最新31微分方程与微分方程建模法汇总
微分方程的建模与解析解法
微分方程的建模与解析解法一、引言微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的建模与分析问题中。
本文将介绍微分方程的建模过程，以及常见的解析解法。
二、微分方程的建模微分方程的建模通过描述问题中的变量与变量之间的关系来进行。
具体步骤如下：1. 了解问题：详细了解问题的背景和要解决的具体内容。
2. 确定变量：确定与问题相关的变量，归纳出关键变量和依赖变量。
3. 建立关系：根据问题的特点和变量之间的关系，建立微分方程。
4. 添加初始条件：在微分方程中添加相关的初始条件，这些条件旨在确定方程的具体解。
三、常见的微分方程解析解法微分方程的解析解是通过数学方法求出的解，可以明确地表示出问题的解决方案。
以下是常见的解析解法：1. 可分离变量法：对于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程，可以将x和y分离到方程的两边，然后分别进行积分求解。
2. 齐次方程法：对于形如dy/dx=f(x/y)的一阶微分方程，可以进行变量代换将其化为可分离变量形式的方程。
3. 线性微分方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程，可以利用积分因子法求解。
4. 变量替换法：对于一些复杂的微分方程，通过适当的变量替换，可以将其化简为已知解法形式的微分方程来求解。
5. 求和法和积分法：对于高阶线性微分方程，可以通过求和法和积分法来求解特解，然后利用线性微分方程的叠加原理求得整个方程的解。
四、举例与实践为了更好地理解微分方程的建模与解析解法，我们来看一个具体的例子。
假设有一水槽中的水高度随时间变化的问题，可以建立如下微分方程：dh/dt = -k * sqrt(h)其中，h是水槽中的水高度，t是时间，k是一个常数。
使用可分离变量法，我们可以将此微分方程分离变量并进行求解：(1/√h)dh = -kdt对两边同时进行积分，得到：2√h = -kt + C1其中C1是积分常数。
通过一系列代数变换，我们可以求出水槽中水的高度h关于时间t的解析解：h = ((-kt + C1)/2)^2这个解析解可以明确地描述出水槽中水的高度随时间变化的规律。
数学建模的微分方程方法
数学建模的微分方程方法数学建模是将现实问题抽象化为数学问题并运用数学方法来解决的过程。
微分方程方法是一种常用的数学建模方法，可以描述问题中的变化过程和规律。
下面将介绍微分方程方法在数学建模中的应用。
微分方程是描述自变量与其之间的关系的方程，其中自变量通常表示时间或空间。
微分方程方法通过建立适当的微分方程来描述问题中的变化过程，然后利用数学工具来求解这些微分方程，从而得到问题的解析解或数值解。
微分方程方法在数学建模中的应用非常广泛。
例如，经典的弹簧振子问题可以通过建立二阶线性常微分方程来描述。
通过求解该微分方程，可以得到弹簧振子的运动规律，从而预测其位置和速度随时间的变化。
微分方程方法还可以用来描述人口增长、化学反应、电路等问题。
人口增长问题可以通过建立一阶常微分方程来描述，从而得到人口数量随时间的变化规律。
化学反应可以通过建立化学动力学方程来描述，从而预测反应速率随时间和反应物浓度的变化。
电路问题可以通过建立电路方程来描述，从而预测电流和电压随时间的变化。
在数学建模中，常常需要求解一类特殊的微分方程，即边值问题。
边值问题是指在一定边界条件下求解微分方程的解。
例如，热传导问题可以通过建立热传导方程和适当的边界条件来描述。
通过求解这个边值问题，可以得到在不同边界条件下的温度分布。
微分方程方法还与其他数学建模方法相结合，如优化方法、概率统计方法等。
例如，最优化问题可以通过建立约束条件下的微分方程来描述，从而求解最优解。
概率统计问题可以通过建立随机微分方程来描述，从而分析问题中的随机性和不确定性。
在实际建模中，常常会遇到复杂的问题和非线性的微分方程。
对于这些问题，常常需要借助数值方法来求解。
数值方法通过将微分方程离散化为差分方程，然后利用计算机进行数值计算，从而得到问题的数值解。
常用的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法、有限差分法、有限元法等。
总之，微分方程方法是数学建模中常用的方法之一，可以描述变化过程和规律，并通过数学分析和数值计算来求解。
微分方程建模基本方法
容器内含盐量为
x x (t )
,
x ( 0 ) 10
到
t dt
容器中的含盐量的改变量为
dx x 100 t 2 dt
dx
即
x x (t )
满足的微分方程为
2x dx 100 t dt x ( 0 ) 10
解之得
x 10
5 2
(100 t )
1 y'
这是不显含
的二阶微分方程，并有初值条件：
，y ( 0 ) 0
y (0 ) 0
解此初值问题，可得导弹运行的曲线方程为
y 5 8
4
(1 x )
5
5 12
6
(1 x )
5
5 24
当
x 1
时
y
5 24
，即当乙舰航行到点 (1 , 5 /24 )
处时被导弹击中。
解 设导弹的轨迹曲线为
导弹位于点
P ( x, y)
y y ( x ) ，并设经过时间 t
，乙舰位于点 Q (1, v t ) 。
0
由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线PQ就是导弹 的轨迹曲线弧OP在点P处的切线，即有
