江苏省盐城市第一中学2020届高考数学6月第二次调研试题(含答案)

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江苏省盐城中学2020届高三年级第二次阶段性质量检测数学试卷(6页)

江苏省盐城中学2020届高三年级第二次阶段性质量检测数学试卷数学试题一、填空题1.设集合{}{}1,,2,3,4A x B ==，若4A B =，则x 的值为2.已知复数131iz i-=+，则复数z 的虚部为 3.函数()f x =的定义域是4.设a R ∈，则“2a =”是“直线2y ax =-+与直线14ay x =-垂直”的条件5.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为6.设函数()ln f x ax x =-的图象在点()()1,1f 处的切线斜率为2，则实数a 的值为7．已知实数x,y 满足条件2403300x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为8.在平面直角坐标系xOy 中，已知焦距为4的双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右准线与它的两条渐近线分别相交于点P,Q ，其焦点为12,F F ，则四边形12PF QF 的面积的最大值为9.在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AB=2，AC=1，若32AD AB =，则CD CB ⋅=10.若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为11.已知{}{},n n a b 均为等比数列，其前n 项和分别为,n n S T ，若对任意的*n N ∈，总有321n n n S T =+，则44a b = 12.已知函数()33,02,0x x x x f x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，若函数()()()12y f x a f x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭有5个零点，则实数a 的取值范围是13.在平面直角坐标系x O y 中，已知点A （2,2），E 、F 为圆()()22:114C x y -+-=上的两动点，且EF =，若圆C 上存在点P ，使得,0AE AF mCP m +=>，则m 的取值范围为 14.已知△ABC1，且满足431tan tan A B+=，则变AC 的最小值为二、解答题15.已知函数()21sin 2.2f x x x = （1）求()f x 的最小正周期和最小值；（2）将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象.当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.16.已知△ABC 中，13tan ,tan ,45A B AB === （1）角C 的大小；（2）△ABC 中最小边的边长。

江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月第二次调研考试数学试题

江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月第二次调研考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合()(){}120A x x x =+-<，集合B Z =，则A B =I ______. 2．若i 是虚数单位，复数()()12z a i i =++是纯虚数，则实数a 的值为________. 3．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________.4．若{1,0,1,2}a ∈-，则方程220x x a ++=有实根的概率为________. 5．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为45o ，且过点()3,1，则双曲线的焦距等于________.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()2*2,,n S pn n q p q R n N=-+∈∈.若1a 与5a 的等差中项为8，则p q +=______.8．如果命题0p x ∀>：，4957x m x+≥+为真命题，则实数m 的取值范围是__________． 9．函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，则实数a 的取值范围为______. 10．边长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B ，D 分别为AC ，CE 的中点，N 为GD 与CF 的交点，则AN EG ⋅=u u u r u u u r______．11．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________.12．定义符号函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，若函数()()xf xg x e =⋅，则满足不等式()()233f a a f a +<+的实数a 的取值范围是__________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，()221:44O x y -+=，动点P在直线0x b -=上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为,A B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．14．已知函数()f α={}()a R f m α∈≥≠∅，则实数m 的取值范围为___________.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）求证：//AB EF ．16．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos b C a C =cos c A +，23B π=，c =（1）求角C ；（2）若点E 满足2AE EC =u u u v u u u v，求BE 的长.17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率e =2，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过椭圆的右焦点F ，且2AF FB =，求直线l 方程．18．如图所示，某区有一块空地OAB ∆，其中4OA km =，OB =，AOB 90∠=o .当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ∆，其中,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=o ，挖出的泥土堆放在OAM ∆地带上形成假山，剩下的OBN ∆地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN ∆的周围安装防护网.（1）当2AM km =时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地OMN ∆的面积是堆假山用地OAM ∆倍，试确定AOM ∠的大小；（3）为节省投入资金，人工湖OMN ∆的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN ∆的面积最小？最小面积是多少？ 19．设函数()()()12xxf x x e a e e=-+-，（1）当0a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）若不等式()0f x >对()2,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值.20．对于*,n N ∀∈若数列{}n x 满足11,n n x x +->则称这个数列为“K 数列”.（1）已知数列1, 21,m m +是“K 数列”,求实数m 的取值范围;（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”,且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在,求出{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由;（3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”,数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,若1,1n n a b n +=+试判断数列{}n b 是否为“K 数列”,并说明理由.21．已知矩阵1002A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，1206B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵1A B -. 22．在极坐标系中，已知圆:C ρθ=和直线:()4l πθρ=∈R 相交于,A B 两点，求线段AB 的长.23．设2012()n r nr n q x a a x a x a x a x +=+++⋯++⋯+,其中*,q R n N ∈∈.（1）当1q =时,化简:1nrr a r =+∑; （2）当q n =时,记()010,2nn n r r n a a A B a =+==∑,试比较n A 与n B 的大小.24．一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了(6)n n …份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中(3)n -份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这(3)n -份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.（1）若6n =，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；（2）若8n …，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为ξ， ①求ξ的概率分布； ②求E ξ.参考答案1．{}0,1 【解析】【分析】先化简集合A ,再根据交集运算法则求出A B I . 【详解】因为()(){}120A x x x =+-<{}12x x =-<<,B Z =, 所以{}0,1A B =I , 故答案为:{}0,1. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算,属于基础题. 2．2 【解析】【分析】对复数z 进行化简，然后根据纯虚数的概念，得到a 的值. 【详解】复数()()12z a i i =++222a i ai i =+++()()221a a i =-++因为z 为纯虚数，所以20a -=,210a +≠ ，所以2a =. 故答案为：2 【点睛】本题考查复数的运算，根据复数的类型求参数的值，属于简单题. 3．38 【解析】【分析】根据平均成绩求出a 的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可．【详解】5Q 位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80， 78858269580a ∴++++=⨯，解得：86a =，2222221[(7880)(8580)(8680)(8280)(6980)]385s ∴=-+-+-+-+-=，则他们成绩的方差等于38. 故答案为：38．【点睛】本题考查平均数和方差的定义，考查数据处理能力，求解时注意方差与标准差的区别. 4．34【解析】【分析】由已知可得2240a ∆=-≥，解得1a ≤，可知当1,0,1a =-时满足要求，再根据古典概型概率公式求解. 【详解】Q 方程220x x a ++=有实根，2240a ∴∆=-≥，解得1a ≤ 1,0,1a ∴=-时满足要求，则方程220x x a ++=有实根的概率为34. 故答案为：34【点睛】本题考查了概率的计算，属于基础题. 5．1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 6．8 【解析】【分析】根据题意得出1ba=，然后将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程，可求出a 、b 的值，即可计算出双曲线的焦距. 【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由题意可得1ba=，b a ∴=，所以，双曲线的标准方程为22221x y a a-=，将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程得22911a a-=，得a b ==因此，双曲线的焦距为248=⨯=. 故答案为：4. 【点睛】本题考查双曲线焦距的计算，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，要结合题意得出a 、b 的值，考查运算求解能力，属于中等题.7．2 【解析】【分析】等差数列的性质可得0q =，再结合155()5402a a S +⨯==求解即可.【详解】解：由等差数列{}n a 的前n 项和为()2*2,,n S pn n q p q R n N=-+∈∈，由等差数列的性质可得0q =，又1a 与5a 的等差中项为8，即1516a a +=，即155()5402a a S +⨯==，即251040p -=，即2p =，即202p q +=+=，故答案为：2. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，重点考查了等差数列的前n 项和公式，属基础题. 8．{|1}m m ≤ 【解析】【分析】由题意利用基本不等式可得4912x x+≥，即可得出m 的不等式5712m +≤，求解出m 的范围．【详解】命题p 为真命题，即当0x >时，不等式4957x m x+≥+恒成立，又当0x >时，4912x x +≥=，当且仅当49x x =，即23x =时，49x x+取得最小值12，故5712m +≤，解得 1.m ≤ 故答案为：{|1}m m ≤ 【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数的范围，考查了不等式恒成立问题，考查了利用基本不等式求和的最小值，属于基础题． 9．[2,)+∞ 【解析】【分析】首先求出函数的导数，依题意可得()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，参变分离，根据余弦函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：因为()2sin f x x ax =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2cos f x x a '=-，因为函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，所以()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2cos a x ≥在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为()2cos g x x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()max 02cos02g x g ===所以2a ≥，即[)2,a ∈+∞ 故答案为：[)2,+∞ 【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 10．72-【解析】【分析】根据等边三角形的性质、平面向量的线性运算，用,AB AH u u u r u u u r 分别表示出,AN EG u u u r u u u r，再求AN EG ⋅u u u r u u u r ．【详解】由已知得1222AN AB CN AB AH =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，3EG DE DG AB CH AB AH AC AB AH =-+=-+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以221112(3)6||||222AN EG AB AH AB AH AB AB AH AH ⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ．因为等边三角形的边长为2，所以221117611222222AN EG ⋅=-⨯+⨯⨯⨯+⨯=-u u u r u u u r ．故答案为：72- 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、平面向量的线性运算，数量积的运算，考查学生的运算求解能力. 11．383r π 【解析】【分析】设出圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面中，由球O 与圆锥相切可设出底面和母线SB 的切点分别为C 和D ，接着由三角形的相似求得h 、R 、r 三者间的关系，然后将圆锥的体积表示成关于h 的函数，利用导函数求最值. 【详解】设圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面图中，SC h =，OC OD r ==，BC R =，根据圆锥与球相切可知，D 、C 均为球O 与外切圆锥的切点，则2SCB SDO π∠=∠=又OSD BSC ∠=∠，SOD SBC ∴~V V ，BC SC OD SD∴=，即R r =，R ∴==，∴圆锥体积为2221()33(2)r h V h R h h r ππ==-，22(4)()3(2)r h h r V h h r π-'∴=-，令()0V h '=可得4h r =，则04h r <<时，()0V h '<；4h r >时，()0V h '>，()V h ∴在(0,4)r 单调递减，在(4,)r +∞单调递增，则3min 8()(4)3V h V r r π==. 故答案为：383r π.【点睛】本题考查了球的外切问题，圆锥的体积公式，导函数的实际应用问题，难度较大.12．()3,1-【解析】【分析】【详解】分析：根据分段函数，利用指数函数的性质，得到函数()f x 在R 上是增函数，即可得到不等式233a a a +<+，即可求解．详解：由函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，得()()()(),00,0,0x x e x f x x e x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，根据指数的性质可得函数()f x 在R 上是增函数，又由()()233f a a f a +<+，则233a a a +<+，解得31a -<<．点睛：本题考查了函数的单调性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的函数的单调性，转化为不等式233a a a +<+是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，即可求解．13．20(,4)3-. 【解析】【分析】设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b 的不等式即可求得实数b 的取值范围.【详解】由题意O (0,0),O 1(4,0).设P (x ,y )，则∵PB =2P A ，=∴(x −4)2+y 2=4(x 2+y 2)，∴x 2+y 2+81633x -=0，圆心坐标为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭,半径为83， ∵动点P在直线x −b =0上，满足PB =2P A 的点P 有且只有两个，∴直线与圆x 2+y 2+81633x -=0相交，∴圆心到直线的距离83d =<， ∴4164163333b --<<-+，即实数b 的取值范围是20,43⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思想，直线与圆是位置关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．m ≤【解析】【分析】设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用同角的三角函数的基本关系式化简可得()f PQ PB α=-，利用线段差的几何意义可得实数m 的取值范围.【详解】== 设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()f PQ PB α==-，如图，PQ PB QB -≤，当且仅当,,P Q B 三点共线且B 在,P Q 之间时等号成立，又2QB ==，故()f α.因为集合{}()a R f m α∈≥≠∅，故()max 2m f α≤=，故2m ≤.故答案为：2m ≤.【点睛】本题考虑无理函数的最值，对于无理函数的最值问题，首选方法是利用导数求其单调性，其次可利用几何意义来求最值，本题属于难题.15．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】【详解】分析：（1）由PC ⊥平面ABCD 可得CD PC ⊥，结合CD AC ⊥可证CD ⊥平面PAC .（2）先由//CD AB 证明//CD 平面PAB ，从而得到//CD EF ，故//AB EF .详解：（1）证明:∵在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD PC ⊥，∵CD AC ⊥，PC AC C =I ，∴CD ⊥平面PAC .（2）∵//AB CD ，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ，故平面CDEF I 平面PAB EF =又CD ⊄平面PAB ，AB Ì平面PAB ，∴//CD 平面PAB ，而CD ⊂平面CDEF ， ∴//CD EF∴//AB EF点睛：（1）线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.（2）线线平行的判定可以由线面平行得到，注意其中一条线是过另一条线的平面与已知平面的交线，也可以由面面平行得到，注意两条线是第三个平面与已知的两个平行平面的交线.16．（1）6C π=；（2）1BE = 【解析】【分析】（1）解法一：对条件中的式子利用正弦定理进行边化角，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法二：对对条件中的式子利用余弦定理进行角化边，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法三：利用射影定理相关内容进行求解.（2）解法一：在ABC V 中把边和角都解出来，然后在ABE △中利用余弦定理求解；解法二：在ABC V 中把边和角都解出来，然后在BCE V 中利用余弦定理求解；解法三：将BEu u u r用,BA BC u u u r u u u r 表示，平方后求出BE u u u r 的模长.【详解】（1）【解法一】由题设及正弦定理得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+，又()()sin cos sin cos sin sin sin A C C A A C B B π+=+=-=，所以2sin sin sin B C B =.由于sin 0B =≠，则1sin 2C =. 又因为03C π<<，所以6C π=.【解法二】由题设及余弦定理可得2222222sin 22a b c b c a b C a c ab bc+-+-=+，化简得2sin b C b =.因为0b >，所以1sin 2C =. 又因为03C π<<，所以6C π=.【解法三】由题设2sin cos cos b C a C c A =+，结合射影定理cos cos b a C c A =+，化简可得2sin b C b =.因为0b >.所以1sin 2C =. 又因为03C π<<，所以6C π=.（2）【解法1】由正弦定理易知sin sin b c B C==3b =. 又因为2AE EC =u u u v u u u v ，所以2233AE AC b ==，即2AE =.在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，所以在ABE ∆中，6A π=，AB =2AE =由余弦定理得1BE ===，所以1BE =.【解法2】在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==. 由余弦定理得3b ==. 因为2AE EC =u u u v u u u v，所以113EC AC ==. 在BCE ∆中，6C π=，BC =1CE = 由余弦定理得1BE === 所以1BE =.【解法3】在ABC∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==. 因为2AE EC =u u u v u u u v ，所以1233BE BA BC =+u uu v u u uv u u u v . 则()()22221111||2|44|344319992BE BA BC BA BA BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=-+⨯= ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v所以1BE =.【点睛】本题主要考察利用正余弦定理解三角形问题，方法较多，难度不大，属于简单题. 17．（1）22132x y +=；（20y ±=．【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和焦距确定基本量，从而得到椭圆的方程；（2）设出直线的待定系数方程，与椭圆方程联立，根据线段长度关系得到点的纵坐标的关系求解．【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则由221c c =⇒=，则c a b a =⇒=⇒= 22:132x y C ∴+=；（2）当直线l 为0y =时，1,1AF a c FB a c =+==-=，不满足2AF FB =；所以设直线l ：1x ty =+，联立()2222123440236x ty t y ty x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122244,2323t y y y y t t --+=⋅=++，又()2221211222112245123242223t y y y y y t y y y y y t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭=-⇒+=-⇒==--+, 212t t ∴=⇒= 故直线l：1x y =+0y ±=．【点睛】本题考查椭圆的概念与性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，函数与方程思想，是中档题．18．（1）12km （2）15︒（3）当且仅当15θ=︒时，OMN ∆的面积取最小值为24-2km【解析】【分析】（1）根据题意可得60OAB ∠=︒，在AOM ∆中，利用余弦定理求出OM =，从而可得222OM AM OA +=，即OM AN ⊥，进而可得OAN ∆为正三角形，即求解.（2）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，利用三角形的面积公式ON θ=，在OAN ∆中，利用正弦定理可得cos ON θ=，从而cos θθ=，即1sin22θ=，即求解.（3）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，由（2）知cos ON θ=，在AOM ∠中，利用正弦定理可得OM =，利用三角形的面积公式可得()1sin302sin c s 360o OMN S OM ON θθ∆=⋅⋅︒=+︒，再利用二倍角公式以及辅助角公式结合三角函数的性质即可求解.【详解】（1）Q 在OAB ∆中，4OA =，OB =90AOB ∠=︒，60OAB ∴∠=︒在AOM ∆中，4,2,60OA AM OAM ==∠=︒，由余弦定理，得OM =，222OM AM OA ∴+=，即OM AN ⊥，30AOM ∴∠=︒，OAN ∴∆为正三角形，所以OAN ∆的周长为12，即防护网的总长度为12km .（2）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，OMN OAM S ∆∆Q ，11sin30sin 22ON OM OA OM θ∴⋅︒=⋅，即ON θ=，在OAN ∆中，由()04sin60cos sin 1806030ON OA θθ==︒--︒-︒，得ON =从而cos θθ=，即1sin22θ=，由02120θ︒<<︒，得230θ=︒，15θ∴=︒，即AOM ∠15=︒.（3）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，由（2）知ON = 又在AOM ∠中，由()sin60sin 60OM OA θ=︒+︒，得OM =， ()1sin302sin 60cos 3OMN S OM ON θθ∆∴=⋅⋅︒=+︒== ∴当且仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，OMN ∆的面积取最小值为24-2km .【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在实际中的应用，三角形的面积公式以及三角恒等变换、三角函数的性质，属于中档题.19．（1）(1)y e x =-；（2）单调递增区间是(),a +∞，单调递减区间是(),a -∞；（3）2【解析】【分析】（1）当0a =时，可得()()1x f x x e =-，()x f x xe '=，求出()1f ，()1f '，即可求出切线方程；（2）求出()()x x xf x xe ae x a e '=-=-，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可；（3）当()2,x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立，即：()()120x x x e a e e -+->恒成立，等价于当()2,x ∈+∞时，()12x x x e a e e ->-恒成立；即()min 12x x x e a e e ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦对()2,x ∈+∞恒成立，令()()12x x x e g x e e -=-，根据导数求其最值，即可求得答案.【详解】（1）当0a =时，可得()()1xf x x e =-， ∴()x f x xe '=，可得：()10f =，()1f e '=∴所求切线方程为(1)y e x =-（2）Q ()()()12x x f x x e a e e =-+-∴()()x x x f x xe ae x a e '=-=-.令()0f x '=，则x a =.当(),x a ∈-∞时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>；∴()f x 的单调递增区间是(),a +∞，单调递减区间是(),a -∞. （3）当()2,x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立即：()()120x x x e a e e -+->恒成立，等价于当()2,x ∈+∞时，()12x x x e a e e ->-恒成立；即()min12x x x e a e e ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦对()2,x ∈+∞恒成立. 令()()12x x x e g x e e -=-，()2,x ∈+∞，()()()222x x xe e ex g x ee -'=-，令()2xh x e ex =-，()2,x ∈+∞，()20x h x e e '=->，∴()2x h x e ex =-在()2,+∞上单调递增.又Q ()2240h e e =-<，()3360h e e =->，∴()g x '在()2,3上有唯一零点0x ，且002x e ex =，()02,3x ∈ ∴()g x 在()02,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， ∴()()()()()000000min01122,3222x x x e x ex g x g x xe eex e--====∈--，∴()02,3a x <∈，故整数a 的最大值为2. 【点睛】本题主要考查了根据导数求函数单调区间和根据不等式恒成立求参数值，解题关键是掌握根据导数求函数单调区间的方法和构造函数求最值的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题.20．（1）2m >；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】试题分析：（1）根据题目中所定义的“K 数列”，只需()()2111,11,m m m +->-+>同时满足，解不等式可解m 范围．（2）由题意可知，若存在只需等差数列的公差1d >，即()12n n n S n d -=-+<212n n -,代入n=1,n>1,矛盾．（3）设数列{}n a 的公比为,q 则11n n a a q -=，*n a N ∈，满足“K 数列”，即()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->>只需最小项211,a a ->即()1111,?2n a q a ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项, 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤,所以只能()112,a q -=只有解11,3a q ==或12, 2.a q ==分两类讨论数列{}n b ．试题解析：（Ⅰ）由题意得()111,m +->()211,m m -+>解得2,m >所以实数m 的取值范围是 2.m >（Ⅱ假设存在等差数列{}n a 符合要求,设公差为,d 则1,d >由11,a =-得()1,2n n n S n d -=-+由题意,得()21122n n n d n n --+<-对*n N ∈均成立,即()1.n d n -< ①当1n =时,;d R ∈ ②当1n >时,,1n d n <- 因为111,11n n n =+>-- 所以1,d ≤与1d >矛盾, 所以这样的等差数列不存在.（Ⅲ）设数列{}n a 的公比为,q 则11,n n a a q -=因为{}n a 的每一项均为正整数,且()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->> 所以在{}1n n a a --中,“21a a -”为最小项.同理,11122n n a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中,“211122a a -”为最小项.由{}n a 为“K 数列”,只需211,a a ->即()111,a q ->又因为12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项, 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤, 由数列{}n a 的每一项均为正整数,可得()112,a q -= 所以11,3a q ==或12, 2.a q ==①当11,3a q ==时,13,n n a -=则3,1nn b n =+令()*1,n n n c b b n N+=-∈则()()133213,2112n n n n n c n n n n ++=-=⋅++++又()()()()12321332312n n n n n n n n +++⋅-⋅++++()()234860,213n n n n n n ++=⋅>+++ 所以{}n c 为递增数列,即121,n n n c c c c -->>>⋅⋅⋅> 所以213331,22b b -=-=> 所以对于任意的*,n N ∈都有11,n n b b +->即数列{}n b 为“K 数列”.②当12,2a q ==时,2,nn a =则12.1n n b n +=+因为2121,3b b -=≤ 所以数列{}n b 不是“K 数列”.综上:当11,3a q ==时,数列{}n b 为“K 数列”,当12,2a q ==时,2,nn a =数列{}n b 不是“K 数列”.【点睛】对于新定义的题型一定要紧扣题目中的定义并进行合理的转化，这是解决此类的问题的关键．另外题中有整数条件时一般都能通过因式分解，或夹逼在方程个数小于变量个数时，解出部分甚至全部参数．21．1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】先求出矩阵A 的逆矩阵1A -，再矩阵的乘法求出1A B -的乘积. 【详解】设矩阵A 的逆矩阵为a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 即1010220101a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12. 从而A 的逆矩阵为110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦.所以11012121060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.【点睛】本题考查求矩阵的逆矩阵和矩阵的乘法，属于基础题. 22．2 【解析】分析：ρθ=两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 即可得圆的直角坐标方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式以及勾股定理可得结果.详解：圆C：ρθ=直角坐标方程为220x y +-=，即(222x y -+=直线l ：()4R πθρ=∈的直角坐标方程为y x =圆心C 到直线l的距离1d ==所以AB =2=,点睛：利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23．（1）1211n n +-+（2）答案见解析【解析】【分析】（1）当1q =时,r r na C =,因为1!!11!()!(1)!()r n C n n r r r n r r n r =⋅=++-+-,结合已知,即可求得答案;（2）当q n =时,r n r r n a C n -=,可得1n n A n +=,令1x =,得(1)n n B n =+,故当1,2n =时,1(1)n n nn +<+, 当3n ≥时,1(1)n nnn +>+化简可得:11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭, 利用数学归纳法证明,即可求得答案; 【详解】（1）当1q =时,rr n a C =1!!11!()!(1)!()r n C n n r r r n r r n r =⋅=++-+-Q 111(1)!11(1)!()!1r n n C n r n r n +++=⋅=⋅++-+,其中0,1,2,,r n ⋯＝, ∴原式＝()11231111112111n n n n n n C C C C n n ++++++-++⋯+=++ （2）当q n =时,r n rr n a C n -=01,n n a n a n ∴==, 1n n A n +∴=令1x =,得(1)nn B n =+当1,2n =时,1(1)n n n n +<+;当3n ≥时,1(1)n n nn +>+,即(1)nnn n n ⋅>+,可得:(1)111+nnn nn n n n n n ++⎛⎫⎛⎫>== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 下面用数学归纳法证明:当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭——(☆)①当3n =时,316431327⎛⎫>+= ⎪⎝⎭, (☆)成立．②假设3n k =≥时,(☆)式成立,即11kk k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭则1n k =+时,(☆)式右边1111111111k kk k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111kk k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++<+⋅=+<+ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当1n k =+时,(☆)式也成立．综上①②知,当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭ ∴当1,2n =时,n n A B <;当3n ≥时,n n A B >.【点睛】解题关键是掌握对于研究与自然数相关组合数的问题,通常有三种处理方法:一是应用数学归纳法来加以研究;二是应用组合数的相关性质来加以研究;三是转化为函数问题来加以研究,考查了分析能力和计算能力,属于难题.24．（1）23（2）①详见解析②23142n n n-+【解析】【分析】（1）不论第一次检测结果如何，都要对含有2阴1阳得血液样本进行逐一检测，故第2次和第3次检测的都是阴性或者第2次检测的是阴性，第3次检测的是阳性，根据组合数公式和古典概型的概率公式计算概率；（2）根据组合数公式和古典概型的概率公式依次计算2ξ=，3，4，⋯，3n -的概率，得出分布列和数学期望．【详解】解：（1）在6n =时，恰好在第三次时检测出呈阳性血液，说明其中三份血液中的其中一份呈阳性，并且对含阳性血液的一组进行检测时，前两次检测出血液为阴性，或第一次为阴性第二次为阳性.32111521213211163132223C C C C C P C C C C C ⎛⎫=⋅+⋅= ⎪⎝⎭（2）①在8n ≥时，313111113131332(2)n n n n n n n C C C C P C C C C n ξ-----==⋅+⋅=211111311112121141311113113232343(3)n n n n n n n C C C C C C C C C P C C C C C C C C n ξ-----⎛⎫==⋅++⋅= ⎪⎝⎭ 321141321351(4)n n n n n C C C P C C C n ξ----==⋅=⋅同理，当44k n ≤≤-时，3211413213(3)(2)1()k n n k n n n k C C C P k C C C n ξ--------⋅==⋅= 341141341312(3)2n n n n n n C C C P k C C C nξ-----=-=⋅⋅=ξ∴的分布列为：②2311122345(4)(3)E n n n n n n n nξ=⋅+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+-⋅ 23142n n n-+=【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率计算，离散型随机变量及其分布列与期望的计算，属于中档题．。

江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月第二次调研考试数学试题(含答案解析)

