圆周角定理的证明
《圆周角定理的证明》教学设计
《圆周角定理的证明》教学设计一、创设情境，引入新课师生活动:教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆.并出示海洋馆的横截面示意图，提出问题．学生通过观察分析和理解问题.设计意图：从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分．引导学生对图形的观察和发现，激发学生的好奇心和求知欲.二、任务驱动，探究规律学生动手画圆，在圆上任取一条劣弧，作这条劣弧所对的圆心角和圆周角，然后用量角器测量这些角。
回答下列问题：（1）同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？（2）同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆周角∠ADB的大小关系是怎样的？师生活动: 学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论．教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现．设计意图:让学生亲自动手，利用度量工具（如量角器、几何画板）进行实验、观察、猜想、分析、验证，得出结论: 同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．三、动手操作，验证猜想拿出课前准备的圆形纸片，在⊙O上任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O 和∠BAC的顶点A．回答问题：（1）在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？（2）当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？（3）另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？师生活动：教师演示圆心与圆周角的三种位置关系．学生写出已知、求证，完成证明．具体做法：1.学生分组讨论三类图形的已知、求证。
2.要求其中的四个小组证明第二类图形，另外的四个小组证明第三类图形。
3.师生归纳总结出圆周角定理，并且几何符号表示圆周角定理。
设计意图:让学生对所发现的结论进行证明．培养学生严谨的治学态度．问题（1）的设计是让学生通过动手探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题．问题（2）、（3）的提出是让学生学会运用化归思想将问题转化，并启发培养学生创造性的解决问题.四、巩固练习，学以致用1.如图,在☉O中,弦BC=1,点A是圆上一点,且∠A =30°,则☉O的半径是( )A. 1B. 2C. 3D. 52.在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A.师生活动：这个环节给学生一定的时间思考并完成解答。
直径所对圆周角为90度定理(3篇)
第1篇一、引言圆周角是圆中的重要概念之一，它是指圆周上任意两点所夹的角。
在圆中，许多性质和定理都与圆周角有关。
其中，直径所对圆周角为90度定理是圆周角性质中的重要定理之一。
本文将详细介绍该定理的定义、证明过程以及在实际问题中的应用。
二、定理内容直径所对圆周角为90度定理：设圆O中，AB为直径，P为圆上任意一点，连接AP、BP，则∠APB=90°。
三、证明过程证明一：圆内接四边形性质证明（1）作图：以O为圆心，AB为直径，作圆O。
在圆上取一点P，连接AP、BP。
（2）证明：根据圆内接四边形性质，圆内接四边形的对角互补，即∠APB+∠AOB=180°。
（3）因为AB为直径，所以∠AOB=90°。
代入上述等式得：∠APB+90°=180°。
（4）解得：∠APB=90°。
证明二：圆周角定理证明（1）作图：以O为圆心，AB为直径，作圆O。
在圆上取一点P，连接AP、BP。
（2）证明：根据圆周角定理，圆周角等于所对圆心角的一半。
（3）因为AB为直径，所以∠AOB=90°。
代入上述等式得：∠APB=∠AOB/2=90°/2=45°。
（4）又因为∠APB是圆周角，所以∠APB=∠AOB=90°。
四、定理应用1. 圆周角定理的应用在解决与圆周角有关的问题时，我们可以利用直径所对圆周角为90度定理。
