=(x03y0x3+1y0+2)(x03y0x4+1y0+2)=x029y02x3x4+x03y0⋅1+2y0y0(x3+x4)+(1+2y0y0)2=3(x02−4y02−4y0−1)x02−3y02，因为x02+(y0−2)2=10，所以x02=10−(y0−2)2，此时x02−4y02−4y0−1=5−5y02，则k1k2=y3+2x3⋅y4+2x4=3(5−5y2)x02−3y02⋅x02−3y029(1−y02)=53．22．（12分）已知函数f（x）＝alnx+x，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x∈[e，e2]，使f(x)≤(ax+12)lnx成立，求实数a的取值范围．注：e为自然对数的底数．解：（1）f（x）＝alnx+x（x＞0），f′（x）=ax+1=a+xx，当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，由f′（x）＜0，解得x＜﹣a，所以x∈（0，﹣a），此时f（x）单调递减；由f′（x）＞0，解得x＞﹣a，此时f（x）单调递增；综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增；（2）∵f(x)≤(ax+12)lnx，∴alnx+x≤(ax+12)lnx，x∈[e，e2]，∴xlnx−ax+a≤12，设g(x)=xlnx−ax+a，∴g′(x)=lnx−1ln2x−a=−(1lnx−12)2+14−a，当a≤0，g'（x）≥0，g（x）在[e，e2]上单调递增，∴g(x)min=g(e)=e −ae +a ≤12，即a ≥e−12e−1，不符合题意； 当0＜a ＜14时，则存在唯一的x 0∈[e ，e 2]，使得g '（x 0）＝0，当x ∈[e ，x 0]，使得g '（x 0）＜0，此时g （x ）单调递减， 当x ∈[x 0，e 2]，使得g '（x 0）＞0，此时g （x ）单调递增， ∴g(x)min =g(x 0)=x 0lnx 0−ax 0+a ≤12， ∴a ≥1x 0−1(x 0lnx 0−12)＞1x 0−1(x 0lne 2−12)=1x 0−1(x 02−12)=12，这与0＜a ＜14相矛盾； 当a ≥14时，g '（x ）≤0，此时g （x ）在[e ，e 2]上单调递减，∴g(x)min =g(e 2)=e 22−ae 2+a ≤12，解得a ≥12，符合题意， 综上，实数a 的取值范围是[12，+∞）．。
2020-2021高中必修三数学上期中试卷(附答案)(1)
2020-2021高中必修三数学上期中试卷(附答案)(1)一、选择题1．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生2．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联3．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数x （天） 3 4 56 繁殖个数y （千个）2.5344.5由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9 B ．5.25 C ．5.95 D ．6.154．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．5．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A．0B．2C．4D．146．在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（）A．115B．112C．111D．147．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为( )A．1B．0C．1D．38．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( )A．15B．24125C．48125D．961259．从区间[]0,1随机抽取2n个数1x,2x，…，n x，1y，2y，…，n y，构成n个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn10．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第一营区，从201到500住在第二营区，从501到600住在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）． A ．16，26，8B ．17，24，9C ．16，25，9D ．17，25，811．某次测试成绩满分是为150分，设n 名学生的得分分别为()12,,,1n i a a a a N i n ∈≤≤L ，()1150k b k ≤≤为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩，则（ ） A ．12150b b b M n ++=LB ．12150150b b b M ++=LC ．12150b b b M n++>LD ．12150150b b b M ++>L12．已知平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，直线2y mx m =+和曲线24y x =-有两个不的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ．若01m ≤≤，则()P M 的取值范围为（ ）A ．202,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B ．202,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C ．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D ．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦二、填空题13．判断大小，，，，则、、、大小关系为_____________.14．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________． 15．如图，四边形ABCD 为矩形，3AB =，1BC =，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧»DE，在DAB ∠内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.16．如图所示，正六边形ABCDEF 中，线段AD 与线段BE 交于点G ，圆O 1，O 2分别是△ABG 与△DEG 的内切圆，圆O 3，O 4分别是四边形BCDG 与四边形AGEF 的内切圆，则往六边形ABCDEF 中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．17．已知多项式32256f x x x x =--+（），用秦九韶算法，当10x =时多项式的值为__________．18．某班全体学生参加英语成绩的频率分布直方图如图，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是__________．19．已知函数log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为______________；20．某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车出发，并且发出前在车站停靠３分钟，则乘客到站候车时间大于10分钟的概率为________．（结果用分数表示）三、解答题21．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表： 年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y 关于t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－．22．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：，，，≈2.646.参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：23．某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121ni iiniit t y ybt t∧==--=-∑∑，ˆˆa y bt=-24．某市实施二手房新政一年多以来，为了了解新政对居民的影响，房屋管理部门调查了2018年6月至2019年6月期间购买二手房情况，首先随机抽取了其中的400名购房者，并对其购房面积m（单位：平方米，60130m≤≤）讲行了一次统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年6月至2019年6月期间当月在售二手房的均价y（单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1－13分别对应2018年6月至2019年6月）（1）试估计该市市民的平均购房面积m（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）从该市2018年6月至2019年6月期间所有购买二手房的市民中任取3人，用频率估计概率，记这3人购房面积不低于100平方米的人数为X，求X的分布列与数学期望；（3）根据散点图选择ˆˆˆy a x=+ˆˆˆlny c d x=+两个模型讲行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为ˆ0.93690.0285y x=+ˆ0.95540.0306lny x=+，并得到一些统计量的值，如表所示：ˆ0.93690.0285y x=+ˆ0.95540.0306lny x=+()()1ni iix x y y=--∑0.0054590.005886()()2211nni i i i x x y y ==--∑∑ 0.006050请利用相关系数判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测2019年8月份的二手房购房均价（精确到0.001）.参考数据：ln 20.69≈，ln3 1.10≈，ln15 2.71≈，3 1.73≈，15 3.87≈，17 4.12≈参考公式：()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑25．已知关于x 的一元二次函数2()4 1.f x ax bx =-+（1）若,a b 分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率；（2）设点(,)a b 是区域28000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率.26．2017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会简称党的“十九大”在北京召开一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在内，按成绩分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习．求这100人的平均得分同一组数据用该区间的中点值作代表； 求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.2．C解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式． 3．B解析：B 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为97(,)22，代入回归直线方程，求得ˆ0.35a =，得到回归直线的方程为ˆ0.70.35yx =+，即可作出预测，得到答案． 【详解】由题意，根据表格中的数据，可得34569 2.534 4.57,4242x y ++++++====， 即样本中心为97(,)22，代入回归直线方程ˆˆ0.7yx a =+，即79ˆ0.722a=⨯+， 解得ˆ0.35a=，即回归直线的方程为ˆ0.70.35y x =+， 当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．5．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由a=14，b=18，a ＜b ， 则b 变为18﹣14=4， 由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10， 由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6， 由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2， 由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2． 故选B ．6．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =. 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.7．B解析：B 【解析】经过第一次循环得到32s i ==，，不满足4i ＞， 执行第二次循环得到43s i ==，， 不满足4i ＞，， 执行第三次循环得到s=1，i=4，不满足4i ＞，， 经过第四次循环得到05s i ==，， 满足判断框的条件 执行“是”输出0S =．故选B ． 8．C解析：C 【解析】五所学生自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：213554C C A 种，则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率：2135545485125C C A p == 本题选择C 选项.9．C解析：C 【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ． 10．D解析：D【解析】 【分析】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，从而求出三个营区被抽中的人数. 【详解】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，记为{},n a n N +∈，其中13a =，公差12d =，则第n 个号()11129n a a n d n =+-=-.令200n a ≤，即5129200,1712n n -≤∴≤，所以第一营区抽17人； 令500n a ≤，即5129500,4212n n -≤∴≤，所以第二营区抽421725-=人； 三个营区共抽50人，所以第三营区抽5017258--=人. 故选： D . 【点睛】本题考查系统抽样，属于基础题.11．A解析：A 【解析】 【分析】由于选项中必有一项正确，故本选择题利用特殊法解决．设2n =，这2名学生的得分分别为150，150．则这2名学生中得分至少为(1150)k k 剟分的人数分别为：2，2，⋯，2，2．一共有150个“2”，计算12150b b b n++⋯+的值，再对照选项即可得到答案．【详解】 利用特殊法解决．假设2n =，这2名学生的得分分别为150，150． 则这2名学生中得分至少为1分的人数分别为：12b =， 这2名学生中得分至少为2分的人数分别为：22b =， 这2名学生中得分至少为3分的人数分别为：32b =，⋯这2名学生中得分至少为150分的人数分别为：1502b =， 即这2名学生中得分至少为(1150)k k 剟分的人数k b 分别为： 2，2，⋯，2，2．一共有150个“2”，从而得k 分的同学会被记k 次，所有k b 的和恰好是所有人得分的总和， 即12112k k b b b b a a -++⋯++=+，从而121502222215015022b b b n ++⋯++++⋯+⨯===．12150222221502150150150b b b ++⋯++++⋯+⨯===．对照选项，只有（A ）正确． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查众数、中位数、平均数、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查特殊化思想思想、化归与转化思想．属于基础题．12．D解析：D 【解析】 【分析】判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，即可求解相应概率的范围，得到答案． 【详解】由题意知，平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示，又由直线2y mx m =+过半圆24y x =-上一点(2,0)-，当0m =时直线与x 轴重合，此时()1P M =，故可排除,A B ， 若1m =，如图所示，可求得2()2P M ππ-=， 所以()P M 的取值范围为212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦．【点睛】本题主要考查了集合概型的应用，其中解答中判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，求解相应概率的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题13．a<c<b<d 【解析】【分析】利用中间值01来比较得出a<00<b<10<c<1d>1再利用中间值12得出bc 的大小关系从而得出abcd 的大小关系【详解】由对数函数的单调性得a=log305<log解析：.【解析】 【分析】利用中间值、来比较，得出，，，，再利用中间值得出、的大小关系，从而得出、、、的大小关系． 【详解】由对数函数的单调性得，，即，，即，，即．又，即， 因此，，故答案为．【点睛】本题考查对数值的大小比较，对数值大小比较常用的方法如下： （1）底数相同真数不同，可以利用同底数的对数函数的单调性来比较；（2）真数相同底数不同，可以利用对数函数的图象来比较或者利用换底公式结合不等式的性质来比较；（3）底数不同真数也不同，可以利用中间值法来比较．14．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：解析：15【解析】若以线段AP 为边的正方形的面积介于225cm 与249cm 之间， 则线段AP 的长介于5cm 与7cm 之间， 满足条件的P 点对应的线段长为2cm ， 而线段AB 的总长度为10cm ，故正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率21105P ==． 故答案为：15. 15．【解析】【分析】连接可求得满足条件的事件是直线AP 与线段BC 有公共点根据几何概型的概率公式可得【详解】连接如图所示所以满足条件的事件是直线AP 在∠CAB 内且AP 与BC 相交即直线AP 与线段BC 有公共点解析：13【解析】 【分析】连接AC ，可求得CAB ∠，满足条件的事件是直线AP 与线段BC 有公共点，根据几何概型的概率公式可得CABP DAB∠=∠. 【详解】连接AC ，如图所示，3tan 3CB CAB AB ∠==，所以π6CAB ∠=， 满足条件的事件是直线AP 在∠CAB 内且AP 与BC 相交，即直线AP 与线段BC 有公共点，所以所求事件的概率π16π32CAB P DAB ∠===∠. 故答案为：13.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.16．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相 133π【解析】 【分析】不妨设2AB =33AB =，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，圆半径为133222AB ⨯=，由几何概型概率公式可得结果. 【详解】依题意，不妨设2AB =， 33AB =，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，可得大圆半径为12AB =由几何概型概率公式可得该点落在图中阴影区域内的概率为：2222P ππ⨯⨯+⨯⨯==. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.17．【解析】分析：由题意首先整理所给的多项式然后利用秦九韶算法求解多项式的值即可详解：由题意可得：当时故答案为点睛：本题主要考查秦九韶算法及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：756【解析】分析：由题意首先整理所给的多项式，然后利用秦九韶算法求解多项式的值即可. 详解：由题意可得：()()322256256f x x x x x x x =--+=--+()256x x x ⎡⎤=--+⎣⎦，当10x =时，()()10102105106756f =-⨯-⨯+=⎡⎤⎣⎦. 故答案为 756．点睛：本题主要考查秦九韶算法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【解析】由图可知低于分的频率为故该班人数为故答案为 解析：50【解析】由图可知，低于60分的频率为(0.0050.01)200.3+⨯=，故该班人数为15500.3=，故答案为50．19．【解析】为单独递增函数所以点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性除注意各段的单调性外还要注意 解析：45a ≤<【解析】()()12120f x f x x x ->-⇒ log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）为单独递增函数，所以15045log (32)3(5)3aa a a a >⎧⎪->⇒≤<⎨⎪-≥--⎩ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围20．【解析】由题意知这是一个几何概型因为公共汽车每隔15分钟有一辆车出发所以基本事件总数包括的时间长度为15由于出发前要停靠3分钟所以乘客到站候车时间大于10分钟的事件包括的时间长度为则乘客到站候车时间 解析：215【解析】由题意知，这是一个几何概型，因为公共汽车每隔15分钟有一辆车出发，所以基本事件总数包括的时间长度为15，由于出发前要停靠3分钟，所以乘客到站候车时间大于10分钟的事件包括的时间长度为15132-= ，则乘客到站候车时间大于10分钟的概率为215P =。
2020年桂林市高中必修三数学上期中试卷附答案
2020年桂林市高中必修三数学上期中试卷附答案一、选择题1．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．8πC．12D．4π2．一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都乘以()0a a>得到一组新数据，则下列说法正确的是（）A．这组新数据的平均数为m B．这组新数据的平均数为a m+C．这组新数据的方差为an D．这组新数据的标准差为n3．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（）A．25B．1225C．1625D．454．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献，哥德巴赫猜想是：“任一大于2的偶数都可以写成两个质数之和”，如32=13+19．在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为（）A．111B．211C．355D．4555．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A ．100，20B ．200，20C ．100，10D ．200，106．某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是 A ．14，9.5B ．9，9C ．9，10D ．14，97．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是( )A ．336B ．510C ．1326D ．36038．运行该程序框图，若输出的x 的值为16，则判断框中不可能填（ ）A ．5k ≥B ．4k >C ．9k ≥D ．7k >9．已知不等式501x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“01x <”的概率为（ ）．A ．14B ．13C ．12 D ．2310．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v＝(m ，n)，q v＝(3,6)．则向量p u v与q v共线的概率为( ) A ．13B ．14C ．16D ．11211．在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，则该45名学生的数学成绩的中位数为（ ）A ．127B ．128C ．128.5D ．12912．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元二、填空题13．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b =，三内角A ，B ，C 成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于______________；14．执行如下图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出S 的值为__________．15．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市的个数分别为4、12、8．若用分层抽样的方法抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市数为_________．16．已知变量,x y 取值如表：x0 1 4 5 6 8y 1.3 1.85.66.17.4 9.3若y 与x 之间是线性相关关系，且ˆ0.95yx a =+，则实数a =__________． 17．执行如图所示的程序框图，若输入的A ，S 分别为0,1，则输出的S =____________．18．某学生每次投篮的命中概率都为40%．现采用随机模拟的方法求事件的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值随机数，制定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以每3个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生如下20组随机数：989 537 113 730 488 556 027 393 257 431 683 569 458 812 932 271 925 191 966 907，据此统计，该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为__________．19．