拉压-轴力与轴力图以及横截面上应力计算复习课程
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材料力学课件刘第二章拉压
P x A(x)
x
P P
P
P P P
例2-3 已知双压手铆机活塞 杆N图，横截面面积A=4cm2 , 求杆件AB、BC段应力。
解:
AB
N A
N 2.62 10 6.5 106 Pa A 4 10 4
3
AB
§2-3 材料在拉伸时的力学性能
力学性能、力学性质、机械性质 拉伸压缩试验、常温、静载 一、 低碳钢在拉伸时的力学性能
、
ζ 、ε成正比阶段的最高点
成正比
比例极限ζP— 对应的应力值。 E（=tgα）——弹性模量
E ——胡克定律
由此知：胡克定律的适用范围：
＜ p
第二阶段： 屈服阶段
特点：应力几乎不变，变形增加很快。材
料失去抵抗变形的能力。有塑性变形产生 屈服极限ζs — 屈服阶段最低 点对应的应力值
极限应力： 材料处于极限状态（失效）时的应力，用ζjx(ηjx)表示。 塑性材料：
jx S
脆性材料：
jx b
jx n
——
许用应力，构件工作应力不允许超过的数值。
塑性材料：
s ns
脆性材料：
b nb
ns , nb —— 安全系数
§2 — 6
轴向拉伸或压缩时的变形 b1
F
L L1
b F
一、轴向拉（压） 杆件变形 (一) 轴向变形 1. 杆件轴向总变形ΔL ： （即杆两端截面的相对位移）
L L1 L （拉正、压负） L 2.轴向线应变ε ： L
(二) 横向变形
1. 横向总变形Δb ：
（拉正、压负）
b b1 b
轴力与应力计算
FN1=F
FN3
F
2F
FN2
FN 2 F
FN 3 F
轴力图
F
2F A
2F B
F
FN
F
F x
F
例2：已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN； F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。
A
B
F1
F2
C
D
F3
F4
A 1B
F1
1 F2
FN / kN 10
2 C 3D
2 F3 3 F4
25
P
三、轴向拉压时横截面上的应力
已知轴力的大小，是否就可以判定构件是否发生破坏？
如果轴力很大，而杆件的横截面面积也很大，杆件是 否一定发生破坏？ 如果轴力很小，而杆件的横截面面积也很小，杆件是 否一定不发生破坏？
不能只根据轴力就判断杆件是否有足够的强度； 还必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。 在拉压杆的横截面上，与轴力对应的应力是正应力。
Saint-Venant原理与应力集中示意图
变形示意图： P
a
b
c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
例1、 起吊三角架，如图所示，已知AB杆由2根截 面面积为10.86cm2的角钢制成，P=130kN，=30O。 求AB杆横截面上的应力。
B
C
A
P
NAB
变形前
受载后
F
F
所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直 线且与轴线垂直。
1.平面假设 (Plane assumption)
变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面， 且仍垂直于轴线.
FN3
F
2F
FN2
FN 2 F
FN 3 F
轴力图
F
2F A
2F B
F
FN
F
F x
F
例2：已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN； F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。
A
B
F1
F2
C
D
F3
F4
A 1B
F1
1 F2
FN / kN 10
2 C 3D
2 F3 3 F4
25
P
三、轴向拉压时横截面上的应力
已知轴力的大小，是否就可以判定构件是否发生破坏？
如果轴力很大，而杆件的横截面面积也很大，杆件是 否一定发生破坏？ 如果轴力很小，而杆件的横截面面积也很小，杆件是 否一定不发生破坏？
不能只根据轴力就判断杆件是否有足够的强度； 还必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。 在拉压杆的横截面上，与轴力对应的应力是正应力。
Saint-Venant原理与应力集中示意图
变形示意图： P
a
b
c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
例1、 起吊三角架，如图所示，已知AB杆由2根截 面面积为10.86cm2的角钢制成，P=130kN，=30O。 求AB杆横截面上的应力。
B
C
A
P
NAB
变形前
受载后
F
F
所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直 线且与轴线垂直。
1.平面假设 (Plane assumption)
变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面， 且仍垂直于轴线.