例如，在解决圆内接四边形问题时，我们可以通过圆周角定理和直径所对圆周角为90度定理来求解。
2. 构造圆周角在解决实际问题中，我们可以利用直径所对圆周角为90度定理来构造圆周角。
例如，在求解直角三角形中，我们可以利用圆周角定理和直径所对圆周角为90度定理来构造圆周角，进而求解直角三角形的边长。
3. 判断圆心位置在解决一些几何问题时，我们可以利用直径所对圆周角为90度定理来判断圆心的位置。
例如，在解决圆内接四边形问题时，我们可以通过判断圆周角是否为90度来确定圆心的位置。
圆周角定理的证明
圆周角定理的证明圆周角定理是现代初等几何学中的一个重要定理，它是指：同一个圆周上的两个弧所对的圆周角相等。
这个定理在初等几何中具有非常重要的地位，并且可以应用到各种各样的几何问题中。
下面我们来简要地介绍一下这个定理的证明过程。
首先，我们需要给出圆周角的定义。
圆周角是指以圆心为顶点，以圆周上的两条弧为两条边的角。
圆周角的单位是度或弧度。
接下来，我们来证明圆周角定理。
假设有一个圆，其半径为r，圆心角为θ。
那么我们可以把圆心角分成n个小角度，每个小角度的大小为θ/n，则整个圆周角的大小为θ。
接下来我们将圆分成n个扇形，每个扇形的圆心角为θ/n。
由于圆的周长为2πr，而每个扇形的弧长为(θ/n)r，因此整个圆周被分成了n个弧段，每个弧段的长度为(θ/n)r。
由于n很大，因此这些弧段可以被视为非常小的弧元，于是我们可以将圆周上的弧看成无数个非常小的弧元构成的。
现在，我们来证明同一圆周上的两个弧所对的圆周角相等。
假设我们有两个位于同一个圆周上的弧AB和CD，它们所对的圆周角分别为α和β。
我们可以将这些弧按照相对大小进行排序，即假设AC>BD。
然后我们取一个非常小的弧元E，它在弧AB的右侧。
我们再取一个点F，它在弧CD的右侧，这样E和F可以被视为同一位置的点。
接下来，我们将圆周上从E到F的这段弧分成n个弧元，每个弧元的长度为(α+β)/n。
然后我们用连线将圆周上的每个弧元都连接起来，最后我们得到的是一个角度接近于α+β的扇形。
由于这个扇形的圆心角为α+β，而且它趋近于一个极小角度，因此α+β=2π，即α=β。
综上所述，我们证明了同一个圆周上的两个弧所对的圆周角相等。
这个结论在数学和物理学等各个领域都有广泛的应用。
无论是在平面几何中还是在空间几何中，圆周角定理都是我们解决许多几何问题的重要工具。
九年级下册数学圆周角定理
九年级下册数学圆周角定理一、圆周角定理的定义圆周角定理指的是，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
用数学表达式表示为：在同圆或等圆中，若弧AB与弧CD相等，则AB所对的圆周角∠ACB = CD所对的圆周角∠ADC，且∠ACB = ∠ADC = ∠AOB / 2（其中O为圆心，A、B、C、D为各点）。
二、圆周角定理的证明证明圆周角定理可以采用以下步骤：1. 根据题目给出的条件，作直径上的圆周角。
2. 连接圆心和圆周角的顶点，并将直径平分该角。
3. 由于直径平分该角，所以该角是直角的一半。
4. 由于直角的一半是45度，所以该圆周角等于45度。
5. 根据等腰三角形的性质，我们可以证明圆周角所对的弧等于半圆的弧。
6. 由此可以得出结论，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
三、圆周角定理的应用圆周角定理是解决几何问题的重要工具之一，它可以应用于以下方面：1. 确定圆的中心：通过测量同弧所对的圆周角的大小，可以确定圆的中心。
2. 计算角度：通过圆周角定理，可以计算出圆中任意角度的大小。
3. 证明等腰三角形：利用圆周角定理可以证明等腰三角形的一些性质和判定方法。
4. 解决几何问题：利用圆周角定理可以解决一些与圆有关的几何问题。
四、圆周角定理的推论1. 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，同弧或等弧所对的圆周角相等。
2. 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；反之，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等。
3. 在同圆或等圆中，如果两个圆周角分别是α和β，那么它们所对的弧也满足|α - β| = |⊙o中相等的弧间的比例差|。
这些推论也可以应用于多个等圆的公共点处的情况。
圆周角定理及其证明
