江苏省盐城市第一中学2020届高考数学6月第二次调研试题(含答案)

江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第二次调研考试

数学试题 2020．6

第I 卷（必做题，共160分）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题纸相应的位置上．） 1．已知集合()(){}

120A x x x =+-<，集合B Z =，则A B =I ______. 2．若i 是虚数单位，复数()()12z a i i =++是纯虚数，则实数a 的值为________.

3．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________.

4．若{1,0,1,2}a ∈-，则方程220x x a ++=有实根的概率为________. 5．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．

6．已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的一条渐近线的倾斜角为45o ，且过点()3,1，则双

曲线的焦距等于________.

7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为(

)2

*

2,,n S pn n q p q R n N

=-+∈∈.若1

a 与5

a 的等差中

项为8，则p q +=______.

8．如果命题0p x ∀>：，

4

957x m x

+≥+为真命题，则实数m 的取值范围是__________． 9．函数()2sin f x x ax =-在0,

2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上的单调递减，则实数a 的取值范围为______. 10．边长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B ，D 分别为AC ，CE 的中点，

N 为GD 与CF 的交点，则AN EG ⋅=u u u r u u u r

______．

11．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________.

12．定义符号函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩

，若函数()()x

f x

g x e =⋅，则满足不等

式()

()2

33f a a f a +<+的实数a 的取值范围是__________．

13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，()2

21:44O x y -+=，动点P 在直

线30x b +-=上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为,A B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．

14．已知函数222211()(cos )sin cos (sin )22

f ααααα=+++-{}()a R f m α∈≥≠∅，则实数m 的取值范围为___________.

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ． （1）求证：CD ⊥平面PAC ； （2）求证：//AB EF ．

16．（本小题满分14分）

ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos b C a C =cos c A +，

23

B π

=

，3c =. （1）求角C ；

（2）若点E 满足2AE EC =u u u v u u u v

，求BE 的长.

17．（本小题满分14分）

已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率3

3

e =，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于

A ，

B 两点．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若直线l 过椭圆的右焦点F ，且2AF FB =，求直线l 方程．

18．（本小题满分16分）

如图所示，某区有一块空地OAB ∆，其中4OA km =，43OB km =，AOB 90∠=o .当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ∆，其中

,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=o ，挖出的泥土堆放在OAM ∆地带上形成

假山，剩下的OBN ∆地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN ∆的周围安装防护网.

（1）当2AM km =时，求防护网的总长度；

（2）若要求挖人工湖用地OMN ∆的面积是堆假山用地OAM ∆的面积的3倍，试确定AOM ∠的大小；

（3）为节省投入资金，人工湖OMN ∆的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN ∆的面积最小？最小面积是多少？

19．（本小题满分16分）

设函数()()(

)12x

x

f x x e a e e

=-+-，

(1)当0a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间；

（3）若不等式()0f x >对()2,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值.

20．（本小题满分16分）

对于*

,n N ∀∈若数列{}n x 满足11,n n x x +->则称这个数列为“K 数列”.

（1）已知数列1, 2

1,m m +是“K 数列”,求实数m 的取值范围;

（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”,且其前n 项和n S 使得2

12

n S n n <-恒成立?若存在,求出{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由;

（3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”,数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

不是“K 数列”,若

1

,1

n n a b n +=

+试判断数列{}n b 是否为“K 数列”,并说明理由.