6.1.2任意角及其度量(2)弧度制(课件)高一数学下册同步备课系列(沪教版2020必修二)

2
2
其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心 角,S是扇形面积.
2021/2/22
证明:由公式 =得rl l=αR
而圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公
式分别是 l n R , S n R2
180
360
R nR 得： n 180 n
180
180
代入面积公式，得 S 1 R2 S 1 lR
问题1说明：
(1)同一个量可以有不同的度量单位，不同场合 和背景下根据实际需要可以选用不同的度量制；
(2)在同一个问题中不同的度量单位之间不能直 接运算，需要进行换算统一单位。
思考：长度单位除了尺和米以外还有英尺、 码（约91.4厘米）、海里等，你还能举出生 活中类似的实例吗？
问题2:平面几何中，1度的角是如何定义的？
5
5
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
弧 度
0
6
2
43 2 3
3 4
5 6
3
2 2
注意：
1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟 记。 2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二 字通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能 省。 3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的 形式。如无特别要求，不用将π化成小数。
4
（2）第Ⅱ象限角的集合
{ | 2k 2k , k Z}
2
探究：
请回忆角度制下的弧长公式和扇形面积公式，并
尝试推导弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。
角度制：
(0 2 )
弧长公式：
l n r
180
扇形面积公式： 弧度制：
S扇形
n r2
360
弧长公式： l r (0 2 )
由①得 l 10 2R ,
代入②得 R2 5R4 0
R1 1, R2 4
当R=1时,l=8cm时, l 8 2 舍去
R
当R=4时,l=2cm时, l 1
R2 ∴所求扇形的中心角的弧度数为 1
2
例5: 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
1l R 2 S 1 R2 3 S 1 lR
{ | 0 }
2
直角： { | 90 }
{ | }
2
钝角：{ | 90 180 }
{ | }
2
平角： { | 180 }
{ | }
周角： { | 360 }
{ | 2}
例3:用弧度制表示 （1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
{ | 2k , k Z}
在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对 应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的 弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一 的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
正角 负角 零角
任意角的集合
正数 负数
0 实数集R
例2：请用弧度制表示下列角度的集合
锐角： { | 0 90 }
180
1
rad
180
57.30 5718'
探究2:如何进行弧度与角度的换算？
弧度与角度的换算
若l=2 π r，则∠AOB=
l r
= 2π弧度
此角为周角 即为360°
360°= 2π rad
2πrad
O
l=2 π r
（B） A
r
180°= π rad
180°= 1°×180
由180°= π 弧度 还可得
扇形面积公式： S 1 l r 1 r2 (0 2 ) 22
例4 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求
扇形的中心角.
分析:要求中心角,根据公式
l R
,需求弧长l及半径R.
解 设扇形的中心角的弧度数为 0 2 , 弧长为l,
半径为R,
l 2R 10 ①
根据题意: 1 l R 4 ② 2
2
2
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三、概念形成
下表是常用的一些特殊角的弧度数，你 必须予以熟记．当然，所谓需要熟记，决不 是死记硬背，只要记住30,45,60,90的弧 度，以后的特殊角可以顺次递加。
课堂小结
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一
对应的关系：
正角 零角 负角
角的集合
角度制
在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角，如下图：
1°的角
O
在角度制下，当把两个带着度、分、 秒各单位的角相加、相减时，由于运算进 制非十进制，总给我们带来不少困难．那 么我们能否重新选择角单位，使在该单位 制下两角的加、减运算与常规的十进制加 减法一样去做呢？
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角 度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常 用到一种度量角的制度
数表示，而角度制是六十进制；
（4）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的 圆心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆
360
心角的大小； 1弧度≠1º
问题5：角度制与弧度制换算关系是什么？
探究1:如何用一个新的单位（十进制）来度量角呢？
在半径为 r 的圆中，记圆心角为 n ，所对的弧长为 l ，圆心角的大小与 r 、
定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度(radian)的角，用符号rad表示，读作 弧度.
这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做 弧度制。
设弧AB的长为l，
若l=r， 则∠AOB=
l r
= 1 弧度
若l=2r， 则∠AOB=
l r
=
2 弧度
若l=3r， 则∠AOB=
B
l
r
B
=
3 弧度 l=2r
—弧度制，它是如何定义呢？
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结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
问题1：一幅画的尺寸是长1米，宽2尺， 试计算这幅画的面积.
l 之间具有怎样的关系？
l n r
180
n 180 l
r
探究1:如何用一个新的单位（十进制）来度量角呢？
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. 单位符号是rad， 读作“弧度”.
用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制.
180 rad
1 rad 0.01745rad
规定把周角的 1 作为1度的角，
360
用度做单位来度量角的单位制叫做角度 制．
60°
90°
对于整个圆周无论半径如何，周长多长， 我们总能把它分成360等份，每一份的弧所 对的圆心角就是1度的角。
问题3：由C 们分析式子
C22r，得的意到义Cr 。
2，请同学
r
结论：若以半径长为单位度量圆周，则无论
周长如何都只能分成2 份。
1°=
π ——
弧度
≈
0．01745弧度
180
1弧度 =（ —18π—0 ）°≈ 57．30°= 57°18′
三、例题
（1）把67°30′化成弧度。
解：67
30'
67
1 2
6730' rad 67 1 3 rad
180
28
（2）把 —3 π 弧度化成度。 5
解： 3 rad 3 (180) 108
6.1.2任意角及其度量（2）弧度制
复习回顾： 正角：射线按逆时角：射线按顺时针方向
的概念 旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)把角的顶点放在原点 2.象限角 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
S={β|β=α+k·360°,k∈Z}
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为 负数，零角的弧度数为0，如果半径为r的圆
的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度
数的绝对值是
︱α︱= l
r
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决
定.
问题4：角度制与弧度制对比有什么区别 和联系？
（1）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径
无关的定值; (2) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的 单位制，角度制是以“度”为单位来度量角 的单位制； （3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实
B
l=r
1弧度
2弧度
Or A
O
A
l=3r
3弧度
A O
OrA
B
-3弧度
l=3r
若圆心角∠AOB表示一个负角，且
它所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度
数的绝对值是 l r
即∠AOB=－
= 3，
l r
=
－3弧度
思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角
所对的弧长是 l ,那么 的弧度数是多少?
一般地，我们规定：
正实数 0
负实数
实数集R
我们的研究思路是怎样的？