圆周角定理及其证明圆周角定理是几何中的一个重要定理，它描述了一个圆的圆周角与其对应的弧度之间的关系。
这个定理在解决与圆相关的问题时具有重要的应用价值。
下面将对圆周角定理及其证明进行详细介绍。
我们需要明确什么是圆周角。
圆周角是指以圆心为顶点的角，其两条边分别为相切于圆的两条弦。
在圆周角中，我们可以观察到一个有趣的现象：无论弦的长度如何变化，圆周角的大小始终保持不变。
这个现象被称为圆周角的度量唯一性。
为了形式化地描述圆周角定理，我们引入以下定义：当圆周角的两条弦分别与圆的直径相交时，这个圆周角被称为直径角。
根据圆周角的度量唯一性，我们可以得出结论：直径角恒等于180度或π弧度。
接下来，我们将证明圆周角定理。
证明：设圆的半径为r，圆周角对应的弧长为l，直径角对应的弧长为L。
根据圆的性质，我们知道圆的周长C等于2πr。
由于直径角等于半圆，所以L等于半圆的弧长，即L等于πr。
根据圆周角的度量唯一性，我们可以得出以下等式：l / C = L / 2πr将C和L的值代入上述等式，我们得到：l / 2πr = πr / 2πr经过简化后，我们得到：l / 2r = r / 2r进一步简化，我们得到：l = r由此可见，圆周角对应的弧长等于圆的半径。
这个结论可以推广到任意圆周角，无论弦的长度如何变化，圆周角的度量始终等于圆的半径。
通过上述证明，我们可以得出圆周角定理的结论：圆周角的度量等于圆的半径。
这个定理在解决与圆相关的问题时非常有用，可以帮助我们计算圆周角的度量，从而解决各种几何问题。
总结起来，圆周角定理描述了圆周角与其对应的弧度之间的关系。
通过证明，我们可以得出结论：圆周角的度量等于圆的半径。
这个定理在几何学中有重要的应用价值，可以帮助我们解决与圆相关的各种问题。
在实际应用中，我们可以根据圆周角定理来计算圆周角的度量，从而得到所需的几何信息。
圆周角定理的推论课件
图 3－4－6
圆周角定理的推论
10
[ 解 析 ] 首 先 利 用 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 出 ∠DBC ＝ ∠DCB，进而利用圆内接四边形的性质得出∠EAD＝∠DCB， 再利用圆周角定理得出∠DAE 与∠DAC 相等．
解：∠DAE 与∠DAC 相等． 理由：∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.
6
[解析] 连接 AD，由 AB 是⊙O 的直径得到∠ADB＝90°，再 根据直角三角形两锐角互余计算出∠A 的度数，然后根据圆周角 定理即可得到∠C 的度数．
解：连接 AD，如图．
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°.
∵∠ABD＝55°，
∴∠A＝90°－55°＝35°，
∴∠BCD＝∠A＝35°.
∵∠DAE 是四边形 ABCD 的一个外角，
∴∠DAE＋∠DAB＝∠DCB＋∠DAB＝180°，
∴∠DAE＝DCB，
∴∠DBC＝∠DAE.
又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠DAE＝∠DAC.
圆周角定理的推论
11
[归纳总结]圆内接四边形性质的推广： 圆内接四边形的对角互补，外角等于与它相邻的内角的对角．因此常利用圆 内接四边形的性质，结合圆周角定理及其推论来探求角的相等关系或互补关 系．在进行有关计算或证明时，常添加辅助线构造圆周角或圆内接四边形．
圆周角定理的推论
17
圆周角定理的推论
7
观察与思考
如图,在⊙O中,∠ABD =110°,求∠C的大小.
A B
四边形ABCD的四个点都在 ⊙O上，像这样的四边形叫做 圆内接四边形，这个圆叫做 C 四边形的外接圆。
D
思考：1、∠ABD与∠C有怎样的关系？ 2、由此我们可以得到怎样的结论？
圆周角定理的证明
我们如何来证明圆周角定理：
同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于该弧所对的圆周心角的一半
我们知道一条弧所对的圆心角只有一个，而一条 弧所对的圆周角有若干个，那么同一条弧所对的圆 心角和圆周角有哪几种位置关系呢？圆周角和圆心 角又有什么样的等量关系呢？
1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. ∵∠AOC是△ABO的外角，
A C
●
A C B
●
O
O
O
B
B
例题：
求圆中角X的度数
D
C 120° O X A （2）
. O
70° x
C
.