拉压-轴力与轴力图以及横截面上应力计算
28
§5-3、Stress on lateral
Example 2-3
A 1
45°
C
2
FN1
y
FN 2 45° B
F
图示结构，试求杆件AB、CB的
应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直
径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。
B 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆）
l
l F +
F
F 2l
FN
l F +
F
18
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
轴力（Axial Force)与构 件的那些因素有关？ 截面形状？
外力大小？
截面尺寸？ 构件材料？
19
§5-3、Stress on lateral
杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积 有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。
3
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
4
§5-1
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
5
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
6
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
F
F 作用线也与杆件的轴线重
m
合。所以称为轴力。
F FN
FN
3、轴力正负号：拉为正、
F 压为负
Fx 0 FN F 0
FN F
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
§5-3、Stress on lateral
Example 2-3
A 1
45°
C
2
FN1
y
FN 2 45° B
F
图示结构，试求杆件AB、CB的
应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直
径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。
B 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆）
l
l F +
F
F 2l
FN
l F +
F
18
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
轴力（Axial Force)与构 件的那些因素有关？ 截面形状？
外力大小？
截面尺寸？ 构件材料？
19
§5-3、Stress on lateral
杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积 有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。
3
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
4
§5-1
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
5
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
6
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
F
F 作用线也与杆件的轴线重
m
合。所以称为轴力。
F FN
FN
3、轴力正负号：拉为正、
F 压为负
Fx 0 FN F 0
FN F
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
材料力学第4讲 拉伸与压缩2-8_2-11(考前复习突击)
1、极限应力(Ultimate stress) 极限应力(Ultimate 材料的两个强度指标σs 和 σb 称作极限应力或危险应力， 称作极限应力或危险应力， 并用 σu 表示. 表示. 2、许用应力(Allowable stress) 许用应力(Allowable 以大于1的因数除极限应力，并将所得结果称为许用应力， 以大于1的因数除极限应力，并将所得结果称为许用应力， 许用应力 用[σ]表示. 表示.
[σ ] =
σu
n
n — 安全系数（factor of safety） 安全系数（
塑性材料 (ductile materials) 脆性材料 ( brittle materials)
[σ ] =
σs σb
n n
[σ ] =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3、强度条件（Strength condition)： 强度条件（ condition)：
α α ∆l 1 A2
A″ A' A1
以两杆伸长后的长度 BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A″， 即为A点的新位置.AA″ 即为A点的新位置.AA″ 就是A点的位移. 点的位移. 因变形很小，故可过 A1，A2 分别做两杆的垂线，相交于 A′ 分别做两杆的垂线， 因变形很小， 可认为
Fl AA′ = AA′′ ∆A = AA′ = ∆l1 = = 2 cosα 2EAcos α m (↓) 1.293m
F2
Ⅰ l1 A
F1
R
FN3 FN2
F2
F1
FN3 − R = 0 FN3 = −50kN (−)
F − F2 − FN2 = 0 1 FN2 = −15kN (−)
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
R
[σ ] =
σu
n
n — 安全系数（factor of safety） 安全系数（
塑性材料 (ductile materials) 脆性材料 ( brittle materials)
[σ ] =
σs σb
n n
[σ ] =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3、强度条件（Strength condition)： 强度条件（ condition)：
α α ∆l 1 A2
A″ A' A1
以两杆伸长后的长度 BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A″， 即为A点的新位置.AA″ 即为A点的新位置.AA″ 就是A点的位移. 点的位移. 因变形很小，故可过 A1，A2 分别做两杆的垂线，相交于 A′ 分别做两杆的垂线， 因变形很小， 可认为
Fl AA′ = AA′′ ∆A = AA′ = ∆l1 = = 2 cosα 2EAcos α m (↓) 1.293m
F2
Ⅰ l1 A
F1
R
FN3 FN2
F2
F1
FN3 − R = 0 FN3 = −50kN (−)
F − F2 − FN2 = 0 1 FN2 = −15kN (−)
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
R
工程力学教学课件：2–2 轴力及轴力图
2P + –
3P
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
