常考二级结论及其应用.pdf
高等考试物理常用的“二级结论”
高考物理常用的 “二级结论”一、静力学：1．几个力平衡，则一个力是与其它力合力平衡的力。
2．两个力的合力：F 大+F 小≥F 合≥F 大－F 小。
三个大小相等的共点力平衡，力之间的夹角为1200。
3．力的合成和分解是一种等效代换，分力与合力都不是真实的力，求合力和分力是处理力学问题时的一种方法、手段。
4．三力共点且平衡，则312123sin sin sin F F F ααα==（拉密定理）。
5．物体沿斜面匀速下滑，则tan μα=。
6．两个一起运动的物体“刚好脱离”时：貌合神离，弹力为零。
此时速度、加速度相等，此后不等。
7．轻绳不可伸长，其两端拉力大小相等，线上各点张力大小相等。
因其形变被忽略，其拉力可以发生突变，“没有记忆力”。
8．轻弹簧两端弹力大小相等，弹簧的弹力不能发生突变。
9．轻杆能承受纵向拉力、压力，还能承受横向力。
力可以发生突变，“没有记忆力”。
二、运动学：1．在描述运动时，在纯运动学问题中，可以任意选取参照物；在处理动力学问题时，只能以地为参照物。
2．匀变速直线运动：用平均速度思考匀变速直线运动问题，总是带来方便：T S S V V V V t 2221212+=+== 3．匀变速直线运动：时间等分时， S S aT n n -=-12，位移中点的即时速度V V V S212222=+， V V S t 22> 纸带点痕求速度、加速度：T S S V t2212+= ，212T S S a -=，()a S S n T n =--121 4．匀变速直线运动，v 0 = 0时：时间等分点：各时刻速度比：1：2：3：4：5各时刻总位移比：1：4：9：16：25各段时间内位移比：1：3：5：7：9位移等分点：各时刻速度比：1∶2∶3∶……到达各分点时间比1∶2∶3∶……通过各段时间比1∶()12-∶（23-）∶…… 5．自由落体：n 秒末速度（m/s ）： 10，20，30，40，50n 秒末下落高度(m)：5、20、45、80、125第n 秒内下落高度(m)：5、15、25、35、456．上抛运动：对称性：t t 下上＝，v v =下上， 202m v h g = 7．相对运动：共同的分运动不产生相对位移。
物理重要二级结论(全)
4．估算原则：串联时，大为主；并联时，小为主。
5．路端电压：纯电阻时 ，随外电阻的增大而增大。
6．并联电路中的一个电阻发生变化，电路有消长关系，某个电阻增大，它本身的电流小，与它并联的电阻上电流变大。
7．外电路中任一电阻增大，总电阻增大，总电流减小，路端电压增大。
七、静电场：
1．粒子沿中心线垂直电场线飞入匀强电场，飞出时速度的反向延长线通过电场中心。
2．
3．匀强电场中，等势线是相互平行等距离的直线，与电场线垂直。
4．电容器充电后，两极间的场强： ，与板间距离无关。
八、恒定电流
1．串连电路：总电阻大于任一分电阻；
， ； ，
2．并联电路：总电阻小于任一分电阻；
； ； ；
5．粒子沿直线通过正交电、磁场（离子速度选择器） ， 。与粒子的带电性质和带电量多少无关，与进入的方向有关。
十一、电磁感应
1．楞次定律：（阻碍原因）
内外环电流方向：“增反减同”自感电流的方向：“增反减同”
磁铁相对线圈运动：“你追我退，你退我追”
通电导线或线圈旁的线框：线框运动时：“你来我推，你走我拉”
电流表： ；串联测同一电流，量程大的指针摆角小。
4．电压测量值偏大，给电压表串联一比电压表内阻小得多的电阻；
电流测量值偏大，给电流表并联一比电流表内阻大得多的电阻；
5．分压电路：一般选择电阻较小而额定电流较大的电阻
1）若采用限流电路，电路中的最小电流仍超过用电器的额定电流时；
2）当用电器电阻远大于滑动变阻器的全值电阻，且实验要求的电压变化范围大（或要求多组实验数据）时；
光滑，相对静止 弹力为零 相对静止 光滑，弹力为零
8．下列各模型中，速度最大时合力为零，速度为零时，加速度最大
高中数学中二级结论的应用举例
结论1：在椭圆上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的斜率之积为定值（注：若椭圆焦点在y轴上时，即，则定值为）。
证明：设原点为O，A（），B（）是椭圆上的任意不同的两点，P（）是弦AB中点。
，由以上几式可得：。
可转化为，即。
结论2：双曲线上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的斜率之积为定值（注：若双曲线为焦点在y轴上的形式，则定值为）。
证明：设原点为O，A（），B（）是双曲线上的任意两个不同的点，P（）是弦AB的中点。
由以上几式可得：。
可转化为，即。
结论3：抛物线上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的斜率之积为（为弦中点的横坐标）。
证明：设原点为O，A（），B（）为上任意两个不同的点，P（）为弦AB中点。
可得：两边同除以（）得：即得：。
解决圆锥曲线中有关弦的斜率与中点坐标问题时，用“设而不求，代点作差”解题较麻烦，运用上述结论解题，简捷快速。
例1、求中心在原点O，一焦点为（0，），截直线所得弦的中点横坐标为的椭圆的方程。
解：设与椭圆交于A（），B（），AB中点为P（），。
P（）在上得，由上述结论知，而。
所以。
由题意知。
解得，故椭圆方程为。
例2、求与椭圆相交于A、B两点并且线段AB中点为（1，1）的直线方程。
解：设原点为O，A（），B（），AB中点坐标为P（1，1）。
由上述结论知，而，所以。
所求直线方程为。
例3、已知双曲线，求以A（2，1）为中点的弦的方程。
解：设原点为O，M（），N（），则所求直线斜率，，。
由结论知，而，所以。
所求直线方程为，即。
例4、双曲线中心在原点，且一个焦点为F（，0），直线与双曲线交于M、N两点，MN中点P的横坐标为，求双曲线方程。
解：设原点为O，因为一个焦点为F（，0），所以可设双曲线方程为（a>b，b>0）。
MN中点P在上，得。
的斜率为1，而，所以。
又因为，所以，。
则双曲线方程为。
例5、直线与抛物线交于A、B两点，AB中点横坐标为2，则k的值为（）A. －1B. 2C. －1或2D. 以上都不是解：设原点为O，AB中点为P（），则。
高考数学常用的50个二级结论
高考数学常用的50个二级结论二级结论绝对会提高你的解题速度，对提升正确率无疑也很有帮助。
但二级结论不同于公式，仅仅将其记住，一是考场上很难想起，二是生搬硬套，很容易陷入老师的命题陷阱里。
因此，一定要自己动手，将每一个二级结论推导一遍，考场上才好放心使用哦~5. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和.12. 过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点.13. 圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导.推论：14. 切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程.22. 过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值.24. 抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F的连线垂直于该焦点弦.25. 双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a(长半轴长).26. 对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两直线斜率之积为定值，两直线交曲线于A，B两点，则直线AB恒过定点.32. 角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线.39. 帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上.45. 三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；(4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心；(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心；(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心；(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.。
初中常用二级结论
初中常用二级结论一、代数部分。
（一）一元二次方程。
1. 韦达定理。
- 内容：对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，设其两根为x_1，x_2，则x_1 + x_2=-(b)/(a)，x_1x_2=(c)/(a)。
- 原因：一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
若两根为x_1=frac{-b + √(b^2)-4ac}{2a}，x_2=frac{-b-√(b^2)-4ac}{2a}，则x_1 + x_2=frac{-b+√(b^2)-4ac}{2a}+frac{-b-√(b^2)-4ac}{2a}=-(b)/(a)；x_1x_2=frac{(-b + √(b^2)-4ac)(-b-√(b^2)-4ac)}{4a^2}=frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=(c)/(a)。
- 实用性：在解决一元二次方程根与系数的关系问题时，不需要求出方程的根就可以得到两根之和与两根之积，例如已知方程x^2-3x - 4 = 0，根据韦达定理可知两根之和为3，两根之积为-4。
可以用于求与两根相关的代数式的值，如x_1^2+x_2^2=(x_1 + x_2)^2-2x_1x_2。
2. 判别式Δ=b^2-4ac与根的关系的拓展。
- 内容：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。
如果a、b、c是有理数，且Δ是完全平方数，则方程的根为有理数。
- 原因：由一元二次方程的求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}可知，√(b^2)-4ac的值决定了根的情况。
当b^2-4ac>0时，√(b^2)-4ac是一个实数，且±√(b^2)-4ac不同，所以有两个不相等实数根；当b^2-4ac = 0时，√(b^2)-4ac=0，两根相同；当b^2-4ac<0时，√(b^2)-4ac无实数意义，所以方程无实数根。
高中数学常考二级结论及其应用
{ } 例 1 设集合A = (x,y)x42 +y162 =1 ,B ={(x,y)|y=3x },则A ∩B 的子集的个数是( ).
A.4
B.3
C .2
D.1
变 式1 已知集合A ={x|x2 -3x +2=0,x ∈ R} ,B ={x|0<x <5,x ∈ N} ,则满足条件A
⊆ C ⫋ B 的集合C 的个数为( ).
B.min[f(m ),f(m
+1)]>
1 4
C.min[f(m ),f(m
+1)]=
1 4
D.min[f(m ),f(m
+1)]≥
1 4
{ 变 式3
设
max{f(x),g(x)}=
定义在
R
上 的 函 数 f(x )满 足 f(x )=
log2(1-x)(x ≤0) f(x -1)-f(x -2)(x
> 0),则 f(2017)=
( ).
