江苏省盐城市第一中学2020届高考数学6月第二次调研试题(含答案)
江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第二次调研考试
数学试题 2020．6
第I 卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题纸相应的位置上．） 1．已知集合()(){}
120A x x x =+-<，集合B Z =，则A B =I ______. 2．若i 是虚数单位，复数()()12z a i i =++是纯虚数，则实数a 的值为________.
3．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________.
4．若{1,0,1,2}a ∈-，则方程220x x a ++=有实根的概率为________. 5．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．
6．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线的倾斜角为45o ，且过点()3,1，则双
曲线的焦距等于________.
7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为(
)2
*
2,,n S pn n q p q R n N
=-+∈∈.若1
a 与5
a 的等差中
项为8，则p q +=______.
8．如果命题0p x ?>：，
4
957x m x
+≥+为真命题，则实数m 的取值范围是__________． 9．函数()2sin f x x ax =-在0,
2π??
????
上的单调递减，则实数a 的取值范围为______. 10．边长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B ，D 分别为AC ，CE 的中点，
N 为GD 与CF 的交点，则AN EG ?=u u u r u u u r
______．
11．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________.
12．定义符号函数()()()()1,00,01,0x g x x x ?>?==??-
，若函数()()x
f x
g x e =?，则满足不等
式()
()2
33f a a f a +<+的实数a 的取值范围是__________．
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，()2
21:44O x y -+=，动点P 在直
线30x b +-=上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为,A B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．
14．已知函数222211()(cos )sin cos (sin )22
f ααααα=+++-{}()a R f m α∈≥≠?，则实数m 的取值范围为___________.
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ． （1）求证：CD ⊥平面PAC ； （2）求证：//AB EF ．
16．（本小题满分14分）
ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos b C a C =cos c A +，
23
B π
=
，3c =. （1）求角C ；
（2）若点E 满足2AE EC =u u u v u u u v
，求BE 的长.
17．（本小题满分14分）
已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率3
3
e =，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于
A ，
B 两点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线l 过椭圆的右焦点F ，且2AF FB =，求直线l 方程．
18．（本小题满分16分）
如图所示，某区有一块空地OAB ?，其中4OA km =，43OB km =，AOB 90∠=o .当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ?，其中
,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=o ，挖出的泥土堆放在OAM ?地带上形成
假山，剩下的OBN ?地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN ?的周围安装防护网.
（1）当2AM km =时，求防护网的总长度；
（2）若要求挖人工湖用地OMN ?的面积是堆假山用地OAM ?的面积的3倍，试确定AOM ∠的大小；
（3）为节省投入资金，人工湖OMN ?的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN ?的面积最小？最小面积是多少？
19．（本小题满分16分）
设函数()()(
)12x
x
f x x e a e e
=-+-，
(1)当0a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间；
（3）若不等式()0f x >对()2,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值.
20．（本小题满分16分）
对于*
,n N ?∈若数列{}n x 满足11,n n x x +->则称这个数列为“K 数列”.
（1）已知数列1, 2
1,m m +是“K 数列”,求实数m 的取值范围;
（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”,且其前n 项和n S 使得2
12
n S n n <-恒成立?若存在,求出{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由;
（3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”,数列12n a ??????
不是“K 数列”,若
1
,1
n n a b n +=
+试判断数列{}n b 是否为“K 数列”,并说明理由.
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考试
数学试题 2020．6
第II 卷（附加题，共40分）
21．【选做题】本题共2小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A ．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵1002A -??=?
??? ，1206B ??
=??
??
，求矩阵1A B -.
B ．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆:22C ρθ=和直线:()4
l π
θρ=∈R 相交于,A B 两点，求
线段AB 的长.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
设2012()n r n r n q x a a x a x a x a x +=+++?++?+,其中*
,q R n N ∈∈.
（1）当1q =时,化简:
01
n
r
r a r =+∑; （2）当q n =时,记()010
,2
n
n n r r n a a A B a =+=
=∑,试比较n A 与n B 的大小.
23.（本小题满分10分）
一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了(6)n n ≥份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中(3)n -份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这(3)n -份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.
（1）若6n =，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率； （2）若8n ≥，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为X ， ①求X 的概率分布； ②求()E X .
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数学试题参考答案
第I 卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题纸相应的位置上．） 1．已知集合()(){}
120A x x x =+-<，集合B Z =，则A B =I ______. 【答案】{}0,1
【解析】因为()(){}120A x x x =+-<{
}
12x x =-<<,B Z =,所以{}0,1A B =I , 2．若i 是虚数单位，复数()()12z a i i =++是纯虚数，则实数a 的值为________. 【答案】2
【解析】复数()()12z a i i =++222a i ai i =+++()()221a a i =-++
因为z 为纯虚数，所以20a -=,210a +≠ ，所以2a =.
3．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________. 【答案】38
【解析】5Q 位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80，
78858269580a ∴++++=?，解得：86a =，
2222221
[(7880)(8580)(8680)(8280)(6980)]385
s ∴=-+-+-+-+-=，则他们成绩的
方差等于38.