如图，古铜钱外圆内方，外圆直径为6cm ，中间是边长为2cm 的正方形孔,随机地在古铜钱所在圆内任取一点，则该点刚好位于孔中的概率是__________;20．已知方程0.85 2.1ˆ87yx =-是根据女大学生的身高预报其体重的回归方程， ˆ,x y 的单位是cm 和kg ，则针对某个体()160,53的残差是__________．三、解答题21．如图是某地区2012年至2018年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图.注：年份代码17~分别表示对应年份20122018~.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数r （0.75r >线性相关较强）加以说明；（2）建立y 与t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年该区生活垃圾无害化处理量. （参考数据）719.32ii y==∑，()()712.89i i i t ty y =--≈∑()7210.55i i y y =-≈∑，()7212 2.646i i t t =-≈⨯∑，()72128i i t t=-≈∑，2.890.992 2.6460.55≈⨯⨯，2.890.10328≈.（参考公式）相关系数()()()()12211niii nni i i i t t y y r t t y y ===--=--∑∑∑，在回归方程$$y bta =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑$，a y bt =-$$.22．从2013年开始，国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行学生体质健康测试，方案要求以学校为单位组织实施，某校对高一(1)班学生根据《国家学生体质健康标准》的测试项目按百分制进行了预备测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图.所示，已知[90，100]分数段的人数为2. (1)求[70，80)分数段的人数；(2)现根据预备测试成绩从成绩在80分以上(含80分)的学生中任意选出2人代表班级参加学校举行的一项体育比赛，求这2人的成绩一个在[80，90)分数段、一个在[90，100]分数段的概率．23．某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（1）试估计这款保险产品的收益率的平均值；（2）设每份保单的保费在20元的基础上每增加x 元，对应的销量为y （万份）．从历史销售记录中抽样得到如下5组x 与y 的对应数据：x 元25 30 38 45 52 销量为y （万份）7.57.16.05.64.8由上表，知x 与y 有较强的线性相关关系，且据此计算出的回归方程为10.0ˆybx =-．（ⅰ）求参数b 的值；（ⅱ）若把回归方程10.0ˆybx =-当作y 与x 的线性关系，用（1）中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率，试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润，并求出最大利润．注：保险产品的保费收入=每份保单的保费⨯销量．24．为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00～10：00各自的点击量，得到如图所示的茎叶图，根据茎叶图回答下列问题．(1)甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？ (2)甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？ (3)甲、乙两网站哪个更受欢迎？并说明理由．25．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[)1000,1500）.（1）求居民收入在[)3000,3500的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[)2500,3000的这段应抽取多少人？ 26．一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率； (Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .2．D解析：D 【解析】 【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为. 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.3．C解析：C 【解析】 【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率． 【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A ，收到张老师的信息为事件B ，A 、B 相互独立，42()()105P A P B ===， 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=．故选C ． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．4．C解析：C 【解析】 【分析】利用列举法求得基本事件的总数，再得出选取两个不同的数且和等于30，所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共有11个，其中随机选取两个不同的数且和等于30的有30=7+23=11+19=13+17，共有3组，所以所求概率为2113355C =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.5．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.6．A解析：A 【解析】2班共有8个数据，中间两个是9和10，因此中位数为9.5，只有A 符合，故选A ．（1班10个数据最大为22，最小为8，极差为14）．7．B解析：B 【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.8．D解析：D 【解析】运行该程序，第一次，1,k 2x ==, 第二次，2,k 3x ==， 第三次，4,k 4x ==， 第四次，16,k 5x ==， 第五次，4,k 6x ==， 第六次，16,k 7x ==，第七次，4,k 8x ==， 第八次，16,k 9x ==， 观察可知，若判断框中为5k ≥．，则第四次结束，输出x 的值为16，满足； 若判断框中为4k >．，则第四次结束，输出x 的值为16，满足； 若判断框中为9k ≥．，则第八次结束，输出x 的值为16，满足； 若判断框中为7k >．，则第七次结束，输出x 的值为4，不满足； 故选D.9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】分析：解分式不等式得集合P ，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果.详解：(5)(1)050101x x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩， ∴{}|15P x x =-<<，||111x x <⇒-<<，∴1(1)15(1)3P --==--．选B ．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．10．D解析：D 【解析】 【分析】由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r共线的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解。
【好题】高中必修三数学上期中试卷含答案(1)
【好题】高中必修三数学上期中试卷含答案(1)一、选择题1．一组数据如下表所示：x1 2 3 4y e3e 4e 6e已知变量y 关于x 的回归方程为+0.5ˆbx ye =，若5x =，则预测y 的值可能为( ) A ．5eB ．112eC ．132eD ．7e2．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m + C ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为a n4．从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ） A ．2mnB ．2mnC ．4m nD ．16m n5．如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A ．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长 6．甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下： 甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x 表示，方差分别为2212,S S 表示，则（ ）A ．221212,x x s s >> B ．221212,x x s s >< C ．221212,x x s s << D ．221212,x x s s <> 7．如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x ＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N ＝3，则输出的i ＝A ．9B ．8C ．7D ．68．用秦九韶算法求多项式()54227532f x x x x x x =+++++在2x =的值时，令05v a =，105v v x =+，…，542v v x =+，则3v 的值为（ ）A ．83B ．82C ．166D ．1679．运行该程序框图，若输出的x 的值为16，则判断框中不可能填（ ）A ．5k ≥B ．4k >C ．9k ≥D ．7k >10．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn11．若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（ ） A ．16 B ．112C ．536D ．51812．同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（ ） A ．78B ．58C ．38D ．18二、填空题13．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______． 14．执行如下图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出S 的值为__________．15．某校高一年级有600个学生，高二年级有550个学生，高三年级有650个学生，为调查学生的视力情况，用分层抽样的方法抽取一个样本，若在高二、高三共抽取了48个学生，则应在高一年级抽取学生______个 16．如图，四边形ABCD 为矩形，3AB =，1BC =，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧»DE，在DAB ∠内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.17．某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人，现采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，则这两人来自同一组的概率为__________．18．已知样本数据12345,,,,a a a a a 的方差222222123451(20)5s a a a a a =++++-，则样本数据1234521,21,21,21,21a a a a a +++++的平均数为__________．19．以下说法正确的是_____________ . ①类比推理属于演绎推理.②设有一个回归方程ˆ23yx =- ，当变量每增加1个单位，y 平均增加3个单位. ③样本相关系数r 满足以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱.④对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅.20．执行如图所示的程序框图，如果输出3s =，则正整数M 为__________．三、解答题21．某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的60名学生，得到数据如下表：喜欢统计课程 不喜欢统计课程 合计 男生 20 10 30 女生 10 20 30 合计303060（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选3人，求恰有2个男生和1个女生的概率． 下面的临界值表供参考：0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）22．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.23．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：，，，≈2.646.参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：24．艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒(HIV病毒)引起，它把人体免疫系统中最重要的CD4T淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能.下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：年份20112012201320142015201620172018年份代码x12345678感染者人数(y单位：万人)34.338.343.353.857.765.471.885()1请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图；()2请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y与x的关系；()3建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国艾滋病病毒感染人数．42 6.48≈；81449.6iiy==∑，812319.5i iix y==∑821()46.2iiy y=-=∑，参考公式：相关系数()12211()()()nin ni ii ix x y yrx x y y===--=--∑∑∑，回归方程y bx a=+$$$中，b$()121()()ni iiniix x y yx x==--=-∑∑，a y bx=-$$．25．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[)1000,1500）.（1）求居民收入在[)3000,3500的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[)2500,3000的这段应抽取多少人？ 26．某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量()1,2,,10i y i =L 的数据，得到散点图如图所示：（Ⅰ）利用散点图判断，y a bx =+和dy c x =⋅（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）对数据作出如下处理：令ln i u x =，ln i y υ=，得到相关统计量的值如下表：根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （Ⅲ）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中2.71828e =L ），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυL ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆnniii ii i nni i i i u u u nu u uu nuυυυυβ====---==--∑∑∑∑，ˆˆˆu αυβ=-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】令ln z y $=，求得,x z 之间的数据对照表，结合样本中心点的坐标满足回归直线方程，即可求得b ；再令5x =，即可求得预测值y . 【详解】将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =+，令ln z y $=，得到0.5z bx =+， 根据已知表格数据，得到,x z 的取值对照表如下：12342.54x +++==，1346 3.54z +++==， 利用回归直线过样本中心点，即可得3.5 2.50.5b =+， 求得 1.2b =，则 1.20.5z x =+， 进而得到$ 1.2+0.5x y e =，将5x =代入， 解得136.52y e e ==. 故选：C . 【点睛】本题考查利用样本中心点坐标满足回归直线方程求参数值，以及由回归方程进行预测值得求解，属中档题.2．B解析：B 【解析】 【分析】设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n n P C =-，由21P P …，得10.90.3n-…， 由此能求出n 的最小值． 【详解】Q 李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1， 现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究M ， 设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n nP C =-， 21P P Q …，10.90.3n∴-…， 解得4n ≥．n ∴的最小值是4．故选B ． 【点睛】本题考查实数的最小值的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．D解析：D 【解析】 【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为. 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.4．B解析：B 【解析】 【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可. 【详解】 如下图：由题意，从区间[]0,2随机抽取的2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于4对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为2124ππ⋅=，所以由几何概型可知42π=m n ，所以2π=m n. 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.5．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可. 【详解】对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低， 差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．B解析：B 【解析】 【分析】计算18x =，27.2x =，210.4s =，22 2.16s =得到答案.【详解】17888985x ++++==，26677107.25x ++++==，故12x x >.()()()()()222222178888888980.45s -+-+-+-+-==；()()()()()222222267.267.277.277.2107.2 2.165s -+-+-+-+-==，故2212s s <.故选：B. 【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.7．B解析：B 【解析】模拟执行程序，当3,1n i == ，n 是奇数，得10,2n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，5,3n i == ，不满足条件1n =，满足条件n 是奇数，16,4n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，8,5n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，4,6n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，2,7n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，1,8n i ==，满足条件1n =，输出8i =，选B.点睛：本题主要考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多或有规律时，常常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8．A解析：A 【解析】 【分析】利用秦九韶算法，求解即可. 【详解】利用秦九韶算法，把多项式改写为如下形式：()((((75)3)1)1)2f x x x x x =+++++按照从里到外的顺序，依次计算一次多项式当2x =时的值：07v =172519v =⨯+= 2192341v =⨯+= 3412183v =⨯+=故选：A 【点睛】本题主要考查了秦九韶算法的应用，属于中档题.9．D解析：D【解析】运行该程序，第一次，1,k2x==,第二次，2,k3x==，第三次，4,k4x==，第四次，16,k5x==，第五次，4,k6x==，第六次，16,k7x==，第七次，4,k8x==，第八次，16,k9x==，观察可知，若判断框中为5k≥．，则第四次结束，输出x的值为16，满足；若判断框中为4k>．，则第四次结束，输出x的值为16，满足；若判断框中为9k≥．，则第八次结束，输出x的值为16，满足；若判断框中为7k>．，则第七次结束，输出x的值为4，不满足；故选D.10．C解析：C【解析】此题为几何概型．数对(,)i ix y落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m Pn π==，所以4mnπ=．故选C．11．C 解析：C 【解析】由图表可知,点数和共有36种可能性,其中是6的共有5种,所以点数和是6的概率为536,故选C.点睛:本题考查古典概型的概率,属于中档题目.具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝．12．A解析：A【解析】【分析】先根据古典概型概率公式求没有正面向上的概率，再根据对立事件概率关系求结果.【详解】因为没有正面向上的概率为112228=⨯⨯，所以至少有1枚正面向上的概率是1-1788=，选A.【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.二、填空题13．【解析】数据4849525556的平均数为×（48+49+52+55+56）=52∴该组数据的方差为：s2=×（48–52）2+（49–52）2+（52–52）2+（55–52）2+（56–52）2解析：0.1【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为15x=×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：s2=15×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为0.1．14．15【解析】程序执行过程为：当i=1s=1i<6s=1当i=3i<6s=3当i=5i<6s=15当i=7i> 6退出s=15填15解析：15【解析】程序执行过程为：当i=1,s=1,i<6,s=1,当i=3,i<6,s=3,当i=5,i<6，s=15,当i=7，i>6，退出s=15.填15. 15．24【解析】【分析】设应在高一年级抽取学生数为n首先求出高一年级人数占总人数的百分比然后通过分层抽样的性质由此能求出应在高一年级抽取学生数【详解】设应在高一年级抽取学生数为n因为某校高一年级有600解析：24【解析】【分析】设应在高一年级抽取学生数为，首先求出高一年级人数占总人数的百分比，然后通过分层抽样的性质，由此能求出应在高一年级抽取学生数。
2019年高中必修三数学上期中试卷带答案
