圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化
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一般地, 如果知道变量x, y中的一个与参数t的关系,例 如x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t的 关系y=g(t)，那么:
x f (t ) y g( t )
就是曲线的参数方程。 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取 值范围保持一致
x2 y2 1 的参数方程： 例5 求椭圆 9 4
x= sin cos x= t 1 (1) (t为参数) (2) ( 为参数). y 1 sin 2 y 1 2 t
解: (1)由 x t 1 1
得 t x 1 代入 y 1 2 t
得到 y 2 x 3( x 1) 这是以（1，1）为端点的一条射线；
y b
v O
x a r cos (为参数) y b r sin
P r y
a
x
x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数， 另外，要注明参数及参数的取值范围。
例1 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0) 是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。 y P 解：设点M的坐标是(x, y), M xOP Q o x 则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ). 由中点坐标公式可得
(1)设 x 3cos , 为参数；
(2)设 y 2t , t 为参数.
为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？
练习: 曲线y=x2的一种参数方程是（
2 x t A、 4 y t
）.
x t D、 2 y t
x sin t B、 2 y sin t
上的一点,求 PA PB 的最大值和最小值以及对应P点的 坐标.
2
2
设P( x, y ) 则
PA PB
2 2
x 3 2cos y 4 2sin
(4 2cos )2 (4 2sin ) 2 (2 2cos ) 2 (4 2sin ) 2
3 4 60 40sin( ) (sin , cos ) 5 5 21 28 , 取得最大、最小值时 P 的坐标分别为 最大值和最小值分别为：60和20； 5 5
60 8(3cos 4sin )
9 12 5, 5
三、参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同 形式.为了研究方便，经常要将两种形式进行 互化 1. 将参数方程化为普通方程 一般地通过消参可以将参数方程化为普通方程 注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x，y的取值范围保持一致，否则，互化就是 不等价的.
例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们 各表示什么曲线？
2 cos 6 2sin x 3 cos , y sin 2 2
因此，点M的轨迹的参数方程是
x 3 cos , ( 为参数) y sin .
例2. 已知A（―1，0）、B（1，0）, P为圆
( x 3)2 ( y 4)2 4
( 2) x si n cos 2 si n (
4
)
所以x
2, 2
把 x sin cos平方后减去y 1 sin2
2 x 得到 y
x 2, 2
练习、将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3 cos (1) y 3 sin
x sin (2) y cos2
x=t+1/t
(3)
y=t2+1/t2
(1) ( x2 )2 y2 9 (2) y 1 2x2（ 1≤x≤1） 步骤：（1）消参； （2）求定义域。
(3) x2 y = 2（x≥2或x≤ 2）
例4 参数方程
x | cos sin |, 2 2 (0 2 ) y 1 (1 sin ) 2
圆的参数方程及参数方 程与普通方程的互化
一、知识回顾： 参数方程的概念： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数
Fra Baidu bibliotek
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所
x f (t ), y g (t ).
确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上， 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，
的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.
表示（ B ）
（A）双曲线的一支, 这支过点（1, 1/2）; （B）抛物线的一部分, 这部分过（1, 1/2）; （C）双曲线的一支, 这支过点（–1, 1/2); （D）抛物线的一部分, 这部分过（–1, 1/2).
2.普通方程化为参数方程：
普通方程化为参数方程需要引入参数： 如：直线 l 的普通方程是 2x-y+2=0，可以化为参数方程: x t (t为参数) y 2t 2
x t C、 y t
解： 在y=x2中，x∈R,
y≥0，
在A、B、C中，x, y的范围都发生了变化， 因而与 y=x2不等价； 而在D中， x, y范围与y=x2中x, y的范围相同， 代入y=x2后满足该方程，
从而D是曲线y=x2的一种参数方程. 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y
联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。
二、圆的参数方程
1. 圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.
