数值分析中直接三角分解法matlab程序
数值分析课程课件 直接三角分解方法
u22
u11
u2n
l n1 l n2
1
unn
即
a11 a12 a 21 a22
a1n
a2n
u11 l21u11
u12 l21u12 u22
u1n
l21u1n
u2n
a n1 a n2
ann
ln1u 11
由（5.3.1）- （5.3.4）求得L和U后，解方程组Ax=b 化为求解LUx=b，若记Ux=y，则有Ly=b。于是可分两部解 方程组LUx=b，只要逐次向前代入的方法即可求得y。第
二步求解Ux=y，只要逐次用向后回代的方法即可求得x。 设 x=（x1 ，x2， ···xn) T, y=（y1, y2, ···yn) T,
n
i1
lniuin
unn
第四章方程组的直接解法
由A的第1行和第1列可计算出U的第1行和L的第1列，即
u1 j a1 j , j 1, 2, , n,
（5.3.1）
lk1
ak1 u11
,k
2, 3,
, n.
（5.3.2）
如果U的第1至k-1列和L的第1至k-1列已经算出，则由
解 设 A=LU，即
l11 a11 1, l21 a21 2, l31 a31 0
u12
a12 l11
2, u13
a13 l11
1,
l22 a22 l21u12 3, l32 a32 l31u12 1
数值分析第二讲MATLAB简介
MATLAB编程入门 MATLAB的编程风格与C语言相同。 常用流程控制语句 if if语句条件 elseif if语句条件 end 终止作用域 for 指定次数的循环 while 不指定次数的循环 break 终止循环 switch 开关语句 case 列出语句 otherwise否则语句 return 返回调用函数 function 函数定义语句
MATLAB常用函数名 数学函数（中文意义略） abs，acos，acosh，angle，asin，asinh，atan，atan2，atanh， ceil，conj，cos，cosh，exp，fix，floor，gcd，imag，lcm，log， log10，real，rem，round，sign，sin，sinh，sqrt，tan，tanh， 构造矩阵函数 eye(n)，ones(n)，zeros(n)：产生n阶单位、全1，全0矩阵 eye(m,n)，ones(m.n)，zeros(m.n)：产生m×n的单位、全1，全 0矩阵 Sparse：构造稀疏矩阵 Size(M)取矩阵M的各维大小(结果为向量) size (M,n) 取矩阵M的第n维大小
例1:构造两个可加减乘的矩阵A，B，C,求A+B，A*C， sin(A)+cos(B),以及取A,B,C的子矩阵作同样的运算。 解:A=[ 1,2,3,4;5 6 7 8; 9 10 11 12]; B=ones(3,4) C= pascal(3) ⑴ D=A+B ⑵ E=sin(A)+cos(B) (3) F=A*C 错误操作：A*B，A+C
MATLAB的基本用法 一、数与变量 MATLAB的内部本质上只有两种类型的数据：实数和字符。 一个实数占8个字节（64比特），一个字符占用1字节（8比特）。 复数由两个实数构成，矩阵元素由字符、实数、复数构成。由矩 阵再构成“struct”（结构）数据类型，字符串是以字符为变量的 行向量。所以表现形式有：字符、字符串、整数、实数、复数、 结构。 characters: ‘char’ 表有符号字符 8bits, ‘uchar’ 无符号字符 8bits. integers :‘short’ 短整数16 bits, ‘long’ 长整数 32 bits, floating-point: ‘single-‘ 表单精度浮点数32bits, ’double‘表双精度浮 点数:64bits
matlab
45.产生极坐标图象的命令为：polar ( theta, r)。此命令用法类似于plot，很多plot 可用的选项polar 同样可用。
46.plot 的很多选项在loglog 中也可以使用。我们还有另外两个选择可用，第一个是semilogx(x, y)，它产生的图象x 轴使用对数值，y 轴仍然用直接值；相应地，semilogy(x, y)产生的图象y 轴使用对数值，x 使用直接值。
40.fplot和plot的区别：fplot 函数绕过选择用来绘图的时间间隔，而自动为我们决定绘图的点数。一般地，fplot 为你产生尽可能精确的的图象，同时它也帮助我们绕过像这样的错误。调用fplot 的形式如 fplot('function string', [xstart, xend]) 。
y)完全一样。要产生堆合柱状图，我们写成bar(x, y, 'stacked')。
59.在等号“=”前面加上否定号“~”表示“不相等”，if sizex(2) ~= sizeN(2)。
60.使用disp命令在屏幕上打印出错误信息。disp('错误：数据必须具有相同的维数。')
61.求中位数：>> md = median(A)；
42.添加图例：专业的图象总是附有图例，告诉读者某个曲线是什么。legend('sinh(x)','cosh(x)')
43.令如何设置绘图范围。可以通过调用axis 命令：axis ( [xmin xmax ymin ymax] )
44.子图即是在一个图上显示多于一个图象。绘制子图使用命令subplot(m, n, p)，这里m 和n 告诉MATLAB 产生的产生的子图有m 行和n 列，p 用来告诉MATLAB 我们所要贴上去的某个已经绘制的图形窗口。
数值分析matlab程序实例
1，秦九韶算法，求出P(x=3)=2+4x+5x^2+2x^3的值clear all;x=3;n=3;a(1)=2;a(2)=4;a(3)=5;a(4)=2v(1)=a(n+1);for k=2:(n+1);v(k)=x*v(k-1)+a(n-k+2);endp=v(n+1)p=,1132，一次线型插值程序：利用100.121.求115的开方。
clear all;x1=100;x2=121;y1=10;y2=11;x=115;l1=(x-x2)/(x1-x2);l2=(x-x1)/(x2-x1);p1=l1*y1+l2*y2p1=10.71433，分段插值程序，已知为S1（x)为（0，0），（1，1），（2，5）（3,8）上的分段一次插值，求S1（1.5）.clear allx=[0123];y=[0158];n=length(x);a=1.5;for i=2:nif(x(i-1)<=a<x(i));endendH1=y(i-1)+(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1))*(a-x(i-1))H1=3.50004）曲线拟合：用一个5次多项式在区间[0，2π]内逼近函数sin(x)。