2019年高中必修三数学上期中试卷带答案一、选择题1．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m + C ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为a n2．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +3．如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A ．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长4．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ） A ．25B ．1225C ．1625D ．455．我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( ) A ．45,75,15B ．45,45,45C ．45,60,30D ．30,90,156．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( ) A ．“甲站排头”与“乙站排头” B ．“甲站排头”与“乙不站排尾” C ．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”7．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( ) ．A．12B．13C．23D．18．下面的算法语句运行后，输出的值是（）A．42B．43C．44D．459．为计算11111123499100S=-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A．1i i=+B．2i i=+C．3i i=+D．4i i=+10．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．其中正确命题的个数是( )A．1B．2C．3D．411．已知不等式51xx-<+的解集为P，若0x P∈，则“1x<”的概率为（）．A ．14B ．13C ．12D ．2312．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．710二、填空题13．判断大小，，，，则、、、大小关系为_____________.14．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得11x +≥成立的概率为______． 15．变量X 与Y 相对应的5组数据和变量U 与V 相对应的5组数据统计如表： X 10 11.3 11.8 12.5 13 U 10 11.3 11.8 12.5 13 Y12345V54321用b 1表示变量Y 与X 之间的回归系数，b 2表示变量V 与U 之间的回归系数，则b 1与b 2的大小关系是___．16．执行如图所示的程序框图,如果输入3n =，则输出的S 为 ________．17．已知01a ≤≤，11b -≤≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______．18．高二某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为__________．19．下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，则x y +的值为__________．20．某路公交车站早上在6:30,7:00,7:30准点发车，小明同学在6:50至7:30之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过8分钟的概率是__________．三、解答题21．中国神舟十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，引起全国轰动．开学后，某校高二年级班主任对该班进行了一次调查，发现全班60名同学中，对此事关注的占13，他们在本学期期末考试中的物理成绩如下面的频率分布直方图：（1）求“对此事关注”的同学的物理期末平均分（以各区间的中点代表该区间的均值）． （2）若物理成绩不低于80分的为优秀，请以是否优秀为分类变量， ①补充下面的22⨯列联表：物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合计对此事关注 对此事不关注 合计②是否有95%以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系？参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．（1）已知此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求()3679.5P Z <≤；（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. （ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； （ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.现市民甲要参加此次问卷调查，记X 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望．14.5≈，若()2,X Nμσ:，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9973P X μσμσ-<≤+=.23．某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的60名学生，得到数据如下表：（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选3人，求恰有2个男生和1个女生的概率． 下面的临界值表供参考：0.050.0250.0100.0050.001 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）24．为检验,A B两条生产线的优品率，现从两条生产线上各抽取6件产品进行检测评分，用茎叶图的形式记录，并规定高于90分为优品.前5件的评分记录如下，第6件暂不公布.（1）求所抽取的A生产线上的6个产品的总分小于B生产线上的第6个产品的总分的概率；（2）已知,A B生产线的第6件产品的评分分别为90,97.①从A生产线的6件产品里面随机抽取2件，设非优品的件数为η，求η的分布列和数学期望；②以所抽取的样本优品率来估计B生产线的优品率，从B生产线上随机抽取3件产品，记优品的件数为X，求X的数学期望.25．2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；(2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；(3)甲同学发现，其物理考试成绩y(分)与班级平均分x(分)具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.参考数据:72134840iix==∑，72150767iiy==∑，7141964i iix y==∑，71()()314i iix x y y=--=∑.参考公式：y bx a =+$$$，1122211()()()n niii ii i nni i i i x x y y x y n x yb x x x n x====---⋅⋅==--⋅∑∑∑∑$，$a y bx =-⋅$(计算$a b$，时精确到0.01). 26．某地统计局调查了10000名居民的月收入，并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图如图所示．（1）求居民月收入在[3000,3500）内的频率； （2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析，则应从月收入在[2500,3000)内的居民中抽取多少人？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为n ，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为n . 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.2．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．3．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可. 【详解】对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低， 差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．C解析：C 【解析】 【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率． 【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A ，收到张老师的信息为事件B ，A 、B 相互独立，42()()105P A P B ===， 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=．故选C ． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．5．C解析：C 【解析】因为共有学生2700，抽取135，所以抽样比为1352700，故各年级分别应抽取135900452700⨯=，1351200602700⨯=，135600302700⨯=，故选C. 6．A解析：A 【解析】 【分析】根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断． 【详解】根据互斥事件不能同时发生，判断A 是互斥事件；B 、C 、D 中两事件能同时发生，故不是互斥事件； 故选A ． 【点睛】本题考查了互斥事件的定义．是基础题．7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】解：甲，乙，丙三人中任选两名代表有233C =种选法，甲被选中的情况有两种，所以甲被选中的概率23223P C ==，故选C. 8．C解析：C 【解析】 【分析】根据算法语句可知，程序实现功能为求满足不等式22000i <的解中最大自然数，即可求解. 【详解】 由算法语句知，运行该程序实现求不等式22000i <的解中最大自然数的功能， 因为24520252000=>，24419362000=<，所以44i =， 故选：C 【点睛】本题主要考查算法语句，考查了对循环结构的理解，属于中档题.9．B解析：B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10．A解析：A 【解析】 【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案． 【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1. 【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】分析：解分式不等式得集合P ，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果.详解：(5)(1)050101x x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩，∴{}|15P x x =-<<，||111x x <⇒-<<，∴1(1)15(1)3P --==--．选B ．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．12．B解析：B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.二、填空题13．a<c<b<d 【解析】【分析】利用中间值01来比较得出a<00<b<10<c<1d>1再利用中间值12得出bc 的大小关系从而得出abcd 的大小关系【详解】由对数函数的单调性得a=log305<log解析：.【解析】 【分析】利用中间值、来比较，得出，，，，再利用中间值得出、的大小关系，从而得出、、、的大小关系． 【详解】由对数函数的单调性得，，即，，即，，即．又，即， 因此，，故答案为．【点睛】本题考查对数值的大小比较，对数值大小比较常用的方法如下： （1）底数相同真数不同，可以利用同底数的对数函数的单调性来比较；（2）真数相同底数不同，可以利用对数函数的图象来比较或者利用换底公式结合不等式的性质来比较；（3）底数不同真数也不同，可以利用中间值法来比较．14．【解析】【分析】求出不等式的解集计算长度运用几何概型即可求出概率【详解】或则在区间上随机取一个数x 使得成立的概率为故答案为【点睛】本题考查了几何概型中的长度型概率只需将题目中的含有绝对值不等式进行求 解析：23【解析】 【分析】求出不等式的解集，计算长度，运用几何概型即可求出概率 【详解】11x +≥Q 0x ∴≥或2x ≤-则在区间[]33-，上随机取一个数x ，使得11x +≥成立的概率为4263= 故答案为23【点睛】本题考查了几何概型中的长度型概率，只需将题目中的含有绝对值不等式进行求解，然后计算出长度，即可得到结果15．【解析】分析：根据回归系数几何意义得详解：因为Y 与X 之间正增长所以因为V 与U 之间负增长所以因此点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是解析：12b b >. 【解析】分析：根据回归系数几何意义得120b b >> 详解：因为Y 与X 之间正增长，所以10b > 因为V 与U 之间负增长，所以20b < 因此120b b >>，点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求$,a b$，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .b $的正负，决定正相关与负相关.16．【解析】【分析】根据框图可知该程序实现了对数列求和的功能输入时求【详解】根据框图可知执行该程序实现了对数列求和当时故填【点睛】本题主要考查了程序框图裂项相消法求和属于中档题解析：37【解析】 【分析】根据框图可知，该程序实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和的功能，输入3n =时，求3S .【详解】根据框图可知，执行该程序，实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和，当3n =时，3111111111=++=1)133557233557S -+-+-⨯⨯⨯（ 1131)277-=（， 故填37. 【点睛】本题主要考查了程序框图，裂项相消法求和，属于中档题.17．【解析】【分析】有实根则由根的判别式大于零可得之间的关系利用面积型概率求解【详解】关于x 的方程有实根则故答案为【点睛】本题是一道关于几何概型问题的题目根据题意求出判别式大于零的情况满足条件然后结合图 解析：14【解析】 【分析】有实根则由根的判别式大于零，可得a 、b 之间的关系，利用面积型概率求解【详解】11a -≤≤Q ，11b -≤≤，224u S ∴=⨯=，Q 关于x 的方程220x ax b ++=有实根2240a b ∴->，()()220a b a b +->121112q S ∴=⨯⨯⨯=则14p =故答案为14【点睛】本题是一道关于几何概型问题的题目，根据题意求出判别式大于零的情况满足条件，然后结合图像求出面积即可得到结果，较为基础18．【解析】∵高二某班有学生56人用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本∴样本组距为56÷4=14则5+14=19即样本中还有一个学生的编号为19 解析：19【解析】∵高二某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本， ∴样本组距为56÷4=14， 则5+14=19，即样本中还有一个学生的编号为19.19．9【解析】阅读茎叶图由甲组数据的中位数为可得乙组的平均数：解得：则:点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)叶的位置只有一个数字而茎的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录不能遗漏特别解析：9 【解析】阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为14 可得4x = ，乙组的平均数：824151810165y+++++= ，解得：5y = ，则:459x y +=+= .点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．20．【解析】由题意可知小明在和之间到达车站时满足题意由几何概型公式可得：他等车时间不超过10分钟的概率是点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围当考察对象为点点的活动范围在线段 解析：25【解析】由题意可知，小明在6:507:00-和7:207:30-之间到达车站时满足题意，由几何概型公式可得：他等车时间不超过10分钟的概率是201402=. 点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．三、解答题21．（1）75.5；（2）列联表见解析，没有. 【解析】试题分析：（1）各小矩形中点横坐标与纵坐标的乘积的和即是对此事关注的同学的物理期末平均分；（2）根据直方图求出列联表所需数据，即可完成22⨯列联表，利用公式()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++求得2K ，与邻界值比较，即可得到结论.试题解析：（1）对此事关注的同学的物理期末平均分为(450.005550.005650.020⨯+⨯+⨯ 750.030850.030+⨯+⨯ 950.010)1075.5+⨯⨯=（分）．（2）①补充的22⨯列联表如下：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++ ()26083281216442040⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 302.733.84111=≈<， 所以没有95%以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系．【方法点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及独立性检验，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.） 22．（1）0.8186；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数μ的值，再利用数据之间的关系将36、79.5表示为362μσ=-，79.5μσ=+，利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为12，再结合得20元、40元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望. 【详解】 （1）由题意可得352545150552006525075225851009550651000μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，易知14.5σ=≈，36652965214.52μσ∴=-=-⨯=-，79.56514.5μσ=+=+，()()()()3679.522P Z P Z P Z P Z μσμσμσμμμσ∴<≤=-<≤+=-<≤+<≤+()()0.95450.6827022.818622P X P X μσμσμσμσ+===-<≤++-<≤+；（2）根据题意，可得出随机变量X 的可能取值有20、40、60、80元，()13320248P X ==⨯=，()1113313402424432P X ==⨯+⨯⨯=，()113360224416P X ==⨯⨯⨯=，()11118024432P X ==⨯⨯=.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为2040608083216322EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题. 23．(1)见解析;(2)35. 【解析】分析：（1）计算K 2的值，与临界值比较，即可得到结论；（2）确定样本中有4个男生，2个女生，利用列举法确定基本事件，即可求得结论． 详解：（1）由公式，所以没有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关．（2）设所抽样本中有m 个男生，则643020mm ，得==人， 所以样本中有4个男生，2个女生， 从中选出3人的基本事件数有20种 恰有两名男生一名女生的事件数有12种所以.点睛：(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题. 24．（1）3100；（2）①详见解析；②2. 【解析】 【分析】（1）根据A 生产线前5件的总分为8889909192450++++=，B 生产线前5件的总分为8284929194443++++=；则要使制取的A 生产线上的6个产品的总分小于B 生产线上的6个产品的总分，则第6件产品的差要超过7.（2）①η可能取值为0,1,2，根据超几何分布求解概率，列出分布列，再求期望.②由样品估计总体，优品的概率为23，X 可取0,1,2,3且2~3,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，代入公式求解.【详解】（1）A 生产线前5件的总分为8889909192450++++=，B 生产线前5件的总分为8284929194443++++=；要使制取的A 生产线上的6个产品的总分小于B 生产线上的6个产品的总分，则第6件产品的评分分别可以是()90,98，()90,99，()91,99，故所求概率为331010100=⨯. （2）①η可能取值为0,1,2，()204226205η===C C P C ，()1142268115C C P C η===，()22261215η===C P C ， 随机变量η的分布列为：1215153η=⨯+⨯=E . ②由样品估计总体，优品的概率为23，X 可取0,1,2,3且2~3,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 故2323EX np ==⨯=. 【点睛】本题主要考查茎叶图，离散型随机变量的分布列和期望，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 25．（1）14；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】(1)列出基本事件的所有情况，然后再列出满足条件的所有情况，利用古典概率公式即可得到答案.(2)计算平均值和方差，从而比较甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科；（3）先计算x 和y ，然后通过公式计算出线性回归方程，然后代入平均值50即可得到答案. 【详解】(1)记物理、历史分别为12,A A ，思想政治、地理、化学、生物分别为1234,,,B B B B ， 由题意可知考生选择的情形有{}112,,A B B ，{}113,,A B B ，{}114,,A B B ，{}123,,A B B ，{}124,,A B B ，{}134,,A B B ，{}212,,A B B ，{}213,,A B B ，{}214,,A B B ，{}223,,A B B ，{}224,,A B B ，{}234,,A B B ，共12种 他选到物理、地理两门功课的满情形有{}{}{}112123124,,,,,,A B B A B B A B B ，共3种∴甲同学选到物理、地理两门功课的概率为31124P ==(2)物理成绩的平均分为76828285879093857x ++++++==物理历史成绩的平均分为69768082949698857x ++++++==历史由茎叶图可知物理成绩的方差2s<物理历史成绩的方差2s 物理故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分的情况来看，应选择历史学科(答对一点即可) (3)57+61+65+72+74+77+84707x ==，85y =,7172221741964770853140.5834840770540ˆ7i i i i i x y x y b x x ==-⋅⋅-⨯⨯∴===≈-⨯-⋅∑∑ 850.587044.ˆ0ˆ4ay b x =-⋅=-⨯≈ y ∴关于x 的回归方程为0.58+44.40y x =当50x =时，0.5850+44.4073y =⨯≈,当班级平均分为50分时，其物理考试成绩为73分 【点睛】本题主要考查古典概型，统计数的相关含义，线性回归方程的计算，意在考查学生的阅读理解能力，计算能力和分析能力，难度不大. 26．（1）0.15（2）2400（3）25人 【解析】 【分析】(1)由频率分布直方图计算可得月收入在[3000,3500）内的频率； (2)分别计算小长方形的面积值，利用中位数的特点即可确定中位数的值；(3)首先确定10000人中月收入在[2500,3000]内的人数，然后结合分层抽样的特点可得应抽取的人数. 【详解】（1）居民月收入在[3000,3500]内的频率为0.0003(3500-3000)=0.15⨯ （2）因为0.0002(15001000)0.1⨯-=，0.0004(20001500)0.2⨯-=，0.0005(25002000)0.25⨯-=，0.1+0.2+0.25=0.55>0.5，所以样本数据的中位数为0.5(0.10.2)20002000400=24000.0005-++=+.（3）居民月收入在[2500,3000]内的频率为0.0005(30002500)=0.25⨯-， 所以这10000人中月收入在[2500,3000]内的人数为0.2510000=2500⨯. 从这10000人中用分层抽样的方法抽出100人，则应从月收入在[2500,3000]内的居民中抽取25001002510000⨯=(人).【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.。
高中必修三数学上期中试卷及答案
