2018版高中数学人教B版选修2-1学案：2.4.2 抛物线的几何性质
人教B版数学选修2-1：备课资源2.4.2抛物线的几何性质
教学建议
1.抛物线对学生来说是比较熟悉的,有了讨论椭圆、双曲线的几何性质的基础,再讨论抛物线的几何性质就不会遇到什么障碍.但要注意,抛物线的性质和椭圆、双曲线的性质比较起来,差别较大.
2.对于抛物线的四种标准方程,应要求学生熟练地掌握.教师给出各种形式的抛物线方程,要求学生说出开口方向、焦点坐标、对称轴和准线方程;反之,教师在黑板上画出各种类型的抛物线的示意图,可要求学生说出抛物线的类型.
3.课本中例2是关于抛物线的实际应用问题,教学时可让学生阅读教科书的第70页上的《圆锥面与圆锥曲线》这篇材料,了解圆锥曲线的光学性质及其在生活中的广泛应用.。
人教新课标版-数学-高二-数学人教B版选修2-1学案 2.4.2 抛物线的几何性质
数学人教B选修2-1第二章2.4.2 抛物线的几何性质1．掌握抛物线的几何性质．2．能根据这些几何性质解决一些简单问题．1．抛物线y2＝2px(p＞0)的几何性质(1)范围．因为p＞0，所以______，抛物线在y轴的______，当x值增大时，|y|也______，抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性．关于______对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的____．(3)顶点．抛物线和______的交点叫做抛物线的顶点，这条抛物线的顶点为________．(4)离心率．抛物线上的点到______与到____的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，由抛物线的定义知e＝______.【做一做1－1】已知抛物线的方程为y2＝16x，则抛物线的准线方程为()A．x＝－2 B．x＝4C．x＝8 D．x＝－4【做一做1－2】抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为()A．2 B．3C．4 D．5________________________________________________________ ________ 离心率四种位置的抛物线标准方程的对比 剖析：(1)共同点：①原点在抛物线上； ②焦点在坐标轴上；③焦点的非零坐标都是一次项系数的14.(2)不同点：①焦点在x 轴上时，方程的右端为±2px ，左端为y 2；焦点在y 轴上时，方程的右端为±2py ，左端为x 2；②开口方向与x 轴(或y 轴)的正半轴相同，焦点在x 轴(或y 轴)正半轴上，方程右端取正号；开口方向与x 轴(或y 轴)的负半轴相同，焦点在x 轴(或y 轴)负半轴上，方程右端取负号．题型一 抛物线中的最值问题【例1】若点A 的坐标为(3,2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 在该抛物线上移动，为使得|PA |＋|PF |取得最小值，则点P 的坐标为__________．反思：求抛物线中的最值时，应从分析图形的性质入手，将三角形的性质与抛物线的定义、性质相结合，从而使问题简单化．题型二 求抛物线的标准方程【例2】分别求适合下列条件的抛物线方程．(1)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点A (2,3)；(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为52.分析：根据条件，结合抛物线的定义，求出焦参数p ，从而求得方程．反思：(1)抛物线的标准方程有四种形式，主要看其焦点位置或开口方向．(2)抛物线的标准方程只有一个参数p ，即焦点到准线的距离，常称为焦参数．题型三 抛物线几何性质的应用【例3】已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点坐标和准线方程． (1)x 2＝4y ；(2)2y 2＋5x ＝0.分析：先根据抛物线的标准方程形式，求出p ，再根据开口方向，写出焦点坐标和准线方程．反思：由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程，首先判断开口方向，求出参数p ，然后再求解．1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y 2．抛物线y ＝－x 2的焦点坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，14B ．⎝⎛⎭⎫0，－14C ．⎝⎛⎭⎫14，0D ．⎝⎛⎭⎫－14，0 3．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则点P 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫32，±62B ．⎝⎛⎭⎫74，±72C ．⎝⎛⎭⎫94，±32D ．⎝⎛⎭⎫52，±102 4．设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，则抛物线的方程为__________． 5．已知抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3，则抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程分别为__________、__________、__________.答案： 基础知识·梳理1．(1)x ≥0 右侧 增大 (2)x 轴 轴 (3)它的轴 坐标原点 (4)焦点 准线 1【做一做1－1】D ∵2p ＝16，∴－p2＝－4.∴抛物线的准线方程为x ＝－4.故选D.【做一做1－2】D ∵抛物线准线为y ＝－1，且点A 的纵坐标为4， ∴点A 到准线的距离为5.又∵点A 到准线的距离与到焦点的距离相等， ∴点A 到焦点的距离为5.2．x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R x 轴 ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝－p 2 x ＝p2 2py (p ＞0) －2py (p ＞0) y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R y 轴 ⎝⎛⎭⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 －p 2 p2典型例题·领悟【例1】(2,2)由抛物线定义，|PF |等于点P 到抛物线准线的距离|PP ′|，如图所示．因此，当且仅当点P ，A ，P ′在同一条直线上时，有|PF |＋|PA |＝|PP ′|＋|PA |最小， 此时点P 的纵坐标等于点A 的纵坐标，即y ＝2，故此时点P 的坐标为(2,2)． 【例2】解：(1)由题意，方程可设为y 2＝mx 或x 2＝ny ，将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ×2或22＝n ×3，解得m ＝92或n ＝43.故所求的抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(2)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.