clear allX=linspace(0,2*pi,50);Y=sin(X);[P,S]=polyfit(X,Y,5)plot(X,Y,'k*',X,polyval(P,X),'k-')P=-0.00560.0874-0.39460.26850.87970.0102S=R:[6x6double]df:44normr:0.03375)求有理分式的导数clear allP=[3,5,0,-8,1,-5];Q=[10,5,0,0,6,0,0,7,-1,0,-100];[p,q]=polyder(P,Q)6）将以下数据按从小到大排序：4.3 5.7 5.2 1.89.4a=[4.35.75.21.89.4];b(1:100)=0;n=1;b(a*10)=1;for k=1:100a(n)=k/10;if b(k)>0a(n)=k/10;n=n+1;endendaa=1.8000 4.3000 5.2000 5.70009.400010.00007)用二分法求方程x 3-x-1=0在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3。
非周期信号(方波,锯齿波,三角波)的合成分解以及频谱分析的MATLAB实现
1.2 主要功能
1.数值分析 2.数值和符号计算 3.工程与科学绘图 4.控制系统的设计与仿真 5.数字图像处理 6.数字信号处理 7.通讯系统设计与仿真 8.财务与金融工程
2
连续周期信号的傅立叶级数分析及其 MATLAB 实现
２ 连续周期信号的傅立叶级数
频域分析法即傅里叶分析法，它是变换域分析法的基石。其中，傅里叶级数 是变换域分析法的理论基础，傅里叶变换作为频域分析法的重要数学工具，具有 明确的物理意义，在不同的领域得到广泛的应用。
2.1 连续时间周期信号的分解
以高等数学的知识，任何周期为 T 的周期函数，在满足狄里赫利条件时，则 该周期信号可以展开成傅里叶级数。傅里叶级数有三角形式和指数形式两种。
(3-2)
2
2
3
MATLAB 实现程序：
n=7;
6
连续周期信号的傅立叶级数分析及其 MATLAB 实现
T0=2;A=2; T1=2; tn_i=1; for tn=0:0.01:T1*T0
y_t(tn_i)=A* rem (tn,T0)/T0; t_t(tn_i)=tn; tn_i=tn_i+1; end; t=0:0.01:T1*T0; x=A/2; pi=3.1415926; w0=2*pi/T0; for i=1:n fw(i)=i*w0; a(i)=-A/(pi*i); y(i,:)=a(i)*sin(fw(i)*t); x=x+y(i,:); end; subplot(1,3,1); plot(t_t,[y_t;x]); title('锯齿波、锯齿波合成图') subplot(1,3,2); plot(t,[x; y]); title('0-n 次谐波及合成图') subplot(1,3,3); stem(fw,a); title('锯齿波频谱图') 生成图形：
数值分析实验报告
%消元过程
fori=k+1:n
m=A(i,k)/A(k,k);
forj=k+1:n
A(i,j)=A(i,j)-m*A(k,j);
end
b(i)=b(i)-m*b(k);
end
det=det*A(k,k);
end
det=det*A(n,n);
%回代过程
ifabs(A(n,n))<1e-10
flag='failure';return;
*x=(x0,x1….,xn),插值节点
*y=(y0,y1,…,yn);被插函数f(x)在插值节点处的函数值
*t求插值函数Pn(x)在t处的函数值
*返回值 插值函数Pn(x)在t处的函数值
*/
procedureNewton
forj=0to n
d1jyj;
endfor
forj=1to n
fori=j to n
[n,m]=size(A);nb=length(b)
%当方程组行与列的维数不相等时，停止计算，并输出出错信息
ifn~=m
error('The row and columns of matrix A must beepual!');
return;
end
%当方程组与右端项的维数不匹配时，停止计算，并输出错误信息
clear
fprintf('gauss-seidel迭代法')
x1_(1)=0;
x2_(1)=0;
x3_(1)=0;
fori=1:9
x1_(i+1)=7.2+0.1*x2_(i)+0.2*x3_(i);
数值分析 (颜庆津)第2章学习小结
第二章线性方程组的解法--------学习小结姓名班级学号一、本章学习体会通过对第二章的学习，学会了线性方程组的很多解法，主要学习了高斯消去法、直接三角分解法以及迭代法三种方法。
（1）高斯消去法中，我们又学习了顺序高斯消去法以及列主元素高斯消去法。
顺序高斯消去法可以得到方程组的精确解，但要求系数矩阵的主对角线元素不为零，而且该方法的数值稳定性没有保证。
但列主元素高斯消去法因为方程顺序的调整，其有较好的数值稳定性。
（2）直接三角分解法中，我们主要学习了Doolitte分解法与Crout分解法。
其思想主要是：令系数矩阵A=UL，其中L为下三角矩阵，U是上三角矩阵，为求AX=b 的解，则引进Ly=b,Ux=y两个方程，以求X得解向量。
这种方法计算量较小，但是条件苛刻，且不具有数值稳定性。
（3）迭代法（逐次逼近法）是从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。
该方法要求迭代收敛，而且只经过有限次迭代，减少了运算次数，但是该方法无法得到方程组的精确解。
Matlab上实现编程语言，我觉得这是我在本章遇到的最大难题。
二、本章知识梳理第2章 线性方程组的解法2.2 直接三角分解法2.1 Gauss 消去法顺序Gauss 消去法列主元素Gauss 消去法顺序Gauss 消去法的数值稳定性是没有保证的主元Gauss 消元法有很好的数值稳定性Doolittle 分解法Crout 分解法 选主元的Doolitte 分解法 三角分解法解带状定理：若矩阵A 非奇异，则存在置换矩阵Q ，使得QA 可做Doolitte 分解，QA=LU ，其中L 是单位下三角矩阵，U 是上三角矩阵。
推论：矩阵A 有唯一的能进行Crout 分解的充分必要条件是：A 的前n-1个顺序主子式不等于0 定理：矩阵A=有唯一的能进行Doolittle(杜利特尔)分解的充分必要条件是：A 的前n-1个顺序主子式不等于0定理：（1）A=是上半带宽为s 下半带宽为r 的带状矩阵（2）A 的前n-1个顺序主子式均不为零，则A 有唯一的Doolitte 分解A=LU ，其中L 是下半带宽为r 的单位下三角矩阵，U 是上半带宽为s 的上三角矩阵。
数值分析简述及求解应用
数值分析简述及求解应用摘要：数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，本文主要介绍了数值分析的一些求解方法的原理和过程，并应用在电流回路和单晶硅提拉过程中的，进一步体现数值分析的实际应用。
关键字：解方程组插值法牛顿法一、引言随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。
有可靠的理论分析，要有数值实验，并对计算的结果进行误差分析。
数值分析的主要内容包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。