y' v0t y 1 x
亦即
v 0 t (1 x ) y ' y
（三）模拟近似法
例3 （给药方案）
给药方案：每次注射剂量多大，间隔时间多长
一室模型：将整个肌体看作一个房室，称中心室， 室内的血液浓度是均匀的。 问题：
设所研究药物的最小有效浓度 c
1
10
，最大治疗
浓度
c 2 25 ( g / ml )
3~~4 微分方程方法建模
r h / c 105 米/秒
为方便直接给出a=0.001/秒, b=0.0005/秒,将所取数 值代入(2)式整理方程，得
dQ 105 103 Q(t ) , 0 t 1800 3 10 Q(t ) 5 104 Q(t ) , t 1800 dt
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3.2 草地水量模型
问题陈述
草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约 持续c小时, 雨在草地中聚积了h厘米高的水; 雨停后，通过渗入、蒸发使草地的积水减 少，最终自然变干，恢复比赛。 由此可将研究对象视为草地积单位面积的 水量Q, 它是时间t 的函数.
0.0835 10% 0.124e
0.0015t1
t1 3334秒
雨停后还要等1534秒(约25分)才能恢复比赛.若水 量降到最大值5%, 需要大约33分钟可以恢复比赛。
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3.3 传染病模型 模型1 (简单模型) 模型2 (SI模型) 模型3（SIS模型）
根据函数及其变化率(导数)之间的关系确定函数 根据建模目的和问题分析作出简化假设
按照内在规律(模式)或用类比法建立微分方程
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3.2 草地水量模型
微分方程方法建模概述及举例
微分方程方法建模概述及举例微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，特别是自然科学和工程学科中的建模问题。
本文将概述微分方程方法建模的基本思路，并通过举例说明其在实际问题中的应用。
1.问题抽象化：首先需要将实际问题抽象成一个或一组微分方程。
通过观察问题的物理过程和规律，了解问题中的变量、因果关系以及其演化过程。
将这些信息用数学语言表示出来，通常是通过建立数学模型来描述问题。
2.建立微分方程：基于问题的抽象化模型，我们可以建立相应的微分方程。
根据物理规律和描述问题演化的数学关系，确定方程中的变量、常数和系数。
对于复杂问题，可能需要引入附加的假设和近似，以简化问题求解。
3.求解微分方程：通过求解微分方程，可以得到问题的数学解。
求解方法包括解析解和数值解两种。
解析解通常是通过变量分离、常数变易、积分变换等方法，求得方程的具体解析形式。
数值解则是通过数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，近似计算出微分方程的解。
4.模型验证和分析：将求得的数学解与实际问题进行比较和分析，验证模型的有效性和准确性。
通过对模型进行敏感性分析和参数优化，对模型进行改进和完善。
现在我们来通过两个实际问题的建模例子，进一步说明微分方程方法的应用。
1.指数增长模型问题：假设一个生物种群遵循指数增长规律，种群数量在一段时间内以固定比率增加。
已知在初始时刻，种群数量为100只，经过3个小时后，种群数量增加到了1000只。
求解该问题。
解答：我们可以建立如下的微分方程模型:dy/dt = k * y其中，y表示种群数量，t表示时间，k为增长率。
根据已知条件，当t=0时，y=100；当t=3时，y=1000。
将这些条件代入微分方程，就可以求解得到k的值。
然后再根据k的值，求解出种群数量y随时间t的变化。
2.弹簧振动模型问题：一个弹簧系统在无外力作用下，其振动满足以下微分方程：m* d^2y/dt^2 = -k * y，其中m为弹簧的质量，k为弹簧的劲度系数。
微分方程公式总结
微分方程公式总结微分方程是数学中的一个重要分支，用于描述变量之间的关系以及其随时间或空间的变化规律。
微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，在实际问题的建模与求解中起到重要的作用。
本文将对微分方程的基本概念、常见的分类、常见的解法以及应用进行总结，以帮助读者更好地理解和应用微分方程。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般形式为：F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0其中x是自变量，y是未知函数，y'、y''...y^(n)代表y对x的一阶、二阶...n阶导数。
常见的微分方程类型有：常微分方程和偏微分方程。
常微分方程中只含有一变量的导数，常见的类型有一阶、二阶和高阶常微分方程；偏微分方程中含有多个变量的偏导数，常见的类型有泊松方程、热方程和波动方程等。
二、常见的微分方程分类及解法1.一阶常微分方程一阶常微分方程形式为：dy/dx = f(x, y)解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
2.高阶常微分方程高阶常微分方程形式为：y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)解法：齐次线性微分方程的解法、常系数线性微分方程的解法、变系数线性微分方程的解法等。
3.一阶偏微分方程一阶偏微分方程形式为：F(x,y,u,p,q)=0其中u=u(x,y)是未知函数，p=∂u/∂x，q=∂u/∂y为一阶偏导数。
解法：变量分离法、特征线法、线性方程法等。
4.二阶偏微分方程二阶偏微分方程形式为：Au_xx + 2Bu_xy + Cu_yy + Du_x + Eu_y + Fu = 0其中A、B、C、D、E、F为已知函数，A、B、C不同时为零。
解法：分离变量法、特征线法、变换法等。
三、微分方程的应用微分方程是物理学、工程学、经济学等实际问题的重要工具，应用领域广泛。
1.物理学应用微分方程可以描述物体的运动、电磁场的分布等物理现象。
微分方程方法建模
微分方程方法建模微分方程方法是数学中一种重要的建模方法，通过将实际问题抽象为微分方程，再进行求解，可以得到问题的解析解或数值解。
微分方程方法建模的过程通常包括问题的建立、方程的确定、初值条件的确定、求解方程、结果的分析和验证等步骤。
首先，问题的建立是微分方程方法建模的首要步骤。
在问题建立过程中，我们需要仔细分析问题，确定出其中的关键因素和变量，并找出它们之间的关系。
例如，可以考虑一个简单的生长模型，假设一个细菌种群的数量随时间的变化。
在这个问题中，关键因素是细菌的增长速率和死亡速率，变量是时间和细菌数量。
我们可以用微分方程来描述这个模型，令N(t)表示时间t时刻的细菌种群数量，则细菌种群数量随时间的变化满足微分方程dN/dt = rN - cN，其中r是细菌增长速率，c是细菌死亡速率。
确定微分方程是建立模型的核心工作。
通常情况下，微分方程可以由物理定律或经验公式导出，也可以根据问题的特点进行假设推导。
在确定微分方程的过程中，需要考虑到问题的实际情况，确定问题的边界条件和约束条件。
例如，在考虑一个容器中的流体流动问题时，可以利用质量守恒和动量守恒定律导出流体的运动方程，然后根据容器的几何形状和边界条件确定相应的边界条件。
确定微分方程后，还需要确定初值条件。
初值条件是微分方程问题的额外信息，通过初值条件我们可以确定方程的特定解。
初值条件可以是方程在一些特定时刻的解，也可以是方程在一些特定点的解。
例如，在考虑细菌生长模型时，我们可以通过实验测得初始时刻的细菌数量N0，则细菌生长模型的初值条件为N(0)=N0。
求解微分方程是微分方程方法建模的核心内容。
微分方程的求解可以分为解析解和数值解两种方法。
解析解是指能够用解析表达式表示出的方程解，它们可以通过分离变量、常数变易和变量替换等方法求解。
数值解则是通过数值计算方法得到的逼近解，常见的数值方法有欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
在实际建模中，求解微分方程时往往会根据问题的复杂程度和需求选择合适的求解方法。
数学建模微分方程模型
我国是世界第一人口大国，地球上每九 个人中就有二个中国人，在20世纪的一段 时间内我国人口的增长速度过快，如下表：
年 1908 1933 4.7 1953 6.0 1964 7.2 1982 10.3 1990 11.3 2000 12.95
人口（亿）3.0
有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进 入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社 会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理 想来说，也是我们义不容辞的责任。
1.人口模型
问题的提出 假设和定义 模型的建立 分析和求解 结论和讨论
1 问题的提出
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一， 一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着 人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于 零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽 视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的 推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显 示：
模型的缺点
缺点：当t→∞时，I(t) → n，这表示所有的人最
终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合
原因：这是由假设〔1)所导致，没有考虑病人可
以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。
模型三 有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再
次被传染而成为病人。 模型假设： （1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)， 则： s(t)+i(t)＝1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 μ(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称1/ μ为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每 天治愈2人， μ ＝1/5，则每位病人平均生病时间为 1/ μ ＝5天)。
微分方程建模方法
微分方程建模方法微分方程建模是数学建模中的一个重要分支。
它通过建立描述现象的微分方程模型，利用数学工具和方法来研究和解决与该现象相关的问题。
微分方程建模的步骤包括确定问题、建立模型、求解模型和验证模型。
本文将详细介绍微分方程建模的方法。
经验模型法是一种基于已有经验和实验数据的建模方法。
它根据实验数据的分析和总结，通过适当的函数拟合和参数调整，建立与实际问题相吻合的微分方程模型。
经验模型法的优点是简单直观，适用于较为简单和复杂程度较低的问题。
例如，考虑一个物体在空气中的自由下落问题。
经验发现，物体受到的空气阻力与速度成正比，可以建立微分方程模型：$$\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=g-\frac{{kv^2}}{{m}}$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$v$为物体的速度，$k$为与物体形状和空气性质有关的常数，$g$为重力加速度。
这个模型可以进一步求解，得到物体的速度和位移随时间的变化规律。
理论模型法是一种基于物理规律和数学原理的建模方法。
它通过对问题的深入理解，运用物理学原理、工程学原理和其他学科的知识，建立与实际问题相对应的微分方程模型。
理论模型法的优点是准确性高，适用于复杂和精密度较高的问题。
例如，考虑一个物体在弹簧中的振动问题。
根据胡克定律，在弹簧恢复力和物体质量、加速度之间建立微分方程模型：$$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=-kx$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$k$为弹簧的劲度系数。
这个模型可以求解得到物体的振动规律。
解析解法是指通过数学方法求解微分方程模型的解。
对于一些简单和常见的微分方程，可以通过积分、分离变量、变量替换等方法求得其解析解。
解析解法的优点是求解结果准确、精确，可以提供深入理解问题的信息。
但对于复杂和非线性的微分方程，往往难以求得解析解，需要借助数值方法。
数值解法是指通过数学计算机计算求解微分方程模型的解。
微分方程与电路问题的建模与解法
微分方程与电路问题的建模与解法电路问题是现代科学与工程领域中常见的实际问题之一，而微分方程则是解决这些问题的重要工具之一。
本文将探讨微分方程与电路问题的建模与解法，并通过实例来说明其应用。
一、电路问题的建模电路问题通常涉及电流、电压、电阻等物理量之间的关系。
为了解决这些问题，我们需要将电路中的各个元件进行建模，并建立它们之间的数学关系。
微分方程提供了一种有效的建模方法。
以简单的电路为例，假设一个由电阻R、电感L和电容C组成的串联电路，电源为直流电源V(t)。
我们可以根据基尔霍夫定律建立以下微分方程：L(di/dt) + Ri + q/C = V(t)其中，i是电流，q是电容器的电荷量。
这个微分方程描述了电感、电阻和电容之间的关系。
二、微分方程的解法解决微分方程可以采用不同的方法，如分离变量法、变量代换法、特解法等。
在电路问题中，我们通常使用拉普拉斯变换和复变函数等方法来求解微分方程。
以上述电路问题为例，我们可以通过拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程，进而求解电流i(t)和电荷量q(t)的表达式。
通过求解微分方程，我们可以获得电路中各个物理量随时间的变化规律。
三、实例分析为了更好地理解微分方程与电路问题的应用，我们来看一个实际的例子。
假设有一个由电阻R和电感L组成的串联电路，电源为交流电源V(t) = V0 sin(ωt)。
我们希望求解电路中的电流i(t)。
根据基尔霍夫定律和欧姆定律，我们可以建立以下微分方程：L(di/dt) + Ri = V0 sin(ωt)通过拉普拉斯变换，我们可以将上述微分方程转化为代数方程：(sL + R)I(s) = V0/[(s^2 + ω^2)]其中，I(s)是电流的拉普拉斯变换，s是复变函数。
通过求解代数方程，我们可以得到电流的拉普拉斯变换表达式：I(s) = V0/[(s^2 + ω^2)(sL + R)]然后，我们可以通过拉普拉斯逆变换将I(s)转化为时间域的电流i(t)。
微分方程模型
房室具有以下特征：它由考察对象均匀分 布而成，房室中考察对象的数量或浓度（密 度）的变化率与外部环境有关，这种关系被 称为“交换”且交换满足着总量守衡。在本 节中，我们将用房室系统的方法来研究药物 在体内的分布。在下一节中，我们将用多房 室系统的方法来研究另一问题。
单房室系统
交换 环境
内部
均匀分布
，i(t)单 s0 增。但在i(t)增加的同时，伴随地有s(t)单减。当 s(t)减少到小于等于 时， i(t)开始减小，直 至此疾病在该地区消失。
(2)如果
则： s(t ) s
r (t )
1
o
e
di ，则开始时 dt 0
五．稳定性问题
在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并 非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展 趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了 解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最 终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之 免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分 方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将 研究几个与稳定性有关的问题。
容器损失的水量为:
[ R ( R r ) ]dh
2 2
由质量守恒
[ R ( R r ) ]dh sv(t )dt
2 2
其中
v(t ) 0.6 2gh(t)
从而建立方程:
0.6s 2 gh dh 2 2 dt [R (R r) ]
解得
0.6s 2 gh 14 R T dh 2 2 R [R (R r) ] 9s 2 g
微分方程 模型
• 微分方程建模
对于某种现象或提出的问题,通过建立微分方程 来解释或解决.通常可分为两大类:
微分方程与差分方程建模
p(r , t )dr p(r dr1 , t dt)dr (r, t ) p(r, t )drdt
[ p(r dr1 , t dt ) p(r , t dt )] [ p(r , t dt ) p(r , t )] (r , t ) p(r , t )dt , dt dr1
3）平均寿命
S (t ) t e
0 ( r ,t ) dr
t
d
t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间
4）老龄化指数
控制生育率
(t ) R(t ) / S (t )
控制 N(t)不过 大 控制 (t)不过 高
Malthus模型和Logistic模型的总结 Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3.7） 所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常 数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环 境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。 用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对 求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。 相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原 因，对模型进行修改。 Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的 增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这 些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。
模型4
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
SIR模型
消去dt /
1 di ds s 1 i s s i0
0
相轨线
相轨线 i (s ) 的定义域
2023年常微分方程与差分方程解法归纳
常微分方程解法归纳1.一阶微分方程部分①可分离变量方程（分离变量法）假如一阶微分方程中旳二元函数可表达为),(y x f dxdy =),(y x f 旳形式，我们称为可分离变量旳方程。
)()(),(y h x g y x f =)()(y h x g dx dy =对于此类方程旳求解我们首先将其分离变量为旳形dx x g y h dy )()(=式，再对此式两边积分得到从而解出C dx x g y h dy +=⎰⎰)()()()(y h x g dx dy =旳解，其中C 为任意常数。
详细例子可参照书本P10—P11旳例题。
②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）假如一阶微分方程中旳二元函数可表达为),(y x f dxdy =),(y x f 旳形式，我们称由此形成旳微分方程y x P x Q y x f )()(),(-=为一阶线性微分方程，尤其地，当时我们称其)()(x Q y x P dxdy =+0)(≡x Q 为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。
对于此类方程旳解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程，这是可分离变量旳方程，两边积分即可得到0)(=+y x P dxdy ，其中C 为任意常数。
这也是一阶线性非齐次微分方程旳⎰=-dx x P Ce y )(特殊状况，两者旳解存在着对应关系，设来替代C ，于是一阶线)(x C 性非齐次微分方程存在着形如旳解。
将其代入⎰=-dx x P e x C y )()(我们就可得到)()(x Q y x P dx dy =+这其实也就是)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---，再对其两边积分得，于是将其⎰='dx x P e x Q x C )()()(C dx e x Q x C dx x P +⎰=⎰)()()(回代入即得一阶线性微分方程旳通解⎰=-dx x P e x C y )()()()(x Q y x P dx dy =+。
《微分法建模》课件
传染病传播模型
总结词
预测和控制传染病传播
详细描述
传染病传播模型基于微分方程，描述了疾病在人群中的传播过程。该模型考虑了感染率、恢复率以及易感者和感 染者之间的相互作用，为预防和控制传染病提供了理论支持。
经济周期模型
总结词
分析经济活动的周期性波动
详细描述
经济周期模型采用微分方程来描述经济活动的周期性波动。该模型考虑了经济增长、通货膨胀、利率 等因素，通过求解微分方程，可以预测经济周期的转折点，为政策制定提供依据。
将微分法建模应用于图像识别、目标跟踪等领域，提高计算机视觉系统的准确性和实时性 。
微分法建模在机器人学中的应用
利用微分法建模对机器人进行控制和优化，提高机器人的运动性能和自主性。
THANK YOU
感谢观看
界中的系统。
缺点
复杂性
微分法建模通常需要处理高 维度的微分方程，这使得模 型求解和参数估计变得复杂 和计算密集。
数据需求
为了建立有效的微分法模型 ，需要大量的数据来估计模 型参数和验证模型的预测能 力。
不确定性
由于现实世界的复杂性和不 确定性，微分法模型可能无 法完全准确地描述系统的动 态行为。
参数敏感性
进行求解计算
根据选择的求解方法，进行求解计算，得出模型的解。
分析解的性质
对模型的解进行分析，了解解的性质和规律。
验证模型
对比模型与实际数据
将模型的解与实际数据进行对比，验证模型的准确性和可靠性。
分析误差和不确定性
分析模型误差和不确定性来源，提高模型的精度和可靠性。
改进和完善模型
根据验证结果，对模型进行改进和完善，提高模型的适用性和实 用性。
工程学
微分方程
铀238
T = 45 亿年
镭226
T = 1600 年
（无放射性）
铅206
钋210
T = 22 年
铅210 （放射性）
Hale Waihona Puke T = 138 天假设 （1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪 的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少 还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟 镭的衰变数可视为常数，用
( n = 0,1... 2 ) ( n = 0,1... 2 )
y( x n+1 ) = y( x n ) + ∫
x n +1
xn
2、 ∫
x n+1
xn
h f ( x , y ( x )) ≈ [ f ( x n , y ( x n )) + f ( x n + 1 , y ( x n + 1 )) 2
y n + 1 = y n + h. f ( x n , y n )
( n = 0,1... 2 )
欧拉方法的特点:易于理解，计算量小，精度低。 欧拉方法的特点 易于理解，计算量小，精度低。 易于理解
2．梯形法 ．
问题： 一阶常微分方程的初值 问题： dy y′ = = f ( x, y) dx y( x0 ) = y 0
输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
结
果：u = tg(t-c)
2 的通解，并验证。 例 2求微分方程 dy + 2 xy = xe − x 的通解，并验证。 求微分方程 dx
y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') syms x; diff(y)+2*x*y - x*exp(-x^2)
微分方程的建模与求解方法
微分方程的建模与求解方法微分方程是数学中的重要概念，它描述了自然界和社会现象中许多变化的规律。
微分方程的建模与求解方法是应用数学的重要组成部分，它在工程、物理、生物等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍微分方程的建模过程以及常见的求解方法。
一、微分方程的建模过程微分方程的建模过程是将实际问题转化为数学模型的过程。
它包括以下几个步骤：1. 确定问题的变量和参数：在建模过程中，首先需要确定问题中涉及的变量和参数。
变量是问题中需要研究的物理量，参数是与变量相关的常数。
2. 建立数学模型：根据问题的特点和要求，选择合适的数学模型。
常见的数学模型包括常微分方程、偏微分方程、差分方程等。
3. 建立微分方程：根据问题的物理规律和数学模型，建立微分方程。
微分方程描述了变量之间的关系，它可以是一阶、二阶或更高阶的。
4. 添加初始条件和边界条件：为了求解微分方程，需要添加初始条件和边界条件。
初始条件是在某一时刻变量的已知值，边界条件是在空间范围内变量的已知值。
5. 求解微分方程：通过数学方法求解微分方程，得到问题的解析解或数值解。
常见的求解方法包括分离变量法、变换法、级数法、数值方法等。
二、微分方程的求解方法微分方程的求解方法有多种，下面将介绍其中几种常见的方法。
1. 分离变量法：适用于可分离变量的一阶微分方程。
通过将变量分离到方程两边，再进行积分，得到方程的解。
2. 变换法：适用于具有特殊形式的微分方程。
通过进行变换，将原方程转化为更简单的形式，再进行求解。
3. 级数法：适用于无法直接求解的微分方程。
