圆系方程.ppt
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高一数学423直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修2
同理可求得过点 A′(－3，－3)的圆 C 的切线方程 3x－4y －3＝0 或 4x－3y＋3＝0，
即为所求光线 m 所在直线的方程．
解题时需注意的问题是：直线的点斜式适用 于斜率存在的情况，由图知此题中，入射光线所在直线应有两 条，若 k 只有一解，应考虑 k 不存在的情况．
2－1.坐标平面上点(7,5)处有一光源，将圆 x2＋(y－1)2＝1 16
解：∵圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x－3y＝0 上， 故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又∵直线 y＝x 截圆得弦长为 2 7， 则由垂径定理有|3b－2 b|2＋( 7)2＝9b2， 解得 b＝±1. 故所求圆方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
2．弦长问题： 圆的弦长的计算：常用弦心距 d，弦长的一半12a 及圆的半 径 r 所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(12a)2.
弦长问题 例 1：根据下列条件求圆的方程：与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y＝0 上，且直线 y＝x 截圆所得弦长为 2 7 .
思维突破：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解 方程思想，又要重视几何性质及定义的运用.
关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、 弦心距、半弦所组成的直角三角形求解，也可用代数法弦长公 式求解．
1－1.一直线经过点 P－3，－23被圆 x2＋y2＝25 截得的弦 长为 8, 求此弦所在直线方程．
解：当斜率 k 存在时，设所求方程为 y＋32＝kx＋3，即 kx －y＋3k－32＝0.
由已知，弦心距OM＝ 52－42＝3，
由点到直线的距离公式，得
|2－0＋b|＝ 2
3，即 b＝－2±
6，
圆与圆的位置关系--圆与圆相切--圆系方程
例6.求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和 圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆方程． 解法 相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．
∵所求圆以AB为直径，
于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25 .
例6.求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和 圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆方程． 解法二： 设所求圆的方程为： x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数)
rR r O1 O2 O2 r
r O2 O2
r O2
r O2
r O2
xHale Waihona Puke 圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r12(r1>0) 圆C2：(x-c)2+(y-d)2=r22(r2>0) (1)利用连心线长与|r1+r2|和| r1-r2 |的大小关
系判断： ①|C1C2|> |r1+r2|
圆C1与圆C2相离
①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和
圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0． 若两圆相交，则过交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为 参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦 所在直线方程)． ②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l： Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆 系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 (λ为参 数 )．
高二数学《直线与圆的方程的应用》课件
提示 要先建立适当的坐标系，用坐标表示出相应的几何 元素，如点、直线、圆等，将几何问题转化为代数问题来 解决，通过代数的运算得到结果，分析结果的几何意义， 得到几何结论． 2．利用坐标法求解几何问题要注意什么？ 提示 (1)利用“坐标法”解决问题首要任务是先建立平面 直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素． (2)建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影 响．因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所 需的几何元素坐标或方程尽量简单．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
圆 C：(x－a)2＋(y－ r2－a2)2＝r2－a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为 2ax＋2 r2－a2y＝r2＋a2. 令 x＝a，得 y＝12 r2－a2， ∴H(a，12 r2－a2)，即 H 为 CD 中点，
∴EF 平分 CD．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则： (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得．
2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式 的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及 解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解 决问题．
课前预习Βιβλιοθήκη 课堂互动课堂反馈于是有 aa＋ －110022＋ ＋bb22＝ ＝rr22， ， a2＋b－42＝r2.
课前预习
课堂互动
课堂反馈
解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)． 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过．
课前预习
课堂互动
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圆 C：(x－a)2＋(y－ r2－a2)2＝r2－a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为 2ax＋2 r2－a2y＝r2＋a2. 令 x＝a，得 y＝12 r2－a2， ∴H(a，12 r2－a2)，即 H 为 CD 中点，
∴EF 平分 CD．
课前预习
课堂互动
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规律方法 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则： (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得．
2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式 的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及 解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解 决问题．
课前预习Βιβλιοθήκη 课堂互动课堂反馈于是有 aa＋ －110022＋ ＋bb22＝ ＝rr22， ， a2＋b－42＝r2.