运用数值分析解决问题的过程包括：实际问题→数学建模→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。
在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题,方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。
如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解方程组问题。
在很多广泛应用的数学问题的数值方法中，如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解方程组。
在工程中常会遇到求解线性方程组的问题，解线性方程组的方法有直接法和迭代法，直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。
直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。
迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
将方程组的解看作是某极限过程的极限值，且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。
迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。
matlab 矩阵上三角化的方法
matlab 矩阵上三角化的方法
在MATLAB中，有几种方法可以将矩阵上三角化。
这里介绍两种常用的方法：
方法一：利用MATLAB中的函数
可以使用MATLAB中的内置函数`triu()`将矩阵上三角化。
具体的步骤如下：
1. 开始之前，先定义一个矩阵。
例如，假设我们有一个3×3
的矩阵A：
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
2. 使用`triu()`函数将矩阵A转换为上三角矩阵B：
B = triu(A)
现在，矩阵B就是上三角形式的矩阵。
方法二：使用高斯消元法
将矩阵转换为上三角形式，也可以使用高斯消元法。
可以通过以下步骤实现：
1. 开始之前，先定义一个矩阵。
例如，假设我们有一个3×3
的矩阵A：
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
2. 使用高斯消元法将矩阵A转换为上三角矩阵。
可以使用MATLAB的`rref()`函数进行高斯消元。
具体步骤如下：
B = rref(A)
现在，矩阵B就是上三角形式的矩阵。
无论使用哪种方法，上述步骤都可以将矩阵上三角化。
数值分析作业思考题
数值分析思考题11、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。
2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。
4、取，计算，下列方法中哪种最好？为什么？（1）(33-，（2）(27-，（3）()313+，（4）()611，（5）99-数值实验数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。
求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。
直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。
当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。
如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。
Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。
对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。
方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。
数值计算方法上机题目11、实验1. 病态问题实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。
所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。
希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。
数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。
病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。
问题提出：考虑一个高次的代数多项式re x xex x*****-==141.≈)61∏=-=---=201)()20)...(2)(1()(k k x x x x x p （E1-1）显然该多项式的全部根为l ，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简单的）。
现考虑该多项式方程的一个扰动0)(19=+xx p ε (E1-2)其中ε是一个非常小的数。
方程组的各种解法法的Matlab程序及运行结果
1．列主元高斯消去法M文件function[x]=gauss(a,b)n=length(a);x=zeros(n,1);a=[a b];for k=1:n-1max=k;for i=k+1:nif a(i,k)>a(max,k)max=i;endendtemp=a(k,k:n+1);a(k,k:n+1)=a(max,k:n+1);a(max,k:n+1)=temp;for i=k+1:na(i,k)=-a(i,k)/a(k,k);a(i,k+1:n+1)=a(i,k+1:n+1)+a(i,k)*a(k,k+1:n+1);endendx(n,1)=a(n,n+1)/a(n,n);for i=n-1:-1:1sum=0;for j=i+1:nsum=sum+x(j,1)*a(i,j);endx(i,1)=(a(i,n+1)-sum)/a(i,i);endMatlab运行结果2．LU三角分解法M文件function y=LU(A,B);n=length(A);A=[A B];for k=1:n-1;for i=k:n;if(abs(A(i,k))==max(abs(A(k:n,k))))P(k)=i;temp=A(k,:);A(k,:)=A(i,:);A(i,:)=temp;endendfor j=k+1:n;A(j,k)=A(j,k)/A(k,k);A(j,k+1:n+1)=A(j,k+1:n+1)-A(j,k)*A(k,k+1:n+1);endendP(n)=n;L(1,1)=1;L(2:n,1)=A(2:n,1);L(1,2:n)=0;U(1,1)=A(1,1);U(2:n,1)=0;U(1,2:n)=A(1,2:n);for i=2:n;L(i,1:i-1)=A(i,1:i-1);L(i,i)=1;L(i,i+1:n)=0;U(i,1:i-1)=0;U(i,i:n)=A(i,i:n);endx(n) = A(n,n+1)/U(n,n);for k = n-1:-1:1x(k)=A(k,n+1);for p=n:-1:k+1;x(k) = x(k)-U(k,p)*x(p); endx(k)=x(k)/U(k,k);endxLUPEndMatlab运行结果3．