高中数学不等式知识点

不等式

知识点归纳:

一、不等式的概念与性质

1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：

0>-⇔>b a b a 0<-⇔

（1）a b b a <⇔> ， a b b a >⇔< （反对称性） （2）c a c b b a >⇒>>, ，c a c b b a <⇒<<, （传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>，故b c a c b a ->⇒>+ （移项法则） 推论：d b c a d c b a +>+⇒>>, （同向不等式相加） （4）bc ac c b a >⇒>>0,，bc ac c b a <⇒<>0, 推论1：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 推论2：n n b a b a >⇒>>0 推论3：n n b a b a >⇒>>0

不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。

3、常用的基本不等式和重要的不等式

（1）0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a （2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则 （3）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+

（4）2

22)2

(2b a b a +≤+

4、最值定理:设,0,x y x y >+≥由

（1）如积P y x P xy 2(有最小值定值），则积+=

（2）如积2

2

(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+

即:积定和最小，和定积最大。

运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5、均值不等式:

两个正数的均值不等式：

ab b

a ≥+2

三个正数的均值不等是：3

3

abc c b a ≥++

n 个正数的均值不等式：

n

n n a a a n

a a a 2121≥+++

6、四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

22112

2

2b a b a ab b a +≤

+≤≤+ 小结:在不等式的性质中，要特别注意下面4点：

1、不等式的传递性：若a>b,b>c, 则a>c,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后，就误认为能得到a>c 。

2、同向不等式可相加但不能相减，即由a>b,c>d ，可以得出a+c>b+d, 但不能得a —c>b —d 。

3、不等式两边同时乘以一个数或式时，只有该数或式保证为正，才能得到同向的不等式，否则不能保证所乘之数或式为正，则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式的两边必须是正。

不等式的应用范围十分广泛，在数学中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。

二、不等式的证明方法

（1）比较法：作差比较：B A B A ≤⇔≤-0 作差比较的步骤：

①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。 ③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。

（2）综合法：由因导果由已知的不等式出发,不断地用必要条件代替前面的不等式,直到推导出前面的不等式。常用的基本不等式有①均值不等式；②若

0,,>m b a ，b a <，则m

b m

a b a ++<；③若R b a ∈,，则||||||||||b a b a b a +≤±≤-；④

柯西不等式))(()(1

21

22

1

∑∑∑===≤n

i i n i i

n i i i b a b a

（3）分析法：执果索因基本步骤：要证……只需证……，只需证……

①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。 （4）反证法：正难则反直接证明难，就用反证。

（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的 放缩法的方法有：

①添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(； ②将分子或分母放大（或缩小） ③利用基本不等式，

如：4lg 16lg 15lg )2

5lg 3lg (5lg 3log 2

=<=+<⋅；

2

)

1()1(++<

+n n n n ④利用常用结论： Ⅰ、k

k

k k k 21111<

++=

-+；

Ⅱ、

k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、

)1

111(21)1)(1(111122+--=+-=-

已知222a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==； 已知122≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )；

已知122

22=+b y a x ，可设θθsin ,cos b y a x ==；

已知122

22=-b

y a x ，可设θθtan ,sec b y a x ==；

（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式； 证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。

数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究。

例1已知a ，b ∈R ，且a+b=1。

求证：()()2

25222

2≥+++b a 。