故所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .【例3】解：(1)由抛物线标准方程，知抛物线焦点在y 轴正半轴上，开口向上，且2p ＝4.∴p ＝2，∴焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1. (2)将2y 2＋5x ＝0变形为y 2＝－52x .∴2p ＝52，p ＝54，开口向左．∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－58，0，准线方程为x ＝58. 随堂练习·巩固 1．B ∵p2＝7，∴p ＝14.∵焦点在x 轴上，∴抛物线的标准方程为y 2＝28x .2．B y ＝－x 2化为标准方程为x 2＝－y ，∴p ＝12.∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－14.故选B. 3．B y 2＝x 的准线为x ＝－14，焦点为⎝⎛⎭⎫14，0， 设P (x 1，y 1)，由抛物线定义知x 1＋14＝2，∴x 1＝2－14＝74.由y 21＝74，得y 1＝±72， 故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫74，±72.4．y 2＝8x 或y 2＝－16x 当m ＞0时，准线方程为x ＝－m4＝－2，∴m ＝8，此时抛物线方程为y 2＝8x ；当m ＜0时，准线方程为x ＝－m4＝4，∴m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x .∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x . 5．y 2＝6x ⎝⎛⎭⎫32，0 x ＝－32 由已知，得p ＝3， ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝6x . ∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，准线方程为x ＝－32.。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 2.4.2 抛物线的几何性质》7
2.4.2抛物线的几何性质一教学目标1知识与技能：理解并掌握抛物线的几何性质，能根据这些几何性质解决一些简单问题，从而培养学生分析归纳推理等能力。
2过程与方法：在与椭圆、双曲线的性质类比中获得抛物线的性质，进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的方法。
3情感态度与价值观：通过本节课的学习，使学生进一步体会曲线与方程的对应关系，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
二教学重点与难点1重点：从方程特征引导出几何性质，使学生进一步熟练和掌握研究曲线的基本方法；掌握抛物线的几何性质及初步运用。
2难点：熟练掌握和灵活运用抛物线的几何性质解决问题。
三教学方法本节课主要通过数形结合，类比椭圆、双曲线的几何性质，运用多媒体教学手段，通过观察、分析、归纳出抛物线的几何性质。
教学过程中，可采纳“问题探究”的教学方法设疑提问，引导学生积极思考，自我解决问题，鼓励学生合作交流、思考探索。
四教学过程知能训练对称轴为坐标轴的抛物线的焦点在直线-2-2=0上，则此抛物线的标准方程为A xy82= B yx42=C xy82=或yx42-=D xy82=或yx42=4在同一直角坐标系中已经画出下列三条抛物线的图形。
①xy412=②xy=2③xy42=请在图形旁标注相应的抛物线方程的序号。
再比较这些图形，说明抛物线开口大小与方程中的系数之间的关系。
)0(22>=ppxy距离的最小值是多少？加强练习，进一步掌握性质，进一步感受数形结合的思想。
突出重点，提高学生的解题能力。
归纳总结主要让学生归纳学生把本节所获取知识总结一遍。
培养学生归纳能力。
同时反馈本节教学效果。
突出本节课重点。
板书设计：。
选修2-1教案24-2抛物线的简单几何性质【2】
选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》 2.4.1抛物线及其标准方程第二课时：焦点弦相关性质性质一：已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于1122(,),(,)A x yB x y 两点，则221212,4p y y p x x =-=.证：(,0)2p F ，设:2AB pl x my =+，联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩可得2220y pmy p --=，则122122y y pm y y p +=⎧⎨=-⎩， 21122222y x p y x p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，()222212*********y y y y p x x p p p ∴=⨯==. 综上：221212,4p y y p x x =-=.探究一：若直线AB 与抛物线22(0)y px p =>的两个交点1122(,),(,)A x y B x y ， 且212y y p =-，那么直线AB 是否经过焦点F 呢？探究二：若直线AB 与抛物线22(0)y px p =>的两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，且12y y m =，那么直线AB 是否经过定点？反之成立吗?探究三：设抛物线22(0)y px p =>上两动点1122(,),(,)A x y B x y ，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，则直线AB 是否过定点？反之成立吗？ 总结：（1）若直线AB 与抛物线22(0)y px p =>的两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，则 直线AB 过定点(,0)a ⇔122y y pa =-；（2）若直线AB 与抛物线22(0)y px p =>的两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，则 直线AB 过定点(2,0)p ⇔ OA ⊥OB （O 为坐标原点）.例1.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的A B 、两点. （1）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值；（2）若4OA OB ⋅=-，证明直线l 必过一定点，并求出该定点.例2.以抛物线22y x =的顶点作相互垂直的弦OA 、OB.（1）求线段AB 的中点的轨迹方程； （2）证明直线AB 过定点； （3）求△OAB 面积的最小值.练习题：1、过抛物线焦点的一条直线与它交于两点A ，B ，通过点A 和抛物线顶点O 的直线交准线于点M ，如何证明直线MB 平行于抛物线的对称轴？解：思路一：求出M 、B 的纵坐标并进行比较，如果相等，则MB//x 轴. 联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩可得2220y pmy p --=，则(21A y p m m =++，(21B y p m m =+.