龙贝格(Romberg)算法M文件function[t]=romberg(f,a,b,e)t=zeros(15,4);t(1,1)=(b-a)/2*(f(a)+f(b));for k=2:4sum=0;for i=1:2^(k-2)sum=sum+f(a+(2*i-1)*(b-a)/2^(k-1));endt(k,1)=0.5*t(k-1,1)+(b-a)/2^(k-1)*sum;for i=2:kt(k,i)=(4^(i-1)*t(k,i-1)-t(k-1,i-1))/(4^(i-1)-1);endendfor k=5:15sum=0;for i=1:2^(k-2)sum=sum+f(a+(2*i-1)*(b-a)/2^(k-1));endt(k,1)=0.5*t(k-1,1)+(b-a)/2^(k-1)*sum;for i=2:4t(k,i)=(4^(i-1)*t(k,i-1)-t(k-1,i-1))/(4^(i-1)-1);endif k>6if abs(t(k,4)-t(k-1,4))<edisp(['答案',num2str(t(k,4))]);break;endendendif k>=15disp(['溢出']);endMatlab运行结果4．最小二乘法M文件function[a,max,det]=zuixiaoerchengfa(x,y,r) n=length(x);c=ones(n,r+1);for i=2:r+1for j=1:nc(j,i)=x(j)^(i-1);endendA=c'*c;b=c'*y';a=inv(A)*b;det=0;max=0;for i=1:nsum=a(1);for j=2:r+1sum=sum+a(j)*x(i)^(j-1);endcc=abs(y(i)-sum);if cc>maxmax=cc;enddet=det+cc^2;enddet=sqrt(det);Matlab运行结果§2.1.1 二分法的MATLAB主程序function [k,x,wuca,yx]=erfen(a,b,abtol)a(1)=a; b(1)=b;ya=fun(a(1)); yb=fun(b(1)); %程序中调用的fun.m 为函数if ya* yb>0,disp('注意：ya*yb>0,请重新调整区间端点a和b.'), returnendmax1=-1+ceil((log(b-a)- log(abtol))/ log(2)); % ceil是向+方向取整∞for k=1: max1+1a;ya=fun(a); b;yb=fun(b); x=(a+b)/2;yx=fun(x); wuca=abs(b-a)/2; k=k-1;[k,a,b,x,wuca,ya,yb,yx]if yx==0a=x; b=x;elseif yb*yx>0b=x;yb=yx;elsea=x; ya=yx;endif b-a< abtol , return, endendk=max1; x; wuca; yx=fun(x);§2.1.2 不动点迭代法的MATLAB主程序function [k,piancha,xdpiancha,xk,yk]=diedai2(x0,tol,ddmax) x(1)=x0;for i=1: ddmaxx(i+1)=fun(x(i));piancha=abs(x(i+1)-x(i));xdpiancha=piancha/( abs(x(i+1))+eps);i=i+1;xk=x(i);yk=fun(x(i)); [(i-1) piancha xdpiancha xk yk]if (piancha<tol)|(xdpiancha< tol)k=i-1; xk=x(i);return;endendif i>ddmaxdisp('迭代次数超过给定的最大值ddmax')k=i-1; xk=x(i);yk=fun(x(i));[(i-1) piancha xdpiancha xk yk];return;endP=[(i-1),piancha,xdpiancha,xk,yk]';§2.1.3 艾特肯加速迭代法的MATLAB主程序function [k,xk,yk,p]= Aitken (x0,tol, ddmax)x(1)=x0;for i=1: ddmaxx1(i+1)=fun(x(i)); x2(i+1)=fun(x1(i+1));x(i+1)=x2(i+1)-(x2(i+1)-x1(i+1))^2/(x2(i+1)-2*x1(i+1)+ x(i));piancha=abs(x(i+1)-x(i));xdpiancha= piancha/( abs(x(i+1))+eps);i=i+1; xk=x(i);yk=fun(x(i));if (piancha<tol)|(xdpiancha<tol)k=i-1; xk=x(i); yk=fun(x(i));m=[0,1:i-1]; p=[m',x1',x2',x'];return;endendif i>ddmaxdisp('迭代次数超过给定的最大值ddmax')k=i-1; xk=x(i); yk=fun(x(i));m=[0,1:i-1]; p=[m',x1',x2',x'];return;endm=[0,1:i-1]; p=[m',x1',x2',x'];§2.1.4 牛顿切线法的MATLAB主程序function [k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(x0,tol,ftol,gxmax) x(1)=x0;for i=1: gxmaxx(i+1)=x(i)-fun(x(i))/(dfun(x(i))+eps);piancha=abs(x(i+1)-x(i));xdpiancha= piancha/( abs(x(i+1))+eps); i=i+1;xk=x(i);yk=fun(x(i)); [(i-1) xk yk piancha xdpiancha]if (abs(yk)<ftol)&((piancha<tol)|(xdpiancha< tol))k=i-1; xk=x(i);[(i-1) xk yk piancha xdpiancha]return;endendif i>gxmaxdisp('请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax。
东南大学《数值分析》上机题
数值分析上机题1设2211NN j S j ==-∑，其精确值为1311221N N ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭。