课前预习
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解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)． 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过．
4.2.1《直线与圆的位置关系》PPT课件
巩固练习：
①判断直线４x－３y=50与圆 x 2 y 2 100的位置关系．如
果相交，求出交点坐标．
解：因为圆心O（0，0）到直线４x－３y=50
| 0 0 50 |
的距离d=
5
= 10
而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。 圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0
解方程组
4x 3x
3 4
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
A2 B2
直线与圆的位置关系
在2009年08月08日台凤莫拉克袭击宝岛台湾时，
一艘轮船在沿直线返回泉州港口的途中，接到气象台
的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响
的范围是半径长为30km的圆形区域．已知泉州港口位
于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，
那么它是否会受到台风莫拉克的影响？ y
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
为解决这个问题，我们以台
港口
风中心为原点 O，东西方向为
x 轴，建立如图所示的直角坐 标系，其中取 10km 为单位长
O
轮船 x
度．
直线与圆的位置关系
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
2
2
圆 C1:x +y
+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0)与
2
2
C2:x +y +D2x+E2y+F2=0
( + -4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R)表示过两圆
3
相交
|r1-r2|<d<r1+r2
2
内切
d=|r1-r2|
1
内含
d<|r1-r2|
0
1.圆的切线方程常用结论
(1) 过 圆 x2+y2=r2(r>0) 上 一 点 P(x0,y0) 的 圆 的 切 线 方 程 为
x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直
C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交;
2
2
(1)证明:因为 C1:(x-1) +(y-3) =11,
圆心 C1(1,3),半径 r1= ;
2
2
C2:(x-5) +(y-6) =16,
圆心 C2(5,6),半径 r2=4.
所以|C1C2|= (-) + (-) =5,
圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(
2
圆 C1:x +y
+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0)与
2
2
C2:x +y +D2x+E2y+F2=0
( + -4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R)表示过两圆
3
相交
|r1-r2|<d<r1+r2
2
内切
d=|r1-r2|
1
内含
d<|r1-r2|
0
1.圆的切线方程常用结论
(1) 过 圆 x2+y2=r2(r>0) 上 一 点 P(x0,y0) 的 圆 的 切 线 方 程 为
x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直
C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交;
2
2
(1)证明:因为 C1:(x-1) +(y-3) =11,
圆心 C1(1,3),半径 r1= ;
2
2
C2:(x-5) +(y-6) =16,
圆心 C2(5,6),半径 r2=4.
所以|C1C2|= (-) + (-) =5,
圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(
苏教版小学五年级数学下册第六单元《圆》课件
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
1．圆是由曲线围成的封闭图形。
2．用圆规画圆时，针尖固定的一点是圆心， 连接圆心和圆上任意一点的线段是半径， 通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径。
课堂小结
3．圆有无数条直径和半径。在同圆或 等圆中，直径的长度是半径的2倍， 半径的长度是直径的一半，用字母表 示为d＝2r或r＝ d 。
钝角 120°
练一练
3.一个圆被分成了三部分（如下图）。你能 比较这三个扇形的大小吗？
最小
最大
课 堂 检 测 （教材91页第11题） 1.在钟表上分别表示分针从12起，走5分钟、15分
钟和30分钟所经过的部分。
扇形
课 堂 检 测 （教材91页第12题） 2.每个圆里的涂色部分和空白部分都可以看作什
探究新知
比较 3 个车轮 的直径和周长， 你有什么发现？
车轮的直径越长， 周长就越长。
探 究 新 知 知识点2：圆周率的意义及圆的周长公式