高中必修三数学上期中试卷及答案一、选择题1．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（ ）A ．e m =0m =xB ．e m =0m <xC ．e m <0m <xD ．0m <e m <x2．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联3．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m + C ．这组新数据的方差为an D ．这组新数据的标准差为a n4．在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<5．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +6．甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x表示，方差分别为2212,S S表示，则（）A．221212,x x s s>>B．221212,x x s s><C．221212,x x s s<<D．221212,x x s s<>7．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，88．为计算11111123499100S=-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A．1i i=+B．2i i=+C．3i i=+D．4i i=+9．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.28.610.011.311.9支出y（万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元10．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为311．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A ．23B ．13C ．1 2D ．5612．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题13．判断大小，，，，则、、、大小关系为_____________.14．在可行域1030x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，内任取一点(),M x y ，则满足20x y ->的概率是______．15．执行如图所示的算法流程图，则输出x 的值为__________．16．某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人，现采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，则这两人来自同一组的概率为__________．17．在127x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域内任取一点(),x y，则满足230x y-≥的概率是__________．18．下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，则x y+的值为__________．19．某学生每次投篮的命中概率都为40%．现采用随机模拟的方法求事件的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值随机数，制定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以每3个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生如下20组随机数：989 537 113 730 488 556 027 393 257 431 683 569 458 812 932 271 925 191 966 907，据此统计，该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为__________．20．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A＝{0，1，2，3，4，5}内取值的点中任取一个点，此点正好在直线y x=上的概率为________．三、解答题21．现将甲、乙两个学生在高二的6次数学测试的成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图，进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的考试成绩预计同时有了大的提升：若甲（乙）的高二任意一次考试成绩为x，则甲（乙）的高三对应的考试成绩预计为4x +.（1）试预测：高三6次测试后，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？谁的成绩更稳定？（2）若已知甲、乙两个学生的高二6次考试成绩分别由低到高进步的，定义y 为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，求y 的平均值.22．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),...,[80,90),[90,100]（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率. 23．已知关于x 的一元二次函数2()4 1.f x ax bx =-+（1）若,a b 分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率；（2）设点(,)a b 是区域28000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率.24．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[)1000,1500）.（1）求居民收入在[)3000,3500的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[)2500,3000的这段应抽取多少人？25．2019年的流感来得要比往年更猛烈一些.据四川电视台4SCTV-“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上.这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院.某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：日期1月20日2月20日3月20日4月20日5月20日6月20日昼夜温差()x℃1011131286就诊人数(y人)222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．()1若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y bx a=+$$$；()2若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？(参考公式：b$()1122211()()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxyx x x nx====---==--∑∑∑∑，a y bx=-$$)26．某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x与年销售量()1,2,,10i y i =L 的数据，得到散点图如图所示：（Ⅰ）利用散点图判断，y a bx =+和dy c x =⋅（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）对数据作出如下处理：令ln i u x =，ln i y υ=，得到相关统计量的值如下表：根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （Ⅲ）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中2.71828e =L ），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυL ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆnniii i i i nniii i u u u nu u u unuυυυυβ====---==--∑∑∑∑，ˆˆˆu αυβ=-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即e m ＝5.5,5出现的次数最多，故0m ＝5，23341056637282921030x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈5.97于是得0m <e m <x . 考点：统计初步.2．C解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式． 3．D解析：D 【解析】 【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n ，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n . 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.4．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分， 对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p <<．（1） （2） （3） 考点：几何概型．5．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．6．B解析：B 【解析】 【分析】计算18x =，27.2x =，210.4s =，22 2.16s =得到答案.【详解】17888985x ++++==，26677107.25x ++++==，故12x x >.()()()()()222222178888888980.45s-+-+-+-+-==；()()()()()222222267.267.277.277.2107.2 2.165s -+-+-+-+-==，故2212s s <.故选：B. 【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.7．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图8．B解析：B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．10．D解析：D 【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差11．A解析：A【解析】【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，∴P(A)2163==，P(B)2163==，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（A∪B）＝P(A)+P(B)112 333 =+=，故选：A．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．12．C解析：C【解析】【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整数n的个数，即可得出结论．【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列，又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，∴等差数列的通项公式为a n＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，由401≤30n﹣19≤755，n为正整数可得14≤n≤25，∴做问卷C的人数为25﹣14+1＝12，故选C．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．二、填空题13．a<c<b<d 【解析】【分析】利用中间值01来比较得出a<00<b<10<c<1d>1再利用中间值12得出bc 的大小关系从而得出abcd 的大小关系【详解】由对数函数的单调性得a=log305<log解析：.【解析】 【分析】利用中间值、来比较，得出，，，，再利用中间值得出、的大小关系，从而得出、、、的大小关系． 【详解】由对数函数的单调性得，，即，，即，，即．又，即， 因此，，故答案为．【点睛】本题考查对数值的大小比较，对数值大小比较常用的方法如下： （1）底数相同真数不同，可以利用同底数的对数函数的单调性来比较；（2）真数相同底数不同，可以利用对数函数的图象来比较或者利用换底公式结合不等式的性质来比较；（3）底数不同真数也不同，可以利用中间值法来比较．14．【解析】【分析】画出可行域求出面积满足的区域为图形中的红色直线的下方的四边形其面积为由几何概型的公式可得的概率为：；【详解】约束条件的可行域如图：由解得可行域d 面积为由解得满足的区域为图形中的红色直解析：58【解析】 【分析】画出可行域，求出面积，满足20x y ->的区域为图形中的红色直线的下方的四边形，其面积为1541322-⨯⨯=，由几何概型的公式可得20x y ->的概率为：55248=；【详解】约束条件1030x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域如图：由103x y x y --=⎧+=⎨⎩解得()2,1A ， 可行域d 面积为12442⨯⨯=， 由32x y y x +=⎧=⎨⎩，解得()1.2B ． 满足20x y ->的区域为图形中的红色直线的下方的四边形，其面积为1541322-⨯⨯=， 由几何概型的公式可得20x y ->的概率为：55248=；故答案为58．【点睛】本题考查了可行域的画法以及几何概型的概率公式的运用.考查数形结合以及计算能力．在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．15．4【解析】由流程图得函数结束循环输出4点睛：算法与流程图的考查侧重于对流程图循环结构的考查先明晰算法及流程图的相关概念包括选择结构循环结构伪代码其次要重视循环起点条件循环次数循环终止条件更要通过循环解析：4 【解析】 由流程图得函数2log ,80,1,1;2,2;4,3;16,4;4,52,8x x x y x x k x k x k x k x k x ≥⎧=∴===========⎨<⎩ 结束循环,输出4点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.16．【解析】某班按座位将学生分为两组第一组18人第二组27人采取分层抽样的方法抽取5人第一组抽取：第二组抽取：再从这5人中安排两人去打扫卫生基本事件总数这两人来自同一组包含的基本事件个数∴这两人来自 解析：25【解析】某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人， 采取分层抽样的方法抽取5人，第一组抽取：18521827⨯=+人，第二组抽取：27531827⨯=+人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，基本事件总数2510n C ==，这两人来自同一组包含的基本事件个数22234m C C ＝，=+∴这两人来自同一组的概率为42105m p n ＝＝＝． 即答案为25. 【点睛】本题考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，其中正确掌握有关知识是解题的关键17．【解析】分析：首先绘制可行域结合点的坐标求得可行域的面积然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示由解得即A(32）且故作出直线2x-3y=0则2x- 解析：29【解析】分析：首先绘制可行域，结合点的坐标求得可行域的面积，然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果.详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示，由127x y x y -=⎧⎨+=⎩解得32x y =⎧⎨=⎩，即A (3,2）.且()70,,0,12B C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故172713224ABC S ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭V .作出直线2x-3y=0.则2x-3y≥0所以表示区域为△OAC，即不等式2x-3y≥0所表示的区领为△OAC，面积为131322 AOCS=⨯⨯=V，所以满足230x y-≥的概率是为3222794AOCABCSpSVV===.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.18．9【解析】阅读茎叶图由甲组数据的中位数为可得乙组的平均数：解得：则:点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)叶的位置只有一个数字而茎的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录不能遗漏特别解析：9【解析】阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为14可得4x=，乙组的平均数：824151810165y+++++=，解得：5y=，则:459x y+=+= .点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．19．【解析】这20组随机数中该学生三次投篮中恰有一次命中的有537730488027257683458925共8组则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为故填解析：25【解析】这20组随机数中, 该学生三次投篮中恰有一次命中的有537,730,488,027,257,683,458,925共8组,则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为82205=,故填25.20．【解析】【分析】试验发生包含的事件是横纵坐标都在内任取一个点共有种结果满足条件的事件是点正好在直线上可以列举出结果数得到概率【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率∵试验发生包含的事件是横纵坐标都解析：16【解析】 【分析】试验发生包含的事件是横纵坐标都在{}012345A =，，，，，内任取一个点，共有66⨯种结果，满足条件的事件是点正好在直线y x =上，可以列举出结果数，得到概率． 【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是横纵坐标都在{}012345A =，，，，，内任取一个点， 共有6636⨯=种结果，满足条件的事件是点正好在直线y x =上，可以列举出共有（0，0）（1，1）（2，2）（3，3）（4，4）（5，5）共有6种结果， ∴要求的概率是61366P ==， 故答案为16. 【点睛】本题考查等可能事件的概率，解决本题的关键是注意利用列举法求满足条件的事件数时，注意做到不重不漏，千万不要漏掉原点．三、解答题21．（1）见解析；（2）2 【解析】 【分析】（1）由茎叶图计算高二6次考试的甲乙平均成绩，再分别加4即为高三平均成绩；（2）列举甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，再计算均值即可 【详解】（1）甲高二的6次考试平均成绩为687679868895826+++++=，乙高二的6次考试平均成绩为717582848694826+++++=，所以预测甲高三的6次考试平均成绩为86，乙高三6次考试平均成绩为86， 甲高三的6次考试平均成绩的方差为()()()()()()222222728680868386908692869986776-+-+-+-+-+-=.乙高三的6次考试平均成绩的方差为()()()()()()22222275867986868688869086998655.76-+-+-+-+-+-≈.因为77>55.7，所以乙的成绩比较稳定. （2）预测高三的6次考试成绩如下：第1次考试 第2次考试 第3次考试 第4次考试 第5次考试 第次6考试 甲 72 80 83 90 92 99 乙757986889098所以y 的值依次为3,1,3,2,2,1， 所以y 的平均值为()212326⨯++=. 【点睛】本题考查茎叶图中的均值，熟记茎叶图均值的计算方法，准确计算是关键，是基础题. 22．（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）0.4；（Ⅲ）110【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为1，可求a ；（Ⅱ）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为0.4，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4;（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有3人，记为123,,A A A ，受访职工评分在[40,50)的有2 人，记为12,B B ，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率. 试题解析：（Ⅰ）因为，所以……..4分)（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4………8分 （Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为; 受访职工评分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人），即为.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即，故所求的概率为考点：1.频率分布直方图；2.概率和频率的关系；3.古典概型. 【名师点睛】本题考查频率分布直方图、概率与频率关系、古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况.23．(1)14;(2) 15【解析】 【分析】（1）由题意函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，可得0a ＞，2b a ≤，可得可得先后抛掷两次骰子的基本事件数为36个，求出所求事件包含基本事件，可得其概率； （2）由（1）可得0a ＞，2b a ≤，可得实验的全部结果所构成的区域与所求事件所构成的区域，由几何概型可得答案. 【详解】解：可得函数2()41f x ax bx =-+的对称轴为：2b x a=， 要使函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，当且仅当0a ＞，21ba≤，2b a ≤， 由题意可得先后抛掷两次骰子的基本事件数为36个，所求事件包含基本事件：(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(6,3)， 所求事件包含的事件为为9个，可得所求事件的概率为：91364=； （2）由（1）得，要使函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，当且仅当0a ＞，21ba≤，2b a ≤， 由题意可得实验的全部结果所构成的区域是：280(,)00a b a b a b ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭，构成所求事件的区域为三角形部分，由2802a b ab +-≤⎧⎪⎨=⎪⎩得交点坐标168(,)55P ，可得所求事件概率为：18412515482p ⨯⨯==⨯⨯ 【点睛】本题主要考查不等式，线性规划问题及几何概率求解，属于中档题，注意运算准确. 24．（1）0.15；（2）2400；（3）25 【解析】 【分析】（1）根据频率=小矩形的高⨯组距来求；（2）根据中位数的左右两边的矩形的面积和相等，所以只需求出从左开始面积和等于0.5的底边横坐标的值即可；（3）求出月收入在[2500，3000)的人数，用分层抽样的抽取比例乘以人数，可得答案． 【详解】解：（1）月收入在[)3000,3500的频率为0.00035000.15⨯=； （2）从左数第一组的频率为0.00025000.1⨯=； 第二组的频率为0.00045000.2⨯=； 第三组的频率为0.00055000.25⨯=；∴中位数位于第三组，设中位数为2000x +，则0.00050.50.10.20.2x ⨯=--=，400x ∴=．∴中位数为2400（元)（3）月收入在[)2500,3000的频数为0.25100002500⨯=（人)，Q 抽取的样本容量为100．∴抽取比例为100110000100=， ∴月收入在[)2500,3000的这段应抽取1250025100⨯=（人)． 【点睛】本题考查了频率分布直方图，分层抽样方法，是统计常规题型，解答此类题的关键是利用频率分布直方图求频数或频率．25．（1）1830ˆ77yx =-；（2）见解析 【解析】【分析】()1根据数据求出x ，y 以及ˆb，ˆa 的值，即可求出y 关于x 的线性回归方程； ()2分别计算出1月份和6月份对应的预测值，和22作差，进行比较即可得到结论．【详解】() 1由表中2月至5月份的数据，得()14411131281144x =+++==，()196252926162444y =+++==， 故有()()()52()0125123836iii x x y y =--=⨯+⨯+⨯+-⨯-=∑，5222222()021(3)14ii x x =-=+++-=∑，由参考公式得ˆ187b=，由ˆˆay bx =-得ˆ307a =-， ∴y 关于x 的线性回归方程183077ˆˆˆybx a x =+=-． ()2由1月份数据得当10x =时，183015010ˆ777y=⨯-=． 150422277-=<， 由6月份数据得当6x =时，18307867ˆ77y =⨯-=． 78622277-=<， 则该小组所得线性回归方程是理想的． 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解，根据条件求出x ，y 以及ˆb，ˆa 的值是解决本题的关键.考查学生的运算能力．26．（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型y c x α=⋅更适合； （Ⅱ）13y e x =⋅；（Ⅲ）要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据散点图的特点可知，相关关系更接近于幂函数类型； （Ⅱ）根据所给数据，代入公式求得回归直线的方程；（Ⅲ）先求出年利润的表达式，结合不等式特点利用导数可得最值. 【详解】（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型d y c x =⋅更适合．（Ⅱ）对d y c x =⋅两边取对数，得ln ln ln y c d x =+，即ln v c du =+ 由表中数据得： 1.5u v ==， ∴()()()1122221130.510 1.5 1.5146.510 1.53ˆn n i i i ii i n n i i i i u u v v u v nuv d u u u nu ====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑， ∴1ln 1.5 1.51,3ˆc v duc e =-=-⨯=∴=， ∴年研发费用x 与年销售量y 的回归方程为13y e x =⋅. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，13()27z x x x =-， ∴23()91z x x -='-， 令23()910z x x --'==，得27x =，且当(0,27)x ∈时，()0z x '>,()z x 单调递增；当(27,)x ∈+∞时，()0z x '<,()z x 单调递减．所以当27x =千万元时，年利润z 取得最大值，且最大值为(27)54z =千万元. 答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.【点睛】本题主要考查非线性回归方程的求解及决策判断，非线性回归方程一般是转化为线性回归方程求解，侧重考查数学建模和数据分析的核心素养.。
2020-2021石家庄市高中必修三数学上期中模拟试卷附答案