（1）编制按从大到小的顺序22211121311N S N =+++---，计算N S 的通用程序。
（2）编制按从小到大的顺序2221111(1)121N S N N =+++----，计算NS 的通用程序。
（3）按两种顺序分别计算210S ，410S ，610S ，并指出有效位数。
（编制程序时用单精度） （4）通过本上机题，你明白了什么？程序代码（matlab 编程）：clc cleara=single(1./([2:10^7].^2-1)); S1(1)=single(0); S1(2)=1/(2^2-1); for N=3:10^2 S1(N)=a(1); for i=2:N-1S1(N)=S1(N)+a(i); end endS2(1)=single(0); S2(2)=1/(2^2-1); for N=3:10^2 S2(N)=a(N-1);for i=linspace(N-2,1,N-2) S2(N)=S2(N)+a(i); end endS1表示按从大到小的顺序的S N S2表示按从小到大的顺序的S N通过本上机题，看出按两种不同的顺序计算的结果是不相同的，按从大到小的顺序计算的值与精确值有较大的误差，而按从小到大的顺序计算的值与精确值吻合。
从大到小的顺序计算得到的结果的有效位数少。
计算机在进行数值计算时会出现“大数吃小数”的现象，导致计算结果的精度有所降低，我们在计算机中进行同号数的加法时，采用绝对值较小者先加的算法，其结果的相对误差较小。
数值分析上机题220．（上机题）Newton 迭代法（1）给定初值0x 及容许误差ε，编制Newton 法解方程()0f x =根的通用程序。
（2）给定方程3()/30f x x x =-=，易知其有三个根1x *=，20x *=，3x *=。
数值分析MATLAB科学计算—线性方程组
科学计算—理论、方法及其基于ＭＡＴＬＡＢ的程序实现与分析 三、 解线性方程组（线性矩阵方程）解线性方程组是科学计算中最常见的问题。
所说的“最常见”有两方面的含义：１） 问题的本身是求解线性方程组；２） 许多问题的求解需要或归结为线性方程组的求解。
关于线性方程组B A x B Ax 1-=⇒=（１）其求解方法有两类：１） 直接法：高斯消去法（Gaussian Elimination ）； ２） 间接法：各种迭代法（Iteration ）。
１、高斯消去法１） 引例考虑如下（梯形）线性方程组：()⎪⎩⎪⎨⎧==+==+-=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⇔⎪⎩⎪⎨⎧==-=+-5.0141315.3221122004301211214322332321321332321x x x x x x x x x x x x x x x 高斯消去法的求解思路：把一般的线性方程组（１）化成（上或下）梯形的形式。
２）高斯消去法——示例考虑如下线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-=+-306015129101.2001.221113060129501.2001.221321321321321x x x x x x x x x x x x １） 第一个方程的两端乘12加到第二个方程的两端，第一个方程的两端乘－１加到第三个方程的两端，得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3060031110001.0001.00111321x x x２） 第二个方程的两端乘001.010-加到第三个方程的两端，得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--60600311010001.0001.00111321x x x３） 从上述方程组的第三个方程依此求解，得()⎪⎩⎪⎨⎧==+-==+-=600300001.03100024011332321x x x x x x ３）高斯消去法的不足及其改进——高斯（全、列）主元素消去法在上例中，由于建模、计算等原因，系数2.001而产生0.0005的误差，实际求解的方程组为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---306015129101.20005.22111321x x x ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒70.4509.30142.2565321x x x注：数值稳定的算法高斯列主元素消去法就是在消元的每一步选取（列）主元素—一列中绝对值最大的元取做主元素，高斯列主元素消去法是数值稳定的方法。
数值分析matlab代码
1、%用牛顿法求f(x)=x-sin x 的零点，e=10^(-6)disp('牛顿法');i=1;n0=180;p0=pi/3;tol=10^(-6);for i=1:n0p=p0-(p0-sin(p0))/(1-cos(p0));if abs(p-p0)<=10^(-6)disp('用牛顿法求得方程的根为')disp(p);disp('迭代次数为：')disp(i)break;endp0=p;endif i==n0&&~(abs(p-p0)<=10^(-6))disp(n0)disp('次牛顿迭代后无法求出方程的解')end2、disp('Steffensen加速');p0=pi/3;for i=1:n0p1=0.5*p0+0.5*cos(p0);p2=0.5*p1+0.5*cos(p1);p=p0-((p1-p0).^2)./(p2-2.*p1+p0);if abs(p-p0)<=10^(-6)disp('用Steffensen加速求得方程的根为')disp(p);disp('迭代次数为：')disp(i)break;endp0=p;endif i==n0&&~(abs(p-p0)<=10^(-6))disp(n0)disp('次Steffensen加速后无法求出方程的解')end1、%使用二分法找到方程 600 x^4 -550 x^3 +200 x^2 -20 x -1 =0 在区间[0.1,1]上的根，%误差限为 e=10^-4disp('二分法')a=0.2;b=0.26;tol=0.0001;n0=10;fa=600*(a.^4)-550*(a.^3)+200*(a.^2)-20*a-1;for i=1:n0p=(a+b)/2;fp=600*(p.^4)-550*(p.^3)+200*(p.^2)-20*p-1;if fp==0||(abs((b-a)/2)<tol)disp('用二分法求得方程的根p=')disp(p)disp('二分迭代次数为：')disp(i)break;endif fa*fp>0a=p;else b=p;endendif i==n0&&~(fp==0||(abs((b-a)/2)<tol))disp(n0)disp('次二分迭代后没有求出方程的根')end2、%使用牛顿法找到方程 600 x^4 -550 x^3 +200 x^2 -20 x -1 =0 在区间[0.1,1]上的根，%误差限为 e=10^-4disp('牛顿法')p0=0.3;for i=1:n0p=p0-(600*(p0.