A.-1
B.0
C.1
D.2
变式2
已
知
定
义
在
R
上
的
函
数f(x
)满
足f
æ èçx
+
3 2
ö
÷
ø
=
-f(x
),且f(-2)=f(-1)=
-1,f(0)=
(4)若f(x)=f(x +a)+f(x -a)
①
则f(x +a)=f(x +2a)+f(x)
②
① + ② 得,f(x)+f(x +a)=f(x +a)+f(x -a)+f(x +2a)+f(x),
（完整word版）高中高考数学所有二级结论《完整版》
（完整word版）⾼中⾼考数学所有⼆级结论《完整版》⾼中数学⼆级结论1、任意的简单n ⾯体内切球半径为表S V3(V 是简单n ⾯体的体积，表S 是简单n ⾯体的表⾯积)2、在任意ABC △内，都有t a n A +t a n B +t a n C =t a n A ·t a n B ·t a n C3、若a 是⾮零常数，若对于函数y ＝f(x )定义域内的任⼀变量x 点有下列条件之⼀成⽴，则函数y ＝f(x )是周期函数，且2|a |是它的⼀个周期。
①f(x ＋a )＝f(x －a ) ②f(x ＋a )＝－f(x ) ③f(x ＋a )＝1/f(x ) ④f(x ＋a )＝－1/f(x )4、若函数y ＝f(x )同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|5、若函数y ＝f(x )同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中⼼对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|6、若函数y ＝f(x )既关于点（a ，0）中⼼对称，⼜关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝4|a －b|7、斜⼆测画法直观图⾯积为原图形⾯积的42倍 8、过椭圆准线上⼀点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点9、导数题常⽤放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x、)1(>>x ex e x 10、椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的⾯积S 为πab S =11、圆锥曲线的切线⽅程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意⼀点),(00y x P 的切线⽅程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意⼀点),(00y x P 的切线⽅程为1220=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意⼀点),(00y x P 的切线⽅程为1220=-b yy a xx 12、切点弦⽅程：平⾯内⼀点引曲线的两条切线，两切点所在直线的⽅程叫做曲线的切点弦⽅程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦⽅程为0220000=++++++F E yy D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦⽅程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦⽅程为12020=-byy a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦⽅程为)(00x x p y y += ①⼆次曲线的切点弦⽅程为0222000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x Bx Ax 13、①椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是||22222A a -B b =C14、椭圆的焦半径(椭圆的⼀个焦点到椭圆上⼀点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±= （左加右减）15、双曲线的焦半径(双曲线上横坐标为x 的点P 到焦点的距离)公式，且F 1为左焦点，F 2为右焦点，e 为双曲线的离⼼率。
常考二级结论及其应用(含答案)
(1)如果f(x +a)=-f(x)(a ≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期 T =2a;
(2)如果f(x +a)=f(1x)(a ≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期 T =2a; (3)如果f(x +a)+f(x)=c(a ≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期 T =2a; (4)如果f(x)=f(x +a)+f(x -a)(a ≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期 T =6a. 证 明 :(1),(2),(3)略 .
-f[(x +4a)-a]=-f(x +3a)= -f[(x +a)+2a]=f[(x +a)-a]=f(x).
故f(x)是周期函数,其中的一个周期 T =6a.
6
已知
函数
f(x)满
足 :f(5)=
1 4
,4f(x)f(y)=f(x
+y)+f(x
-y)(x,y
∈
R),
则f(2015)=
.
{ 变式1
{ } A. 1,1 5
{ } B.
1 ,1 23
{ } C. 0,1,15
{ } D. 0,12,13
࢝ଌབྷᆓ
临门一脚(含密押三套卷)(理科版)
结论二
交 、并 、补 (且 、或 、非 )之 间 的 关 系 (德 · 摩 根 定 律 ). (1)集合形式:∁I(A ∩ B)= (∁IA ) ∪ (∁IB ) ,∁I(A ∪ B)= (∁IA ) ∩ (∁IB ) ; (2)命题形式:������(p ∧q)=(������p)∨ (������q),������(p ∨q)=(������p)∧ (������q).
专题01 解析几何的常用二级结论(高考必背)
解析几何的常用二级结论一．有关椭圆的经典结论焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁1.（1）与椭圆221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()2221,0x y b a b λλλ+=+>++. （2）与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b λ+=,()2222,0x y b aλλ+=>.2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立: (1)第一定义：122PF PF a +=；(2)焦半径的最大值与最小值：1a c PF a c -≤≤+； (3)2212b PF PF a ≤⋅≤；（4）焦半径公式10||PF a ex =+,20||PF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).3.椭圆的方程为22221x y a b +=（a ＞b ＞0）, 左、右焦点分别为12,F F ,()00,P x y 是椭圆上任意一点,则有:(1)()()22222222000022,b a y a x x b y a b=-=-；(2)参数方程()00cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数;4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,12,F F 为其焦点，记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+；(2)焦点三角形的面积： 122||=tan2PF F P S c y b θ∆=；(3)当P 点位于短轴顶点处时, θ最大,此时12PF F S ∆也最大； (4) .21cos 2e -≥θ(5)点M 是21F PF ∆内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM =||||.5.有关22b a-的经典结论(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,A A 为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a=-(3). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,B B 为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有1222PB PB b K K a=-(4). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则（1）以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-；（2）过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=. 7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=. 9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =（常数）. 10. 若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则()sin sin sin c e a αβαβ+==+ . 11. P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥. （1）22221111||||OP OQ a b+=+； （2）22||+|OQ|OP 的最大值为22224a b a b+； （3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b+. 13. 已知A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.14. 离心率21c b e a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，221b e a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.15. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 2216. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.17. 过椭圆22221(x y a b a b+=>>左焦点的焦点弦为AB ,则)(221x x e a AB ++=；过右焦点的弦)(221x x e a AB +-=. 18. 椭圆内接矩形最大面积：2ab .19. 若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设(1).过1F 的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c αα==-+ ；②2cos ab AB a c α=-２２２２(2).若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设 过F ２的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c αα==２２＋－ ；②22cos ab AB a c α=-２２２ 椭圆过焦点弦长公式：()()222cos 2sin ab x a c AB ab y a c αα⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪-⎩２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上 20.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2112a mnb+=二．有关双曲线的经典结论焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>，e 越大，双曲线的开口越阔渐近线方程by x a=±a y x b=±1.（1）与221x y a b -=共轭的双曲线方程为221x y a b-=-，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C 为半径的圆上；③2212111e e +=。
椭圆与双曲线12个常考二级结论与模型(学生版)
椭圆与双曲线12个常考二级结论与模型本份讲义以选填中档题和压轴题为主近4年考情(主要以新高考为主)考题示例考点分析关联考点2023年新高考I卷，第16题求双曲线离心率，焦点三角形+几何性质双曲线的焦点三角形问题2023年新高考II卷，第5题椭圆的焦点三角形面积比椭圆的焦点三角形面积2022年新高考I卷，第16题椭圆焦点弦公式，双焦点三角形模型椭圆的定义，离心率，垂直平分线性质2022年新高考II卷，第16题椭圆中点弦问题(点差法)由弦长关系求直线方程2021年新高考I卷，第5题椭圆中的最值问题由基本不等式求最值，椭圆的定义2020年新高考，第22题平移+齐次化(手电筒模型)由斜率积为定值求直角过定点2022年甲卷(理)，第10题椭圆第三定义(点差法)斜率积为定值求离心率2023乙卷·理11·文12题点差法，验证双曲线弦中点是否存在点差法求直线斜率，判断直线与双曲线是否有2个交点【题型1】点差法(弦中点模型)【题型2】点差法(第三定义)【题型3】双曲线焦点三角形内切圆【题型4】焦点弦长与焦半径公式【题型5】焦点弦被焦点分为定比【题型6】 焦点三角形+几何性质求离心率【题型7】 利用对称性【题型8】渐近线的垂线模型【题型9】双焦点三角形倒边模型【题型10】利用邻补角余弦值为相反数构造方程(2次余弦)【题型11】取值范围问题【题型12】椭圆与双曲线共焦点问题2023·新高考1卷T 161已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2．点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A ⊥F 1B ,F 2A =-23F 2B ，则C 的离心率为．2022·新高考2卷16题2已知直线l 与椭圆x 26+y 23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且|MA |=|NB |,|MN |=23，则l 的方程为．2022年新高考I 卷第16题3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12．过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |=6，则△ADE 的周长是．