直线AO 的方程为2A A A y p y x x x y ==，令2px =-，解得2M A p y y =-=(21B p m m y += 得证．思路二：利用“性质一”来证． 设11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)M x y ，由性质一可知：212y y p =-，即221p y y -=．又直线OA 的方程为11y y x x =， 2px =-，得1312py y x -=．因为11(,)A x y 在抛物线上，所以2112y x p=．从而213122111()2py p p y py y x y y ==-⋅=-=，得证. 思路三：直线MB 的方程为o y y =的充要条件是2000(,),(,)22y pM y B y p-． 将直线MO 的方程02y y p=-和直线BF 的方程0222()2o py py x y p =--联立，它的解（x ,y ）就是点A 的坐标，消去o y 的充要条件是点A 在抛物线上，得证． 这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小． 思考: 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点A ，B ，通过点B 作准线的垂线交于点M ，如何证明A 、M 、O 三点共线？思路：要证A 、M 、O 三点共线，只需证OA OM k k =. 设11(,)A x y 、22(,)B x y 、则2(,)2pM y -， 直线OA 的方程为11y y x x =，因为11(,)A x y 在抛物线上，所以2112y x p =，所以直线OA的方程可以化为12p y x y =，即12OA pk y =． 直线直线OM 的方程为22y y x p =-，即22OM yk p =- 由性质一可知：212y y p =-，即221p y y -=，所以2122OM OA y p k k p y ===-， 所以A 、M 、O 三点共线，得证.2、如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点()2,0P 的直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点,M N ． （Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k . 证明：12k k 为定值； （Ⅲ）求证：直线MN 与x 轴交于定点Q . 解：（Ⅰ）依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． 将其代入24y x =，消去x ，整理得2480y my --=． 从而128y y =-．（Ⅱ）证明：设()33,M x y ，()44,N x y ．则221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． 设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ， 整理得2440y ny --=． 所以134y y =-．同理可得244y y =-． 故112121223412444k y y y y y yk y y y y ++===--+-+． 由（Ⅰ）得122k k =，为定值． （Ⅲ）由（Ⅱ）得341122343434444y y k y y k y y y y y y --++-===++=2 所以342y y =-设直线MN 方程为x=ty+b 将其代入24y x =，消去x ， 整理得2440y ty b --=． 所以344y y b =- 又因为342y y =-，所以-4b =-2，即12b =所以直线MN 与x 轴交于定点Q 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭3、过(),0M a (0)a >任作一条直线交抛物线()220y px p =>于,P Q 两点，若2211MPMQ+为定值，则a =A.pB.2pD.2p4、设抛物线22y x =的焦点为F，过点M 的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，已知2BF =，则BCFACFS S ∆∆=。
高中数学选修2-1优质学案3-2.4.2 抛物线的简单几何性质
2.4.2抛物线的简单几何性质（一）教学目标：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 . （二）教学重点：抛物线的几何性质及其运用 （三）教学难点：抛物线几何性质的运用 （四）教学过程： 一、复习引入：（学生回顾并填表格） 1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线. 2．抛物线的标准方程：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即. 不同点：(1)图形关于x 轴对称时，x 为一次项，y 为二次项，方程右端为、左端为；图形关于y 轴对称时，x 为二次项，y 为一次项，方程右端为，左端为. （2）开口方向在x 轴（或y 轴）正向时，焦点在x 轴（或y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x 轴（或y 轴）负向时，焦点在x 轴（或y 轴）负半轴时，方程右端取负号.二、讲解新课：l l 41242p p =px 2±2y py 2±2x )0(22>-=p py x类似研究双曲线的性质的过程，我们以为例来研究一下抛物线的简单几何性质： 1．范围因为p ＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性以－y 代y ，方程不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．对于其它几种形式的方程，列表如下：（学生通过对照完成下表）()022>=p px y ()022>=p px y ()022>=p px y ()022>=p px y ()022>=p px y思考：抛物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区别） 三、例题讲解：例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p ．例2斜率为1的直线经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线交于两点A 、B ，求线段AB 的长.)22,2(-M变式训练：过抛物线的焦点作直线，交抛物线于,两点，若，求。
人教新课标版-数学-高二B版选修2-1学案 2.4.2 抛物线的几何性质(二)