^4)-550*(p0.^3)+200*(p0.^2)-20*p0-1)./(2400*(p0.^3) -1650*p0.^2+400*p0-20);if(abs(p-p0)<tol)disp('用牛顿法求得方程的根p=')disp(p)disp('牛顿迭代次数为：')disp(i)break;endp0=p;endif i==n0&&~(abs(p-p0)<tol)disp(n0)disp('次牛顿迭代后没有求出方程的根')end3、%使用割线法找到方程 600 x^4 -550 x^3 +200 x^2 -20 x -1 =0 在区间[0.1,1]上的根，%误差限为 e=10^-4disp('割线法')p0=0.2;p1=0.25;q0=600*(p0.^4)-550*(p0.^3)+200*(p0.^2)-20*p0-1;q1=600*(p1.^4)-550*(p1.^3)+200*(p1.^2)-20*p1-1;for i=2:n0p=p1-q1*(p1-p0)/(q1-q0);if abs(p-p1)<toldisp('用割线法求得方程的根p=')disp(p)disp('割线法迭代次数为：')disp(i)break;endp0=p1;q0=q1;pp=p1;p1=p;q1=600*(p.^4)-550*(p.^3)+200*(p.^2)-20*p-1;endif i==n0&&~(abs(p-pp)<tol)disp(n0)disp('次割线法迭代后没有求出方程的根')end4、%使用试位法找到方程 600 x^4 -550 x^3 +200 x^2 -20 x -1 =0 在区间[0.1,1]上的根，%误差限为 e=10^-4disp('试位法')p0=0.2;p1=0.25;q0=600*(p0.^4)-550*(p0.^3)+200*(p0.^2)-20*p0-1;q1=600*(p1.^4)-550*(p1.^3)+200*(p1.^2)-20*p1-1;for i=2:n0p=p1-q1*(p1-p0)/(q1-q0);if abs(p-p1)<toldisp('用试位法求得方程的根p=')disp(p)disp('试位法迭代次数为：')disp(i)break;endq=600*(p.^4)-550*(p.^3)+200*(p.^2)-20*p-1;if q*q1<0p0=p1;q0=q1;endpp=p1;p1=p;q1=q;endif i==n0&&~(abs(p-pp)<tol)disp(n0)disp('次试位法迭代后没有求出方程的根')end5、%使用muller方法找到方程 600 x^4 -550 x^3 +200 x^2 -20 x -1 =0 在区间[0.1,1]上的根，%误差限为 e=10^-4disp('muller法')x0=0.1;x1=0.2;x2=0.25;h1=x1-x0;h2=x2-x1;d1=((600*(x1.^4)-550*(x1.^3)+200*(x1.^2)-20*x1-1)-(600*(x0.^4)-55 0*(x0.^3)+200*(x0.^2)-20*x0-1))/h1;d2=((600*(x2.^4)-550*(x2.^3)+200*(x2.^2)-20*x2-1)-(600*(x1.^4)-55 0*(x1.^3)+200*(x1.^2)-20*x1-1))/h2;d=(d2-d1)/(h2+h1);for i=3:n0b=d2+h2*d;D=(b*b-4*(600*(x2.^4)-550*(x2.^3)+200*(x2.^2)-20*x2-1)*d)^0.5;if(abs(d-D)<abs(d+D))E=b+D;else E=b-D;endh=-2*(600*(x2.^4)-550*(x2.^3)+200*(x2.^2)-20*x2-1)/E;p=x2+h;if abs(h)<toldisp('用muller方法求得方程的根p=')disp(p)disp('muller方法迭代次数为：')disp(i)break;endx0=x1;x1=x2;x2=p;h1=x1-x0;h2=x2-x1;d1=((600*(x1.^4)-550*(x1.^3)+200*(x1.^2)-20*x1-1)-(600*(x0.^4)-55 0*(x0.^3)+200*(x0.^2)-20*x0-1))/h1;d2=((600*(x2.^4)-550*(x2.^3)+200*(x2.^2)-20*x2-1)-(600*(x1.^4)-55 0*(x1.^3)+200*(x1.^2)-20*x1-1))/h2;d=(d2-d1)/(h2+h1);endif i==n0%条件有待商榷？！disp(n0)disp('次muller方法迭代后没有求出方程的根')end1、%观察Lagrange插值的Runge现象x=-1:0.05:1;y=1./(1+25.*x.*x);plot(x,y),grid on;n=5;x=-1:2/n:1;y=1./(1+25.*x.*x);for i=1:n+1q(1,i)=y(i);endh=0.05;z=-1:h:1;for k=1:2/h+1for i=2:n+1for j=2:iq(j,i)=((z(k)-x(i-j+1))*q(j-1,i)-(z(k)-x(i))*q(j-1,i-1))/(x(i)-x( i-j+1));endendw(k)=q(n+1,n+1);endhold on, plot(z,w,'r'),grid on;%**** n=10 ****n=10;x=-1:2/n:1;y=1./(1+25.*x.*x);for i=1:n+1q(1,i)=y(i);endh=0.05;z=-1:h:1;for k=1:2/h+1for i=2:n+1for j=2:iq(j,i)=((z(k)-x(i-j+1))*q(j-1,i)-(z(k)-x(i))*q(j-1,i-1))/(x(i)-x( i-j+1));endendw(k)=q(n+1,n+1);endhold on,plot(z,w,'k'),grid on;legend ('原始图','n=5','n=10');2、%固支样条插植%********第一段********x=[1,2,5,6,7,8,10,13,17];a=[3,3.7,3.9,4.2,5.7,6.6,7.1,6.7,4.5];n=numel(a);for