5P
+
P
D PD D PD D PD
x
19
[例3] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画
出杆的轴力图。
解：x 坐标向右为正，坐标原点在
q(x)
自由端。
L
取左侧x 段为对象，内力N(x)为：
O x
O x
q
q(x)
N(x)
x
qL
N
N ( x)
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
10
1. 轴力的概念: (在轴向载荷作用下，杆件横截面上的唯一 内力分量--就是轴力)
m
P
P
m
P
m FN
FN = P
m
P
m
P
m
P
m FN
FN = P
m
11
2. 轴力的正负规定: FN 与外法线同向,为正轴力(拉力) FN
FN与外法线反向,为负轴力(压力)
P
a
k
k
Pa
由平衡方程：Pa=P
a
则：
pa
Pa Aa
k Aa：斜截面面积；Pa：斜截面上内力。
由几何关系：cosa A
Aa
Aa
A
cosa
代入上式，得：
pa
Pa Aa
P cosa
A
s 0 cosa
斜截面上全应力：pa s 0cosa
30
斜截面上全应力： pa s 0cosa P
k
分解：
a
3P
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
5P
+
P
D PD D PD D PD
x
19
[例3] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画
出杆的轴力图。
解：x 坐标向右为正，坐标原点在
q(x)
自由端。
L
取左侧x 段为对象，内力N(x)为：
O x
O x
q
q(x)
N(x)
x
qL
N
N ( x)
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
10
1. 轴力的概念: (在轴向载荷作用下，杆件横截面上的唯一 内力分量--就是轴力)
m
P
P
m
P
m FN
FN = P
m
P
m
P
m
P
m FN
FN = P
m
11
2. 轴力的正负规定: FN 与外法线同向,为正轴力(拉力) FN
FN与外法线反向,为负轴力(压力)
P
a
k
k
Pa
由平衡方程：Pa=P
a
则：
pa
Pa Aa
k Aa：斜截面面积；Pa：斜截面上内力。
由几何关系：cosa A
Aa
Aa
A
cosa
代入上式，得：
pa
Pa Aa
P cosa
A
s 0 cosa
斜截面上全应力：pa s 0cosa
30
斜截面上全应力： pa s 0cosa P
k
分解：
a
建筑力学与结构之轴向拉伸与压缩培训课件
拉伸时大。
b
铸铁拉应力图
压缩时的强度极限b是拉伸 时的4—5倍。
铸铁常作为受压构件使用。 铸铁破坏时断口与轴线成450。
第五节 拉压杆的强度条件及应用
一、许用应力与安全系数
（1）极限应力（危险应力、失效应力）：构件发生破坏或产
生过大变形而不能安全工作时的最小应力值。“ ” （2）许用应力：构件安全工作时的最大应力。“[]”
横向 线应变：
a a
杆件在轴向拉（压）变形时，横向尺寸的改变 量称为横向变形。
a a1 a
符号： 拉伸时为负值；压缩时为正值。
第三节 轴向拉（压）杆的变形、虎克定律
三、泊松比
当杆件的变形在弹性范围内时，材料的横向线应变 与纵向线应变的比值的绝对值是一个常数，称为材料的 横向变形系数或泊松比，即
第一节 轴向拉伸和压缩时的内力
二、轴向拉（压）杆的内力及内力图
➢ 分析内力最基本的方法是截面法。
➢截面法计算内力的步骤:
①将构件沿需要求内力的位置用假设截面截开，把构 件分为两部分，取其中一部分为研究对象;
②画研究对象的受力图时，另一部分对研究对象的作 用力用内力来代替;
③根据研究对象的平衡条件列平衡方程求解内力。
第三章 轴向拉伸与压缩
• 第一节 轴向拉伸和压缩时的内力 • 第二节 轴向拉（压）杆横截面上的应力
目 • 第三节 轴向拉（压）杆的变形、虎克定律 录 • 第四节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
• 第五节 拉（压）杆的强度条件及应用 • 第六节 拉（压）杆连接部分的强度计算
第三章 轴向拉伸与压缩
➢ 物体的简化模型，根据具体情形可分为刚体和变形体。
解： max
FN max A
工程力学 第四章 轴向拉伸与压缩讲诉
拉压杆的强度条件：杆件的最大工作应力不能超过材料的许用应力。即
FN max [ ]
max
A
式中： max ——横截面上的最大工作应力；
FN max ——产生最大工作应力界面的轴力，这个截面称为危险截面；
A——危险截面的横截面积；
[σ]——材料的许用应力。
对于等直杆，轴力最大的截面为危险截面；对于变截面直杆，若轴力不变， 横截面积最小的截面为危险截面；若杆件为变截面杆，且轴力也是变化的， [FN/A]max 所在的截面为危险截面。
第 9 页 共 17 页
二、胡克定律
杆件受轴向力作用时，沿杆件轴线方向会伸长或缩短，同时杆件的横向尺 寸将缩小或增大。我们把杆件沿轴线方向伸长或缩短称为纵向变形；横截面方 向尺寸的改变量称为横向变形。
F
F
l l1
杆件在拉伸或压缩时长度发生改变，其改变量称为绝对变形，用 L 表示。 设杆件变形前的长度为 L ，变形后的长度为 L1 ，则其绝对变形
结合书 P83-84 例 3-5、例 3-6 对强度计算进行详细讲解。
2、例题
例 1：一直径 d=14mm 的圆杆，许用应力[σ]=170MPa，受轴向拉力 P=2.5kN 作用，试校核此杆是否满足强度条件。
解：
max
N max A
2.5 103 142 106
162MPa <留段 A 的 m — m 截面
轴向拉伸的内力计算
上，各处作用着内力，设这些内力的合力为 N ，它是弃去部分 B 对保留部分 A
的作用力。
（3）由于整个杆件原来处于平衡状态，所以截开后的任意一部分仍应保
第 2 页 共 17 页
持平衡，故可对保留部分 A 建立平衡方程。
材料力学 第2章轴向拉伸与压缩
15mm×15mm的方截面杆。
A
FN128.3kN FN220kN
1
（2）计算各杆件的应力。
C
45°
2
B
s AB
FN 1 A1
28.3103
202
M
Pa90MPa
4
F
FN 1
F N 2 45°
y
Bx
s BC
FN 2 A2
21052103MPa89MPa
F
§2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
22
5 圣维南原理
s FN A
（2-1）
（1）问题的提出
公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作
用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非
均匀的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就
会发生变化。 理论和实践研究表明：
不同的加力方式，只对力作
用点附近区域的应力分布有
显著影响，而在距力作用点
力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中，所表 现出的有关变形和破坏的特性和规律。
材料力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（缓慢地加载）；
2、标准试件：常用d=10mm，l=100 mm的试件
d
l
l =10d 或 l = 5d
36
b点是弹性阶段的最高点.