A
（1）
B
B
∴∠AOC=∠B+∠A.
A
C
●
∵OA=OB，
∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. 即 ∠ABC =
1 ∠AOC. 2
B
O
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半.
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
A D O
我们可以转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
●
C
∠ABD =
1 ∠AOD,∠CBD 2
=1 ∠COD, 2
B
∴ ∠ABC=
1 ∠AOC. 2
同样我们可以写出这个命题：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A 同样可以转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD ∴
圆周角定理的三种证明方法
圆周角定理的三种证明方法
圆周角定理是几何中著名的定理，亦即“每个三角形的外接圆的内切圆与它的最大外接圆所成的圆周角相等”。
此定理由古希腊数学家艾西法 (Euclid) 于其《几何原本》第六章首次提出数千年前，随着数学的发展，有许多其他的证明方法也被提出：
1、几何距离证明法：两个圆的圆心距离为2R的话，就可以让它们的相切线同时证明最大外接圆的圆周角和最小内切圆的圆周角相等。
可以用两等腰直角三角形向根据勾股定理来演算出，两个圆周角的圆心角度都是相等的。
2、数学归纳法：也就是艾西法于其《几何原本》所作的证明，即归纳法可以证明不论外接圆的半径有什么样的大小它们所成的圆周角都是相等的。
3、几何投影证明法：几何投影证明法通过找到三角形它的内切圆和最大外接圆，把两个圆投影到平面上，将圆心连线作为投影线，使投影线在它们之间形成一条射线，然后可以推出它们所成的圆周角相等。
数学知识点：圆周角定理_知识点总结
数学知识点：圆周角定理_知识点总结在数学的奇妙世界中，圆周角定理是一个非常重要的知识点。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开解决许多与圆相关问题的大门。
圆周角的定义首先要搞清楚。
圆周角是指顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。
简单来说，就是一个角的两边与圆有交点，同时角的顶点也在圆上。
圆周角定理表述为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
这看似简单的一句话，却蕴含着丰富的数学内涵。
为了更好地理解这个定理，我们来看几个例子。
假设有一个圆，圆心为 O ，弧 AB 所对的圆心角为∠AOB ，所对的圆周角为∠ACB 。
根据圆周角定理，∠ACB ＝ 1/2∠AOB 。
那为什么会有这样的定理呢？我们可以通过一些推理来证明它。
首先，当圆心 O 在圆周角∠ACB 的一边上时，比如圆心 O 在边 CB 上，此时∠AOB 是圆心角，因为 OA ＝ OC ，所以∠A ＝∠C ，从而得出∠AOB ＝ 2∠ACB ，即∠ACB ＝ 1/2∠AOB 。
当圆心 O 在圆周角∠ACB 的内部时，连接 AO 并延长交圆于点 D ，那么∠AOB 被分成了∠AOD 和∠DOB 。
因为∠AOD 对应的圆周角是∠ACD ，∠DOB 对应的圆周角是∠DBC ，且∠ACB ＝∠ACD ＋∠DBC ，所以∠ACB ＝ 1/2∠AOB 。
当圆心 O 在圆周角∠ACB 的外部时，连接 AO 并交圆于点 E ，同样可以通过类似的方法证明∠ACB ＝ 1/2∠AOB 。
圆周角定理有很多重要的推论。
比如，同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
这些推论在解决实际问题中非常有用。
比如说，在一个圆中，如果知道了一条弦是直径，那么马上就能得出它所对的圆周角是直角，这在求解三角形的边长、角度等问题时常常能提供关键的线索。
再比如，在一个复杂的几何图形中，如果有多个同弧或等弧所对的圆周角，那么就可以利用它们相等的关系来进行等量代换，从而简化问题的求解过程。
圆周角定理的定理证明