4(2023·全国·高考真题)已知椭圆C :x 23+y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y =x +m 与C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的2倍，则m =( )．A.23B.23C.-23D.-232022年全国甲卷(理)T 10--第三定义5椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ,AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为()A.32B.22C.12D.132023全国乙卷·理11·文126设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.1,1B.-1,2C.1,3D.-1,-47(2021·全国·高考真题)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则MF 1 ⋅MF 2 的最大值为()A.13B.12C.9D.6【题型1】点差法(弦中点模型)中点弦模型(圆锥曲线中的垂径定理)k AB ⋅k OM =e 2-1k AB ⋅k OM =-1½椭圆垂径定理(中点弦模型)：已知A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上任意2点，且弦AB 不平行x 轴，M 为线段AB 中点，则有k AB ⋅k OM =-b 2a2=e 2-1证明(点差法)：设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则M x 1+x 22,y 1+y 22，k OM =y 1+y 2x 1+x 2，k AB =y 1-y 2x 1-x 2，k AB ⋅k OM =y 12-y 22x 12-x 22∵A ，B 在椭圆上，代入A ，B 坐标得x 12a 2+y 12b2=1①x 22a 2+y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=-b 2a 2∴k AB ⋅k OM =-b 2a2=e 2-1【思考】(1)椭圆焦点在y 轴上时，结论是否仍然成立？；(2)在双曲线中是否有类似的性质？(1)设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则Mx 1+x 22,y 1+y 22 ，仍有k OM =y 1+y 2x 1+x 2，k AB =y 1-y 2x 1-x 2，k AB ⋅k OM =y 12-y 22x 12-x 22∵A ，B 在椭圆x 2b 2+y 2a2=1上，代入A ，B 坐标得①:x 12b 2+y 12a 2=1②：x 22b 2+y 22a2=1两式相减得：x 12-x 22b 2+y 12-y 22a 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=-a 2b 2∴k AB ⋅k OM =-a 2b2(2)∵A ，B 在双曲线x 2a 2-y 2b2=1上，代入A ，B 坐标得x 12a 2-y 12b 2=1①x 22a 2-y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2=y 12-y 22b 2，整理得y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2可以看到，这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式．也就是说，已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标．同时也不难得出这样的经验，当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点时，就可以考虑“点差法”．诸如求中点弦的方程，弦中点的轨迹，垂直平分线等等，这些都是较为常见题型．注：抛物线中同样存在类似性质：k AB ⋅y M =p2024·江西鹰潭·一模1已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F ，如图，过点F 作倾斜角为60°的直线与椭圆E 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若5FM =OF (O 为坐标原点)，则椭圆E 的离心率为()A.33B.63C.223D.2772024·湖南邵阳·二模1已知直线l :x -2y -2=0与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)相交于A ,B 两点.若弦AB 被直线m :x +2y =0平分，则椭圆C 的离心率为()A.12B.24C.32D.542024·宁波十校·3月适应性考试1已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，斜率为-19的直线与E 的左右两支分别交于A ，B 两点，点P 的坐标为-1,1 ，直线AP 交E 于另一点C ，直线BP 交E 于另一点D .若直线CD 的斜率为-19，则E的离心率为.2024·福建龙岩·一模1斜率为-1的直线与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)交于A ,B 两点，点T 是椭圆上的一点，且满足TA ⊥TB ，点P ,Q 分别是△OAT ,△OBT 的重心，点R 是△TAB 的外心.记直线OP ,OQ ,OR 的斜率分别为k 1,k 2,k 3，若k 1k 2k 3=-18，则椭圆C 的离心率为.2024·浙江温州·一模1斜率为1的直线与双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)交于两点A ,B ，点C 是曲线E 上的一点，满足AC ⊥BC ，△OAC 和△OBC 的重心分别为P ,Q ，△ABC 的外心为R ，记直线OP ，OQ ，OR 的斜率为k 1，k 2，k 3，若k 1k 2k 3=-8，则双曲线E 的离心率为.2024·吉林白山·一模1不与坐标轴垂直的直线l 过点N x 0,0 ，x 0≠0，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上存在两点A ,B 关于l 对称，线段AB 的中点M 的坐标为x 1,y 1 ．若x 1=2x 0，则C 的离心率为()A.33B.12C.22D.322024·浙江省强基联盟联考1(多选)已知抛物线E :y 2=4x 上的两个不同的点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 关于直线x =ky +4对称，直线AB 与x 轴交于点C x0,0 ，下列说法正确的是()A.E 的焦点坐标为1,0B.x +xC.x 1x 2是定值D.x 0∈-2,2【题型2】点差法(第三定义)第三定义k PA ⋅k PB =-1k PA ⋅k PB =e 2-1½点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点A 1(-a ,0)，A 2(a ,0)的斜率乘积等于常数e 2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e 2-1=-b 2a 2；当常数大于0时为双曲线，此时e 2-1=b 2a 2．【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点A (m ，n )，B (-m ，-n )的斜率乘积等于常数e 2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e 2-1=-b 2a2；当常数大于0时为双曲线，此时e 2-1=b 2a2．【证明】A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上的一组对称点，P 为椭圆上任意点，则有k PA ⋅k PB =-b 2a2=e 2-1证明(点差法)：设P x1,y 1 ，A (x 2,y 2)，B (-x 2,-y 2)，k PA =y 1-y 2x 1-x 2，k PB =y 1+y 2x 1+x 2，k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22∵P ，A 在椭圆上，代入坐标得x 12a 2+y 12b2=1①x 22a 2+y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=-b 2a 2∴k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22=-b 2a2=e 2-1法二：通过椭圆的垂径定理转换中点弦和第三定义本质上是一样的k PA ⋅k PB =k OM ⋅k PB =-b 2a2=e 2-1【思考1】在双曲线中是否有类似的性质？设P x 1,y 1 ，A (x 2,y 2)，B (-x 2,-y 2)，k PA =y 1-y 2x 1-x 2，k PB =y 1+y 2x 1+x 2，k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22x 12a 2-y 12b2=1①x 22a 2-y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2-y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2∴k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2=e 2-1法二：构造中位线设P x ,y ，B (x ,y )∵P ，B 在双曲线x 2a 2-y 2b2=1上，代入双曲线方程得x 12a 2-y 12b2=1①x 22a 2-y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2=y 12-y 22b 2，整理得y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2∴k PA ⋅k PB =k PB ⋅k OM =b 2a2=e 2-1同理可得，当焦点在y 轴上时，椭圆有：k PA ⋅k PB =-a 2b 2；双曲线有：k PA ⋅k PB =a 2b21已知M 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点，A 为双曲线右支上一点，若点A 关于双曲线中心O 的对称点为B ，设直线MA 、MB 的倾斜角分别为α、β，且tan α⋅tan β=14，则双曲线的离心率为()A.5B.3 C.62D.522已知双曲线C 1:x 220-y 210=1的左､右顶点分别为A ,B ，抛物线C 2:y 2=4x 与双曲线C 1交于C ,D 两点，记直线AC ，BD 的斜率分别为k 1,k 2，则k 1k 2为.3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1-2,0 ，F 22,0 ，A 为椭圆C 的左顶点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 在第一、二象限的交点分别为M ，N ，若直线AM ，AN 的斜率之积为13，则椭圆C 的标准方程为()A.x 23+y 2=1B.x 26+y 22=1C.x 29+y 25=1D.x 28+y 24=12024·浙江绍兴·二模1已知点A ，B ，C 都在双曲线Γ：x 2-y 2=1a >0,b >0 上，且点A ，B 关于原点对称，∠CAB =90°.过A 作垂直于x 轴的直线分别交Γ，BC 于点M ，N .若AN =3AM，则双曲线Γ的离心率是()A.2B.3C.2D.232024届·河南天一大联考(六)·T 141已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，左､右顶点分别为A 1、A 2，点M 在C 上运动(与A 1、A 2枃不重合)，直线MA 2交直线x =54a 于点N ，若FN ⋅MA 1 =0恒成立，则C 的离心率为.2024·江苏镇江·开学考试1已知过坐标原点O 且异于坐标轴的直线交椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)于P ,M 两点，Q 为OP 中点，过Q 作x 轴垂线，垂足为B ，直线MB 交椭圆于另一点N ，直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2，若k 1k 2=-12，则椭圆离心率为()A.12B.33C.32D.632024届·湖北省腾云联盟高三联考1已知A ，B 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点，P 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1在第一象限上的一点，直线PA ，PB 分别交椭圆于另外的点M ，N ．若直线MN 过椭圆的右焦点F ，且tan ∠AMN =3，则椭圆的离心率为．江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题2已知A 、B 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 与双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的公共顶点，P 是双曲线上一点，PA ，PB 交椭圆于M ，N .若MN 过椭圆的焦点F ，且tan ∠AMB =-3，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.233【题型3】双曲线焦点三角形内切圆一、单个焦点三角形的内切圆：圆心在直线x=±a上证明：不妨设点P在双曲线C右支上的任意一点，设ΔPF1F2的内切圆的圆心I在三边上的投影分别为B，E，D因为|PD|=|PE|,|F1D|=|F1B|,|F2B|=|F2E|,由双曲线定义，可知：2a=|PF1|-|PF2|=|PD|+|F1D|-(PE|+|F2E|)=|F1D|-|F2E|=|F1B|-|F2B|又因为|F1B|+|F2B|=2c，所以|F1B|=a+c=|F1O|+|OB|，所以|OB|=a。
高中物理常用二级结论汇编(PDF版)
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共 8 页 高中物理二级结论
聪明出于勤奋，天才在于积累.
5．物体沿斜面匀速下滑的条件： tan ，与质量无关。
二、运动学： 1． 匀变速直线运动：
中间时刻的速度：
Vt
2
V1
V2 2
，
位移中点的速度
VS
2
V12 V22 ，
2
2.由纸带点迹求速度、加速度：
VS Vt
2
2
Vt
2
S1 S2 2T
， a S2 S1 ， T2
a
a
α
a
a
a
a
a
光滑，相对静止 弹力为零
相对静止
光滑，弹力为零
7．如图示物理模型，恰好脱离时。弹力为零，此时速度相等，加速度相等，先整体分析，再隔离分析 F
g
a
a
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共 8 页 高中物理二级结论
聪明出于勤奋，天才在于积累.