2020-2021石家庄市高中必修三数学上期中模拟试卷附答案一、选择题1．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k分别为1,2,3，则输出的M=( )A．203B．72C．165D．1582．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为 ( ) A．11347250C CCB．20347250C CCC．1233250C CC+D．1120347347250C C C CC+3．在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（）A．115B．112C．111D．144．如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长5．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．100，20B．200，20C．100，10D．200，106．执行如图的程序框图，则输出x的值是 ( )A．2018B．2019C．12D．27．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．110B．35C．310D．258．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．49．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( ) A ．15B ．24125C ．48125D ．9612510．某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程y bx a =+$$$，其中ˆ 2.4b=，$a y bx =-$，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（ ） 广告费用x （万元） 2 3 4 5 6 销售轿车y （台数）3461012A ．17B ．18C ．19D ．2011．若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（ ） A ．16B ．112C ．536D ．51812．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A ．23B ．13C ．1 2D ．56二、填空题13．从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________；14．如图，四边形ABCD为矩形，3AB=，1BC=，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧»DE，在DAB∠内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________.15．在127x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域内任取一点(),x y，则满足230x y-≥的概率是__________．16．为了在运行下面的程序之后得到输出y＝25，键盘输入x应该是____________. INPUT xIF x<0 THENy=(x+1)*(x+1)ELSEy=(x-1)*(x-1)END IFPRINT yEND17．从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是______．18．为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[)85,95，由此得到频率分布直方图如下图，则这些学生的平均分为__________. 19．执行如图所示的程序框图，如果输出1320s=，则正整数M为__________．20．执行如图所示的流程图，则输出的x值为______．三、解答题21．自从高中生通过高校自主招生可获得加分进入高校的政策出台后，自主招生越来越受到高中生家长的重视.某机构为了调查A城市和B城市的高中家长对于自主招生的关注程度，在这两个城市中抽取了100名高中生家长进行了调查，得到下表：关注不关注合计A城高中家长2050B城高中家长20合计100（1）完成上面的列联表；（2）根据上面列联表的数据，是否有95%的把握认为家长对自主招生关注与否与所处城市有关；（3）为了进一步研究家长对自主招生的直法，该机构从关注的学生家长里面，按照分层抽样方法抽取了5人，并再从这5人里面抽取2人进行采访，求所抽取的2人恰好,A B两城市各一人的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.63522．(1)从区间[1，10]内任意选取一个实数x ，求26160x x --≤的概率； (2)从区间[1，12]内任意选取一个整数x ，求()ln 22x -<的概率.23．如图是某地区2012年至2018年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图.注：年份代码17~分别表示对应年份20122018~.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数r （0.75r >线性相关较强）加以说明；（2）建立y 与t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年该区生活垃圾无害化处理量. （参考数据）719.32ii y==∑，()()71 2.89i i i t ty y =--≈∑()7210.55i i y y =-≈∑，()7212 2.646i i t t=-≈⨯∑，()72128i i t t=-≈∑，2.890.992 2.6460.55≈⨯⨯，2.890.10328≈.（参考公式）相关系数()()()()12211niii nni i i i t t y y r t t y y ===--=--∑∑∑，在回归方程$$y bta =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑$，a y bt =-$$.24．为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00～10：00各自的点击量，得到如图所示的茎叶图，根据茎叶图回答下列问题．(1)甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？(2)甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？(3)甲、乙两网站哪个更受欢迎？并说明理由．25．某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据制成频率分布直方图（如图），若上学路上所需时间的范围为[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100.（1）求直方图中a的值；（2）如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，若招收学生1200人，请估计所招学生中有多少人可以申请住宿；（3）求该校学生上学路上所需的平均时间.26．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车付费多于14元的概率为512，求甲停车付费恰为6元的概率；()2若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即1331,2,,2222M a b n =+====;又由23≤成立，则循环，即28382,,,33323M a b n =+====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，则出循环，输出158M =． 考点：算法的循环结构2．D解析：D 【解析】 【分析】由题意，恰好两件都是次品，共有23C 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C 种不同的取法，即可求解． 【详解】由题意，从含有3件次品的50件产品中，任取2件，共有250C 种不同的取法， 恰好两件都是次品，共有20347C C 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C 种不同的取法，所以至少取到1件次品的概率为1120347347250C C C C C +，故选D ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理分类讨论，利用组合数的公式是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．3．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =. 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可. 【详解】对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低， 差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.6．D解析：D 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，当2019y = 时，不满足条件退出循环，输出x 的值即可得解． 【详解】解：模拟执行程序框图，可得2,0x y ==.满足条件2019y <，执行循环体，1,1x y =-=；满足条件2019y <，执行循环体，1,22x y == ； 满足条件2019y <，执行循环体，2,3x y ==；满足条件2019y <，执行循环体，1,4x y =-= ； …观察规律可知，x 的取值周期为3，由于20196733⨯＝，可得： 满足条件2019y <，执行循环体，当2,2019x y == ,不满足条件2019y <，退出循环，输出x 的值为2． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x 的值是解题的关键．7．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102.255= 故答案为D ．8．C解析：C 【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k =，故选C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．C解析：C 【解析】五所学生自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：213554C C A 种，则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率：2135545485125C C A p == 本题选择C 选项.10．C解析：C 【解析】 由题意4,7, 2.4,7 2.44 2.6,9,ˆˆˆˆˆˆ 2.49 2.619x y ba y bx x y bx a ===∴=-=-⨯=-∴==+=⨯-=,故选C.11．C解析：C 【解析】由图表可知,点数和共有36种可能性,其中是6的共有5种,所以点数和是6的概率为536,故选C.点睛:本题考查古典概型的概率,属于中档题目.具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝．12．A解析：A【解析】【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，∴P(A)2163==，P(B)2163==，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（A∪B）＝P(A)+P(B)112 333 =+=，故选：A．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．二、填空题13．【解析】【分析】设事件A表示第一张抽到奇数事件B表示第二张抽取偶数则P（A）P（AB）利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下第二次抽到偶数的概率【详解】解：从标有12345的五张卡片中依解析：1 2【解析】【分析】设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P（A）35 =，P（AB）3235410=⨯=，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率．【详解】解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P（A）35=，P（AB）3235410=⨯=，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：P（A|B）()()3P AB1103P A25===．【点睛】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力．14．【解析】【分析】连接可求得满足条件的事件是直线AP与线段BC有公共点根据几何概型的概率公式可得【详解】连接如图所示所以满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与BC相交即直线AP与线段BC有公共点解析：1 3【解析】【分析】连接AC，可求得CAB∠，满足条件的事件是直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型的概率公式可得CAB PDAB∠=∠.【详解】连接AC，如图所示，3tanCBCABAB∠==，所以π6CAB∠=，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与BC相交，即直线AP与线段BC有公共点，所以所求事件的概率π16π32CABPDAB∠===∠.故答案为：1 3 .【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题. 15．【解析】分析：首先绘制可行域结合点的坐标求得可行域的面积然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示由解得即A(32）且故作出直线2x-3y=0则2x-解析：2 9【解析】分析：首先绘制可行域，结合点的坐标求得可行域的面积，然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果.详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示，由127x yx y-=⎧⎨+=⎩解得32xy=⎧⎨=⎩，即A(3,2）.且()70,,0,12B C⎛⎫-⎪⎝⎭，故172713224ABCS⎛⎫=⨯+⨯=⎪⎝⎭V.作出直线2x-3y=0.则2x-3y≥0所以表示区域为△OAC，即不等式2x-3y≥0所表示的区领为△OAC，面积为131322AOCS=⨯⨯=V，所以满足230x y-≥的概率是为3222794AOCABCSpSVV===.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.16．-6或6【解析】当x ＜0时25=（x+1）2解得：x=﹣6或x=4（舍去）当x≥0时25=（x ﹣1）2解得：x=6或x=﹣4（舍去）即输入的x 值为±6故答案为：﹣6或6点睛：根据流程图（或伪代码）写解析：-6或6 【解析】当x ＜0时，25=（x+1）2，解得：x=﹣6，或x=4（舍去） 当x ≥0时，25=（x ﹣1）2，解得：x=6，或x=﹣4（舍去） 即输入的x 值为±6 故答案为：﹣6或6．点睛：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．17．【解析】两球颜色不同的概率是解析：35【解析】两球颜色不同的概率是252363105C ⨯== 18．64【解析】结合频率分布直方图可得平均分为：即这些学生的平均分为64分点睛：利用频率分布直方图求众数中位数和平均数时应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形解析：64 【解析】结合频率分布直方图可得，平均分为：()()()()()500.02010600.04010700.02510800.01010900.0051064⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，即这些学生的平均分为64分.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19．13【解析】循环依次为结束循环所以即正整数为13解析：13 【解析】循环依次为10,11;110,12;1320,13;s i s i s i ====== 结束循环，所以1312M ≥> ，即正整数M 为1320．4【解析】循环依次为循环结束输出解析：4 【解析】循环依次为0120,21,1;1,22,2;2,24,3;x x k x x k x x k ============424,216,4;16,log 164,55;x x k x x k ========≥循环结束,输出4x =三、解答题21．（1）详见解析；（2）有95%的把握认为家长对自主招生的关注与否与所处城市有关；（3）0.6. 【解析】 【分析】（1）根据相关数据完成.（2）根据2K 的观测值的计算公式求解，再对应2K 下结论.，（3）关注的人共有50人，根据分层抽样的方法，A 城市2人，B 城市3人，算出从5人抽取两的方法数，,A B 两城市各取一人的方法数，再代入古典概型的概率公式求解. 【详解】 （1）（2）由题意，得K 的观测值为()()()()()()22100203030304 3.84150505050n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为家长对自主招生的关注与否与所处城市有关. （3）关注的人共有50人，按照分层抽样的方法，A 城市2人，B 城市3人.从5人抽取两人有2510C =种不同的方法，,A B 两城市各取一人有1123236C C =⨯=种不同的方法，故所抽取的2人恰好,A B 两城市各一人的概率为11322560.610C C C ==. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．(1)79；（2）712. 【解析】 【分析】（1）求解不等式26160x x --≤可得x 的范围，由测度比为长度比求得26160x x --≤的概率；（2）求解对数不等式可得满足()ln 22x -<的x 的范围，得到整数个数，再由古典概型概率公式求得答案． 【详解】解：（1）26160x x --≤Q ，∴28x -剟，又[]1,10x ∈Q []1,8x ∴∈故由几何概型可知，所求概率为8110971-=-． （2）()ln 22x -<Q ，222x e ∴<<+，则在区间[]1,12内满足()ln 22x -<的整数为3,4,5,6,7,8,9共有7个， 故由古典概型可知，所求概率为712． 【点睛】本题考查古典概型与几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题． 23．（1）见解析；（2）1.744 【解析】 【分析】(1)根据题中所给的公式得到r=0.99>0.75,进而得到结论；（2）根据公式计算得到回归方程，再将2019年所对应的t=8代入方程可得到估计值.. 【详解】 (1)由题意得,()()()()71772211i ii i i tty y r tty y ===--=--∑∑∑∴0.75>所以与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（2）由已知得()()()71721 2.890.10328ˆi i i i i t t y y b t t ==--==≈-∑∑， 1.3310.10340.ˆ92ˆay bt =-=-⨯≈， 所以，y 关于t 的回归方程为：0.92010ˆ.3yt =+ 将2019年对应的8t =代入回归方程得：0.920.1038ˆ 1.744y=+⨯=.所以预测2019年该地区生活垃圾无害化处理量将约1.744万吨.【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线方程的计算，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值. 24．(1)65，66； (2)0.286； (3) 甲网站更受欢迎【解析】【分析】（1）根据茎叶图，得到甲乙两网站的最大点击量和最小点击量，即可求解极差；（2）由茎叶图可知，在[10,40]中，有20,24,25,38，共4个数据，即可求解相应的概率；（3）由茎叶图，可知甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，即可作出判定．【详解】（1）由茎叶图可知，甲网站最大点击量为73，最小的点击量为8，所以甲网站的点击量的极差为73–8=65，乙网站最大点击量为71，最小的点击量为5，所以乙网站的点击量的极差为71–5=66．（2）由茎叶图可知，在[10,40]中，有20,24,25,38，共4个数据，所以甲网站在[10,40]内的概率为40.28614P=≈．（3）由茎叶图，可知甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，可判定甲网站更受欢迎．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及茎叶图的应用，其中解答正确根据茎叶图读取相应的数据，及注意茎叶图的数据分布特点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．25．（1）0.0135a=（2）276人（3）32.8【解析】【分析】（1）由直方图中频率和（小矩形面积和）为1可求得a；（2）求出上学路上所需时间不少于40分钟的学生的频率，然后乘以1200可得；（3）用各小矩形中点估算为这一组的均值，然后乘以频率，并相加可得．【详解】解：（1）由200.025200.0055200.0032201a⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，解得0.0135a=.（2）Q上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，招收学生1200人，∴估计所招学生中有可以申请住宿人数为：()0.00550.0032201200276+⨯⨯⨯=.（3）该校学生上学路上所需的平均时间为：100.013520300.02520500.005520700.00320900.0032032.8⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图，考查数学期望，解题关键是掌握频率分布直方图的性质：直方图中所有频率之和为1，即各小矩形面积和为1.26．（1）14；（2）14．【解析】试题分析：（1）根据互斥事件和对立事件的概率公式可解答；（2）列举出甲、乙二人的停车费用构成的基本事件情况共有16种，甲、乙二人停车付费之和为36元的情况共有4种情况，根据古典概型概率公式可得甲、乙二人停车付费之和为36元的概率.试题解析：（1）解：设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，则．所以甲临时停车付费恰为6元的概率是．（2）解：设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中,6,14,22,30a b=．则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22), (22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30)，共16种情形．其中，(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)这4种情形符合题意．故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为41164P==．考点：1、互斥事件和对立事件的概率公式；2、古典概型概率公式.。
2020-2021高中必修三数学上期中试卷(及答案)(3)
2020-2021高中必修三数学上期中试卷(及答案)(3)一、选择题1．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 2．函数()log a x xf x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．3．我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( ) A ．45,75,15B ．45,45,45C ．45,60,30D ．30,90,154．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45 B ．35C ．25 D ．155．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( ) ． A ．12B ．13C ．23D ．16．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．167．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，88．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+9．运行该程序框图，若输出的x 的值为16，则判断框中不可能填（ ）A ．5k ≥B ．4k >C ．9k ≥D ．7k >10．若框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．？B ．？C ．？D ．？11．已知不等式501x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“01x <”的概率为（ ）． A ．14 B ．13C ．12D ．2312．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元二、填空题13．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．14．将一枚骰子连续掷两次，点数之积为奇数的概率为__________． 15．在区间[-3，5]上随机取一个实数x ，则事件“11422x≤≤（）”发生的概率为____________．16．执行如下图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出S 的值为__________．17．如图，四边形ABCD 为矩形，3AB =，1BC =，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧»DE，在DAB ∠内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.18．甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________. 19．以下说法正确的是_____________ . ①类比推理属于演绎推理.②设有一个回归方程ˆ23yx =- ，当变量每增加1个单位，y 平均增加3个单位. ③样本相关系数r 满足以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱.④对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅.20．为了在运行下面的程序之后得到输出y ＝25，键盘输入x 应该是____________. INPUT x IF x<0 THEN y=(x+1)*(x+1) ELSE y=(x-1)*(x-1) END IF PRINT y END三、解答题21．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数， 得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求 线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验； （Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出 y 关于x 的线性回归方程 ；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人， 则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？