圆周角定理的定理证明圆周角定理是平面几何中的一个重要定理，它揭示了圆周上的角度与弧度之间的关系。
在本文中，我们将通过推导和证明，来解释圆周角定理的原理和应用。
让我们来回顾一下圆的基本概念。
圆是一个平面上所有距离中心相等的点的集合。
其中，圆心是圆的中心点，而半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
圆周则是圆上的一段弧，它的长度可以通过弧长来表示。
在圆周角定理中，我们考虑的是圆周上的两个角度。
我们使用的单位是弧度，而不是度数。
弧度是角度的一种测量方式，它表示的是半径所对应的弧长与半径的比值。
一个完整的圆周对应的弧长是2πr，其中r是圆的半径。
因此，一个完整的圆周对应的角度是360°或2π弧度。
现在，我们来看一个圆周上的任意角A。
假设这个角度所对应的弧长是s，圆的半径是r。
我们可以得到以下等式：s = rθ其中，θ是角度A对应的弧度。
这个等式是圆周角定理的基本公式之一。
接下来，我们将通过推导来证明圆周角定理的另一个重要结果。
假设有两个角度A和B，它们对应的弧长分别是s1和s2，圆的半径仍然是r。
我们可以得到以下等式：s1 = rθ1s2 = rθ2现在，我们将这两个等式相减，得到：s1 - s2 = r(θ1 - θ2)我们知道，s1 - s2表示的是角度A和B对应的弧长之差，而θ1 - θ2则是这两个角度的差值。
因此，我们可以得出结论：圆周上任意两个角度对应的弧长之差等于这两个角度的差值乘以圆的半径。
这个结论可以进一步推广到任意个角度。
假设有n个角度A1、A2、...、An，它们对应的弧长分别是s1、s2、...、sn，圆的半径仍然是r。
我们可以得到以下等式：s1 - s2 + s3 - ... + (-1)^(n+1)sn = r(θ1 - θ2 + θ3 - ... + (-1)^(n+1)θn)其中，(-1)^(n+1)是一个符号系数，它的值取决于n的奇偶性。
这个等式表示的是圆周上任意个角度对应的弧长之和等于这些角度的差值乘以圆的半径。
圆周角定理证明
圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半
证明：已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC. 证明：情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
图1
情况2：
如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
图2
情况3：
如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
从而得证：∠BOC=2∠BAC.
图3。
圆周角定理的证明
圆周⾓定理的证明第三章圆圆周⾓定理⼀、学情分析学⽣的知识技能基础：学⽣在本章的第⼆节课中，通过探索，已经学习了圆⼼⾓定理及其推论，并对其进⾏了严密的证明，通过练习已具备了灵活应⽤解决问题的基本能⼒.学⽣活动经验基础：在之前的学习过程中，学⽣已经经历了“猜想-验证”、分类讨论的数学⽅法，获得了在得到数学结论的过程中采⽤数学⽅法解决的经验.⼆、教学任务分析本节主要内容是圆周⾓定理的证明，并在定理的证明中渗透数学思想。
具体地说，本节课的教学⽬标为：知识与技能理解并掌握圆周⾓定理.过程与⽅法1．培养学⽣观察、分析想象、归纳和逻辑推理及理解问题的能⼒.2．渗透由“特殊到⼀般”，由“⼀般到特殊”的数学思想⽅法情感态度与价值观：培养学⽣的逻辑推理能⼒和归纳能⼒.教学重点：圆周⾓定理的证明.教学难点：圆周⾓定理证明过程中由“特殊到⼀般”、“完全归纳法”和“分类讨论”思想的渗透.三、教学设计分析本节课设计了三个教学环节：知识回顾——定理证明——⽅法⼩结第⼀环节知识回顾活动内容：1.证明命题的步骤：分析---画图---写已知、求证---证明第⼆环节定理证明（三）圆周⾓定理⼀条弧所对的圆周⾓的度数等于它所对的圆⼼⾓度数的⼀半. 符号语⾔：（2）圆周⾓和圆⼼有⼏种不同的位置关系？三种：圆⼼在圆周⾓⼀边上，圆⼼在圆周⾓内，圆⼼在圆周⾓外.（⼆）证明定理：已知：如图，∠ACB 是所对的圆周⾓，∠AOB 是所对的圆⼼⾓，求证：分析：1.⾸先考虑⼀种特殊情况：当圆⼼(O )在圆周⾓(∠ACB )的⼀边(BC )上时,圆周⾓∠ACB 与圆⼼⾓∠AOB 的⼤⼩关系.