河北辛集中学高三年级物理组
简谐振动至最高点
在力 F 作用下匀加速运动
F 在力 F 作用下匀加速运动
8．下列各模型中，速度最大时合力为零，速度为零时，加速度最大
F
B
F
B
9.一起加速运动的两个物体，刚好离开时： 弹力为零，此时的速度相等，加速度相等。 10．求瞬时加速度时注意：轻绳的拉力可以突变为零，但弹簧的弹力不能发生突变。
高考数学常用的50个二级结论
高考数学常用的50个二级结论二级结论绝对会提高你的解题速度，对提升正确率无疑也很有帮助。
但二级结论不同于公式，仅仅将其记住，一是考场上很难想起，二是生搬硬套，很容易陷入老师的命题陷阱里。
因此，一定要自己动手，将每一个二级结论推导一遍，考场上才好放心使用哦~5. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和.12. 过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点.13. 圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导.推论：14. 切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程.22. 过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值.24. 抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F的连线垂直于该焦点弦.25. 双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a(长半轴长).26. 对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两直线斜率之积为定值，两直线交曲线于A，B两点，则直线AB恒过定点.32. 角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线.39. 帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上.45. 三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；(4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心；(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心；(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心；(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.。
二级结论实际应用、变式及解析(PDF文档,31页)
纵观中学数学教材,基本上是由题组成的(除了部分概念的介绍),而高考试题大部分都源于教材.编教材离不开题,授课离不开题,学数学离不开题,考试更离不开题.实际上高考试题大都是通过对教材例题和习题加工㊁改造㊁引申㊁推广而成的,不仅如此,试题的表现方式和语言表达也尽可能与教材保持一致,使考生有一种似曾相识的感觉,所以我们要仔细琢磨,把教材上的题研究到位.结合高考真题,最终我们独创了 题型+模型 的全新教学法,本篇将把高考试题中经常出现而且教材上有所体现的部分二级结论呈现给大家,部分结论对学生的解题有很好的指导作用,同时对演算结果有精准的验证作用,以便同学们在解答高考题时做到准确㊁快捷.结论一例1 设集合A =(x ,y )x 24+y 216=1{},B ={(x ,y )|y =3x},则A ɘB 的子集的个数是( ).A .4B .3C .2D .1变式1 已知集合A =x |x 2-3x +2=0,x ɪR {},B =x |0<x <5,x ɪN {},则满足条件A ⊆C ⫋B 的集合C 的个数为( ).A .1B .2C .3D .4例2 已知M ,N 为集合I 的非空子集,且M ,N 不相等,若N ɘ∁I M =∅,则M ɣN =( ).A .MB .NC .ID .∅变式1 设集合A ={x |x 2-6x +5=0},B ={x |a x -1=0},若A ɘB =B ,则由实数a 的所有可能取值组成的集合C 为( ).A .1,15{}B .12,13{}C .0,1,15{}D .0,12,13{}常考二级结论及其应用结论二例3 设全集U ={a ,b ,c ,d },集合A ={a ,b },B ={b ,c ,d },则∁U A ()ɣ∁UB ()=.变式1 已知全集U =A ɣB 中有m 个元素,∁U A ()ɣ∁U B ()中有n 个元素.若A ɘB 非空,则A ɘB 的元素个数为( ).A .m n B .m +n C .n -mD .m -n变式2 写出下列命题的否定.(1)命题p ᶱq :A =0或B =0;(2)命题p ɡq :A =0且B =0.结论三例4 设函数f (x )=(x +1)(x -4)+t a n x x 2-4的最大值为M ,最小值为m ,则M +m =.变式1 已知函数f (x )=l n 1+9x 2-3x ()+1,则f (l g 2)+f l g 12æèçöø÷=( ).A .-1B .0C .1D .2变式2 对于函数f (x )=a s i n x +b x +c (其中a ,b ɪR ,c ɪZ ),选取a ,b ,c 的一组值计算f (1)和f (-1),所得出的正确结果一定不可能是( ).A .4和6B .3和1C .2和4D .1和2结论四例5 设点P 在曲线y =12e x上,点Q 在曲线y =l n (2x )上,则|P Q |的最小值为( ).A .1-l n 2B .2(1-l n 2)C .1+l n 2D .2(1+l n 2)变式1 若x 1满足2x +2x=5,x 2满足2x +2l o g 2(x -1)=5,则x 1+x 2=( ).A .52B .3C .72D .4结论五例6 已知函数f (x )满足:f (5)=14,4f (x )f (y )=f (x +y )+f (x -y )(x ,y ɪR ),则f (2015)=.变式1 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=l o g 2(1-x )(x ɤ0)f (x -1)-f (x -2)(x >0){,则f (2017)=( ).A .-1B .0C .1D .2变式2 已知定义在R 上的函数f (x )满足f x +32æèçöø÷=-f (x ),且f (-2)=f (-1)=-1,f (0)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+ +f (2016)+f (2017)=( ).A .-2B .-1C .0D .1结论六例7对于定义域为[0,1]的连续函数f(x),如果同时满足以下3个条件:(1)对任意的xɪ[0,1]总有f(x)ȡ0;(2)f(1)=1;(3)若x1ȡ0,x2ȡ0,x1+x2ɤ1,都有f(x1+x2)ȡf(x1)+f(x2)成立.则称函数f(x)为理想函数.若函数f(x)为理想函数,假定存在x0ɪ[0,1],使得f(x0)ɪ[0,1],且f[f(x0)]=x0.求证:f(x0)=x0.变式1设函数f(x)=e x+x-a(aɪR,e为自然对数的底数).若曲线y=s i n x上存在点(x0, y0)使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是().A.[1,e]B.[e-1,1]C.[1,1+e]D.[e-1,e+1]变式2若函数y=l o g a(x2-a x+1)(a>0且aʂ1)在(1,2)上为增函数,则实数a的取值范围是.结论七例8 已知a >0,则x 0满足关于x 的方程a x =b 的充要条件是( ).A .∃x ɪR ,12a x 2-b x ȡ12a x 20-b x 0B .∃x ɪR ,12a x 2-b x ɤ12a x 20-b x 0C .∀x ɪR ,12a x 2-b x ȡ12a x 20-b x 0D .∀x ɪR ,12a x 2-b x ɤ12a x 20-b x 0变式1 若函数f (x )=(1-x 2)(x 2+a x +b )的图像关于直线x =-2对称,则f (x )的最大值是.变式2 定义m i n [f (x ),g (x )]=f (x ),f (x )ɤg (x )g (x ),f (x )>g (x){.若函数f (x )=x 2+t x +s 的图像经过两点(x 1,0),(x 2,0),且存在整数m ,使得m <x 1<x 2<m +1成立,则( ).A .m i n [f (m ),f (m +1)]<14B .m i n [f (m ),f (m +1)]>14C .m i n [f (m ),f (m +1)]=14D .m i n [f (m ),f (m +1)]ȡ14变式3 设m a x {f (x ),g (x )}=f (x ),f (x )>g (x )g (x ),f (x )ɤg (x ){,若函数h (x )=x 2+p x +q (p ,q ɪR )的图像经过不同的两点(α,0),(β,0),且存在整数n ,使得n <α<β<n +1成立,则( ).A .m a x {h (n ),h (n +1)}>1B .m a x {h (n ),h (n +1)}<1C .m a x {h (n ),h (n +1)}>12D .m a x {h (n ),h (n +1)}<12结论八例9已知函数f(x)=1l n(x+1)-x,则y=f(x)的图像大致为().A. B. D.变式1已知函数f(x)=e x,xɪR.求证:曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点.变式2设函数f(x)=1-e-x.求证:当x>-1时,f(x)ȡx x+1.结论九例10已知函数f(x)=A c o s(ωx+φ)的图像如图2-2所示,fπ2æèçöø÷=-23,则f(0)=().A.-23B.2312D.12图变式1 已知函数y =g (x )的图像由f (x )=s i n 2x 的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位得到,这两个函数的部分图像如图2-所示,则.变式2 设函数f (x )=A s i n (ωx +φ)(A ,ω,φ是常数,A >0,ω>0).若f (x )在区间π6,π2éëêêùûúú上具有单调性,且f π2æèçöø÷=f 2π3æèçöø÷=-f π6æèçöø÷,则f (x )的最小正周期为 .结论十例11 在әA B C 中,A B ң=c ,A C ң=b .若点D 满足B D ң=2D C ң,则A D ң=( ).A .23b +13cB .53c -23bC .23b -13cD .13b +23c 变式1 若在直线l 上存在不同的三点A ,B ,C ,使得关于实数x 的方程x 2O A ң+xO B ң+B C ң=0有解(点O 不在直线上),则此方程的解集为( ).A.∅B .{-1,0}C .{-1} D.-1+52,-1-52{}变式2 已知两个单位向量a ,b 的夹角为60ʎ,c =t a +(1-t )b ,若b ㊃c =0,则t =.结论十一例12 在әA B C 中,点M 是B C 的中点,AM =3,B C =10,则A B ң㊃A C ң=.变式1 在әA B C 中,设点P 0是A B 边上一定点,满足P 0B =14A B ,且对于A B 边上任一点P ,恒有P B ң㊃P C ңȡP 0B ң㊃P 0C ң,则( ).A .øA B C =90ʎB .øB A C =90ʎC .A B =A C D .A C =B C变式2 点P 是棱长为1的正方体A B C D A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点,则P A ң㊃P C 1ң的取值范围是( ).A .-1,-14éëêêùûúúB .-12,-14éëêêùûúúC .[-1,0]D .