63 最佳平方逼近PPT课件

意味着 I(c 0 ,c 1 , ,c n ) c i m (, )I (ic 0 ,n c 1 , ,c n )(6.5)
f(x ) p n * (x )2 2 m p n f( ix n ) p n (x )2 2
分析
基函 数
有限 维
对于连续函数空间 C[a,b] 中的元素 f(x) 及其子空间
sp {0 ( a x ), 1 n ( x ) ,,n ( x )}
所谓 f(x) 在Φ 中的最佳平方逼近，就是存在
p n (x ) c 0 0 c 1 1 c n n
使得对于一切
广义多
wenku.baidu.com 项式
使对一切a ≤x ≤b 有
fx P x su pfx P x x a ,b
成立
最佳一致逼近
f(x)C[a,b] 若存在一个 pn*(x) ，使得
in f fx p n * x p n x H nfx p n x E n (f)
其中，表H 示n 由所有次数不超过n的代数多项式
p n ( x ) c 00 c 11 c nn
都有：
f(x ) p n * (x )2f(x ) p n (x )2
不等式
f(x ) p n * (x )2f(x ) p n (x )2
说明所求的 p n (x ) c 0 0 c 1 1 c n n
满足等式：
f(x ) p n * (x )2 m p n f( ix n ) p n (x )2 (6.2)
其中 p n (x ) c 00 c 11 c nn
由于pn*(x)是由其系数c0* , c1*, … ,cn* 唯一确定的，因此，只
要我们求出了满足(6.2)的 c0* , c1*, … ,cn* ，就可以求出f(x)最
佳平方逼近：
投影
p n (x ) c 0 0 c 1 1 c n n
对于f (x)∈C[a,b],若存在 p*(x) ，使得
fp*2in f b (x)[f(x)p(x)]2d x 2 a
则称 p * ( x ) 是 f (x)在 C[a,b] 中的最佳平方逼近函数。
定理6.12 连续函数在[a, b]上线性无关的充分必要条件是
它们的克莱姆(Gram)行列式Gn 0，其中
Gn Gn (0 , 1, , n )
(0 , 0 ) (0 , 1) (0 , n )
(1,
0 ) (1, 1)
(1, n )
(n , 0 ) (n , 1) (n , n )
定理6.11 对于任意的函数 f C[a,b],
在 中有唯一的最佳平方逼近的充要条件是：
0(x ) ,1(x ) ,n (x )G,ram 行列式不等于零
（维尔斯特拉斯定理）
定义 设0(x),1(x), n(x)在[a,b]上连续, 6.如 3.2果 最佳平方逼近
当且 设a仅 0 0(0当 x)(x ,a1 )(0x ) a,a1, 1n 1((xx)) 是[aan,时 ba]成 上n线立 n(性x,)则 无称 关0 的连续函数
a0,0a(1x,)…,,1a(xn )是, 任意n(实x)数在，[a则,b]上是线性无关的. S ( x ) a 00 ( x ) a 1 1 ( x ) a nn ( x )
➢函数类 A通常是区间 [a,b] 上的连续函数，记作C[a,b] ；
函数类 B 通常是代数多项式，有理多项式，三角多 项式，分段多项式等容易计算的函数。
定理 6.1（维尔斯特拉斯定理）
若f (x)是区间[a, b]上的连续函数，则对于任意 >0，
总存在多项式 P (x ) a 0 a 1 x a 2 ，x 2 ... a n x n
6.3 最佳平方逼近
x sin x
x 1 x3 3!
➢定义 近似代替又称为逼近，函数 f(x) 称为被逼近函数；
P(x) 称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差。
➢函数逼近问题可叙述为：对函数类 A 中给定的函数 f(x) ，需要在另一类较简单的便于计算的函数类 B （B∈A）中，找一个函数P(x) ，使P(x) 与 f(x) 之差 在某种度量意义下达到最小。
的全体是C[a, b]的一个子集，记为
n Sp { 0,a 1 ,n ,n }
并称 0(x) ,1(x) ,,n(x)是生成集合的一个基底。
定义6.13 (最佳平方逼近函数)
设 0(x ) ,1(x ) ,n (x )是,C[a , b]中的线性无关函数,
记 span{0,1,, ,n,}
n
{p(x): p(x) akk(x),ak R} k0
构成的线性空间。
则称 pn*(x) 是函数 f(x)C[a,b]的最佳一致逼近
多项式
➢最常用的度量标准有两种：
1、一致逼近（均匀逼近） 以
d (f,p )fx P x s u p fx P x x a ,b
作为度量误差f(x)- P(x) 的“大小” 标准。
2、平方逼近（均方逼近） 以
（1） ‖f‖2 ≥0 , ‖f‖2 =0 , 当且仅当 f =0 ； （2） ‖c f‖2=|c| ‖ f‖2 ; （3） ‖ f + g‖2≤‖ f‖2+‖ g‖2 ;
定理6.10 对于 f C [a,b], 0存在多项式 p ( x )
使得：
b
||f p||2 (a
21
(x )f(x )p (x )d x )2
根据 p n (x ) c 00 c 11 c nn 构造多元函数
I(c0,c1, ,cn) f(x)pn(x)22
b
n
[f(x)
a
cii(x)]2dx
(6.3)
i0
则 I(c0 ,c1 , ,cn )a b[f(x)nci i(x)]2dx i 0
这时等式 f(x ) p n * (x )2 2 m p n f( ix n ) p n (x )2 2(6.4)
||fg||2(a b(x)f(x)g(x)2d x)1 2
作为度量误差f(x)- P(x)的“大小” 标准。
使用不同的度量产生不同的逼近理论。
6.3.1 平方度量与平方逼近 对于 f,gC[a,b] 定义度量
||fg||2(a b(x)f(x)g(x)2d x)1 2
为函数 f(x) 的平方（欧氏）范数，且满足以下性质：