2.4.2抛物线的几何性质(二)学习目标：1.掌握直线与抛物线位置关系的判断.2.掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识.3.掌握直线与抛物线相关的求值、证明问题．1．直线与抛物线的位置关系及判定1．思考辨析(1)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．()(2)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．()(3)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点的直线有三条．()(1)×过抛物线上一点与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线有一个公共点．(2)√(3)√2．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－43B．－1C．－34D．－12C3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝________.【导学号：33242193】8直线与抛物线的位置关系2k ，k为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？由题意，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，(*)可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0. ① (1)当k ＝0时，由方程①得y ＝1. 把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14.这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.(2)当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)． ①由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0， 解得k ＝－1，或k ＝12.于是，当k ＝－1，或k ＝12时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解．这时，直线l 与抛物线只有一个公共点．②由Δ>0，得2k 2＋k －1<0， 解得－1<k <12.于是，当－1<k＜1，且k≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解．这2时，直线l与抛物线有两个公共点．③由Δ<0，即2k2＋k－1>0，解得k<－1，或k>12.时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解．这于是，当k<－1，或k>12时，直线l与抛物线没有公共点．综上，我们可得，或k＝0时，直线l与抛物线只有一个公共点；当k＝－1，或k＝12，且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点；当－1<k<12当k<－1，或k>1时，直线l与抛物线没有公共点．2直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.1．如图2-4-2，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．图2-4-2设k AB＝k(k≠0)，∵直线AB，AC的倾斜角互补，∴k AC＝－k(k≠0)，∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0. ∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解． ∴4·x B ＝16k 2－16k ＋4k2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k 2.以－k 代换x B 中的k ， 得x C ＝4k 2＋4k ＋1k 2，∴k BC ＝y B －y C x B －x C＝k (x B －4)＋2－[－k (x C －4)＋2]x B －x C＝k (x B ＋x C －8)x B －x C ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫8k 2＋2k 2－8－8kk 2＝－14.∴直线BC 的斜率为定值．与抛物线有关的中点弦问题对比椭圆的“中点弦”问题，思考与抛物线有关的“中点弦”问题的解题策略有哪些？(1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差由k ＝y 1－y 2x 1－x 2求斜率，再由点斜式求解．(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x (或y )得关于y (或x )的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率．已知A ，B 为抛物线E 上不同的两点，若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被M (2,1)所平分．(1)求抛物线E 的标准方程； (2)求直线AB 的方程.【导学号：33242194】用“点差法”． (1)由E 的焦点为(1,0)， 可设抛物线方程为y 2＝2px ，且p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由M (2,1)为线段AB 的中点可知直线AB 斜率存在且不为零，设直线AB 斜率为k .由A ，B 为抛物线上不同两点得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②①－②得k ＝4y 1＋y 2＝2， ∴直线AB 方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.母题探究：1.(变换条件)若本例中条件“线段AB 恰被M (2,1)所平分”改为“线段AB 恰被M (1,1)所平分”，问这样的直线AB 是否存在？若存在，求出直线AB 的方程，若不存在，说明理由．由抛物线的焦点为(1,0)，所以p2＝1，p ＝2， 故抛物线方程为y 2＝4x .假设AB 斜率存在，即AB 不垂直于x 轴， 故可设AB 所在直线的方程为 y －1＝k (x －1)(k ≠0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去x 整理得ky 2－4y ＋4－4k ＝0， Δ＝16－4k (4－4k )>0恒成立， 又由根与系数的关系得y 1＋y 2＝4k ， 根据M 为AB 的中点，所以4k ＝2，k ＝2， 所以所求直线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.当AB 的斜率不存在时，显然不符合题意.2．(变换条件、改变问法)若动点P 在抛物线E 上移动，求线段PM 中点的轨迹方程．设P (x 0，y 0)，PM 中点的坐标为(x ，y )， 由中点坐标公式得⎩⎨⎧x ＝x 0＋22，y ＝y 0＋12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y －1，∵p 在抛物线y 2＝4x 上，∴PM 中点的轨迹方程为(2y －1)2＝8(x －1)．解决中点弦问题的基本方法是点差法、根与系数关系的方法，直线方程与抛物线方程联立时，消y 有时更简捷，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解.一般地，已知抛物线y 2＝2px (p >0)上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)及AB 的中点P (x 0，y 0)，则k AB ＝p y 0，直线AB 的方程为y －y 0＝py 0(x －x 0).线段AB 的垂直平分线的方程为y －y 0＝－y 0p (x －x 0).