4．若{1,0,1,2}a ∈-，则方程220x x a ++=有实根的概率为________. 【答案】
34
【解析】Q 方程220x x a ++=有实根， 2240a ∴?=-≥，解得1a ≤1,0,1a ∴=-时满足要求，
则方程220x x a ++=有实根的概率为
34
. 5．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______． 【答案】10
【解析】第一步：1i =，011S =+=； 第一步：2i =，123S =+=； 第一步：3i =，336S =+=；
第一步：4i =，6410S =+=；故输出的结果为10．
6．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线的倾斜角为45o ，且过点()3,1，则双
曲线的焦距等于________. 【答案】8
【解析】双曲线的渐近线方程为b y x a =±
，由题意可得1b
a
=，b a ∴=，所以，双曲线的标准方程为22
221x y a a
-=，将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程得22911a a -=，得
22a b ==，
因此，双曲线的焦距为222248a b +=?=.
7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为(
)2
*
2,,n S pn n q p q R n N
=-+∈∈.若1
a 与5
a 的等差中
项为8，则p q +=______. 【答案】2
【解析】由等差数列{}n a 的前n 项和为(
)2
*
2,,n S pn n q p q R n N
=-+∈∈，
由等差数列的性质可得0q =，又1a 与5a 的等差中项为8，即1516a a +=， 即155()5
402
a a S +?=
=，即251040p -=，即2p =，即202p q +=+=，
8．如果命题0p x ?>：，4
957x m x
+≥+为真命题，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】{|1}m m ≤
【解析】命题p 为真命题，即当0x >时，不等式
4
957x m x
+≥+恒成立， 又当0x >时，44
92912x x x x
+≥?=，当且仅当49x x =，即23x =时，49x x +取得最小值
12，
故5712m +≤，解得 1.m ≤ 9．函数()2sin f x x ax =-在0,2π??
????
上的单调递减，则实数a 的取值范围为______. 【答案】[2,)+∞
【解析】因为()2sin f x x ax =-，0,2x π??∈????
，所以()2cos f x x a '=-， 因为函数()2sin f x x ax =-在0,
2π??
????
上的单调递减， 所以()2cos 0f x x a '=-≤在0,
2π??
????上恒成立，即2cos a x ≥在0,2x π??∈????
上恒成立，
因为()2cos g x x =在0,
2x π??
∈????
上单调递减，所以()()max 02cos02g x g ===所以
2a ≥，即[)2,a ∈+∞
10．边长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B ，D 分别为AC ，CE 的中点，
N 为GD 与CF 的交点，则AN EG ?=u u u r u u u r
______．
【答案】72
-
【解析】由已知得1222
AN AB CN AB AH =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
3EG DE DG AB CH AB AH AC AB AH =-+=-+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，所以
22
1112(3)6||||222AN EG AB AH AB AH AB AB AH AH ???=+?-+=-+?+ ???
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ．因为等边
三角形的边长为2，所以2
21117611222222
AN EG ?=-?+???+?=-u u u r u u u r ．
11．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________. 【答案】
3
83
r π 【解析】设圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面图中，SC h =，OC OD r ==，BC R =， 根据圆锥与球相切可知，D 、C 均为球O 与外切圆锥的切点，则2
SCB SDO π
∠=∠=
又OSD BSC ∠=∠，SOD SBC ∴~V V ， BC SC OD SD
∴=，即22()R r h r r =--， 222()2R h r r h hr ∴==---， ∴圆锥体积为22
21()33(2)
r h V h R h h r ππ==-，
22
(4)
()3(2)
r h h r V h h r π-'∴=
-，令()0V h '=可得4h r =，则
04h r <<时，()0V h '<；4h r >时，()0V h '>， ()V h ∴在(0,4)r 单调递减，在(4,)
r +∞单调递增，
则3
min 8
()(4)3
V h V r r π==.
12．定义符号函数()()()()1,00,01,0x g x x x ?>?==??-
，若函数()()x
f x
g x e =?，则满足不等式
()
()233f a a f a +<+的实数a 的取值范围是__________．
【答案】()3,1-
【解析】由函数()()
()()1,00,01,0x g x x x ?>?
==??-
(),00,0,0x x e x f x x e x -?>?==??-
， 根据指数的性质可得函数()f x 在R 上是增函数，
又由()
()2
33f a a f a +<+，则233a a a +<+，解得31a -<<．
点睛：本题考查了函数的单调性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的函数的单调性，转化为不等式233a a a +<+是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，即可求解．
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，()2
21:44O x y -+=，动点P 在直线30x b +-=上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为,A B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________． 【答案】20
(,4)3
-
. 【解析】由题意O (0,0),O 1(4,0).设P (x ,y )，则∵PB =2P A ，()
2
2224421x y x y -+-=+-
∴(x ?4)2
+y 2
=4(x 2
+y 2
)，∴x 2
+y 2
+
81633x -=0，圆心坐标为4,03??- ???
