n等分角象限及其取值范围的确定

()n N n

α

+∈的象限及其范围确定

已知α为某象限的角，如何确定n

α

所在的象限及其取值范围呢？下面我们介绍一种几何作图法来解决这类问题。

一、

n

α

所在象限的确定 一般地，要确定n

α

所在的象限，可以做出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们

与坐标轴把周角分成4n 个区域。从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循

环标上1,2,3,4。标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时n

α

的终边所落在的区域。

如此，n

α

所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出。

例：若α为第二象限角，试用几何作图法确定2

α

所在的象限。

【解析】根据分母值2，将每个象限二等分，然后标号，最后根据α为第二象限角确定2α的终边所落的区域，从而看出2

α

所在的象限。 ①利用几何作图法，二等分各个象限并标号，如下图：

x

②因为α为第二象限角，所以上图标号为2区域就是2α

的终边所落在的区域。上图中有两个区域标号为2，分别在第一象限与第三象限，所以2

α

所在的象限为一、三象限。

二、n

α

取值范围的确定

在确定n

α

的取值范围之前，我们要先明确下面两类终边相同角的集合的表示方法：

①终边落在射线上的角的集合表示方法：(){}=+2,,2,2k k Z ββαπαππ∈∈-； ②终边落在直线上的角的集合表示方法：

(){}=+,,,k k Z ββαπαππ∈∈-。

注意：终边在射线上对应的是2π的整数倍；终边在直线上对应的是π的整数倍。 例：若α为第二象限角，试确定

2

α

的取值范围。

x

【解析】在上面我们已经确定了

2α的终边落在了标号为2的区域内，因此2

α

的取值范围就在标号为2的区域所在的范围，如图：

x

因为一、三象限的等分线与x 正半轴夹角为4π，y 正半轴对应的角为2

π

，并且这两个角的终边都落在直线上。与4π终边相同的角的终边都落在直线y x =上，与2

π

终边相同的

角的终边都落在直线0x =（y 轴）上。所以

2α的取值范围是,422k k k Z παπππ⎧⎫

+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭

。

巩固练习：若α为第四象限角，试确定3

α

所在的象限及其取值范围。

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