提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.抛物线的综合运用如图2-4-3所示，已知直线l ：y ＝2x －4交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，试在抛物线AOB 这段曲线上求一点P ，使△PAB 的面积最大，并求出这个最大面积． 【导学号：33242195】图2-4-3解决本题的关键是弦AB 为定值，将点P 到直线AB 的距离的最值问题转化为二次函数问题求解．在应用配方法求最值时，一定要注意自变量的取值范围．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，由题图可知A (4,4)，B (1，－2)，则|AB |＝3 5.设P (x 0，y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点，d 为点P 到直线AB 的距离，则：d ＝|2x 0－y 0－4|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0－4＝125|(y 0－1)2－9|.∵－2＜y 0＜4，∴(y 0－1)2－9＜0. ∴d ＝125．从而当y 0＝1时，d max ＝925，S max ＝12×925×35＝274.因此，当点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1时，△PAB 的面积取得最大值，最大值为274.应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．2．如图2-4-4所示，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．图2-4-4(1)求证动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，求证|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．(1)依题意可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8.直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ，直线BD 的方程为x ＝x 2.可得交点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 1x 2x 1，注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1， 则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2.因此D 点在定直线y ＝－2(x ≠0)上． (2)依题意得切线l 的斜率存在且不等于0， 设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)， 代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )， 即x 2－4ax －4b ＝0.由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2. 故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为： N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋a ，－2， 则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －a 2＋42－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.1．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于( )A.15 B ．215 C.152 D ．15 A ∵直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 准线， ∴P 到l 2的距离d 2＝|PF |(F (1,0)为抛物线焦点)， 所以P 到l 1、l 2距离之和最小值为F 到l 1距离 |4×1－3×0＋6|32＋42＝2，故选A.设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，则|MA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216－42＋y 21＝136y 41－13y 21＋16＝136(y 21－6)2＋15≥15， 当且仅当y 21＝6，即y 1＝±6，x 1＝y 216＝1时，|MA |取最小值15，此时M (1，±6)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋b y ＝12x2，得x 2－2x －2b ＝0，Δ＝(－2)2＋8b ＞0，设直线与抛物线的两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ， 于是y 1y 2＝14(x 1x 2)2＝b 2， 由OA ⊥OB 知x 1x 2＋y 1y 2＝0，故b 2－2b ＝0，解得b ＝2或b ＝0(不合题意，舍去)．b ＝2适合Δ>0.解hslx3y3h (1)证明：联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)，消去x ，得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y1＋y2＝－1k，y1·y2＝－1.因为y21＝－x1，y22＝－x2，所以(y1·y2)2＝x1·x2，所以x1·x2＝1，所以x1x2＋y1y2＝0，即OA→·OB→＝0，所以OA⊥OB.(2)设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标为(－1,0)，所以S△AOB＝12|ON|·|y1－y2|＝12×|ON|×(y1＋y2)2－4y1·y2＝12×1×1k2＋4＝10，解得k2＝136，所以k＝±16.。
【高二】【数学】【人教B版选修2-1】2.4.2抛物线的几何性质
(2)k＝ ；
(3)直线AB的方程：y－y0＝ (x－x0)；
(4)线段AB的垂直平分线方程：y－y0＝－ (x－x0)．
七.与抛物线有关的中点弦问题
“中点弦”问题解题策略两法
点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差由k＝ 求斜率，再由点斜式求解．
【知识回顾】
1.抛物线的标准方程有几种形式？
2．抛物线的标准方程中参数p的几何意义是什么？
【新知讲授】
一、抛物线的几何性质
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，①
其性质有如下几个方面：
1．范围
因为p>0，由方程①可知，这条抛物线上任意一点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口向右．
3.设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)为弦的两端点，直线AB的倾斜角为θ.求证：|AB|＝ .