,半径为83， ∵动点P 在直线x 3?b =0上，满足PB =2P A 的点P 有且只有两个，∴直线与圆x 2+y 2+
816
33
x -=0相交， ∴圆心到直线的距离
4
833
13b d --=<+，∴416416
3333
b --<<-+，即实数b 的取值范围是
20,43??- ???
. 14．已知函数222211()2(cos )sin cos (sin )22
f ααααα=++-+-，若集合
{}()a R f m α∈≥≠?，则实数m 的取值范围为___________.
【答案】172
m ≤
【解析】()
2
22212(cos )sin 54cos cos 2sin 2
ααααα++=+=
++，
设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2
S ?? ??
?
则()
2
2221
()cos 2sin cos (sin )2
f PQ PB =
++-+-=-ααααα，如图，
PQ PB QB -≤，当且仅当,,P Q B 三点共线且B 在,P Q 之间时等号成立，
又11744QB =
+
=
，故()f α的最大值为17
. 因为集合{}
()a R f m α∈≥≠?，故()max
17
m f α≤=，故17m ≤
. 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ． （1）求证：CD ⊥平面PAC ； （2）求证：//AB EF ．
【解析】（1）证明:∵在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ，
∴CD PC ⊥，∵CD AC ⊥，PC AC C =I ，∴CD ⊥平面PAC . （2）∵//AB CD ，
过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ，故平面CDEF I 平面PAB EF =
又CD ?平面PAB ，AB ì平面PAB ，
∴//CD 平面PAB ，而CD ?平面CDEF ， ∴//CD EF ∴//AB EF 16．（本小题满分14分）
ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos b C a C =cos c A +，
23
B π
=
，3c =. （1）求角C ；
（2）若点E 满足2AE EC =u u u v u u u v
，求BE 的长.
【解析】（1）【解法一】由题设及正弦定理得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+， 又()()sin cos sin cos sin sin sin A C C A A C B B π+=+=-=，所以2sin sin sin B C B =.
由于3
sin 0B =
≠，则1sin 2C =.又因为03C π<<，所以6C π=.
【解法二】由题设及余弦定理可得222222
2sin 22a b c b c a b C a c
ab bc
+-+-=+，化简得2sin b C b =.
因为0b >，所以1sin 2C =
.又因为03
C π<<，所以6C π
=.
【解法三】由题设2sin cos cos b C a C c A =+，结合射影定理cos cos b a C c A =+，化简可得
2sin b C b =.
因为0b >.所以1sin 2C =.又因为03
C π<<，所以6C π
=.
（2）【解法1】由正弦定理易知
23sin sin b c B C
==3b =. 又因为2AE EC =u u u v u u u v ，所以22
33
AE AC b ==，即2AE =.
在ABC ?中，因为23B π=，6C π=，所以6
A π
=，
所以在ABE ?中，6
A π
=
，3AB =2AE =
由余弦定理得223
2cos
3423216
2
BE AB AE AB AE π
=+-?=+-???
=，所以1BE =.
【解法2】在ABC ?中，因为23B π=
，6C π=，所以6
A π
=，3a c ==
由余弦定理得()()
2
2
2
3
3
233cos 33
b π=
+-???=.因为2AE EC =u u u v u u u v ，所以
1
13
EC AC =
=. 在BCE ?中，6
C π
=
，3BC =
，1CE =
由余弦定理得223
2cos
3123116
2
BE BC EC BC EC π
=+-?=+-???
=所以1BE =.
【解法3】在ABC ?中，因为23B π=，6C π=，所以6
A π
=，3a c ==因为2AE EC =u u u v u u u v
，所以1233
BE BA BC =+u u u v u u u v u u u v .
则
()
()
22221111||2|44|3433431
9992BE BA BC BA BA BC BC ??
=+=+?+=-+?= ???
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
所以1BE =.
17．（本小题满分14分）
已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率33
e =2，直线l 与椭圆C 交于
A ，
B 两点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线l 过椭圆的右焦点F ，且2AF FB =，求直线l 方程． 【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，则由221c c =?=，则
323
c a b a =?==， 22
:132
x y C ∴+=；
（2）当直线l 为0y =时，31,31AF a c BF a c =+=
=-=，不满足2AF FB =；
所以设直线l ：1x ty =+，联立()
22
22
123440236
x ty t y ty x y =+??++-=?+=?，
设()()1122,,,A x y B x y ，则1212
2244
,2323
t y y y y t t --+=
?=++， 又()2
2
21
211222112
245123242223
t y y y y y t y y y y y t -??
?++??=-?+=-?==--+,
2122t t ∴=
?=±，故直线l ：12
x y =±+，即220x y ±-=． 18．（本小题满分16分）
如图所示，某区有一块空地OAB ?，其中4OA km =，43OB km =，AOB 90∠=o .当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ?，其中
,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=o ，挖出的泥土堆放在OAM ?地带上形成
假山，剩下的OBN ?地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN ?的周围安装防护网.