∵∠AOB 是△ACO 的外⾓∴∠AOB =∠C +∠A ∵OA=OC ∴∠A =∠C∴∠AOB =2∠C2.当圆⼼(O)在圆周⾓(∠ACB )的内部时,圆周⾓∠ACB 与圆⼼⾓∠AOB 的⼤⼩关系会怎样?⽼师提⽰:能否转化为1的情况（过点C 有⼀条直径）? 作直径CD .由1可得:CAB ⌒ AB ⌒12ACB AOB∠=∠12ACB AOB ∠=∠即11,22ACD AOD BCD BOD∠=∠∠=∠()12ACD BCD AOD BOD ∴∠+∠=∠+∠●ACB12ACB AOB ∠=∠3.当圆⼼(O)在圆周⾓(∠ACB)的外部时,圆周⾓∠ACB 与圆⼼⾓∠AOB 的⼤⼩关系会怎样?⽼师提⽰:能否也转化为1的情况?作直径CD.由1可得:活动⽬的：本活动环节，⾸先通过对特殊图形的研究，得出⼀个特殊的关系，然后观察⼀般图形得到⼀般的规律. 将⼀般图形转换为特殊图形，并对三种情况逐⼀加以演绎推理，证明定理.活动的注意事项：本环节有不少的数学思想⽅法，教师在教学中要注意逐⼀渗透.在（⼀）中注意渗透类⽐思想，在（⼆）中注意渗透“分类讨论”思想，在（三）中注意渗透“特殊到⼀般”思想。
圆周角定理及推论证明
圆周角定理及推论证明圆周角定理是指圆内对同一弧所对的两个角的和等于180°。
圆周角的定义是指，在圆上的两条弦所对的角。
在证明圆周角定理之前，我们先来看一些基本概念和性质。
首先，我们知道在同一圆中，两条弦所对的弧度是相等的。
这是因为圆周角的定义指的是在圆上的两条弦所对的角，而弧度是与弦对应的部分。
因此，由于两条弦所对的弧度相等，所以它们所对的圆周角也相等。
其次，我们需要了解乘法原理。
乘法原理指的是，如果一件事情可以分成n个相同的步骤进行，而每个步骤都可以选择m种不同的方式进行，那么这件事情一共有n*m种不同的方式。
根据乘法原理，如果在同一圆周上选取两个点，那么连接这两个点的弦的数目就是这两个点所决定的，即两个点决定的弦的数目是唯一确定的。
现在，我们开始证明圆周角定理。
为了方便理解，我们可以将圆周上的两个点分别命名为A和B，且连接这两个点的弦为AC和BC。
我们需要证明的是∠ACB+∠AOB=180°，其中O为圆心。
首先，我们将圆弧AC和BC分别延长，分别与OB和OA相交于D和E。
连接OC、OD和OE，并假设∠ACB=x°，∠AOB=y°，∠COD=z°，∠EOC=w°。
根据基本性质1，我们知道两条弦所对的弧度是相等的，即弧AC与弧BC的弧度相等。
那么，根据基本性质2，我们可以得出两个结论：1）弧AD与弧BE的弧度也相等；2）弧AC与弧AD所对的角度相等，弧BC与弧BE所对的角度相等。
接下来，我们观察△COD和△EOC。
由于∠COD和∠EOC的两边OC相等，所以根据三角形中两边夹角的大小关系，我们可以得出z°>w°（1）。
同时，由于∠COD和∠EOC是邻补角，所以z°+w°=180°。
再来看△AOD和△BOC。
由于OA=OC，同样根据三角形中两边夹角的大小关系，我们可以得出∠OAD>∠OBC（2）。
圆周角定理及其推论的证明和应用
圆周角定理及其推论的证明和应用圆周角定理是数学中一个最重要的定理。
它解释了多边形与圆的关系，是众多大学数学课程中的重要内容之一。
圆周角定理的证明和应用在不同的领域都有广泛的使用。
本文将讨论圆周角定理本身的证明，以及它的推论在数学和物理领域的应用。
一、圆周角定理圆周角定理告诉我们，对于任意多边形，其顶点和圆心之间的夹角之和等于$360^{circ}$。
它用数学语言来表达就是：若多边形$ABC…N$的顶点在圆心O的同一侧，则有$A + B + C + + N =360^{circ}$。
也就是说，当多边形的顶点位于同一侧的O时，其顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。
二、证明圆周角定理圆周角定理通常用几何证明。
以正多边形为例，证明其顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。
首先，画出多边形然后证明相邻边之间的夹角等于$180^{circ}$。
其次，当多边形向内折叠时，所有相邻边夹角之和等于其内角之和，因此折叠完成后，所有内角的和为$180^{circ} times n$，其中$n$是正多边形的边数。