4.(1)已知抛物线y2＝2x，点(4,0)恰是直线被抛物线所截得的弦的中点，则直线方程是________．
(2)过点M(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，若弦AB恰被点M所平分，求弦AB所在直线的方程．
【感悟情境】
如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等．当然这条性质本身也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线——抛物线的几何性质
2018-2019版高中数学人教B版选修2-1课件：2.4.2 抛物线的几何性质
类型三
抛物线综合问题
命题角度1 与抛物线有关的最值问题
例3
抛物线y2＝4x的焦点为 F，点 P(x，y)为该抛物线上的动点，若 |PF| 点A(－1,0)，求 的最小值. |PA|
第二章 2.4
抛物线
2.4.2 抛物线的几何性质
学习目标
1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.
2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题导学
知识点一
抛物线的范围
思考
观察下列图形，思考以下问题：
(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几 何图形存在哪些区别？
反思与感悟
(1) 抛物线上任一点 P(x0 ， y0) 与焦点 F 的连线得到的线段叫做抛物线 的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为：
p p ①抛物线 y ＝2px(p>0)，|PF|＝|x0＋2|＝2＋x0； p p 2 ②抛物线 y ＝－2px(p>0)，|PF|＝|x0－2|＝2－x0； p p 2 ③抛物线 x ＝2py(p>0)，|PF|＝|y0＋2|＝2＋y0；
(2) 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，
x＋y－1＝0或x－y－1＝0 则直线l的方程为_______________________.
答案 解析
(3)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若 7 |AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为___. 2
梳理
抛物线y2＝2px(p>0)中，x∈ [0，＋∞) ，y∈ (－∞，＋∞) . 抛物线y2＝－2px(p>0)中，x∈ (－∞，0] ，y∈(－∞，＋∞) . 抛物线x2＝2py(p>0)中，x∈ (－∞，＋∞) ，y∈ [0，＋∞) . 抛物线x2＝－2py(p>0)中，x∈ (－∞，＋∞)，y∈ (－∞，0] .
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 2.4.2 抛物线的几何性质》0
三、自我检测（或延伸拓展）
1自我检测：限时做题
2延伸拓展：高考演练
要求：限时做题，网上推送，平板进行小组任务分配，
实现小组互批。
四、小结
让学生总结本节课的收获。
2完善课前检测的做题步骤，以小组为单位上传。
形式：小组讨论
要求：老师将随意指派每组上传的内容。
利用平板以及网络平台，将每道题目的解题步骤进行推送上传，学生进行说明和讲解。这样可以全面的展现学生的思路，更有助于学生理解和应用关系式。
二、疑难问题解析
1 （讲授）教师对集中的问题进行讲解，总结四种位置的抛物线几何性质的特点并找出共同点与不同点。三种题型的解题思路。
学生的问题归纳与说明
问题1：四种位置的抛物线几何性质情况比较多，记忆困难
（说明）：根据四种位置的抛物线的几何性质的特点观察并记忆
问题2：ห้องสมุดไป่ตู้物线几何性质的实际应用
（说明）：培养学生建系并应用抛物线的几何性质解决问题
课堂互助探究
教学目标
目标1：掌握抛物线的几何性质
目标2：利用抛物线的标准方程研究几何性质
目标3：利用抛物线的几何性质求标准方程
目标4：抛物线几何性质的实际应用
教
学
活
动
设
计
一、网络自主学习情况反馈
1课前任务总结
通过网上平台的统计，教师可以清晰的看到学生课前任务检测的情况，以及每道题目的正确率，保证了教师更有针对性的总结学生的问题。
2课前任务完善—组内互助
任务:1归纳并对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同。
平板教学翻转课堂——教学设计
沈阳市第一二四中学——王炳江
高中数学选修2-1新教学案：2.4.2抛物线的简单几何性质（1）