（1）当2AM km =时，求防护网的总长度；
（2）若要求挖人工湖用地OMN ?的面积是堆假山用地OAM ?的面积的3倍，试确定AOM ∠的大小；
（3）为节省投入资金，人工湖OMN ?的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN ?的面积最小？最小面积是多少？
【解析】（1）Q 在OAB ?中，4OA =，43OB =，90AOB ∠=?，60OAB ∴∠=? 在AOM ?中，4,2,60OA AM OAM ==∠=?，由余弦定理，得23OM =，
222OM AM OA ∴+=，即OM AN ⊥，30AOM ∴∠=?，
OAN ∴?为正三角形，所以OAN ?的周长为12，即防护网的总长度为12km .
（2）设(060)AOM θθ∠=?<
11
sin303sin 22
ON OM OA OM θ∴??=??，即83sin ON θ=， 在OAN ?中，由()0
4sin60cos sin 1806030ON OA θθ==?--?-?，得23cos ON θ
=，
从而23
83sin θ=
1sin22θ=，由02120θ?<
得230θ=?，15θ∴=?，即AOM ∠15=?. （3）设(060)AOM θθ∠=?<
cos ON θ
=
， 又在AOM ∠中，由()sin60sin 60OM OA θ=?+?，得23
OM =，
()1sin302sin 60cos 3
OMN S OM ON θθ?∴=???=+?
133sin2cos2θθ=
++()3sin 260θ=
+?+ ∴当且仅当26090θ+?=?，即15θ=?时，
OMN ?的面积取最小值为243-2km .
19．（本小题满分16分）
设函数()()(
)12x
x
f x x e a e e
=-+-，
(1)当0a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间；
（3）若不等式()0f x >对()2,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值.
【解析】（1）当0a =时，()()1x
f x x e =-，()x
f x xe '=，所以()10f =，()1f e '=
所以所求切线方程为(1)y e x =-
（2）()()x
x
x
f x xe ae x a e '=-=-.令()0f x '=，则x a =.当(),x a ∈-∞时，()0f x '<；
当(),x a ∈+∞时，()0f x '>；所以()f x 的单调递增区间是(),a +∞，单调递减区间是
(),a -∞.
（3）当()2,x ∈+∞时，()(
)120x
x
x e a e e
-+->恒成立，等价于当()2,x ∈+∞时，
()12x
x
x e a e e
->-恒成立；
即()min
12x x x e a e e ??->??-??对()2,x ∈+∞恒成立.令()()12x x
x e g x e e -=-，()2,x ∈+∞， ()()
()
2
22x x x
e e ex g x e
e -'=
-，
令()2x
h x e ex =-，()2,x ∈+∞，()20x
h x e e '=->， 所以()2x
h x e ex =-在()2,+∞上单调递增.
又因为()2
240h e e =-<，()3
360h e e =->，
所以()g x '在()2,3上有唯一零点0x ，且0
02x e
ex =，()02,3x ∈，
所以()g x 在()02,x .上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()
()()()0
00000
min 01122,3222x x x e x ex g
x g x x e e
ex e
--====∈--，所以()02,3a x <∈，
故整数a 的最大值为2. 20．（本小题满分16分）
对于*
,n N ?∈若数列{}n x 满足11,n n x x +->则称这个数列为“K 数列”.
（1）已知数列1, 2
1,m m +是“K 数列”,求实数m 的取值范围;
（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”,且其前n 项和n S 使得2
12
n S n n <-恒成立?若存在,求出{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由;
（3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”,数列12n a ??
????
不是“K 数列”,若
1
,1
n n a b n +=
+试判断数列{}n b 是否为“K 数列”,并说明理由. 【解析】（1）由题意得()111,m +->()2
11,m m -+>解得2,m >所以实数m 的取值范围是
2.m >
（2）假设存在等差数列{}n a 符合要求,设公差为,d 则1,d >由11,a =-得
()1,2
n n n S n d -=-+
由题意,得()2
112
2
n n n d n n --+
<
-对*n N ∈均成立,即()1.n d n -< ①当1n =时,;d R ∈ ②当1n >时,,1
n d n <
-因为
1
11,11n n n =+>--所以1,d ≤与1d >矛盾, 所以这样的等差数列不存在.
（3）设数列{}n a 的公比为,q 则1
1,n n a a q -=
因为{}n a 的每一项均为正整数,且()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->>
所以在{}1n n a a --中,“21a a -”为最小项.同理,11122n n a a -??
-
????
中,“211122a a -”为最小项. 由{}n a 为“K 数列”,只需211,a a ->即()111,a q ->
又因为1
2n a ??????不是“K 数列”,且
2111
22
a a -为最小项, 所以
2111
1,22
a a -≤即()112a q -≤, 由数列{}n a 的每一项均为正整数,可得()112,a q -= 所以11,3a q ==或12, 2.a q ==
①当11,3a q ==时,1
3,n n a -=则3,1
n n b n =+令()
*
1,n n n c b b n N +=-∈则
()()
133213,2112n n n n n c n n n n ++=-=?++++又
()()()()1
23213
32312n n
n n n n n n +++?-?++++()()
234860,213n n n n n n ++=?>+++ 所以{}n c 为递增数列,即121,n n n c c c c -->>>???>所以2133
31,22
b b -=-
=> 所以对于任意的*,n N ∈都有11,n n b b +->即数列{}n b 为“K 数列”.