附：对于一组数据11(,)u v ，2,2)u v （ ，…，（,)n n u v ，其回归直线V u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为i 1i i i 12i n()(?)u )ˆ(n u u v u β==∑-=∑-nn ，ˆ-ˆu ανβ= . 22．某车间为了规定工时额定，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了6次试验，得到数据如下：（1）试对上述变量x 与y 的关系进行相关性检验，如果x 与y 具有线性相关关系，求出y 对x 的回归直线方程；（2）根据（1）的结论，你认为每小时加工零件的数量额定为多少（四舍五入为整数）比较合理？附：相关性检验的临界值表()()nniii ix x y y x y nx yr ---==∑∑()()()1122211n niii ii i nnii i i x x y y x y nx ybx x x nx====---==--∑∑∑∑$，$$y abx =+$ 42.0≈27.5≈23．随着我国经济的发展，居民收入逐年增长.某地区2014年至2018年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测2019年该地区农村居民家庭人均纯收入为多少？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑$，a y bt =-$$.24．“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号.共生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),(1,2,,6)i i x y i =L ，如表所示：已知611806i i y y ===∑，613050i i i x y ==∑.（1）已知变量,x y ，只有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价x （元）的线性回方程y bx a =+$$$；（2）用µi y 表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值.当销售数据(),i i x y 对应的差的绝对值µ||1i i y y -≤时，则将售数数(),i i x y 称为一个“好数据”.现从6小销售数据中任取2个；求“好数据”至少有一个的概率.（参考公式：线性回归方程中,b a 的最小二乘估计分别为1221ni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑$，a y bx =-$$）25．为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.26．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .2．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．3．C解析：C 【解析】因为共有学生2700，抽取135，所以抽样比为1352700，故各年级分别应抽取135900452700⨯=，1351200602700⨯=，135600302700⨯=，故选C. 4．C解析：C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.5．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】解：甲，乙，丙三人中任选两名代表有233C =种选法，甲被选中的情况有两种，所以甲被选中的概率23223P C ==，故选C. 6．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意得等差数列{}n a 中258715,28a a a S ++== 求15a25855153155a a a a a ++=⇒=⇒=1774428772845412a a S a a d +=⇒⨯==⇒=∴=-= 154(154)1415415a a ∴=+-⨯=+-=，选C.7．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图8．B解析：B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9．D解析：D 【解析】运行该程序，第一次，1,k 2x ==, 第二次，2,k 3x ==， 第三次，4,k 4x ==， 第四次，16,k 5x ==， 第五次，4,k 6x ==， 第六次，16,k 7x ==， 第七次，4,k 8x ==， 第八次，16,k 9x ==， 观察可知，若判断框中为5k ≥．，则第四次结束，输出x 的值为16，满足； 若判断框中为4k >．，则第四次结束，输出x 的值为16，满足； 若判断框中为9k ≥．，则第八次结束，输出x 的值为16，满足； 若判断框中为7k >．，则第七次结束，输出x 的值为4，不满足； 故选D.10．A解析：A 【解析】 【分析】根据所给的程序运行结果为，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．【详解】由题意可知输出结果为， 第1次循环，，， 第2次循环，，，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】分析：解分式不等式得集合P ，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果.详解：(5)(1)050101x x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩， ∴{}|15P x x =-<<，||111x x <⇒-<<，∴1(1)15(1)3P --==--．选B ．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．12．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．二、填空题13．【解析】14．【解析】【分析】先求出总的基本事件的总数再求出点数之积为奇数的基本事件的总数再利用古典概型的概率公式求解【详解】由题得总的基本事件个数为两次点数之积为奇数的基本事件的个数为由古典概型的概率公式得故答解析：14【解析】 【分析】先求出总的基本事件的总数，再求出点数之积为奇数的基本事件的总数，再利用古典概型的概率公式求解. 【详解】由题得总的基本事件个数为66=36⨯，两次点数之积为奇数的基本事件的个数为33=9⨯，由古典概型的概率公式得91364P ==. 故答案为：14【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的 解析：38【解析】 【分析】解不等式11422x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，可得出所求事件的区域长度，又可求出所有基本事件构成的区域长度，由几何概型可求出概率． 【详解】设事件A 表示11|422xx ⎧⎫⎪⎪⎛⎫≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由11422x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭得2111222x -⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21x -≤≤， 即构成事件A 的区域的长度为12=3+.又因为所有的基本事件构成的区域的长度为53=8+， 所以事件A 的概率3()8P A =. 故答案为38．【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，属基础题．16．15【解析】程序执行过程为：当i=1s=1i<6s=1当i=3i<6s=3当i=5i<6s=15当i=7i>6退出s=15填15解析：15 【解析】 程序执行过程为：当i=1,s=1,i<6,s=1,当i=3,i<6,s=3,当i=5,i<6，s=15,当i=7，i>6，退出s=15.填15.17．【解析】【分析】连接可求得满足条件的事件是直线AP 与线段BC 有公共点根据几何概型的概率公式可得【详解】连接如图所示所以满足条件的事件是直线AP 在∠CAB 内且AP 与BC 相交即直线AP 与线段BC 有公共点解析：13【解析】 【分析】连接AC ，可求得CAB ∠，满足条件的事件是直线AP 与线段BC 有公共点，根据几何概型的概率公式可得CABP DAB∠=∠. 【详解】连接AC ，如图所示，tan CB CAB AB ∠==，所以π6CAB ∠=， 满足条件的事件是直线AP 在∠CAB 内且AP 与BC 相交，即直线AP 与线段BC 有公共点，所以所求事件的概率π1 6π32CABPDAB∠===∠.故答案为：13.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题. 18．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种解析：16【解析】【分析】所有的游览情况共有4466A A⋅种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有33556A A⋅⋅种，由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率．【详解】所有的游览情况共有4466A A⋅种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有33556A A⋅⋅种，故则最后一小时他们同在一个景点的概率为33554466616A AA A⋅⋅=⋅，故答案为16．【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．19．③④【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式即可判断；③利用线性相关指数的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断详解：对于①类比推理是合情推理的重要形式则不解析：③④【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式，即可判断；③利用线性相关指数r的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断.详解：对于①，类比推理是合情推理的重要形式，则不属于演绎推理，故①错误；对于②，根据回归方程为ˆ23yx =-，可得当变量每增加1个单位，y 平均减少3个单位，故②错误；对于③，在回归分析中，r 具有以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱，故③正确；对于④，根据复数的乘法运算律，对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅，故④正确.故答案为③④.点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，考查相关关系及复数的运算，是一个考查的知识点比较多的题目，解题本题的关键是理解概念及掌握运算公式，如在回归分析中，r 具有的性质，复数遵循的运算律等．20．-6或6【解析】当x ＜0时25=（x+1）2解得：x=﹣6或x=4（舍去）当x≥0时25=（x ﹣1）2解得：x=6或x=﹣4（舍去）即输入的x 值为±6故答案为：﹣6或6点睛：根据流程图（或伪代码）写解析：-6或6 【解析】当x ＜0时，25=（x+1）2，解得：x=﹣6，或x=4（舍去） 当x ≥0时，25=（x ﹣1）2，解得：x=6，或x=﹣4（舍去） 即输入的x 值为±6 故答案为：﹣6或6．点睛：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．三、解答题21．(1)1().3P A =(2)183077y x =-.(3)小组所得线性回归方程是理想的. 【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）设抽到相邻两个月的数据为事件A ，因为从6组数据种选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以()51.153P A ==（Ⅱ）由数据求得11,24x y ==由公式求得187b =，再由a y bx =-求得307a =所以y 关于x 的线性回归方程为183077y x =- （Ⅲ）当10x =时，1501504,222777y =-=< 同样，当6x =时，78786,122777y =-=< 所以，该小组所得线性回归方程是理想的.点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,nniiii i x y x x y==∑∑的值；③计算回归系数$,a b$；④写出回归直线方程为$ˆy bxa =+$； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 22．（1）答案见解析.（2）96 【解析】 【分析】（1）根据表中所给数据，计算出||r ，即可求得答案.（2）每小时加工零件的数量，即60x =，将60x =代入ˆ0.65757yx =+，即可求得答案. 【详解】（1）由表中数据得：6117950i ii x y==∑，6219100i i x ==∑，62139158i i y ==∑，35,80x y ==∴0.05||0.997r r ==>从而有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系，∴此求回归直线方程是有意义的．计算得：ˆˆ0.657,57ba== ∴ˆ0.65757yx =+ （2）Q 每小时加工零件的数量，即60x =将60x =代入ˆ0.65757y x =+ ˆ96.42y= 故每小时加工零件的数量额定为96比较合理 【点睛】本题考查回归直线方程以及应用，考查基本分析与求解能力，属基本题.23．（1）$1.2 3.6y t =+ （2）2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加1.2千元；10.8千元【解析】 【分析】（1）根据所给数据利用公式计算，t ，y ，()51=-∑ii tt ，()()51=--∑i ii t ty y ，然后代入()()()1211==--=-∑∑$niii ni tty y btt，a y bt =-$$求解，再写出回归方程.（2）根据（1）的结果，由b$的正负来判断，将6t =，代入回归方程，预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入. 【详解】（1）由所给数据计算得()11234535t =⨯++++=， ()15678107.25y =⨯++++=，()514101410ii tt =-=++++=∑， ()()()()()()()512 2.21 1.200.210.82 2.812iii tty y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑()()()1211121.210niii ni tty y bt t==--===-∑∑$， $7.2 1.23 3.6ay bt =-=-⨯=$， 所求回归方程为$1.2 3.6y t =+.（2）由（1）知， 1.20b=>$，故2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加1.2千元.2019年时6t =，$1.26 3.610.8y =⨯+=，故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入约为10.8千元. 【点睛】本题主要考查线性回归分析，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 24．（1）$4106y x =-+；（2）45． 【解析】 【分析】（1）根据所给数据计算回归方程中的系数，得回归方程；（2）由回归方程计算每个销量的估计值，确定“好数据”的个数，然后确定基本事件的个数后可求得概率． 【详解】 （1）由已知4567896.56x +++++==，1221ni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑$222222230506 6.5804(456789)6 6.5-⨯⨯==-+++++-⨯，$80(4) 6.5106a=--⨯=， ∴所求回归直线方程为$4106y x =-+．（2）由（1）4x =时，µ190y =，25x =时，µ286y =，36x =时，µ382y =，47x =时，µ478y =，58x =时，µ574y =，69x =时，µ670y =， 与销售数据比较，“好数据”有3个,(4,90),(6,82),(8,74), 从6个数据中任取2个的所有可能结果共有652⨯=15种，其中2个数据中至少有一个是“好数据”的结果有33312⨯+=种， 所求概率为124155P ==． 【点睛】本题考查线性回归直线方程，考查古典概型．解题时根据所给数据计算回归方程的系数，考查了学生的运算求解能力与数据处理能力． 25．(1) 0.040a =；中位数为82.5. (2) 35【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1，结合频率分布直方图对应矩形区域面积求解即可；先结合数值预判中位数所在组距应在80到90之间，设综合评分的中位数为x ，结合频率计算公式求解即可；（2）先结合分层抽样计算出一等品所占比例，再采用列举法表示出所有基本事件，结合古典概率公式求解即可 【详解】（1）由频率和为1，得(0.0050.0100.0250.020)101a ++++⨯=，0.040a =； 设综合评分的中位数为x ，则(0.0050.0100.025)100.040(80)0.5x ++⨯+⨯-=，解得82.5x =，所以综合评分的中位数为82.5.（2）由频率分布直方图知，一等品的频率为(0.0400.020)100.6+⨯=，即概率为0.6；所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2；所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为a 、b 、c ，非一等品2个，记为D 、E ； 从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：ab 、ac 、aD 、aE 、bc 、bD 、bE 、cD 、cE 、DE 共10种；抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：aD 、aE 、bD 、bE 、cD 、cE 共6种，所以所求的概率为63105P ==. 【点睛】本题考查频率分布直方图中具体数值的求解，中位数的计算，求解具体事件对应的概率，属于中档题26．（1）见解析；（2）29(,]28. 【解析】试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将角用表示,换元法求函数的值域即可.试题解析：(Ⅰ)由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，∴sin cos B A =， 即sin sin()2B A π=+，又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈， 故2B A π=+，即2B A π-=；(Ⅱ)由（1）知，()C A B π=-+(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+，∵04A π<<，∴20sin A <<221992(sin )488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是29]28． 考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用.。
【典型题】高中必修三数学上期中试卷(附答案)
【典型题】高中必修三数学上期中试卷(附答案)一、选择题1．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ）A ．518B ．13C ．718D ．492．一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于11222422226C C C C +的是 ( ) A ．P(0<X≤2) B ．P(X≤1) C ．P(X=1)D ．P(X=2)3．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．154．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数是偶数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率()P A B =U （ ） A ．12B ．13C ．23D ．565．如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x ＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N ＝3，则输出的i ＝A．9B．8C．7D．66．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，87．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．100，20B．200，20C．100，10D．200，108．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n的值为（）A．20B．25C．30D．35 9．若框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于k的条件是A．？B．？C．？D．？10．已知不等式51xx-<+的解集为P，若0x P∈，则“1x<”的概率为（）．A．14B．13C．12D．2311．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为()A ．7B ．4C ．5D ．1112．某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程y bx a =+$$$，其中ˆ 2.4b=，$a y bx =-$，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（ ） 广告费用x （万元） 2 3 4 5 6 销售轿车y （台数）3461012A ．17B ．18C ．19D ．20二、填空题13．有一批产品，其中有2件次品和4件正品，从中任取2件，至少有1件次品的概率为______．14．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为_________15．已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=A 的极坐标为7(22,)4π，则点A 到直线l 的距离为____．16．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．17．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数()2N N ≥和实数12,,...,N a a a ，输出,A B ，若输入的N 为20，12,,...,N a a a 依次为87，76，89，98，68，76，89，94，83，86，68，79，95，93，89，87，76，77，84，96，则A B =－________．18．如图所示，正六边形ABCDEF中，线段AD与线段BE交于点G，圆O1，O2分别是△ABG 与△DEG的内切圆，圆O3，O4分别是四边形BCDG与四边形AGEF的内切圆，则往六边形ABCDEF中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．19．计算机执行如图所示的程序后，输出的结果是__________．20．从一副扑克牌中取出1张A，2张K，2张Q放入一盒子中，然后从这5张牌中随机取出两张，则这两张牌大小不同的概率为__________．三、解答题21． 2.5PM 的值表示空气中某种颗粒物的浓度，通常用来代表空气的污染情况，这个值越高，空气污染越严重，下表是某城市开展“绿色出行，健康生活”活动，居民每天采用“绿色出行”的人数与 2.5PM 值的一组数据：（1）已知“绿色出行”的人数x 和 2.5PM 值y 有线性相关性，求y 关于x 的线性回归方程；（计算结果保留两位小数）（2）若某日“绿色出行”的人数为10万人，请预测该市 2.5PM 的值.（计算结果保留一位小数） 参考公式：1221ˆˆ,ni ii nii x y nx yba y bxxnx ==-⋅==--∑∑ 22．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； （ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.23．随着我国经济的发展，居民收入逐年增长.某地区2014年至2018年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测2019年该地区农村居民家庭人均纯收入为多少？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑$，a y bt =-$$.24．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位:千元）与月储蓄i y （单位:千元）的数据资料，计算得10180i i x ==∑，101120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720ii x==∑.（1）求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程y bx a =+$$$，并判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.（注:线性回归方程y bx a =+$$$中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑$，其中x ，y 为样本平均值.）25．自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率； （2）从被抽取的年龄在[50，70]使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50，60）的概率；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？26．