σe—
oa段为直线段，材料满足 胡克定律
sE
sp
E
se sp
s
f ab
Etana s
O
f′h
反映材料抵抗弹
性变形的能力.
40
A
FN128.3kN FN220kN
1
（2）计算各杆件的应力。
C
45°
2
B
s AB
FN 1 A1
28.3103
202
M
Pa90MPa
4
F
FN 1
F N 2 45°
y
Bx
s BC
FN 2 A2
21052103MPa89MPa
F
§2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
22
5 圣维南原理
s FN A
（2-1）
（1）问题的提出
公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作
用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非
均匀的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就
会发生变化。 理论和实践研究表明：
不同的加力方式，只对力作
用点附近区域的应力分布有
显著影响，而在距力作用点
力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中，所表 现出的有关变形和破坏的特性和规律。
材料力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（缓慢地加载）；
2、标准试件：常用d=10mm，l=100 mm的试件
d
l
l =10d 或 l = 5d
36
b点是弹性阶段的最高点.
σe—
oa段为直线段，材料满足 胡克定律
sE
sp
E
se sp
s
f ab
Etana s
O
f′h
反映材料抵抗弹
性变形的能力.
40
材料力学第二章-轴向拉伸与压缩
FN 3 P
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
工程力学精品课程轴向拉压
1-1截面上的应力
1
P A1
38 103 (50 22) 20 106
67.86MPa
2-2截面上的应力
2
P A2
38 103 2 15 20 106
63.33MPa
3-3截面上的应力
3
P A3
38 103 (50 22) 15 2 106
max 67.86MPa 102.8%
所以，此零件的强度够用。
例5-4
冷镦机的曲柄滑块机构如图所示。镦压工件时连杆接近水平位置，承受的镦压力 P=1100 kN 。连杆的截面为矩形，高与宽之比为h/b=1.4。材料为45钢，许用应力为 []=58 MPa，试确定截面尺寸h和b。
A2 A4
A A1
A3
垂直位移是： A点的位移是：
A2 A3 A2 A4 A4 A3 AA1sin 30o ( AA2 AA1 cos30o )ctg30o 3mm
2
2
AA3 AA2 A2 A3 3.06mm
7 简单拉压静不定问题
例5-8 图示结构是用同一材料的三根杆组成；三根杆的横截面面积分别为：A1=200mm2、A2=300mm2 和A3=400mm2，载荷P=40kN；求各杆横截面上的应力。
- 2.62 103
102
33.4N / mm 2
33.4MPa
压应力
4
(b) 截面2-2上的应力。
2
FN2 A
- 1.32 103 16.8N / mm 2 16.8MPa
102
压应力
4
材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
伸长 l2 0.24mm 缩短
2、计算各杆轴向变形
C
l 2 =1m a =170mm
B'
B2
F
l1 0.48mm
3、由变形的几何条件确定B点的位移 分别以A为圆心，AB1为半径，C为圆 心，CB1为半径画弧，相较于B’点，
B"
小变形条件，可以用切线代替弧线。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
FN FN ( x)
轴力方程
即为轴力图。
即：FN随x的变化规律
以x为横坐标，以FN为纵坐标，绘制FN F（ ）的关系图线， N x
FN
正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.
x
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
例题1
等值杆受力如图所示，试作其轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F
纵向线 即： 原长相同
变形相同
横截面上各点的纵向线应变相等
c
拉压杆变形几何方程.
反映了截面上各点变形之间的几何关系.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 横截面上的正应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
一、几何方面
F
a' b'
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
• • • • • •
本章主要内容 轴力及轴力图 横截面上的应力 拉压杆的变形、胡克定律 强度计算 材料的力学性质
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-1 概述 一、工程实际中的轴向拉压杆
2、计算各杆轴向变形
C
l 2 =1m a =170mm
B'
B2
F
l1 0.48mm
3、由变形的几何条件确定B点的位移 分别以A为圆心，AB1为半径，C为圆 心，CB1为半径画弧，相较于B’点，
B"
小变形条件，可以用切线代替弧线。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
FN FN ( x)
轴力方程
即为轴力图。
即：FN随x的变化规律
以x为横坐标，以FN为纵坐标，绘制FN F（ ）的关系图线， N x
FN
正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.
x
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
例题1
等值杆受力如图所示，试作其轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F
纵向线 即： 原长相同
变形相同
横截面上各点的纵向线应变相等
c
拉压杆变形几何方程.