②当12,2a q ==时,2,n
n a =则1
2.1
n n b n +=+因为2121,3b b -=≤所以数列{}n b 不是“K 数
列”.
综上:当11,3a q ==时,数列{}n b 为“K 数列”,
当12,2a q ==时,2,n
n a =数列{}n b 不是“K 数列”.
第II 卷（附加题，共40分）
21．【选做题】本题共2小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A ．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵1002A -??=???? ，1206B ??
=??
??
，求矩阵1A B -. 【解析】设矩阵A 的逆矩阵为a b A c d ??=?
???.则10100201a b c d -??????
=??????
??????
.即1010220101a b c d --??????
=????????????
. 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12
.从而A 的逆矩阵为1
10102A --??
?
?=??
??
. 所以11012121060302A B --??
--??????==??????????
??
. B ．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆:22C ρθ=和直线:()4
l π
θρ=∈R 相交于,A B 两点，求
线段AB 的长. 【答案】2
【解析】圆C ：2cos ρθ=直角坐标方程为22
20x y x +-=，即(2
222x y -+=
直线l ：()4
R π
θρ=
∈的直角坐标方程为y x =
圆心C 到直线l 的距离2012
d -=
=所以AB =()
2
2
212-=,
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
设2012()n r n r n q x a a x a x a x a x +=+++?++?+,其中*
,q R n N ∈∈.
（1）当1q =时,化简:
1n
r
r a r =+∑; （2）当q n =时,记()010
,2
n
n n r r n a a A B a =+=
=∑,试比较n A 与n B 的大小.
【解析】（1）当1q =时,r
r n a C =
1!!11!()!(1)!()
r
n C n n r r r n r r n r =?=++-+-Q 1
11(1)!11(1)!()!1
r n n C n r n r n +++=
?=?++-+,其中0,1,2,,r n ?＝, ∴原式＝()
1
1231
111112111
n n n n n n C C C C n n ++++++-++?+=
++ （2）当q n =时,r n r r n a C n -= 01,n n a n a n ∴==,1
n n A n +∴= 令1x =,得(1)n
n B n =+
当1,2n =时,1
(1)n n n n +<+;
当3n ≥时,1
(1)n n n
n +>+,
即(1)n
n
n n n ?>+,可得:(1)111+n
n
n n
n n n n n n ++????
>== ? ????? 下面用数学归纳法证明:当3n ≥时,11+n
n n ??> ???
——(☆)
江苏省高考数学二轮复习专题八二项式定理与数学归纳法(理)8.1计数原理与二项式定理达标训练(含解析)
计数原理与二项式定理 A组——大题保分练 1．设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足：A不是B的子集,且B也不是A的子集． (1)若M＝{a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数； (2)若M＝{a1,a2,a3,…,a n},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数． 解：(1)110. (2)集合M有2n个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n(2n－1)个． 当A?B,并设B中含有k(1≤k≤n,k∈N*)个元素, 则满足A?B的有序集合对(A,B)有n∑ k＝1C k n(2k－1)＝ n ∑ k＝0 C k n2k－ n ∑ k＝0 C k n＝3n－2n个． 同理,满足B?A的有序集合对(A,B)有3n－2n个． 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n－1)－2(3n－2n)＝4n＋2n－2×3n. 2．记1,2,…,n满足下列性质T的排列a1,a2,…,a n的个数为f(n)(n≥2,n∈ N*)．性质T：排列a1,a2,…,a n中有且只有一个a i ＞a i＋1 (i∈{1,2,…,n－1})． (1)求f(3)； (2)求f(n)． 解：(1)当n＝3时,1,2,3的所有排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2), (3,2,1),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得a i＞a i＋1的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1), (3,1,2),所以f(3)＝4. (2)在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,a n)中, 若a i＝n(1≤i≤n－1),从n－1个数1,2,3,…,n－1中选i－1个数按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,a i－1,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为C i－1 n－1. 若a n＝n,则满足题意的排列个数为f(n－1)． 综上,f(n)＝f(n－1)＋n－1 ∑ i＝1 C i－1 n－1＝f(n－1)＋2n－1－1.