-12,0éëêêùûúú变式3 已知圆M :x 2+(y -1)2=1,圆N :x 2+(y +1)2=1,直线l 1,l 2分别过圆心M ,N ,且l 1与圆M 相交于A ,B 两点,l 2与圆N 相交于C ,D 两点,点P 是椭圆y 24+x 23=1上的任意一动点,则P A ң㊃P B ң+P C ң㊃P D ң的最小值为 .例13 在平面上,A B 1ңʅA B 2ң,O B 1ң=O B 2ң=1,A P ң=A B 1ң+A B 2ң.若O P ң<12,则O A ң的取值范围是( ).A .0,52æèçùûúúB .52,72æèçùûúúC .52,2æèçùûúúD .72,2æèçùûúú变式1 在R t әA B C 中,点D 是斜边A B 的中点,点P 为线段C D 的中点,则|P A |2+|P B |2|PC |2=( ).A .2B .4C .5D .10结论十二例14 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 33-S 22=1,则数列{a n }的公差是( ).A.12B .1C .2D.3变式1 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=100,S 100=10,则S 110=.结论十三例15 在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=( ).A .58B .88C .143D .176变式1 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m -1+a m +1-a 2m =0,S 2m -1=38,则m =.变式2 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45n +3(n ɪN *),则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( ).A .2B .3C .4D .5结论十四例16已知{a n}是首项为1的等比数列,S n是{a n}的前n项和,且9S3=S6,则数列1a n{}的前5项和为().A.158或5B.3116或5C.3116D.158变式1在等比数列{a n}中,公比为q,其前n项和为S n.已知S5=3116,a3=14,则1a1+1a2+1a3+1a4+1a5= .例17等比数列{a n}的前n项和为S n,已知对任意的nɪN*,点(n,S n)均在函数y=b x+ r(b>0且bʂ1,b,r为常数)的图像上,求r的值.变式1已知等比数列{a n}的前n项和S n=t㊃5n-2-15,nɪN*,则实数t=().A.4B.5C.45D.15(),则f(n)=.变式2设f(n)=3+33+35+37+ +32n+9nɪΝ结论十五例18 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6S 3=3,则S 9S 6=( ).A .2B .73C .83D .3变式1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=3,S 4=15,则S 6=( ).A .31B .32C .63D .64变式2 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 4S 8=13,则S 8S 16=( ).A .310B .13C .19D .18结论十六例19 过点(3,1)作圆(x -1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线A B 的方程为( ).A .2x +y -3=0B .2x -y -3=0C .4x -y -3=0D .4x +y -3=0变式1 已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线a x +b y =1与圆O 的位置关系是().A.相切B .相交C .相离 D.不确定变式2 若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的焦点在x 轴上,过点1,12æèçöø÷作圆x 2+y 2=1的切线,切点分别为A ,B 两点,直线A B 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 .结论十七例20 直线m 与椭圆x 22+y 2=1分别交于点P 1,P 2,线段P 1P 2的中点为P ,设直线m 的斜率为k 1(k 1ʂ0),直线O P 的斜率为k 2,则k 1㊃k 2的值为( ).A.2B .-2C .12D .-12变式1 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线与此抛物线相交于P ,Q 两点,那么线段P Q 中点的轨迹方程是( ).A.y 2=2x -1B .y 2=2x -2C .y 2=-2x +1D .y 2=-2x +2例21 已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交椭圆于A ,B 两点.若A B 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( ).A .x 245+y 236=1B .x 236+y 218=1C .x 227+y 218=1D .x 218+y 29=1变式1 椭圆C :x 24+y 23=1的左㊁右顶点分别为A 1,A 2,点P 在椭圆C 上且直线P A 2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线P A 1的斜率的取值范围是( ).A .12,34éëêêùûúúB .38,34éëêêùûúúC .12,1éëêêùûúúD .34,1éëêêùûúú变式2 如图2-11所示,在平面直角坐标系x O y 中,过坐标原点的直线交椭圆x 24+y 22=1于P ,A 两点,其中点P 在第一象限,过点P 作x 轴的垂线,垂足为点C ,联结A CB 线P A 的斜率为k .对任意k >0,求证:P A ʅP B .图2-11结论十八例22 已知椭圆C :x 24+y 23=1,点A 为椭圆上的定点,若其坐标为A 1,32æèçöø÷,E ,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线A E 的斜率与A F 的斜率互为相反数.求证:直线E F 的斜率为定值,并求出这个定值.变式1 已知抛物线C :y 2=2x ,定点P (8,4)在抛物线上,设A ,B 是抛物线上的两个动点,直线P A ,P B 的斜率分别为k P A ,k P B ,且满足k P A +k P B =0.求证:直线A B 的斜率k A B 为定值,并求出该定值.结论十九例23 已知椭圆x 4+y 3=1,直线l :y =k x +m 与椭圆交于A ,B 两点(A ,B 不是左㊁右顶点),且以A B 为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.变式1 已知抛物线y 2=2p x (p >0)上异于顶点的两动点A ,B 满足以A B 为直径的圆过顶点.求证:A B 所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.变式2 如图2-16所示,点O 为坐标原点,直线l 在x 轴上的截距为a (a >0),且交抛物线y 2=2px (p >0)于M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)两点,当a =2p 时,求øMO N 的大小.图2-16变式3 已知直线y =a 交抛物线y =x 2于A ,B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得øA C B =90ʎ,则a 的取值范围为.结论二十例24已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若M Aң㊃M Bң=0,则k=().A.12B.22C.2D.2变式1过抛物线y2=2p x(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N两点,自点M ,N 向直线l :x =-a 作垂线,垂足分别为点M 1,N 1.当a =p2时,求证:AM 1ʅA N 1.结论二十一例25 如图2-21所示,F 1,F 2是椭圆C 1:x 24+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二㊁四象限的公共点.若四边形A F 1B F 2为矩形,则C 2的离心率是( ).A .2B .3C .32D .62变式1 已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且P F 1ңʅP F 2ң.若әP F 1F 2的面积为9,则b =.变式2 已知双曲线x 2-y 22=1的焦点为F 1,F 2,点M 在双曲线上且MF 1ң㊃M F 2ң=0,则点M 到x 轴的距离为( ).A .43B .53C .233D .3变式3 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1与双曲线x 2m 2-y 2n 2=1有相同的焦点F 1和F 2,它们的一个交点为P ,设øF 1P F 2=2α,求证:t a n α=nb.第二篇 常考二级结论及其应用例1解析 由题意知,集合A 为椭圆x 24+y 216=1上所有点的集合,集合B 是指数函数y =3x图像上所有点的集合.如图2-22所示,由图知集合A ɘB 中有2个元素,故A ɘB 的子集个数是22=4.故选A .图2-22解析由题意知A ={1,2},B ={1,2,3,4},因为A ⊆C ⫋B ,所以集合C 是集合{1,2}与集合{3,4}的任意一个真子集的并集,即求集合{3,4}的真子集的个数,故集合C 的个数为22-1=3.故选C .例2解析 如图2-23所示,若N ɘ∁IM =∅,则N ⊆M ,故选A .图2-23解析由题意知A ={1,5},若A ɘB =B ,则B ⊆A .①若B =∅,则a =0;②若B ʂ∅,则1ɪB 或5ɪB ,即a -1=0或5a -1=0,解得a =1或a =15.故集合C =0,1,15{}.故选C .∅⊆A .例3解析 因为A ɘB ={b },所以∁U A ()ɣ(∁UB )={a ,c ,d }.解析因为U A )ɣ(∁U B )=∁U (A ɘB ),即集合∁U (A ɘB )中有n 个元素.又全集U 中有m 个元素,所以A ɘB 中有m -n 个元素.故选D .评注本题若结合V e n n 图求解会更快捷.解析 (p ᶱq )=( p )ɡ( q ),即 (p ᶱq ):A ʂ0且B ʂ0.(2)因为 (p ɡq )=( p )ᶱ( q ),即 (p ɡq ):A ʂ0或B ʂ0.评注 (1)p ᶱq :A =0或B =0⇔A B =0, (p ᶱq ):A B ʂ0⇔A ʂ0且B ʂ0.(2)p ɡq :A =0且B =0⇔A 2+B 2=0, (p ɡq ):A 2+B 2ʂ0⇔A ʂ0或B ʂ0.例4解析 f (x )=(x +1)(x -4)+t a n xx 2-4=1+t a n x -3x x 2-4,设g(x )=t a n x -3xx 2-4.因为g (-x )=t a n (-x )+3xx 2-4=-g (x ),即g (x )为定义域上的奇函数.所以g (x )m a x +g (x )m i n =0,故M +m =[g (x )+1]m a x +[g (x )+1]m i n =2+g (x )m a x +解析令g x )=l n 1+9x 2-3x (),x ɪR ,则g (-x )=l n 1+9x 2+3x ().因为g (x )+g (-x )=l n 1+9x 2-3x ()+l n 1+9x 2+3x ()=l n (1+9x 2-9x 2)=l n 1=0,所以g (x )是定义在R 上的奇函数.