如右图， 在正方形内画一 个最大的圆。 你知道正方 形的周长是圆直径的几倍吗？ 在圆内再画一个正六边形， 六边形的顶点都在圆上， 六 边形的周长是圆直径的几倍？
3.14×66＝207.24（厘米） 3.14×61＝191.54（厘米） 3.14×56＝175.84（厘米）
试一试
答：26英寸车轮的周长大约是207.24厘米； 24英寸车轮的周长大约是191.54厘米； 22英寸车轮的周长大约是175.84厘米。
练一练
一个圆形喷水池的半径是14米。它的周长是
圆的位置和（ 圆心 ）有关。 同一个圆中，直径和半径的关系为d 2r 或 r d
2
圆是轴对称图形，有（无数条）对称轴。
2019_2020学年高中数学第4章圆的方程4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式课件新人教A版必修2
[正解] 取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1，连接 BO、OO1，可得 BO⊥AC，分 别以 OB、OC、OO1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∵三棱柱 各棱长均为 1，∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝12，OB＝ 23，∵A、B、C 均在坐标轴上，
∴A(0，－12，0)、B( 23，0,0)、C(0，12，0)， 点 A1 与 C1 在 yOz 平面内，A1(0，－12，1)、C1(0，12， 1)，点 B1 在 xOy 面内投影为 B，且 BB1＝1.B1( 23，0,1)， ∴各点的坐标为 A(0，－12，0)、B( 23，0,0)、C(0，12， 0)、A1(0，－12，1)、B1( 23，0,1)、C1(0，12，1)．
2．坐标 如右图所示，设点 M 为空间直角坐标系中的一个定点，过点 M 分别作垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴的___平__面___，依次交 x 轴、y 轴和 z 轴于点 P、 Q 和 R.设点 P、Q 和 R 在 x 轴，y 轴和 z 轴上的坐标分别是 x、y 和 z，那么点 M 就和有序实数组(x，y，z)是_一__一__对__应_ 的关系，有序实数组_(x_，__y_，__z_)叫做点 M 在此空间直角坐标 系中的坐标，记作M__(x_，__y_，__z_)___，其中 x 叫做点 M 的 _横__坐__标___，y 叫做点 M 的_纵__坐__标___，z 叫做点 M 的_竖__坐__标___.
1．下列点在x轴上的是( C ) A．(0.1,0.2,0.3)
B．(0,0,0.001)
C．(5,0,0)
D．(0,0.01,0)
[解析] x轴上的点的纵坐标和竖坐标为0，故选C．
2 ． 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 点 M( － 1,2 ， － 4) 关 于 x 轴 的 对 称 点 的 坐 标 是
圆与方程总结
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专题归纳
解读高考
法二
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心为 C(a，b)，则|CA|＝|CB|，CA⊥l， a－32＋b－62＝a－52＋b－22＝r2， 得b－6 4 × ＝－1. a－3 3 9 2 25 解得 a＝5，b＝2，r ＝ 4 . ∴圆的方程为(x－5)
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专题归纳
解读高考
解 (1)将两圆方程配方化为标准方程， C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10. 则圆 C1 的圆心为(1，－5)，半径 r1＝5 2； 圆 C2 的圆心为(－1，－1)，半径 r2＝ 10.又|C1C2|＝2 5，r1＋ r2＝5 2＋ 10， r1－r2＝5 2－ 10. ∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为 x－2y＋4＝0
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5．空间直角坐标系 (1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点 都与有序实数组(x，y，z)一一对应． (2) 空间中 P1(x1 ， y1 ， z1) ， P2(x2 ， y2 ， z2) 之间的距离 |P1P2| ＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22. (3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法 来求空间直角坐标系下的对称点．
3x＋4y－33＝0， 解方程组 x－2y－1＝0， x＝7， 得 y＝3.
∴P(7,3)．∴圆心为 AP
9 5 中点 5，2 ，半径为|AC|＝2.
2
∴所求圆的方程为(x－5)
92 25 ＋y－2 ＝ 4 .
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直线的极坐标方程及柱坐标系和球坐标系课件
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为
4 ( 0)
思考： 5 1、求过极点，倾角为 的射线的极 4 5 坐标方程。 易得 ( 0 ) 2、求过极点，倾角为 坐标方程。
点M(ρ 0，θ 0)，且极轴到此直线的角为α ，直 线l的极坐标方程为： ρ sin(α -θ ) =
ρ 0sin(α -θ 0)
.