反映了截面上各点变形之间的几何关系.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 横截面上的正应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
一、几何方面
F
a' b'
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
• • • • • •
本章主要内容 轴力及轴力图 横截面上的应力 拉压杆的变形、胡克定律 强度计算 材料的力学性质
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-1 概述 一、工程实际中的轴向拉压杆
02轴向拉伸与压缩1-轴力图应力
§1—5. 杆件变形的基本形式（Basic Forms of Bar’s Deformation）
四,弯曲(Bending): 在包含杆轴的纵向平面内，在杆轴两端
作用一对等值反向的力偶，则杆的横截面发 生绕垂直于杆轴的中性轴转动，变形后的杆 轴线在纵向平面内成为曲线，这种变形形式
称为弯曲。
梁式桥的横梁 和纵梁、屋顶梁、 桥式起重机的大梁、火车轮轴等受力时主要发生弯曲变形。
(+ )
10
AB段 BC段
∑ Fx = 0
FN1 = F1 = 10kN
∑ Fx = 0 FN 2 + F2 = F1
F4
25 CD段
FN 2 = F1 − F2 =
10 − 20 = −10kN
∑ Fx = 0
FN3 = F4 = 25kN
x
2、绘制轴力图。
目录
•§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图
杆的受力简图为
拉伸
压缩
F
FF
F
目录
•§2-1 轴向拉伸和压缩的概念
目录
§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图
外力：
按 体积力:是连续分布于物体内部各点的力
外
力
如物体的自重和惯性力
作
如油缸内壁的压力，水坝受
用 的 方
面积力:
分布力：到的水压力等均为分布力 集中力：若外力作用面积远小于物体表
式
面的尺寸，可作为作用于一点
F3
目录
§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图
F
a
a
F
切、留、代、平 求内力
M
FS＝− F M = −Fa
FS
目录
•§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图
材料力学——第一章 轴向拉伸和压缩
形象表示轴力随截面的变化情况，发现危险面；
材料力学
例题1-1 已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 出图示杆件的轴力图。 1 B 2 C 3 D A 解：1、计算各段的轴力。
F1 F1 F1
FN kN
1 F2
2
F3 3
F4
AB段 BC段
FN1 FN2
F
F
F
F
d变） 拉伸ε＇<0、 压缩ε’>0 ；
'
d
d
材料力学
2、泊松比 实验证明：
称为泊松比；
注意
（１）由于ε、ε‘总是同时发生，永远反号， 且均由
（２）
s 产生，
故有
＝－
‘
0 FN 1 F1 10kN
x x
F
0 FN 2 F2 F1
FN 2 F1 F2
F2
FN3
10
CD段
F4
25
10 20 10kN Fx 0
FN 3 F4 25kN
2、绘制轴力图。
10
x
材料力学
画轴力图步骤
1、分析外力的个数及其作用点； 2、利用外力的作用点将杆件分段； 3、截面法求任意两个力的作用点之间的轴力； 4、做轴力图； 5、轴力为正的画在水平轴的上方，表示该段杆件发生 拉伸变形
材料力学
例题1-3 起吊钢索如图所示，截面积分别为 A2 4 cm2， A1 3 cm2，
l1 l 2 50 m， P 12 kN， 0.028 N/cm3，
试绘制轴力图，并求
材料力学第02章 拉伸、压缩与剪切
⊕
Ⅰ － ○ 20 kN
⊕
F
x
0
FN1
Ⅰ 80kN Ⅱ
FN2 60 80 0
FN2 20kN
FN2 第三段:
Ⅲ
30kN
60kN
F
x
0
Ⅱ
FN3 30 0
FN3 30kN
FN3
Ⅲ
例2
3kN
画图示杆的轴力图
2kN 2kN 10 kN 4kN 8kN
A
3kN
B
C
D
脆性材料 u （ bc） bt
u
n
n —安全因数 —许用应力
塑性材料的许用应力
脆性材料的许用应力
s
ns
bt
nb
p 0.2 n s bc n b
§2-6
§2-7 失效、安全因数和强度计算
解： A 轴力图
A1 B
○ －
A2 60kN 20 kN C D 20 kN ⊕
AB
BC
CD
FN AB 40 103 20MPa A1 2000 FN BC 40 103 40MPa A2 1000 FN CD 20 103 20MPa A2 1000
3、轴力正负号：拉为正、 F 压为负
0 FN F 0 FN F
F
§2-2
x
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
目录
例1
60kN
画图示杆的轴力图
Ⅰ
80kN
Ⅱ
Ⅲ 50kN
30kN
第一段:
材料力学 第二章 轴向拉压应力PPT课件
第二章 轴向拉伸和压缩
§2–1 拉压杆的内力 ·轴力与轴力图 §2–2 拉压杆的应力及强度条件 §2-3 材料在拉伸和压缩时的力学性质 §2-4 剪切与挤压的强度计算
§2–1 拉压杆的内力 · 轴力与轴力图
杆件在轴向荷载作用下，将发生轴向拉伸或压缩。
拉伸 F
F
压缩 F
F
×
一、拉压杆的内力——轴力
×
§2–3 应力集中的概念
拉压杆横截面的应力并不完全是均匀分布的，当横截面 上有孔或槽时，在截面曲率突变处的应力要比其它处的应力 大得多，这种现象称为应力集中。
P
P
P
P
P
×
五、拉压杆的强度条件
拉压杆在正常情况下不发生破坏的条件是：拉压杆的最
大工作应力（横截面的最大正应力）不超过材料的容许应
力。
max
FN3
Ⅲ 30k N
Ⅲ
×
FN3 300 FN3 30kN
例2 长为l ，重为W 的均质杆，上端固定，下端受一轴向拉
力P 作用，画该杆的轴力图。
轴力图
FN
P+W F x 0 ;F N P x 0
⊕
x
P
FN
PxPWx
l
x0 ;F NF N mi nP
P
P
x l;F NF N ma x P W
×
例3 画图示杆的轴力图。
3k N 2k N N 4k N 8kN
3k N ⊕ 1⊕kN
○－
1kN
轴力图
6k N ⊕
○－
4k N 8k N
轴力图
×
§2–2 拉压杆的应力及强度条件
一、横截面的正应力
拉压杆横截面上只有正应力而无剪应力，忽略应力集中 的影响，横截面上的正应力可视作均匀分布的，于是有
§2–1 拉压杆的内力 ·轴力与轴力图 §2–2 拉压杆的应力及强度条件 §2-3 材料在拉伸和压缩时的力学性质 §2-4 剪切与挤压的强度计算
§2–1 拉压杆的内力 · 轴力与轴力图
杆件在轴向荷载作用下，将发生轴向拉伸或压缩。