又l g 12=-l g 2,所以g (l g 2)+g l g 12æèçöø÷=0,f (lg 2)+f l g 12æèçöø÷=g (l g 2)+1+g l g 12æèçöø÷+故选.解析令=a s i n x +b x ,x ɪR ,则g (-x )=a s i n (-x )-b x =-g (x ),即g (x )是定义在R 上的奇函数.故g (-1)+g (1)=0,所以f (1)+f (-1)=g (1)+c +g (-1)+c =2c .又c ɪZ ,所以f (1)+f (-1)=2c 为偶数,故一定不可能是1和2.故选D .例5解析 由题意知函数y =12e x 与y =l n (2x )互为反函数,其图像关于直线y =x 对称,如图2-24所示.两曲线上点之间的最小距离|P 0Q 0|恰好是y =x 与y =12e x上点的最小距离的2倍,设y =12e x上点P 0(x 0,y 0)处的切线与y =x 平行,有12e x 0=1,解得x 0=l n 2,y 0=1,所以y =x 与y =12e x上点的最小距离,即为点P 0到直线y =x 的距离,且为22(1-l n 2),故|P Q |的最小值为22(1-l n 2)ˑ2=2(1-l n 2).故选B.图解析 因为2x +2x=5,所以x +2x -1=52.同理x +l o g 2(x -1)=52,令t =x -1,则x =t +1,即t 1是t +2t=32的解,t 2是t +l o g 2t =32的解,且t 1=x 1-1,t 2=x 2-1.如图2-25所示,t 1为函数y =2t与y =32-t 图像交点P 的横坐标,t 2为函数y =l o g 2t 与y =32-t 图像交点Q 的横坐标,所以P (t 1,2t 1),Q (t 2,l o g 2t 2).因为函数y =2t与y =l o g 2t 互为反函数,所以点P ,Q 关于直线y =x 轴对称,即t 1=l o g 2t 2,t 2=2t 1,所以t 1+t 2=t 1+2t 1=t 1+32-t 1æèçöø÷=32.所以x 1+x 2=t 1+1+t 2+1=32+272.故选图例6解析 因为f (5)=14,且4f (x )f (y )=f (x +y )+f (x -y )(x ,y ɪR ),所以令y =5,则f(x )=f (x +5)+f (x -5)①故f (x +5)=f (x +10)+f (x )②由①+②得f (x +10)+f (x -5)=0,即f (x +10)=-f (x -5),得f (x +15)=-f (x ),T =30.因此f )=f (5+30ˑ67)=f (5)=14.解析当时,有f (x )=f (x -1)-f (x -2)①同理有f (x +1)=f (x )-f (x -1)②①+②得f (x +1)=-f (x -2),即f (x +3)=-f (x ).所以f (x +6)=-f (x +3)=f (x ),T =6.于是f (2017)=f (1+6ˑ336)=f (1)=f (0)-f (-1)=l o g 21-l o g 22=0-1=-1.故选解析 因为f x +32æèçöø÷=-f (x ),所以f (x +3)=-f x +32æèçöø÷=f (x ),T =3.则有f (1)=f (-2)=-1,f (2)=f (-1)=-1,f (3)=f (0)=2,于是f (1)+f (2)+f (3)=0,所以f (1)+f (2)+ +f (2016)+f (2017)=[f (1)+f (2)+f (3)]+ +[f (2014)+f (2015)+f (2016)]+f (2017)=672ˑ[f (1)+f (2)+f (3)]+f (2017)=f (1+3ˑ672)=f (1)=f (-2)=-1.故选B .例7解析 假设f (x 0)=t ,则f [f (x 0)]=f (t )=x 0.当x 0>t 时,由条件(3)可推出函数f (x )在[0,1]上非减,所以f (x 0)ȡf (t ),即t ȡx 0,与x 0>t 矛盾,故当x 0>t 时不成立.同理,当x 0<t 时,有f (x 0)ɤf (t ),即t ɤx 0,与x 矛盾.综上所述,t =x 0,故f (x 0)=x 0.解析 令t =g (x )=e x+x -a ,则y =t (t ȡ0).g'(x )=e x+1,因为g '(x )>0恒成立,所以g (x )在定义域上为增函数,幂函数y =t =t 12在[0,+ɕ)上也为单调增函数,由复合函数的单调性可知f (x )=e x+x -a 在定义域上为增函数.若曲线y =s i n x 上存在点(x 0,y 0)使得f [f (y 0)]=y 0成立,即存在y 0ɪ[-1,1]使得f [f (y 0)]=y 0成立,由结论六知,方程f (x )=x 在[-1,1]上有解,即∃x ɪ[-1,1],使得e x+x -a =x ,亦即a =e x +x -x 2在[0,1]上有解.令h (x )=e x +x -x 2,x ɪ[0,1],h '(x )=e x+1-2x .当x ɪ[0,1]时,h '(x )>0恒成立,故h (x )在[0,1]上单调递增,所以h (x )ɪ[h (0),h (1)]=a ɪ[1,e ].故选A .解析 令t =g x )=x 2-a x +1,则y =f (t )=l o g a t .①当0<a <1时,抛物线t =g (x )的对称轴x =a 2ɪ0,12æèçöø÷.如图2-26所示,g (x )在(1,2)上为增函数,而y =f (t )在(0,+ɕ)上为减函数.所以复合函数y =f [g (x )]=l o g a (x 2-a x +1,与已知条件不符.(a) (b)图2-26②当a >1时,抛物线t =g (x )在a 2,+ɕéëêêöø÷上为增函数,y =f (t )在(0,+ɕ)上为增函数,若复合函数y =l o g a (x 2-a x +1)在(1,2)上为增函数,则需g (x )在(1,2)上单调递增,且g (1)ȡ0,即a 2ɤ12-a ȡ0a >1ìîíïïïï,解得1<a ɤ2.综上所述,实数a 的取值范围是(1,2].评注 复合函数利用 同增异减 判断其单调性时,一定要注意单调区间是定义域的子集.就本题而言,g (x )在(1,2)上的函数值均为正数才有意义.例8解析 由已知得a x 0=b ,即x 0=ba .观察选项,发现与二次函数f (x )=12a x 2-b x (a >0,x ɪR )有关.结合如图2-27所示图形可知,抛物线y =f (x )的对称轴为x =b a ,在-ɕ,b a æèçùûúú上单调递减,在b a ,+ɕéëêêöø÷上单调递增.若x 0=b a ,则∀x ɪR ,都有f (x )ȡf (x 0),即12a x 2-b x ȡ12a x 20-b x 0.反之,若∀x ɪR ,12a x 2-b x ȡ12a x 20-b x 0恒成立,则f (x 0)为f (x )的最小值,即x 0=ba.故选C .图解析因为f (x )的图像关于直线x =-2对称,且f (1)=f (-1)=0,即x 1=-1,x 2=1是函数f (x )的两个零点,所以方程x 2+a x +b =0也有两解,分别为x 3=-3,x 4=-5.则f (x )=(1-x 2)(x 2+a x +b )=-(x +1)(x -1)(x +3)(x +5)=-(x 2+4x +3)(x 2+4x -5).令t =x 2+4x ,t ɪ[-4,+ɕ),y =-(t +3)㊃(t -5)=-(t 2-2t -15)=-(t -1)2+16.所以当t =1,即x 2+4x =1时,f (x )有最大值解析依题意f (x )=(x -x 1)(x -x 2),m i n [f (m ),f (m +1)]ɤf (m )f (m +1).令x 1-m =x ,x 2-m =y ,则有0<x <y <1,f (m )=(m -x 1)(m -x 2)=x y ,f (m +1)=(m +1-x 1)(m +1-x 2)=(1-x )(1-y ),所以f (m )f (m +1)=x y (1-x )(1-y )<x +1-x 2æèçöø÷2y +1-y 2æèçöø÷2=142,故m i n [f (m ),f (m +1)]ɤf (m )f (m +1)<14.故选A .解析依题意,设h (x )=(x -α)(x -β),m a x {h (n ),h (n +1)}ȡh (n )h (n +1).令α-n =x ,β-n =y ,则有0<x <y <1,h (n )=(n -α)(n -β)=x y ,h (n +1)=(n +1-α)(n +1-β)=(1-x )(1-y ),显然,h (n ),h (n +1)都小于1,所以m a x {h (n ),h (n +1)}<1.故选B .例9解析 因为f (x )的定义域为x +1>0l n (x +1)-x ʂ0{,即{x |x >-1且x ʂ0},所以排除选项D ;令g (x )=l n (x +1)-x ,则由经典不等式l n (x +1)ɤx 知,g (x )ɤ0恒成立,故f (x )=1g (x )<0恒成立,所以排除A ,C .故选B .解析 令g (x )=f (x )-12x 2+x +1æèçöø÷=e x -12x 2-x -1,x ɪR .g '(x )=e x-x -1,由经典不等式e xȡx +1(x ɪR )恒成立可知,g'(x )ȡ0恒成立,所以g (x )在R 上为单调递增函数,且g (0)=0,故函数g (x )有唯一零点,即两曲线有唯一公共点.解析 x >-1时,f (x )ȡxx +1⇔x >-1,1-e -x ȡx x +1⇔1-x x +1ȡe -x(x >-1)⇔1x +1ȡ1ex (x >-1)⇔x +1ɤe x(x >-1).由经典不等式e xȡx +1(x ɪR )恒成立可知,x >-1时,e xȡx +1,即x >-1时,f (x )ȡxx +1.例10解析 依题意,易知函数y =f (x )的最小正周期为T =211π12-7π12æèçöø÷=2π3,所以f (0)=f 2π3æèçöø÷.因为函数y =f (x )的图像关于点7π12,0æèçöø÷中心对称.又2π3+π22=7π12,所以f 2π3æèçöø÷=-f π2æèçöø÷=23,所以f (0)=23.故选解析由题意知f (x )与g (x )的最小正周期均为π.其中f (x )图像上的点A ,B 平移后对应g (x )图像上的C ,D 两点.又A ,B 两点关于直线x=π4对称,所以x B +x A 2=π4,解得x B =3π8.又x D =17π24,所以φ=17π24-3π8=17π-9π24=π3.解析记f x 的最小周期为T ,因为f (x )在区间π6,π2éëêêùûúú上具有单调性,所以T 2ȡπ2-π6=π3,即T ȡ2π3.又f π2æèçöø÷=f 2π3æèçöø÷=-f π6æèçöø÷,且2π3-π2=π6<T ,可作出函数f (x )的示意图如图2-28所示(一种情况):所以x 1=π2+π6æèçöø÷ˑ12=π3,x 2=π2+2π3æèçöø÷ˑ12=7π12,于是T 4=x 2-x 1=7π12-π3=π4,故T =π.图评注 f π2æèçöø÷=-f π6æèçöø÷,且在同一单调区间内,故相应两点π6,f π6æèçöø÷æèçöø÷,π2,f π2æèçöø÷æèçöø÷关于点(x 1,0)中心对称,f π2æèçöø÷=f 2π3æèçöø÷,且在同一周期内,故相应两点关于直线x =x 2轴对称.例11解析 如图2-29所示,在әA B C 中,因为B D ң=2D C ң,所以B D ңʊD C ң,且|B D |=2|D C |,即点D 为线段B C 的三等分点.故A D ң=A B ң+B D ң=A B ң+23B C ң=A B ң+23A C ң-A B ң()=13A B ң+23A C ң=13c +23b .故选 图2-29评注 在平面O A B 内,向量O A ң与O Bң不共线,若点P 为平面内任意一点,且O P ң=λO A ң+μOB ң,λ,μɪR .如图2-30所示,点P 0为线段A B 的中点,则有以下相关结论:(1)若点P 在线段A P 0上(不含端点),则0<μ<12<λ<1,且λ+μ=1.(2)若点P 在线段B P 0上(不含端点),则0<λ<12<μ<1,且λ+μ=1.