阅读课本P16---17
了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.
z 设P是空间任意一点， P(ρ,θ,Z) 在oxy平面的射影为Q， 用(ρ ,θ )(ρ ≥0, 0≤θ ＜2π )表示点Q o y 在平面oxy上的极坐标， θ 点P的位置可用有 Q x 序数组(ρ ,θ ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱 坐标系. 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点P的柱 坐标，记作(ρ ,θ ,Z). 其中 ρ ≥0, 0≤θ ＜ 2π , -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐 标 (ρ ,θ ,Z) 之间的变换公式为
x cos y sin z z
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它 在柱坐标系中的坐标.
由已知的对称直线的问题关于sin12一个圆的方程为在极坐标系中已知sinsin直线的方程是相切的一条化为极坐标方程为圆的方程为那么一条与此圆相切的面积所围成的的面积积就是扇形解
§1.3.2直线的极坐标方程
补充-圆系方程
（x y x） ( x y y) 0
2 2 2 2
即：y x 0
例2：求经过点M（2,-2），以及圆x 2 y 2 6 x 0与圆x 2 y 2 4
的交点的圆的方程。
x 2 y 2 D1 x E1 y F1 ( x 2 y 2 D2 x E2 y F2 ) 0
解：设 0 (
解：设所求圆的方程为x 2 y 2 2 x 4 y 1 (2 x y 4) 0
又 此圆过原点（ ,0）， 1 4 0，解得 0
1 4
1 所求圆的方程为x 2 y 2 2 x 4 y 1 - (2 x y 4) 0， 4 3 17 2 2 即x y x y 0 2 4
圆系方程2
例2：求经过点M（2,-2），以及圆x 2 y 2 6 x 0与圆x 2 y 2 4
的交点的圆的方程。
若圆C1：x 2 y 2 D1 x E1 y F1 0, 圆C 2：x y D2 x E2 y F2 0
2 2
则过C1与C 2交点的圆系方程为： x 2 y 2 D1 x E1 y F1 ( x 2 y 2 D2 x E2 y F2 ) 0
此圆过点M（2， 2）， 4 4 0,即 1
所求圆的方程为：x 2 y 2 3x 2 0
圆系方程3
例3：过圆x 2 y 2 x 0与圆x 2 y 2 y 0的交点的直线方程为？
若圆C1：x 2 y 2 D1 x E1 y F1 0, 圆C 2：x 2 y 2 D2 x E2 y F2 0相交于A, B
圆系方程
两圆方程即为：(x 5)2 ( y 5)2 50, (x 3)2 ( y 1)2 50
O1(5,5), O2 (3,1), r1 5 2, r2 5 2 | O1O2 | 80 (r1 r2 , r1 r2 ) 相交 公共弦AB所在直线为：16 x 8y - 40 0，即2x y 5 0
C
外切，则
2
(a 2)2 (a 2)2
b2 b2
31 31
a0 b 2
3
(a 2)2 (a 2)2
b2 b2
31 31
a
b
3 2 15 2
(4)与C1外切，
C2内切，则
(a 2)2 b2 3 1 (a 2)2 b2 3 1
b
a
3
2 15 24
O2
O1
O2
O1
O2 O1
2
例：圆：x2 y2 2x 6y 26 0与圆：x2 y2 - 4x 2y 4 0 的公切线有几条？
圆方程即为：(x 1)2 ( y 3)2 36, (x 2)2 ( y 1)2 1 O1(1,3), O2 (2,1), r1 6, r2 1 | O1O2 | 5 r1 r2 内切 公切线1条
x2 y2 D1x E1 y F1 (x2 y2 D2 x E2 y F2 ) 0
若圆C1：x2 y2 D1x E1 y F1 0, 直线l：ax by c 0
则过C1与l交点的圆系方程为：
x2 y2 D1x E1 y F1 (ax by c) 0
例：求C1：x2 y2 2x 6 y 9 0和C2：x2 y2 6x 2 y 1 0 公切线方程。
两圆方程即为：(x 1)2 ( y 3)2 1, (x 3)2 ( y 1)2 9
O1(5,5), O2 (3,1), r1 5 2, r2 5 2 | O1O2 | 80 (r1 r2 , r1 r2 ) 相交 公共弦AB所在直线为：16 x 8y - 40 0，即2x y 5 0