江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月第二次调研考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合()(){}120A x x x =+-<，集合B Z =，则AB =______.2．若i 是虚数单位，复数()()12z a i i =++是纯虚数，则实数a 的值为________. 3．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________.4．若{1,0,1,2}a ∈-，则方程220x x a ++=有实根的概率为________. 5．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为45，且过点()3,1，则双曲线的焦距等于________.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()2*2,,n S pn n q p q R n N=-+∈∈．若1a 与5a 的等差中项为8，则p q +=______．8．如果命题0p x ∀>：，4957x m x+≥+为真命题，则实数m 的取值范围是__________． 9．函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，则实数a 的取值范围为______. 10．边长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B ，D 分别为AC ，CE 的中点，N 为GD 与CF 的交点，则AN EG ⋅=______．11．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________.12．定义符号函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，若函数()()xf xg x e =⋅，则满足不等式()()233f a a f a +<+的实数a 的取值范围是__________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，()221:44-+=O x y ，动点P在直线0-=x b 上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为,A B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．14．已知函数()f α={}()a R f m α∈≥≠∅，则实数m 的取值范围为___________.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）求证：//AB EF ．16．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos b C a C =cos c A +，23B π=，c =（1）求角C ；（2）若点E 满足2AE EC =，求BE 的长.17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率3e =，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过椭圆的右焦点F ，且2AF FB =，求直线l 方程．18．如图所示，某区有一块空地OAB ∆，其中4OA km =，OB =，AOB 90∠=.当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ∆，其中,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=，挖出的泥土堆放在OAM ∆地带上形成假山，剩下的OBN ∆地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN ∆的周围安装防护网.（1）当2AM km =时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地OMN ∆的面积是堆假山用地OAM ∆倍，试确定AOM ∠的大小；（3）为节省投入资金，人工湖OMN ∆的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN ∆的面积最小？最小面积是多少？ 19．设函数()()()12xxf x x e a e e=-+-，（1）当0a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）若不等式()0f x >对()2,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值. 20．对于*,∀∈n N 若数列{}n x 满足11,+->n n x x 则称这个数列为“K 数列”.（1）已知数列1, 21,+m m 是“K 数列”,求实数m 的取值范围;（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”,且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在,求出{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由;（3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”,数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,若1,1+=+n n a b n 试判断数列{}n b 是否为“K 数列”,并说明理由. 21．已知矩阵1002A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，1206B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵1A B -. 22．在极坐标系中，已知圆:C ρθ=和直线:()4l πθρ=∈R 相交于,A B 两点，求线段AB 的长.23．设2012()n r nr n q x a a x a x a x a x +=+++⋯++⋯+,其中*,q R n N ∈∈.（1）当1q =时,化简:1nrr a r =+∑; （2）当q n =时,记()010,2nn n r r n a a A B a =+==∑,试比较n A 与n B 的大小.24．一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了(6)n n 份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中(3)n -份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这(3)n -份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.（1）若6n =，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；（2）若8n ，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为ξ， ①求ξ的概率分布； ②求E ξ.参考答案1．{}0,1 【分析】先化简集合A ,再根据交集运算法则求出A B .【详解】因为()(){}120A x x x =+-<{}12x x =-<<,B Z =, 所以{}0,1AB =,故答案为:{}0,1. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算,属于基础题. 2．2 【分析】对复数z 进行化简，然后根据纯虚数的概念，得到a 的值. 【详解】复数()()12z a i i =++222a i ai i =+++()()221a a i =-++因为z 为纯虚数，所以20a -=,210a +≠ ，所以2a =. 故答案为：2 【点睛】本题考查复数的运算，根据复数的类型求参数的值，属于简单题. 3．38 【分析】根据平均成绩求出a 的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可．【详解】5位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80， 78858269580a ∴++++=⨯，解得：86a =，2222221[(7880)(8580)(8680)(8280)(6980)]385s ∴=-+-+-+-+-=，则他们成绩的方差等于38. 故答案为：38．【点睛】本题考查平均数和方差的定义，考查数据处理能力，求解时注意方差与标准差的区别. 4．34【分析】由已知可得2240a ∆=-≥，解得1a ≤，可知当1,0,1a =-时满足要求，再根据古典概型概率公式求解. 【详解】方程220x x a ++=有实根，2240a ∴∆=-≥，解得1a ≤ 1,0,1a ∴=-时满足要求，则方程220x x a ++=有实根的概率为34. 故答案为：34【点睛】本题考查了概率的计算，属于基础题. 5．1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 6．8【分析】根据题意得出1ba=，然后将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程，可求出a 、b 的值，即可计算出双曲线的焦距. 【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由题意可得1ba=，b a ∴=，所以，双曲线的标准方程为22221x y a a-=，将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程得22911a a -=，得a b ==因此，双曲线的焦距为248=⨯=. 故答案为：4. 【点睛】本题考查双曲线焦距的计算，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，要结合题意得出a 、b 的值，考查运算求解能力，属于中等题.7．2 【分析】由{}n a 为等差数列，且*n N ∈，可得0q =，又根据等差中项，可得1516a a +=，即可求出5S 的值，代入公式，即可求解. 【详解】因为*n N ∈，由等差数列的性质可得0q =，又1a 与5a 的等差中项为8，所以1516a a +=，即()1555402a a S +⨯==，所以251040p -=，即2p =，所以202p q +=+=，故答案为：2．【点睛】本题考查了等差数列的性质，重点考查了等差数列的前n 项和公式的应用，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题． 8．{|1}m m ≤ 【分析】由题意利用基本不等式可得4912x x+≥，即可得出m 的不等式5712m +≤，求解出m 的范围．【详解】命题p 为真命题，即当0x >时，不等式4957x m x+≥+恒成立，又当0x >时，4912x x +≥=，当且仅当49x x =，即23x =时，49x x +取得最小值12，故5712m +≤，解得 1.m ≤ 故答案为：{|1}m m ≤ 【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数的范围，考查了不等式恒成立问题，考查了利用基本不等式求和的最小值，属于基础题． 9．[2,)+∞ 【分析】首先求出函数的导数，依题意可得()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，参变分离，根据余弦函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：因为()2sin f x x ax =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2cos f x x a '=-，因为函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，所以()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2cos a x ≥在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为()2cos g x x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()max 02cos02g x g ===所以2a ≥，即[)2,a ∈+∞ 故答案为：[)2,+∞ 【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 10．72-【分析】根据等边三角形的性质、平面向量的线性运算，用,AB AH 分别表示出,AN EG ，再求AN EG ⋅．【详解】由已知得1222AN AB CN AB AH =+=+，3EG DE DG AB CH AB AH AC AB AH =-+=-+=-+-=-+，所以221112(3)6||||222AN EG AB AH AB AH AB AB AH AH ⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭．因为等边三角形的边长为2，所以221117611222222AN EG ⋅=-⨯+⨯⨯⨯+⨯=-．故答案为：72- 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、平面向量的线性运算，数量积的运算，考查学生的运算求解能力.11．383r π 【分析】设出圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面中，由球O 与圆锥相切可设出底面和母线SB 的切点分别为C 和D ，接着由三角形的相似求得h 、R 、r 三者间的关系，然后将圆锥的体积表示成关于h 的函数，利用导函数求最值. 【详解】设圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面图中，SC h =，OC OD r ==，BC R =，根据圆锥与球相切可知，D 、C 均为球O 与外切圆锥的切点，则2SCB SDO π∠=∠=又OSD BSC ∠=∠，SOD SBC ∴~，BC SCOD SD ∴=，即R r =，R ∴==，∴圆锥体积为2221()33(2)r h V h R h h r ππ==-，22(4)()3(2)r h h r V h h r π-'∴=-，令()0V h '=可得4h r =，则04h r <<时，()0V h '<；4h r >时，()0V h '>，()V h ∴在(0,4)r 单调递减，在(4,)r +∞单调递增，则3min 8()(4)3V h V r r π==. 故答案为：383r π.【点睛】本题考查了球的外切问题，圆锥的体积公式，导函数的实际应用问题，难度较大.12．()3,1-【详解】分析：根据分段函数，利用指数函数的性质，得到函数()f x 在R 上是增函数，即可得到不等式233a a a +<+，即可求解．详解：由函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，得()()()(),00,0,0x x e x f x x e x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，根据指数的性质可得函数()f x 在R 上是增函数，又由()()233f a a f a +<+，则233a a a +<+，解得31a -<<．点睛：本题考查了函数的单调性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的函数的单调性，转化为不等式233a a a +<+是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，即可求解．13．20(,4)3-. 【分析】设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b 的不等式即可求得实数b 的取值范围.【详解】由题意O (0,0),O 1(4,0).设P (x ,y )，则∵PB =2P A ，=∴(x −4)2+y 2=4(x 2+y 2)，∴x 2+y 2+81633-x =0，圆心坐标为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭,半径为83， ∵动点P在直线x −b =0上，满足PB =2P A 的点P 有且只有两个，∴直线与圆x 2+y 2+81633-x =0相交， ∴圆心到直线的距离83d =<， ∴4164163333b --<<-+，即实数b 的取值范围是20,43⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思想，直线与圆是位置关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14．2m ≤【分析】设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用同角的三角函数的基本关系式化简可得()f PQ PB α=-，利用线段差的几何意义可得实数m 的取值范围.【详解】== 设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()f PQ PB α==-，如图，PQ PB QB -≤，当且仅当,,P Q B 三点共线且B 在,P Q 之间时等号成立，又2QB ==，故()f α的最大值为2.因为集合{}()a R f m α∈≥≠∅，故()max 2m f α≤=，故2m ≤.故答案为：2m ≤. 【点睛】本题考虑无理函数的最值，对于无理函数的最值问题，首选方法是利用导数求其单调性，其次可利用几何意义来求最值，本题属于难题.15．（1）见解析；（2）见解析【详解】分析：（1）由PC ⊥平面ABCD 可得CD PC ⊥，结合CD AC ⊥可证CD ⊥平面PAC .（2）先由//CD AB 证明//CD 平面PAB ，从而得到//CD EF ，故//AB EF .详解：（1）证明:∵在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD PC ⊥，∵CD AC ⊥，PCAC C =，∴CD ⊥平面PAC .（2）∵//AB CD ，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ，故平面CDEF平面PAB EF = 又CD ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，∴//CD 平面PAB ，而CD ⊂平面CDEF ， ∴//CD EF∴//AB EF点睛：（1）线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.（2）线线平行的判定可以由线面平行得到，注意其中一条线是过另一条线的平面与已知平面的交线，也可以由面面平行得到，注意两条线是第三个平面与已知的两个平行平面的交线.16．（1）6C π=；（2）1BE = 【分析】（1）解法一：对条件中的式子利用正弦定理进行边化角，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法二：对对条件中的式子利用余弦定理进行角化边，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法三：利用射影定理相关内容进行求解.（2）解法一：在ABC 中把边和角都解出来，然后在ABE △中利用余弦定理求解；解法二：在ABC 中把边和角都解出来，然后在BCE 中利用余弦定理求解；解法三：将BE 用,BA BC 表示，平方后求出BE 的模长.【详解】（1）【解法一】由题设及正弦定理得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+，又()()sin cos sin cos sin sin sin A C C A A C B B π+=+=-=，所以2sin sin sin B C B =.由于sin 0B =≠，则1sin 2C =. 又因为03C π<<，所以6C π=.【解法二】由题设及余弦定理可得2222222sin 22a b c b c a b C a c ab bc+-+-=+，化简得2sin b C b =.因为0b >，所以1sin 2C =. 又因为03C π<<，所以6C π=.【解法三】由题设2sin cos cos b C a C c A =+，结合射影定理cos cos b a C c A =+，化简可得2sin b C b =.因为0b >.所以1sin 2C =. 又因为03C π<<，所以6C π=.（2）【解法1】由正弦定理易知sin sin b c B C==3b =. 又因为2AE EC =，所以2233AE AC b ==，即2AE =. 在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，所以在ABE ∆中，6A π=，AB =2AE =由余弦定理得1BE ===，所以1BE =.【解法2】在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==.由余弦定理得3b ==. 因为2AE EC =，所以113EC AC ==.在BCE ∆中，6C π=，BC =1CE =由余弦定理得1BE ===所以1BE =.【解法3】在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==. 因为2AE EC =，所以1233BE BA BC =+. 则()()22221111||2|44|344319992BE BA BC BA BA BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=-+⨯= ⎪⎝⎭ 所以1BE =.【点睛】本题主要考察利用正余弦定理解三角形问题，方法较多，难度不大，属于简单题.17．（1）22132x y +=；（20y ±=．【分析】（1）根据椭圆的离心率和焦距确定基本量，从而得到椭圆的方程；（2）设出直线的待定系数方程，与椭圆方程联立，根据线段长度关系得到点的纵坐标的关系求解．【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则由221c c =⇒=，则c a b a =⇒=⇒= 22:132x y C ∴+=；（2）当直线l 为0y =时，1,1AF a c FB a c =+==-=，不满足2AF FB =；所以设直线l ：1x ty =+，联立()2222123440236x ty t y ty x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122244,2323t y y y y t t --+=⋅=++，又()2221211222112245123242223t y y y y y t y y y y y t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭=-⇒+=-⇒==--+, 212t t ∴=⇒= 故直线l：1x y =+0y ±=．【点睛】本题考查椭圆的概念与性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，函数与方程思想，是中档题．18．（1）12km （2）15︒（3）当且仅当15θ=︒时，OMN ∆的面积取最小值为24-2km【分析】（1）根据题意可得60OAB ∠=︒，在AOM ∆中，利用余弦定理求出OM =，从而可得222OM AM OA +=，即OM AN ⊥，进而可得OAN ∆为正三角形，即求解.（2）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，利用三角形的面积公式ON θ=，在OAN ∆中，利用正弦定理可得cos ON θ=，从而cos θθ=，即1sin22θ=，即求解. （3）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，由（2）知ON =AOM ∠中，利用正弦定理可得()sin 60OM θ=+︒，利用三角形的面积公式可得()1sin302sin c s 360o OMN S OM ON θθ∆=⋅⋅︒=+︒，再利用二倍角公式以及辅助角公式结合三角函数的性质即可求解.【详解】（1）在OAB ∆中，4OA =，OB =90AOB ∠=︒，60OAB ∴∠=︒在AOM ∆中，4,2,60OA AM OAM ==∠=︒，由余弦定理，得OM =，222OM AM OA ∴+=，即OM AN ⊥，30AOM ∴∠=︒，OAN ∴∆为正三角形，所以OAN ∆的周长为12，即防护网的总长度为12km .（2）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，OMN OAM S ∆∆，11sin30sin 22ON OM OA OM θ∴⋅︒=⋅，即ON θ=，在OAN ∆中，由()04sin60cos sin 1806030ON OA θθ==︒--︒-︒，得ON =从而cos θθ=，即1sin22θ=，由02120θ︒<<︒，得230θ=︒，15θ∴=︒，即AOM ∠15=︒.（3）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，由（2）知ON = 又在AOM ∠中，由()sin60sin 60OM OA θ=︒+︒，得()sin 60OM θ=+︒， ()1sin302sin 60cos 3OMN S OM ON θθ∆∴=⋅⋅︒=+︒== ∴当且仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，OMN ∆的面积取最小值为24-2km .【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在实际中的应用，三角形的面积公式以及三角恒等变换、三角函数的性质，属于中档题.19．（1）(1)y e x =-；（2）单调递增区间是(),a +∞，单调递减区间是(),a -∞；（3）2【分析】（1）当0a =时，可得()()1x f x x e =-，()xf x xe '=，求出()1f ，()1f '，即可求出切线方程；（2）求出()()x x x f x xe ae x a e '=-=-，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可；（3）当()2,x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立，即：()()120x x x e a e e -+->恒成立，等价于当()2,x ∈+∞时，()12x x x e a e e ->-恒成立；即()min 12x x x e a e e ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦对()2,x ∈+∞恒成立，令()()12x x x e g x e e -=-，根据导数求其最值，即可求得答案.【详解】（1）当0a =时，可得()()1xf x x e =-， ∴()x f x xe '=，可得：()10f =，()1f e '=∴所求切线方程为(1)y e x =-（2）()()()12x x f x x e a e e =-+-∴()()x x x f x xe ae x a e '=-=-.令()0f x '=，则x a =.当(),x a ∈-∞时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>；∴()f x 的单调递增区间是(),a +∞，单调递减区间是(),a -∞.（3）当()2,x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立即：()()120x x x e a e e -+->恒成立，等价于当()2,x ∈+∞时，()12x x x e a e e ->-恒成立；即()min12x x x e a e e ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦对()2,x ∈+∞恒成立. 令()()12x x x e g x e e -=-，()2,x ∈+∞，()()()222x x x e e ex g x ee -'=-，令()2x h x e ex =-，()2,x ∈+∞，()20x h x e e '=->，∴()2x h x e ex =-在()2,+∞上单调递增.又()2240h e e =-<，()3360h e e =->，∴()g x '在()2,3上有唯一零点0x ，且002x e ex =，()02,3x ∈∴()g x 在()02,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，∴()()()()()0000000min 01122,3222x x x e x ex g x g x x e e ex e --====∈--，∴()02,3a x <∈，故整数a 的最大值为2.【点睛】本题主要考查了根据导数求函数单调区间和根据不等式恒成立求参数值，解题关键是掌握根据导数求函数单调区间的方法和构造函数求最值的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题.20．（1）2m >；（2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）根据题目中所定义的“K 数列”，只需()()2111,11,m m m +->-+>同时满足，解不等式可解m 范围．（2）由题意可知，若存在只需等差数列的公差1d >，即()12n n n S n d -=-+<212n n -,代入n=1,n>1,矛盾．（3）设数列{}n a 的公比为,q 则11n n a a q -=，*n a N ∈，满足“K 数列”，即()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->>只需最小项211,a a ->即()1111,?2n a q a ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项, 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤,所以只能()112,a q -=只有解11,3a q ==或12, 2.a q ==分两类讨论数列{}nb ．试题解析：（Ⅰ）由题意得()111,m +->()211,m m -+>解得2,m >所以实数m 的取值范围是 2.m >（Ⅱ假设存在等差数列{}n a 符合要求,设公差为,d 则1,d >由11,a =-得()1,2n n n S n d -=-+由题意,得()21122n n n d n n --+<-对*n N ∈均成立,即()1.n d n -< ①当1n =时,;d R ∈ ②当1n >时,,1n d n <- 因为111,11n n n =+>-- 所以1,d ≤与1d >矛盾, 所以这样的等差数列不存在.（Ⅲ）设数列{}n a 的公比为,q 则11,n n a a q -=因为{}n a 的每一项均为正整数,且()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->> 所以在{}1n n a a --中,“21a a -”为最小项.同理,11122n n a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中,“211122a a -”为最小项. 由{}n a 为“K 数列”,只需211,a a ->即()111,a q ->又因为12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项, 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤, 由数列{}n a 的每一项均为正整数,可得()112,a q -= 所以11,3a q ==或12, 2.a q ==①当11,3a q ==时,13,n n a -=则3,1nn b n =+令()*1,n n n c b b n N+=-∈则()()133213,2112n n n n n c n n n n ++=-=⋅++++又()()()()12321332312n n n n n n n n +++⋅-⋅++++()()234860,213n n n n n n ++=⋅>+++ 所以{}n c 为递增数列,即121,n n n c c c c -->>>⋅⋅⋅>所以213331,22b b -=-=> 所以对于任意的*,n N ∈都有11,n n b b +-> 即数列{}n b 为“K 数列”.②当12,2a q ==时,2,nn a =则12.1n n b n +=+因为2121,3b b -=≤ 所以数列{}n b 不是“K 数列”.综上:当11,3a q ==时,数列{}n b 为“K 数列”,当12,2a q ==时,2,nn a =数列{}n b 不是“K 数列”.【点睛】对于新定义的题型一定要紧扣题目中的定义并进行合理的转化，这是解决此类的问题的关键．另外题中有整数条件时一般都能通过因式分解，或夹逼在方程个数小于变量个数时，解出部分甚至全部参数．21．1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出矩阵A 的逆矩阵1A -，再矩阵的乘法求出1A B -的乘积. 【详解】设矩阵A 的逆矩阵为a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 即1010220101a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12. 从而A 的逆矩阵为110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦.所以11012121060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查求矩阵的逆矩阵和矩阵的乘法，属于基础题. 22．2 【解析】分析：ρθ=两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 即可得圆的直角坐标方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式以及勾股定理可得结果.详解：圆C：ρθ=直角坐标方程为220x y +-=，即(222x y -+=直线l ：()4R πθρ=∈的直角坐标方程为y x =圆心C 到直线l的距离1d ==所以AB =2=,点睛：利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y yxρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23．（1）1211n n +-+（2）答案见解析【分析】（1）当1q =时,r r na C =,因为1!!11!()!(1)!()r n C n n r r r n r r n r =⋅=++-+-,结合已知,即可求得答案;（2）当q n =时,r n r r n a C n -=,可得1n n A n +=,令1x =,得(1)n n B n =+,故当1,2n =时,1(1)n n nn +<+, 当3n ≥时,1(1)n nnn +>+化简可得:11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭, 利用数学归纳法证明,即可求得答案; 【详解】（1）当1q =时,rr n a C =1!!11!()!(1)!()r n C n n r r r n r r n r =⋅=++-+- 111(1)!11(1)!()!1r n n C n r n r n +++=⋅=⋅++-+,其中0,1,2,,r n ⋯＝, ∴原式＝()11231111112111n n n n n n C C C C n n ++++++-++⋯+=++ （2）当q n =时,r n rr n a C n -=01,n n a n a n ∴==, 1n n A n +∴=令1x =,得(1)nn B n =+当1,2n =时,1(1)n n n n +<+;当3n ≥时,1(1)n n nn +>+,即(1)nnn n n ⋅>+,可得:(1)111+nnn nn n n n n n ++⎛⎫⎛⎫>== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 下面用数学归纳法证明:当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭——(☆)①当3n =时,316431327⎛⎫>+=⎪⎝⎭, (☆)成立．②假设3n k =≥时,(☆)式成立,即11kk k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭则1n k =+时,(☆)式右边1111111111k kk k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111kk k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++<+⋅=+<+ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当1n k =+时,(☆)式也成立．综上①②知,当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭∴当1,2n =时,n n A B <;当3n ≥时,n n A B >.【点睛】解题关键是掌握对于研究与自然数相关组合数的问题,通常有三种处理方法:一是应用数学归纳法来加以研究;二是应用组合数的相关性质来加以研究;三是转化为函数问题来加以研究,考查了分析能力和计算能力,属于难题.24．（1）23（2）①详见解析②23142n n n-+ 【分析】（1）不论第一次检测结果如何，都要对含有2阴1阳得血液样本进行逐一检测，故第2次和第3次检测的都是阴性或者第2次检测的是阴性，第3次检测的是阳性，根据组合数公式和古典概型的概率公式计算概率；（2）根据组合数公式和古典概型的概率公式依次计算2ξ=，3，4，⋯，3n -的概率，得出分布列和数学期望．【详解】解：（1）在6n =时，恰好在第三次时检测出呈阳性血液，说明其中三份血液中的其中一份呈阳性，并且对含阳性血液的一组进行检测时，前两次检测出血液为阴性，或第一次为阴性第二次为阳性.32111521213211163132223C C C C C P C C C C C ⎛⎫=⋅+⋅= ⎪⎝⎭（2）①在8n ≥时，313111113131332(2)n n n n n n n C C C C P C C C C nξ-----==⋅+⋅=211111311112121141311113113232343(3)n n n n n n n C C C C C C C C C P C C C C C C C C n ξ-----⎛⎫==⋅++⋅= ⎪⎝⎭ 321141321351(4)n n n n n C C C P C C C nξ----==⋅=⋅ 同理，当44k n ≤≤-时，3211413213(3)(2)1()k n n k n n n k C C C P k C C C n ξ--------⋅==⋅= 341141341312(3)2n n n n n n C C C P k C C C nξ-----=-=⋅⋅=ξ∴的分布列为：②2311122345(4)(3)E n n n n n n n nξ=⋅+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+-⋅ 23142n n n-+=【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率计算，离散型随机变量及其分布列与期望的计算，属于中档题．。

江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月第二次调研考试数学试题(解析版)

江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第二次调研考试数学试题2020．6第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题纸相应的位置上．）1.已知集合()(){}120A x x x =+-<，集合B Z =，则A B =______.【答案】{}0,1 【解析】【分析】先化简集合A ,再根据交集运算法则求出AB .【详解】因为()(){}120A x x x =+-<{}12x x =-<<,B Z =, 所以{}0,1AB =,故答案为:{}0,1.【点睛】本题主要考查集合的交集运算,属于基础题.2.若i 是虚数单位，复数()()12z a i i =++是纯虚数，则实数a 的值为________. 【答案】2 【解析】【分析】对复数z 进行化简，然后根据纯虚数的概念，得到a 的值. 【详解】复数()()12z a i i =++222a i ai i =+++()()221a a i =-++因为z 为纯虚数，所以20a -=,210a +≠ ，所以2a =. 故答案为：2【点睛】本题考查复数的运算，根据复数的类型求参数的值，属于简单题.3.在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________.【答案】38 【解析】【分析】根据平均成绩求出a 的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可．【详解】5位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80，78858269580a ∴++++=⨯，解得：86a =，2222221[(7880)(8580)(8680)(8280)(6980)]385s ∴=-+-+-+-+-=，则他们成绩的方差等于38. 故答案为：38．【点睛】本题考查平均数和方差的定义，考查数据处理能力，求解时注意方差与标准差的区别. 4.若{1,0,1,2}a ∈-，则方程220x x a ++=有实根的概率为________. 【答案】34【解析】【分析】由已知可得2240a ∆=-≥，解得1a ≤，可知当1,0,1a =-时满足要求，再根据古典概型概率公式求解. 【详解】方程220x x a ++=有实根，2240a ∴∆=-≥，解得1a ≤ 1,0,1a ∴=-时满足要求，则方程220x x a ++=有实根的概率为34. 故答案为：34【点睛】本题考查了概率的计算，属于基础题.5.如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 6.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为45，且过点()3,1，则双曲线的焦距等于________. 【答案】8 【解析】【分析】根据题意得出1ba=，然后将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程，可求出a 、b 的值，即可计算出双曲线的焦距.【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由题意可得1ba=，b a ∴=，所以，双曲线的标准方程为22221x y a a-=，将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程得22911a a-=，得22a b == 因此，双曲线的焦距为222248a b +=⨯=. 故答案为：4.【点睛】本题考查双曲线焦距的计算，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，要结合题意得出a 、b 的值，考查运算求解能力，属于中等题.7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()2*2,,n S pn n q p q R n N=-+∈∈.若1a 与5a 的等差中项为8，则p q +=______.【答案】2 【解析】【分析】等差数列的性质可得0q =，再结合155()5402a a S +⨯==求解即可.【详解】解：由等差数列{}n a 的前n 项和为()2*2,,n S pn n q p q R n N =-+∈∈，由等差数列的性质可得0q =，又1a 与5a 的等差中项为8，即1516a a +=，即155()5402a a S +⨯==，即251040p -=，即2p =，即202p q +=+=，故答案为：2.【点睛】本题考查了等差数列的性质，重点考查了等差数列的前n 项和公式，属基础题.8.如果命题0p x ∀>：，4957x m x+≥+为真命题，则实数m 的取值范围是__________．【答案】{|1}m m ≤ 【解析】【分析】由题意利用基本不等式可得4912x x+≥，即可得出m 的不等式5712m +≤，求解出m 的范围．【详解】命题p 为真命题，即当0x >时，不等式4957x m x+≥+恒成立，又当0x >时，4912x x +≥=，当且仅当49x x =，即23x =时，49x x+取得最小值12，故5712m +≤，解得 1.m ≤ 故答案为：{|1}m m ≤【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数的范围，考查了不等式恒成立问题，考查了利用基本不等式求和的最小值，属于基础题． 9.函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，则实数a 的取值范围为______. 【答案】[2,)+∞ 【解析】【分析】首先求出函数的导数，依题意可得()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，参变分离，根据余弦函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：因为()2sin f x x ax =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2cos f x x a '=-，因为函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，所以()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2cos a x ≥在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为()2cos g x x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()max 02cos02g x g === 所以2a ≥，即[)2,a ∈+∞ 故答案为：[)2,+∞【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 10.边长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B ，D 分别为AC ，CE 的中点，N 为GD 与CF 的交点，则AN EG ⋅=______．【答案】72- 【解析】【分析】根据等边三角形的性质、平面向量的线性运算，用,AB AH 分别表示出,AN EG ，再求AN EG ⋅．【详解】由已知得1222AN AB CN AB AH =+=+，3EG DE DG AB CH AB AH AC AB AH=-+=-+=-+-=-+，所以221112(3)6||||222AN EG AB AH AB AH AB AB AH AH ⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭．因为等边三角形的边长为2，所以221117611222222AN EG ⋅=-⨯+⨯⨯⨯+⨯=-．故答案为：72-【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、平面向量的线性运算，数量积的运算，考查学生的运算求解能力.11.已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________. 【答案】383r π 【解析】【分析】设出圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面中，由球O 与圆锥相切可设出底面和母线SB 的切点分别为C 和D ，接着由三角形的相似求得h 、R 、r 三者间的关系，然后将圆锥的体积表示成关于h 的函数，利用导函数求最值.【详解】设圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面图中，SC h =，OC OD r ==，BC R =，根据圆锥与球相切可知，D 、C 均为球O 与外切圆锥的切点，则2SCB SDO π∠=∠=又OSD BSC ∠=∠，SOD SBC ∴~，BC SCOD SD∴=，即R r =222()2R h r r h hr∴==---，∴圆锥体积为2221()33(2)r h V h R h h r ππ==-，22(4)()3(2)r h h r V h h r π-'∴=-，令()0V h '=可得4h r =，则04h r <<时，()0V h '<；4h r >时，()0V h '>，()V h ∴在(0,4)r 单调递减，在(4,)r +∞单调递增，则3min 8()(4)3V h V r r π==. 故答案为：383r π.【点睛】本题考查了球的外切问题，圆锥的体积公式，导函数的实际应用问题，难度较大.12.定义符号函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，若函数()()x f x g x e =⋅，则满足不等式()()233f a a f a +<+的实数a 的取值范围是__________．【答案】()3,1- 【解析】【详解】分析：根据分段函数，利用指数函数的性质，得到函数()f x 在R 上是增函数，即可得到不等式233a a a +<+，即可求解．详解：由函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，得()()()(),00,0,0x x e x f x x e x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，根据指数的性质可得函数()f x 在R 上是增函数，又由()()233f a a f a +<+，则233a a a +<+，解得31a -<<．点睛：本题考查了函数的单调性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的函数的单调性，转化为不等式233a a a +<+是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，即可求解．13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，()221:44-+=O x y ，动点P在直线0-=x b 上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为,A B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．【答案】20(,4)3-【解析】【分析】设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b 的不等式即可求得实数b 的取值范围. 【详解】由题意O (0,0),O 1(4,0).设P (x ,y )，则 ∵PB =2P A ，=∴(x −4)2+y 2=4(x 2+y 2)， ∴x 2+y 2+81633-x =0，圆心坐标为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭,半径为83，∵动点P 在直线xy −b =0上，满足PB =2P A 的点P 有且只有两个， ∴直线与圆x 2+y 2+81633-x =0相交， ∴圆心到直线的距离83d =<， ∴4164163333b --<<-+，即实数b 的取值范围是20,43⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思想，直线与圆是位置关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数222211()2(cos )sin cos (sin )22f ααααα=++-+-，若集合{}()a R f m α∈≥≠∅，则实数m 的取值范围为___________. 【答案】17m ≤ 【解析】【分析】设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用同角的三角函数的基本关系式化简可得()f PQ PB α=-，利用线段差的几何意义可得实数m 的取值范围. 【详解】()222212(cos )sin 54cos cos 2sin 2ααααα++=+=++，设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()22221()cos 2sin cos (sin )2f PQ PB ααααα=++-+-=-，如图，PQ PB QB -≤，当且仅当,,P Q B 三点共线且B 在,P Q 之间时等号成立，又11744QB =+=()f α17. 因为集合{}()a R f m α∈≥≠∅，故()max17m f α≤=17m ≤故答案为：172m ≤. 【点睛】本题考虑无理函数的最值，对于无理函数的最值问题，首选方法是利用导数求其单调性，其次可利用几何意义来求最值，本题属于难题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）求证：//AB EF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】分析：（1）由PC ⊥平面ABCD 可得CD PC ⊥，结合CD AC ⊥可证CD ⊥平面PAC .（2）先由//CD AB 证明//CD 平面PAB ，从而得到//CD EF ，故//AB EF . 详解：（1）证明:∵在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD PC ⊥，∵CD AC ⊥，PC AC C =，∴CD ⊥平面PAC .（2）∵//AB CD ，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ，故平面CDEF 平面PAB EF =又CD ⊄平面PAB ，AB平面PAB ，∴//CD 平面PAB ，而CD ⊂平面CDEF ， ∴//CD EF ∴//AB EF点睛：（1）线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.（2）线线平行的判定可以由线面平行得到，注意其中一条线是过另一条线的平面与已知平面的交线，也可以由面面平行得到，注意两条线是第三个平面与已知的两个平行平面的交线.16.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos b C a C =cos c A +，23B π=，c =（1）求角C ；（2）若点E 满足2AE EC =，求BE 的长. 【答案】（1）6C π=；（2）1BE =【解析】【分析】（1）解法一：对条件中的式子利用正弦定理进行边化角，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法二：对对条件中的式子利用余弦定理进行角化边，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法三：利用射影定理相关内容进行求解.（2）解法一：在ABC 中把边和角都解出来，然后在ABE △中利用余弦定理求解；解法二：在ABC 中把边和角都解出来，然后在BCE 中利用余弦定理求解；解法三：将BE 用,BA BC 表示，平方后求出BE 的模长.【详解】（1）【解法一】由题设及正弦定理得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+，又()()sin cos sin cos sin sin sin A C C A A C B B π+=+=-=，所以2sin sin sin B C B =.由于sin 02B =≠，则1sin 2C =.又因为03C π<<，所以6C π=.【解法二】由题设及余弦定理可得2222222sin 22a b c b c a b C a cab bc+-+-=+，化简得2sin b C b =.因为0b >，所以1sin 2C =. 又因为03C π<<，所以6C π=.【解法三】由题设2sin cos cos b C a C c A =+，结合射影定理cos cos b a C c A =+，化简可得2sin b C b =. 因为0b >.所以1sin 2C =. 又因为03C π<<，所以6C π=.（2）【解法1】由正弦定理易知sin sin b c B C ==3b =. 又因为2AE EC =，所以2233AE AC b ==，即2AE =.在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，所以在ABE ∆中，6A π=，AB =2AE =由余弦定理得1BE ===，所以1BE =.【解法2】在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==.由余弦定理得3b ==.因为2AE EC =，所以113EC AC ==.在BCE ∆中，6C π=，BC =，1CE =由余弦定理得1BE == 所以1BE =.【解法3】在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==. 因为2AE EC =，所以1233BE BA BC =+.则()()22221111||2|44|344319992BE BA BC BA BA BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=-+⨯= ⎪⎝⎭所以1BE =.【点睛】本题主要考察利用正余弦定理解三角形问题，方法较多，难度不大，属于简单题.17.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率3e =，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过椭圆的右焦点F ，且2AF FB =，求直线l 方程．【答案】（1）22132x y +=；（20y ±-=．【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和焦距确定基本量，从而得到椭圆的方程；（2）设出直线的待定系数方程，与椭圆方程联立，根据线段长度关系得到点的纵坐标的关系求解．【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则由221c c =⇒=，则c a b a =⇒=⇒= 22:132x y C ∴+=；（2）当直线l 为0y =时，1,1AF a c FB a c =+=-=，不满足2AF FB =；所以设直线l ：1x ty =+，联立()2222123440236x ty t y ty x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122244,2323t y y y y t t --+=⋅=++，又()2221211222112245123242223t y y y y y t y y y y y t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭=-⇒+=-⇒==--+,212t t ∴=⇒= 故直线l：1x y =+0y ±=．【点睛】本题考查椭圆的概念与性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，函数与方程思想，是中档题．18.如图所示，某区有一块空地OAB ∆，其中4OA km =，43OB km =，AOB 90∠=.当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ∆，其中,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=，挖出的泥土堆放在OAM ∆地带上形成假山，剩下的OBN ∆地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN ∆的周围安装防护网.（1）当2AM km =时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地OMN ∆的面积是堆假山用地OAM ∆3AOM ∠的大小；（3）为节省投入资金，人工湖OMN ∆的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN ∆的面积最小？最小面积是多少？【答案】（1）12km （2）15︒（3）当且仅当15θ=︒时，OMN ∆的面积取最小值为24123-2km 【解析】【分析】（1）根据题意可得60OAB ∠=︒，在AOM ∆中，利用余弦定理求出23OM =，从而可得222OM AM OA +=，即OM AN ⊥，进而可得OAN ∆为正三角形，即求解.（2）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，利用三角形的面积公式83sin ON θ=，在OAN ∆中，利用正弦定理可得23ON =2383sin θ=1sin22θ=，即求解.（3）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，由（2）知23ON =AOM ∠中，利用正弦定理可得()23sin 60OM θ=+︒，利用三角形的面积公式可得()1sin302sin c s 360o OMN S OM ON θθ∆=⋅⋅︒=+︒，再利用二倍角公式以及辅助角公式结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）在OAB ∆中，4OA =，OB =90AOB ∠=︒，60OAB ∴∠=︒在AOM ∆中，4,2,60OA AM OAM ==∠=︒，由余弦定理，得OM =，222OM AM OA ∴+=，即OM AN ⊥，30AOM ∴∠=︒，OAN ∴∆为正三角形，所以OAN ∆的周长为12，即防护网的总长度为12km .（2）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，OMN OAM S ∆∆=，11sin30sin 22ON OM OA OM θ∴⋅︒=⋅，即ON θ=，在OAN ∆中，由()04sin60cos sin 1806030ON OA θθ==︒--︒-︒，得cos ON θ=，从而θ=1sin22θ=，由02120θ︒<<︒，得230θ=︒，15θ∴=︒，即AOM ∠15=︒. （3）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，由（2）知ON =又在AOM ∠中，由()sin60sin 60OM OA θ=︒+︒，得()sin 60OM θ=+︒， ()1sin302sin 60cos 3OMN S OM ON θθ∆∴=⋅⋅︒=+︒==∴当且仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，OMN ∆的面积取最小值为24-2km .【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在实际中的应用，三角形的面积公式以及三角恒等变换、三角函数的性质，属于中档题.19.设函数()()()12xxf x x e a e e=-+-，（1）当0a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）若不等式()0f x >对()2,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值.【答案】（1）(1)y e x =-；（2）单调递增区间是(),a +∞，单调递减区间是(),a -∞；（3）2 【解析】【分析】（1）当0a =时，可得()()1xf x x e =-，()xf x xe '=，求出()1f ，()1f '，即可求出切线方程；（2）求出()()xxxf x xe ae x a e '=-=-，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可；（3）当()2,x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立，即：()()120xxx e a e e-+->恒成立，等价于当()2,x ∈+∞时，()12x xx e a e e ->-恒成立；即()min12x x x e a e e ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦对()2,x ∈+∞恒成立，令()()12x xx e g x e e -=-，根据导数求其最值，即可求得答案. 【详解】（1）当0a =时，可得()()1xf x x e =-，∴()x f x xe '=，可得：()10f =，()1f e '=∴所求切线方程为(1)y e x =-（2）()()()12x x f x x e a e e =-+-∴()()x x x f x xe ae x a e '=-=-.令()0f x '=，则x a =. 当(),x a ∈-∞时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>；∴()f x 的单调递增区间是(),a +∞，单调递减区间是(),a -∞.（3）当()2,x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立即：()()120xxx e a e e-+->恒成立，等价于当()2,x ∈+∞时，()12x xx e a e e->-恒成立；即()min12x x x e a e e ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦对()2,x ∈+∞恒成立.令()()12x xx e g x e e-=-，()2,x ∈+∞，()()()222x x xe e ex g x ee -'=-，令()2xh x e ex =-，()2,x ∈+∞，()20x h x e e '=->，∴()2x h x e ex =-在()2,+∞上单调递增.又()2240h e e =-<，()3360h e e =->，∴()g x '在()2,3上有唯一零点0x ，且002x e ex =，()02,3x ∈ ∴()g x 在()02,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， ∴()()()()()000000min01122,3222x x x e x ex g x g x xe eex e--====∈--，∴()02,3a x <∈，故整数a 的最大值为2.【点睛】本题主要考查了根据导数求函数单调区间和根据不等式恒成立求参数值，解题关键是掌握根据导数求函数单调区间的方法和构造函数求最值的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题. 20.对于*,∀∈n N 若数列{}n x 满足11,+->n n x x 则称这个数列为“K 数列”.（1）已知数列1, 21,+m m 是“K 数列”,求实数m 的取值范围;（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”,且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在,求出{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由;（3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”,数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,若1,1+=+n n a b n 试判断数列{}n b 是否为“K 数列”,并说明理由.【答案】（1）2m >；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】试题分析：（1）根据题目中所定义的“K 数列”，只需()()2111,11,m m m +->-+>同时满足，解不等式可解m 范围．（2）由题意可知，若存在只需等差数列的公差1d >，即()12n n n S n d -=-+<212n n -,代入n=1,n>1,矛盾．（3）设数列{}n a 的公比为,q 则11n n a a q -=，*n a N ∈，满足“K 数列”，即()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->>只需最小项211,a a ->即()1111,?2n a q a ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项, 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤,所以只能()112,a q -=只有解11,3a q ==或12, 2.a q ==分两类讨论数列{}nb ．试题解析：（Ⅰ）由题意得()111,m +->()211,m m -+>解得2,m >所以实数m 的取值范围是 2.m >（Ⅱ假设存在等差数列{}n a 符合要求,设公差为,d 则1,d >由11,a =-得()1,2n n n S n d -=-+由题意,得()21122n n n d n n --+<-对*n N ∈均成立,即()1.n d n -< ①当1n =时,;d R ∈ ②当1n >时,,1n d n <- 因为111,11n n n =+>--所以1,d ≤与1d >矛盾, 所以这样的等差数列不存在.（Ⅲ）设数列{}n a 的公比为,q 则11,n n a a q -=因为{}n a 的每一项均为正整数,且()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->> 所以在{}1n n a a --中,“21a a -”为最小项.同理,11122n n a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中,“211122a a -”最小项.由{}n a 为“K 数列”,只需211,a a ->即()111,a q ->又因为12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项, 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤, 由数列{}n a 的每一项均为正整数,可得()112,a q -= 所以11,3a q ==或12, 2.a q ==①当11,3a q ==时,13,n n a -=则3,1nn b n =+令()*1,n n n c b b n N+=-∈则()()133213,2112n n n n n c n n n n ++=-=⋅++++又()()()()12321332312n n n n n n n n +++⋅-⋅++++()()234860,213n n n n n n ++=⋅>+++所以{}n c 为递增数列,即121,n n n c c c c -->>>⋅⋅⋅> 所以213331,22b b -=-=> 所以对于任意的*,n N ∈都有11,n n b b +-> 即数列{}n b 为“K 数列”.②当12,2a q ==时,2,nn a =则12.1n n b n +=+因为2121,3b b -=≤ 所以数列{}n b 不是“K 数列”.综上:当11,3a q ==时,数列{}n b 为“K 数列”,当12,2a q ==时,2,nn a =数列{}n b 不是“K 数列”.【点睛】对于新定义的题型一定要紧扣题目中的定义并进行合理的转化，这是解决此类的问题的关键．另外题中有整数条件时一般都能通过因式分解，或夹逼在方程个数小于变量个数时，解出部分甚至全部参数．第II 卷（附加题，共40分）【选做题】本题共2小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．选修4—2：矩阵与变换21.已知矩阵1002A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，1206B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵1A B -. 【答案】1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】先求出矩阵A 的逆矩阵1A -，再矩阵的乘法求出1A B -的乘积.【详解】设矩阵A 的逆矩阵为a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 即1010220101a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12. 从而A 的逆矩阵为110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦.所以11012121060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查求矩阵的逆矩阵和矩阵的乘法，属于基础题.选修4—4：坐标系与参数方程22.在极坐标系中，已知圆:C ρθ=和直线:()4l πθρ=∈R 相交于,A B 两点，求线段AB 的长.【答案】2 【解析】分析：ρθ=两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 即可得圆的直角坐标方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式以及勾股定理可得结果. 详解：圆C：ρθ=直角坐标方程为220x y +-=，即(222x y -+=直线l ：()4R πθρ=∈的直角坐标方程为y x =圆心C 到直线l的距离1d ==所以AB =2=,点睛：利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．23.设2012()n r nr n q x a a x a x a x a x +=+++⋯++⋯+,其中*,q R n N ∈∈.（1）当1q =时,化简:1nrr a r =+∑; （2）当q n =时,记()010,2nn n r r n a a A B a =+==∑,试比较n A 与n B 的大小.【答案】（1）1211n n +-+（2）答案见解析【解析】【分析】（1）当1q =时,r r na C =,因为1!!11!()!(1)!()r n C n n r r r n r r n r =⋅=++-+-,结合已知,即可求得答案; （2）当q n =时,r n r r n a C n -=,可得1n n A n +=,令1x =,得(1)n n B n =+,故当1,2n =时,1(1)n nn n +<+, 当3n ≥时,1(1)n nnn +>+化简可得:11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭, 利用数学归纳法证明,即可求得答案;【详解】（1）当1q =时,rr n a C =1!!11!()!(1)!()rn C n n r r r n r r n r =⋅=++-+- 111(1)!11(1)!()!1r n n C n r n r n +++=⋅=⋅++-+,其中0,1,2,,r n ⋯＝, ∴原式＝()11231111112111n n n n n n C C C C n n ++++++-++⋯+=++ （2）当q n =时,r n rr n a C n -=01,n n a n a n ∴==, 1n n A n +∴=令1x =,得(1)nn B n =+当1,2n =时,1(1)n n nn +<+;当3n ≥时,1(1)n n n n +>+,即(1)nnn n n ⋅>+,可得:(1)111+n nn nn n n n n n ++⎛⎫⎛⎫>== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 下面用数学归纳法证明:当3n ≥时,11+n n n ⎛⎫> ⎪⎝⎭——(☆)①当3n =时,316431327⎛⎫>+= ⎪⎝⎭, (☆)成立．②假设3n k =≥时,(☆)式成立,即11kk k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭则1n k =+时,(☆)式右边1111111111k kk k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111kk k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++<+⋅=+<+ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当1n k =+时,(☆)式也成立．综上①②知,当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭∴当1,2n =时,n n A B <;当3n ≥时,n n A B >.【点睛】解题关键是掌握对于研究与自然数相关组合数的问题,通常有三种处理方法:一是应用数学归纳法来加以研究;二是应用组合数的相关性质来加以研究;三是转化为函数问题来加以研究,考查了分析能力和计算能力,属于难题.24.一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了(6)n n 份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中(3)n -份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这(3)n -份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.（1）若6n =，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；（2）若8n ，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为ξ， ①求ξ的概率分布； ②求E ξ.【答案】（1）23（2）①详见解析②23142n n n-+【解析】【分析】（1）不论第一次检测结果如何，都要对含有2阴1阳得血液样本进行逐一检测，故第2次和第3次检测的都是阴性或者第2次检测的是阴性，第3次检测的是阳性，根据组合数公式和古典概型的概率公式计算概率；（2）根据组合数公式和古典概型的概率公式依次计算2ξ=，3，4，⋯，3n -的概率，得出分布列和数学期望．【详解】解：（1）在6n =时，恰好在第三次时检测出呈阳性血液，说明其中三份血液中的其中一份呈阳性，并且对含阳性血液的一组进行检测时，前两次检测出血液为阴性，或第一次为阴性第二次为阳性.32111521213211163132223C C C C C P C C C C C ⎛⎫=⋅+⋅= ⎪⎝⎭ （2）①在8n ≥时，313111113131332(2)n n n n n n n C C C C P C C C C n ξ-----==⋅+⋅=211111311112121141311113113232343(3)n n n n n n n C C C C C C C C C P C C C C C C C C nξ-----⎛⎫==⋅++⋅= ⎪⎝⎭ 321141321351(4)n n n n n C C C P C C C n ξ----==⋅=⋅ 同理，当44k n ≤≤-时，3211413213(3)(2)1()k n n k n n n k C C C P k C C C n ξ--------⋅==⋅= 341141341312(3)2n n n n n n C C C P k C C C nξ-----=-=⋅⋅=ξ∴的分布列为：②2311122345(4)(3)E n n n n n n n nξ=⋅+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+-⋅23142n n n-+=【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率计算，离散型随机变量及其分布列与期望的计算，属于中档题．。