(3)若点P 在B A 的延长线上,则λ>1,μ<0,且λ+μ=1.(4)若点P 在A B 的延长线上,则λ<0,μ>1,且λ+μ=1.(5)若点P 在әO A B 内部(不含边界),则0<λ<1,0<μ<1,且0<λ+μ<1.(6)若点P 在O P 0的延长线上,则λ=μ>12.总之,①若点P 与点O 在直线A B 同侧,且O P ң=λO A ң+μO B ң,则λ+μ<1;②若点P 与点O 在直线A B 两侧,且O P ң=λO A ң+μO B ң,则λ+μ>1;③若点P 在直线A B 上,且O P ң=λO A ң+μOB ң,则λ+μ=1,且点P 与A ,B 两点间的距离大小与O A ң,O B ң的系数(即图2-30解析 由于x 2O A ң+xO B ң+B C ң=0,即x 2O A ң+xO B ң+O C ң-O B ң=0,所以O C ң=-x 2O A ң-xO B ң+O B ң=-x 2O A ң+(1-x )O B ң.因为A ,B ,C 三点共线,所以-x 2+(1-x )=1,解得x =0或-1.当x =0时,x 2O A ң+xO B ң+B C ң=0,即B C ң=0不合题意,所以x =-1.故选C .解析如图1所示,设O A ң=a ,O B ң=b ,因为单位向量a ,b 的夹角为60ʎ,所以әO A B 为等边三角形.又c =t a +(1-t )㊃b ,设O C ң=c ,则A ,B ,C 三点共线.又b ㊃c =0,所以过点O 作O B的垂线与B A 的延长线交于点C ,易知|A C |=|A B |,即点A 为B C 的中点,所以c =a +A C ң=a +B A ң=a +(O A ң-O B ң)=2a -b .故t =2.图2-31例12解析 如图2-32所示,因为点M 为B C 的中点,所以A B ң㊃A C ң|A M ң|2|M C ң|25=-16.图2-32解析 如图2-所示,取B C 中点为点Q ,则P 0B ң㊃P 0C ң=|P 0Q ң|2-|Q C ң|2.同理,边A B 上任作一点P ,有P B ң㊃P C ң=|P Q ң|2-|Q C ң|2.因为P B ң㊃P C ңȡP 0B ң㊃P 0C ң,所以|P Q ң|2-|Q C ң|2ȡ|P 0Q ң|2-|Q C ң|2,即|P Q ң|2ȡ|P 0Q ң|2恒成立,亦即P Q ңȡP 0Q ң,所以P 0Q ʅA B ,当点P 为A B 中点时,则P C ʅA B ,即әA B C 为等腰三角形,且C A =C B .故选D.图2-33解析如图34所示,在正方体A B C DA 1B 1C 1D 1中,设A C 1的中点为点Q ,则P Aң㊃P C 1ң=|P Q ң|2-|Q A ң|2.因为正方体棱长为1,所以中心Q 与底面A 1B 1C 1D 1内任一点连线的线段P Q 的长度取值范围为12,32éëêêùûúú,且Q A ң=32,所以P A ң㊃P C 1ң|P Q ң|2-34-12,0éëêêùûúú.故选D .图2-34解析 P A ң㊃P B ң=(P M ң+M A ң)㊃(P M ң+M B ң)=(P M ң+M A ң)㊃(P M ң-M A ң)=|P M ң|2-|M A ң|2=|P M ң|2-1,同理P C ң㊃P D ң=|P N ң|2-1,则P A ң㊃P B ң+P C ң㊃P D ң=|P M ң|2+|P N ң|2-2=(|P M ң|+|P N ң|)2-2|P M ң||P N ң|-2=(2a )2-2-2|P M ң||P N ң|=14-2||P M ң||P N ң|.又|P M ң||P N ң|ɤ|P M ң|+|P N ң|2æèçöø÷2=a 2=4,当且仅当|P M ң|=|P N ң|时等号成立.故P A ң㊃P B ң+P C ң㊃P D ңȡ14-2ˑ4=6.故填6.例13解析 如图2-35所示,因为A B 1ңʅA B2ң,A P ң=AB 1ң+A B 2ң,所以四边形A B 1P B 2为矩形.又因为O B 1ң=O B 2ң=1,所以|O A ң|2+|O P ң|2=|O B 1ң|2+|O B 2ң|2=2.所以|O A ң|2=2-|O P ң|2.又因为O P ң<12,所以|O A ң|2ɪ74,2æèçùûúú,即O A ңɪ72,2æèçùûúú.故选D .解析 如图6所示,在әA B C 中,设C A ң+C B ң=C E ң,则四边形A C B E 为平行四边形.又øA C B =90ʎ,所以四边形A C B E 为矩形,则|P C ң|2+|P E ң|2=|P A ң|2+|P B ң|2.又点P 为C D中点,所以|P A |2+|P B |2|P C |2=|P C |2+|P E |2|P C |2=|P C |2+(3|P C |)2|P C |2=10.故选D图2-35图2-36例14解析 因为S n=n (a 1+a n )2,所以S n n =a 1+a n2=a 1+d2(n -1),那么S 33-S 22=d 2=1,得d =2.故选解析 因为{a n }是等差数列,所以S nn{}也为等差数列,令b n =S nn,公差为d ,故b 10=S 1010=10,b 100=S 100100=110,则d =b 100-b 10100-10=110-1090=-11100,所以b 110=b 10+100d =10+100ˑ-11100æèçöø÷=-1,即S 110110=-1,所以S 110=-110.评注 等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m =n ,S n =m (m ʂn ,m ,n ɪN *),则S m +n =-(m +n ).例15解析 因为{a n }为等差数列,又a 4+a 8=16,所以a 6=a 4+a 82=8,于是S 11=11a 6=8ˑ11=故选解析因为{n 是等差数列,所以S 2m -1=(2m -1)a m =38.又a m -1+a m +1-a 2m =0,所以2a m -a 2m =-a m (a m -2)=0,解得a m =0(舍)或a m =2,所以S 2m -1=(2m -1)㊃2=38,解得m =10.解析因为{a n }和{b n }都是等差数列,所以a 1+a 2n -1=2a n ,所以A 2n -1=(a 1+a 2n -1)(2n -1)2=(2n -1)a n (n ɪN *).同理B 2n -1=(2n -1)b n ,所以a n b n =A 2n -1B 2n -1=7(2n -1)+452n +2=7+12n +1(nɪN *).所以要使得a nb n为整数,正整数n 可能的值为1,2,3,5,11,共5个.故选D .例16解析 设数列{a n }的公比为q ,若q =1,则S 3=3,S 6=6,9S 3ʂS 6,与已知矛盾,故q ʂ1.所以有9(1-q 3)1-q =1-q 61-q,即9=1+q 3.解得q =2.所以数列1a n{}是首项为1,公比为12的等比数列,其前5项和为1-12æèçöø÷51-12=3116.故选C .评注 这里由于项数不多,可用和定义列方程,不必分情况.9(a 1+a 2+a 3)=a 1+a 2+…+a =2,下同.解析解法一:因为{a n }为等比数列,且S 5=3116,a 3=14,若q =1,则S 5=5a 3=54,与已知矛盾.故q ʂ1.所以有a 1(1-q 5)1-q =3116,1-q 51-q =3116a 1.因为1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5可看作是数列1a 5,1a 4,1a 3,1a 2,1a 1的5项和,且首项为1a 5,公比为q .故所求和为1a 5(1-q 5)1-q =1a 5㊃3116a 1=3116a 23=31.解法二:由等比数列{a n }知,a 1a 5=a 2a 4=a 23,得1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5=a 1+a 5a 1a 5+a 2+a 4a 2a 4+a 3a 23=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5a 23=S 5a 23=3116116=31.评注 若a 1,a 2,a 3是公比为q 的等比数列,则1a 1,1a 2,1a 3是公比为1q的等比数列;a 3,a 2,a 1是公比为1q的等比数列;1a 3,1a 2,1a 1是公比为q的等比数列.本题需深入理解等比数列性质及求和公式的变形应用.例17解析 解法一:因为(n ,S n )在函数y =b x+r 的图像上,所以S n =b n+r ,n ɪN *.所以S 1=b +r ,S 2=b 2+r ,S 3=b 3+r .于是有a 1=b +r ,a 2=b 2-b ,a 3=b 3-b 2.因为{a n }是等比数列,所以(b 2-b )2=(b +r )㊃(b 3-b 2),且b >0,b ʂ1,解得r =-1.解法二:数列{a n }为等比数列,q ʂ1时,S n =λ-λq n (λ=a 11-q),所以S n =r +b n=(-1)+1㊃bn ,故r =-1.评注 若本题为填空题或选择题,由q ʂ1的等比数列前n 项和公式S n =a 1(1-q n)1-q =a 11-q-a 11-q㊃q n =k ㊃q n -k 的形式知r =-1(即q n的系数与常数项互为相反数),需灵活掌握公式变形应用解析 因为S n =t ㊃5n -2-15=t 25㊃5n-15.又{a n }为等比数列,所以t 25-15=0,解得t =5.故选分析由题意知f (n )为等比数列求和问题,其中a 1=3,q =333= =32n +932n +7=9,末项为32n +9,但项数不易确定,故使用S n=a 1(1-q n)1-q =a 1-a nq 1-q计算更为迅捷.解析 由S n =a 1-a nq 1-q ,知f (n )=3-32n +9ˑ91-9=38(32n +9ˑ3-1)=38(9n +5-1).例18解析 由已知S 6S 3=3,得S 6=3S 3,因为S 3,S 6-S 3,S 9-S 6也为等比数列,所以(S 6-S 3)2=S 3(S 9-S 6),则(2S 3)2=S 3(S 9-3S 3),化简得S 9=7S 3,从而S 9S 6=7S 33S 3=73.故选B .评注 本题利用S 3,S 6-S 3,S 9-S 6仍为等比数列,以S 3为基本量,设而不求体现了整体思想,故可令S 3=1,则S 6=3,从而S 6-S 3=2,S 9-S 6=4,所以S 9=7,故S 9S 6=73.如此求解更为简捷.解析由结论十五(2)知,S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等比数列,故(S 4-S 2)2=S 2㊃(S 6-S 4),得S 6-S 4=(S 4-S 2)2S 2=(15-3)23=48,故S 63.故选C .解析由结论十五(1)知,S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12成等差数列,不妨设S 4=k ,则S 8=3k ,故k ,2k ,S 12-S 8,S 16-S 12成等差数列,所以S 12-S 8=3k ,S 16-S 12=4k ,可得S 12=6k ,S 16=10k ,所以S 8S 16=3k 10k =310.故选A .例19解析 解法一:因为点P (3,1)在圆C :(x -1)2+y 2=1外,所以直线A B 的方程为(3-1)(x -1)+y =1,即2x +y -3=0.故选A .解法二:如图2-37所示,设P (3,1),圆心C (1,0),切点分别为A ,B .由题意可知A (1,1),k P C =12.又A B ʅP C ,所以k A B =-2.故直线A B 的方程为y -1=-2(x -1),即故选图解析依题意,点M (a ,b )在圆O :x 22外,则a 2+b 2>1.圆心O (0,0)到直线l :a x +b y =1的距离d =1a 2+b2<1=r ,因此直线a x +b y =1与圆O的位置关系是相交.故选B .解析 令P 1,12æèçöø÷,由题意,过点P 作圆x 2+y 2=1的切线有两条,其中一条为x =1,则切点为(1,0),设A (1,0),则A 为椭圆的右焦点,即c =1,如图2-38所示.