2014年全国高考江苏省数学试卷及答案【精校版】
2014年江苏高考数学试题 数学Ⅰ试题 参考公式: 圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． . 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =I ． 【答案】{13}-， 2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ． 【答案】21 3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】5 4．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】13 5．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ??=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3 π 的交点，则?的值是 ． 【答案】 6 π 6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】24 7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+， 则6a 的值是 ．
【答案】4 8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且 1294S S =，则12V V 的值是 ． 【答案】32 9．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 255 10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】20?? ??? 11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x =+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在 点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ． 【答案】3- 12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，， 32CP PD AP BP =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则AB AD ?u u u r u u u r 的 值是 ． 【答案】22 13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21 ()22 f x x x =-+．若函 数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】() 102 ， 14．若ABC ?的内角满足sin 22sin A B C =，则cos C 的最小值是 ． 62-二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．． 作答, 解答时应写出文字
2003年全国2卷高考理科数学试题
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数 学（理工农医类） 注意事项： 1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式： 三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=? l c c S )(21 +'=台侧 其中c '、c 分别表示 )]sin()[sin(2 1 sin cos βαβαβα--+=? 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长. )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=? 球体的体积公式：334 R V π=球 ，其中R )]cos()[cos(2 1 sin sin βαβαβα--+-=? 表示球的半径. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分） 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的 1．已知2(π - ∈x ，0），5 4cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）7 24 （D ）724 - 2．圆锥曲线θ θρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数?????-=-2112)(x x f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+） （C ）（∞-，2-）?（0，∞+） （D ）（∞-，1-）?（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） （A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）2 5．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得
2011年江苏省高考数学试卷加解析
2011年江苏省高考数学试卷
2011年江苏省高考数学试卷 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．（5分）（2011?江苏）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=_________． 2．（5分）（2011?江苏）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是_________． 3．（5分）（2011?江苏）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是_________． 4．（5分）（2011?江苏）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为_________． 5．（5分）（2011?江苏）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 _________． 6．（5分）（2011?江苏）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2= _________． 7．（5分）（2011?江苏）已知，则的值为_________． 8．（5分）（2011?江苏）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两 点，则线段PQ长的最小值是_________． 9．（5分）（2011?江苏）函数f（x）=Asin（ωx+?），（A，ω，?是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （0）=_________． 10．（5分）（2011?江苏）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若?=0，则 实数k的值为_________．
11．（5分）（2011?江苏）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为 _________． 12．（5分）（2011?江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_________． 13．（5分）（2011?江苏）设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_________． 14．（5分）（2011?江苏）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠?，则实数m的取值范围是_________． 二、解答题（共9小题，满分120分） 15．（14分）（2011?江苏）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c （1）若，求A的值； （2）若，求sinC的值． 16．（14分）（2011?江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是AP、AD的中点求证： （1）直线EF∥平面PCD； （2）平面BEF⊥平面PAD． 17．（14分）（2011?江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）． （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
2003年高考.江苏卷.数学试题及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数 学（理工农医类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. （1）如果函数2 y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区 域（不包含边界）为（ ） （2）抛物线2 ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ） （A ） 8 1 （B ）－ 81 （C ）8 （D ）－8 （3）已知== -∈x tg x x 2,5 4 cos ),0,2 (则π （ ） （A ） 24 7 （B ）－ 24 7 （C ） 7 24 （D ）－ 7 24 （4）设函数0021 ,1)(0 ,, 0,12)(x x f x x x x f x 则若>?????>≤-=-的取值范围是（ ） （A ）（－1，1） （B ）(1,)-+∞ （C ）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D ）（－∞，－1）∪（1，+∞） （5）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足 [)( ),0,,AB AC OP OA P AB AC λλ=++ ∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的 （A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心 （6）函数1 ln ,(1,)1 x y x x +=∈+∞ -的反函数为（ ） a (A) (B) (C) (D)
（A ）1,(0,)1x x e y x e -=∈+∞+ （B ）1 ,(0,)1x x e y x e +=∈+∞- （C ）1,(,0)1x x e y x e -=∈-∞+ （D ）1 ,(,0)1 x x e y x e +=∈-∞- （7）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ） （A ）33a （B ）34a （C ）36a （D ）3 12 a （8）设2 0,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0, ,4P π?? ???? 则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为 （ ） （A ）10,a ?????? （B ）10,2a ?? ???? （C ）0,2b a ?????? （D ）10,2b a ?-????? （9）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为4 1的的等差数列， 则=-||n m （ ） （A ）1 （B ）4 3 （C ）21 （D ）83 （10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为3 2 - ，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14 32 2=-y x （B ） 13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）1522 2 =-y x （11）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和 AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214< 2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。 参考公式： 样本数据12,, ,n x x x 的方差2 2 11()n i i s x x n ==-∑，其中1 1n i i x x n ==∑。 棱锥的体积公式：1 3 V Sh = ，其中S 是锥体的底面积，h 为高。 棱柱的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 为高。 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．。 