山东大学网络教育离散数学卷(2)-参考答案

山东大学网络教育离散数学卷2参考答案
一、选择题
1、请指出下列选项中哪一个是错误的：（2）
（1）∅⊆∅ （2）∅∈∅ （3）}{∅⊆∅ （4）}{∅∈∅
2、对任意集合C B A ,,，下述论断正确的是：（1）
（1）若C B B A ⊆∈,，则C A ∈ （2）若C B B A ⊆∈,，则C A ⊆
（3）若C B B A ∈⊆,，则C A ∈ （4）若C B B A ∈⊆,，则C A ⊆
3、假设},,{c b a A =上的关系},,,,{>><><><<=a c c a b a a a R ，那么，R 是：（4）
（1）反自反的 （2）反对称的 （3） 可传递的 （4）不可传递的
4、非空集合A 上的空关系R 不具备下列哪个性质：（1）
（1）自反性 （2）反自反性 （3） 对称性 （4）传递性
5、若C B g B A f →→:,:是满射函数，则复合函数f g 必是：（3）
（1）双射函数 （2）单射函数 （3）满射函数 （4）不单射也不满射
6、假设},,{c b a A =，}2,1{=B ，下列哪个关系是A 到B 的函数：（3）
（1）}2,1,2,1,2,1,{>><><><><><<=c c b b a a f
（2）},,,,,,{>><><><><><<=c c a c b b a b b a a a f
（3）}1,2,1,{>><><<=c b a f
（4）},1,2,1{>><><<=c b a f
7、一个无向简单图G 有m 条边，n 个顶点，则图中顶点的总度数为：（3）
（1）2m （2）2
n （3）m 2 （4）n 2
8、一个图是哈密顿图是指：（3）
（1）图中包含一条回路经过图中每条边一次且仅一次；
（2）图中包含一条路经过图中每条边一次且仅一次；
（3）图中包含一条回路经过图中每个顶点一次且仅一次；
（4）图中包含一条路经过图中每个顶点一次且仅一次。

9、一棵树有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，则其1度的顶点数为：（2）
（1）5 （2）7 （3）8 （4）9
10、完全m 叉树中有l 片叶，i 个分支点，则有关系式是：（2）
（1）1-=l i （2）l i m =+-1)1( （3）l i m =-)1( （4）1)1(-=-i l m
二、填空题
1、假设}}{},,{{c b a A =，}}{},{},{{c b a B =试求出：
A 的幂集=)(A ρ{∅,{{a,b}},{{c}},{{a,b},{c}}}；
2、假设},30|{2正整数∈<=x x x A ，}20|{<=x x x B 是正奇数，
，}5,3,1{=C
（1）=--)()(A B A C {7,9,11,13,15,17,19}；
（2）=-A C B )( ∅；
3、假设}4,3,2,1{=A 上的关系}3,2{><=R ，则：
（1）=)(R r {<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,3>,<4,4>}；
（2）=)(R s {<2,3>,<3,2>}；
（3）=)(R t {<2,3>}；
4、假设}3,2,1{=A ，h g f ,,是A 到A 的函数，其中：（a ）1)3()2()1(===f f f ；（b ）1)1(=g ，3)2(=g ，2)3(=g ；（c ）3)1(=h ，1)3()2(==h h ；则：
（1）g 是满射；（2）g 是双射；
5、设无向图G 有36条边，有6个3度的顶点，其余顶点度数均小于3，则G 中至少有33个顶点。

6、假设P ：今天天气好，Q ：我就去锻炼身体。

（1）命题“如果今天天气好，我就去锻炼身体”符号化为 P →Q ；
三、假设A 、B 是任意两个集合，证明：)()()(B A B A ρρρ=。

证明：对)()(B p A p X ∈∀，则)(A p X ∈且)(B p X ∈
所以A X ⊆ 并且 B X ⊆
由交集的定义，则
B A X ⊆ 所以
)(B A p X ∈ 因此 )()()(B A p B p A p ⊆
反之，假设)(B A p X ∈∀
则 B A X ⊆
所以 A X ⊆ 并且 B X ⊆
所以 )(A p X ∈ 且 )(B p X ∈
由交集定义，则)()(B p A p X ∈
故 )()()(B p A p B A p ⊆
综上 )()()(B A B A ρρρ=
四、证明定义在实数集合R 上的关系}3
,
,|,{是整数y x R y x y x S -∈><=是一个等价关系。

证明：对R x ∈∀，则3x
x -是整数，所以S 是自反的；
对R y x ∈∀,，并且设S y x >∈<,，则q y x =-3是整数
而q x y -=-3也是整数，所以S x y >∈<,，S 是对称的；
对R z y x ∈∀,,，并且设S y x >∈<,，S z y >∈<,
则 q y x =-3，r z y =-3，r q ,是整数；
而 r q z y y x z y y x z x +=-+-=-+-=-3333也是整数
所以 S z x >∈<,
因此 S 是传递的
综上，S 是等价关系。

五、对下列集合在整除关系下构成的偏序集，画出Hasse 图，并写出最大元，最小元，极大元，极小元。

（1）}36,24,12,6,3,2{1=A
（2）}30,15,10,6,5,3,2,1{2=A
（3）}9,6,3,1{3=A
解：（1）无最大元，极大元为：24，36；无最小元，极小元为：2，3；
（2）最大元和极大元为：30；最小元和极小元为：1
（3）无最大元，极大元为：6，9；最小元和极小元为：1
9
6 3 1 （1） （3）
六、设无向图G 中有9个顶点，每个顶点的度数不是5就是6，试证明G 中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。

解：假设图G 中最多有4个6度顶点，并且最多有有5个5度顶点
则度为奇数的顶点只能为偶数个，所以5度顶点应该为4个，
而6度顶点最多也为4个，所以与命题条件有9个顶点产生矛盾；
因此G 中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。