i=1:n-1h(i)=x(i+1)-x(i);endA=[2*h(1),h(1),0,0,0,0,0,0,0;h(1),2*(h(1)+h(2)),h(2),0,0,0,0,0,0;0,h(2),2*(h(2)+h(3)),h(3),0,0,0,0,0;0,0,h(3),2*(h(3)+h(4)),h(4),0,0,0,0;0,0,0,h(4),2*(h(4)+h(5)),h(5),0,0,0;0,0,0,0,h(5),2*(h(5)+h(6)),h(6),0,0;0,0,0,0,0,h(6),2*(h(6)+h(7)),h(7),0;0,0,0,0,0,0,h(7),2*(h(7)+h(8)),h(8);0,0,0,0,0,0,0,h(8),2*h(8)];e=[3*(a(2)-a(1))/h(1)-3;3*(a(3)-a(2))/h(2)-3*(a(2)-a(1))/h(1);3*(a(4)-a(3))/h(3)-3*(a(3)-a(2))/h(2);3*(a(5)-a(4))/h(4)-3*(a(4)-a(3))/h(3);3*(a(6)-a(5))/h(5)-3*(a(5)-a(4))/h(4);3*(a(7)-a(6))/h(6)-3*(a(6)-a(5))/h(5);3*(a(8)-a(7))/h(7)-3*(a(7)-a(6))/h(6);3*(a(9)-a(8))/h(8)-3*(a(8)-a(7))/h(7);3*(-0.67)-3*(a(9)-a(8))/h(8)];c=inv(A)*e;for i=1:8b(i)=(a(i+1)-a(i))/h(i)-h(i)*(2*c(i)+c(i+1))/3;d(i)=(c(i+1)-c(i))/(3*h(i));endfor i=1:8z=x(i):0.05:x(i+1);w=a(i)+b(i).*(z-x(i))+c(i).*(z-x(i)).^2+d(i).*(z-x(i)).^3; grid on, plot(z,w),hold on;end%********第二段********x=[17,20,23,24,25,27,27.7];a=[4.5,7,6.1,5.6,5.8,5.2,4.1];for i=1:6h(i)=x(i+1)-x(i);endA=[2*h(1),h(1),0,0,0,0,0;h(1),2*(h(1)+h(2)),h(2),0,0,0,0;0,h(2),2*(h(2)+h(3)),h(3),0,0,0;0,0,h(3),2*(h(3)+h(4)),h(4),0,0;0,0,0,h(4),2*(h(4)+h(5)),h(5),0;0,0,0,0,h(5),2*(h(5)+h(6)),h(6)0,0,0,0,0,h(6),2*h(6)];e=[3*(a(2)-a(1))/h(1)-3*3;3*(a(3)-a(2))/h(2)-3*(a(2)-a(1))/h(1);3*(a(4)-a(3))/h(3)-3*(a(3)-a(2))/h(2);3*(a(5)-a(4))/h(4)-3*(a(4)-a(3))/h(3);3*(a(6)-a(5))/h(5)-3*(a(5)-a(4))/h(4);3*(a(7)-a(6))/h(6)-3*(a(6)-a(5))/h(5);3*(-4)-3*(a(7)-a(6))/h(6)];c=inv(A)*e;for i=1:6b(i)=(a(i+1)-a(i))/h(i)-h(i)*(2*c(i)+c(i+1))/3;d(i)=(c(i+1)-c(i))/(3*h(i));endfor i=1:6z=x(i):0.05:x(i+1);w=a(i)+b(i).*(z-x(i))+c(i).*(z-x(i)).^2+d(i).*(z-x(i)).^3; grid on, plot(z,w),hold on;end%********第三段********x=[27.7,28,29,30];a=[4.1,4.3,4.1,3];for i=1:3h(i)=x(i+1)-x(i);endA=[2*h(1),h(1),0,0;h(1),2*(h(1)+h(2)),h(2),0;0,h(2),2*(h(2)+h(3)),h(3);0,0,h(3),2*h(3)];e=[3*(a(2)-a(1))/h(1)-3*0.33;3*(a(3)-a(2))/h(2)-3*(a(2)-a(1))/h(1);3*(a(4)-a(3))/h(3)-3*(a(3)-a(2))/h(2);3*(-1.5)-3*(a(4)-a(3))/h(3)];c=inv(A)*e;for i=1:3b(i)=(a(i+1)-a(i))/h(i)-h(i)*(2*c(i)+c(i+1))/3;d(i)=(c(i+1)-c(i))/(3*h(i));endfor i=1:3z=x(i):0.05:x(i+1);w=a(i)+b(i).*(z-x(i))+c(i).*(z-x(i)).^2+d(i).*(z-x(i)).^3; grid on, plot(z,w),hold on;endgrid on,title('注：横纵坐标的比例不一样！！！');1、%用不动点迭代法求方程 x-e^x+4=0的正根与负根，误差限是10^-6%disp('不动点迭代法');n0=100;p0=-5;for i=1:n0p=exp(p0)-4;if abs(p-p0)<=10^(-6)if p<0disp('|p-p0|=')disp(abs(p-p0))disp('不动点迭代法求得方程的负根为:')disp(p);break;elsedisp('不动点迭代法无法求出方程的负根.')endelsep0=p;endendif i==n0disp(n0)disp('次不动点迭代后无法求出方程的负根')endp1=1.7;for i=1:n0pp=exp(p1)-4;if abs(pp-p1)<=10^(-6)if pp>0disp('|p-p1|=')disp(abs(pp-p1))disp('用不动点迭代法求得方程的正根为')disp(pp);elsedisp('用不动点迭代法无法求出方程的正根');endbreak;elsep1=pp;endendif i==n0disp(n0)disp('次不动点迭代后无法求出方程的正根')end2、%用牛顿法求方程 x-e^x+4=0的正根与负根，误差限是10^-6 disp('牛顿法')n0=80;p0=1;for i=1:n0p=p0-(p0-exp(p0)+4)/(1-exp(p0));if abs(p-p0)<=10^(-6)disp('|p-p0|=')disp(abs(p-p0))disp('用牛顿法求得方程的正根为')disp(p);break;elsep0=p;endendif i==n0disp(n0)disp('次牛顿迭代后无法求出方程的解')endp1=-3;for i=1:n0p=p1-(p1-exp(p1)+4)/(1-exp(p1));if abs(p-p1)<=10^(-6)disp('|p-p1|=')disp(abs(p-p1))disp('用牛顿法求得方程的负根为')disp(p);break;elsep1=p;endendif i==n0disp(n0)disp('次牛顿迭代后无法求出方程的解')end1、使用欧拉法、改进欧拉法和四阶R-K方法求下列微分方程的解。
MATLAB实验一 解线性方程组的直接法
输出 Ax b 中系数 A LU 分解的矩阵 L 和 U ，解向量 x 和 det(A) ;用列主元法 的行交换次序解向量 x 和求 det(A) ；比较两种方法所得结果。
2、用列主高斯消元法解线性方程组 Ax b 。
3.01 6.03 1.99 x1 1 4.16 1.23 x 2 1 （1） 、 1.27 0.987 4.81 9.34 x 1 3 3.00 6.03 1.99 x1 1 4.16 1.23 x 2 1 （2） 、 1.27 0.990 4.81 9.34 x 1 3