6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下： 若DE AB AC λλ=+(λ、5,0) (5,)+∞ 、在平面直角坐标系xoy 12n n a a a a ++>的最大正整数二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分14分） 已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),0a b ααβββαπ==<<<。 （1）若||2a b -=，求证：a b ⊥； （2）设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值。 （2）设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值。 [解析] 本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系式、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力。满分14分。 （1）证明：（方法一）由||2a b -=，得：22||()2a b a b -=-=，即2 2 22a a b b -?+=。 又222 2||||1 a b a b ====，所以222a b -?=，0a b ?=，故a b ⊥。 （方法二）(cos cos ,sin sin ),a b αβαβ-=-- 由||2a b -=，得：22||()2a b a b -=-=，即：2 2 (cos cos )(sin sin )2αβαβ-+-=， 化简，得：2(cos cos sin sin )0αβαβ+-=， 微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法” 例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F → 的最小值为 ________． (例1) 变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π 3，点M 是边AB 的中点， 点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN → ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________． 变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________． 处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： 切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的． 1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F → ＝________． 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F →＝________． 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE → ＝33 32 ，则AB 的长为________． (第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________． 5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC → ⊥AB → ，则实数m n ＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13 AC →，则|BQ → |的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12 PC → ，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC → ，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________． (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE → ＝λBA →＋μBD → (λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________． 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1， 动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD → (m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n 的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC → 且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3. (1) 求AB →·AC →的值； (2) 求λ＋μ的值． 2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 ． 6 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 【答案】7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ． 63 20 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为 1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．1：24 9．抛物线2 x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ．[—2，1 2 ] 10．设E D ，分别是ABC ?的边BC AB ，上的点，AB AD 21= ，BC BE 3 2 =， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ．1 2 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时，x x x f 4)(2 -=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示 为 ．(﹣5，0) ∪(5，﹢∞) 12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为 F ， 右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d = ，则椭圆C 的离心率为 ． 3 3 13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数x y 1 = （0>x ）图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所值为 ．1或10 14．在正项等比数列}{n a 中，2 1 5= a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 ．12 2014江苏高考数学试题及参考答案 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。 1．已知集合{2,1,3,4}A =--，{1,2,3}B =-，则A B =______． 【解析】{1,3}- 2．已知复数2(52i)z =-(i 是虚数单位)，则z 的实部为______． 【解析】21 2 254i 20i 2120i z =+-=- 3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是______． 【解析】5 4．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是______． 【解析】1 3 当且仅当两数为1,6或2,3时乘积为6，有2种情况， 从这4个数中任取两个数有24C 6=种，故概率为 1 3 5．已知函数cos y x =与sin(2)y x ?=+(0π)?≤<，它们的图象有一个横坐标为π 3 的交点，则? 的值是________． 【解析】π 6 由题意，ππ1sin(2)cos 332?? +==，∵0π?≤<，∴2π2π5π 333?≤+< 当且仅当2π5π36?+= ，π 6 ?=时等式成立 6．某种树木的底部周长的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有______株树木的 底部周长小于100cm ． (第6题) /cm (第3题) 【解析】24 ∵60(0.150.25)24?+= 7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值为_____． 【解析】4 设公比为q (0)q >，则由8642a a a =+得26 6622a a q a q =+，解得22q =，故4624a a q == 8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12,S S ，体积分别为12,V V ，若它们的侧面积相等，且 1294 S S =， 则 1 2 V V 的值是________． 【解析】 32 设两圆柱底面半径为12,r r ，两圆柱的高为12,h h 则1232r r =，∵两圆柱侧面积相等，∴11222π12πr h r h =，1223h h =，则11122232 V S h V S h == 9．在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为_______． ∵圆心(2,1)-到直线230x y +-= 的距离d = = ∴直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++= 截得的弦长为 10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范 围是_______． 【解析】?? ? ??? 若0m ≥，对称轴02m x =-≤，2(1)230f m m m +=+<，解得3 02 m -<<，舍去； 当0m <时，2 m m <- ，()f x 在[,1]x m m ∈+上的最大值只可能在x m =和1x m =+处取到 因此2 2 ()210 (1)230 f m m f m m m ?=- 2017年江苏省高考数学试卷 一.填空题 1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件． 4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是． 5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=． 6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是． 7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数 x，则x∈D的概率是． 8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项和为S n，已知S3=，S6=，则a8=． 10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是． 11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a ﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是． 12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，， 与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=． 13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是． 14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是． 二.解答题 15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． a (A) (B) (C) (D) 2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．如果函数a bx ax y ++=2的图象与x 轴有两上交点，则点（a ，b ）在a Ob 平面上的区 域（不包含边界）为 （ ） 2．抛物线2ax y =的准线方程是y=2，则a 的值为 （ ） A ． 8 1 B ．－ 8 1 C ．8 D ．－8 3．已知== -∈x x x 2tan ,5 4cos ),0,2 (则π （ ） A ． 24 7 B ．－24 7 C ．7 24 D ．－7 24 4．设函数,1)(.0, ,0,12)(021>??? ??>≤-=-x f x x x x f x 若则 x 0的取值范围是 （ ） A ．（－1，1） B ．（－1，+∞） C ．（－∞，－2）∪ （0，+∞） D ．