拉伸 F
F
压缩 F
F
×
一、拉压杆的内力——轴力
×
§2–3 应力集中的概念
拉压杆横截面的应力并不完全是均匀分布的，当横截面 上有孔或槽时，在截面曲率突变处的应力要比其它处的应力 大得多，这种现象称为应力集中。
P
P
P
P
P
×
五、拉压杆的强度条件
拉压杆在正常情况下不发生破坏的条件是：拉压杆的最
大工作应力（横截面的最大正应力）不超过材料的容许应
力。
max
FN3
Ⅲ 30k N
Ⅲ
×
FN3 300 FN3 30kN
例2 长为l ，重为W 的均质杆，上端固定，下端受一轴向拉
力P 作用，画该杆的轴力图。
轴力图
FN
P+W F x 0 ;F N P x 0
⊕
x
P
FN
PxPWx
l
x0 ;F NF N mi nP
P
P
x l;F NF N ma x P W
×
例3 画图示杆的轴力图。
3k N 2k N N 4k N 8kN
3k N ⊕ 1⊕kN
○－
1kN
轴力图
6k N ⊕
○－
4k N 8k N
轴力图
×
§2–2 拉压杆的应力及强度条件
一、横截面的正应力
拉压杆横截面上只有正应力而无剪应力，忽略应力集中 的影响，横截面上的正应力可视作均匀分布的，于是有
轴向拉伸和压缩
2、横向变形
△b=b1－b
b1 b
Db b
横向线应变
泊松比
图示直杆，其抗拉刚度为EA，试求杆件 的轴向变形△L，B点的位移δB和C点的 位移δC
F A
F
B DLAB
C
FL EA
B
L
L
FL C B EA
图示结构，横梁AB是刚性杆，吊杆CD是等截面直杆， B点受荷载F作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位 移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆 的抗拉刚度EA.
F
A B
C
l
l 2
一等直拉杆在两端承受拉力作用，若其一半为钢，另 一半为铝，则两段的（ B ）。 A.应力相同，变形相同；B.应力相同，变形不同； C.应力不同，变形相同；D.应力不同，变形不同。
6.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能
力学性能———指材料受力时在强度和变形方面表现
出来的性能。
塑性变形 变形 弹性变形
20kN E
18kN 4m 4m
30
O
FNCD
CFNBCFra bibliotek BC
FNBC ABC
A
1m
CD
B
FNCD ACD
(轴向接触问题）左端固定的等直杆，长度和拉（压）刚 度分别为l和EA，右端作用一轴向拉力F，杆伸长δ后，右 端与支撑刚性接触，然后，外力F继续加大。设杆件始终 在线弹性范围内工作，试分析外力F的施加过程中杆件轴 力FN的变化。
a
F D
FNAB B C
a
a
计算图示结构BC和CD杆横截面上的正应力值。 已知CD杆为φ28的圆钢，BC杆为φ22的圆钢。
工程力学第7讲 轴向拉压内力、应力
§6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
（2）圣维南原理 ）
作用于弹性体上某一局部区域内的外力系，可以用与 它静力等效的力系来代替。经过代替，只对原力系作用区 域附近有显著影响，但对较远处，其影响即可不计。
Mechanic of Materials of
（3）圣维南原理运用 ）
由圣维南原理可知：下图中的(b)、(c)、(d)都可以用 (b) (c) (d) 同一计算简图（a）来代替，从而图形得到很大程度的简化。
所谓的轴向拉伸和压缩是指作用于杆件上的 所谓的轴向拉伸和压缩是指作用于杆件上的 外力合力的作用线与杆件的轴线重合时， 外力合力的作用线与杆件的轴线重合时，杆件沿 着轴线方向发生的伸长或缩短。 着轴线方向发生的伸长或缩短。
F F F F
Mechanic of Materials of
拉杆
压杆
1、受力特点 外力或外力合力的作用线与杆轴线重合 受力特点： 受力特点 2、变形特点：轴向伸长或缩短
σBC
FNBC − 40 × 103 = = = −4× 10 7 Pa = -40MPa A2 1000 ×10 −6 FNCD + 20 × 103 = = = 2× 10 7 Pa = 20MPa A2 1000 ×10 −6
σCD
§6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
例4 试:分析该杆由自重(材料容量为γ )引起的横截 面上的应力沿杆长的分部规律。 x x x lγ Alγ
轴力图: 二.轴力图 表征轴力沿轴变化规律的图象。 轴力图 表征轴力沿轴变化规律的图象。
1、作法： 、作法： A、用截面法求出各段轴力的大小； B、选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵 坐标表示相应截面上的轴力； FN=f(x) C、拉力绘在 x 轴的上侧，压力绘在 x 轴的下侧。 FN 2、举例： 、举例： x
轴向拉伸与压缩—轴向拉(压)杆横截面上的正应力(工程力学课件)
• 与截面垂直的应力称为正应力，用σ表示。 • 与截面相切的应力称为剪应力，用τ表示。
应力单位：帕（Pa）、千帕（kPa）、兆帕 （MPa）、吉帕（GPa）。
➢ 2.轴向拉（压）杆横截面上的正应力 平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，
且垂直于杆轴线。
结论：轴向拉（压）杆横截面上只有正应力，且均匀分布。
第一节 轴向拉（压）杆的内力与轴力图 第二节 轴向拉（压）杆横截面上的正应力 第三节 轴向拉（压）杆的强度计算 第四节 轴向拉（压）杆的变形计算 第五节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
➢ 1.应力的概念
应力——内力在单位面积上的分布集度。反映了内力在横截面上分布 的密集程度。
1Pa 1N / m2 1kPa 103 Pa 1Mpa 1N / mm2 106 Mpa 1Gpa 109 Pa
X 0 N BA sin 30 P 0
Y 0 N BA cos 30 N BC 0
P 15 NBA sin 30 0.5 30kN
N BC N BA cos 30 30 0.866 26kN
（2）计算各杆的应力
AB
N BA ABA
4 N BA
d 2
4 30 103 3.14 162
149.3MPa
BC
N BC ABC
26 10 2
103 10 2
2.6MPa
结论：拉杆横截面上产生的应力为均匀分布的正应力。 轴向拉（压）杆横截面上的正应力计算公式为：
N
A
N——横截面上的轴力； A——横截面面积。
σ 的符号：正号表示拉应力；Байду номын сангаас号表示压应力。
例题3 有一根钢丝绳，其截面积为0.725 cm2，受到3000N 的拉力，试求这根钢丝绳的应力是多少？
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13