此时，由于所有内角之和为$180^{circ} times n$，而多边形上的所有角之和为$360^{circ}$，因此所有顶点夹角之和等于$360^{circ}$。
三、圆周角定理的应用1、数学领域：圆周角定理在数学中的应用很广泛。
它可以用来求正n边形的面积，平均线长，内接圆半径，外接圆半径等。
此外，它还可以用来解决给定多边形的顶点或边，求其它顶点和边的问题。
2、物理领域：在物理领域，圆周角定理也有一些应用。
圆周角定理可以用来研究多体系统，如物体在圆周上运动时，其加速度可以根据圆周角定理求得。
圆周角定理也可以用来计算静电场，求出电荷的等值压力等。
四、总结本文讨论了圆周角定理的证明与应用。
圆周角定理表明正多边形的顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。
圆周角定理在数学和物理领域都有广泛的应用，可以用来求正n边形的面积，平均线长，内接圆半径，外接圆半径，研究多体系统，求出电荷的等值压力等。
圆周角定理的定理证明
圆周角定理的定理证明圆周角定理是平面几何中的一个重要定理，它给出了圆内任意一对弧所对应的圆周角相等的条件。
本文将通过推理和证明，解释圆周角定理的原理和应用。
我们来回顾一下圆周角的概念。
圆周角是由两条弧所夹的角，其中一条弧是圆上的一段弧，另一条弧是连接该圆上两个端点的弦。
我们将这两条弧所夹的角称为圆周角。
下面，我们来证明圆周角定理。
假设在一个圆上有两条弧AB和CD，它们所对应的圆周角分别为∠AOB和∠COD。
我们要证明的是∠AOB = ∠COD。
我们连接线段AC和BD，将圆分成了两个扇形OAC和OBD。
由于扇形是圆的一部分，所以扇形OAC的圆心角等于∠AOB，扇形OBD的圆心角等于∠COD。
我们要证明的是∠AOB = ∠COD，即证明扇形OAC的圆心角等于扇形OBD的圆心角。
接下来，我们来证明线段AC和BD所夹的角等于圆心角。
首先，我们连接线段AO和BO，线段OC和OD，得到了两个三角形AOB和COD。
由于AO = BO，OC = OD，而且∠AOB和∠COD都是直角，所以三角形AOB和COD是等腰直角三角形。
根据等腰直角三角形的性质，我们知道∠BAO = ∠ABO，∠CDO = ∠COD。
而且，三角形AOB和COD的两个直角边分别是AO和BO，OC和OD，它们的长度相等。
根据等腰直角三角形的性质，我们知道∠BOA = ∠DOA，∠AOC = ∠COA。
现在，我们来看看扇形OAC和OBD的圆心角。
根据扇形的定义，圆心角等于弧所对应的圆周角的两倍。
所以扇形OAC的圆心角等于∠BOA，扇形OBD的圆心角等于∠DOA。
由于∠BOA = ∠DOA，所以扇形OAC的圆心角等于扇形OBD的圆心角。
根据我们之前的推理，我们已经证明了扇形OAC和OBD的圆心角相等。
由于圆周角是由扇形的圆心角所对应的，所以我们可以得出结论：圆周角∠AOB = ∠COD。
通过上述的推理和证明，我们证明了圆周角定理的正确性。
圆周角定理的应用非常广泛，特别是在解决与圆相关的角度问题时，它可以帮助我们简化计算和推导的过程。
圆周角的定理及推论的应用
圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。
本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。
一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。
一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。
二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。
证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。
由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。
2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。
证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。
则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。