某企业生产一种产品，质量测试分为：指标不小于90为一等品，不小于80小于90为二等品，小于80为三等品，每件一等品盈利50元，每件二等品盈利30元，每件三等品亏损10元，现对学徒工甲和正式工人乙生产的产品各100件的检测结果统计如下： 根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率． （1）求出乙生产三等品的概率；（2）求出甲生产一件产品，盈利不小于30元的概率；（3）若甲、乙一天生产产品分别为40件和30件，估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形， 其面积为112112S =⨯⨯=的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==， 故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .2．B解析：B 【解析】 【分析】由题意知本题是一个古典概型，由古典概型公式分别求得P （X=1）和P （X=0），即可判断等式表示的意义． 【详解】由题意可知112224222226261,0C C C P X P X C C ⋅====：（）（） ， ∴11222422225C C C C +表示选1个白球或者一个白球都没有取得即P （X≤1），故选B ． 【点睛】本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以用组合数表示出所有事件数．3．C解析：C 【解析】 【分析】甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人共有4种情况，甲、乙将贺年卡都送给丁有1种情况，利用古典概型求解即可． 【详解】（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种， 所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是：14， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了古典概型的定义及计算，排列，计数原理，属于中档题．4．D解析：D 【解析】 【分析】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况，得到答案. 【详解】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况， 故5()6P A B =U . 故选：D . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．B解析：B 【解析】模拟执行程序，当3,1n i == ，n 是奇数，得10,2n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，5,3n i == ，不满足条件1n =，满足条件n 是奇数，16,4n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，8,5n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，4,6n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，2,7n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，1,8n i ==，满足条件1n =，输出8i =，选B.点睛：本题主要考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多或有规律时，常常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．6．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图7．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.8．B解析：B 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的n 的值. 【详解】输出20,80,100n m s ==≠；21,79,100n m s ==≠； 22,78,100n m s ==≠； 23,77,100n m s ==≠；24,76,100n m s ==≠； 25,75,100n m s ===，退出循环，输出25n =，故选B. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9．A解析：A【解析】【分析】 根据所给的程序运行结果为，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论． 【详解】 由题意可知输出结果为， 第1次循环，，， 第2次循环，，， 此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题． 10．B解析：B【解析】【分析】【详解】分析：解分式不等式得集合P ，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果. 详解：(5)(1)050101x x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩， ∴{}|15P x x =-<<，||111x x <⇒-<<， ∴1(1)15(1)3P --==--． 选B ．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．11．C解析：C【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-；3i =，()282131645m a a =--=-；4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束；令329367a -=，解得5a =.故选C.12．C解析：C【解析】 由题意4,7, 2.4,7 2.44 2.6,9,ˆˆˆˆˆˆ 2.49 2.619x y ba y bx x y bx a ===∴=-=-⨯=-∴==+=⨯-=,故选C.二、填空题13．【解析】【分析】利用古典概型概率公式求出事件至少有件次品的对立事件全都是次品的概率再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率【详解】记事件至少有件次品则其对立事件为全都是次品由古典概型的概率公式 解析：56. 【解析】【分析】 利用古典概型概率公式求出事件“至少有1件次品”的对立事件“全都是次品”的概率，再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】记事件:A 至少有1件次品，则其对立事件为:A 全都是次品， 由古典概型的概率公式可得()222416C P A C ==，()()151166P A P A ∴=-=-=. 因此，至少有1件次品的概率为56，故答案为56. 【点睛】 本题考查古典概型概率公式以及对立事件概率的计算，在求事件的概率时，若问题中涉及“至少”，可利用对立事件的概率进行计算，可简化分类讨论，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题.14．【解析】五种抽出两种的抽法有种相克的种数有5种故不相克的种数有5种故五种不同属性的物质中随机抽取两种则抽取的两种物质不相克的概率是故答案为 解析：12【解析】五种抽出两种的抽法有2510C =种，相克的种数有5种，故不相克的种数有5种，故五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是12，故答案为12. 15．【解析】直线的直角坐标方程为点的直角坐标为所以点到直线的距离为【解析】直线l 的直角坐标方程为1y x -= ，点A 的直角坐标为(2,2)- ，所以点A 到直线l 的距2=. 16．【解析】17．30【解析】【分析】根据程序框图可知和分别为中最大和最小的数通过已知中的取值得到和的具体值从而求得差值【详解】由于且时将值赋给因此为中最大的数由于且时将值赋给因此为中最小的数本题正确结果：【点睛】本 解析：30【解析】【分析】根据程序框图可知A 和B 分别为12,,,⋅⋅⋅N a a a 中最大和最小的数，通过已知中的取值得到A 和B 的具体值，从而求得差值.【详解】由于k x a =，且x A >时将x 值赋给A ，因此A 为12,,,⋅⋅⋅N a a a 中最大的数由于k x a =，且x B <时将x 值赋给B ，因此B 为12,,,⋅⋅⋅N a a a 中最小的数98A ∴=，68B = 30A B ∴-=本题正确结果：30【点睛】本题考查根据程序框图判断框图的作用，属于中档题.18．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相【解析】【分析】不妨设2AB =，小圆与正三角形相切，小圆的半径为63AB =，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，圆半径为1222AB ⨯=，由几何概型概率公式可得结果.【详解】依题意，不妨设2AB =，AB =， 大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，可得大圆半径为12AB = 由几何概型概率公式可得该点落在图中阴影区域内的概率为：2222P ππ⨯⨯+⨯⨯==. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 19．3【解析】根据伪代码所示的顺序程序中各变量的值如下:循环前:n=5s=0;第一次循环:s=5n=4;第二次循环:s=9n=3;输出此时的n 值为3故填3解析：3【解析】根据伪代码所示的顺序,程序中各变量的值如下:循环前:n=5,s=0;第一次循环:s=5,n=4;第二次循环:s=9,n=3;输出此时的n 值为3,故填3.20．【解析】试题分析：从这5张牌中随机取出两张的情况有：其中不同的有８种故概率是 解析：45【解析】试题分析：从这5张牌中随机取出两张的情况有： ,,,,,,,,,AK AK AQ AQ KK KQ KQ KQ KQ QQ ，其中不同的有８种，故概率是84105P == 。
2020-2021合肥中高中必修三数学上期中试卷(带答案)
三、解答题
21．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出 名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题：
（1） 这一组的频数、频率分别是多少？
【详解】
由程序框图知：第一次运行 ， ；
第二次运行 ， ， ，
第三次运行 ， ， ，
第四次运行 ， ， ，
第五次运行 ， ， ，
第六次运行 ， ， ，
直到 时，程序运行终止，
函数 是以6为周期的周期函数， ，
又 ，
若程序运行2016次时，输出 ，
程序运行2015次时，输出 ．
故选C．
【点睛】
本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．
C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.
D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.
8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）
A． B． C． D．
9．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（）
①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球.
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（ ）
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
2020-2021高中必修三数学上期中试卷(带答案)(5)
2020-2021高中必修三数学上期中试卷(带答案)(5)一、选择题1．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A．18π-B．4πC．14π-D．与a的值有关联2．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为 ( ) A．11347250C CCB．20347250C CCC．1233250C CC+D．1120347347250C C C CC+3．一组数据如下表所示：x1234 y e3e4e6e 已知变量y关于x的回归方程为+0.5ˆbxy e=，若5x=，则预测y的值可能为( )A．5e B．112e C．132e D．7e4．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数是偶数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率()P A B=U（）A．12B．13C．23D．565．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（）A ．13B ．14C ．15D ．166．用秦九韶算法求多项式()54227532f x x x x x x =+++++在2x =的值时，令05v a =，105v v x =+，…，542v v x =+，则3v 的值为（ ）A ．83B ．82C ．166D ．1677．我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A ．17?,,+1i s s i i i≤=-= B ．1128?,,2i s s i i i≤=-= C ．17?,,+12i s s i i i ≤=-= D ．1128?,,22i s s i i i≤=-= 8．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn9．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为67，则输入a 的值为( )A ．7B ．4C ．5D ．1110．若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（ ） A ．16B ．112C ．536D ．51811．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元12．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题13．下列说法正确的个数有_________（1）已知变量x 和y 满足关系23y x =-+，则x 与y 正相关；（2）线性回归直线必过点(),x y ；（3）对于分类变量A 与B 的随机变量2k ，2k 越大说明“A 与B 有关系”的可信度越大 （4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好.14．某人向边长分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为__ . 15．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得11x +≥成立的概率为______．16．从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为________.17．在可行域1030x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，内任取一点(),M x y ，则满足20x y ->的概率是______．18．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程ˆ360yx =-为:不小心丢失表中数据c ，d ，那么由现有数据知3c d -____________．19．已知函数log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为______________；20．在—次对人体脂肪百分比和年龄关系的研究中，研究人员获得如下一组样本数据：由表中数据求得y 关于x 的线性回归方程为0.6ˆˆyx a =+，若年龄x 的值为50，则y 的估计值为 ．三、解答题21．自从高中生通过高校自主招生可获得加分进入高校的政策出台后，自主招生越来越受到高中生家长的重视.某机构为了调查A 城市和B 城市的高中家长对于自主招生的关注程度，在这两个城市中抽取了100名高中生家长进行了调查，得到下表：关注 不关注 合计 A 城高中家长2050B 城高中家长20合计100（1）完成上面的列联表；（2）根据上面列联表的数据，是否有95%的把握认为家长对自主招生关注与否与所处城市有关；（3）为了进一步研究家长对自主招生的直法，该机构从关注的学生家长里面，按照分层抽样方法抽取了5人，并再从这5人里面抽取2人进行采访，求所抽取的2人恰好,A B 两城市各一人的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.63522．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题： （1）79.589.5:这一组的频数、频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均数?23．近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n 名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人.（1）求该组织的人数；（2）若在第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率.24．每年七月份，我国J地区有25天左右的降雨时间，如图是J地区S镇2000-2018年降雨量（单位：mm）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：（1）假设每年的降雨天气相互独立，求S镇未来三年里至少有两年的降雨量超过350mm的概率；（2）在S镇承包了20亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总利润为31.1万元．而乙品种水果的亩产量m（kg/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种水果的单位利润为32-0.01×m（元/kg），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使利润ξ（万元）的期望更大？（需说明理由）；降雨量[100，200）[200，300）[300，400）[400，500）亩产量500700600400 PM是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国25． 2.5PM日均值在35微克/立方米以下空气2.5PM标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5质量为一级；在35微克/立方米至75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方PM监测数据中，随机抽米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2016年全年每天的 2.5取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示：（十位为茎，个位为叶）（1）从这15天的数据中任取3天的数据，求空气质量至少有一天达到一级的概率； （2）以这15天的 2.5PM 日均值来估算一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中大致有多少天的空气质量达到一级.26．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[)1000,1500）.（1）求居民收入在[)3000,3500的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[)2500,3000的这段应抽取多少人？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式． 2．D解析：D 【解析】【分析】由题意，恰好两件都是次品，共有23C 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C 种不同的取法，即可求解． 【详解】由题意，从含有3件次品的50件产品中，任取2件，共有250C 种不同的取法， 恰好两件都是次品，共有20347C C 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C 种不同的取法，所以至少取到1件次品的概率为1120347347250C C C C C +，故选D ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理分类讨论，利用组合数的公式是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．3．C解析：C 【解析】 【分析】令ln z y $=，求得,x z 之间的数据对照表，结合样本中心点的坐标满足回归直线方程，即可求得b ；再令5x =，即可求得预测值y . 【详解】将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =+，令ln z y $=，得到0.5z bx =+， 根据已知表格数据，得到,x z 的取值对照表如下：12342.54x +++==，1346 3.54z +++==， 利用回归直线过样本中心点，即可得3.5 2.50.5b =+， 求得 1.2b =，则 1.20.5z x =+， 进而得到$ 1.2+0.5x y e =，将5x =代入， 解得136.52y e e ==.故选：C .【点睛】本题考查利用样本中心点坐标满足回归直线方程求参数值，以及由回归方程进行预测值得求解，属中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况，得到答案. 【详解】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况， 故5()6P A B =U . 故选：D . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意得等差数列{}n a 中258715,28a a a S ++== 求15a25855153155a a a a a ++=⇒=⇒=1774428772845412a a S a a d +=⇒⨯==⇒=∴=-= 154(154)1415415a a ∴=+-⨯=+-=，选C.6．A解析：A 【解析】 【分析】利用秦九韶算法，求解即可. 【详解】利用秦九韶算法，把多项式改写为如下形式：()((((75)3)1)1)2f x x x x x =+++++按照从里到外的顺序，依次计算一次多项式当2x =时的值：07v =172519v =⨯+= 2192341v =⨯+= 3412183v =⨯+=故选：A【点睛】本题主要考查了秦九韶算法的应用，属于中档题.7．B解析：B 【解析】 【分析】分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出S 的值，由此可得到结论. 【详解】由题意，执行程序框图，可得： 第1次循环：11,42S i =-=； 第2次循环：111,824S i =--=； 第3次循环：1111,16248S i =--==； 依次类推，第7次循环：11111,256241288S i =----==L ， 此时不满足条件，推出循环，其中判断框①应填入的条件为：128?i ≤， 执行框②应填入：1S S i=-，③应填入：2i i =. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．C解析：C 【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ． 9．C解析：C 【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-； 3i =，()282131645m a a =--=-；4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束； 令329367a -=，解得5a =. 故选C.10．C解析：C 【解析】由图表可知,点数和共有36种可能性,其中是6的共有5种,所以点数和是6的概率为536,故选C.点睛:本题考查古典概型的概率,属于中档题目.具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝．11．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．12．C解析：C【解析】【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整数n的个数，即可得出结论．【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列，又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，∴等差数列的通项公式为a n＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，由401≤30n﹣19≤755，n为正整数可得14≤n≤25，∴做问卷C的人数为25﹣14+1＝12，故选C．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．二、填空题13．3个【解析】【分析】直接利用线性回归直线的相关理论知识的应用求出结果【详解】（1）已知变量x和y满足关系y=-2x+3则x与y正相关；应该是：x与y负相关故错误（2）线性回归直线必过点线性回归直线解析：3个【解析】【分析】直接利用线性回归直线的相关理论知识的应用求出结果．【详解】（1）已知变量x和y满足关系y=-2x+3，则x与y正相关；应该是：x与y负相关．故错误.（2）线性回归直线必过点(),x y，线性回归直线必过中心点．故正确．（3）对于分类变量A与B的随机变量2k，2k越大说明“A与B有关系”的可信度越大．根据课本上有原句，故正确．（4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数R2的值越大，说明拟合的效果越好．故正确，根据课本上有原句．故填3个．【点睛】本题主要考查了线性回归直线的应用，学生对知识的记忆能力，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题.14．【解析】由题意可知与三个顶点的距离都小于2的区域的面积恰好为一个半径为2的半圆的面积即所以与三个顶点的距离都大于2的区域的面积由几何概型的概率公式知其恰落在与三个顶点的距离都大于2的地方的概率为答案解析：1515π- 【解析】由题意可知，与三个顶点的距离都小于2的区域的面积恰好为一个半径为2的半圆的面积，即2π，所以与三个顶点的距离都大于2的区域的面积302π-。
2020年武汉市高中必修三数学上期中模拟试卷带答案