C
外切，则
2
(a 2)2 (a 2)2
b2 b2
31 31
a0 b 2
3
(a 2)2 (a 2)2
b2 b2
31 31
a
b
3 2 15 2
(4)与C1外切，
C2内切，则
(a 2)2 b2 3 1 (a 2)2 b2 3 1
b
a
3
2 15 24
O2
O1
O2
O1
O2 O1
2
例：圆：x2 y2 2x 6y 26 0与圆：x2 y2 - 4x 2y 4 0 的公切线有几条？
圆方程即为：(x 1)2 ( y 3)2 36, (x 2)2 ( y 1)2 1 O1(1,3), O2 (2,1), r1 6, r2 1 | O1O2 | 5 r1 r2 内切 公切线1条
x2 y2 D1x E1 y F1 (x2 y2 D2 x E2 y F2 ) 0
若圆C1：x2 y2 D1x E1 y F1 0, 直线l：ax by c 0
则过C1与l交点的圆系方程为：
x2 y2 D1x E1 y F1 (ax by c) 0
例：求C1：x2 y2 2x 6 y 9 0和C2：x2 y2 6x 2 y 1 0 公切线方程。
两圆方程即为：(x 1)2 ( y 3)2 1, (x 3)2 ( y 1)2 9
圆系方程
2 2 2 2
圆的方程：
1
4 1 整理得x y x 0 1 1
2 2
2 2 4 1 2 配方得(x ) y 2 1 (1 ) 圆与直线 3 y 0相切，
2
2 1 3 0 6 4 2 1 2 (1 ) 1 3 8 化简得11 +8=0 =11
∵圆心C应在公共弦AB所在直线上，
∴ 所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0．
练习：
1、求过圆 x 2 + y 2 －6x －8y + 20 = 0 和 x 2 + y 2 －10x + 4y + 4 = 0 的交点，且过点 ( 3 , －1 ) 的圆方程。
2、求过圆 x 2 + y 2－2y = 0 和直线 2x + y －3 = 0的交点，且圆心在 x 轴上的圆方程。 3、求过圆 x 2 + y 2 = 4 和 x 2 + y 2－2x－4y + 4=0 的交点，且和直线 x + 2y = 0 相切的 圆方程。
例5：求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2： x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的 方程．
相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．
∵所求圆以AB为直径， 于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25 .
解法二： 设所求圆的方程为： x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0
2 1 由圆心( , )代入2 x 4 y 1 1 1 1 3
圆的方程：
1
4 1 整理得x y x 0 1 1
2 2
2 2 4 1 2 配方得(x ) y 2 1 (1 ) 圆与直线 3 y 0相切，
2
2 1 3 0 6 4 2 1 2 (1 ) 1 3 8 化简得11 +8=0 =11
∵圆心C应在公共弦AB所在直线上，
∴ 所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0．
练习：
1、求过圆 x 2 + y 2 －6x －8y + 20 = 0 和 x 2 + y 2 －10x + 4y + 4 = 0 的交点，且过点 ( 3 , －1 ) 的圆方程。
2、求过圆 x 2 + y 2－2y = 0 和直线 2x + y －3 = 0的交点，且圆心在 x 轴上的圆方程。 3、求过圆 x 2 + y 2 = 4 和 x 2 + y 2－2x－4y + 4=0 的交点，且和直线 x + 2y = 0 相切的 圆方程。
例5：求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2： x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的 方程．
相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．
∵所求圆以AB为直径， 于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25 .