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Example 2-2：Do the Diagram of Axial Force
解：为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN
为方便，取横截面1－1左边为 分离体，假设轴力为拉力，得：
FN1=10 kN(拉力)
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Exercise ：做出下列杆件的轴力图。
F
q F l
l F +
F
F 2l
FN
l F +
F
18
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
轴力（Axial Force)与构 件的那些因素有关？ 截面形状？
§5-3、Stress on lateral
轴力(Axial Force)分布规律：
22
§5-3、Stress on lateral
20
§5-3、Stress on lateral
Relationship about Internal Force and Stress
FP1
AxdAFNx AxdAzMy
y
My
σx
dA
AxdAyMz
FN x x
FP2
z
Conclusion:求应力需的知道截面内力以及内力在该
截面上的分布规律！
21
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Example 2-2：Do the Diagram of Axial Force
轴力图(FN图)显示了各 段杆横截面上的轴力。
FNm , a xFN250kN 思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图
拉压-轴力与轴力图以及横截面 上应力计算
工程力学——材料力学 第五章
轴向拉伸与压缩
2
第五章 轴向拉伸与压缩
§5-1、Introduction and Engineering Examples §5-2、Axial Force and Axial Force Diagrams §5-3、Stress on lateral Section §5-4、Deformation of Axially Loaded Bar §5-5、Strength Condition, Allowable Stress and Safety Factor §5-6、Mechanical Behavior of Materials §5-7、Statically Indeterminate Problem
7
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
The Character of Axial Tension and Compression：
作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线 重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。
杆的受力简图为
Tension
F
Compression
m
所以称为轴力。
F FN
FN
3、轴力正负号：拉为正、 F 压为负
Fx 0 FN F0
FN F
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
11
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Example 2-1
A
F1 F1 F1
FNkN
1 B 2 C 3D
已知F1=10kN； F2=20kN； F3=35kN；
发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？ 16
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Conclusion
由上述轴力计算过程可推得：
任一截面上的轴力的数值等于对应截面一侧所 有外力的代数和，且当外力的方向使截面受拉时为 正，受压时为负。
N=ΣP
17
3
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
4
§5-1
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
5
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
6
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
外力大小？ ✓
截面尺寸？ 构件材料？
19
§5-3、Stress on lateral
杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有 关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。
应力(stress)—内力在一点的分布集度(Density)
lim ΔFN
ΔA0 ΔA lim ΔFQ
ΔA0 ΔA
p
C
F4 F3
14
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Example 2-2：Do the Diagram of Axial Force
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。
FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力) 15
FF
F
8
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
9
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
1、轴力（Axial Force）：
m
2、截面法求轴力（Method of
F
F Section）
m
切: 假想沿m-m横截面将杆
F
FN
切开
FN
F
Fx 0 FN F0FN F留: 留下左半段或右半段
代: 将抛掉部分对留下部分 的作用用内力代替
平: 对留下部分写平衡方程 求出内力即轴力的值 10
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
由于外力的作用线与杆
m
件的轴线重合，内力的作
F
F 用线也与杆件的轴线重合。
1 F2
2
F3
3
F4
F4=25kN;试画出图示杆
解：件1的、轴计力算图各。段的轴力。
FN1
FN2 F2
FN3
10
10
AB段 Fx 0
FN1F110kN
BC段 Fx 0 FN2F2 F1
FN2 F1F2
F4
102010kN
25 CD段 Fx 0
FN3F425kN
x
2、绘制轴力图。 12