2020年武汉市高中必修三数学上期中模拟试卷带答案一、选择题1．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 2．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（ ）A ．e m =0m =xB ．e m =0m <xC ．e m <0m <xD ．0m <e m <x3．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数x （天） 3 4 56 繁殖个数y （千个）2.5344.5由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9 B ．5.25 C ．5.95D ．6.154．在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 A ．7B ．15C ．25D ．356．下面的算法语句运行后，输出的值是（ ）A ．42B ．43C ．44D ．457．用秦九韶算法求多项式()54227532f x x x x x x =+++++在2x =的值时，令05v a =，105v v x =+，…，542v v x =+，则3v 的值为（ ）A ．83B ．82C ．166D ．1678．执行如图的程序框图，则输出x 的值是 ( )A ．2018B ．2019C ．12D ．29．A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生09-之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数： 402 978 191 925 273 842 812 479 569 683 231 357 394 027 506 588 730 113 537 779 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为( )A ．14B ．25C ．710D ．1510．在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，则该45名学生的数学成绩的中位数为（ ）A ．127B ．128C ．128.5D ．12911．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ）A ．23 B ．13C ．1 2D ．5612．已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14二、填空题13．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___________． 14．变量X 与Y 相对应的5组数据和变量U 与V 相对应的5组数据统计如表： X 10 11.3 11.8 12.5 13 U 10 11.3 11.8 12.5 13 Y12345V54321用b 1表示变量Y 与X 之间的回归系数，b 2表示变量V 与U 之间的回归系数，则b 1与b 2的大小关系是___．15．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．16．某校高一年级有600个学生，高二年级有550个学生，高三年级有650个学生，为调查学生的视力情况，用分层抽样的方法抽取一个样本，若在高二、高三共抽取了48个学生，则应在高一年级抽取学生______个17．为了在运行下面的程序之后得到输出y ＝25，键盘输入x 应该是____________. INPUT xIF x<0 THENy=(x+1)*(x+1)ELSEy=(x-1)*(x-1)END IFPRINT yEND18．如图，古铜钱外圆内方，外圆直径为6cm，中间是边长为2cm的正方形孔,随机地在古铜钱所在圆内任取一点，则该点刚好位于孔中的概率是__________;19．甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．20．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示：若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为________三、解答题21．现从某医院中随机抽取了7位医护人员的关爱患者考核分数(患者考核:10分制)，用相关的特征量y表示；医护专业知识考核分数(试卷考试:100分制),用相关的特征量x表示，数据如下表:x98889691909296y9.98.69.59.09.19.29.8（1）求y关于x的线性回归方程(计算结果精确到0.01)；（2）利用(1)中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计当某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数(精确到0.1).参考公式及数据:回归直线方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 121(x x)(y y)ˆˆˆ,(x x)niii nii ba y bx ==--==--∑∑，其中72193,9.3,()()9.9i ii x y x x y y ===--=∑. 22．光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表.以样本的频率作为概率. 用电量（单位：度） (]0200，(]200400，400600]（，(]600,800(]800,1000户数7815137(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，求X 的数学期望；(Ⅱ)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？23．国家公安机关为给居民带来全方位的安全感，大力开展智慧警务社区建设.智慧警务建设让警务更智慧，让民生更便利，让社区更安全.下表是某公安分局在建设智慧警务社区活动中所记录的七个月内的该管辖社区的违法事件统计数据： 月份 1 2 3 4 5 6 7 违法案件数196101663421116根据以上数据，绘制了如图所示的散点图.（1）根据散点图判断，用y a bx =+与(0,01)xy c d b d =⋅<<<哪一个更适宜作为违法案件数y 关于月份x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果及表中所给数据，求y 关于x 的回归方程（保留两位有效数字），并预测第8个月该社区出现的违法案件数（取整数）.参考数据：y v71i iix y=∑71i iix v=∑721iix=∑ 2.5410 62.14 1.5494536.186140346.74其中i iv lgy=，7117iiv v==∑.参考公式：对一组数据()11,u v，()22,u v，…，(),n nu v，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：µ1221ni iiniiu v nuvu nuβ==-=-∑∑，µµv uαβ=-.24．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X，求X的分布列与期望.25．“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号.共生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),(1,2,,6)i ix y i=L，如表所示：试销单价x（元）456789已知611806i i y y ===∑，613050i i i x y ==∑.（1）已知变量,x y ，只有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价x （元）的线性回方程y bx a =+$$$；（2）用µi y 表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值.当销售数据(),i i x y 对应的差的绝对值µ||1i i y y -≤时，则将售数数(),i i x y 称为一个“好数据”.现从6小销售数据中任取2个；求“好数据”至少有一个的概率.（参考公式：线性回归方程中,b a 的最小二乘估计分别为1221ni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑$，a y bx =-$$）26．随着“互联网＋交通”模式的迅猛发展，“共享助力单车”在很多城市相继出现．某“共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了100名用户，得到用户的满意度评分，现将评分分为5组，如下表：(1)求表格中的a ，b ，c 的值； (2)估计用户的满意度评分的平均数；(3)若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．B 解析：B 【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .2．D解析：D 【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即e m ＝5.5,5出现的次数最多，故0m ＝5，23341056637282921030x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈5.97于是得0m <e m <x . 考点：统计初步.3．B解析：B 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为97(,)22，代入回归直线方程，求得ˆ0.35a =，得到回归直线的方程为ˆ0.70.35yx =+，即可作出预测，得到答案． 【详解】由题意，根据表格中的数据，可得34569 2.534 4.57,4242x y ++++++====， 即样本中心为97(,)22，代入回归直线方程ˆˆ0.7yx a =+，即79ˆ0.722a=⨯+， 解得ˆ0.35a=，即回归直线的方程为ˆ0.70.35y x =+， 当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，故选B ．本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4．D解析：D 【解析】在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1， ∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4， ∴二队很少不失球，故（4）正确. 故选：D ．5．B解析：B 【解析】试题分析：抽样比是，所以样本容量是．考点：分层抽样6．C解析：C 【解析】 【分析】根据算法语句可知，程序实现功能为求满足不等式22000i <的解中最大自然数，即可求解. 【详解】 由算法语句知，运行该程序实现求不等式22000i <的解中最大自然数的功能， 因为24520252000=>，24419362000=<，所以44i =， 故选：C 【点睛】本题主要考查算法语句，考查了对循环结构的理解，属于中档题.7．A解析：A 【解析】 【分析】利用秦九韶算法，求解即可. 【详解】利用秦九韶算法，把多项式改写为如下形式：()((((75)3)1)1)2f x x x x x =+++++按照从里到外的顺序，依次计算一次多项式当2x =时的值：07v =172519v =⨯+= 2192341v =⨯+= 3412183v =⨯+=故选：A 【点睛】本题主要考查了秦九韶算法的应用，属于中档题.8．D解析：D 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，当2019y = 时，不满足条件退出循环，输出x 的值即可得解． 【详解】解：模拟执行程序框图，可得2,0x y ==.满足条件2019y <，执行循环体，1,1x y =-=；满足条件2019y <，执行循环体，1,22x y == ； 满足条件2019y <，执行循环体，2,3x y ==；满足条件2019y <，执行循环体，1,4x y =-= ； …观察规律可知，x 的取值周期为3，由于20196733⨯＝，可得： 满足条件2019y <，执行循环体，当2,2019x y == ,不满足条件2019y <，退出循环，输出x 的值为2． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x的值是解题的关键．9．D解析：D【解析】【分析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共4组随机数，根据概率公式，得到结果．【详解】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，可以通过列举得到共5组随机数：978，479、588、779，共4组随机数，所求概率为41 205=，故选D．【点睛】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．10．D解析：D【解析】分析：由茎叶图得出45名学生的数学成绩，从而求出中位数．详解：根据茎叶图得出45名学生的数学成绩，可知中位数为129.故选D.点睛：本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据，进行解答，属基础题.．11．A解析：A【解析】【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，∴P(A)2163==，P(B)2163==，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为 P （A ∪B ）＝P (A )+P (B )112333=+=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．12．B解析：B 【解析】 【分析】推导出点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．从而S △PBC =12S △ABC ．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率． 【详解】以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB PC +u u u r u u u r =PD u u u r ，∵20PB PC PA ++=u u u r u u u ru u u r r ，∴2PB PC PA +=-u u u r u u u r u u u r， ∴2PD PA =-u u u ru u u r，∴P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点， ∴点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12． ∴S △PBC =12S △ABC ． ∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为： P=PBC ABC S S V V =12． 故选B ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．二、填空题13．【解析】从分别写有12345的5张卡片中随机抽取1张放回后再随机抽取1张基本事件总数n=5×5=25抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： （21）（31）（32）（41） 解析：25【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=2.5故答案为25. 14．【解析】分析：根据回归系数几何意义得详解：因为Y 与X 之间正增长所以因为V 与U 之间负增长所以因此点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是解析：12b b >. 【解析】分析：根据回归系数几何意义得120b b >> 详解：因为Y 与X 之间正增长，所以10b > 因为V 与U 之间负增长，所以20b < 因此120b b >>，点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求$,a b$，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .b $的正负，决定正相关与负相关.15．【解析】试题分析：根据题意正方形的面积为而阴影部分由函数与围成其面积为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评:本题考 解析：【解析】试题分析：根据题意，正方形的面积为而阴影部分由函数与围成，其面积为，则正方形中任取一点,点取自阴影部分的概率为.则正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评:本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积.16．24【解析】【分析】设应在高一年级抽取学生数为n首先求出高一年级人数占总人数的百分比然后通过分层抽样的性质由此能求出应在高一年级抽取学生数【详解】设应在高一年级抽取学生数为n因为某校高一年级有600解析：24【解析】【分析】设应在高一年级抽取学生数为，首先求出高一年级人数占总人数的百分比，然后通过分层抽样的性质，由此能求出应在高一年级抽取学生数。
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从 4 日到 9 日，空气质量越来越好，，故 C 正确；这 12 天的 AQI 指数值的平均值为
110，故 D 不正确. 故选 C．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据算法语句可知，程序实现功能为求满足不等式 i2 2000 的解中最大自然数，即可求
解. 【详解】 由算法语句知，
运行该程序实现求不等式 i2 2000 的解中最大自然数的功能， 因为 452 2025 2000 ， 442 1936 2000 ， 所以 i 44 ，
故选：C 【点睛】 本题主要考查算法语句，考查了对循环结构的理解，属于中档题.
7．B
解析：B 【解析】 分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.
23．己知集合 M x, y x 0, 2, y 1,1 .
（1）若 x, y M ，且 x, y 为整数，求 x y 0 的概率；
（2）若 x, y M ，求 x y 0 的概率. 24． PM 2.5是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国 PM 2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM 2.5日均值在 35 微克/立方米以下空气
2．C
解析：C 【解析】
【分析】
甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人共有 4 种情况，甲、乙将贺年卡
都送给丁有 1 种情况，利用古典概型求解即可．
【详解】
（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都
送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，
年龄 x
21
24
34
41
脂肪 y
9.5
17.5
24.9
28.1
由表中数据求得 y 关于 x 的线性回归方程为 yˆ 0.6x aˆ ，若年龄 x 的值为 50 ，则 y 的估
计值为 ．
20．已知变量 x, y 之间的一组数据如下表：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则
y
与
x
的线性回归方程
y
b
x
a
必过点_______________
2．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁
的概率为（ ）
A． 1 2
B． 1 3
C． 1 4
D． 1 5
3．已知变量 x, y 之间满足线性相关关系 yˆ 1.3x 1 ，且 x, y 之间的相关数据如下表所
示：
x
1
2
3
4
y
0.1
m
3.1
4
则实数 m （ ）
新高中必修三数学上期中试卷(含答案)
一、选择题
1．已知某样本的容量为 50，平均数为 70，方差为 75．现发现在收集这些数据时，其中的
两个数据记录有误，一个错将 80 记录为 60，另一个错将 70 记录为 90．在对错误的数据进
行更正后，重新求得样本的平均数为 x ，方差为 s2 ，则
A． x 70, s2 75 B． x 70, s2 75 C． x 70, s2 75 D． x 70, s2 75
人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）
若从高校 B,C 抽取的人中选 2 人作专题发言，则这 2 人都来自高校 C 的概率 P __________．
16．计算机执行如图所示的程序后，输出的结果是__________．
17．执行如图所示的流程图，则输出的 x 值为______．
18．某公共汽车站，每隔 15 分钟有一辆车出发，并且发出前在车站停靠３分钟，则乘客到 站候车时间大于 10 分钟的概率为________．（结果用分数表示） 19．在—次对人体脂肪百分比和年龄关系的研究中，研究人员获得如下一组样本数据：
详解：由 S 1 1 1 1 1 1 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最
234
99 100
后再相减.因此在空白框中应填入 i i 2 ，选 B.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关
第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A． 1 10
B． 3 5
C． 3 10
D． 2 5
11．如图所示是为了求出满足 21 22 2n 2018 的最小整数 n，
和
两个空白框中，可以分别填入（ ）
A． S 2018 ？，输出 n 1
B． S 2018 ？，输出 n
C． S 2018 ？，输出 n 1
________.
14．为了在运行下面的程序之后得到输出 y＝25，键盘输入 x 应该是____________. INPUT x IF x<0 THEN y=(x+1)(x+1) ELSE y=(x-1)(x-1) END IF PRINT y END
15．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校 A, B,C 的相关人员中，抽取若干
【详解】
由题意，根据平均数的计算公式，可得 x 7050 80 60 70 90 70 ， 50
设收集的 48 个准确数据分别记为 x1, x2 , , x48 ，
则
75
1 50
x1
702
x2
702
x48
702
60
702
90
702
1 50
x1
702
x2
702
x48 702 500 ，
B． 12 25
C． 16 25
D． 4 5
5． AQI 即空气质量指数， AQI 越小，表明空气质量越好，当 AQI 不大于 100 时称空气
质量为“优良”.如图是某市 3 月 1 日到 12 日 AQI 的统计数据.则下列叙述正确的是
（）
A．这12 天的 AQI 的中位数是 90 B．12 天中超过 7 天空气质量为“优良”
息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概
率．
【详解】
设甲同学收到李老师的信息为事件 A，收到张老师的信息为事件 B，A、B 相互独立，
P(A) P(B) 4 2 ， 10 5
则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为
1 P(AB) 1 (1 P(A))(1 P(B)) 1 3 3 16 ． 5 5 25
C．从 3 月 4 日到 9 日，空气质量越来越好
D．这12 天的 AQI 的平均值为100
6．下面的算法语句运行后，输出的值是（ ）
A．42
B．43
C．44
D．45
7．为计算 S 1 1 1 1 … 1 1 ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入
234
99 100
A． i i 1
B． i i 2 C． i i 3 D． i i 4
D． S 2018 ？，输出 n
12．已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 m 个红球和 n 个篮球 m 3, n 3 ，从乙
盒中随机抽取 i i 1, 2 个球放入甲盒中.
（a）放入 i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 i 1, 2 ； i
（b）放入 i 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi i 1, 2 .
所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是： 1 ， 4
故选 C． 【点睛】
本题主要考查了古典概型的定义及计算，排列，计数原理，属于中档题．
3．D
解析：D 【解析】
分析：由题意结合线性回归方程的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得： x 1 2 3 4 5 2.5 ， y 0.1 m 3.1 4 1.8 m ，
8．运行该程序框图，若输出的 x 的值为 16，则判断框中不可能填（ ）
A． k 5
B． k 4
9．若框图所给的程序运行结果为
C． k 9
D． k 7
，那么判断框中应填入的关于 k 的条件是
A． ？
B． ？
C． ？
D． ？
10．从分别写有1, 2,3, 4,5 的 5 张卡片中随机抽取1张，放回后再p1 p2, E 1 E 2
B． p1 p2, E 1 E 2
C． p1 p2, E 1 E 2
二、填空题
D． p1 p2, E 1 E 2
13．如图，四边形 ABCD 为矩形， AB 3 ， BC 1，以 A 为圆心，1 为半径作四分之 一个圆弧 DE ，在 DAB内任作射线 AP ，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为
4
2
4
4
线性回归方程过样本中心点，则：1.8 m 1.3 2.5 1， 4
解得： m 1.8 .
本题选择 D 选项. 点睛：本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计
算求解能力.
4．C
解析：C 【解析】
【分析】
甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信
率分布直方图如图所示，已知第 2 组有 35 人.
（1）求该组织的人数；
（2）若在第 3, 4, 5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第 3, 4, 5 组各抽取多少名志愿者？ （3）在（2）的条件下，该组织决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经 验，求第 3 组至少有1名志愿者被抽中的概率.
2x y 8 0
（2）设点 (a, b) 是区域 x 0
内的随机点，求函数 y f (x) 在区间[1, )上是