解法二： 设所求圆的方程为： x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0
2 1 由圆心( , )代入2 x 4 y 1 1 1 1 3
高三数学《师说》系列一轮复习 圆的方程课件 理 新人教B
相交 R－r＜d＜R＋ M 有两组实数解 r
内切 内含
d＝R－r d＜R－r
M 有一组实数解 M 无实数解
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/162022/1/16January 16, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/162022/1/16
点评 确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数” 是解题的基本方法．其中，选标准是指根据已知条件选恰当的圆的 方程的形式，进而确定其中三个参数 .
变式迁移 1 求满足下列条件的圆的方程： (1)圆心在 x 轴上，半径为 5，且过点 A(2，－3)； (2)过点 A(1,2)和 B(1,10)，且与直线 x－2y－1＝0 相切．
示圆的必要条件，而不是充分条件，还需要加上(DA)2＋(EA)2－4AF＞0， 即 D2＋E2－4AF＞0.
(4)常见圆的方程 ①圆心在原点的圆，标准方程：x2＋y2＝r2；一般方程：x2＋y2 －r2＝0. ②过原点的圆，标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2；一般方 程：x2＋y2＋Dx＋Ey＝0. ③圆心在 x 轴上的圆，标准方程：(x－a)2＋y2＝r2；一般方程： x2＋y2＋Dx＋F＝0. ④圆心在 y 轴上的圆，标准方程：x2＋(y－b)2＝r2；一般方程： x2＋y2＋Ey＋F＝0. ⑤与 x 轴相切的圆，标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝b2；一般方
圆与圆的位置关系ppt课件
1个 2个 1个 0个 0个
0
16
圆与圆的 五 种 位置关系 圆心距为d
r1
r2
O1
O2
r1
r2
O1
O2
rr1 1
r2
O1 O2
相交
外离 d>r1 +r2
无公共点 4条公切线
外切 d=r1 +r2 | r1 -r2|<d<r1 +r2
唯一公共点
两个公共点
3条公切线
2条公切线
r1 r2
O1 O2
r1 r2
x 12 y 42 25.
圆把C圆1的C2圆的x 心方2是程2 点化 y（为 2-标12准，1方-04.程），,半得径长r1=5.求标两及圆半心径坐 圆C1的圆心是点（2，2）,半径长r2= 10（. 配方法）
圆C1与圆C2的连心线长为
圆C1与圆C2的半径之和是 1 22 4 22 3 5,
几何方法 代数方法
各有何优劣，如何选用？
（1）当Δ=0时，有一个交点，两圆位置关系如何？
内切或外切
（2）当Δ<0时，没有交点，两圆位置关系如何？
内含或相离
几何方法直观，但不能求出交点； 代数方法能求出交点，但Δ=0， Δ<0时，不能判断 圆的位置关系。
26
小结：
1、研究两圆的位置关系可以有两种方法:
y
（-1,1） A
. （2，2）C2
O
. （-1，-4）
x
B（3,-1）
x+2y-1=0
C1
20
判断C1和C2的位置关系
解：联立两个方程组得
x2 y2 2x 8 y 8 0 ①
2.2.2圆的参数方程
2
.
呼和浩特第一中学
5.(2011 陕西) (坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xoy 中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
x =3+cos 系，设点 A， B 分别在曲线 C1: ( 为参数) y =4+sin
和曲线 C2： =1 上，则 AB 的最小值为
o
x
x
呼和浩特第一中学
(a,b), 2、圆心在(0,0) ，如图引入一个参数θ
(圆上的点所对应的半径与x轴正半轴的夹角)
r cos x ar cos 得出： r sin r sin y b
（2 1）
P ( x, y) P ( x, y) r y r ) (a,b y
求该圆的普通方程。
y
该圆的普通方程为：
o
C(5,-3)
x
(x-5)2 +(y+3)2 =4 。
圆的参数方程应用
2 2
呼和浩特第一中学
例 3. 设点 P(x,y)为圆 x +y -6x-4y+12=0 上的动点,求 (1) x +y 的最值 ; (2) x+y 的最值 ; (3) 点 P 到直线 x+y-1=0 的距离 d 的最值.