高中数学选修2-1新教学案：2.4.2抛物线的简单几何性质（1）选修2—1 2.4.2抛物线的简单几何性质（学案）（第一课时）【知识要点】抛物线的有关几何性质及其应用.【学习要求】1.通过理解抛物线的定义及其方程,掌握抛物线的简单几何性质;2.通过对抛物线的简单的几何性质的学习,进一步体会数形结合思想在解题中的应用并能应用几何性质解决有关问题.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第68页～第70页）1. 通过对椭圆和双曲线几何性质的学习,请你以22(0)y px p=>为例谈一下抛物线的几何性质.2. 模仿22(0)=>几何性质,把下列表格填完整.y px p通过表格的填写，我们知道，四种形式抛物线顶点相同，均为，离心率均为，它们都是对称图形，但是对称轴不同.3. 和椭圆、双曲线的几何性质相比：它们都是对称图形；椭圆、双曲线又是对称图形，抛物线不是;顶点个数不同:椭圆有 ,双曲线有 ,抛物线由一个顶点;焦点个数不同:椭圆和双曲线各有焦点,抛物线只有一个焦点;离心率取值范围不同:椭圆的离心率范围是,双曲线的离心率范围是,抛物线的离心率是 . 【基础练习】1．已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点(2,M -,求它的标准方程.2. 已知一抛物线的焦点(0,8),8F y -=准线是,求抛物线的标准方程.3. 过点(2,0)1AB M l 2作斜率为的直线，交抛物线y =4x 于A,B 两点求 . 【典型例题】例1 某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的方程.变式1：P 是抛物线y 2=4x 上一动点，以P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q ，点Q 的坐标是．例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于,A B 两点,求线段A B 的长.变式2：已知抛物线的焦点在x 轴上,且截直线210x y -+=求此抛物线的方程.变式3：已知,A B 是抛物线22(0)y px p =>上两点, O 为坐标原点,若O A O B =, 且A O B ?的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线A B 的方程.1. 圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）（A ）x 2+ y 2-x -2 y -41=0（B ）x 2+ y 2+x -2 y +1=0 （C ）x 2+ y 2-x -2 y +1=0（D ）x 2+ y 2-x -2 y +41=02. 平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是（）（A ） y 2=－2x（B ） y 2=－4x（C ）y 2=－8x（D ）y 2=－16x3. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|= （）（A ）8（B ）10（C ）6(D) 44. 顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点（-2，3），它的方程是 ( ).(A) 229423x y y x =-=或（B ） 229423y x x y =-=或(C) 292y x =-(D) 243x y =5. 有一个正三角形的两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是 ( ).(A) (B)(C) (D)6. 已知抛物线的方程是22(0)y px p =>，以抛物线上动点与焦点连线为直径的圆与y 轴的位置关系 ( ).(A) 相交 (B) 相离 3 (C) 相切 (D) 不确定7. 抛物线24x y =-过焦点垂直对称轴的直线交抛物线于,A B 两点，O 为抛物线的顶点，则（）.(A) 8,4AOB AB s ?== (B) 4,2AOB AB s ?== (C) 4,4AOB AB s ?== (D) 8,2AOB AB s ?==8. 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段P F 与FQ 的长分别是,p q ，则qp11+等于（）(A) 2a (B)12a(C) 4a (D) 4a9.已知直线l 与抛物线28y x =交于,A B 两点，且l 经过抛物线的焦点,F A 点的坐标为（8，8），则线段A B 的中点到准线的距离为（）(A)254(B)252(C)256(D) 2510. 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 任作一条直线l 与抛物线交于12,P P 两点，求证：以12P P 为直径的圆和这条抛物线的准线相切.选修2—1 2.4.2抛物线的简单几何性质（教案）（第一课时）【教学目标】: 要求学生熟练掌握抛物线的简单几何性质，能够运用几何性质处理有关的数学问题，并且进一步体会数形结合思想在解题中的应用. 【重点】：对抛物线几何性质的掌握与应用. 【难点】：抛物线几何性质的应用.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第68 页～第70页）1. 通过对椭圆和双曲线几何性质的学习,请你以22(0)y px p =>为例谈一下抛物线的几何性质.范围：0,x y ≥∈R ；顶点坐标：（0，0）；对称轴为x 轴；焦点坐标：(,0)2p F ；准线方程：2p x =-；离心率为1；通径长为2p .2. 模仿22(0)y px p =>几何性质,把下列表格填完整.