x r cos ( 为参数) y r sin
其中参数θ的几何意义 是OM0绕点O逆时针旋转到 OM的位置时，OM0转过的 角度
圆心为O1 (a, b) ， 半径为r 的圆的参数方程
x f (t ) y g( t )
就是曲线的参数方程。 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取 值范围保持一致
x2 y2 1 的参数方程： 例5 求椭圆 9 4
x= sin cos x= t 1 (1) (t为参数) (2) ( 为参数). y 1 sin 2 y 1 2 t
解: (1)由 x t 1 1
得 t x 1 代入 y 1 2 t
得到 y 2 x 3( x 1) 这是以（1，1）为端点的一条射线；
y b
v O
x a r cos (为参数) y b r sin
P r y
a
x
x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数， 另外，要注明参数及参数的取值范围。
例1 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0) 是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。 y P 解：设点M的坐标是(x, y), M xOP Q o x 则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ). 由中点坐标公式可得
(1)设 x 3cos , 为参数；
(2)设 y 2t , t 为参数.
为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？
练习: 曲线y=x2的一种参数方程是（
2 x t A、 4 y t
）.
x t D、 2 y t
x sin t B、 2 y sin t
上的一点,求 PA PB 的最大值和最小值以及对应P点的 坐标.
2
2
设P( x, y ) 则
PA PB
2 2
x 3 2cos y 4 2sin
(4 2cos )2 (4 2sin ) 2 (2 2cos ) 2 (4 2sin ) 2
3 4 60 40sin( ) (sin , cos ) 5 5 21 28 , 取得最大、最小值时 P 的坐标分别为 最大值和最小值分别为：60和20； 5 5
60 8(3cos 4sin )
9 12 5, 5
三、参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同 形式.为了研究方便，经常要将两种形式进行 互化 1. 将参数方程化为普通方程 一般地通过消参可以将参数方程化为普通方程 注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x，y的取值范围保持一致，否则，互化就是 不等价的.
例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们 各表示什么曲线？
2 cos 6 2sin x 3 cos , y sin 2 2
因此，点M的轨迹的参数方程是
x 3 cos , ( 为参数) y sin .
例2. 已知A（―1，0）、B（1，0）, P为圆
( x 3)2 ( y 4)2 4
( 2) x si n cos 2 si n (
4
)
所以x
2, 2
把 x sin cos平方后减去y 1 sin2
2 x 得到 y
x 2, 2
练习、将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3 cos (1) y 3 sin
x sin (2) y cos2
x=t+1/t
(3)
y=t2+1/t2
(1) ( x2 )2 y2 9 (2) y 1 2x2（ 1≤x≤1） 步骤：（1）消参； （2）求定义域。
(3) x2 y = 2（x≥2或x≤ 2）
例4 参数方程
x | cos sin |, 2 2 (0 2 ) y 1 (1 sin ) 2
圆的参数方程及参数方 程与普通方程的互化
一、知识回顾： 参数方程的概念： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数
Fra Baidu bibliotek
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所
x f (t ), y g (t ).
确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上， 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，
的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.
表示（ B ）
（A）双曲线的一支, 这支过点（1, 1/2）; （B）抛物线的一部分, 这部分过（1, 1/2）; （C）双曲线的一支, 这支过点（–1, 1/2); （D）抛物线的一部分, 这部分过（–1, 1/2).
2.普通方程化为参数方程：
普通方程化为参数方程需要引入参数： 如：直线 l 的普通方程是 2x-y+2=0，可以化为参数方程: x t (t为参数) y 2t 2
x t C、 y t
解： 在y=x2中，x∈R,
y≥0，
在A、B、C中，x, y的范围都发生了变化， 因而与 y=x2不等价； 而在D中， x, y范围与y=x2中x, y的范围相同， 代入y=x2后满足该方程，
从而D是曲线y=x2的一种参数方程. 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y
联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。
二、圆的参数方程
1. 圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.
x r cos ( 为参数) y r sin
其中参数θ的几何意义 是OM0绕点O逆时针旋转到 OM的位置时，OM0转过的 角度
圆心为O1 (a, b) ， 半径为r 的圆的参数方程