2 2
呼和浩特第一中学
例 4.(2011 全国新课标理 ) 选修 4-4：坐标系与参数方程
x =2cos 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 y =2+2sin uuu v uuuv ( 为参数 ),M 为 C1 上的动点， P 点满足 OP =2OM ,点 P 的
3、如图所示:由三角函数的定义,得
y sin r
.
呼和浩特第一中学
5.(2011 陕西) (坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xoy 中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
x =3+cos 系，设点 A， B 分别在曲线 C1: ( 为参数) y =4+sin
和曲线 C2： =1 上，则 AB 的最小值为
o
x
x
呼和浩特第一中学
(a,b), 2、圆心在(0,0) ，如图引入一个参数θ
(圆上的点所对应的半径与x轴正半轴的夹角)
r cos x ar cos 得出： r sin r sin y b
（2 1）
P ( x, y) P ( x, y) r y r ) (a,b y
求该圆的普通方程。
y
该圆的普通方程为：
o
C(5,-3)
x
(x-5)2 +(y+3)2 =4 。
圆的参数方程应用
2 2
呼和浩特第一中学
例 3. 设点 P(x,y)为圆 x +y -6x-4y+12=0 上的动点,求 (1) x +y 的最值 ; (2) x+y 的最值 ; (3) 点 P 到直线 x+y-1=0 的距离 d 的最值.
2 2
呼和浩特第一中学
例 4.(2011 全国新课标理 ) 选修 4-4：坐标系与参数方程
x =2cos 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 y =2+2sin uuu v uuuv ( 为参数 ),M 为 C1 上的动点， P 点满足 OP =2OM ,点 P 的
3、如图所示:由三角函数的定义,得
y sin r
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法：设所求圆的方程为： x2＋y2－4＋λ(x2＋y2－4x)＝0(λ≠－1)． 整理得： x2＋y2－14＋λλx－1＋4 λ＝0， ∵圆心(12＋λλ，0)在直线 x－ 3y－6＝0 上， ∴12＋λλ－6＝0. 解得 λ＝－32. ∴所求圆的方程为 x2＋y2－12x＋8＝0.
例2、求圆心为 ( 2 , 1 ) 且与已知圆 x 2 + y 2 － 3x = 0 的公共弦所在直线经过点 ( 5 , －2 ) 的 圆方程。
求证：无论m取何实数,直线l 恒过定点,并求出定点坐标。
解: 整理该方程得：
法一
(x ? 2 y ? 1)? m(? x ? y ? 1) ? 0
该方程表示过 l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0 和l2 : ? x ? y ? 1 ? 0交点的直线。 解方程组，得交点：(3, ? 2) 故无论m取何值，直线恒过定点 (3,?2)
(3) 过两圆交点的圆系：若两圆 x 2 + y 2 + D1x + E1y + F1 = 0 和 x 2 + y 2 + D2x + E2y + F2 = 0 相交，则过这两圆交点的圆系方程为 _x_2 ?__y_2 ?__D_1 x_?__E_1 y_?__F_1 ?__?_( x_2_?__y2_?_D__2 x_?__E_2 y_?__F_2 )_?_0
__A_1_x_+__B__1y__+__C_1__+__?_(_A__2_x_+__B_2_y__+_C__2_)_=__0__
__(?__为__参__数__,_不__包__括___直__线___A_2_x_?__B_2_y__?_C__2_?__0_)
【典型例题】
1.已知直线 l :(1? m)x ? (2 ? m) y ? (1? m) ? 0 ，
o x
直线系方程的种类2:
2、与直线l：Ax ? By ? C ? 0垂直的 直线系方程为 Bx ? Ay ? C2 ? 0 (其中C2为待定系数 )
y
o
x
直线系方程的种类3:
3、过定点 P( x0 , y0 )的直线系方程为
y? y0 ? k(x ? x0)
此方程不包括直线 x ? x0
y
o
x
x 2 + y 2 －4x + 2y + ? ( x 2 + y 2 －2y －4 ) = 0
由圆心
( 1
2
??