江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题含附加题(解析版)

江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题2020．3一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}21Z x x k k =+∈，，B ＝{}(5)0x x x -<，则A I B ＝． 2．已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为．3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为﹣1，则输入的实数x 的值为． 4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生个．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为． 6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，()3a f x x =+，则()f a 的值为．7．若将函数()sin(2)3f x x π=+的图象沿x 轴向右平移ϕ (ϕ＞0)个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为．8．在△ABC 中，AB ＝AC BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为．9．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{1a ，2a ，3a }＝{1b ，2b ，3b }＝{a ，b ，﹣2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为．10．已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，﹣1)，则PF PA的最小值为．11．已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：222()x m y r -+=(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为．13．在△ABC 中，BC 为定长，AB 2AC +u u u r u u u r ＝3BC u u u r．若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为．14．函数()xf x e x b =--(e 为自然对数的底数，b ∈R)，若函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，三棱锥P —ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．（1）求证：AC ∥平面PDE ；（3）若PD ＝AC ＝2，PE ，求证：平面PBC ⊥平面ABC ．16．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝b cosC ＋c sinB ．（1）求B 的值；（2）设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD ＝177，cosA ＝725-，求b 的值．17．（本题满分14分）如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A与小岛圆心C相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A向小岛建三段栈道AB，BD，BE．湖面上的点B在线段AC 上，且BD，BE均与圆C相切，切点分别为D，E，其中栈道AB，BD，BE和小岛在同一个平面上．沿圆C的优弧（圆C上实线部分）上再修建栈道»DE．记∠CBD为θ．（1）用θ表示栈道的总长度()fθ，并确定sinθ的取值范围；（2）求当θ为何值时，栈道总长度最短．18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的离心率为12，且过点(0．（1）求椭圆C的方程；（2）已知△BMN是椭圆C的内接三角形，①若点B为椭圆C的上顶点，原点O为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．19．（本题满分16分）已知函数32()(16)f x x x a x =---，()ln g x a x =，a ∈R ．函数()()()f x h x g x x=-的导函数()h x '在[52，4]上存在零点．（1）求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数()f x 在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；（3）若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为﹣12，求实数a 的值．20．（本题满分16分）已知无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，记n T 为数列{}n a 的前n a 项和，即12n n a T a a a =+++L ．（1）若数列{}n a 为等比数列，且11a =，425S S =，求3T 的值；（2）若数列{}n a 为等差数列，且存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得2nnT a <，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n T 的通项为(1)2n n n T +=，求证：数列{}n a 为等差数列．江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学附加题本试卷共40分，考试时间30分钟． 21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，10MN 01⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．（1）求矩阵N ；（2）求矩阵N 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos()4πρθ-=l交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ＞012a a+-．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次，若挪得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m (m ≥2，m ∈N *)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．（1）若m ＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值．23．（本小题满分10分）已知集合A n ＝{1，2，…，n }，n ∈N *，n ≥2，将A n 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M 1，M 2，…，M m )，其中m ＝2n ．记集合M k 中元素的个数为a k ，k ∈N *，k ≤m ，规定空集中元素的个数为0．（1）当n ＝2时，求a 1＋a 2＋…＋a m 的值；（2）利用数学归纳法证明：不论n (n ≥2)为何值，总存在有序集合组(M 1，M 2，…，M m )，满足任意*1 i i m ∈-N ，…，都有11i i a a +-=．江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题2020．3一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}21Z x x k k =+∈，，B ＝{}(5)0x x x -<，则A I B ＝．答案：{1，3}考点：集合交集运算解析：∵集合A ＝{}21Z x x k k =+∈，，B ＝{}(5)0x x x -<， ∴A I B ＝{1，3}．2．已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为．答案：5 考点：复数解析：2214i 4i 34i z =++=-+，∴25z =．3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为﹣1，则输入的实数x 的值为．答案：14-考点：算法与流程图解析：当0x ≤时，2log (21)1x +=-，解得14x =-符合题意，当0x >时，21x =-，该等式无解．故14x =-． 4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生个．答案：325考点：频率分布直方图解析：0.1(0.0350.0150.01)0.022x -++==，∴(0.035＋0.02＋0.01)×10×500＝325．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为．答案：12考点：随机事件的概率解析：先后取两次共有16种取法，其中第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除有8种，故P ＝81162=． 6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，()3a f x x =+，则()f a 的值为．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性解析：当x ∈(0，1]时，()3a f x x =+，∴(1)13a f =+，∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)13a f f -=-=--， ∵函数()f x 周期为2，∴(1)(1)f f -=，解得a ＝﹣3，∴(1)(1)0f f -==， ∴()(3)(32)(1)0f a f f f =-=-+=-=． 7．若将函数()sin(2)3f x x π=+的图象沿x 轴向右平移ϕ (ϕ＞0)个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为．答案：2π考点：三角函数的图像与性质解析：由题意知22T ππϕω===．8．在△ABC 中，AB ＝AC BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为．答案：考点：圆锥的侧面积解析：有题意可知该几何体是由底面半径为2，母线长分别为的两个圆锥拼成的图形，故表面积＝π=．9．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{1a ，2a ，3a }＝{1b ，2b ，3b }＝{a ，b ，﹣2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为．答案：5考点：等差、等比中项解析：不妨令a ＞b ，则4ab =，22b a =-，则b ＝1，a ＝4，∴a ＋b ＝5．10．已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，﹣1)，则PFPA的最小值为．答案：2考点：抛物线的性质解析：令直线l 为：y ＝﹣1，作PG ⊥l 于点G ，则PF PG cos APG cos PAF PA PA==∠=∠，当直线AP 且抛物线与点P 时，∠PAF 最大，此时cos ∠PAF 最小，即PFPA最小，令直线AP ：y ＝kx ﹣1，与抛物线联立：241x y y kx ⎧=⎨=-⎩，2440x kx -+=，当2(4)440k --⨯=，解得k ＝±1，从而有∠PAF ＝45°，即cos PAF ∠＝2． 11．已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为．答案：8考点：基本不等式解析：∵xy ＋2x ＋4y ＝41，∴(4)(2)49x y ++=，∴(4)(2)14x y +++≥=，当且仅当x ＝3，y ＝5取“＝”， ∴x ＋y ≥8，即x ＋y 的最小值为8．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：222()x m y r -+=(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB＝OD ，则直线l 1的斜率为．答案：考点：直线与圆综合解析：作CE ⊥AB 于点E ，则222222211CE BC BE BC AB BC OD 44=-=-=- 2222215()44r m r m r -=--=，由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴222254r mm r -=-，化简得r m =即cos ∠OCD ＝CD OC ＝rm=tan ∠COB ＝tan ∠OCD ，∴直线l 1的斜率为5±．13．在△ABC 中，BC 为定长，AB 2AC +u u u r u u u r ＝3BC u u u r．若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为．答案：2考点：平面向量与解三角形解析：方法一：根据题意作图如下，且令在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中C 是AD 中点，E 是BD 中点，则AB 2AC 2AE +=u u u r u u u r u u u r，∴AB 2AC +u u u r u u u r ＝3BC u u u r可转化为33AE BC 22a ==u u u r u u u r ，根据三角形中线公式得，AE =BC =即32a =a =，消BD 2得， 2221163a b c =+，作AF ⊥BC 于点F ，设CF ＝x ，则BF ＝a x -，AF ＝h ， 2221163a b c =+可转化为22222116()3[]a x h h a x =+++-，化简得2229689x ax a h -++=，当3a x =时，2h 取最大值2a ，即h 的最大值为a ，∴max 122S a a =⋅⋅=，解得a ＝2，即BC 的长为2．方法二：14．函数()xf x e x b =--(e 为自然对数的底数，b ∈R)，若函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为．答案：(1，1ln 22+) 考点：函数与方程解析：∵()xf x e x b =--，∴()1xf x e '=-，当x ＜0，()f x '＜0，则()f x 在(-∞，0)上单调递减，当x ＞0，()f x '＞0，则()f x 在(0，+∞)上单调递增， ∴()f x 的最小值为(0)1f b =-，容易知道当10b ->，函数1()(())2g x f f x =-没有零点；当10b -=，函数1()(())2g x f f x =-有且仅有两个零点；要使函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点，必须10b -<，即b ＞1 此时()f x 恰有2个零点，令这两个零点为1t ，2t ，规定1t ＜0＜2t ，则1()2f x -＝1t 或2t ，()f x ＝112t +或212t +，易知()f x ＝212t +有两个不相等的实根，则()f x ＝112t +必须满足有且仅有两个不相等的实根，故1112t b +>-，即112t b >-，因为函数()f x 在(12b -，1t )上单调递减， ∴11()()02f b f t ->=，即121()02b e b b ---->，解得1ln 22b <+，综上所述，11ln 22b <<+．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，三棱锥P —ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．（1）求证：AC ∥平面PDE ；（3）若PD ＝AC ＝2，PE ，求证：平面PBC ⊥平面ABC ．解：（1）∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴DE ∥AC ，∵AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， ∴AC ∥平面PDE（2）∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴112DE AC == 在△PDE 中，2224DE PE PD +==，∴PE ⊥DE∵平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE I 平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE∴PE ⊥平面ABC ∵PE ⊂平面PBC∴平面PBC ⊥平面ABC16．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝b cosC ＋c sinB ．（1）求B 的值；（2）设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD ＝177，cosA ＝725-，求b 的值．解：（1）由正弦定理得sinA ＝sinBcosC ＋sinCsinBSin[π﹣(B ＋C)]＝sinBcosC ＋sinCsinB sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋sinCsinBsinBcosC ＋sinCcosB ＝sinBcosC ＋sinCsinB sinCcosB ＝sinCsinB ∵B 、C ∈(0，π)， sinB ＞0，sinC ＞0，∴cosB ＝sinB ，tanB ＝1，由B ∈(0，π)，得B ＝4π．（2）记A ＝2α∵AD 是∠BAC 的角平分线 ∴∠BAD ＝∠CAD ＝α ∵cosA ＝725-，A ∈(0，π)，∴sinA 2425sinC ＝sin(A ＋B)＝50∵cosA ＝222cos 112sin αα-=-，A 2α=∈(0，2π)， ∴sin α＝45，cos α＝35∴sin ∠ADC ＝sin(B ＋α) 在△ADC 中，由正弦定理得：ADsin ADC sin Cb =∠，∴ADsin ADC=5sin Cb =⋅∠ 17．（本题满分14分）如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ．湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道»DE．记∠CBD 为θ．（1）用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围；（2）求当θ为何值时，栈道总长度最短．解：（1）连接CD ，在Rt △CBD 中，CD ＝1，CB ＝1sin θ，BD ＝1tan θ，»DE (2)12πθπθ=+⋅=+ 12()32sin tan f θπθθθ=-+++ 当B 与A 重合时，sin 13θ=，∴sin θ∈[13，1)，（2）∵sin θ∈[13，1)，∴cos θ∈(0，3]，求得2cos (2cos 1)()sin f θθθθ--'=∴3πθ=时，即cos 12θ=，min 5()()333f f ππθ==+18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．解：（1）由题意得12c a =，b =222b a c =-，解得a ＝2，23b = 椭圆方程为：22143x y += （2）①B(0)，O 是△ABC 的垂心，设M(0x ，0y )(0y ＜0)，则N(0x ，﹣0y )满足2200143x y +=，OM ⊥BN，则有00001y y x x -⋅=--，解得07x =±，07y =- 则MN＝7，设M(1x ，1y )，N(2x ，2y )，B(0x ，0y )，O 是△ABC 的重心，则120x x x +=-，120y y y +=-，则有221212()()143x x y y +++=，则1212121023x x y y ++=， I 若MN 斜率不存在，则M(﹣1，32)，N(﹣1，32-)，d ＝1， II 若MN 斜率存在，则223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，联立得222(43)84120k x mkx m +++-=， 2248(43)0k m ∆=-+>，则122843km x x k -+=+，21224243m x x k -=+，整理得22434k m +=，则点O 到MN的距离d ==k ＝0时，取d = 综上，当k ＝0时，min d =．19．（本题满分16分）已知函数32()(16)f x x x a x =---，()ln g x a x =，a ∈R ．函数()()()f x h x g x x=-的导函数()h x '在[52，4]上存在零点．（1）求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数()f x 在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；（3）若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为﹣12，求实数a 的值．解：（1）由题意，2()(16)ln h x x x a a x =----，()21a h x x x '=--在[52，4]上存在零点，即220x x a --=在[52，4]上有解，22a x x =-，22x x -∈[10，28]，所以a 的取值范围是[10，28]．（2）2()32(16)f x x x a '=---，(0)016f a '≤⇒≥令()f x '＝0，1x =，2x =，当0＜b ≤2x 时，显然()f x 在x ＝0时取最大值当2b x >时，()f x 在[0，2x ]上单调递减，在[2x ，b ]上单调递增，所以只需()(0)0f b f ≤=，即322(16)016b b a b b b a ---≤⇒-≤-， ∵max 28a =， ∴b 的最大值为4，（3）设()f x 上切点为(1x ，1()f x )，2()32(16)f x x x a '=---，可得切线方程为322111111(16)[32(16)]()y x x a x x x a x x -++-=----，已知点(0，﹣12)在其上，可得 2111(2)(236)0x x x -++=，所以12x = 设()g x 上切点为(2x ，2()g x )，()a g x x'=，可得切线方程为222ln ()ay a x x x x -=-，已知点(0，﹣12)在其上，可得212ln a x a --=-，因为公切线，所以211232(16)a x x a x ---=，将12x =代入，可得224a a x -= 由2212ln 24a x aaa x --=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得2112x a =⎧⎨=⎩，所以a 的值为12．20．（本题满分16分）已知无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，记n T 为数列{}n a 的前n a 项和，即12n n a T a a a =+++L ．（1）若数列{}n a 为等比数列，且11a =，425S S =，求3T 的值；（2）若数列{}n a 为等差数列，且存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得2nnT a <，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n T 的通项为(1)2n n n T +=，求证：数列{}n a 为等差数列．解：（1）1344212155a q T S S S =⎧⇒=⇒==⎨=⎩；（2）因为无穷等差数列，所以d ≥0，且1N a *∈，d N ∈，I 当d ＝0时，n a 和n T 均为常数，故不存在唯一的整数满足条件，舍去；II 当d ≥2时，21112(1)21213n in i n n na T a n n n a a -=≥+-=-⇒≥=-≥∑，舍去故d ＝1，11111111(1)(1)2212(1)2(1)a n i n i n a T n n n n a a a a n a n a n +-=--≥=+<⇒<-+-+-+-∑若12a ≥，则没有满足条件的n ，所以12a =，此时(1)222n T n n n n -≥<⇒=，故n a n =（3）11T =，23T =，3161T a =⇒=，22a =，33a =，又11n n n n T T a a -->⇒> 所以n a n ≥；若n a n >，1212(1)122n n a n n n T a a a a a a n +=+++>+++>+++=L L L 与原命题矛盾，∴n a n =，11n n a a --=为常数，所以数列{}n a 为等差数列．江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学附加题本试卷共40分，考试时间30分钟． 21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，10MN 01⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．（1）求矩阵N ；（2）求矩阵N 的特征值．解：（1）设矩阵N ＝ a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则MN ＝2 22 2a c b d a c b d ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦，所以可得21202021a cb d ac bd +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13232313a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩，所以N ＝12 3321 33⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，（2）由12 3321 33A E λλλ⎡⎤--⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦，可得矩阵N 的特征多项式为214()()39f λλ=+-令()0f λ=解得113λ=，21λ=-，所以矩阵N 有两个特征值113λ=，21λ=-．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos()4πρθ-=l交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：由可得，又因为，所以直线l 的直角坐标方程为x+y=2，由曲线C 的参数方程为 (t 为参数)消去t 得曲线C 方程为x 2 =8y ，联立直线l 与曲线C 得：消去y 得方程设，可得所以．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ＞012a a+-．证明：设12a ta+=≥，当且仅当a＝1时，等号成立，则22212a ta+=-，所以2t-=≤=t＝2时，等号成立，2 t-12aa+-，当且仅当a＝1时，等号成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次，若挪得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．（1）若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．解：（1）设顾客获得三等奖为时间A，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽得三等奖的概率为242624 315CC⨯=，所以P(A)＝143 += 3155；（2）由题意可知，随机变量X的可能取值为100，300，400且P(X＝100)＝2221212(1)+3333(2)(1)mmC m mC m m+-⨯=+++，P(X＝300)＝112222833(2)(1)mmC C mC m m+⨯=++，P(X＝400)＝22222433(2)(1)mCC m m+⨯=++，所以随机变量X的数学期望12(1)8()100[]30033(2)(1)3(2)(1)m m mE X m m m m -=⨯++⨯++++44003(2)(1)m m +⨯++化简得：210020022001600()33(2)(1)m m E X m m ++=+++，由题意可得E(X)≤150，即21002002200160033(2)(1)m m m m +++++≤150，化简得2323180m m --≥，因为m N *∈，解得m ≥9，即m 的最小值为9．23．（本小题满分10分）已知集合A n ＝{1，2，…，n }，n ∈N *，n ≥2，将A n 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M 1，M 2，…，M m )，其中m ＝2n ．记集合M k 中元素的个数为a k ，k ∈N *，k ≤m ，规定空集中元素的个数为0．（1）当n ＝2时，求a 1＋a 2＋…＋a m 的值；（2）利用数学归纳法证明：不论n (n ≥2)为何值，总存在有序集合组(M 1，M 2，…，M m )，满足任意*1 i i m ∈-N ，…，都有11i i a a +-=．解：(1)当n=2时，m=22=4，集合A n 共有4个子集，可得；(2)当n=2时，m=22=4, 此时令，满足对任意，都有成立；假设n ＝k 时，存在有序集合组满足对任意的都有成立.此时，0个元素的集合个数为，1个元素的集合个数为，……，k 个元素的集合个数为将对应集合的元素个数a ，按奇偶问隔排列，先偶后奇，从小到大排列后，可得到一个符合题意的排列当n ＝k ＋1时，0个元素的集合个数为，1个元素的集合个数为……，k 个元素的集合个数为.k+1个元素的集合个数为，此时相比于n＝k时的排列多出数字的个数为个，将多出的这些数字按n＝k时的排序方式插入原序列，依然成立；故n＝k＋1时，原命题成立。

江苏省盐城市2020年二调数学试卷参考答案

2020年九年级中考总复习第二次调研考试数学参考答案及评分标准二、填空题（本大题共8小题，每题3分，计24分）9．5 10．4 11．＜ 12．7102.1-⨯13．3>m 14．2-<y 15．130 16．524三、解答题（本大题共11小题，计102分）17．解：原式221+=+ ……………………3分 =5 ……………………6分18．解：)2(41-=+x x ……………………2分 3=x ………………………4分检验：把3=x 代入0)1)(2(≠+-x x∴3=x 是原方程的解 ……………………6分19．解：（1）△A 1B 1C 1即为所需画的图形，………………………………………2分A 1（3，－5） ………………………………………4分（2）△A 2B 2C 2即为所需画的图形，………………………………………6分A 2（－3，－5） ………………………………………8分20．解：（1）∵O 为BD 的中点 ∴OB =OD 在矩形ABCD 中， DF ∥BE ∴∠1=∠2 4321OF D C在△DOF 与△BOE 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠4321OD OB∴△DOF ≌△BOE …………………2分∴DF =BE ……………………3分又∵DF ∥BE∴四边形DEBF 为平行四边形 …………………4分（2）∵BD ⊥EF∴平行四边形DEBF 为菱形 ……………………5分∴DE =BE设DE =BE =x∵AD =4，AB =8∴AE=8－x∴222)8(4x x =-+ ……………………6分∴5=x ……………………7分∴2054DEBF =⨯=四边形S ……………………8分21.解：（1）树状图如下图所示，………………4分所有可能结果为：（－1，－2），（－1，1），（－1，2），（－2，－1），（－2，1），（－2，2），（1，－1），（1，－2），（1，2），（2，—1），（2，—2），（2，1） ………………………………………5分（2）由（1）得，共有12个点，其中落在双曲线xy 2=上的点，有（－2，－1），（－1，－2），（1，2），（2，1）共四个，…………………………………6分故点（x ，y ）落在双曲线x y 2=上的概率是31124=． …………………8分22．解：（1）100；24 ……………………4分（2）4 ………………………6分（3）72 ……………………8分（4）360100241500=⨯（人） ………………………10分23．解：（1）∵∠HFE =45°， HE ⊥FD∴∠HFE =∠FHE∴FE =EH又∵EF =AB =10∴EH =10 ……………………3分BE =AF =1.5∴BH =10+1.5=11.5(米)即古树BH 的高度为11.5(米) ………………………5分（2）设DE =x∵∠GED =60°∴DG =x 3∵∠GFD =45°∴FD =DG ∴x x 310=+……………………7分∴535+=x ……………………8分∴5.16355.13535+=++=）（GC 即教学楼GC 的高度为（5.1635+）米 …………………………10分24．解：（1）20；0.5； 60； …………………………6分（2）设乙加工x 小时与甲加工的零件数量相同)5.05.1(2060-+=x x21=x ……………………7分 ∴乙加工21小时后与甲加工的零件数量相同此时，乙加工30个零件 …………………8分（3）201160a a =++ 60=a∴a 的值为60 ………………10分25．解：（1）DF 与⊙O 相切连接OD∵AB =AC∴∠B =∠C又∵OB =OD∴∠B =∠1∴∠1=∠C∴OD ∥AC …………………2分 ∵DF ⊥AC∴DF ⊥OD ……………………3分又∵点D 在⊙O 上∴DF 与⊙O 相切 ……………………4分（2）连接DE ∵∠2+∠3=180°∠B ＋∠3=180° ∴∠2=∠B 又∵∠B =∠C ∴∠C =∠2∴DE =DC ………………5分又∵DF ⊥AC∴EF =FC即F 为CE 的中点 ………………7分（3）连接OE∵∠C =67.5°AB =AC∴∠B =∠C =67.5°∴∠A =45° ………………8分又∵OA =OE =2∴∠OEA =45°∴∠AOE =90° ……………………9分 ∴2221360490⨯⨯-⨯=π阴影S=2-π ……………………10分26．解：（1）∵抛物线过点A （4，0），B （－2，0）∴)2)(4(21+--=x x y∴4212++-=x x y即所求抛物线的表达式为：4212++-=x x y …………………3分29)1(212+--=x y∴对称轴为：直线1=x …………………4分（2）∵点D 在直线1=x 上∴设D （1，m ）∵EF 垂直平分BC∴BD =CD ……………………5分∵C （0，4），B （—2，0）∴2222)4(12)(1-+=++m m∴m =1∴D(1,1) ……………………6分 ∵∠DHF =∠BOC =90°∠BFE +∠CBO =∠BCO ＋∠CBO =90°∴∠BFE =∠BCO ∴△DHF ∽△BOC7分∴OC OB HF DH = ∴421=HF ∴HF =2 ∴F （3，0） 8分（3）分别延长EC 与FP ，交于点M过点E 作EG ⊥x 轴，过点M 作MN ⊥EG 于点N∵C （0，4），B （—2，0）E 为BC 的中点∴E （—1，2）∵∠EFP =45°，∠MEF =90° ∴EF =EM ∠1+∠2=90° ∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3 ∠4=∠5=90°∴△EGF ≌△MNE∴MN =EG =2 NE =GF =4 ∴M （1，6） …………10分又∵F （3，0）∴设直线MF 的表达式为：b kx y +=∴⎩⎨⎧+=+=b k b k 306 ∴⎩⎨⎧=-=93b k ∴93+-=x y ………………………………11分 ∴⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=421932x x y x y ∴641+=x （舍去）；642-=x∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=36364y x ∴P （64-，363-） ………………………………12分27．解：（1）∵tan ∠OAC =43 ∴43=OA OC 又∵OA =8∴OC =6 ………………………………2分又∵CD =3BD∴CD =6，BD =2∴D （6，6） ……………………………3分（2）∵DP ∥AC ∴BABP BC BD = ∴682BP = ∴BP =23 ………………………5分 ∴AP =29 …………………………6分（3）存在，ACE AOC S S ∆∆+=AOCE S 四边形 ∵248621=⨯⨯=∆AOC S ………………………7分 ∴要使四边形面积最小，只要△ACE 的面积最小即可要使△ACE 的面积最小，只要点E 到AC 的距离最小由翻折知，BD =DE =2∴点E 在以D 为圆心2为半径的圆上 ∴当DH ⊥AC 时，EH 最小 ∵∠BCA =∠CAO ∴sin ∠BCA =sin ∠CAO ∴AC OC CD DH = ∴1066=DH ∴DH =518 ……………………9分 ∴EH =582518=- ……………………10分 ∴AOC ACE AOCE S S S ∆∆=+四边形最小=24＋581021⨯⨯=32 ……………………11分（4）6 ……………………14分。