由结论十六中的1(2)可知直线A B 方程为1㊃x +12㊃y =1,即2x +y -2=0.设C 为椭圆的上顶点,可得C (0,2),即c =1,b =2,所以a 2=b 2+c 2=5,所以椭圆方程为x 25+y 24=1.图例20解析 令P (x 0,y 0),由结论十七的1(3)可知,k 12b 2a212.故选D .解析设线段P Q 中点为M (x ,y ),焦点为F ,由结论十七中的3可知,k P Q =2y=k M F =y -0x -1,可得y 2=2(x -1)=2x -2.故选B .例21解析 如图2-39所示,设P (1,-1),则有k A B ㊃k O P =-b 2a 2,即-b2a2=k F P ㊃k O P =0-(-1)3-1ˑ-11=-12,亦即a 2=2b 2.由c 2=a 2-b 2=2b 2-b 2=b 2,得b 2=9,所以a 2=18,即椭圆方程为x 218+y 29=1.故选D .图2-39解析设P A 2的斜率为k 2,P A 1的斜率为k 1,则k 1㊃k 2=-b 2a2=-34.又k 2ɪ[-2,-1],所以k 1ɪ38,34éëêêùûúú.故选B .分析 由结论十七1(2)知k A B ㊃k P B =-b2a2,所以要想证明k P A ㊃k P B =-1,需证明k A B 与k P A 之间的关系,即k P A =2k A B =2k A C .解析 证明:设P (x 0,y 0),则A (-x 0,-y 0),C (x 0,0),k A C =0+y 0x 0-(-x 0)=y 02x 0.又k P A =y 0x 0=k ,所以k A C =k2.由k B A ㊃k B P =-b 2a2知,k B P ㊃k B A =k B P ㊃k A C =k 2㊃k P B =-24,所以k P B ㊃k =-1,即P A ʅP B .评注 本题为解答题,求解时应对相应结论加以证明.若为填空题或选择题,可直接应用.例22解析 设直线A E 的方程为y =k (x -1)+32(k ʂ0),联立方程组y =k (x -1)+32x 24+y 23=1ìîíïïïï,消去y 整理,得(4k 2+3)x 2+(12k -8k 2)x +432-k æèçöø÷2-12=0,则x E =432-k æèçöø÷2-12(4k 2+3)x A =(3-2k )2-124k 2+3①同理,设直线A F 的方程为y =-k (x -1)+32,则x F =(3+2k )2-124k 2+3②所以k E F =y F -y E x F -x E =-k (x F -1)+32-k (x E -1)+32éëêêùûúúx F -x E=-k (x F +x E )+2kx F -x E,将式①,式②代入上式,化简得k E F =12,为定值.评注 由结论十八(1)知k A B 实际上是点P 关于x 轴的对称点(x 0,-y 0)处切线的斜率,即k E F =b2a 2㊃x 0y =34㊃132=12.解析设A x 1y 1),B (x 2,y2),P (8,4),k P A =k ,k P B =-k (k ʂ0),直线P A 的方程为y -4=k (x -8),得x =1k(y -4)+8.联立x =1k (y -4)+8y 2=2x ìîíïïï,消去x ,整理得y 2=2k(y -4)+16,即y 2-2k y +8k-16=0,得y 1+4=2k ,x 1=1k (y1-4)+8=1k 2k -8æèçöø÷+8.同理可得y 2+4=-2k,x 2=-1k -2k -8æèçöø÷+8=1k 2k +8æèçöø÷+8.所以直线A B 的斜率k A B =y 1-y 2x 1-x 2=4k -16k=-14.所以直线A B 的斜率k A B 为定值,且为-14.评注 由结论十八(3)知,k A B =-p y 0=-14.例23分析 要证直线y =k x +m 过定点,必须知道直线l :y =k x +m 中k 与m 的关系.解析证明:设A x 1y 1B x 2y 2联立方程组x 24+y 23=1y =k x +m ìîíïïï,消y 得,3x 2+4(k x +m )2=12,整理得(4k 2+3)x 2+8k m x +4m 2-12=0,则有Δ=(8k m )2-4(4k 2+3)(4m 2-12)>0,即m 2<4k 2+3,且x 1+x 2=-8k m 4k 2+3x 1x 2=4m 2-124k 2+3ìîíïïïï①因为以A B 为直径的圆过椭圆右顶点(2,0),设P (2,0),则P A ʅP B ,所以P A ң㊃P B ң=0,得(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=0,即x 1x 2-2(x 1+x 2)+4+y 1y2=0,亦即x 1x 2-2(x 1+x 2)+4+(k x 1+m )(k x 2+m )=0,整理得(k 2+1)x 1x 2+(k m -2)(x 1+x 2)+m 2+4=0②把式①代入式②化简得7m 2+16k m +4k 2=0,得m =-2k 或m =-2k7.(1)当m =-2k 时,直线l :y =k x -2k 过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去;(2)当m =-2k 7时,直线l :y =k x -2k 7过定点27,0æèçöø÷,且满足m 2<4k 2+3,符合题意.所以l :y =k x +m 过定点27,0æèçöø÷.解析由题意知l A B 的斜率不为0(否则只有一个交点),故可设l A B :x =t y +m ,A (x 1,y 2),B (x 2,y 2),联立方程组y 2=2px x =t y+m {,消x 得,y 2-2p t y -2p m =0,从而Δ=(-2p t )2-4(-2p m )=4p 2t 2+8p m >0,pt 2+2m >0,y 1+y 2=2pt y 1y 2=-2pm {①因为以A B 为直径的圆过顶点O (0,0),所以O A ң㊃O B ң=0,即x 1x 2+y 1y 2=0,也即(t y 1+m )(t y 2+m )+y 1y 2=0,整理得(t 2+1)y 1y 2+t m (y 1+y 2)+m 2=0,把式①代入上式化简得m (m -2p )=0,。
常用二级结论答案 理
} , 解析 由题意知 A = { 若 A ɘB =B , 1, 5 则 B ⊆A . 则 a=0; ① 若 B =∅ , 则1ɪB 或 5ɪB , 即 a-1=0 或 ②若 Bʂ ∅, 解 得 a =1 或 a = 5 a-1=0, 1 故选 C. 1, } . {0, 5 1 故集合 C= . 5
例 2 变式 1
æ 1ö æ 1ö ) ) l 2 +f ç l 2 +1+g ç l l g g f( g ÷ =g( g ÷+ è 2ø è 2ø 故选 D. 1=2. 例 4 变式 2 解析
所以 g( 是定义在 R 上的奇函数 . l n 1=0, x) 1 æ 1ö ) 又l 所以 g( l 2, l 2 +g ç l g =g g g ÷ =0, 2 è 2ø
例 3 变式 1 , 解析 因为 ( ∁ 即集 A ) ɣ( ∁ B) =∁ A ɘB ) U U U( 合∁ 中有 n 个元素 . 又全集 U 中有 m A ɘB ) U( , 个元素 所以 A ɘB 中有 m n 个元素 . 故选 D. 评注 本题若结合 V e n n 图求解会更快捷 . 例 3 变式 2 ) , 解析 ( 因为 ������ ( 1 =( ������p) ɡ( ������ pᶱ q) q) : 即 ������ ( A ʂ0 且 B ʂ0. pᶱ q) ( ) , 因为 ������ ( 2 =( ������p) ᶱ( ������ pɡ q) q) ) : 即 ������ ( 或 pɡ q A ʂ0 B ʂ0. ) 评注 ( 1 A =0 或 B =0⇔A B =0, pᶱ q: ( ) : 且 ������ pᶱ B ʂ0⇔A ʂ0 B ʂ0. q A ( ) 2 A =0 且 B =0⇔A2 +B2 =0, pɡ q: : ������ ( A2 +B2 ʂ0⇔A ʂ0 或 B ʂ0. pɡ q)
解析几何二级结论
解析几何二级结论结论1.设抛物线)0(2:2>=p px y C 的弦AB 过定点)0)(0,(>m m M ，过点M 作非水平线l 交C 于Q P ,两点，若直线AP 与x 轴交于定点)0,(n ，直线BQ AP ,的斜率21,k k 存在且非零，则nm k k =21. 结论2.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E ，点P 为直线b y −=上任一点，过P 的直线l 与椭圆E 交于N M ,两点，设椭圆E 的下顶点为T ，则tba k k TN TM 2211=+. 结论3．设),0(b P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上顶点，AB 是椭圆上一条动弦，直线PB PA AB ,,的斜率分别为21,,k k k ，则：（1）2221a b t k k ≠=⇔直线AB 过定点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−+b t a b t a b 2222,0 （2）若021≠+k k ，则⇔+=+bm b k k k 221则直线AB 过),0(m . 结论4.设),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的定点，AB 是椭圆上一条动弦，直线PB PA AB ,,的斜率分别为21,,k k k ；（1）若2221a b k k =，则有000,0x y k x −=≠， （2）若2221a b k k ≠，则直线AB 过定点， （3）若021=+k k ，则有02020,0y a x b k y =≠， （4）若021≠+k k ，则直线AB 过定点. 结论5.椭圆：已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，点)0)(0,(2a m ma M <<，设不与x 轴垂直的直线l 与椭圆相交于B A 、两点，则直线l 过定点)0,(m P 的充要条件是x 轴是AMB ∠的角平分线.结论6.双曲线：已知双曲线)00(12222>>=−b a b y a x ，，点))(0,(2a m ma M >，设不与x轴垂直的直线l 与双曲线相交于B A 、两点，则直线l 过定点)0,(m P 的充要条件是x 轴是AMB ∠的角平分线.结论7.抛物线：已知抛物线)0(22>=p px y ，点)0)(0,(>−m m B ，设不与x 轴垂直的直线l 与抛物线相交于N M ,两点，则直线l 过定点)0,(m A 的充要条件是x 轴是MBN ∠的角平分线.结论8.若),(00y x P 为准线上任一一点，则直线AB 过抛物线的焦点F . 结论9.过F 的直线与抛物线交于B A ,两点，以B A ,分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点),(00y x P 的轨迹即为抛物线的准线.若),(00y x P 为准线上任一一点，则有：结论10.直线AB 的方程为)(22000y y p y y px x +=+=. 结论11.AB PF ⊥.结论12.PB AP ⊥. 结论13.直线AB 的中点为M ，则PF 平行于抛物线的对称轴.结论14.ABP ∆面积最小值为2p .结论15.从直线x t =上任意一点P 向椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左右顶点12,A A 引两条割线12,PA PA 与椭圆交于,M N 两点，则直线MN 恒过定点2,0a t ⎛⎫ ⎪⎝⎭．结论16.已知椭圆，过定点作一直线交椭圆C 于B A ,两点，交点N 的极线于点M ，P 是椭圆C 上一点，且P 点横坐标为n ,则直线的斜率成等差数列.)0(1:2222>>=+b a b y a x C )0)(0,(a n n N <<n a x l 2:=PB PM PA ,,。