,
?
1
? ?
1
?
)代入
2x
?
4
y
? y 2 －3x + y －1 = 0
[例 3] 过两圆 x2＋y2－4＝0 和 x2－4x＋y2＝0 的交点， 且圆心在直线 x－ 3y－6＝0 上的圆的方程．
直线系方程
直线系方程的定义
具有某种共同性质的所有直线的集合叫做直线系。
它的方程叫 直线系方程 。
共同性质如： 平行于已知直线的直线系方程； 垂直于已知直线的直线系方程； 过定点的直线系方程
直线系方程的种类1:
1、与直线l：Ax ? By ? C ? 0平行的 直线系方程为 Ax ? By ? C1 ? 0 y (其中C ? C1，C1为待定系数 )
【典型例题】
2.已知直线 l :(1? m) x ? (2 ? m) y ? (1? m) ? 0 ， 求当m在实数范围内变化时 ,原点到直线 l的距离的最大值。
解: 由第1题，知直线过定点 (3,?2) 由图可知，当 l ? OP时，原点到直线 l的距离最大。 原点到直线的最大距离 d ? 13
练习
一. 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程： 1.过两直线 x ? 2 y ? 3 ? 0和 x ? 2 y ? 9 ? 0的交点
和原点的直线方程是 : __y_=_x__ 2.过两直线 2 x ? 3 y ? 10 ? 0和 3 x ? 4 y ? 2 ? 0的交点 ,
且垂直于直线 3 x ? 2 y ? 4 ? 0的直线是 :2x_+_3_y_-_2=_0 3.过两直线 2 x ? y ? 8 ? 0和 x ? 2 y ? 1 ? 0的交点 ,
2、常见的圆系方程：
(1) 半径相等的圆系方程为 _(_x_－__a__) 2__+_(_y__－_b__)_2_=__r 2__( _a_、__b_为__参__数__)___
图象特点：__大__小__一_样__，__位__置__不_同_______
(2) 同心圆系方程为 __(_x_－__a__) _2 _+_(_y__－__b_)_2_=__k_2_(_k__为_参__数__)____ 图象特点：_位__置__相__同_，__大__小__不__同____
且平行于直线 4 x - 3 y ? 7 ? 0的直线是 : 4_x_-_3_y-6=0
4.过两直线 y ? 2 x ? 3和 3 x ? y ? 2 ? 0的交点 , 且垂直于第一条直线的 直线方程是 : x_+_2_y_-11=0
圆系方程
圆系
1、定义：具有某种 _共__同___ 性质的圆叫做圆系； 它的方程叫 __圆__系__方__程_____
当? = －1 时，方程表示两圆___公__共__弦_方__程_
故求两圆的公共弦方程，只需消去 x 2、y 2 项
例1、求过两圆 x 2 + y 2 －4x + 2y = 0 和 x 2 + y 2 －2y －4 = 0 的交点，且圆心在直线 2x + 4y = 1 上的圆方程。
解：设所求圆方程为
3.已知直线l :(1? m)x ? (2 ? m) y ? (1? m) ? 0 ，
求证 l与圆：( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25总有两个公共点
已知圆：( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1, 直线： kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 则直线与圆公共点的个 数 A、1个 B、2个 C、1个或2个 D、0个1个或2个
直线系方程的种类4:
4. 若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0 相交，交点为P（x0，y0），则过两直线的交点的 直线系方程为: A1x+B1y+C1 +k( A2x+B2y+C2)=0(2) 其中k为待定系 数.方程少一条直线。
y
o
x
4、中心直线系方程： 过相交直线 A 1x + B 1y + C 1 = 0 和 A 2x + B 2y + C 2 = 0 的交点的直线系方程为