（－∞，－1）∪（1，+∞） 5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ),,0[),(+∞∈+ +=λλOA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 6．函数),1(,1 1ln +∞∈-+=x x x y 的反函数为 （ ） A ．),0(,11+∞∈+-= x e e y x x B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y x x C ．)0,(,1 1-∞∈+-=x e e y x x D ．)0,(,1 1-∞∈-+=x e e y x x 7．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ） A ． 3 3 a B ． 4 3 a C ． 6 3 a D ． 12 3 a 8．设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范 围为]4,0[π ，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为 （ ） A ．[a 1,0] B ．]21, 0[a C ．|]2| ,0[a b D ．|]21| ,0[a b - 9．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 |m －n|= （ ） A ．1 B ． 4 3 C ． 2 1 D ． 8 3 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点， MN 中点的横坐标为3 2- ，则此双曲线的方程是 （ ） A ． 14 3 2 2 =- y x B ． 13 4 2 2 =- y x C ． 12 5 2 2 =- y x D ． 15 2 2 2 =- y x 11．已知长方形四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中 点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1< x 4<2，则tan θ的取值范围是 （ ） A ．)1,31 ( B ．)3 2 ,31( C ．)2 1 ,52( D ．)3 2 ,52( 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ） A ．3π B ．4π C ． 33π D ．6π 江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题10 数__列(Ⅱ) 回顾2008～2012年的高考题，数列是每一年必考的内容之一.其中在填空题中，会出现等差、等比数列的基本量的求解问题.在解答题中主要考查等差、等比数列的性质论证问题，只有2009年难度为中档题，其余四年皆为难题. 预测在2013年的高考题中，数列的考查变化不大： 1填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质. 2在解答题中，依然是考查等差、等比数列的综合问题，可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证. 1．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________. 解析：S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，a 1＋a 100＝9 10 ， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25 . a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝50 2 (a 1＋a 99)＝502×25 ＝10. 答案：10 2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________. 解析：由已知得a 4＝a 2＋a 2＝－12，a 8＝a 4＋a 4＝－24，a 10＝a 8＋a 2＝－30. 答案：－30 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝ S 1＋S 2＋…＋S n n ，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理 想数”，已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么数列12，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为________． 解析：根据理想数的意义有， 2 004＝500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 500， ∴501×12＋500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 501 ＝ 501×12＋2 004×500 501 ＝2 012. 答案：2 012 4．函数y ＝x 2 (x >0)的图象在点(a k ，a 2 k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数， a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________. 解析：函数y ＝x 2 (x >0)在点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)．令y ＝0得a 2 ＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)，令y ＝0得a 3＝4；依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21. 答案：21 5．将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 2015年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2015?江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5． 考点：并集及其运算． 专题：集合． 分析：求出A∪B，再明确元素个数 解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}； 所以A∪B中元素的个数为5； 故答案为：5 点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题 2．（5分）（2015?江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6． 考点：众数、中位数、平均数． 专题：概率与统计． 分析：直接求解数据的平均数即可． 解答：解：数据4，6，5，8，7，6， 那么这组数据的平均数为：=6． 故答案为：6． 点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查． 3．（5分）（2015?江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为． 考点：复数求模． 专题：数系的扩充和复数． 分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可． 解答：解：复数z满足z2=3+4i， 可得|z||z|=|3+4i|==5， ∴|z|=． 故答案为：． 点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力． 4．（5分）（2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7． 考点：伪代码． 专题：图表型；算法和程序框图． 分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7． 解答：解：模拟执行程序，可得 S=1，I=1 满足条件I＜8，S=3，I=4 满足条件I＜8，S=5，I=7 满足条件I＜8，S=7，I=10 不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7． 故答案为：7． 点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题． 5．（5分）（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为． 考点：古典概型及其概率计算公式． 专题：概率与统计． 分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则 一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种， 其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种； 所以所求的概率是P=． 故答案为：． 点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目． 6．（5分）（2015?江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3． 考点：平面向量的基本定理及其意义． 专题：平面向量及应用． 2015年江苏省高考数学试卷 一、填空题 1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合A B U 中元素的个数为_______. 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________. 5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量()21a =r ，，()2a =-r 1，， 若()()98ma nb mn R +=-∈r r ，，则m-n 的值为______. 7.不等式224x x -<的解集为________. 8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+= ，则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为。 10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。 11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{ n a 的前10项和为。 12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。若点P 到直线 01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为。 13.已知函数|ln |)(x x f =，? ? ?>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为。 14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos Λ=+=k k k k a k πππ，则∑=+?1201)(k k k a a 的值为。 15.在ABC V 中，已知2,3,60.AB AC A ===o 江苏南通市2018届高三数学第二次调研 试卷（含答案） 南通市2018届高三第二次调研测试 数学Ⅰ 参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合，则▲． 2．已知复数，其中为虚数单位．若为纯虚数，则实数a 的值为▲． 3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间上，其频率分布直方图如图所示， 则成绩不低于60分的人数为▲． 4．如图是一个算法流程图，则输出的的值为▲． 5．在长为12cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32cm2的概率为▲． 6．在中，已知，则的长为▲． 7．在平面直角坐标系中，已知双曲线与双曲线有公共的 渐近线，且经过点 ，则双曲线的焦距为▲． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知角的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点 ，，则的值为▲． 9．设等比数列的前n项和为．若成等差数列，且，则的值为▲． 10．已知均为正数，且，则的最小值为▲． 11．在平面直角坐标系xOy中，若动圆上的点都在不等 式组表示的平面区域 内，则面积最大的圆的标准方程为▲． 12．设函数（其中为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 的取值范围是▲． 13．在平面四边形中，已知，则的值为▲． 14．已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，设向量，，． （1）若，求的值；2013年江苏高考数学试题及答案(含理科附加题)WORD版
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