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Example 2-2：Do the Diagram of Axial Force
解：为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN
为方便，取横截面1－1左边为 分离体，假设轴力为拉力，得：
FN1=10 kN(拉力)
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Exercise ：做出下列杆件的轴力图。
F
q F l
l F +
F
F 2l
FN
l F +
F
18
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
轴力（Axial Force)与构 件的那些因素有关？ 截面形状？
§5-3、Stress on lateral
轴力(Axial Force)分布规律：
22
§5-3、Stress on lateral
20
§5-3、Stress on lateral
Relationship about Internal Force and Stress
FP1
AxdAFNx AxdAzMy
y
My
σx
dA
AxdAyMz
FN x x
FP2
z
Conclusion:求应力需的知道截面内力以及内力在该
截面上的分布规律！
21
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Example 2-2：Do the Diagram of Axial Force
轴力图(FN图)显示了各 段杆横截面上的轴力。
FNm , a xFN250kN 思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图
拉压-轴力与轴力图以及横截面 上应力计算
工程力学——材料力学 第五章
轴向拉伸与压缩
2
第五章 轴向拉伸与压缩
§5-1、Introduction and Engineering Examples §5-2、Axial Force and Axial Force Diagrams §5-3、Stress on lateral Section §5-4、Deformation of Axially Loaded Bar §5-5、Strength Condition, Allowable Stress and Safety Factor §5-6、Mechanical Behavior of Materials §5-7、Statically Indeterminate Problem
7
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
The Character of Axial Tension and Compression：
作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线 重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。
杆的受力简图为
Tension
F
Compression
m
所以称为轴力。
F FN
FN
3、轴力正负号：拉为正、 F 压为负
Fx 0 FN F0
FN F
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
11
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Example 2-1
A
F1 F1 F1
FNkN
1 B 2 C 3D
已知F1=10kN； F2=20kN； F3=35kN；
发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？ 16
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Conclusion
由上述轴力计算过程可推得：
任一截面上的轴力的数值等于对应截面一侧所 有外力的代数和，且当外力的方向使截面受拉时为 正，受压时为负。
N=ΣP
17
3
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
4
§5-1
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
5
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
6
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
外力大小？ ✓
截面尺寸？ 构件材料？
19
§5-3、Stress on lateral
杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有 关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。
应力(stress)—内力在一点的分布集度(Density)
lim ΔFN
ΔA0 ΔA lim ΔFQ
ΔA0 ΔA
p
C
F4 F3
14
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Example 2-2：Do the Diagram of Axial Force
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。
FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力) 15
FF
F
8
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
9
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
1、轴力（Axial Force）：
m
2、截面法求轴力（Method of
F
F Section）
m
切: 假想沿m-m横截面将杆
F
FN
切开
FN
F
Fx 0 FN F0FN F留: 留下左半段或右半段
代: 将抛掉部分对留下部分 的作用用内力代替
平: 对留下部分写平衡方程 求出内力即轴力的值 10
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
由于外力的作用线与杆
m
件的轴线重合，内力的作
F
F 用线也与杆件的轴线重合。
1 F2
2
F3
3
F4
F4=25kN;试画出图示杆
解：件1的、轴计力算图各。段的轴力。
FN1
FN2 F2
FN3
10
10
AB段 Fx 0
FN1F110kN
BC段 Fx 0 FN2F2 F1
FN2 F1F2
F4
102010kN
25 CD段 Fx 0
FN3F425kN
x
2、绘制轴力图。 12
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams