对数换底公式及其应用.
对数与对数运算--换底公式及对数运算的应用
知识探究（ 知识探究（二）：换底公式的变式
思考1: 有什么关系？ 思考1:log a b 与 log b a 有什么关系？ 互为倒数 思考2: 有什么关系？ 思考2: log a n N 与 log a N 有什么关系？
1 log a n N = log a N n
思考3: 可变形为什么？ 思考 (log a M ) ÷ (log a N ) 可变形为什么？
.
3.同底数的两个对数可以进行加、 3.同底数的两个对数可以进行加、减 同底数的两个对数可以进行加 运算，可以进行乘、除运算吗？ 运算，可以进行乘、运算吗？
18 18 4.由 4.由 1.01 = 得 x = log1.01 ，但这只 13 13
x
是一种表示，如何求得x的值？ 是一种表示，如何求得x的值？
13 lg 5 3 lg 2 = ⋅ = 13 3 lg 2 lg 5
练习2. 练习
练习3. 练习
例2. 20世纪30年代，里克特制订了一种 20世纪30年代 世纪30年代， 表明地震能量大小的尺度， 表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪 衡量地震能量的等级，地震能量越大， 衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震 仪记录的地震曲线的振幅就越. 仪记录的地震曲线的振幅就越. 这就是我 们常说的里氏震级M 其计算公式为M 们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA 其中A是被测地震的最大振幅， －lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0 标准地震”的振幅（ 是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为 了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏 差）. 假设在一次地震中，一个距离震中100 （1）假设在一次地震中，一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20 20， 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20， 此时标准地震的振幅是0.001 0.001， 此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地 震的震级（精确到0.1 0.1）； 震的震级（精确到0.1）；
对数的运算性质及换底公式
8 2 ( ) 4 9 log3 ( ) 3
(3) lg 100 lg 10
100 lg ( ) 10
归纳猜想： M log a ( ) log a M log a N N （a 0且a 1, M , N 0）
3.计算观察： 3 (1) log 2 (2 )
1 1 （2） 3 36, 求 2 m n
m n
【变式训练】
1 (1) log 3 7 log 2 9 log 49 x log 1 , 求x 4 2
(2) log18 9 a,18 5, 用a, b表示log36 45.
b
总结：
• 1.对数的运算性质
• 2.换底公式
(2) log5 125
(4) log 1 27 log 1 9
3 3
(3) log 2 (2 4 )
3 5
【变式训练】求下列各式的值
(1)3 log 7 2 log 7 9 2 log 7 (
2 2
3 2 2
)
(2)(lg 2) (lg 5) 2 lg 5 lg 2
log 2 (4 8)
log3 (3 9)
(3) lg 10 lg 100
lg (10 100 )
归纳猜想： log a (M N) log a M log a N （a 0且a 1, M , N 0）
2.计算观察：
(1) log 2 8 log 2 4
M (2)log a ( ) log a M log a N N
（a 0且a 1, M , N 0）
(3)log a ( M ) n log a M
对数的换底公式及其推论(含参考答案)
一、复习引入： 对数的运算法则 如果 a>0，a 1，M>0， N>0有：
二、新授内容： 1. 对数换底公式 ： log a N log m N (a>0,a 1， m>0,m 1,N>0) log m a
证明 ：设 log a N=x,则 a x =N
两边取以 m为底的对数： log m a x log m N
2
3=a，则
1 a
log3 2 , 又∵ log 3 7=b,
∴ log 42 56 log 356 log 3 7 3 log 3 2
ab 3
log 3 42 log 3 7 log 3 2 1 ab b 1
5 例 2 计算：① 1 log 0.2 3 ② log 4 3 log 9 2 log 1 4 32
1．证明： log a x 1 log a b log ab x
证法 1：设 log a x p ， log ab x q ， log a b r
则： x a p x (ab) q a qb q b a r
∴ a p ( ab) q a q(1 r ) 从而 p q(1 r )
∵ q 0 ∴ p 1 r 即： log a x 1 log a b （获证）
x log m a log m N
从而得： x log m N ∴ log a N log m N
log m a
log m a
2. 两个常用的推论 :
① log a b log b a 1， log a b log b c log c a 1
② log am b n
n m
log
a
b
（a,b>0
高一数学对数的换底公式及其推论
4
解：二) log4 3 log2 8 log2 4 log2 4 log 1 log2 2 3 9 3 1 2 2 ( 2) ( 1 ) 2 3 1 4 2 2 2
作业：课本P74的4（3）、5
1.课本P74，第1,2,3,4,5,7题 1．求值：
3) log4 3 log9 2 log1
2
32
3 3） 2
条件求值
例2．已知
用a, b 表示
log2 3 a, log3 7 b
l og6 21
l og3 21 l og3 ( 3 7) 解： l og6 21 l og3 ( 2 3) l og3 6
l og3 3 l og3 7 l og3 2 l og3 3
(log2 5 log4 0.2)(log5 2 log25 0.5)
2．若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2,求m
3 若l og 8 3 p, l og 3 5 q,
2.各小组数学负责人17:50办公室
用p, q表 示 l g5
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附赠 中高考状元学习方 法
前 言 高考状元是一个特殊的群体，在许
多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺 目的星星那样遥不可及。但实际上他们和 我们每一个同学都一样平凡而普通，但他 们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之 处就是在学习方面有一些独到的个性，又 有着一些共性，而这些对在校的同学尤其 是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
2
小结:
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 三个推论:
对数换底公式及其应用
对数换底公式及其应用logₐ(b) = logₓ(b) / logₓ(a)其中，logₐ(b) 表示以 a 为底数的 b 的对数，logₓ(b) 表示以 x 为底数的 b 的对数，logₓ(a) 表示以 x 为底数的 a 的对数。
1.计算不同底数的对数之间的关系使用对数换底公式，可以将一个底数为 a 的对数转化为底数为 x 的对数，以便计算或进行比较。
例如，要计算 log₃(2) 的值，可以使用对数换底公式将其转化为以 10 为底数的对数：log₃(2) = log₁₀(2) / log₁₀(3)2.化简复杂的对数表达式有时候，对数表达式可能比较复杂，难以计算或分析。
在这种情况下，对数换底公式可以帮助我们将其转化为更简单的形式，以便进行进一步的计算。
例如，对于表达式 log₉(27)，我们可以使用对数换底公式将其转化为以 10 为底数的对数：log₉(27) = log₁₀(27) / log₁₀(9)= log₁₀(3³) / log₁₀(3²)= 3 * log₁₀(3) / 2 * log₁₀(3)=3/23.解决指数方程x = log₂(16) = log₁₀(16) / log₁₀(2) = 4 / log₁₀(2)4.求解连续复利问题连续复利是一种常见的复利计算方法，其中利息不断累积，而不是离散计算。
对数换底公式可以用于求解连续复利问题的相关计算。
例如，如果我们正在计算以年利率为8%的连续复利的总金额，我们可以使用对数换底公式将其转化为以自然对数e为底数的对数：F = P * (1 + r/n)^(nt)=P*(1+8%/1)^(1*1)=P*(1+0.08)^1= P * e^(ln(1 + 0.08))5.编程中的应用综上所述，对数换底公式是一种非常有用的数学工具，可以应用于许多不同的场景，包括计算不同底数的对数之间的关系、化简复杂的对数表达式、解决指数方程、求解连续复利问题以及在编程中的应用。
换底公式的证明及其应用
换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式：log b N ＝log a N log a b . 证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N .∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b . 二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 (1)计算：log 89·log 2732；(2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决.解 (1)换为常用对数，得log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109.(2)由换底公式，得log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝log a d .评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决.2.知值求值型例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值.分析 本题可选择以3为底进行求解.解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a . 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4(3－a )3＋a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小.分析 本题可选择以19及π为底进行解题.解 A 换成以19为底，B 换成以π为底，则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2，B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B .评注 一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .。
对数换底公式的引伸及其应用
浅析对数换底公式的引伸及其应用上海市第五十四中学(邮编200030) 裴华明对数的换底公式，是进行对数的有关运算及其对数式恒等变形的重要理论依据之一，若在其换底公式的基础上进行引伸，则又可推导出一些重要的推论，这些推论在解决有关对数的运算及恒等变形时，有着非常显著的作用。
因此，在学习或复习对数的有关内容时，必须要使学生理解对数换底公式及其推论的意义，熟练掌握这些公式或推论在解答不同类型习题时的应用，这样将会大大提高解题能力，简化解题过程，加快解题速度。
现将对数换底公式及其推论的意义、推导和应用简述如下，仅供参考。
一、对数的换底公式 1、对数换底公式的意义aNN c c a log log log =10(≠>c c 且，10≠>a a 且，)0>N 。
即 以)10(≠>a a a 且为底，)0(>N N 的对数，转换成了以任意实数)10(≠>c c c 且为底的对数，其中ac log 1叫做转换模数。
所以，以)10(≠>a a a 且为底，)0(>N N 的对数，就等于以为底，且)10(≠>c c c )0(>N N 的对数乘以转换模数。
2、对数换底公式的证明证法一：设x N a =log ，则 N a x=，两边取以)10(≠>c c c 且为底的对数，得 N a c x c log log =， 所以 N a x c c log log = 即 aNx c c log log =，故 aNN c c a log log log =。
证法二：由对数恒等式，得 Na a N log =，两边取以)10(≠>c c c 且为底的对数，得 a N N c a c log log log ⋅=， 所以 aNN c c a log log log =。
证法三：令m a c =log ，n N a =log ，则 mc a =，na N =， 所以 m n n m c c N ==)(，两边取以)10(≠>c c c 且为底的对数，得 N mn c log =， 所以 m N n c log =， 即 aNN c c a log log log =。
和你一起学习对数的换底公式
ʏ刘长柏对数的换底公式可以实现不同底数的对数式之间的转化,它可正用㊁逆用,还可以变形应用㊂灵活应用对数的换底公式,有利于提高解题能力和应变能力㊂一㊁换底公式的正用例1 若l o g 142=a ,14b=5,用a ,b 表示l o g 3528=㊂解:因为14b=5,所以b =l o g 145,所以l o g 3528=l o g 1428l o g 1435=l o g 1414+l o g 142l o g 1414+l o g 145-l o g 142=1+a1+b -a㊂对数的换底公式中的底,可由题中的条件决定,也可换为常用对数的底㊂用已知对数的值表示所求对数的值的关键是灵活 换底 ㊂练习1:已知l g 2=a ,l g 3=b ,则l o g 475=( )㊂A .a -b +22a B .b -2a +22aC .b -a +22aD .2a -b +22a提示:因为l o g 475=l g 75l g 4=l g 3ˑ522l g2=l g 3+2l g 52l g 2=l g 3+2(1-l g 2)2l g2,又l g 2=a ,l g 3=b ,所以l o g 475=b +2-2a2a㊂应选B ㊂二㊁换底公式的逆用例2 若2x=5,l o g 35=y ,则x -y x +y=㊂解:因为2x=5,所以x =l o g 25,所以x -y x +y =1y -1x1y +1x =l o g 53-l o g 52l o g 53+l o g 52=l o g 523l o g 56=l o g 623㊂逆向应用对数的换底公式是解答本题的关键㊂练习2:已知2x=3,l o g 289=y ,则yx=㊂提示:由2x=3,可得x =l o g 23㊂因为y =l o g 289,所以y x =l o g 289l o g 23=l o g 389=3l o g 32-2㊂三㊁换底公式的变形应用例3 若12a =3b=m ,且1a -1b=2,则m =㊂解:因为12a =3b=m ,且1a -1b=2,所以m >0且m ʂ1,所以a =l o g 12m ,b =l o g 3m ,所以1a =l o g m 12,1b =l o g m 3,所以1a -1b=l o g m12-l o g m 3=l o g m4=2,所以m =2㊂换底公式的变形式l o g ab =1l o g ba ,体现了底数㊁真数交换后,两个对数的关系㊂本题将指数式转化为对数式,求出1a ,1b ,代入1a -1b=2,再利用对数的运算性质得到m 的值㊂练习3:已知3a =5b=A ,且1a +2b=2,则A 等于㊂提示:由3a =5b=A ,可得a =l o g 3A ,b =l o g 5A ,且A >0,所以1a =l o g A 3,1b=l o g A5㊂因为1a +2b=2,所以l o g A 3+2l o g A5=2,可得l o g A 3+l o g A 25=2,即l o g A75=2,所以A 2=75㊂因为A >0,所以A =53㊂作者单位:江苏省盐城市时杨中学(责任编辑 郭正华)6知识结构与拓展 高一数学 2023年11月。
高一数学对数的换底公式及其推论
例1、算：
1)
log8 9 log27 32
1log0.2 3
4
2) 5
3)
log4 3 log9 2 log1 32
2
例2．已知
log2 3 a, log3 7 b
用a, b 表示 log42 56
例3 生物机体内碳14的半衰期为
5730年,湖南长沙马王堆汉墓
女尸出土时碳14的残余量约 占原始含量的76.7%,试推算
vcg49wfv
是有这么一个孙女就好喽。”耿英和老妇人一起进屋做饭去了。耿正说：“俺去挑担水哇！”耿老爹说：“俺去挑哇，你拉一段好听的 二胡曲儿给爷爷听，让爷爷乐呵乐呵！”老爷子一听这话，立刻就高兴得眉开眼笑，说：“哎呀，这娃儿还会拉二胡哇，快拉给爷爷听 听！唉，爷爷奶奶老嘞，走不了远路，俺们有好几年没有去镇上赶庙会了呢。常年儿呆在家里，自然就没有机会听这些个热闹了哇。每 日里能够听到的，除了鸡鸣狗叫什么的，再就是狂风暴雨后那怪吓人的波涛声儿了。今儿个正好用好听的曲儿给爷爷洗洗耳朵！”耿正 笑了，说：“爷爷，俺拉得没有多好，但总归还是可以给您换个声儿听的！您请坐，俺这就拉给您听！”说着话，耿正去车上取来二胡， 又看看周围，先请老爷子坐在屋门旁檐台上那个松松软软的厚草垫子上。然后，自己搬把高脚凳子坐在老爷子的对面亲切地问：“爷爷， 您爱听哪一段儿？”老爷子想也没有想就说：“你就将最顺手的拉哇，爷爷什么曲儿都爱听！”自来熟耿直也很想表现表现，于是就高 兴地跳到老爷子的背后，声音甜甜地说：“那俺给爷爷捶捶背哇。俺爹说啦，经常锤捶背身子骨儿好！”在优美的二胡曲儿声中，耿直 不轻不重地为老人家捶着背。老爷子眯缝着眼睛幸福惬意地享受着在屋里做饭的老妇人听着美妙的二胡曲儿，高兴地对耿英说：“哎哟 哟，这莫不是老天爷给俺们俩老东西送来了仙人儿嘛！”热汤热菜的舒舒服服吃完晚饭之后，耿正又为两位老人家拉了好一会儿。次日 早饭后，耿老爹将毛驴重新拴在滩枣树上，给它喂上草料，饮上水。然后对老夫妇说，想带娃娃们到黄河边上玩玩儿去。两位老人家相 视而笑了。老爷子摇着头说：“唉，没有见过黄河的人，都觉得这条大河新奇呢。其实哇，这黄河可不见得是一个好东西！你让娃娃们 离远点儿瞧瞧就是了。你们打北面过来的人，肯定不会水的，千万别失足落进去哇！”老妇人也说：“是啊，这黄河自古以来就经常祸 害人呢。说不定什么时候不高兴了，就冲破堤坝，好像脱缰的野马一样。你们可一定小心啊，离远点儿瞧！对啦，不要走太远了，中午 还回来吃饭，俺给咱们做打卤刀削面。”耿老爹感激地说：“好的，俺们一定小心，也不会走太远了。中午还回来吃饭，您做简单点 儿！”当耿家父子四人辞别两位老人家再次上了堤岸来到黄河边儿上的时候，他们对眼前的这条仍然还是波浪滔滔的大河，已经远没有 昨天下午第一次看到时那样感兴趣了。毫无疑问，两位善良老人家对这条大河的那一番不乍欣赏的评价，已经深深地感染了他们。沿岸 走了一会儿后，耿直甚至说：“听这声音，这黄河真得很像脱缰的野马呢！”耿正说：“不，这黄河水现在还只是被圈在堤坝里边的野 马，还没
对数换底公式例题
对数换底公式例题
摘要：
1.对数换底公式的定义与意义
2.例题分析
3.解题步骤与方法
4.公式的应用场景
正文：
【1.对数换底公式的定义与意义】
对数换底公式，是数学中一种重要的公式，主要用于将对数的底数进行转换。
其公式为：loga(N) = logc(N) / logc(a)。
在这个公式中，a 和c 是两个不同的底数，N 是一个正数。
对数换底公式的应用，可以简化对数的计算过程，使计算更加方便。
【2.例题分析】
例题：如果log2(8) = 3，那么log16(8) 等于多少？
在这个例题中，我们需要用到对数换底公式，将log2(8) 转换为
log16(8)。
首先，我们知道log2(8) = 3，那么我们可以将这个对数转换为以16 为底的对数，即log16(8) = log2(8) * log16(2)。
因为log16(2) = 1/4，所以log16(8) = 3 * 1/4 = 3/4。
所以，log16(8)等于3/4。
【3.解题步骤与方法】
(1) 确定题目中给出的对数，以及需要转换的底数。
(2) 使用对数换底公式，将对数转换为新的底数。
(3) 将转换后的对数进行计算，得出结果。
【4.公式的应用场景】
对数换底公式在实际应用中非常广泛，特别是在计算机科学和工程领域。
例如，在编程中，常常需要对大数据进行处理，对数换底公式可以帮助我们更快地计算出数据的对数，从而提高计算效率。
对数 换底公式
对数换底公式摘要：1.对数的定义和性质2.换底公式的推导3.换底公式在实际问题中的应用4.总结与展望正文：1.对数的定义和性质对数是一种数学运算，用于表示一个数以某个基数为底，经过多少次方等于另一个数。
对数有自然对数、常用对数等多种表示形式，每种对数都有其适用范围和特殊性质。
例如，自然对数的底为自然常数e，常用对数的底为10。
对数具有以下基本性质：（1）对数的运算法则：loga(MN) = logaM + logaN，loga(M/N) = logaM - logaN（2）对数的换底公式：logab = logcb / logca（3）对数的性质：loga1 = 0，loga0 不存在，loga(a^b) = b2.换底公式换底公式是将对数从一种底数转换为另一种底数的工具。
设logab = x，那么可以得到换底公式：logcb = x * logca。
换底公式的推导过程如下：设y = logcb，那么有cb = e^y，同时有ab = e^x。
将cb 带入ab 中，得到ab = e^(x + y)。
根据对数的性质，有loga(ab) = x + y，而又因为loga(ab) = loga(e^(x + y)) = x + y，所以x = logcb / logca。
3.换底公式在实际问题中的应用换底公式在实际问题中有很多应用，例如在计算机科学中，换底公式可以用于计算以不同进制表示的数值之间的转换；在物理学中，换底公式可以用于计算能量、速率等物理量在不同单位制之间的转换。
4.总结与展望对数换底公式是数学中一个重要的工具，它可以帮助我们将对数从一种底数转换为另一种底数。
通过掌握对数的性质和换底公式，我们可以更好地理解和解决实际问题。
换底公式及对数运算的应用
例2 已知 log 312 a，求 log 3 24的值.
3a 1 2
例3 设 3a 5b m ，已知 1 1 2 ,
求m 的值.
ab
15
例2 20世纪30年代，里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说 的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （1）假设在一次地震中，一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此 时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震 的震级（精确到0.1）；
2.2.1 对数与对数运算
换底公式及对数运算的应用
问题提出
1.对数运算三个法则：
（1）loga M loga N loga (M N)
（2）loga
M
loga
N
loga
M N
（3）loga M n n loga M
2.对数的性质 .
（1）loga a 1; （2） loga 1 0 ;
f (x) 2x 恒成立，求 f (x)的最小值.
作业： 《红对勾》第26课时
个人观点供参考，欢迎讨论
例2 20世纪30年代，里克特制订了一种表明
地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说
的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算
换底公式的证明及其应用
换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式,但有些同学对其理解不深,应用不好,故下面加以补充,希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式：log b N＝错误!.证明设log b N＝x,则b x＝N.两边均取以a为底的对数,得log a b x＝log a N,∴x log a b＝log a N.∴x＝错误!,即log b N＝错误!.二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 1计算：log89·log2732；2求证：log a b·log b c·log c d＝log a d.分析先化为以10为底的常用对数,通过约分即可解决.解1换为常用对数,得log89·log2732＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!×错误!＝错误!. 2由换底公式,得log a b·log b c·log c d＝错误!·错误!·错误!＝log a d.评注此类型题通常换成以10为底的常用对数,再通过约分及逆用换底公式,即可解决.2.知值求值型例2 已知log1227＝a,求log616的值.分析本题可选择以3为底进行求解.解log1227＝错误!＝a,解得log32＝错误!.故log616＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.评注这类问题通常要选择适当的底数,结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A＝错误!＋错误!＋错误!,B＝错误!＋错误!,试比较A与B的大小.分析本题可选择以19及π为底进行解题.解A换成以19为底,B换成以π为底,则有A＝log195＋2log193＋3log192＝log19360＜2,B＝logπ2＋logπ5＝logπ10＞logππ2＝2.故A＜B.评注一般也有倒数关系式成立,即log a b·log b a＝1,log a b＝错误!.。
对数换底公式三个推论
对数换底公式三个推论好的，以下是为您生成的关于“对数换底公式三个推论”的文章：在数学的奇妙世界里，对数换底公式及其推论就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
今天，咱们就来好好聊聊这三个推论。
先来说说对数换底公式，它就像是一座桥梁，连接着不同底数的对数。
那公式是：logₐb = logₑb / logₑa （其中 a＞0 且a≠1，b＞0，e 是自然常数）。
有了这个公式，很多看似复杂的对数计算就能变得简单清晰啦。
接下来瞧瞧这三个推论。
推论一：logₐb × logₓa = logₓb 。
这个推论乍一看有点让人摸不着头脑，但是咱们通过一个例子就能明白。
比如说，假设咱们要计算 log₂8 × log₈2 ，按照这个推论，就等于 log₈8 ，结果很显然是 1 。
我记得有一次给学生们讲这个推论的时候，有个小家伙特别较真儿。
他一直盯着这个公式，皱着眉头问我：“老师，这到底是咋来的呀？”我就耐心地给他解释：“你看啊，咱们先用换底公式把 log₂8 换成以 8为底，那就变成了 log₈8 / log₈2 ，再乘以 log₈2 ，约分一下不就得到log₈8 了嘛。
”小家伙听了恍然大悟，脸上露出了那种“原来如此”的表情，可有意思了。
推论二：logₐb = 1 / log_ba 。
这个推论其实就是换底公式的一种变形。
比如计算 log₃5 和 log_53 ，它们之间就存在这样的关系。
有一次做练习题，有道题正好用到了这个推论。
很多同学一开始没反应过来，都在那死磕换底公式。
我在教室里转了一圈，发现这个情况后，就提醒他们：“同学们，看看这个式子像不像咱们刚讲的那个推论呀？”这一提醒，不少同学马上就开窍了，刷刷地开始动笔计算。
推论三：logₐⁿbᵐ= (m / n) logₐb 。
这个推论在解决一些复杂的对数运算时特别有用。
记得有一次考试，有一道题是计算 log₄₁₆₈。
很多同学看到这个题都有点懵，不知道从哪儿下手。
应用对数换底公式解题举例
应用对数换底公式解题举例
数学中有许多和指数、对数有关的概念，其中最重要的之一就是对数换底公式。
对数是用
来表示指数的概念，它用来描述数学问题和函数图像之间的关系，也可以用来解决复杂的
等式和不等式。
对数换底公式允许我们将一个对数从一个基数转换为另一个基数的另一个对数，这里的“基数”是所使用的基底，也就是常用数学中的“底数”。
对数换底公式的标准形式为：
LogA _B = C
这里A是基数，B是底数，C是在B的基数下的对数。
其中的结果C就是将底数从A换
到B的结果。
来看一个例子：
若求 log7 _49，用对数换底公式求解，即Log7 _49 = X
根据公式，可将X换至公式右侧：
7X = 49
X = 49/7
X =7
由此，log7 _49 = 7
以上是一个简单的例子，能够清楚地说明对数换底公式的基本用法。
通过计算，可以看出，对数换底公式可以帮助我们解决复杂的等式和不等式问题。
它有助于我们计算对数，不仅方便了数学学习，而且方便了人们的日常生活。
对数函数的换底公式
log₁₀2 = logₑ2 / logₑ10
由于 logₑ10 的值可以用常用的对数来表示，即 logₑ10 ≈ 0.4343，我们可以使用这个近似值进行计算。
因此，log₁₀2 ≈ logₑ2 / 0.4343
换底公式使得我们可以在不同底数之间进行对数运算，方便进行计算和比较。
对数函数的换底公式是指将对数的底数进行转换的公式，常用的换底公式如下：
对数函数的换底公式： logₐb = logₓb / logₓa
其中，logₐb 表示以 a 为底数的 b 的对数，logₓb 表示以任意底数 x 的 b 的对数，logₓa 表示以任意底数 x 的 a 的对数。
换底公式的使用可以将对数的底数转换为其他常用的底数，例如将以 10 为底数的对数转换为以 e（自然对数
高一数学换底公式及对数运算的应用
1.对数运算有哪三条基本性质？ （1）
（2）
（3）
2.对数运算有哪.三个常用结论？
（1）
; （2）
;
（3）
.
理论迁移
例1 计算：
(1)
;
(2)（log2125＋log425＋log85)· （log52＋log纪30年代，里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说 的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （1）假设在一次地震中，一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此 时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震 的震级（精确到0.1）；
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1.同底的两个对数可以进行加减运算， 对数的加减运算是利用那两个性质？
a 0, 且a 1. 1 loga M loga N loga M N ; M 2loga M loga N loga N
.
2.遇到同底两个对数相除，怎么办？
换底公式及其应用
提出问题
利用对数的换底公式化简下列各式：
利用换底公式证明：
例2.利用换底公式证明 ： m m loga n b loga b.a 0, 且a 1, b 0, m R, n R n
换底时选择好底数：
例3. 已知log3 2 a， log3 7 b, 用a, b表示log14 49
log2 16 log2 16 1求 与 log4 16的值， 并看看 与 log4 16 log2 4 log2 4 的值有何关系 ？
2你能用以c(c 0, 且c 1)为底的两个对数的比来
表示log4 16吗？表示出来的等式成立吗 ？
3一般地， 如果a 0, 且a 1, b 0, c 0, 且c 1.
logc b 那么loga b ， 如何证明？ logc a
换底公式：
如果a 0, 且a 1, b 0, c 0, 且c 1 : logc b 那么loga b logc a
换底公式的应用示例：
例1.利用对数的换底公式求 下列各式的值 .
1 log2 3 log3 2 2 log8 9 log27 32
log2 9 log3 64 3 log2 3 log3 4
课堂练习：
利用对数的换底公式化简下列各式：
1 loga b logb a; 2 log2 3 log3 4 log4 5 log5 2; 3 log4 3 log8 3log3 2 log9 2
课堂小结：
利用换底公式可以实现对数问题中的“化异为同”， 它在求值或恒等变形中作了重要作用，在解题过程 中应注意：
1．注意换底公式与对数运算法则结合使用；
2．换底公式的正用与反用； 3．针对具体问题，选择好底数.
作业：
1. P75. A组数为 2时怎么做？ 底数为3呢？
3. 已知log5 2 a, log5 3 b, 求 log12 15 的值.
4.计算：log4 3 log9 2 log1 32
4 2