index = 1 3、在 MATLAB 窗口：
A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10]; b=[32 23 33 31]'; x=A\b b1=[32.1 22.9 33.1 30.9]'; x1=A\b1 A1=[10 7 8.1 7.2;7.08 5.04 6 5;8 5.98 9.89 9;6.99 5 9 9.98]; x2=A1\b delta_b=norm(b-b1)/norm(b) delta_A=norm(A-A1)/norm(A) delta_x1=norm(x-x1)/norm(x) delta_x2=norm(x-x2)/norm(x)
二. 实验要求 1、按照题目要求完成实验内容； 2、写出相应的 Matlab 程序； 3、给出实验结果(可以用表格展示实验结果)； 4、分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。 5、写出实验报告。 三. 实验步骤 1、用 LU 分解及列主元高斯消去法解线性方程组
7 10 3 2.099999 a) 5 1 2 1 1 x1 8 6 2 x 2 5.900001 ， 5 1 x3 5 0 2 1 x 4 0
matlab 曲面三角剖分
一、概述Matlab是一种用于数学计算、数据分析和可视化的强大软件工具。
曲面三角剖分是在三维空间中创建曲面网格的过程，常用于工程、地质、医学等领域。
在Matlab中，曲面三角剖分可以通过多种方法实现，本文将介绍在Matlab中实现曲面三角剖分的方法和技巧。
二、Matlab中的曲面三角剖分在Matlab中，曲面三角剖分通常使用triangulation函数来实现。
该函数可以将点云数据转换为三角形网格数据，从而创建曲面的三角剖分。
在使用triangulation函数之前，我们需要准备好曲面的点云数据，可以通过手动输入或者读取外部文件获取点云数据。
三、创建点云数据1. 手动输入点云数据在Matlab中，可以使用数组或者矩阵来手动输入曲面的点云数据。
我们可以定义一个包含曲面上各个点的坐标的数组，例如:x = [0, 1, 2, 3];y = [0, 1, 2, 3];z = [0, 0, 0, 0];这些点的坐标可以表示为空间中的一个平面，通过triangulation函数，可以将这些点转换为三角形网格数据，实现曲面的三角剖分。
2. 读取外部文件获取点云数据除了手动输入外，还可以通过读取外部文件获取曲面的点云数据。
在实际应用中，曲面的点云数据通常是通过CAD软件、三维扫描仪等设备获取的。
在Matlab中，可以通过导入外部文件的方式将点云数据导入到Matlab环境中，然后使用triangulation函数进行三角剖分。
四、triangulation函数的使用一旦准备好曲面的点云数据，就可以使用triangulation函数进行曲面的三角剖分。
triangulation函数的基本语法如下:tri = triangulation(x, y, z);其中x、y、z是曲面上各个点的坐标，tri是表示三角形网格数据的三角剖分对象。
五、绘制曲面三角剖分图形在使用triangulation函数创建三角剖分对象后，可以通过plot函数将曲面的三角剖分图形绘制出来。
直接三角分解法
• 直接三角分解法简介 • 直接三角分解法的算法原理 • 直接三角分解法的实现过程 • 直接三角分解法的应用案例 • 直接三角分解法的优化与改进
01
直接三角分解法简介
定义与特点
定义
高效
直接三角分解法是一种线性代数中的方法 ，用于将一个矩阵分解为一个下三角矩阵 和一个上三角矩阵的乘积。
计算分解矩阵
根据所选方法计算出左奇 异矩阵、右奇异矩阵和奇 异值矩阵。
提取关键信息
从分解矩阵中提取关键信 息，如主成分或特征向量， 用于后续分析。
结果
可视化结果
将分解结果以图表、图像等形式呈现，便于直观 理解。
量化分析
对分解结果进行量化分析，如计算各主成分的贡 献率或方差解释率。
决策建议
根据分析结果提供决策建议，指导后续工作。
图像修复
通过直接三角分解法，可以将图像中的损坏或缺失部分进行修复或替 换，从而得到完整的图像。
05
直接三角分解法的优化与改进
算法优化
减少计算量
通过选择合适的算法和数据结构，减少不必要的计算和重复计算， 提高算法的效率。
并行化处理
将算法中的计算任务分解为多个子任务，并利用多核处理器或多 线程技术并行处理，加快计算速度。
利用三角分解法，可以方便地计算矩阵的逆和行列式，对于解决一些数学问题具有重要意义。
在机器学习中的应用
矩阵分解
在推荐系统和协同过滤等机器学习算法中，矩阵分解是一种常见的方法。通过直接三角分 解法，可以将矩阵分解成低秩矩阵和稀疏矩阵，从而更好地表示用户和物品之间的关系。
降维处理
在处理高维数据时，直接三角分解法可以用于降维处理，将高维数据投影到低维空间，保 留主要特征，降低计算复杂度。
matlab三角函数化简
matlab三角函数化简MATLAB中有多种函数可用于三角函数的化简。
下面主要讨论simplify、trigsimp、simplifyTrig和collect的用法。
1. simplify函数simplify函数是一个通用的化简函数，可供 MATLAB的符号工具箱中的所有函数使用。
这个函数可以不仅可以进行三角函数的化简，也可以进行多项式、指数和对数函数、特殊函数、布尔函数等的化简。
具体用法如下：syms xf = sin(x)^2 + cos(x)^2; % 初始化simplify(f) % 化简2. trigsimp函数trigsimp函数是专门用于化简三角函数的函数，它可简化三角公式和将三角函数转换成指数形式。
具体用法如下：syms xf = sin(x)^2 + cos(x)^2;trigsimp(f)3. simplifyTrig函数simplifyTrig函数是一种更强大的三角函数化简函数，它能够对三角函数求值并将结果转化为较简单的形式。
具体用法如下：syms xf = sin(x + pi/2); % sin(x + π/2) = cos(x)simplifyTrig(f)4. collect函数collect函数可将符号表达式中的项进行重新排列，以保留某些特定的项或变量。
具体用法如下：syms xf = sin(x)*cos(x);collect(f, sin(x)) % 公因式为 sin(x), 对其分组这几种化简函数在 MATLAB中得到了很好的实现，使用这些函数可简化三角函数和其他函数的表达式，在科学计算中提高程序的效率和可读性。
除了以上四种常用的化简函数外，MATLAB中还有很多其他的函数可用于对三角函数的表达式进行化简，这里只列举几个常用的：1. expand函数expand函数可以将一个含有三角函数的表达式展开成一个更复杂的表达式，便于后续进一步处理。
具体用法如下：syms xf = sin(x + pi/2); % sin(x + π/2) = cos(x)expand(f)2. factor函数factor函数可以将一个含有三角函数的表达式进行因式分解，便于化简。