通过将解表示为级数形式，再逐项求解，得到方程的解。
4. 数值方法：适用于无法求得解析解的微分方程。
通过数值计算的方法，近似求解微分方程，得到数值解。
5. 特殊函数法：适用于具有特殊函数解的微分方程。
通过利用特殊函数的性质，求解微分方程。
以上是常见的微分方程求解方法，不同的方法适用于不同类型的微分方程。
在实际问题中，常常需要结合多种方法进行求解，以获得更精确的结果。
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31微分方程与微分方程建模法第三章微分方程模型3.1微分方程与微分方程建模法一、微分方程知识简介我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。
微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）«Skip Record If...»(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）«Skip Record If...»(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。
其中还包括了常微分方程的基本定理。
0．常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。
1．初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。
分离变量法：（1）可分离变量方程： «Skip Record If...»(2) 齐次方程：«Skip Record If...»常数变易法：(1) 线性方程，«Skip Record If...»«Skip Record If...»(2) 伯努里方程，«Skip Record If...»«Skip Record If...»积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。
对于一阶隐式微分方程«Skip Record If...»有参数法：(1) 不含x或y的方程:«Skip Record If...»(2) 可解出x或y的方程：«Skip Record If...»对于高阶方程，有降阶法：«Skip Record If...»恰当导数方程一阶方程的应用问题（即建模问题）。
2．一阶线性微分方程组：本部分主要内容有：一是一阶线性微分方程组的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程组的通解结构，刘维尔公式等），二是常系数线性微分方程组的解法（求特征根，单根与重根[待定系数法]），三是常数变易法。
本部分内容与线性代数关系密切，如线性空间，向量的线性相关与线性无关，基与维数，特征方程、特征根与特征向量，矩阵的若当标准型等。
3．高阶线性微分方程：了解高阶线性微分方程的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程的通解结构，刘维尔公式等）；n阶线性常系数微分方程解法：（1）求常系数齐次线性微分方程基本解组的待定指数函数法；（2）求一般非齐次线性方程解的常数变易法；（3）求特殊型非齐次常系数线性方程解的待定系数法；（4）求解初值问题的拉普拉斯变换法；（5）求二阶线性方程的幂级数解法。
4．常微分方程的基本定理：常微分方程的几何解释（线素场），初值问题解的存在与唯一性定理（条件与结论），求方程的近似解（欧拉折线法与毕卡逐次逼近法），解的延展定理与比较定理、唯一性定理证明解的存在区间（如为左右无穷大），奇解与包络线，克莱罗方程。
5．常微分方程的稳定性理论：掌握稳定性的一些基本概念，以及运用特征根法判断常系数线性方程（组）的解的稳定性，运用李雅普诺夫函数法判断一般方程（组）的解的稳定性。
6．常微分方程的定性理论：掌握定性理论的一些基本概念，运用特征根法判断奇点类型，极限环。
7．差分方程。
8．偏微分方程。
二、数学建模的微分方程方法微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。
微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。
微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，利用它可建立纯数学（特别是几何）模型，物理学（如动力学、电学、核物理学等）模型，航空航天（火箭、宇宙飞船技术）模型，考古（鉴定文物年代）模型，交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时间）模型，生态（人口、种群数量）模型，环境（污染）模型，资源利用（人力资源、水资源、矿藏资源、运输调度、工业生产管理）模型，生物（遗传问题、神经网络问题、动植物循环系统）模型，医学（流行病、传染病问题）模型，经济（商业销售、财富分布、资本主义经济周期性危机）模型，战争（正规战、游击战）模型等。
其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。
下面，我们给出如何利用方程知识建立数学模型的几种方法。
1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型。
这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。
例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的[5]。
又如在天文学、气象学中常用到的等角轨线，已知曲线或曲线族(c)，求曲线«Skip Record If...»（等角轨线或正交轨线），使«Skip Record If...»与(c)中每条曲线相交成给定的角度（这是题目中明确给出的条件，即曲线的切线相交成给定的角度，这样，就在它们的导数之间建立了联系），又题目中隐含的条件是：在«Skip Record If...»与(c)中曲线相交点处，它们的函数值相等；这样，我们只要求出已知曲线或曲线族的微分方程，根据它们之间的联系，就可以建立等角轨线的微分方程模型，从而求出等角轨线的方程[5]。
2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型。
我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。
例如从几何观点看，曲线y=y(x)上某点的切线斜率即函数y=y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运动定律：f=ma,其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一阶导数；电学中的基尔霍夫定律等。
从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。
例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。
对于高空下落的物体，我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，设物体质量为m，空气阻力系数为«Skip Record If...»，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时刻t时物体的下落速度为«Skip Record If...»，初始条件：«Skip Record If...»。
由牛顿第二运动定律建立其微分方程模型：«Skip Record If...»求解模型可得：«Skip Record If...»由上式可知，当«Skip Record If...»时，物体具有极限速度：«Skip Record If...»，其中，阻力系数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为与物体形状有关的常数，«Skip Record If...»为介质密度，s为物体在地面上的投影面积。
根据极限速度求解式子，在«Skip Record If...»一定时，要求落地速度«Skip Record If...»不是很大时，我们可以确定出s来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的直径大小来。
3．利用导数的定义建立微分方程模型。
导数是微积分中的一个重要概念，其定义为«Skip Record If...»，商式«Skip Record If...»表示单位自变量的改变量对应的函数改变量，就是函数的瞬时平均变化率，因而其极限值就是函数的变化率。
函数在某点的导数，就是函数在该点的变化率。
由于一切事物都在不停地发展变化，变化就必然有变化率，也就是变化率是普遍存在的，因而导数也是普遍存在的。
这就很容易将导数与实际联系起来，建立描述研究对象变化规律的微分方程模型。
例如在考古学中，为了测定某种文物的绝对年龄，我们可以考察其中的放射性物质（如镭、铀等），已经证明其裂变速度（单位时间裂变的质量，即其变化率）与其存余量成正比。
我们假设时刻t时该放射性物质的存余量R是t 的函数，由裂变规律，我们可以建立微分方程模型:«Skip Record If...»期中«Skip Record If...»是一正的比例常数，与放射性物质本身有关。
求解该模型，我们解得：«Skip Record If...»，其中c是由初始条件确定的常数。
从这个关系式出发，我们就可以测定某文物的绝对年龄。
（参考碳定年代法）另外，在经济学领域中，导数概念有着广泛的应用，将各种函数的导函数（即函数变化率）称为该函数的边际函数，从而得到经济学中的边际分析理论。
4．利用微元法建立微分方程模型。
一般的，如果某一实际问题中所求的变量p符合下列条件：p是与一个变量t的变化区间[a, b]有关的量；p对于区间[a, b]具有可加性；部分量«Skip Record If...»的近似值可表示为«Skip Record If...»。
那么就可以考虑利用微元法来建立微分方程模型，其步骤是：首先根据问题的具体情况，选取一个变量例如t为自变量，并确定其变化区间[a, b]；在区间[a, b]中随便选取一个任意小的区间并记作[«Skip Record If...»]，求出相应于这个区间的部分量«Skip Record If...»的近似值。
如果«Skip Record If...»能近似的标示为[a,b]上的一个连续函数在t处的值«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的乘积，我们就把«Skip Record If...»称为量«Skip Record If...»的微元且记作«Skip Record If...»。