江苏地区南京市,盐城市2020年度高三学年第二次模拟考试数学试题含附加题(纯word解析版)

南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学2020.03参考公式:圆锥的侧面积公式:S=πrl,其中r 为圆锥底面圆的半径,l 为圆锥的母线长.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分不需写出解答过程,请把答案写在答题卡的指定位置上)1.已知集合A={x|x=2k+1,k ∈Z ),B={x|x(x-5)≤0),则A ∩B=__2.已知复数z=1＋2i,其中i 为虚数单位,则z 2的模为__3.如图是一个算法流程图,若输出的实数，y 的值为-1,则输入的实数x 的值为___4.某校初三年级共有500名女生,为了了解初三女生1分钟"仰卧起坐"项目训练情况,统计了所有女生1分钟"仰卧起坐"测试数据(单位:个),并绘制了如下频率分布直方图,则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有____个。

5.从编号为1,2,3,4的4张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____.6.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且周期为2,当x ∈(0,1]时,()3af x x =+,则f(a)的值为_____.7.若将函数()sin(2)3f x x π=+的图象沿x 轴向右平移φ(φ≥0)个单位后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称,则φ的最小值为___8.在△ABC 中,AB =AC =BAC=90°,则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为_____.9.已知数列(an}为等差数列,数列{b,}为等比数列,满足{a ，a2，a 3}={b 1,b2,b 3)={a,b,-2},其中a>0,b>0,则a+b 的值为___10.已知点P 是抛物线x 2=4y 上动点,F 是抛物线的焦点,点A 的坐标为(0,-1),则PFPA的最小值为______.111.已知x ，y 为正实数,且xy ＋2x+4y=41,则x+y 的最小值为_____12.在平面直角坐标系xOy 中,圆C: (x-m)2+y 2=r 2(m>0).已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2,其中l 1与圆C 相交于A 、B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB=OD,则直线l 1的斜率为____.13.在△ABC 中,BC 为定长,|2|3||AB AC BC +=，若△ABC 的面积的最大值为2,则边BC 的长为___.14.函数f(α)=e x -x-b(e 为自然对数的底数,b ∈R ),若函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点,则实数b 的取值范围为______.二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内.15.(本小题满分14分)如图,三棱锥P-ABC 中,点D,E 分别为AB,BC 的中点,且平面PDE ⊥平面ABC. (1)求证:AC ∥平面PDE;(2)若求证:平面PBC ⊥平面ABC.16.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a=bcosC+csinB. (1)求B 的值.(2)设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D,已知177AD =，7cos 25A =-,求b 的值17.(本小题满分14分)如图,湖中有一个半径为1千米的圆形小岛,岸边点A与小岛圆心C相距3千米，为方便游人到小岛观光,从点A向小岛建三段栈道AB,BD,BE,湖面上的点B在线段AC上,且BD,BE 均与圆C相切,切点分别为D,E,其中栈道AB,BD,BE和小岛在同一个平面上.沿圆C的优弧(圆DE记∠CBD为θ.C上实线部分)上再修建栈道.(1)用θ表示栈道的总长度f(θ),并确定sinθ的取值范围；(2)求当θ为何值时,栈道总长度最短.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12且过点.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形,①若点B 为椭圆C 的上顶点,原点O 为△BMN 的垂心,求线段MN 的长; ②若原点O 为△BMN 的重心,求原点O 到直线MN 距离的最小值.19,(本小题满分16分)已知函数f(x)=x 3-x 2-(a-16)x,g(x)=a|nx,a ∈R .函数()()()f x h x g x x =-的导函数h'(x)在5[,4]2存在零点 (1)求实数a 的取值范围;(2)若存在实数a,当x ∈[0,b]时,函数f(x)在x=0时取得最大值,求正实数b 的最大值; (3)若直线l 与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切,且l 在y 轴上的截距为-12,求实数a 的值.20.(本小题满分16分)已知无穷数列{a n }的各项均为正整数,其前n 项和为S n ,记T n 为数列{a n }的前a n 项和,即12n a n T a a a =++⋯+.(1)若数列{a n }为等比数列,且a 1=1,S 4=5S 2,求T 3的值; (2)若数列{a n }为等差数列,且存在唯一的正整数n(n ≥2),使得2nnT a <求数列{a n }的通项公式;(3)若数列(T n )的通项为(1)2n n n T +=,求证:数列{a n }为等差数列南京市、盐城市2020届高三第二次模拟考试数学附加题2020.03本试卷共40分,考试时间30分钟.21.【选做题】在A,B,C 三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4—24矩阵与变换已知矩阵1210,2101MN ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M (1)求矩阵N;(2)求矩阵N 的特征值.B 选修4—41坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22,12x t y t ⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩,(t 为参数),以原点O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l极坐标方程为cos()4πρθ-=若直线1交曲线C于A,B 两点,求线段AB 的长.C 选终4—5:不等式选讲已知a>0.12a a+-【必做题】第22题,第23题,每题10分,共20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买每满400元的商品即可抽奖—次.抽奖规则如下x抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次,若挪得点数大于4,则可继续在抽奖箱中抽奖;否则获得三等奖,结束抽奖.已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2,m∈N*)个白球,抽奖者从箱中任意摸出2个球,若2个球均为红球,则获得一等奖,若2个球为1个红球和1个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖(抽奖箱中的所有小球,除颜色外均相同).(1)若m=4,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率;(2)若一等奖可获奖金400元,二等奖可获奖金300元,三等奖可获奖金100元,记顾客一次抽奖所获得的奖金为X,若商场希望X的数学期望不超过150元,求m的最小值.23.(本小题满分10分)已知集合An={1,2,…n},n∈N*,n≥2,将A n的所有子集任意排列,得到一个有序集合组(M1,M2,…,M m),其中m=2n.记集合Mk中元素的个数为ak,k∈N*,k≤m,规定空集中元素的个数为0.(1)当n=2时,求a 1+a 2+…+a m 的值;(2)利用数学归纳法证明:不论n(n ≥2)为何值,总存在有序集合组(M 1,M 2,…,M m ),满足任意*,1, i i m ∈-N 都有11i i a a +-=.江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题2020．3一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}21Z x x k k =+∈，，B ＝{}(5)0x x x -<，则A B ＝．答案：{1，3} 考点：集合交集运算解析：∵集合A ＝{}21Z x x k k =+∈，，B ＝{}(5)0x x x -<， ∴A B ＝{1，3}．2．已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为．答案：5 考点：复数解析：2214i 4i 34i z =++=-+，∴25z =．3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为﹣1，则输入的实数x 的值为．答案：14-考点：算法与流程图解析：当0x ≤时，2log (21)1x +=-，解得14x =-符合题意，当0x >时，21x=-，该等式无解．故14x =-．4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生个．答案：325考点：频率分布直方图解析：0.1(0.0350.0150.01)0.022x -++==，∴(0.035＋0.02＋0.01)×10×500＝325．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为．答案：12考点：随机事件的概率解析：先后取两次共有16种取法，其中第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除有8种，故P ＝81162=． 6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，()3a f x x =+，则()f a 的值为．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性解析：当x ∈(0，1]时，()3a f x x =+，∴(1)13a f =+， ∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)13af f -=-=--， ∵函数()f x 周期为2，∴(1)(1)f f -=，解得a ＝﹣3，∴(1)(1)0f f -==， ∴()(3)(32)(1)0f a f f f =-=-+=-=．7．若将函数()sin(2)3f x x π=+的图象沿x 轴向右平移ϕ(ϕ＞0)个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为．答案：2π考点：三角函数的图像与性质解析：由题意知22T ππϕω===．8．在△ABC 中，AB ＝AC BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为．答案：考点：圆锥的侧面积解析：有题意可知该几何体是由底面半径为2，母线长分别为的两个圆锥拼成的图形，故表面积＝π=．9．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{1a ，2a ，3a }＝{1b ，2b ，3b }＝{a ，b ，﹣2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为．答案：5考点：等差、等比中项解析：不妨令a ＞b ，则4ab =，22b a =-，则b ＝1，a ＝4，∴a ＋b ＝5． 10．已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，﹣1)，则PFPA的最小值为．答案：2考点：抛物线的性质解析：令直线l 为：y ＝﹣1，作PG ⊥l 于点G ，则PF PG cos APG cos PAF PA PA==∠=∠，当直线AP 且抛物线与点P 时，∠PAF 最大，此时cos ∠PAF 最小，即PFPA最小，令直线AP ：y ＝kx ﹣1，与抛物线联立：241x y y kx ⎧=⎨=-⎩，2440x kx -+=，当2(4)440k --⨯=，解得k ＝±1，从而有∠PAF ＝45°，即cos PAF ∠＝2． 11．已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为．答案：8考点：基本不等式解析：∵xy ＋2x ＋4y ＝41，∴(4)(2)49x y ++=，∴(4)(2)14x y +++≥=，当且仅当x ＝3，y ＝5取“＝”， ∴x ＋y ≥8，即x ＋y 的最小值为8．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：222()x m y r -+=(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为．答案：考点：直线与圆综合解析：作CE ⊥AB 于点E ，则222222211CE BC BE BC AB BC OD 44=-=-=- 2222215()44r m r m r -=--=，由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴222254r mm r -=-，化简得r m =即cos ∠OCD ＝CD OC ＝rm=，tan ∠COB ＝tan ∠OCD∴直线l 1的斜率为5±．13．在△ABC 中，BC 为定长，AB 2AC +＝3BC ．若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为．答案：2考点：平面向量与解三角形解析：方法一：根据题意作图如下，且令在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中C 是AD 中点，E 是BD 中点，则AB 2AC 2AE +=， ∴AB 2AC +＝3BC 可转化为33AE BC 22a ==，根据三角形中线公式得，AE =BC =即32a =，a =，消BD 2得， 2221163a b c =+，作AF ⊥BC 于点F ，设CF ＝x ，则BF ＝a x -，AF ＝h ， 2221163a b c =+可转化为22222116()3[]a x h h a x =+++-，化简得2229689x ax a h -++=，当3a x =时，2h 取最大值2a ，即h 的最大值为a ，∴max 122S a a =⋅⋅=，解得a ＝2，即BC 的长为2．方法二：14．函数()xf x e x b =--(e 为自然对数的底数，b ∈R)，若函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为．答案：(1，1ln 22+) 考点：函数与方程解析：∵()xf x e x b =--，∴()1xf x e '=-，当x ＜0，()f x '＜0，则()f x 在(-∞，0)上单调递减，当x ＞0，()f x '＞0，则()f x 在(0，+∞)上单调递增， ∴()f x 的最小值为(0)1f b =-，容易知道当10b ->，函数1()(())2g x f f x =-没有零点；当10b -=，函数1()(())2g x f f x =-有且仅有两个零点；要使函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点，必须10b -<，即b ＞1 此时()f x 恰有2个零点，令这两个零点为1t ，2t ，规定1t ＜0＜2t ，则1()2f x -＝1t 或2t ，()f x ＝112t +或212t +，易知()f x ＝212t +有两个不相等的实根，则()f x ＝112t +必须满足有且仅有两个不相等的实根，故1112t b +>-，即112t b >-，因为函数()f x 在(12b -，1t )上单调递减，∴11()()02f b f t ->=，即121()02b e b b ---->，解得1ln 22b <+，综上所述，11ln 22b <<+．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，三棱锥P —ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．（1）求证：AC ∥平面PDE ；（3）若PD ＝AC ＝2，PE PBC ⊥平面ABC ．解：（1）∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴DE ∥AC ，∵AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， ∴AC ∥平面PDE（2）∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点，∴112DE AC == 在△PDE 中，2224DE PE PD +==，∴PE ⊥DE∵平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE 平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE∴PE ⊥平面ABC ∵PE ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面ABC16．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝b cosC ＋c sinB ．（1）求B 的值；（2）设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD ＝177，cosA ＝725-，求b 的值．解：（1）由正弦定理得sinA ＝sinBcosC ＋sinCsinBSin[π﹣(B ＋C)]＝sinBcosC ＋sinCsinB sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋sinCsinBsinBcosC ＋sinCcosB ＝sinBcosC ＋sinCsinB sinCcosB ＝sinCsinB ∵B 、C ∈(0，π)， sinB ＞0，sinC ＞0， ∴cosB ＝sinB ，tanB ＝1，由B ∈(0，π)，得B ＝4π．（2）记A ＝2α∵AD 是∠BAC 的角平分线 ∴∠BAD ＝∠CAD ＝α∵cosA ＝725-，A ∈(0，π)，∴sinA 2425sinC ＝sin(A ＋B)＝50∵cosA ＝222cos 112sin αα-=-，A 2α=∈(0，2π)，∴sin α＝45，cos α＝35∴sin ∠ADC ＝sin(B ＋α) 在△ADC 中，由正弦定理得：ADsin ADC sin Cb =∠，∴ADsin ADC=5sin Cb =⋅∠17．（本题满分14分）如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ．湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道DE ．记∠CBD 为θ．（1）用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围；（2）求当θ为何值时，栈道总长度最短．解：（1）连接CD ，在Rt △CBD 中，CD ＝1，CB ＝1sin θ，BD ＝1tan θ，DE (2)12πθπθ=+⋅=+12()32sin tan f θπθθθ=-+++当B 与A 重合时，sin 13θ=，∴sin θ∈[13，1)，（2）∵sin θ∈[13，1)，∴cos θ∈(0]，求得2cos (2cos 1)()sin f θθθθ--'=∴3πθ=时，即cos 12θ=，min 5()()333f f ππθ==+18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．解：（1）由题意得12c a =，b =222b a c =-，解得a ＝2，23b = 椭圆方程为：2213x y += （2）①B(0)，O 是△ABC 的垂心，设M(0x ，0y )(0y ＜0)，则N(0x ，﹣0y )满足2200143x y +=，OM ⊥BN ，则有00001y y x x ⋅=--，解得07x =±，07y =- 则MN ＝7，设M(1x ，1y )，N(2x ，2y )，B(0x ，0y )，O 是△ABC 的重心，则120x x x +=-，120y y y +=-，则有221212()()143x x y y +++=，则1212121023x x y y ++=， I 若MN 斜率不存在，则M(﹣1，32)，N(﹣1，32-)，d ＝1，II 若MN 斜率存在，则223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，联立得222(43)84120k x mkx m +++-=， 2248(43)0k m ∆=-+>，则122843km x x k -+=+，21224243m x x k -=+，整理得22434k m +=，则点O 到MN的距离d ==k ＝0时，取d =，综上，当k ＝0时，min 2d =．19．（本题满分16分）已知函数32()(16)f x x x a x =---，()ln g x a x =，a ∈R ．函数()()()f x h x g x x=-的导函数()h x '在[52，4]上存在零点．（1）求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数()f x 在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；（3）若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为﹣12，求实数a 的值．解：（1）由题意，2()(16)ln h x x x a a x =----，()21a h x x x '=--在[52，4]上存在零点，即220x x a --=在[52，4]上有解，22a x x =-，22x x -∈[10，28]，所以a 的取值范围是[10，28]．（2）2()32(16)f x x x a '=---，(0)016f a '≤⇒≥令()f x '＝0，1x =，2x =，当0＜b ≤2x 时，显然()f x 在x ＝0时取最大值当2b x >时，()f x 在[0，2x ]上单调递减，在[2x ，b ]上单调递增，所以只需()(0)0f b f ≤=，即322(16)016b b a b b b a ---≤⇒-≤-，∵max 28a =， ∴b 的最大值为4，（3）设()f x 上切点为(1x ，1()f x )，2()32(16)f x x x a '=---，可得切线方程为322111111(16)[32(16)]()y x x a x x x a x x -++-=----，已知点(0，﹣12)在其上，可得 2111(2)(236)0x x x -++=，所以12x = 设()g x 上切点为(2x ，2()g x )，()a g x x'=，可得切线方程为222ln ()ay a x x x x -=-，已知点(0，﹣12)在其上，可得212ln a x a --=-，因为公切线，所以211232(16)a x x a x ---=，将12x =代入，可得224a a x -= 由2212ln 24a x aa a x--=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得2112x a =⎧⎨=⎩，所以a 的值为12．20．（本题满分16分）已知无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，记n T 为数列{}n a 的前n a 项和，即12n n a T a a a =+++．（1）若数列{}n a 为等比数列，且11a =，425S S =，求3T 的值；（2）若数列{}n a 为等差数列，且存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得2nnT a <，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n T 的通项为(1)2n n n T +=，求证：数列{}n a 为等差数列．解：（1）1344212155a q T S S S =⎧⇒=⇒==⎨=⎩；（2）因为无穷等差数列，所以d ≥0，且1N a *∈，d N ∈，I 当d ＝0时，n a 和n T 均为常数，故不存在唯一的整数满足条件，舍去；II 当d ≥2时，21112(1)21213n in i n n naT a n n n a a -=≥+-=-⇒≥=-≥∑，舍去故d ＝1，11111111(1)(1)2212(1)2(1)a n i n i n a T n n n n a a a a n a n a n +-=--≥=+<⇒<-+-+-+-∑若12a ≥，则没有满足条件的n ，所以12a =，此时(1)222n T n n n n -≥<⇒=，故n a n =（3）11T =，23T =，3161T a =⇒=，22a =，33a =，又11n n n n T T a a -->⇒> 所以n a n ≥；若n a n >，1212(1)122n n a n n n T a a a a a a n +=+++>+++>+++=与原命题矛盾，∴n a n =，11n n a a --=为常数，所以数列{}n a 为等差数列．。

2020年江苏省盐城市高考数学模拟试卷(6月份)(含答案解析)

2020年江苏省盐城市高考数学模拟试卷（6月份）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|-3＜x＜3}，B={-1，0，3}，则A∩B=______．2.已知复数z满足zi=1+i（i为虚数单位），则=______3.高三某班级共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样的方法抽取6人进行调查，若抽到的最小的学号为3，则抽到的最大学号为______．4.如图所示的流程图，输出的n=______.5.从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log3x为整数的概率为______．6.已知一组数据为2，3，4，5，6，则他们的标准差为______．7.已知一个圆锥的高为4，其体积为，则该圆锥的母线长为______．8.设实数x，y满足，若z=2x+ay（a＞0）取最小值的最优解有无数个，则实数a的值为______．9.已知函数的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得函数y=g（x）为偶函数时，则φ的最小值是______．10.若双曲线=1的离心率，则实数a的值为______．11.在平面直角坐标系xOy中,若圆：上存在点P,且点P关于直线的对称点在：上,则r的取值范围是______．12.设点P为边长为2的正三角形ABC边BC上的一动点，当取最小值时，三角形PAC的面积为______．13.已知定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）满足：当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞1，f（1）=2019，则不等式f（x）≤1+的解集是______．14.正项数列{a n}中，S n为数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*满足（a n+1）2=4S n，若不等式2S n+S k-a n a k+2022≥0对任意正整数n都成立，则正整数k的最大值为______．二、解答题（本大题共10小题，共130.0分）15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，F在PC上一点，PD⊥平面ABCD．（1）求证：AD⊥DF；（2）若E是BC的中点，PF=2FC，证明：PA∥平面DEF．16.在三角形ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C的对应的三边，已知a2+c2=b2+ac．（1）求角B的大小；（2）若b=，且2sin2+2sin2=1，求a，c．17.某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为54πm3，且分上下两层，其中上层是半径为r（r≥1）（单位：m）的半球体，下层是半径为rm，高为hm的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y千元．（1）求y关于的r函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值．18.已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右焦点为F，且AF=5．（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆M的圆心，半径为r．点P为椭圆上的一点，若圆M与直线PA，PF都相切，求此时圆M的半径r．19.已知函数f（x）=，g（x）=1-ax2（其中a∈R），设h（x）=f（x）-g（x）．（1）求函数f（x）的极值；（2）当0＜a＜，且ln2a+1＞0时，试判断方程h（x）=0的实数根个数，并说明理由；（3）若h（x）≥0对任意x∈[-1，+∞）恒成立，求正数a的取值范围．20.数列{a n}中，对任意给定的正整数n，存在两个不相等的正整数i，j（i＜j），使得a n=a i a j，则称数列{a n}具有性质P．（1）若仅有3项的数列1，a，b具有性质P，求a+b的值；（2）求证：数列{}具有性质P；（3）正项数列{b n}是公比不为1的等比数列，若具有性质P，则数列{b n}至少有多少项？请说明理由．21.已知二阶矩阵A有特征值λ1=1及对应的一个特征向量=和特征值λ2=2及对应的一个特征向量=，试求矩阵A．22.在极坐标系中，直线l的极坐标方程为（ρ∈R），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数）．（1）求曲线C的普通方程；（2）求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．23.高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉．如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X，求X的分布列与数学期望．24.已知数列{a n}满足a n=（n∈N*）．（1）求a1，a2，a3的值；（2）证明：对任意的正整数n（n≥3），0.6＜a n＜0.7．-------- 答案与解析 --------1.答案：{-1，0}解析：解：∵A={x|-3＜x＜3}，B={-1，0，3}；∴A∩B={-1，0}．故答案为：{-1，0}．进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：1+i解析：解：由zi=1+i，得z=，∴．故答案为：1+i．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：43解析：解：样本间隔为48÷6=8，若抽到的最小的学号为3，则抽到的最大的学号为3+5×8=43，故答案为：43根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．4.答案：4解析：【分析】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，S=1，不满足退出循环的条件，故n=2，S=4；当S=4，不满足退出循环的条件，故n=3，S=9；当S=9，不满足退出循环的条件，故n=4，S=16；当S=16，满足退出循环的条件，故输出的n值为4，故答案为4.5.答案：解析：解：从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，基本事件总数n=9，log3x为整数包含的基本事件有：log31，log33，log39，共3个，∴log3x为整数的概率为p=．故答案为：．基本事件总数n=9，利用列举法求出log3x为整数包含的基本事件有3个，由此能求出log3x为整数的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．6.答案：解析：解：样本平均数为=（2+3+4+5+6）=4，则方差为[（2-4）2+（3-4）2+（4-4）2+（5-4）2+（6-4）2]=（4+1+0+1+4）==2，则标准差为，故答案为：．先计算出样本平均数，然后根据方差和标准差公式进行计算即可．本题主要考查样本方差和平均数的计算，结合方差和标准差的定义直接进行计算是解决本题的关键．7.答案：解析：解：设圆锥的底面半径为r，∵圆锥的高为4，其体积为，∴，解得r=，∴该圆锥的母线长为：l==．故答案为：．由圆锥的高为4，其体积为，求出圆锥底面半径为r=，由此能求出该圆锥的母线长．本题考查圆锥的母线长的求法，考查圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：4解析：解：∵目标函数z=2x+ay，∴y=-x+．故目标函数值z是直线族y=-x+的截距当直线y=-x+的斜率与直线AB的斜率相等时，目标函数z=2x+ay取得最小值的最优解有无数多个，直线AB：x+2y-1=0的斜率为-，此时，-=-，即a=4故答案：4．将目标函数z=2x+ay化成斜截式方程后得：y=-x+，目标函数值Z看成是直线族y=-x+的截距，当直线族y=-x+的斜率与直线AB的斜率相等时，目标函数z=2x+ay取得最小值的最优解有无数多个，由此不难得到a的值．本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，利用最优解的特征，判断出最优解的位置求参数，属于中档题．9.答案：解析：解：∵函数的最小正周期为=π，∴ω=2，f（x）=sin（2x+）．将y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得函数y=g（x）=sin（2x+2φ+）的图象，由于得到的函数为偶函数，∴2φ+=kπ+，k∈Z，则φ的最小值是，故答案为：．由题意利用正弦函数的周期性求得ω，再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用三角函数的奇偶性，求得φ的最小值．本题主要考查正弦函数的周期性，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．10.答案：-2解析：解：双曲线=1的离心率，∴a＜-1，可得e===，解得a=-2，故答案为：-2．求得双曲线的c，由离心率公式，解方程可得a的值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11.答案：[2-1，1+2]解析：解：圆C1：（x-1）2+（y-2）2=r2（r＞0）关于直线x+y=0，即y=-x对称的方程为：（-y-1）2+（-x-2）2=r2（r＞0），即：（y+1）2+（x+2）2=r2（r＞0），则条件等价为：（x+2）2+（y+1）2=r2（r＞0）与C2：（x-2）2+（y-1）2=1有交点即可，两圆圆心为C0（-2，-1），C2：（2，1），半径分别为r，1，则圆心距|C0C2|===2，则满足|r-1|≤2≤r+1，由|r-1|≤2得-2≤r-1≤2得1-2≤r≤1+2，由2≤r+1，得r≥2-1，综上2-1≤r≤1+2，故答案为：[2-1，1+2].本题考查两圆位置关系的判断和应用，利用对称性求出圆的对称方程，转化为两圆有公共点是解决本题的关键．求出圆关于y=-x对称的方程，转化为两圆有交点，进行求解即可．12.答案：解析：解：建立如图所示的平面直角坐标系得：A（0，），C（1，0），P（m，0），（-1≤m≤1），则=（-m，）•（1-m，0）=m2-m=（m-）2，当m=时，取最小值，此时S△PAC==，故答案为：．由三角形面积公式及平面向量数量积的运算得：=（-m，）•（1-m，0）=m2-m=（m-）2，当m=时，取最小值，此时S△PAC==，得解．本题考查了三角形面积公式及平面向量数量积的运算，属中档题．13.答案：[-1，0]∪（0，1]解析：解：当x＞0时，x•f'（x）+f（x）＞1，∴x•f'（x）+f（x）-1＞0，令g（x）=xf（x）-x=x（f（x）-1），∴g′（x）=x•f'（x）+f（x）-1＞0，∴g（x）在（0，+∞）上为增函数，∵f（x）为偶函数，∴g（x）为奇函数，且g（0）=0，∴g（x）在（-∞，0）上为增函数，∴g（x）在R上为增函数，∵f（x）≤1，x≠0∴|x|f（x）≤|x|+2018，即|x|f（x）-|x|≤2018，∴g（|x|）≤2018，∵g（1）=f（1）-1=2019-1=2018，∴|x|≤1，即-1≤x≤1，又x≠0，∴f（x）≤1的解集为[-1，0）∪（0，1]，故答案为：[-1，0）∪（0，1]．构造函数g（x）=xf（x）-x，根据导数和函数的单调性的关系，判断g（x）的单调性，根据单调性即可求出不等式的解集．本题主要考查利用函数的单调性求解函数不等式问题，属于中档题目．14.答案：47解析：【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出数列前n项和公式，进一步求出函数的关系式，再利用不等式的解法求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式在求数列的通项公式中的应用，不等式恒成立的处理，主要考查运算能力和转换能力，属于中档题型．【解答】解：正项数列{a n}中，S n为数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*满足（a n+1）2=4S n，①当n=1时，（a1+1）2=4S1=4a1，解得：a1=1．当n≥2时，，②①-②得：，整理得：（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，∵数列为正项数列，∴a n-a n-1=2（常数），∴数列{a n}是首项为1公差为2的等差数列，∴a n=2n-1，∴．∵2S n+S k-a n a k+2022≥0对任意的正整数n都成立，∴2n2+k2-4nk+2n+2k+2021≥0恒成立，令f（n）=2n2+k2-4nk+2n+2k+2021=2n2+(2-4k)n+k2+2k+2021，对称轴为，∵n和k都为整数，∴当n=k时f（n）min=f(k)≥0恒成立，∴f（k）=2k2+k2-4k2+2k+2k+2021≥0，整理得：-k2+4k+2021≥0,即（k+43）（k-47）≤0，解得：0＜k≤47．所以正整数k的最大值为47．故答案为47．15.答案：证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，F在PC上一点，PD⊥平面ABCD．∴AD⊥DC，AD⊥PD，∵DC∩PD=D，∴AD⊥平面PDC，∵DF⊂平面PDC，∴AD⊥DF．（2）连结AC，交DE于O，连结OF，∵E是BC的中点，PF=2FC，∴△EOC∽△AOD，∴=，∴PA∥FO，∴PA⊄平面DEF，OF⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF．解析：（1）推导出AD⊥DC，AD⊥PD，从而AD⊥平面PDC，由此能证明AD⊥DF．（2）连结AC，交DE于O，连结OF，由E是BC的中点，PF=2FC，得△EOC∽△AOD，=，从而PA∥FO，由此能证明PA∥平面DEF．本题考查线线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.答案：解：（1）根据题意，在△ABC中，若a2+c2=b2+ac，则有ac=a2+c2-b2，则cos B==，又由B为三角形的内角，则B=；（2）根据题意，2sin2+2sin2=1，变形可得1-cos A+1-cos C=1，则有cos A+cos C=1，又由B=；则cos A+cos（-A）=cos A+cos cos A+sin sin A=sin A+cos A=sin（A+）=1，又由0＜A＜π，则A=，C=π-A-B=，△ABC为等边三角形，则a=c=b=．解析：（1）根据题意，由余弦定理可得cos B==，结合B的范围分析可得答案；（2）根据题意，由三角恒等变形公式可得2sin2+2sin2=1⇒cos A+cos C=1⇒cos A+cos C=cos A+cos（-A）=sin（A+）=1，分析可得A=，则C=π-A-B=，据此△ABC为等边三角形，分析可得答案．本题考查三角形中的几何计算，涉及余弦定理以及三角恒等变形的应用，属于综合题．17.答案：解：（1）由题意可得，所以h=，所以y=（2πr2×2+2πr2×3+2πrh×3）×10=100πr2+60πr•（），即y=60π×（r2+）；因为r≥1，h＞0，所以＞0，则1≤r＜3，所以定义域为{r|1≤r＜3}，（2）设f（r）=r2+，1≤r＜3，则f′（r）=2r-，令f′（r）=0，解得r=3，当r∈[1，3）时，f′（r）＜0，f（r）单调递减；当r∈（3，3）时，f′（r）＞0，f（r）单调递增，所以当r=3时，f（r）取极小值也是最小值，且f（r）min=1620π．答：当半径r为3m时，建造费用最小，最小为1620π千元．解析：（1）由图可知帐篷体积=半球体积+圆柱体积，即，表示出h，则y=（2πr2×2+2πr2×3+2πrh×3）×10，化简得y=60π（r2+）；再由＞0，则1≤r＜3，所以定义域为{r|1≤r＜3}，（2）f（r）=r2+，1≤r＜3，根据导函数求出其最小值即可．本题考查函数模型的实际应用，利用导数求最值等知识点，属于中档题．18.答案：解：（1）∵椭圆离心率为，左顶点为A，右焦点为F，且AF=5．∴，解得：∴b2=15∴椭圆C的方程为：………（4分）（2）由题意得：A（-4，0），F（1，0），设点P的坐标为（x0，y0），则，①当x0=1时，直线PF：x=1，与圆M相切，则，不妨取，直线，即3x-4y+12=0，∴点M到直线PF的距离为∴直线PF与圆M相切，∴当时，圆M与直线PA，PF都相切，………（7分）②当x0=-4时，点P与点A重合，不符合题意；③当x0≠1且x0≠-4时，直线化简得：PA：y0x-（x0+4）y+4y0=0，PF：y0x-（x0-1）y-y0=0∵圆M与直线PA，PF都相切∴………（11分）∵y0≠0，又代入化简得：，解得：x0=1或x0=121，∵-4＜x0＜4且x0≠1，∴无解，………（13分）综上：．………（14分）解析：（1）利用椭圆性质建立方程求解；（2）根据切点的位置进行讨论，借助相切条件求解．本题考查椭圆的几何性质与标准方程，直线与椭圆、圆的位置关系，属于中档题目．19.答案：解：（1）∵f（x）=，∴f′（x）=，当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴当x=0时，函数f（x）存在极大值，无极小值；（2）∵h（x）=f（x）-g（x）=，h′（x）=．∵0＜a＜，∴＞1，即＞0，令h′（x）=0，解得x=0或x=ln．当x∈（-∞，0）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（0，ln）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．当x∈（ln，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．又h（0）=0，h（ln）＜h（0）=0，∵，∴ln＜．且h（）=＞0，且函数h（x）在R上连续，∴h（x）有一个零点为0，且在（ln，）上有另一根零点，即函数h（x）有两个零点．∴当0＜a＜，且ln2a+1＞0时，方程h（x）=0有两个根；（3）由题意知，h（x）≥0对任意x∈[-1，+∞）恒成立，即h（x）min≥0．由（2）知，当0＜a＜时，＞0，且h（ln）＜h（0）=0，不满足题意，舍去；当a=时，，h′（x）=x•≥0，∴h（x）在R上单调递增，无最小值，不满足题意，舍去；当a＞时，＜0，当x∈（-∞，ln）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（ln，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．∴h（x）min=min{h（0），h（-1）}，∵h（0）=0，h（-1）=a-1≥0，∴a≥1．解析：（1）利用导数研究函数的单调性，可得当x=0时，函数f（x）存在极大值，无极小值；（2）h（x）=f（x）-g（x）=，求其导函数，可得其零点，然后分类分析函数的零点个数；（3）由题意知，h（x）≥0对任意x∈[-1，+∞）恒成立，即h（x）min≥0，结合（2）求得函数最小值，由最小值大于等于0求得正数a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.答案：解：（1）∵数列1，a，b具有性质P，∴，∴，∴a+b=2或a+b=-2．（2）假设存在不相等的正整数i，j（i＜j），使得a n=a i a j，即，解得：j=，取i-n=1，则存在使得成立，∴数列具有性质P．（3）设正项等比数列{b n}的公比为q，q＞0且q≠1，则，∵数列{b n}具有性质P．∴存在不相等的正整数i，j（i＜j），i≠j，j≠n，使得，即，∵j＞i≥1，且i，j∈N*，∴i+j-2≥1，若i+j-2=1，即，要使，则中的项，与矛盾，∴i+j-2≠1；若i+j-2=2，即，要使中的项，与矛盾，∴i+j-2≠2；若i+j-2=3，即，，这时对于n=1，2，…，7，都存在b n=b i b j，其中i＜j，i≠n，j≠n．∴数列{b n}至少有7项．解析：本题考查了新定义数列的应用，能够读懂题意是解决本题的关键．（1）根据题意，列出方程组，解方程组即可．（2）根据题意，列出等式，将等式化简看是否满足定义即可；（3）根据题意分为3种情况，将3种情况进行讨论可得答案．21.答案：解：设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R因为是矩阵A的属于λ1的特征向量，则有=，①，…（4分）又因为是矩阵A的属于λ2=2的特征向量，则有=，②，…（6分）根据①②，则有，…（8分）从而a=2，b=-1，c=0，d=1，因此A=．…（10分）解析：设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R由是矩阵A的属于λ1的特征向量，得=，由是矩阵A的属于λ2=2的特征向量，得=，列出方程组，求出a=2，b=-1，c=0，d=1，由此能求出矩阵A．本题考查用矩阵的求法，考查特征向量、特征值等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．22.答案：解：（1）由（α为参数），消去α，可得，又-1≤cosα≤1，∴-4≤x≤4，∴曲线C的普通方程为；（2）直线l的直角坐标方程为y=x，联立，得x=0或x=8（舍去）．∴直线l与曲线C的交点P的直角坐标为（0，0）．解析：（1）把曲线C的参数方程消去参数α，即可得到普通方程；（2）化直线的极坐标方程为直角坐标方程，与曲线C的方程联立，即可求得直线l与曲线C的交点P的直角坐标．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，是基础题．23.答案：解：（1）记“小球落入4号容器”为事件A，若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左．∴理论上，小球落入4号容器的概率是．…………………（3分）（2）落入4号容器的小球个数X的可能取值为0，1，2，3．∴，，，，X0123P……………（分）．………………（9分）故落入4号容器的小球个数X的数学期望为．………………（10分）解析：（1）记“小球落入4号容器”为事件A，要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左．由此能求出小球落入4号容器的概率．（2）落入4号容器的小球个数X的可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．24.答案：解：（1）a n=（n∈N*）．a1=，a2==．a3==．（2）证明：a n+1-a n=+-=＞0．因此对任意的正整数n（n≥3），a n≥a3=＞0.6．下面利用数学归纳法证明：对任意的正整数n（n≥3），a n≤0.7-．①当n=3时，a3==0.7-=0.7-，命题成立．②假设n=k（k∈N*，k≥3）时，命题成立，即a k≤0.7-．则当n=k+1时，a k+1=a k+≤0.7-+，∵--=-＞0，∴-＞，∴a k+1≤0.7-+＜0.7-，∴n=k+1时，命题也成立．综上可得：对任意的正整数n（n≥3），0.6＜a n＜0.7．解析：（1）a n=（n∈N*）．分别令n=1，2，3即可得出．（2）a n+1-a n=+-=＞0．因此对任意的正整数n（n≥3），a n≥a3=＞0.6．利用数学归纳法证明：对任意的正整数n（n≥3），a n≤0.7-．本题主要考查数列通项公式、数学归纳法，考查学生的转化能力、逻辑推理能力与计算求解能力，属于难题．。

江苏省盐城市第一中学2020届高三六月第二次调研考试数学试题含附加题(解析版)+Word含解析

江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第二次调研考试数学试题 2020．6第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题纸相应的位置上．） 1．已知集合()(){}120A x x x =+-<，集合B Z =，则A B =I ______. 2．若i 是虚数单位，复数()()12z a i i =++是纯虚数，则实数a 的值为________.3．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________.4．若{1,0,1,2}a ∈-，则方程220x x a ++=有实根的概率为________. 5．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为45o ，且过点()3,1，则双曲线的焦距等于________.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()2*2,,n S pn n q p q R n N=-+∈∈.若1a 与5a 的等差中项为8，则p q +=______.8．如果命题0p x ∀>：，4957x m x+≥+为真命题，则实数m 的取值范围是__________． 9．函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，则实数a 的取值范围为______. 10．边长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B ，D 分别为AC ，CE 的中点，N 为GD 与CF 的交点，则AN EG ⋅=u u u r u u u r______．11．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________.12．定义符号函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，若函数()()xf xg x e =⋅，则满足不等式()()233f a a f a +<+的实数a 的取值范围是__________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，()221:44O x y -+=，动点P 在直线0x b +-=上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为,A B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．14．已知函数()f α={}()a R f m α∈≥≠∅，则实数m 的取值范围为___________.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）求证：//AB EF ．16．（本小题满分14分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos b C a C =cos c A +，23B π=，c =. （1）求角C ；（2）若点E 满足2AE EC =u u u v u u u v，求BE 的长.17．（本小题满分14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率33e =，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过椭圆的右焦点F ，且2AF FB =，求直线l 方程．18．（本小题满分16分）如图所示，某区有一块空地OAB ∆，其中4OA km =，43OB km =，AOB 90∠=o .当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ∆，其中,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=o ，挖出的泥土堆放在OAM ∆地带上形成假山，剩下的OBN ∆地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN ∆的周围安装防护网.（1）当2AM km =时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地OMN ∆的面积是堆假山用地OAM ∆的面积的3倍，试确定AOM ∠的大小；（3）为节省投入资金，人工湖OMN ∆的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN ∆的面积最小？最小面积是多少？19．（本小题满分16分）设函数()()()12xxf x x e a e e=-+-，(1)当0a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）若不等式()0f x >对()2,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值.20．（本小题满分16分）对于*,n N ∀∈若数列{}n x 满足11,n n x x +->则称这个数列为“K 数列”.（1）已知数列1, 21,m m +是“K 数列”,求实数m 的取值范围;（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”,且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在,求出{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由;（3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”,数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,若1,1n n a b n +=+试判断数列{}n b 是否为“K 数列”,并说明理由.江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第二次调研考试数学试题 2020．6第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题共2小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1002A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，1206B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵1A B -.B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆:C ρθ=和直线:()4l πθρ=∈R 相交于,A B 两点，求线段AB 的长.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）设2012()n r n r n q x a a x a x a x a x +=+++⋯++⋯+,其中*,q R n N ∈∈.（1）当1q =时,化简:1nrr a r =+∑;（2）当q n =时,记()010,2nn n r r n a a A B a =+==∑,试比较n A 与n B 的大小.23.（本小题满分10分）一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了(6)n n ≥份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中(3)n -份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这(3)n -份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.（1）若6n =，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；（2）若8n ≥，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为X ， ①求X 的概率分布； ②求()E X .江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第二次调研考试数学试题参考答案第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题纸相应的位置上．） 1．已知集合()(){}120A x x x =+-<，集合B Z =，则A B =I ______. 【答案】{}0,1【解析】因为()(){}120A x x x =+-<{}12x x =-<<,B Z =,所以{}0,1A B =I , 2．若i 是虚数单位，复数()()12z a i i =++是纯虚数，则实数a 的值为________.【答案】2【解析】复数()()12z a i i =++222a i ai i =+++()()221a a i =-++ 因为z 为纯虚数，所以20a -=,210a +≠ ，所以2a =.3．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________. 【答案】38【解析】5Q 位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80，78858269580a ∴++++=⨯，解得：86a =，2222221[(7880)(8580)(8680)(8280)(6980)]385s ∴=-+-+-+-+-=，则他们成绩的方差等于38.4．若{1,0,1,2}a ∈-，则方程220x x a ++=有实根的概率为________. 【答案】34【解析】Q 方程220x x a ++=有实根， 2240a ∴∆=-≥，解得1a ≤1,0,1a ∴=-时满足要求，则方程220x x a ++=有实根的概率为34. 5．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】10【解析】第一步：1i =，011S =+=；第一步：2i =，123S =+=；第一步：3i =，336S =+=；第一步：4i =，6410S =+=；故输出的结果为10．6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为45o ，且过点()3,1，则双曲线的焦距等于________. 【答案】8【解析】双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由题意可得1ba=，b a ∴=，所以，双曲线的标准方程为22221x y a a-=，将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程得22911a a -=，得a b ==，因此，双曲线的焦距为248=⨯=.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()2*2,,n S pn n q p q R n N=-+∈∈.若1a 与5a 的等差中项为8，则p q +=______. 【答案】2【解析】由等差数列{}n a 的前n 项和为()2*2,,n S pn n q p q R n N=-+∈∈，由等差数列的性质可得0q =，又1a 与5a 的等差中项为8，即1516a a +=，即155()5402a a S +⨯==，即251040p -=，即2p =，即202p q +=+=，8．如果命题0p x ∀>：，4957x m x+≥+为真命题，则实数m 的取值范围是__________．【答案】{|1}m m ≤【解析】命题p 为真命题，即当0x >时，不等式4957x m x+≥+恒成立，又当0x >时，4912x x +≥=，当且仅当49x x =，即23x =时，49x x +取得最小值12，故5712m +≤，解得 1.m ≤ 9．函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，则实数a 的取值范围为______. 【答案】[2,)+∞【解析】因为()2sin f x x ax =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2cos f x x a '=-，因为函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，所以()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2cos a x ≥在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为()2cos g x x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()max 02cos02g x g ===所以2a ≥，即[)2,a ∈+∞10．边长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B ，D 分别为AC ，CE 的中点，N 为GD 与CF 的交点，则AN EG ⋅=u u u r u u u r______．【答案】72-【解析】由已知得1222AN AB CN AB AH =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，3EG DE DG AB CH AB AH AC AB AH =-+=-+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以221112(3)6||||222AN EG AB AH AB AH AB AB AH AH ⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ．因为等边三角形的边长为2，所以221117611222222AN EG ⋅=-⨯+⨯⨯⨯+⨯=-u u u r u u u r ．11．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________. 【答案】383r π 【解析】设圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面图中，SC h =，OC OD r ==，BC R =，根据圆锥与球相切可知，D 、C 均为球O 与外切圆锥的切点，则2SCB SDO π∠=∠=又OSD BSC ∠=∠，SOD SBC ∴~V V ， BC SC OD SD∴=，即22()R r h r r =--， 222()2R h r r h hr ∴==---， ∴圆锥体积为2221()33(2)r h V h R h h r ππ==-， 22(4)()3(2)r h h r V h h r π-'∴=-，令()0V h '=可得4h r =，则04h r <<时，()0V h '<；4h r >时，()0V h '>， ()V h ∴在(0,4)r 单调递减，在(4,)r +∞单调递增，则3min 8()(4)3V h V r r π==. 12．定义符号函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，若函数()()xf xg x e =⋅，则满足不等式()()233f a a f a +<+的实数a 的取值范围是__________．【答案】()3,1-【解析】由函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，得()()()(),00,0,0x x e x f x x e x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，根据指数的性质可得函数()f x 在R 上是增函数，又由()()233f a a f a +<+，则233a a a +<+，解得31a -<<．点睛：本题考查了函数的单调性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的函数的单调性，转化为不等式233a a a +<+是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，即可求解．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，()221:44O x y -+=，动点P 在直线0x b +-=上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为,A B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．【答案】20(,4)3-. 【解析】由题意O (0,0),O 1(4,0).设P (x ,y )，则∵PB =2PA ，=∴(x −4)2+y 2=4(x 2+y 2)，∴x 2+y 2+81633x -=0，圆心坐标为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭,半径为83，∵动点P在直线x −b =0上，满足PB =2PA 的点P 有且只有两个，∴直线与圆x 2+y 2+81633x -=0相交，∴圆心到直线的距离483313b d --=<+，∴4164163333b --<<-+，即实数b 的取值范围是20,43⎛⎫- ⎪⎝⎭. 14．已知函数222211()2(cos )sin cos (sin )22f ααααα=++-+-，若集合{}()a R f m α∈≥≠∅，则实数m 的取值范围为___________.【答案】17m ≤【解析】()222212(cos )sin 54cos cos 2sin 2ααααα++=+=++，设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭则()22221()cos 2sin cos (sin )2f PQ PB =++-+-=-ααααα，如图，PQ PB QB -≤，当且仅当,,P Q B 三点共线且B 在,P Q 之间时等号成立，又11744QB =+=，故()f α的最大值为172. 因为集合{}()a R f m α∈≥≠∅，故()max172m f α≤=，故172m ≤. 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）求证：//AB EF ．【解析】（1）证明:∵在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD PC ⊥，∵CD AC ⊥，PC AC C =I ，∴CD ⊥平面PAC .（2）∵//AB CD ，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ，故平面CDEF I 平面PAB EF = 又CD ⊄平面PAB ，AB Ì平面PAB ，∴//CD 平面PAB ，而CD ⊂平面CDEF ， ∴//CD EF ∴//AB EF 16．（本小题满分14分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos b C a C =cos c A +，23B π=，c =. （1）求角C ；（2）若点E 满足2AE EC =u u u v u u u v，求BE 的长.【解析】（1）【解法一】由题设及正弦定理得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+，又()()sin cos sin cos sin sin sin A C C A A C B B π+=+=-=，所以2sin sin sin B C B =.由于sin 02B =≠，则1sin 2C =.又因为03C π<<，所以6C π=.【解法二】由题设及余弦定理可得2222222sin 22a b c b c a b C a cab bc+-+-=+，化简得2sin b C b =.因为0b >，所以1sin 2C =.又因为03C π<<，所以6C π=.【解法三】由题设2sin cos cos b C a C c A =+，结合射影定理cos cos b a C c A =+，化简可得2sin b C b =.因为0b >.所以1sin 2C =.又因为03C π<<，所以6C π=.（2）【解法1】由正弦定理易知sin sin b c B C==3b =. 又因为2AE EC =u u u v u u u v ，所以2233AE AC b ==，即2AE =.在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，所以在ABE ∆中，6A π=，AB =2AE =由余弦定理得1BE ===，所以1BE =.【解法2】在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==由余弦定理得3b ==.因为2AE EC =u u u v u u u v，所以113EC AC ==. 在BCE ∆中，6C π=，BC =，1CE =由余弦定理得1BE ===所以1BE =.【解法3】在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==因为2AE EC =u u u v u u u v，所以1233BE BA BC =+u u uv u u u vu u u v .则()()22221111||2|44|344319992BE BA BC BA BA BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=-+⨯= ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v所以1BE =.17．（本小题满分14分）已知椭圆C：()222210x y a b a b +=>>的离心率3e =，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过椭圆的右焦点F ，且2AF FB =，求直线l 方程．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，则由221c c =⇒=，则c a b a =⇒==， 22:132xy C ∴+=；（2）当直线l 为0y =时，1,1AF a c BF a c =+==-=，不满足2AF FB =；所以设直线l ：1x ty =+，联立()2222123440236x ty t y ty x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122244,2323t y y y y t t --+=⋅=++，又()2221211222112245123242223t y y y y y t y y y y y t -⎛⎫⎪++⎝⎭=-⇒+=-⇒==--+,2122t t ∴=⇒=±，故直线l ：12x y =±+，即220x y ±-=． 18．（本小题满分16分）如图所示，某区有一块空地OAB ∆，其中4OA km =，43OB km =，AOB 90∠=o .当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ∆，其中,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=o ，挖出的泥土堆放在OAM ∆地带上形成假山，剩下的OBN ∆地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN ∆的周围安装防护网.（1）当2AM km =时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地OMN ∆的面积是堆假山用地OAM ∆的面积的3倍，试确定AOM ∠的大小；（3）为节省投入资金，人工湖OMN ∆的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN ∆的面积最小？最小面积是多少？【解析】（1）Q 在OAB ∆中，4OA =，43OB =，90AOB ∠=︒，60OAB ∴∠=︒ 在AOM ∆中，4,2,60OA AM OAM ==∠=︒，由余弦定理，得23OM =，222OM AM OA ∴+=，即OM AN ⊥，30AOM ∴∠=︒，OAN ∴∆为正三角形，所以OAN ∆的周长为12，即防护网的总长度为12km .（2）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，3OMN OAM S S ∆∆=Q ，11sin303sin 22ON OM OA OM θ∴⋅︒=⨯⋅，即83sin ON θ=，在OAN ∆中，由()04sin60cos sin 1806030ON OA θθ==︒--︒-︒，得ON =从而cos θθ=，即1sin22θ=，由02120θ︒<<︒，得230θ=︒，15θ∴=︒，即AOM ∠15=︒. （3）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，由（2）知cos ON θ=，又在AOM ∠中，由()sin60sin 60OM OA θ=︒+︒，得OM =，()1sin302sin 60cos 3OMN S OM ON θθ∆∴=⋅⋅︒=+︒==∴当且仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，OMN ∆的面积取最小值为24-2km .19．（本小题满分16分）设函数()()()12xxf x x e a e e=-+-，(1)当0a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）若不等式()0f x >对()2,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值.【解析】（1）当0a =时，()()1x f x x e =-，()xf x xe '=，所以()10f =，()1f e '=所以所求切线方程为(1)y e x =-（2）()()xxxf x xe ae x a e '=-=-.令()0f x '=，则x a =.当(),x a ∈-∞时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>；所以()f x 的单调递增区间是(),a +∞，单调递减区间是(),a -∞.（3）当()2,x ∈+∞时，()()120xxx e a e e-+->恒成立，等价于当()2,x ∈+∞时，()12xxx e a e e->-恒成立；即()min12x x x e a e e ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦对()2,x ∈+∞恒成立.令()()12x xx e g x e e -=-，()2,x ∈+∞， ()()()222x x x e e ex g x e e -'=-，令()2x h x e ex =-，()2,x ∈+∞，()20xh x e e '=->，所以()2xh x e ex =-在()2,+∞上单调递增. 又因为()2240h e e =-<，()3360h e e =->，所以()g x '在()2,3上有唯一零点0x ，且002x eex =，()02,3x ∈，所以()g x 在()02,x .上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()()()()000000min 01122,3222x x x e x ex gx g x x e eex e--====∈--，所以()02,3a x <∈，故整数a 的最大值为2. 20．（本小题满分16分）对于*,n N ∀∈若数列{}n x 满足11,n n x x +->则称这个数列为“K 数列”.（1）已知数列1, 21,m m +是“K 数列”,求实数m 的取值范围;（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”,且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在,求出{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由;（3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”,数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,若1,1n n a b n +=+试判断数列{}n b 是否为“K 数列”,并说明理由. 【解析】（1）由题意得()111,m +->()211,m m -+>解得2,m >所以实数m 的取值范围是2.m >（2）假设存在等差数列{}n a 符合要求,设公差为,d 则1,d >由11,a =-得()1,2n n n S n d -=-+由题意,得()21122n n n d n n --+<-对*n N ∈均成立,即()1.n d n -< ①当1n =时,;d R ∈ ②当1n >时,,1n d n <-因为111,11n n n =+>--所以1,d ≤与1d >矛盾, 所以这样的等差数列不存在.（3）设数列{}n a 的公比为,q 则11,n n a a q -=因为{}n a 的每一项均为正整数,且()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->>所以在{}1n n a a --中,“21a a -”为最小项.同理,11122n n a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中,“211122a a -”为最小项. 由{}n a 为“K 数列”,只需211,a a ->即()111,a q ->又因为12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项,所以21111,22a a -≤即()112a q -≤, 由数列{}n a 的每一项均为正整数,可得()112,a q -= 所以11,3a q ==或12, 2.a q ==①当11,3a q ==时,13,n n a -=则3,1n n b n =+令()*1,n n n c b b n N +=-∈则()()133213,2112n n n n n c n n n n ++=-=⋅++++又()()()()12321332312n nn n n n n n +++⋅-⋅++++()()234860,213n n n n n n ++=⋅>+++ 所以{}n c 为递增数列,即121,n n n c c c c -->>>⋅⋅⋅>所以213331,22b b -=-=> 所以对于任意的*,n N ∈都有11,n n b b +->即数列{}n b 为“K 数列”.②当12,2a q ==时,2,nn a =则12.1n n b n +=+因为2121,3b b -=≤所以数列{}n b 不是“K 数列”.综上:当11,3a q ==时,数列{}n b 为“K 数列”,当12,2a q ==时,2,nn a =数列{}n b 不是“K 数列”.第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题共2小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1002A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，1206B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵1A B -. 【解析】设矩阵A 的逆矩阵为a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.即1010220101a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12.从而A 的逆矩阵为110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦. 所以11012121060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆:C ρθ=和直线:()4l πθρ=∈R 相交于,A B 两点，求线段AB 的长. 【答案】2【解析】圆C：ρθ=直角坐标方程为220x y +-=，即(222x y -+=直线l ：()4R πθρ=∈的直角坐标方程为y x =圆心C 到直线l的距离1d ==所以AB =2=,【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）设2012()n r n r n q x a a x a x a x a x +=+++⋯++⋯+,其中*,q R n N ∈∈.（1）当1q =时,化简:1nrr a r =+∑; （2）当q n =时,记()010,2nn n r r n a a A B a =+==∑,试比较n A 与n B 的大小.【解析】（1）当1q =时,rr n a C =1!!11!()!(1)!()rn C n n r r r n r r n r =⋅=++-+-Q 111(1)!11(1)!()!1r n n C n r n r n +++=⋅=⋅++-+,其中0,1,2,,r n ⋯＝, ∴原式＝()11231111112111n n n n n n C C C C n n ++++++-++⋯+=++ （2）当q n =时,r n r r n a C n -= 01,n n a n a n ∴==,1n n A n +∴= 令1x =,得(1)nn B n =+当1,2n =时,1(1)n n n n +<+;当3n ≥时,1(1)n n nn +>+,即(1)nnn n n ⋅>+,可得:(1)111+nnn nn n n n n n ++⎛⎫⎛⎫>== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 下面用数学归纳法证明:当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭——(☆)①当3n =时,316431327⎛⎫>+= ⎪⎝⎭, (☆)成立．②假设3n k =≥时,(☆)式成立,即11kk k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭则1n k =+时,(☆)式右边1111111111k kk k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111kk k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++<+⋅=+<+ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当1n k =+时,(☆)式也成立．综上①②知,当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭∴当1,2n =时,n n A B <;当3n ≥时,n n A B >.23.（本小题满分10分）一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了(6)n n ≥份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中(3)n -份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这(3)n -份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.（1）若6n =，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；（2）若8n ≥，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为X ， ①求X 的概率分布； ②求()E X .【解析】（1）在6n =时，恰好在第三次时检测出呈阳性血液，说明其中三份血液中的其中一份呈阳性，并且对含阳性血液的一组进行检测时，前两次检测出血液为阴性，或第一次为阴性第二次为阳性.32111521213211163132223C C C C C P C C C C C ⎛⎫=⋅+⋅= ⎪⎝⎭（2）①在8n ≥时，331111113131332(2)n n n n n n n C C C C P X C C C C n -----==⋅+⋅=213111111111412121311113113232343(3)n n n n n n n C C C C C C C C C P X C C C C C C C C n -----⎛⎫==⋅++⋅= ⎪⎝⎭ 321141321351(4)n n n n n C C C P X C C C n ----==⋅=⋅ 同理，当44k n ≤≤-时，3211413213(3)(2)1()k n n k n n n k C C C P X k C C C n --------⋅==⋅= 341141341312(3)2n n n n n n C C C P X k C C C n-----=-=⋅⋅=X ∴的分布列为：②231112()2345(4)(3)E X n n n n n n n n =⋅+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+-⋅23142n n n-+=。

江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月第二次调研考试数学试题(解析版)

江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第二次调研考试数学试题2020．6第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题纸相应的位置上．） 1.已知集合()(){}120A x x x =+-<，集合B Z =，则A B =I ______.【答案】{}0,1【解析】【分析】先化简集合A ,再根据交集运算法则求出A B I .【详解】因为()(){}120A x x x =+-<{}12x x =-<<,B Z =,所以{}0,1A B =I ,故答案为:{}0,1.【点睛】本题主要考查集合的交集运算,属于基础题.2.若i 是虚数单位，复数()()12z a i i =++是纯虚数，则实数a 的值为________.【答案】2【解析】【分析】对复数z 进行化简，然后根据纯虚数的概念，得到a 的值.【详解】复数()()12z a i i =++ 222a i ai i =+++()()221a a i =-++因为z 为纯虚数，所以20a -=,210a +≠ ，所以2a =.故答案为：2【点睛】本题考查复数的运算，根据复数的类型求参数的值，属于简单题.3.在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________.【答案】38【解析】【分析】根据平均成绩求出a 的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可．【详解】5Q 位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80，78858269580a ∴++++=⨯，解得：86a =，2222221[(7880)(8580)(8680)(8280)(6980)]385s ∴=-+-+-+-+-=，则他们成绩的方差等于38.故答案为：38．【点睛】本题考查平均数和方差的定义，考查数据处理能力，求解时注意方差与标准差的区别. 4.若{1,0,1,2}a ∈-，则方程220x x a ++=有实根的概率为________. 【答案】34【解析】【分析】由已知可得2240a ∆=-≥，解得1a ≤，可知当1,0,1a =-时满足要求，再根据古典概型概率公式求解.【详解】Q 方程220x x a ++=有实根，2240a ∴∆=-≥，解得1a ≤1,0,1a ∴=-时满足要求，则方程220x x a ++=有实根的概率为34. 故答案为：34【点睛】本题考查了概率的计算，属于基础题.5.如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 6.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为45o ，且过点()3,1，则双曲线的焦距等于________.【答案】8【解析】【分析】根据题意得出1b a =，然后将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程，可求出a 、b 的值，即可计算出双曲线的焦距. 【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由题意可得1b a=，b a ∴=，所以，双曲线的标准方程为22221x y a a-=，将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程得22911a a -=，得a b ==因此，双曲线的焦距为248=⨯=.故答案为：4.【点睛】本题考查双曲线焦距的计算，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，要结合题意得出a 、b 的值，考查运算求解能力，属于中等题.7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()2*2,,n S pn n q p q R n N =-+∈∈.若1a 与5a 的等差中项为8，则p q +=______.【答案】2【解析】【分析】等差数列的性质可得0q =，再结合155()5402a a S +⨯==求解即可. 【详解】解：由等差数列{}n a 的前n 项和为()2*2,,n S pn n q p q R n N=-+∈∈，由等差数列的性质可得0q =，又1a 与5a 的等差中项为8，即1516a a +=，即155()5402a a S +⨯==，即251040p -=，即2p =，即202p q +=+=，故答案为：2.【点睛】本题考查了等差数列的性质，重点考查了等差数列的前n 项和公式，属基础题.8.如果命题0p x ∀>：，4957x m x+≥+为真命题，则实数m 的取值范围是__________．【答案】{|1}m m ≤【解析】【分析】由题意利用基本不等式可得4912x x+≥，即可得出m 的不等式5712m +≤，求解出m 的范围．【详解】命题p 为真命题，即当0x >时，不等式4957x m x +≥+恒成立，又当0x >时，4912x x +≥=，当且仅当49x x =，即23x =时，49x x+取得最小值12，故5712m +≤，解得 1.m ≤故答案为：{|1}m m ≤【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数的范围，考查了不等式恒成立问题，考查了利用基本不等式求和的最小值，属于基础题．9.函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，则实数a 的取值范围为______. 【答案】[2,)+∞【解析】【分析】首先求出函数的导数，依题意可得()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，参变分离，根据余弦函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：因为()2sin f x x ax =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2cos f x x a '=-，因为函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，所以()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2cos a x ≥在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为()2cos g x x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()max 02cos02g x g === 所以2a ≥，即[)2,a ∈+∞故答案为：[)2,+∞【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 10.边长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B ，D 分别为AC ，CE 的中点，N 为GD 与CF的交点，则AN EG ⋅=u u u r u u u r ______．【答案】72-【解析】【分析】根据等边三角形的性质、平面向量的线性运算，用,AB AH u u u r u u u r 分别表示出,AN EG u u u r u u u r ，再求AN EG ⋅u u u r u u u r ．【详解】由已知得1222AN AB CN AB AH =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，3EG DE DG AB CH AB AH AC AB AH =-+=-+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以221112(3)6||||222AN EG AB AH AB AH AB AB AH AH ⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ．因为等边三角形的边长为2，所以221117*********AN EG ⋅=-⨯+⨯⨯⨯+⨯=-u u u r u u u r ．故答案为：72- 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、平面向量的线性运算，数量积的运算，考查学生的运算求解能力.11.已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________. 【答案】383r π 【解析】【分析】设出圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面中，由球O 与圆锥相切可设出底面和母线SB 的切点分别为C 和D ，接着由三角形的相似求得h 、R 、r 三者间的关系，然后将圆锥的体积表示成关于h 的函数，利用导函数求最值.【详解】设圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面图中，SC h =，OC OD r ==，BC R =，根据圆锥与球相切可知，D 、C 均为球O 与外切圆锥的切点，则2SCB SDO π∠=∠=又OSD BSC ∠=∠，SOD SBC ∴~V V ，BC SC OD SD∴=，即R r =R ∴==，∴圆锥体积为2221()33(2)r h V h R h h r ππ==-， 22(4)()3(2)r h h r V h h r π-'∴=-，令()0V h '=可得4h r =，则04h r <<时，()0V h '<；4h r >时，()0V h '>，()V h ∴在(0,4)r 单调递减，在(4,)r +∞单调递增，则3min 8()(4)3V h V r r π==. 故答案为：383r π.【点睛】本题考查了球的外切问题，圆锥的体积公式，导函数的实际应用问题，难度较大.12.定义符号函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，若函数()()x f x g x e =⋅，则满足不等式()()233f a a f a +<+的实数a 的取值范围是__________．【答案】()3,1-【解析】【详解】分析：根据分段函数，利用指数函数的性质，得到函数()f x 在R 上是增函数，即可得到不等式233a a a +<+，即可求解．详解：由函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，得()()()(),00,0,0x x e x f x x e x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩．根据指数的性质可得函数()f x 在R 上是增函数，又由()()233f a a f a +<+，则233a a a +<+，解得31a -<<．点睛：本题考查了函数的单调性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的函数的单调性，转化为不等式233a a a +<+是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，即可求解．13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，()221:44-+=O x y ，动点P在直线0-=x b 上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为,A B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．【答案】20(,4)3-【解析】【分析】设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b 的不等式即可求得实数b 的取值范围.【详解】由题意O (0,0),O 1(4,0).设P (x ,y )，则∵PB =2P A ．=．∴(x −4)2+y 2=4(x 2+y 2)．∴x 2+y 2+81633-x =0．圆心坐标为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭,半径为83． ∵动点P在直线x y −b =0上，满足PB =2P A 的点P 有且只有两个，∴直线与圆x 2+y 2+81633-x =0相交，∴圆心到直线的距离83d =<． ∴4164163333b --<<-+．即实数b 的取值范围是20,43⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思想，直线与圆是位置关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数()f α={}()a R f m α∈≥≠∅，则实数m 的取值范围为___________.【答案】2m ≤【解析】【分析】设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用同角的三角函数的基本关系式化简可得()f PQ PB α=-，利用线段差的几何意义可得实数m 的取值范围.【详解】==设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()f PQ PB α==-，如图，PQ PB QB -≤，当且仅当,,P Q B 三点共线且B 在,P Q 之间时等号成立，又2QB ==，故()f α.因为集合{}()a R f m α∈≥≠∅，故()max 2m f α≤=，故2m ≤.故答案为：2m ≤. 【点睛】本题考虑无理函数的最值，对于无理函数的最值问题，首选方法是利用导数求其单调性，其次可利用几何意义来求最值，本题属于难题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）求证：//AB EF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】分析：．1）由PC ⊥平面ABCD 可得CD PC ⊥，结合CD AC ⊥可证CD ⊥平面PAC .（2）先由//CD AB 证明//CD 平面PAB ，从而得到//CD EF ，故//AB EF . 详解：（1）证明:∵在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD PC ⊥，∵CD AC ⊥，PC AC C =I ，∴CD ⊥平面PAC . （2）∵//AB CD ，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ，故平面CDEF I 平面PAB EF = 又CD ⊄平面PAB ，AB Ì平面PAB ，∴//CD 平面PAB ，而CD ⊂平面CDEF ， ∴//CD EF ∴//AB EF点睛：（1）线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.（2）线线平行的判定可以由线面平行得到，注意其中一条线是过另一条线的平面与已知平面的交线，也可以由面面平行得到，注意两条线是第三个平面与已知的两个平行平面的交线. 16.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c ，已知2sin cos b C a C =cos c A +，23B π=，c =. （1）求角C ；（2）若点E 满足2AE EC =u u u v u u u v，求BE 的长. 【答案】（1）6C π=；（2）1BE =【解析】【分析】（1）解法一：对条件中的式子利用正弦定理进行边化角，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法二：对对条件中的式子利用余弦定理进行角化边，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法三：利用射影定理相关内容进行求解.（2）解法一：在ABC V 中把边和角都解出来，然后在ABE △中利用余弦定理求解；解法二：在ABC V 中把边和角都解出来，然后在BCE V 中利用余弦定理求解；解法三：将BE u u u r 用,BA BC u u u r u u u r 表示，平方后求出BEu u u r的模长.【详解】（1）【解法一】由题设及正弦定理得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+，又()()sin cos sin cos sin sin sin A C C A A C B B π+=+=-=，所以2sin sin sin B C B =. 由于sin 02B =≠，则1sin 2C =.又因为03C π<<，所以6C π=.【解法二】由题设及余弦定理可得2222222sin 22a b c b c a b C a cab bc+-+-=+，化简得2sin b C b =.因为0b >，所以1sin 2C =. 又因为03C π<<，所以6C π=【解法三】由题设2sin cos cos b C a C c A =+，结合射影定理cos cos b a C c A =+，化简可得2sin b C b =. 因为0b >.所以1sin 2C =. 又因为03C π<<，所以6C π=.（2）【解法1】由正弦定理易知sin sin b cB C==3b =. 又因为2AE EC =u u u v u u u v ，所以2233AE AC b ==，即2AE =.在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，所以在ABE ∆中，6A π=，AB =2AE =由余弦定理得1BE ===，所以1BE =.【解法2】在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==.由余弦定理得3b ==.因为2AE EC =u u u v u u u v，所以113EC AC ==. 在BCE ∆中，6C π=，BC =，1CE=由余弦定理得1BE == 所以1BE =.【解法3】在ABC∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==因为2AE EC =u u u v u u u v，所以1233BE BA BC =+u u uv u u u vu u u v .则()()22221111||2|44|344319992BE BA BC BA BA BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=-+⨯= ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 所以1BE =.【点睛】本题主要考察利用正余弦定理解三角形问题，方法较多，难度不大，属于简单题.17.已知椭圆C：()222210x y a b a b +=>>的离心率3e =，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过椭圆的右焦点F ，且2AF FB =，求直线l方程．【答案】（1）22132x y +=；（20y ±-=．【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和焦距确定基本量，从而得到椭圆的方程；（2）设出直线的待定系数方程，与椭圆方程联立，根据线段长度关系得到点的纵坐标的关系求解．【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则由221c c =⇒=，则c a b a =⇒=⇒= 22:132x y C ∴+=；（2）当直线l 为0y =时，1,1AF a c FB a c =+=-=，不满足2AF FB =；所以设直线l ：1x ty =+，联立()2222123440236x ty t y ty x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122244,2323t y y y y t t --+=⋅=++，又()2221211222112245123242223t y y y y y t y y y y y t -⎛⎫⎪++⎝⎭=-⇒+=-⇒==--+,212t t ∴=⇒= 故直线l：1x y =+0y ±=．【点睛】本题考查椭圆的概念与性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，函数与方程思想，是中档题．18.如图所示，某区有一块空地OAB ∆，其中4OA km =，OB =，AOB 90∠=o .当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ∆，其中,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=o ，挖出的泥土堆放在OAM ∆地带上形成假山，剩下的OBN ∆地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN ∆的周围安装防护网.（1）当2AM km =时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地OMN ∆的面积是堆假山用地OAM ∆AOM ∠的大小；（3）为节省投入资金，人工湖OMN ∆的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN ∆的面积最小？最小面积是多少？【答案】（1）12km （2）15︒（3）当且仅当15θ=︒时，OMN ∆的面积取最小值为24-2km 【解析】【分析】（1）根据题意可得60OAB ∠=︒，在AOM ∆中，利用余弦定理求出OM =，从而可得222OM AM OA +=，即OM AN ⊥，进而可得OAN ∆为正三角形，即求解.（2）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，利用三角形的面积公式ON θ=，在OAN ∆中，利用正弦定理可得ON =θ=1sin22θ=，即求解.（3）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，由（2）知ON =AOM ∠中，利用正弦定理可得()sin 60OM θ=+︒，利用三角形的面积公式可得()1sin302sin c s 360o OMN S OM ON θθ∆=⋅⋅︒=+︒，再利用二倍角公式以及辅助角公式结合三角函数的性质即可求解.【详解】（1）Q 在OAB ∆中，4OA =，OB =90AOB ∠=︒，60OAB ∴∠=︒ 在AOM ∆中，4,2,60OA AM OAM ==∠=︒，由余弦定理，得OM =，222OM AM OA ∴+=，即OM AN ⊥，30AOM ∴∠=︒，OAN ∴∆为正三角形，所以OAN ∆的周长为12，即防护网的总长度为12km .（2）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，OMN OAM S ∆∆=Q ，11sin30sin 22ON OM OA OM θ∴⋅︒=⋅，即ON θ=，在OAN ∆中，由()04sin60cos sin 1806030ON OA θθ==︒--︒-︒，得cos ON θ=，从而cosθθ=，即1sin22θ=，由02120θ︒<<︒，得230θ=︒，15θ∴=︒，即AOM∠15=︒.（3）设(060)AOMθθ∠=︒<<︒，由（2）知ON=又在AOM∠中，由()sin60sin60OM OAθ=︒+︒，得OM=，()1sin302sin60cos3OMNS OM ONθθ∆∴=⋅⋅︒=+︒==∴当且仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，OMN∆的面积取最小值为24-2km.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在实际中的应用，三角形的面积公式以及三角恒等变换、三角函数的性质，属于中档题.19.设函数()()()12x xf x x e a e e=-+-，（1）当0a=时，求函数()f x图象在1x=处的切线方程；（2）求()f x的单调区间；（3）若不等式()0f x>对()2,x∈+∞恒成立，求整数a的最大值.【答案】（1）(1)y e x=-；（2）单调递增区间是(),a+∞，单调递减区间是(),a-∞；（3）2【解析】【分析】（1）当0a=时，可得()()1xf x x e=-，()xf x xe'=，求出()1f，()1f'，即可求出切线方程；（2）求出()()x x xf x xe ae x a e'=-=-，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可；（3）当()2,x∈+∞时，不等式()0f x>恒成立，即：()()120x xx e a e e-+->恒成立，等价于当()2,x∈+∞时，()12xxx eae e->-恒成立；即()min12xxx eae e⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦对()2,x∈+∞恒成立，令()()12xxx eg xe e-=-，根据导数求其最值，即可求得答案. 【详解】（1）当0a =时，可得()()1xf x x e =-，∴()x f x xe '=，可得：()10f =，()1f e '=∴所求切线方程为(1)y e x =-（2）Q ()()()12xxf x x e a e e=-+-∴()()x x x f x xe ae x a e '=-=-.令()0f x '=，则x a =. 当(),x a ∈-∞时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>；∴()f x 的单调递增区间是(),a +∞，单调递减区间是(),a -∞.（3）当()2,x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立即：()()120xxx e a e e-+->恒成立，等价于当()2,x ∈+∞时，()12x xx e a e e->-恒成立；即()min12x x x e a e e ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦对()2,x ∈+∞恒成立.令()()12x xx e g x e e-=-，()2,x ∈+∞，()()()222x x xe e ex g x ee -'=-，令()2xh x e ex =-，()2,x ∈+∞，()20x h x e e '=->，∴()2x h x e ex =-在()2,+∞上单调递增.又Q ()2240h e e =-<，()3360h e e =->，∴()g x '在()2,3上有唯一零点0x ，且002x e ex =，()02,3x ∈ ∴()g x 在()02,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， ∴()()()()()000000min01122,3222x x x e x ex g x g x x e eex e--====∈--，∴()02,3a x <∈，故整数a 的最大值为2.【点睛】本题主要考查了根据导数求函数单调区间和根据不等式恒成立求参数值，解题关键是掌握根据导数求函数单调区间的方法和构造函数求最值的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题.20.对于*,∀∈n N 若数列{}n x 满足11,+->n n x x 则称这个数列为“K 数列”.（1）已知数列1, 21,+m m 是“K 数列”,求实数m 的取值范围;（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”,且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在,求出{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由;（3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”,数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,若1,1+=+n n a b n 试判断数列{}n b 是否为“K 数列”,并说明理由. 【答案】（1）2m >；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】试题分析：．1）根据题目中所定义的“K 数列”，只需()()2111,11,m m m +->-+>同时满足，解不等式可解m 范围．（2）由题意可知，若存在只需等差数列的公差1d >，即()12n n n S n d -=-+<212n n -,代入n=1,n>1,矛盾．（3）设数列{}n a 的公比为,q 则11n n a a q -=，*n a N ∈，满足“K 数列”，即()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->>只需最小项211,a a ->即()1111,?2n a q a ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项, 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤,所以只能()112,a q -=只有解11,3a q ==或12, 2.a q ==分两类讨论数列{}n b ．试题解析：（Ⅰ）由题意得()111,m +->()211,m m -+>解得2,m >所以实数m 的取值范围是 2.m >（Ⅱ假设存在等差数列{}n a 符合要求,设公差为,d 则1,d >由11,a =-得()1,2n n n S n d -=-+由题意,得()21122n n n d n n --+<-对*n N ∈均成立,即()1.n d n -< ①当1n =时,;d R ∈ ②当1n >时,,1n d n <- 因为111,11n n n =+>-- 所以1,d ≤与1d >矛盾,所以这样的等差数列不存在.（Ⅲ）设数列{}n a 的公比为,q 则11,n n a a q -=因为{}n a 的每一项均为正整数,且()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->> 所以在{}1n n a a --中,“21a a -”为最小项.同理,11122n n a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中,“211122a a -”最小项.由{}n a 为“K 数列”,只需211,a a ->即()111,a q ->又因为12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项, 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤, 由数列{}n a 的每一项均为正整数,可得()112,a q -= 所以11,3a q ==或12, 2.a q ==①当11,3a q ==时,13,n n a -=则3,1nn b n =+令()*1,n n n c b b n N+=-∈则()()133213,2112n n n n n c n n n n ++=-=⋅++++又()()()()12321332312n n n n n n n n +++⋅-⋅++++()()234860,213n n n n n n ++=⋅>+++ 所以{}n c 为递增数列,即121,n n n c c c c -->>>⋅⋅⋅> 所以213331,22b b -=-=> 所以对于任意的*,n N ∈都有11,n n b b +->即数列{}n b 为“K 数列”.②当12,2a q ==时,2,nn a =则12.1n n b n +=+因为2121,3b b -=≤ 所以数列{}n b 不是“K 数列”.综上:当11,3a q ==时,数列{}n b 为“K 数列”,当12,2a q ==时,2,nn a =数列{}n b 不是“K 数列”.．点睛．对于新定义的题型一定要紧扣题目中的定义并进行合理的转化，这是解决此类的问题的关键．另外题中有整数条件时一般都能通过因式分解，或夹逼在方程个数小于变量个数时，解出部分甚至全部参数．第II 卷（附加题，共40分）【选做题】本题共2小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．选修4—2：矩阵与变换21.已知矩阵1002A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，1206B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵1A B -. 【答案】1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】先求出矩阵A 的逆矩阵1A -，再矩阵的乘法求出1A B -的乘积.【详解】设矩阵A 的逆矩阵为a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 即1010220101a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12. 从而A 的逆矩阵为110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦.所以11012121060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查求矩阵的逆矩阵和矩阵的乘法，属于基础题.选修4—4：坐标系与参数方程22.在极坐标系中，已知圆:C ρθ=和直线:()4l πθρ=∈R 相交于,A B 两点，求线段AB 的长.【答案】2 【解析】分析．ρθ=两边同乘以ρ．利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 即可得圆的直角坐标方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式以及勾股定理可得结果. 详解．圆C：ρθ=直角坐标方程为220x y +-=，即(222x y +=直线l ．()4R πθρ=∈的直角坐标方程为y x =圆心C 到直线l的距离1d ==所以AB =2=,点睛．利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩．222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．23.设2012()n r n r n q x a a x a x a x a x +=+++⋯++⋯+,其中*,q R n N ∈∈.（1）当1q =时,化简:1nrr a r =+∑; （2）当q n =时,记()010,2nn n r r n a a A B a =+==∑,试比较n A 与n B 的大小.【答案】（1）1211n n +-+（2）答案见解析【解析】【分析】（1）当1q =时,r r na C =,因为1!!11!()!(1)!()r n C n n r r r n r r n r =⋅=++-+-,结合已知,即可求得答案;（2）当q n =时,r n r r n a C n -=,可得1n n A n +=,令1x =,得(1)n n B n =+,故当1,2n =时,1(1)n n n n +<+, 当3n ≥时,1(1)n nnn +>+化简可得:11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭, 利用数学归纳法证明,即可求得答案;【详解】（1）当1q =时,rr n a C =1!!11!()!(1)!()rn C n n r r r n r r n r =⋅=++-+-Q 111(1)!11(1)!()!1r n n C n r n r n +++=⋅=⋅++-+,其中0,1,2,,r n ⋯＝, ∴原式＝()11231111112111n n n n n n C C C C n n ++++++-++⋯+=++ （2）当q n =时r n rr n a C n -=01,n n a n a n ∴==, 1n n A n +∴=令1x =,得(1)nn B n =+当1,2n =时,1(1)n n n n +<+;当3n ≥时,1(1)n n nn +>+,即(1)n nn n n ⋅>+,可得:(1)111+n nn n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫>== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下面用数学归纳法证明:当3n ≥时11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭——(☆)①当3n =时,316431327⎛⎫>+= ⎪⎝⎭, (☆)成立．②假设3n k =≥时,(☆)式成立,即11kk k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭则1n k =+时,(☆)式右边1111111111k kk k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,1111111111kk k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++<+⋅=+<+ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当1n k =+时,(☆)式也成立．综上①②知,当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭∴当1,2n =时,n n A B <;当3n ≥时,n n A B >.【点睛】解题关键是掌握对于研究与自然数相关组合数的问题,通常有三种处理方法:一是应用数学归纳法来加以研究;二是应用组合数的相关性质来加以研究;三是转化为函数问题来加以研究,考查了分析能力和计算能力,属于难题.24.一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了(6)n n …份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中(3)n -份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这(3)n -份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.（1）若6n =，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；（2）若8n …，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为ξ， ①求ξ的概率分布； ②求E ξ.【答案】（1）23（2）①详见解析②23142n n n-+【解析】【分析】（1）不论第一次检测结果如何，都要对含有2阴1阳得血液样本进行逐一检测，故第2次和第3次检测的都是阴性或者第2次检测的是阴性，第3次检测的是阳性，根据组合数公式和古典概型的概率公式计算概率；（2）根据组合数公式和古典概型的概率公式依次计算2ξ=，3，4，⋯，3n -的概率，得出分布列和数学期望．【详解】解：（1）在6n =时，恰好在第三次时检测出呈阳性血液，说明其中三份血液中的其中一份呈阳性，并且对含阳性血液的一组进行检测时，前两次检测出血液为阴性，或第一次为阴性第二次为阳性.32111521213211163132223C C C C C P C C C C C ⎛⎫=⋅+⋅= ⎪⎝⎭（2）①在8n ≥时，313111113131332(2)n n n n n n n C C C C P C C C C n ξ-----==⋅+⋅=211111311112121141311113113232343(3)n n n n n n n C C C C C C C C C P C C C C C C C C n ξ-----⎛⎫==⋅++⋅= ⎪⎝⎭ 321141321351(4)n n n n n C C C P C C C n ξ----==⋅=⋅ 同理，当44k n ≤≤-时，3211413213(3)(2)1()k n n k n n n k C C C P k C C C n ξ--------⋅==⋅= 341141341312(3)2n n n n n n C C C P k C C C nξ-----=-=⋅⋅=ξ∴的分布列为：②2311122345(4)(3)E n n n n n n n nξ=⋅+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+-⋅ 23142n n n-+=【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率计算，离散型随机变量及其分布列与期望的计算，属于中档题．。

江苏省盐城市第一中学2019-2020届高三6月调研考试数学试题(含附加卷)附答案

盐城市第一中学2019-2020届高三调研考试数学试题 2020.06一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．2．设121i z i i +=+-，则||z =_________. 3．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________． 4．从123，，中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为________． 5．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为6．阅读如图所示的程序框，若输入的n 是30，则输出的变量S 的值是______.7．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，且59a =，则数列{}n a 的前n 项和为______．8．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝_______..9．已知函数f （x ）()2111x x log x x ≤⎧=⎨-⎩，，＞，则函数(())1y f f x =-的所有零点构成的集合为_____.10．若对任意1x >-，不等式2122x a x x +≤++恒成立，则a 的取值范围是______. 11．在日常生活中，石子是我们经常见到的材料，比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子，它的主要成分是碳酸钙.某雕刻师计划在底面边长为2m 、高为4m 的正四棱柱形的石料1111ABCD A B C D -中，雕出一个四棱锥O ABCD -和球M 的组合体，其中O 为正四棱柱的中心，当球的半径r 取最大值时，该雕刻师需去除的石料约重___________kg .（最后结果保留整数，其中 3.14π≈，石料的密度32.4g/p cm =，质量m pV =）12．如图，在圆的内接四边形ABCD 中，对角线BD 为圆的直径，5AB =，4=AD ，1CD =，点E 在BC 上，且()310AE AB R t AC t ∈=+u u u r u u u r u u u r ，则AE AC ⋅u u u r u u u r 的值为________． 13．已知函数()211ln x f x k x k x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)1,k ∈+∞，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y ，使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行()12x x ≠，则12x x +的取值范围为______.14．在ABC V 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22S a bc+的最大值为______ 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本题满分14分)如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A A AC =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点. （1）证明：//EF 平面ABC ；（2）证明：1C E ⊥平面BDE .16．(本题满分14分) 在ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B，C 的对边，已知()3,m a c b =-u r ，()cos ,cos n B C =-r ，且m n ⊥u r r . （1）求sin B 的值；（2）若2b =，ABC V 的面积为64，求ABC V 的周长.17．(本题满分15分)某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（1）求()f x 的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?18．(本题满分15分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，直线:10m x y -+=经过椭圆C 的上顶点，直线:10n x +=交椭圆C 于,A B 两点，P 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线,AP BP 分别交直线:40l x +=于,Q R 两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：OQ OR ⋅uuu r uuu r （O 为坐标原点）为定值．。

盐城中学2020届高三年级第二学期阶段检测数学试题学生版

盐城中学2020届高三年级第二学期阶段检测数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂，则实数a 的值为．2．若复数z 满足()1234z i i +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是． 3．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为．4．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为．5．从0、2中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为．6．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线的倾斜角为45º，且过点（3，1），AFEDCB（第11题图）7 7 9 0 8 9 4 8 1 0 3 5 甲乙（第4题图）（第3题图）则双曲线的焦距等于．7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝．8．已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是．9．已知函数f （x ）＝sin （2x ＋φ）（0≤φ＜π）图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则f（2φ）的值为．10．已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S，若也为等比数列，则q = ．11．如图，在平面四边形ABCD 中，π2CAD ∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，则AE AF ⋅=u u u r u u u r．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：kx －y ＋5k ＝0与圆C ：x 2＋y 2－10x ＝0交于点A ，B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是．13．己知△ABC的面积为＋1，AC ＝2，且43tan A tan B+＝1，则tanA 的值为．14．己知函数2ln 20()504x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y ＝﹣2的对称点在kx ﹣y ﹣3＝0的图象上，则实数k 的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA⊥平面ABCD ．（1）求证：PB //平而AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA ＝AD ，求证：AE⊥平面PCD ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cosB ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C的值；（2）若C ﹣B ＝4，求sinA 的值．17．（本小题满分14分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x （x ∈N *）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a －3x500)万元（a ＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？18．（本小题满分16分）如图，己知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点（1，32），离心率为12，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线线l 与椭圆相交于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记△AFM，△BFN 的而积分别为S 1，S 2，若1265S S =，求k 的值；（3）己知直线AM 、BN 的斜率分k 1，k 2，求21k k 的值．19．（本小题满分16分）己知函数2()ln 2x f x a x ax =-+．（1）当a ＝1时，求()f x 在x ＝1处的切线方程：（2）当a ＞0时，讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有两个极值点1x ，2x （1x ≠2x ），且不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分16分）已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n B A b +=．（1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式；（2）若nn n a 212-=，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．盐城中学2020届高三年级第二学期阶段检测数学附加题21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知a b c d∈，，，R，矩阵2ab-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A的逆矩阵111cd-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A．若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线21y x=+，求曲线C的方程．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标平面内，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A，B的极坐标分别为()π42，，()5π4，，曲线C的方程为rρ=（0r>）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某高校的综合评价面试中，考生都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录取．若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C 每个项目测试的概率都是12．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录取的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．23．（本小题满分10分）如图，F 是抛物线y 2＝2px （p > 0）的焦点，过点F 且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于点H ，其中．过点H 作y 轴的垂线交抛物线于点P ，直线PF 交抛物线于点Q ．（1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的而积S 的最小值．盐城中学2020届高三年级第二学期阶段检测数学试题（教师版）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂，则实数a 的值为．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意． 2．若复数z 满足()1234z i i +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是．【答案】1【详解】因为复数z 满足（1+2i ）z =−3+4i ，所以（1−2i ）（1+2i ）z =（−3+4i ）（1−2i ），即5z =5+10i ，所以z =1+2i ，实部为1．故答案为：1．3．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为．7 7 9 0 8 9 4 8 1 0 3 5 甲乙（第4题图）（第3题图）【答案】8【解析】由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =4．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为． 4．6.85．从0、2中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为．答案：30 考点：计数原理解析：若从0、2中选一个数字是0，则组成三位数有12个，若从0、2中选一个数字是2，则组成三位数有18个，故一共有30个．6．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线的倾斜角为45º，且过点（3，1），则双曲线的焦距等于．答案：8考点：双曲线及其性质解析：由题意知：221911ba ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得228a b ==，故216c =，∴焦距2c ＝8．7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝．答案：3：2考点：圆柱、球的表面积解析：设球的半径为R ，则S 1：S 2＝2(222)R R R ππ+⋅：24R π＝3：2．8．已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是．【解析】∵0(0)223f =+=，∴[(0)](3)log 2a f f f ==∵[(0)]2f f =，∴log 22a =，解得a9．已知函数f （x ）＝sin （2x ＋φ）（0≤φ＜π）图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则f （2φ）的值为． 9．1210．已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S，若也为等比数列，则q = ．【答案】2【详解】已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列．所以()1122221111n n n n a q q q S qq q q---===+----． 222112n n q q S q=++-+--为等比数列，则{}2n S +也为等比数列．FEDC所以2201q+=-，即2q =．故答案为：211．如图，在平面四边形ABCD 中，π2CAD ∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，则AE AF ⋅=u u u r u u u r．【答案】6-12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：kx －y ＋5k ＝0与圆C ：x 2＋y 2－10x ＝0交于点A ，B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是．12．解析：因为直线l ：kx －y ＋5k ＝0过定点P （－5，0），且CM ⊥MP ，所以点M 在以CP 为直径的圆上．设点M （x ，y ），则x 2＋y 2＝25．联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝25x 2＋y 2－10x ＝0，解得x ＝52．又因为点M 在圆C 内，所以点M 的横坐标的取值范围为（52，5]．13．己知△ABC 的面积为＋1，AC ＝2，且43tan A tan B+＝1，则tanA 的值为．答案：1考点：三角恒等变换、正弦定理解析：∵43tan A tan B+＝1， ∴4cos A 3cos B1sin A sin B+=，∴4cosAsinB ＋3cosBsinA ＝sinAsinB ，∴3sinC ＝sinB （sinA ﹣cosA ），故3cb＝sinA ﹣cosA ，∵△ABC 2＋1，则2(21)c +=6(21)sin A cos A +=-，∵b ＝AC ＝3∴221sin A sin A cos A 2=-2221tan A tan A tan A 1+-=+，解得tan A 21=-．14．己知函数2ln 20()504x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y ＝﹣2的对称点在kx ﹣y ﹣3＝0的图象上，则实数k 的取值范围是．答案：（-∞，34）U （1，+∞）考点：函数与方程解析：直线kx ﹣y ﹣3＝0关于直线y ＝﹣2的对称直线为y ＝﹣1﹣kx ，故可将题意转化为直线y ＝﹣1﹣kx 与函数()y f x =有且仅有两个交点，当x ＝0时，显然不符合题意，当x ≠0时，参变分离得：1()f x k x--=，即方程1ln 201504x x xk x x x ⎧--+>⎪⎪=⎨⎪---<⎪⎩，，有两个不相等的实数根，通过数形结合即可求得实数k 的取值范围是k ＞1或k ＜34，即（-∞，34）U （1，+∞）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：PB //平而AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA ＝AD ，求证：AE ⊥平面PCD ．证明：（1）连接BD 交AC 于O ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点，因为E 为PD 的中点，所以OE //PB又因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以PB //平面AEC ………………6分（2）因为PA AD =且E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥ 又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥ 因为四边形ABCD 是矩形，所以CD ⊥AD ，因为,PA AD ⊂平面PAD 且PA AD A =I所以CD ⊥平面PAD 又因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥,PD CD ⊂平面PDC 且PD CD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ………………14分16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cosB ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C的值；（2）若C ﹣B ＝4π，求sinA 的值．解：（1）解法1：在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45．………………2分因为c ＝2a ，所以(c2)2＋c 2－b 22c ×c 2＝45，即b 2c 2＝920，所以b c ＝3510．………………4分又由正弦定理得sin B sin C ＝b c ，所以sin B sin C ＝3510．………………6分解法2：因为cos B ＝45，B ∈（0，π），所以sin B ＝1－cos 2B ＝35．………………2分因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin （B ＋C ）＝65cos C ＋85sin C ，即－sin C ＝2cos C ．………………4分又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝255，所以sin B sin C ＝3510．………………6分（2）因为cos B ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝725．………………8分又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝2425．………………10分因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－（B ＋C ）＝3π4－2B ，所以sin A ＝sin （3π4－2B ）＝sin 3π4cos2B －cos 3π4sin2B ＝31250．………………14分17．（本小题满分14分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x （x ∈N *）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a －3x500)万元（a ＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0．2x %．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？17．（1）由题意得，10（1000－x ）（1＋0．2x %）≥10×1000，………………2分即x 2－500x ≤0，又x ＞0，故0＜x ≤500．………………4分即最多调整500名员工从事第三产业．………………5分（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为10（a －3x500）x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10（1000－x ）（1＋1500x ）万元，则10（a －3x 500）x ≤10（1000－x ）（1＋1500x ），………………8分故ax －3x 2500≤1000＋2x －x －1500x 2，故ax ≤2x 2500＋1000＋x ，即a ≤2x 500＋1000x ＋1恒成立．………………10分因2x 500＋1000x ≥22x 500·1000x＝4，当且仅当2x 500＝1000x ，即x ＝500时等号成立，故a ≤5，………………12分又a ＞0，故0＜a ≤5．故a 的取值范围为（0，5]．………………14分 18．（本小题满分16分）如图，己知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点（1，32），离心率为12，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线线l 与椭圆相交于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记△AFM ，△BFN 的而积分别为S 1，S 2，若1265S S =，求k 的值；（3）己知直线AM 、BN 的斜率分k 1，k 2，求21k k 的值．解：（1）设椭圆的焦距为2c ．312Q 椭圆过点（，），离心率为12 ∴229141a b +=，12c a = 解得2,3a b = 则椭圆的方程为22143x y +=．………………4分(2) 设点1122(,),(,)M x y N x yQ 1265s s = ∴12162152AF y BF y ⨯⨯=⨯⨯，整理可得M N 3|y |6|y |5= 即2||||5M N y y =，25FM NF ∴=u u u u r u u u r 代入坐标，可得121221(1)525x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即1212725525x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又Q 点,M N 在椭圆C 上22222222722()()555143143x y x y ⎧--⎪+=⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，解得2254313x y ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∴直线l的斜率8514k ==--………………10分（3）Q 直线l 的方程为(1)y k x =-由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=221212228412,3443k k x x x x k k -∴+=⋅=++ 又22221211221111212121212(2)(1)(2)22(2)(1)(2)222y k x y x k x x x x x x y k y x k x x x x x x x -+-++--====-----++ 222222222222222222412812182()234343434128462()2434343k k k x x x k k k k k k x x x k k k ---+---++++==------+++++ 222222463()4334643k x k k x k --++==--++ 213k k ∴=………………16分 19．（本小题满分16分）己知函数2()ln 2x f x a x ax =-+．（1）当a ＝1时，求()f x 在x ＝1处的切线方程：（2）当a ＞0时，讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有两个极值点1x ，2x （1x ≠2x ），且不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围．解：（1）当1a =时，()2ln 2x f x x x =-+，()112f =- ()1'1f x x x=-+，()'11f =所以()f x 在1x =处的切线方程为112y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即2230x y --= ………………2分（2）()f x 定义域为()0,+∞，()2'a x ax af x a x x x-+=-+=①若04a <<时，240a a -<，()'0f x >，所以()f x 单调递增区间为()0,+∞，无减区间；…………4分②若4a =，则()()22244'x x x f x x x--+==当02x <<时，()'0f x >；当2x >时，()'0f x >所以()f x 单调递增区间为()0,+∞，无减区间；………………6分③若4a >时，由()2'0x ax a f x x-+==，得x =或x =当0x <<x >时，()'0f x >x <<时，()'0f x <所以()f x 单调递增区间为⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减区间为⎝⎭………………8分（3）由（1）知，4a >，且1212x x ax x a +=⎧⎨=⎩，不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立等价于121212()()()()f x f x f x f x x x aλ++>=+恒成立又221211122211()()(ln )(ln )22f x f x a x x x a x x x +=-++-+221212121(ln ln )()()2a x x a x x x x =+-+++2121212121ln ()[()2]2a x x a x x x x x x =-+++-221ln (2)2a a a a a =-+- 21ln 2a a a a =--所以1212()()1ln 12f x f x a a x x +=--+，令1ln 12y a a =--（4a >），则11'02y a =-<，所以1ln 12y a a =--在(4,)+∞上单调递减，所以2ln 23y <-，所以2ln23λ≥-………………16分 20．（本小题满分16分）已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n B A b +=．（1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式；（2）若nn n a 212-=，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．解：（1）由12-=n a n 得{}n a 是递增数列，所以,1,121==-==a B n a A n n n所以.2n B A b n n n =+=………………2分（2）由n n n a 212-=得-+=-++11212n nn n a a ,2232121+-=-n n nn 当1=n ，01>-+n n a a ，即;21a a <当2≥n ，01<-+n n a a ，即>>>432a a a ┈又,167,85,43,21141321a a a a a a <=>===所以,45,45,1321===b b b 当4≥n 时，,21243n n n b -+=所以,27,49,1321===s s s 当4≥n 时，令,22)1(43212431n n n n bkn b n k n b +-+-+=-+=- 则,3,2==b k 即nn n n n n n b 23221243212431+-++=-+=- 所以)232212()213211()21129()3(432715443n n n n s n n +-++⋅⋅⋅+-+-+-+=- n n n 23229)3(43273+-+-+= .23243819n n n +-+=综上所述，27,49,1321===s s s ，当4≥n 时，.23243819nn n n s +-+=…………8分（3）设数列{}n b 的公差为d ，则dB B A A b b n n n n n n =-+-=-+++111，由题意n n n n B B A A ≤≥++11,n n A A d >>+1,0，对任意*∈N n 都成立，即n n n n a A a A =>+=+11，所以{}n a 是递增数列。

2020届江苏省盐城市第一中学高三下学期6月第二次调研考试数学试题(解析版)

2020届江苏省盐城市第一中学高三下学期6月第二次调研考试数学试题一、填空题1．已知集合()(){}120A x x x =+-<，集合B Z =，则A B =I ______. 【答案】{}0,1【解析】先化简集合A ,再根据交集运算法则求出A B I . 【详解】因为()(){}120A x x x =+-<{}12x x =-<<,B Z =, 所以{}0,1A B =I , 故答案为:{}0,1. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算,属于基础题.2．若i 是虚数单位，复数()()12z a i i =++是纯虚数，则实数a 的值为________. 【答案】2【解析】对复数z 进行化简，然后根据纯虚数的概念，得到a 的值. 【详解】复数()()12z a i i =++222a i ai i =+++()()221a a i =-++因为z 为纯虚数，所以20a -=,210a +≠ ，所以2a =. 故答案为：2 【点睛】本题考查复数的运算，根据复数的类型求参数的值，属于简单题.3．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________. 【答案】38【解析】根据平均成绩求出a 的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可．【详解】5Q 位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80， 78858269580a ∴++++=⨯，解得：86a =，2222221[(7880)(8580)(8680)(8280)(6980)]385s ∴=-+-+-+-+-=，则他们成绩的方差等于38. 故答案为：38．【点睛】本题考查平均数和方差的定义，考查数据处理能力，求解时注意方差与标准差的区别. 4．若{1,0,1,2}a ∈-，则方程220x x a ++=有实根的概率为________. 【答案】34【解析】由已知可得2240a ∆=-≥，解得1a ≤，可知当1,0,1a =-时满足要求，再根据古典概型概率公式求解. 【详解】Q 方程220x x a ++=有实根，2240a ∴∆=-≥，解得1a ≤ 1,0,1a ∴=-时满足要求，则方程220x x a ++=有实根的概率为34. 故答案为：34【点睛】本题考查了概率的计算，属于基础题.5．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为45o ，且过点()3,1，则双曲线的焦距等于________. 【答案】8【解析】根据题意得出1ba=，然后将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程，可求出a 、b 的值，即可计算出双曲线的焦距.【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由题意可得1ba=，b a ∴=，所以，双曲线的标准方程为22221x y a a-=，将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程得22911a a-=，得22a b == 因此，双曲线的焦距为222248a b +=⨯=. 故答案为：4. 【点睛】本题考查双曲线焦距的计算，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，要结合题意得出a 、b 的值，考查运算求解能力，属于中等题.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()2*2,,n S pn n q p q R n N=-+∈∈.若1a 与5a 的等差中项为8，则p q +=______. 【答案】2【解析】等差数列的性质可得0q =，再结合155()5402a a S +⨯==求解即可.【详解】解：由等差数列{}n a 的前n 项和为()2*2,,n S pn n q p q R n N=-+∈∈，由等差数列的性质可得0q =，又1a 与5a 的等差中项为8，即1516a a +=，即155()5402a a S +⨯==，即251040p -=，即2p =，即202p q +=+=，故答案为：2. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，重点考查了等差数列的前n 项和公式，属基础题.8．如果命题0p x ∀>：，4957x m x+≥+为真命题，则实数m 的取值范围是__________．【答案】{|1}m m ≤【解析】由题意利用基本不等式可得4912x x+≥，即可得出m 的不等式5712m +≤，求解出m 的范围．【详解】命题p 为真命题，即当0x >时，不等式4957x m x+≥+恒成立，又当0x >时，4912x x +≥=，当且仅当49x x =，即23x =时，49x x+取得最小值12，故5712m +≤，解得 1.m ≤ 故答案为：{|1}m m ≤ 【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数的范围，考查了不等式恒成立问题，考查了利用基本不等式求和的最小值，属于基础题． 9．函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，则实数a 的取值范围为______. 【答案】[2,)+∞【解析】首先求出函数的导数，依题意可得()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，参变分离，根据余弦函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：因为()2sin f x x ax =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2cos f x x a '=-，因为函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，所以()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2cos a x ≥在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为()2cos g x x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()max 02cos02g x g === 所以2a ≥，即[)2,a ∈+∞ 故答案为：[)2,+∞ 【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.10．边长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B ，D 分别为AC ，CE 的中点，N 为GD 与CF 的交点，则AN EG ⋅=u u u r u u u r______．【答案】72-【解析】根据等边三角形的性质、平面向量的线性运算，用,AB AH u u u r u u u r分别表示出,AN EG u u u r u u u r ，再求AN EG ⋅u u u r u u u r．【详解】由已知得1222AN AB CN AB AH =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，3EG DE DG AB CH AB AH AC AB AH =-+=-+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以221112(3)6||||222AN EG AB AH AB AH AB AB AH AH ⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ．因为等边三角形的边长为2，所以221117611222222AN EG ⋅=-⨯+⨯⨯⨯+⨯=-u u u r u u u r ．故答案为：72- 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、平面向量的线性运算，数量积的运算，考查学生的运算求解能力.11．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________. 【答案】383r π 【解析】设出圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面中，由球O 与圆锥相切可设出底面和母线SB 的切点分别为C 和D ，接着由三角形的相似求得h 、R 、r 三者间的关系，然后将圆锥的体积表示成关于h 的函数，利用导函数求最值. 【详解】设圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面图中，SC h =，OC OD r ==，BC R =，根据圆锥与球相切可知，D 、C 均为球O 与外切圆锥的切点，则2SCB SDO π∠=∠=又OSD BSC ∠=∠，SOD SBC ∴~V V ，BC SC OD SD∴=，即R r =，222()2R h r r h hr∴==---，∴圆锥体积为2221()33(2)r h V h R h h r ππ==-，22(4)()3(2)r h h r V h h r π-'∴=-，令()0V h '=可得4h r =，则04h r <<时，()0V h '<；4h r >时，()0V h '>，()V h ∴在(0,4)r 单调递减，在(4,)r +∞单调递增，则3min 8()(4)3V h V r r π==. 故答案为：383r π.【点睛】本题考查了球的外切问题，圆锥的体积公式，导函数的实际应用问题，难度较大.12．定义符号函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，若函数()()xf xg x e =⋅，则满足不等式()()233f a a f a +<+的实数a 的取值范围是__________．【答案】()3,1- 【解析】【详解】分析：根据分段函数，利用指数函数的性质，得到函数()f x 在R 上是增函数，即可得到不等式233a a a +<+，即可求解．详解：由函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，得()()()(),00,0,0x x e x f x x e x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，根据指数的性质可得函数()f x 在R 上是增函数，又由()()233f a a f a +<+，则233a a a +<+，解得31a -<<．点睛：本题考查了函数的单调性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的函数的单调性，转化为不等式233a a a +<+是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，即可求解．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，()221:44O x y -+=，动点P在直线0x b +-=上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为,A B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．【答案】20(,4)3-. 【解析】设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b 的不等式即可求得实数b 的取值范围. 【详解】由题意O (0,0),O 1(4,0).设P (x ,y )，则 ∵PB =2P A ，=∴(x −4)2+y 2=4(x 2+y 2)， ∴x 2+y 2+81633x -=0，圆心坐标为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭,半径为83，∵动点P在直线x −b =0上，满足PB =2P A 的点P 有且只有两个， ∴直线与圆x 2+y 2+81633x -=0相交，∴圆心到直线的距离83d =<， ∴4164163333b --<<-+，即实数b 的取值范围是20,43⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思想，直线与圆是位置关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．已知函数222211()2(cos )sin cos (sin )22f ααααα=++-+-，若集合{}()a R f m α∈≥≠∅，则实数m 的取值范围为___________.【答案】17m ≤【解析】设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用同角的三角函数的基本关系式化简可得()f PQ PB α=-，利用线段差的几何意义可得实数m 的取值范围. 【详解】()222212(cos )sin 54cos cos 2sin 2ααααα++=+=++，设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()22221()cos 2sin cos (sin )2f PQ PB ααααα=++-+-=-，如图，PQ PB QB -≤，当且仅当,,P Q B 三点共线且B 在,P Q 之间时等号成立，又11744QB =+=，故()f α17.因为集合{}()a R f m α∈≥≠∅，故()max172m f α≤=，故172m ≤. 故答案为：17m ≤. 【点睛】本题考虑无理函数的最值，对于无理函数的最值问题，首选方法是利用导数求其单调性，其次可利用几何意义来求最值，本题属于难题.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）求证：//AB EF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】分析：（1）由PC ⊥平面ABCD 可得CD PC ⊥，结合CD AC ⊥可证CD ⊥平面PAC .（2）先由//CD AB 证明//CD 平面PAB ，从而得到//CD EF ，故//AB EF . 详解：（1）证明:∵在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD PC ⊥，∵CD AC ⊥，PC AC C =I ，∴CD ⊥平面PAC . （2）∵//AB CD ，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ，故平面CDEF I 平面PAB EF = 又CD ⊄平面PAB ，AB Ì平面PAB ，∴//CD 平面PAB ，而CD ⊂平面CDEF ， ∴//CD EF ∴//AB EF点睛：（1）线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.（2）线线平行的判定可以由线面平行得到，注意其中一条线是过另一条线的平面与已知平面的交线，也可以由面面平行得到，注意两条线是第三个平面与已知的两个平行平面的交线.16．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos b C a C =cos c A +，23B π=，c = （1）求角C ；（2）若点E 满足2AE EC =u u u v u u u v，求BE 的长. 【答案】（1）6C π=；（2）1BE =【解析】（1）解法一：对条件中的式子利用正弦定理进行边化角，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法二：对对条件中的式子利用余弦定理进行角化边，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法三：利用射影定理相关内容进行求解.（2）解法一：在ABC V 中把边和角都解出来，然后在ABE △中利用余弦定理求解；解法二：在ABC V 中把边和角都解出来，然后在BCE V 中利用余弦定理求解；解法三：将BE u u u r 用,BA BC u u u r u u u r 表示，平方后求出BE u u u r的模长.【详解】（1）【解法一】由题设及正弦定理得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+，又()()sin cos sin cos sin sin sin A C C A A C B B π+=+=-=，所以2sin sin sin B C B =.由于sin 0B =≠，则1sin 2C =. 又因为03C π<<，所以6C π=.【解法二】由题设及余弦定理可得2222222sin 22a b c b c a b C a cab bc+-+-=+，化简得2sin b C b =. 因为0b >，所以1sin 2C =. 又因为03C π<<，所以6C π=.【解法三】由题设2sin cos cos b C a C c A =+，结合射影定理cos cos b a C c A =+，化简可得2sin b C b =. 因为0b >.所以1sin 2C =. 又因为03C π<<，所以6C π=.（2）【解法1】由正弦定理易知sin sin b c B C==3b =. 又因为2AE EC =u u u v u u u v ，所以2233AE AC b ==，即2AE =.在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，所以在ABE ∆中，6A π=，AB =2AE =由余弦定理得1BE ===，所以1BE =. 【解法2】在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==由余弦定理得3b ==.因为2AE EC =u u u v u u u v，所以113EC AC ==.在BCE ∆中，6C π=，BC =1CE =由余弦定理得1BE === 所以1BE =. 【解法3】在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==因为2AE EC =u u u v u u u v，所以1233BE BA BC =+u u u v u u u v u u u v .则()()22221111||2|44|344319992BE BA BC BA BA BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=-+⨯= ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v所以1BE =. 【点睛】本题主要考察利用正余弦定理解三角形问题，方法较多，难度不大，属于简单题.17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率3e =，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过椭圆的右焦点F ，且2AF FB =，求直线l 方程．【答案】（1）22132x y +=；（20y ±-=．【解析】（1）根据椭圆的离心率和焦距确定基本量，从而得到椭圆的方程；（2）设出直线的待定系数方程，与椭圆方程联立，根据线段长度关系得到点的纵坐标的关系求解．【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则由221c c =⇒=，则c a b a =⇒=⇒= 22:132x y C ∴+=；（2）当直线l 为0y =时，1,1AF a c FB a c =+==-，不满足2AF FB =；所以设直线l ：1x ty =+，联立()2222123440236x ty t y ty x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122244,2323t y y y y t t --+=⋅=++，又()2221211222112245123242223ty yy y y ty y y y yt-⎛⎫⎪++⎝⎭=-⇒+=-⇒==--+,2122t t∴=⇒=±，故直线l：12x y=±+，即220x y±-=．【点睛】本题考查椭圆的概念与性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，函数与方程思想，是中档题．18．如图所示，某区有一块空地OAB∆，其中4OA km=，43OB km=，AOB90∠=o.当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN∆，其中,M N都在边AB上，且30MON∠=o，挖出的泥土堆放在OAM∆地带上形成假山，剩下的OBN∆地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN∆的周围安装防护网.（1）当2AM km=时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地OMN∆的面积是堆假山用地OAM∆3定AOM∠的大小；（3）为节省投入资金，人工湖OMN∆的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN∆的面积最小？最小面积是多少？【答案】（1）12km（2）15︒（3）当且仅当15θ=︒时，OMN∆的面积取最小值为243-2km【解析】（1）根据题意可得60OAB∠=︒，在AOM∆中，利用余弦定理求出23OM=，从而可得222OM AM OA+=，即OM AN⊥，进而可得OAN∆为正三角形，即求解.（2）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，利用三角形的面积公式ON θ=，在OAN∆中，利用正弦定理可得cos ON θ=，从而cos θθ=，即1sin22θ=，即求解.（3）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，由（2）知ON =AOM ∠中，利用正弦定理可得()sin 60OM θ=+︒，利用三角形的面积公式可得()1sin302sin c s 360o OMN S OM ON θθ∆=⋅⋅︒=+︒，再利用二倍角公式以及辅助角公式结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）Q 在OAB ∆中，4OA =，OB =90AOB ∠=︒，60OAB ∴∠=︒ 在AOM ∆中，4,2,60OA AM OAM ==∠=︒，由余弦定理，得OM =，222OM AM OA ∴+=，即OM AN ⊥，30AOM ∴∠=︒，OAN ∴∆为正三角形，所以OAN ∆的周长为12，即防护网的总长度为12km .（2）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，OMN OAM S ∆∆Q ，11sin30sin 22ON OM OA OM θ∴⋅︒=⋅，即ON θ=，在OAN ∆中，由()04sin60cos sin 1806030ON OA θθ==︒--︒-︒，得cos ON θ=，从而θ=1sin22θ=，由02120θ︒<<︒，得230θ=︒，15θ∴=︒，即AOM ∠15=︒.（3）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，由（2）知ON =又在AOM ∠中，由()sin60sin 60OM OA θ=︒+︒，得()sin 60OM θ=+︒，()1sin302sin 60cos 3OMN S OM ON θθ∆∴=⋅⋅︒=+︒==∴当且仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，OMN ∆的面积取最小值为24-2km .【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在实际中的应用，三角形的面积公式以及三角恒等变换、三角函数的性质，属于中档题. 19．设函数()()()12xxf x x e a e e=-+-，（1）当0a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）若不等式()0f x >对()2,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值.【答案】（1）(1)y e x =-；（2）单调递增区间是(),a +∞，单调递减区间是(),a -∞；（3）2【解析】（1）当0a =时，可得()()1x f x x e =-，()x f x xe '=，求出()1f ，()1f '，即可求出切线方程；（2）求出()()xxxf x xe ae x a e '=-=-，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可；（3）当()2,x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立，即：()()120xxx e a e e-+->恒成立，等价于当()2,x ∈+∞时，()12x xx e a e e ->-恒成立；即()min12x x x e a e e ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦对()2,x ∈+∞恒成立，令()()12x xx e g x e e-=-，根据导数求其最值，即可求得答案.【详解】（1）当0a =时，可得()()1xf x x e =-，∴()x f x xe '=，可得：()10f =，()1f e '=∴所求切线方程为(1)y e x =-（2）Q ()()()12xxf x x e a e e=-+-∴()()x x x f x xe ae x a e '=-=-.令()0f x '=，则x a =. 当(),x a ∈-∞时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>；∴()f x 的单调递增区间是(),a +∞，单调递减区间是(),a -∞.（3）当()2,x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立即：()()120xxx e a e e-+->恒成立，等价于当()2,x ∈+∞时，()12x x x e a e e->-恒成立；即()min12x x x e a e e ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦对()2,x ∈+∞恒成立.令()()12x xx e g x e e-=-，()2,x ∈+∞，()()()222x x xe e ex g x ee -'=-，令()2xh x e ex =-，()2,x ∈+∞，()20x h x e e '=->，∴()2x h x e ex =-在()2,+∞上单调递增.又Q ()2240h e e =-<，()3360h e e =->，∴()g x '在()2,3上有唯一零点0x ，且002x e ex =，()02,3x ∈ ∴()g x 在()02,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， ∴()()()()()000000min01122,3222x x x e x ex g x g x xe eex e--====∈--，∴()02,3a x <∈，故整数a 的最大值为2. 【点睛】本题主要考查了根据导数求函数单调区间和根据不等式恒成立求参数值，解题关键是掌握根据导数求函数单调区间的方法和构造函数求最值的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题.20．对于*,n N ∀∈若数列{}n x 满足11,n n x x +->则称这个数列为“K 数列”.（1）已知数列1, 21,m m +是“K 数列”,求实数m 的取值范围;（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”,且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在,求出{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由;（3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”,数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,若1,1n n a b n +=+试判断数列{}n b 是否为“K 数列”,并说明理由. 【答案】（1）2m >；（2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）根据题目中所定义的“K 数列”，只需()()2111,11,m m m +->-+>同时满足，解不等式可解m 范围．（2）由题意可知，若存在只需等差数列的公差1d >，即()12n n n S n d -=-+<212n n -,代入n=1,n>1,矛盾．（3）设数列{}n a 的公比为,q 则11n n a a q -=，*n a N ∈，满足“K 数列”，即()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->>只需最小项211,a a ->即()1111,?2n a q a ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项, 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤,所以只能()112,a q -=只有解11,3a q ==或12, 2.a q ==分两类讨论数列{}nb ．试题解析：（Ⅰ）由题意得()111,m +->()211,m m -+>解得2,m >所以实数m 的取值范围是 2.m >（Ⅱ假设存在等差数列{}n a 符合要求,设公差为,d 则1,d >由11,a =-得()1,2n n n S n d -=-+由题意,得()21122n n n d n n --+<-对*n N ∈均成立,即()1.n d n -< ①当1n =时,;d R ∈ ②当1n >时,,1n d n <- 因为111,11n n n =+>-- 所以1,d ≤与1d >矛盾, 所以这样的等差数列不存在.（Ⅲ）设数列{}n a 的公比为,q 则11,n n a a q -=因为{}n a 的每一项均为正整数,且()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->> 所以在{}1n n a a --中,“21a a -”为最小项.同理,11122n n a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中,“211122a a -”为最小项. 由{}n a 为“K 数列”,只需211,a a ->即()111,a q ->又因为12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项, 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤, 由数列{}n a 的每一项均为正整数,可得()112,a q -=所以11,3a q ==或12, 2.a q ==①当11,3a q ==时,13,n n a -=则3,1nn b n =+令()*1,n n n c b b n N+=-∈则()()133213,2112n n n n n c n n n n ++=-=⋅++++又()()()()12321332312n n n n n n n n +++⋅-⋅++++()()234860,213n n n n n n ++=⋅>+++ 所以{}n c 为递增数列,即121,n n n c c c c -->>>⋅⋅⋅> 所以213331,22b b -=-=> 所以对于任意的*,n N ∈都有11,n n b b +->即数列{}n b 为“K 数列”.②当12,2a q ==时,2,nn a =则12.1n n b n +=+因为2121,3b b -=≤ 所以数列{}n b 不是“K 数列”.综上:当11,3a q ==时,数列{}n b 为“K 数列”,当12,2a q ==时,2,nn a =数列{}n b 不是“K 数列”.【点睛】对于新定义的题型一定要紧扣题目中的定义并进行合理的转化，这是解决此类的问题的关键．另外题中有整数条件时一般都能通过因式分解，或夹逼在方程个数小于变量个数时，解出部分甚至全部参数．21．已知矩阵1002A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，1206B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵1A B -. 【答案】1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】先求出矩阵A 的逆矩阵1A -，再矩阵的乘法求出1A B -的乘积. 【详解】设矩阵A 的逆矩阵为a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.即1010220101a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12. 从而A 的逆矩阵为110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦.所以11012121060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查求矩阵的逆矩阵和矩阵的乘法，属于基础题.22．在极坐标系中，已知圆:C ρθ=和直线:()4l πθρ=∈R 相交于,A B 两点，求线段AB 的长. 【答案】2【解析】分析：ρθ=两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 即可得圆的直角坐标方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式以及勾股定理可得结果.详解：圆C ：ρθ=直角坐标方程为220x y +-=，即(222x y +=直线l ：()4R πθρ=∈的直角坐标方程为y x =圆心C 到直线l的距离1d ==所以AB =2=,点睛：利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23．设2012()n r nr n q x a a x a x a x a x +=+++⋯++⋯+,其中*,q R n N ∈∈.（1）当1q =时,化简:01nrr a r =+∑; （2）当q n =时,记()010,2nn n r r n a a A B a =+==∑,试比较n A 与n B 的大小.【答案】（1）1211n n +-+（2）答案见解析【解析】（1）当1q =时,r r na C =,因为1!!11!()!(1)!()r n C n n r r r n r r n r =⋅=++-+-,结合已知,即可求得答案;（2）当q n =时,r n r r n a C n -=,可得1n n A n +=,令1x =,得(1)n n B n =+,故当1,2n =时,1(1)n n nn +<+, 当3n ≥时,1(1)n nnn +>+化简可得:11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭, 利用数学归纳法证明,即可求得答案; 【详解】（1）当1q =时,rr n a C =1!!11!()!(1)!()r n C n n r r r n r r n r =⋅=++-+-Q 111(1)!11(1)!()!1r n n C n r n r n +++=⋅=⋅++-+,其中0,1,2,,r n ⋯＝, ∴原式＝()11231111112111n n n n n n C C C C n n ++++++-++⋯+=++ （2）当q n =时,r n rr n a C n -=01,n n a n a n ∴==, 1n n A n +∴=令1x =,得(1)nn B n =+当1,2n =时,1(1)n n n n +<+;当3n ≥时,1(1)n n nn +>+,即(1)nnn n n ⋅>+,可得:(1)111+nnn nn n n n n n ++⎛⎫⎛⎫>== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 下面用数学归纳法证明:当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭——(☆)①当3n =时,316431327⎛⎫>+= ⎪⎝⎭, (☆)成立．②假设3n k =≥时,(☆)式成立,即11kk k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭则1n k =+时,(☆)式右边1111111111k kk k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111kk k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++<+⋅=+<+ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当1n k =+时,(☆)式也成立．综上①②知,当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭∴当1,2n =时,n n A B <;当3n ≥时,n n A B >.【点睛】解题关键是掌握对于研究与自然数相关组合数的问题,通常有三种处理方法:一是应用数学归纳法来加以研究;二是应用组合数的相关性质来加以研究;三是转化为函数问题来加以研究,考查了分析能力和计算能力,属于难题.24．一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了(6)n n …份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中(3)n -份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这(3)n -份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.（1）若6n =，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；（2）若8n …，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为ξ， ①求ξ的概率分布； ②求E ξ.【答案】（1）23（2）①详见解析②23142n n n-+【解析】（1）不论第一次检测结果如何，都要对含有2阴1阳得血液样本进行逐一检测，故第2次和第3次检测的都是阴性或者第2次检测的是阴性，第3次检测的是阳性，根据组合数公式和古典概型的概率公式计算概率；（2）根据组合数公式和古典概型的概率公式依次计算2ξ=，3，4，⋯，3n -的概率，得出分布列和数学期望．【详解】解：（1）在6n =时，恰好在第三次时检测出呈阳性血液，说明其中三份血液中的其中一份呈阳性，并且对含阳性血液的一组进行检测时，前两次检测出血液为阴性，或第一次为阴性第二次为阳性.32111521213211163132223C C C C C P C C C C C ⎛⎫=⋅+⋅= ⎪⎝⎭ （2）①在8n ≥时，313111113131332(2)n n n n n n n C C C C P C C C C n ξ-----==⋅+⋅=211111311112121141311113113232343(3)n n n n n n n C C C C C C C C C P C C C C C C C C nξ-----⎛⎫==⋅++⋅= ⎪⎝⎭ 321141321351(4)n n n n n C C C P C C C n ξ----==⋅=⋅ 同理，当44k n ≤≤-时，3211413213(3)(2)1()k n n k n n n k C C C P k C C C n ξ--------⋅==⋅= 341141341312(3)2n n n n n n C C C P k C C C nξ-----=-=⋅⋅=ξ∴的分布列为：②231112 2345(4)(3)E n nn n n n n n ξ=⋅+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+-⋅23142n nn-+=【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率计算，离散型随机变量及其分布列与期望的计算，属于中档题．。

南京市、盐城市2020届高三数学二模试卷含答案

南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学参考公式：圆锥的侧面积公式：S ＝πrl ，其中r 为圆锥底面圆的半径，l 为圆锥的母线长．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置．．．．上） 1．已知集合A ＝{ x | x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x | x (x －5)＜0}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为 ▲ ．3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为－1，则输入的实数x 的值为 ▲ ． 4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有 ▲ 个．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回．．后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ▲ ．6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f (x )= x ＋a3，则f (a )的值为 ▲ ．7．若将函数f (x )＝sin ( 2x + π3 )的图象沿x 轴向右平移φ（φ>0）个单位后所得的图象与f (x )的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为 ▲ ．8．在ΔABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90º，则ΔABC 绕BC 所在直线旋转一周所形（第4题图）（第3题图）成的几何体的表面积为 ▲ ．9．已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为 ▲ ．10．已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，则PFPA的最小值为 ▲ ．11．已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m )2＋y 2＝r 2(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为 ▲ ．13．在△ABC 中，BC 为定长，且|→AB +2→AC |＝3|→BC |．若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为 ▲ ．14．函数f (x )＝e x －x －b (e 为自然对数的底数，b ∈R )，若函数g (x )＝f (f (x )－12)恰有4个零点，则实数b 的取值范围为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域．．．．内． 15．(本小题满分14分)如图，三棱锥P －ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．（1）求证：AC ∥平面PDE ；（2）若PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC ⊥平面ABC ．16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝cos C ＋c sin B ．（1）求B 的值．（2）设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD ＝177，cos A ＝－725，求b 的值．（第15题图）PACDE17．(本小题满分14分)如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道︵DE ．记∠CBD 为θ．（1）用θ表示栈道的总长度f (θ)，并确定sin θ的取值范围；（2）求当θ为何值时，栈道总长度最短．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0，3)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 3－x 2－(a －16)x ， g (x )＝a ln x ，a ∈R ．函数h (x )＝ f (x )x－g (x )的导函数h'(x )在[52，4]上存在零点．（1）求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；（3）若直线l 与曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )都相切，且l 在y 轴上的截距为－12，求实数a 的值．20．(本小题满分16分)已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，记T n 为数列{a n }的前a n 项和，即T n ＝a 1＋a 2＋…＋a a n ．（1）若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，S 4＝5S 2，求T 3的值；（2）若数列{a n }为等差数列，且存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得T na n＜2，求数列{a n }的通项公式；（3）若数列{T n }的通项为T n ＝n (n ＋1)2，求证：数列{a n }为等差数列．南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．卡．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 1， MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1．（1）求矩阵N ；（2）求矩阵N 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝12t 2，（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝2．若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ＞0，证明：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．（1）若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．23．(本小题满分10分)已知集合A n＝{1，2，…，n}，n∈N*，n≥2，将A n的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，M m)，其中m＝2n．记集合M k中元素的个数为a k，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0．（1）当n＝2时，求a1＋a2＋…＋a m的值；（2）利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1．南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学参考答案和评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{1，3} 2．5 3．－14 4．325 5．126．0 7．π2 8．65π 9．5 10． 2211．8 12．±2 5 5 13．2 14．(1，12＋ln2)二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)证明：（1）因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC ． ············································································ 2分因为AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC ∥平面PDE ． ··································································· 4分（2）因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC ．又因为AC ＝2，所以DE ＝1，因为PD ＝2，PE ＝3，所以PD 2＝PE 2＋DE 2，因此在△PDE 中，PE ⊥DE ． ·························································· 8分又平面PDE ⊥平面ABC ，且平面PDE ∩平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE ，所以PE ⊥平面ABC ， ································································ 12分又因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC ． ························································· 14分16．(本小题满分14分)解：（1）因为a ＝b cos C ＋c sin B ，由a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ····································· 2分又因为sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即cos B sin C ＝sin C sin B ．·········································································· 4分因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B ．又0＜B ＜π，所以sin B ≠0，从而cos B ≠0，所以tan B ＝1，所以B ＝π4． ························································································· 6分（2）因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ，因为cos A ＝－725，所以cos2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925，因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45．在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210． ············································· 8分由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，所以AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝177×7210×2＝175． ················ 10分在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×(2425－725)＝17250． ·············· 12分由b sin B ＝c sin C ，所以b ＝c ·sin B sin C ＝175×2217250＝5． ·············································· 14分 17．(本小题满分14分)解：（1）连接CD ，因为BD 与圆C 相切，切点为D ，所以△BCD 为直角三角形．因为∠CBD ＝θ，且圆形小岛的半径为1千米，所以DB ＝1tan θ ，BC ＝1sin θ ．因为岸边上的点A 与小岛圆心C 相距3千米，所以AB ＝AC －BC ＝3－1sin θ． ····· 2分又因为BE 与圆C 相切，所以BE ＝DB ＝1tan θ ，优弧︵DE 所对圆心角为2π－(π－2θ) ＝π＋2θ，所以优弧︵DE 长l 为π＋2θ， ····························································· 4分所以f (θ)＝AB ＋BD ＋BE ＋l ＝3－1sin θ＋1tan θ＋1tan θ＋π＋2θ ＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ． ······························································ 6分因为0＜AB ＜2，所以0＜3－1sin θ＜2，解得13＜sin θ＜1，所以sin θ的取值范围为(13，1)． ································································ 8分（2）由f (θ)＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ，得f '(θ)＝－2+cos θsin 2θ＋2＝cos θ(1－2cos θ)sin 2θ． · 10分令f '(θ)＝0 ，解得cos θ＝12，因为θ为锐角，所以θ＝π3． ···························· 12分设sin θ0＝13，θ0为锐角，则0＜θ0＜π3．当θ∈(θ0，π3)时，f '(θ)＜0，则f (θ)在(θ0，π3)单调递减；当θ∈(π3，π2)时，f '(θ)＞0，则f (θ)在(π3，π2)单调递增，所以f (θ)在θ＝π3时取得最小值．答：当θ＝π3时，栈道总长度最短． ·························································· 14分18．(本小题满分16分)解：（1）记椭圆C 的焦距为2c ．因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12．因为椭圆C 过点 (0，3)，所以b ＝3．因为a 2－c 2＝b 2，解得c ＝1，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． ·································································· 2分（2）①因为点B 为椭圆C 的上顶点，所心B 点坐标为(0，3)．因为O 为△BMN 的垂心，所以BO ⊥MN ，即MN ⊥y 轴．由椭圆的对称性可知M ，N 两点关于y 轴对称． ·········································· 4分不妨设M (x 0，y 0)，则N (－x 0，y 0)，其中－3＜y 0＜3．又因为MO ⊥BN ，所以→MO ·→BN ＝0，即(－x 0，－y 0)·(－x 0，y 0－3)＝0，得x 20－y 20＋3y 0＝0． ············································································· 6分又点M (x 0，y 0)在椭圆上，则x 024＋y 023＝1．由⎩⎨⎧x 20－y 20＋3y 0＝0，x 024＋y 023＝1，解得y 0＝－473或y 0＝3(舍去)，此时|x 0|＝2733．故MN ＝2|x 0|＝4733，即线段MN 的长为4733． ··········································· 8分②方法1设B (m ，n )，记线段MN 中点为D ．因为O 为△BMN 的重心，所以→BO ＝2→OD ，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)． ······ 10分若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点O 到直线MN 的距离为|m2|，即为1．若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ．又x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0，可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ． ··································································· 12分故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2．将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9． ························································ 14分因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32．又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ································ 16分方法2设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，B (x 3，y 3)．因为O 为△BMN 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝0，则x 3＝－(x 1＋x 2)，y 3＝－(y 1＋y 2)． ·························································· 10分因为x 23 4＋y 23 3＝1，所以(x 1＋x 2)24＋(y 1＋y 2)23＝1．将x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，代入得x 1x 24＋y 1y 23＝－12． ·································· 12分若直线MN 的斜率不存在，则线段MN 的中点在x 轴上，从而B 点位于长轴的顶点处，由于OB ＝2，所以此时原点O 到直线MN 的距离为1．若直线MN 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝kx ＋n ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 24＋y 23＝1，消去y 得，(3＋4k 2)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0．(*)则△＝(8kn )2－4(3＋4k 2) (4n 2－12)＞0，即3＋4k 2＞n 2，由根与系数关系可得x 1＋x 2＝－8kn 3＋4k 2，x 1x 2＝4n 2－123＋4k 2，则y 1y 2＝(kx 1＋n )(kx 2＋n )＝k 2x 1x 2＋kn (x 1＋x 2)＋n 2＝3n 2－12k 23＋4k 2，代入x 1x 24＋y 1y 23＝－12，得14×4n 2－123＋4k 2＋13×3n 2－12k 23＋4k 2＝－12，即n 2＝k 2＋34． ······ 14分又3＋4k 2＞n 2，于是3＋4k 2＞k 2＋34，即3k 2＋94＞0恒成立，因此k ∈R ．原点(0，0)到直线MN 的距离为d ＝|n |k 2＋1＝k 2＋34k 2＋1＝1－14(k 2＋1) ．因为k 2≥0，所以当k ＝0时，d min ＝32，又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ································ 16分 19．(本小题满分16分)解：（1）因为h (x )＝f (x )x －g (x )＝x 2－x －(a －16)－a ln x ，所以h'(x )＝2x －1－a x ＝2x 2－x －a x，令h'(x )＝0，得2x 2－x －a ＝0．因为函数h'(x )在[52，4]上存在零点，即y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上存在零点，又函数y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×(52)2－52－a ≤0， 2×42－4－a ≥0．解得10≤a ≤28．因此，实数a 的取值范围为[10，28]． ······················································· 2分（2）方法1因为当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0处取得最大值，即存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，f (0)≥f (x )恒成立，即x 3－x 2－(a －16)x ≤0 对任意x ∈[0，b ]都成立． ········································· 4分当x ＝0时，上式恒成立； ········································································ 6分当x ∈(0，b ]时，存在a ∈[10，28] ，使得x 2－x ＋16≤a 成立， ······················· 8分所以x 2－x ＋16≤28，解得－3≤x ≤4，所以b ≤4．故当a ＝28，b 的最大值为4． ································································ 10分方法2由f (x )＝x 3－x 2－(a －16)x ，得f '(x )＝3x 2－2x －(a －16)．设△＝4＋12(a －16)＝4(3a －47)，若△≤0，则f '(x )≥0恒成立，f (x )在[0，b ]上单调递增，因此当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0时不能取得最大值，于是△＞0， ··········· 4分故f '(x )＝0有两个不同的实数根，记为x 1，x 2(x 1＜x 2)，若x 1＞0，则当x ∈(0，x 1)时，f '(x )＞0，f (x )在(0，x 1)上单调递增，因此当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0时不能取得最大值，所以x 1≤0． ························································································· 6分又x 1＋x 2＝23＞0，因此x 2＞0，从而当x ∈(0，x 2)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增，若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0处取得最大值，则存在实数a ，使得f (0)≥f (b )成立，即b 3－b 2－(a －16)b ≤0． ························ 8分所以存在a ∈[10，28]，使得b 2－b ＋16≤a 成立，所以b 2－b ＋16≤28，解得－3≤b ≤4．故当a ＝28，b 的最大值为4． ································································ 10分（3）设直线l 与曲线y ＝f (x )相切于点A (x 1 ，f (x 1))，与曲线y ＝g (x )相切于点B (x 2 ，g (x 2))．过A (x 1 ，f (x 1))点的切线方程为y －[x 13－x 12－(a －16)x 1]＝[3x 12－2x 1－(a －16)]( x －x 1)，即y ＝[3x 12－2x 1－(a －16)]x －2x 13＋x 12．过B (x 2 ，g (x 2))点的切线方程为y －a ln x 2＝a x 2( x －x 2)，即y ＝a x 2x ＋a ln x 2－a ．又因为直线l 在y 上的截距为－12，所以⎩⎨⎧3x 12－2x 1－(a －16)＝a x 2 ①，－2x 13＋x 12＝－12 ②，a ln x 2－a ＝－12 ③，························································· 12分由②解得x 1＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧24－a ＝a x 2， a ln x 2－a ＝－12，消去a ，得ln x 2＋ 1－x 2 2x 2＝0． ·············· 14分则（1）知10≤a ≤28，且x 2＞0，则x 2≥57．令p (x )＝ln x ＋ 1－x 2x ，x ∈[57，＋∞)，则p' (x )＝1 x －1 2x 2＝2x －1 2x 2，因为p' (x )＞0，所以函数p (x )在[57，＋∞)上为增函数．又因为p (1)＝0，且函数p (x )的图像是不间断的，所以函数p (x )在[57，＋∞)有唯一零点1，所以方程ln x 2＋ 1－x 2 2x 2＝0的解为x 2＝1，所以a ＝12，所以实数a 的值为12． ········································································· 16分20．(本小题满分16分)解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝5S 2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，所以a 1q 2(1＋q )＝4 a 1(1＋q )．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以a 1，q 均为正数，所以q 2＝4，解得q ＝2．又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而a 3＝4，所以T 3＝S 4＝1＋2＋22＋23＝15． ···························································· 2分（2）设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ∈Z ．若d ＜0，令a n ＞0，得n ＜1－a 1d，这与{a n }为无穷数列相矛盾，因此d ≥0，即d ∈N ． ··········································································· 4分因为S n ＝na 1＋n (n －1)d 2，所以T n ＝a 1a n ＋a n (a n －1)d 2，因此T n a n ＝a 1＋(a n －1)d 2．由T n a n ＜2，得a 1＋(a n －1)d 2＜2． ································································ 6分因为a 1∈N *，d ∈N ，所以2＞a 1＋(a n －1)d 2≥a 1≥1，因此a 1＝1．于是1＋(n －1)d 22＜2，即(n －1)d 2＜2． ①若d ＝0时，则存在无穷多个n (n ≥2)使得上述不等式成立，所以d ＝0不合题意； ········································································· 8分②若d ∈N *时，则n ＜1＋2d 2．因为存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得该不等式成立，所以2＜1＋2d 2≤3，即1≤d 2＜2．又d ∈N *，所以d ＝1，因此a n ＝1＋(n －1)×1＝n ． ······························· 10分（3）因为S n ＋1－S n ＝a n ＋1＞0，所以S n ＋1＞S n ，即数列{S n }单调递增．又T n ＋1－T n ＝(n ＋1)(n ＋2)2－n (n ＋1)2＝n ＋1＞0，所以T n ＋1＞T n ，即S a n ＋1＞S a n ，因为数列{S n }单调递增，所以a n ＋1＞a n ． ················································· 12分又a n ∈N *，所以a n ＋1≥a n ＋1，即a n ＋1－a n ≥1，所以a n ＋1－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )≥n ，因此a n ＋1≥a 1＋n ≥1＋n ，即a n ≥n （n ≥2），又a 1≥1，所以a n ≥n ． ① ····································· 14分由T n ＋1－T n ＝n ＋1，得a a n ＋1＋a a n ＋2＋…＋a a n ＋1＝n ＋1，因此n ＋1≥a a n ＋1≥a n ＋1，即a n ≤n ． ②由①②知a n ＝n ，因此a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }为等差数列． ································································· 16分南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案和评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．题．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 1，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，N= M －1． ············································· 2分因为|M |＝1×1－2×2＝－3， ·································································· 4分所以N= M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 －2 －3 －2 －3 －13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2 3 2 3 －13． ············································ 6分（2）N 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ + 13－2 3－2 3λ + 13＝(λ＋13)2－(－23)2＝( λ－13)(λ＋1)． ·· 8分令f (λ)＝0，解得λ＝13或－1，所以N 的特征值是13和1． ········································································ 10分 B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线C 的普通方程为y ＝12(x 2)2＝18x 2． ······················································· 2分由直线l 极坐标方程ρcos(θ－π4)＝2，得ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2，即22x ＋22y ＝2，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋2． ···································· 4分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x 2，y ＝－x ＋2，消去y ，得x 2＋8x －16＝0， ····································································· 6分则x 1＋x 2＝－8，x 1x 2＝－16，所以AB ＝1＋(－1)2|x 1－x 2| ＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×(－8)2－4×(－16) ＝16． ···················································································· 10分C ．选修4—5：不等式选讲证明：方法1因为a ＞0，所以a ＋1a≥2，。

2020年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷

2020年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）1．（5分）已知集合{|21A x x k ==+，)k Z ∈，{|(5)0)B x x x =-„，则A B =I ． 2．（5分）已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为．3．（5分）如图是一个算法流程图，若输出的实数，y 的值为1-，则输入的实数x 的值为．4．（5分）某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐“项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐“测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有个．5．（5分）从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为． 6．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当(0x ∈，1]时，()3a f x x =+，则f （a ）的值为．7．（5分）若将函数()sin(2)3f x x π=+的图象沿x 轴向右平移(0)ϕϕ…个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为．8．（5分）在ABC ∆中，AB =AC =，90BAC ∠=︒，则ABC ∆绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为．9．（5分）已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足1{a ，2a ，31}{a b =，2b ，3){b a =，b ，2}-，其中0a >，0b >，则a b +的值为．10．（5分）已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0,1)-，则PFPA的最小值为． 11．（5分）已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为12．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆222:()(0)C x m y r m -+=>．已知过原点O 且相互垂直的两条直线1l 和2l ，其中1l 与圆C 相交于A ，B 两点，2l 与圆C 相切于点D ．若AB OD =，则直线1l 斜率为．13．（5分）在ABC ∆中，BC 为定长，|2|3||AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r ，若ABC ∆的面积的最大值为2，则边BC 的长为．14．（5分）函数()(x f x e x b e =--为自然对数的底数，)b R ∈，若函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内.15．（14分）如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．（1）求证：//AC 平面PDE ；（2）若2PD AC ==，PE ，求证：平面PBC ⊥平面ABC ．16．（14分）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos sina b C c B=+．（1）求B的值．（2）设BAC∠的平分线AD与边BC交于点D，已知177AD=，7cos25A=-，求b的值．17．（14分）如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A与小岛圆心C相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A向小岛建三段栈道AB，BD，BE，湖面上的点B在线段AC上，且BD，BE均与圆C相切，切点分别为D，E，其中栈道AB，BD，BE和小岛在同一个平面上．沿圆C的优弧（圆C上实线部分）上再修建栈道¶DE．记CBD∠为θ．（1）用θ表示栈道的总长度()fθ，并确定sinθ的取值范围；（2）求当θ为何值时，栈道总长度最短．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12且过点3)．（1）求椭圆C的方程；（2）已知BMN ∆是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为BMN ∆的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为BMN ∆的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．19．（16分）已知函数32()(16)f x x x a x =---，()g x alnx =，a R ∈．函数()()()f x h x g x x=-的导函数()h x '在5[,4]2存在零点．（1）求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ，当[0x ∈，]b 时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值；（3）若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值．20．（16分）已知无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，记n T 为数列{}n a 的前n a 项和，即12n n a T a a a =++⋯+．（1）若数列{}n a 为等比数列，且11a =，425S S =，求3T 的值；（2）若数列{}n a 为等差数列，且存在唯一的正整数(2)n n …，使得2nnT a <求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列()n T 的通项为(1)2n n n T +=，求证：数列{}n a 为等差数列．【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-24矩阵与变换] 21．已知矩阵1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1001MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．（1）求矩阵N ；（2）求矩阵N 的特征值．[选修4-41坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos()4πρθ-=．若直线1交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长． [选终4-5：不等式选讲] 23．已知0a >12a a+-．【必做题】第22题，第23题，每题10分，共20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次，若掷得点数不大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与*(2,)m m m N ∈…个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）．（1）若4m =，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值． 25．已知集合{1n A =，2，}n ⋯，*n N ∈，2n …，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组1(M ，2M ，⋯，)m M ，其中2n m =．记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m „，规定空集中元素的个数为0．（1）当2n =时，求12m a a a ++⋯+的值；（2）利用数学归纳法证明：不论(2)n n …为何值，总存在有序集合组1(M ，2M ，⋯，)m M ，满足任意*i N ∈，1i m -„，都有1||1i i a a +-=．2020年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）1．（5分）已知集合{|21A x x k ==+，)k Z ∈，{|(5)0)B x x x =-„，则A B =I {1，3，5} ．【解答】解：{|21A x x k ==+Q ，}k Z ∈，{|05}B x x =剟， {1A B ∴=I ，3，5}．故答案为：{1，3，5}．2．（5分）已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为 5 ．【解答】解：因为复数12z i =+，所以：22(12)34z i i =+=-+；2z ∴的模为：22(3)45-+=；故答案为：5．3．（5分）如图是一个算法流程图，若输出的实数，y 的值为1-，则输入的实数x 的值为14- ．【解答】解：由题意可知程序框图表达为分段函数2(21),02,0x log x x y x +⎧=⎨>⎩„，因为2x y =恒大于零，所以2log (21)1x +=-，解得14x =-，若输出的实数y 的值为1-，则输入的实数x 的值为14-，故答案为：14-．4．（5分）某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐“项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐“测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有 325 个．【解答】解：由频率分布直方图得：(0.0150.0350.01)101x x ++++⨯=，解得0.02x =，一分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生的频率为：1(0.0150.02)100.65-+⨯=，1∴分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有：5000.65325⨯=个．故答案为：325．5．（5分）从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为12．【解答】解：从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,4)，(3,3)，(4,4)，共8种，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为81162p ==．故答案为：12． 6．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当(0x ∈，1]时，()3a f x x =+，则f （a ）的值为 0 ．【解答】解：由()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2可得(1)f f -=-（1）(12)f f =-+=（1），所以f （1）0=，因为(0x ∈，1]时，()3af x x =+，所以f （1）1103a =+=，所以3a =-，f （a ）(3)(1)0f f =-=-=．故答案为：07．（5分）若将函数()sin(2)3f x x π=+的图象沿x 轴向右平移(0)ϕϕ…个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为2π．【解答】解：函数()sin(2)3f x x π=+的图象沿x 轴向右平移(0)ϕϕ>个单位后所得到()sin(22)3g x x πϕ=-+的图象关于x 轴对称，即2(21)()k k Z ϕπ-=+∈，整理得(21)()2k k Z πϕ-+=∈，当1k =-时，2πϕ=．故答案为：2π．8．（5分）在ABC ∆中，AB =AC =，90BAC ∠=︒，则ABC ∆绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为．【解答】解：如图所示，ABC ∆中，AB =AC 90BAC ∠=︒，则ABC ∆绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体是两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中若母线长为AB =AC =，又5BC ==，2515AC OC BC ===，所以底面圆的半径为2R ==；该组合体的表面积为()2(255)65S R AB BC πππ=+=⨯⨯+=．故答案为：65π．9．（5分）已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足1{a ，2a ，31}{a b =，2b ，3){b a =，b ，2}-，其中0a >，0b >，则a b +的值为 5 ．【解答】解：设数列{}n a 为首项为m ，公差为d 的等差数列，数列{}n b 为首项为n ，公比为q 的等比数列，由1{a ，2a ，31}{a b =，2b ，3){b a =，b ，2}-，其中0a >，0b >，可得{m ，m d +，2}{m d n +=，nq ，2}{nq a =，b ，2}-，即有2nq =-，0n >，0q <，0d ≠，且2(1)0n q q ++>，23()20m m d m d m d a b ++++=+=+->，则0m d +>，若2m =-，则2422d n d n -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩或4222d n d n⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得31d n =⎧⎨=⎩或34d n =⎧⎨=⎩，即有45a b n n+=+=；若22m d +=-，则4m n m d n =⎧⎪⎨+=⎪⎩或4m n m d n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得34d n =-⎧⎨=⎩或31d n =-⎧⎨=⎩，即有45a b n n +=+=．综上可得5a b +=，故答案为：5．10．（5分）已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0,1)-，则PFPA 的最小值为 2．【解答】解：由题意可得，抛物线24x y =的焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-．过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得||||PF PM =，则sin PF PMPAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角．故当PAM ∠最小时，PFPA最小，故当PA 和抛物线相切时，PFPA最小．设切点(2P a ，)a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为1222a a a ==g ，求得1a =，可得(2,1)P ，||2PM ∴=，||22PA =， 2sin PM PAM PA ∴∠==．故答案为：2．11．（5分）已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为 8 【解答】解：因为x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，所以4142yx y -=+，所以则4144(2)494949626(2)82222y y x y y y y y y y y y --+++=+=+=-+++-++++++g …，当且仅当4922y y +=+即5y =，3x =时取等号，此时x y +取得最小值8．故答案为：812．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆222:()(0)C x m y r m -+=>．已知过原点O 且相互垂直的两条直线1l 和2l ，其中1l 与圆C 相交于A ，B 两点，2l 与圆C 相切于点D ．若AB OD =，则直线1l 斜率为 255±．【解答】解：作CE AB ⊥于点E ，则2222222222221115()4444r m CE BC BE BC AB BC OD r m r -=-=-=-=--=．由OECD 是矩形，知22CE OD =，所以222254r m m r -=-，化简得，5r m =，即5cos CD r OCD OC m ∠===， 2125tan tan 1COB OCD cos OCD ∠=∠=-=∠，所以直线1l 的斜率为25±．故答案为：25±．13．（5分）在ABC ∆中，BC 为定长，|2|3||AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r，若ABC ∆的面积的最大值为2，则边BC 的长为 2 ．【解答】解：取BC 边上靠近C 的三等分点D ，则2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又|2|3||AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r ，∴12||||33AB AC BC +=u u ur u u u r u u u r ，即||||AD BC =u u u r u u u r ， ∴2111||||||||222ABC S BC h BC AD BC ∆==u u u r u u ur u u u r u u u r g g g g …，其中h 为BC 边上的高，依题意，21||22BC =u u ur ，即||2BC =u u u r ．故答案为：2．14．（5分）函数()(x f x e x b e =--为自然对数的底数，)b R ∈，若函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为 1(1,2)2ln + ．【解答】解：令1()2f x t -=，则()0g x =即()0f t =，由()x f x e x b =--得()1x f x e '=-，则()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增，故()(0)1min f x f b ==-，①当10b ->，即1b <时，()0f t =无解；②当10b -=，即1b =时，()0f t =有唯一解0，则1()02f x -=，此时1()2f x =只有两解，不合题意；③当10b -<，即1b >时，如图，()0f t =有两解，设为1t ，2t ，其中10t <，20t >，则11()2f x t -=或21()2f x t -=共有4个根，即11()2f x t =+或21()2f x t =+共有4个根，而21()2f x t =+有两个根，则11()2f x t =+也有两个根，故1112t b +>-，即112t b +>，又110t e t b --=，故1112t e t b =+>，则1102ln t <<，又函数x y e x =-在1(,0)2ln 单调递减，故111(1,2)2t b e t ln =-∈+．故答案为：1(1,2)2ln +．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内.15．（14分）如图，三棱锥P ABC-中，点D，E分别为AB，BC的中点，且平面PDE⊥平面ABC．（1）求证：//AC平面PDE；（2）若2PD AC==，3PE=，求证：平面PBC⊥平面ABC．【解答】证明：（1）Q点D，E分别为AB，BC的中点，//AC DE∴，又AC⊂/平面PDE，DE⊂平面PDE．//AC∴平面PDE；（2）2PD AC==Q，3PE，112DE AC==．222DE PE PD∴+=，PE DE∴⊥，Q平面PDE⊥平面ABC．平面PDE⋂平面ABC DE=．PE∴⊥平面ABC，PE⊂平面ABC，∴平面PBC⊥平面ABC．16．（14分）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos sina b C c B=+．（1）求B 的值．（2）设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =，7cos 25A =-，求b 的值．【解答】解：（1）因为cos sin a b C c B =+．由正弦定理可得，sin sin cos sin sin A B C C B -=，所以sin()sin cos sin sin B C B C C B +-=，所以sin cos sin sin C B C B =，因为sin 0C >，所以sin cos B B =，即tan 1B =，所以4B π=；（2）因为AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则2(0,)A x π=∈，所以1(0,)2x π∈，所以27cos cos22cos 125A x x ==-=-，所以3cos 5x =，4sin 5x =，24sin 25A =，又因为4B π=，则3724sin sin()()42525C A π=-=-=43sin sin()sin()()425510ADC B x x π∠=+=+=⨯=， ADC ∆17=，所以5b =．17．（14分）如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道¶DE ．记CBD ∠为θ．（1）用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围；（2）求当θ为何值时，栈道总长度最短．【解答】解：（1）连接CE ，CD ，由切线长定理：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==， CBE CBD θ∠=∠=，2DCE πθ∠=-，则劣弧¶DE的长为2πθ-，优弧¶DE 的长度为2πθ+，又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-…，得1sin 3θ…，所以121()32,sin [,1)sin tan 3f θπθθθθ=-+++∈；（2）由121()32,sin [,1)sin tan 3f θπθθθθ=-+++∈，设1sin 3θ'=，则[θθ'∈，]2π，2cos (2cos 1)()f sin θθθθ--'=，()0f θ'=时，3πθ=，故当10cos 2θ<„，即(3πθ∈，)2π时，()0f θ'>，函数递增；当1cos 2θ>，即(,)3πθθ'∈时，()0f θ'<，函数递减，故5()()333min f f ππθ==+，故3πθ=时，栈道总长度最短．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222 :1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12且过点(0,3)．（1）求椭圆C的方程；（2）已知BMN∆是椭圆C的内接三角形，①若点B为椭圆C的上顶点，原点O为BMN∆的垂心，求线段MN的长；②若原点O为BMN∆的重心，求原点O到直线MN距离的最小值．【解答】解：（1）由题意可知：222312bcaa b c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得231abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C的方程为：22143x y+=；（2）①由题意知：BO MN⊥，故//MN x轴，设(,)M x y，则(,)N x y-，22443x y=-，∴(BM ON x=u u u u r u u u rg，3)(y x-g，2227)33403y x y y y y=-+=-=，解得：3y=或43又Q 点B 与点M不重合，y ∴≠，y ∴=，∴213249x =，||2||MN x ∴==； ②设MN 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点， Q 原点O 为BMN ∆的重心，||2||||BO OD OA ∴==，()i 当直线MN 的斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，()ii 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， Q 原点O 为BMN ∆的重心，12()B x x x ∴=-+，12()B y y y =-+，又Q 点A 与点B 关于原点对称，12(A x x ∴+，12)y y +， ∴22222211221212()()1434343x y x y x x y y +++=+=+=， 1212346x x y y ∴+=-，121234()()6x x kx m kx m ∴+++=-，∴221212(43)4()460(*)k x x km x x m +++++=，联立方程22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222(43)84120k x mkx m +++-=，∴△222222644(43)(412)48(43)0m k k m k m =-+-=+->，即2243m k <+，且122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入(*)式得：22223286043m k m k --=+，22443m k ∴=+，设原点O 到直线MN 距离为d，则d ===∴当0k =时，d，综上所求，原点O 到直线MN． 19．（16分）已知函数32()(16)f x x x a x =---，()g x alnx =，a R ∈．函数()()()f x h x g x x=-的导函数()h x '在5[,4]2存在零点．（1）求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ，当[0x ∈，]b 时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值；（3）若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值．【解答】解：（1）已知函数32()(16)f x x x a x =---，()g x alnx =，a R ∈，则2()16h x x x alnx a =---+，则22()21a x x a h x x x x--'=--=，即方程220x x a --=在5[,4]2有实数解，由22[10a x x =-∈，28]，故[10a ∈，28]；（2）由32()(16)f x x x a x =---，2()3216f x x x a '=--+，△412(16)a =--+， ①当△0„时，即[10a ∈，47]3时，()0f x '…，()f x 递增，故不符合题意；②当△0>时，即47(,28]3a ∈时，()0f x '=有两个解，12x x = ()i 当47(,16)3a ∈时，当1(0,)x x ∈时，函数递增，显然(0)f 不会是最大值，故不符合题意，()ii 当[16a ∈，28]时，由于120x x <„，故()f x 在2(0,)x 递减，在2(x ，)+∞递增，若2(0,)b x ∈，则()f x 在[0，]b 递减，()f x 在0x =出有最大值，若2(b x ∈，)+∞，则()f x 在2(0,)x 递减，在2(x ，)b 递增，要使(0)f 最大，则(0)f f …（b ），即22(16)0b b a b ---„，即216b b a --„，[16a ∈，28]，故212b b -„，即(0b ∈，4]，综上，b 最大值为4；（3）设直线l 与()y f x =的切点为321111(,(16))x x x a x ---，2()32(16)f x x x a '=---，所以切线斜率21132(16)k x x a =---，切线方程为232111111[32(16)]()(16)y x x a x x x x a x =----+---，即2321111[32(16)]2y x x a x x x =----+，根据题意得，3211212x x -+=-，化简得2111(2)(236)0x x x -++=，得12x =，故切线方程为(24)12y a x =--，设直线l 与()y g x =的切点为(,)m alnm ，由()a g x x'=，故切线方程为()ay x m alnm m =-+，即ay x alnm a m=+-，故1212aam alnm a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，消去a ，得11022lnm m +-=，由24,[10,28]aa a m=-∈得57m …，设11()22h x lnx x =+-，57x …，221()02x h x x -'=>，()h x 递增，且h （1）0=，故1m =，代入的12a =．20．（16分）已知无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，记n T 为数列{}n a 的前n a 项和，即12n n a T a a a =++⋯+．（1）若数列{}n a 为等比数列，且11a =，425S S =，求3T 的值；（2）若数列{}n a 为等差数列，且存在唯一的正整数(2)n n …，使得2nnT a <求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列()n T 的通项为(1)2n n n T +=，求证：数列{}n a 为等差数列．【解答】解：（1）若数列{}n a 为等比数列，且11a =，425S S =，当公比1q =，即11n a a ==，44S =，2510S =，显然不成立，故1q ≠；由425S S =，可得4211511q q q q--=--g ，即215q +=，由各项均为正整数，可得0q >，解得2q =，则12n n a -=，所以431234121512T a a a a -=+++==-；（2）设{}n a 的公差为d ，首项为1a ，若0d <，则当11a n d>-+时，1(1)0n a a n d =+-<，与{}n a 的各项均为正整数矛盾，所以0d …，且1*a N ∈，d N ∈，若0d =，则1n a a =，所以121n n a a T S S a ===，所以2111n n T a a a a ==，若11a =，对2(*)n n N ∈…，2nnT a <恒成立，不符题意，故1(1)n a a n d =+-，1*a N ∈，*d N ∈；（3）证明：由1(1)(2)(1)1022n n n n n n T T n ++++-=-=+>，所以1n n a a S S +>，又因为{}n a 的各项均为正整数，所以1n n a a +>，即11n n a a ++…，若211n n n n a a a a +++-<-，即2111n n n n a a a a +++---„，即有111n n n n a a a a +----„，⋯，32211a a a a ---„，所以2121(1)n n a a a a n ++----„，当211n a a -+…时，210n n a a ++-„与211n n a a +++…矛盾， 211n n n n a a a a +++∴--…，由111121n n n n n n n a a a a a T T S S a a a n +++++-=-=++⋯+=+，可得112122n n n a a a a a a n +++++++⋯+=+，两式相减可得11211121211()()1n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++++⋯+-++⋯+=-…， 111211n n n n a a a a a a a a +++++∴-=-„，1212n n n a a a +∴+++剟，即11n n a a +=+，可得数列{}n a 为公差为1的等差数列．【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-24矩阵与变换] 21．已知矩阵1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1001MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．（1）求矩阵N ；（2）求矩阵N 的特征值．【解答】解：（1）设a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，22102201a c b d MN a c b d ++⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦．可得：21a c +=，20b d +=，20a c +=，21b d +=，解得：13a =-，23b =，23c =，13d =-．12332133N ⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．（2）设矩阵N 的特征多项式为214()()39f λλ=+-，令()0f λ=，解得113λ=，21λ=-．∴矩阵N 的特征值为：113λ=，21λ=-． [选修4-41坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos()4πρθ-=．若直线1交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解答】解：曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数），消去参数化为：28x y =．，直线l极坐标方程为cos()4πρθ-=．化为普通方程：2x y +=．代入抛物线方程可得：28160x x +-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．则128x x +=-，1216x x =-，||16AB ∴．[选终4-5：不等式选讲] 23．已知0a >12a a+-．【解答】12a a+-，12a a++… 0a >Q ，∴只要证明2212)(a a+…，只要证明1)a a+，只要证明2212a a +…，显然成立，∴12a a+-．【必做题】第22题，第23题，每题10分，共20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次，若掷得点数不大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与*(2,)m m m N ∈…个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）．（1）若4m =，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值．【解答】解：（1）设顾客参加一次抽奖活动获得三等奖为事件A ，则顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数不大于4，然后抽得三等奖的概率为24262264331515C C ⨯=⨯=，所以P （A ）1433155=+=；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，2221212(1)(100)3333(2)(1)m m C m m P X C m m +-==+⨯=+++，1122228(300)33(2)(1)m m C C mP X C m m +==⨯=++，222224(400)33(2)(1)m C P X C m m +==⨯=++，∴随机变量X 的的数学期望12(1)84()100[]30040033(2)(1)3(2)(1)3(2)(1)m m m E X m m m m m m -=⨯++⨯+⨯++++++，化简得：210020022001600()33(2)(1)m m E X m m ++=+++，依题意可知，()150E X „，即21002002200160015033(2)(1)m m m m +++++„，化简得：2323180m m --…，又*m N ∈Q ，9m ∴…，m ∴的最小值为9．25．已知集合{1n A =，2，}n ⋯，*n N ∈，2n …，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组1(M ，2M ，⋯，)m M ，其中2n m =．记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m „，规定空集中元素的个数为0．（1）当2n =时，求12m a a a ++⋯+的值；（2）利用数学归纳法证明：不论(2)n n …为何值，总存在有序集合组1(M ，2M ，⋯，)m M ，满足任意*i N ∈，1i m -„，都有1||1i i a a +-=．【解答】解：（1）当2n =时，集合n A 共有224=个子集，故124m a a a ++⋯⋯+=；（2）证明：①当2n =时，224m ==，由（1）可知，12344a a a a +++=，此时令11a =，22a =，31a =，40a =，满足对任意3()i i N ∈g „，都有1||1i i a a +-=，且40a =； ②假设当(2,)n k k k N =∈g …时，存在有序集合组1(M ，2M ，⋯，)m M 满足题意，且20k a =，则当1n k =+时，集合n A 的子集个数为1222k k +=g 个，因为22k g 是4的整数倍，所以212223241,2,1,0k k k k a a a a ++++====，且224(124)k k k j j a a j +++=-剟恒成立，即满足对任意121k i +-„，都有1||1i i a a +-=，且120k a +=．由①②可知，原命题成立．。