3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。
连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。
因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。
设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。
将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。
4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。
圆周角定理的推论
圆周角定理的推论
圆周角定理指出了封闭图形中两个角的平行边之间的角的大小，可以用公式表示如下：
内角和 = 封闭图形中真实角的总和 - 360°
圆周角定理可以根据某些假设推出许多有用的结论。
一般来讲，由某一条边把图形分
割成两部分，图形中所有的角构成的闭合图形的内角和等于上面的定理中的表达式。
另外，如果一个图形有m条边，那么它的总角度数等于180（m - 2）。
例如，考虑一个六边形。
由定理可以推出，六边形的内角和等于720°，显然，它的
每一个角等于120°，证明了定理的准确性。
另外，如果在一个多边形中用一条边将其分
割为两个三边形，那么两个三边形内角和应该等于360°，三角形每一个内角应该等于180°/3 = 60°。
此外，如果一个图形中每个内角都相等，该图形是正多边形；正多边形中每个内角等
于（180•（n-2））/ n，其中n是多边形边数。
同样，如果图形中有两个内角是等腰三角形，那么其余一个内角的角度就是90°；若有四个等腰三角形，那么其他两个内角角度分别等于120°和30°。
由圆周角定理也可以推出，当一个图形三边框围时，其内角和等于180°；两个角等
于120°和60°；多边形三边框围时，其内角和等于270°；其余的内角等于80°和110°。
总而言之，圆周角定理为图形的绘制和多边形的构造提供了有用的信息。
圆周角定理
从几何学的角度给出了许多有用的结果和信息，并可以用于各种形状的几何图案的绘制。
圆周角定理
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
例４． 如图，AB与CD相交于圆内一点P．求证：
∠BAC= ∠BOC
∠BAC= ∠BOC
Ｂ Ｄ Ｃ 例1:如图:AB,AC是⊙O的两条弦,延长CA到D,
３．方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法． (2)等弦所对的圆周角相等或互补；
一．圆周角定理
A
A
O●
●
C
O
B
C
B
A
C O●
B
一. 圆周角定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半．
已知：如图，在⊙O中，B C
A
A
所对的圆周角和圆心角分别
是∠BAC, ∠BOC ．
O ●
●
求证：∠ BAC=
1
∠
BOC
B
O
C
C
2
B
分析２: 以直径为分界线，可以得到另外两类圆周角及 相应的圆心角，如下图（２），（３）所示．只要能将它们 化归为（１）的特殊情形，问题就能解决．
延长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 的度数与 的度数和的一半等于∠APD的度数．
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？ 已知：如图，在⊙O中， 所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC, ∠BOC ．
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？ 的度数与 的度数和的一半等于∠APD的度数．
（2）半圆（直径）所对的圆心角是多少度？圆周角是多少度？
小结： 圆周角／圆心角定理
• １．圆心角（central angle）：顶点在圆心上的角叫做圆 心角．(1)在同圆或等圆中，两圆心角相等⇔其所对的弦 （或弧）也相等；(2)圆心角的度数等于它所对的弧的度 数．