图通过表格的填写，我们知道，四种形式抛物线顶点相同，均为(0,0)，离心率均为1 , 它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.3. 和椭圆、双曲线的几何性质相比：它们都是轴对称图形；椭圆、双曲线又是中心对称图形，抛物线不是;顶点个数不同:椭圆有4个,双曲线有2个,抛物线由一个顶点;焦点个数不同:椭圆和双曲线各有2个焦点,抛物线只有一个焦点;离心率取值范围不同:椭圆的离心率范围是<e1,抛物线的离心率是e=1. 【基础练习】</e1．已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点(2,M -,求它的标准方程.解: 由题意可设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>. 因为点M 在抛物线上,所以(222, 2.p p -== 即因此,所求抛物线的方程为24.y x =2. 已知一抛物线的焦点(0,8),8F y -=准线是,求抛物线的标准方程. 解: 由题意可知8,162p p =∴=.所以抛物线方程为232.x y =-3. 过点(2,0)1AB M l 2作斜率为的直线，交抛物线y =4x 于A,B 两点求 .解: M 201过点（，）且斜率为的直线l 的方程为2y x =-,与抛物线的方程24y x =联立得1142x y ?=+??=+??2242x y ?=-??=-??设1122(,),(,)A x y B x y ,则AB ==【典型例题】例1 某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的方程.【审题要津】因为椭圆的中心在坐标原点,左顶点为(-3,0),所以可直接设抛物线的标准方程,代入p 后可得方程.解：由22169144x y +=得221169yx+= ,所以椭圆的左顶点为(-3,0).由题意设所求抛物线方程为22(0)y px p =->,由362p p ==得,所以所求方程为212y x =- .【方法总结】顶点在原点,焦点在坐标轴上的抛物线方程可设为标准形式.变式1：P 是抛物线y 2=4x 上一动点，以P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q ，点Q 的坐标是．(1,0)例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于,A B 两点,求线段A B 的长.【审题要津】求出抛物线的焦点后,写出直线方程的点斜式,和抛物线联立解交点,然后运用两点间的距离公式求A B 的长.解：抛物线24y x =的焦点为(1,0),直线l 的方程为1y x =-,联立21,4.y x y x =-??=得1132x y ?=+??=+??2232x y ?=-??=-?? 设1122(,),(,)A x yB x y ,则AB =【方法总结】直线和圆锥曲线的弦长问题,可先联立方程组求交点坐标,然后运用两点间的距离公式求解.变式2：已知抛物线的焦点在x 轴上,且截直线210x y-+=求此抛物线的方程.解: 所求抛物线方程为22124y x y x ==-或.变式3：已知,A B 是抛物线22(0)y px p =>上两点, O 为坐标原点,若O A O B =, 且A O B ?的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线A B 的方程.解: 由题意可知, 抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(,0)2p F ,因为O A O B =,由抛物线的对称性可知, ,A B 两点关于x 轴对称,设直线A B 的方程为200000,A,B A ,),2.x x x y y px ==设两点的坐标为（则因为A O B ?的垂心恰是抛物线的焦点F ,所以0000,(,),(,)2p A F O B A F x y O B x y ⊥=--=- .05A F O B =0x 2p= 由得 .所以直线A B 的方程为5.2p x =1. 圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ D ）（A ）x 2+ y 2-x -2 y -41=0 （B ）x 2+ y 2+x -2 y +1=0 （C ）x 2+ y 2-x -2 y +1=0（D ）x 2+ y 2-x -2 y +41=02. 平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是（ C ）（A ） y 2=－2x（B ） y 2=－4x （C ）y 2=－8x （D ）y 2=－16x3. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|= （ A ）（A ）8（B ）10（C ）6(D) 44. 顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点（-2，3），它的方程是 ( B ). (A) 229423x y y x =-=或（B ） 229423y x x y =-=或(C) 292y x =-(D) 243x y =5. 有一个正三角形的两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是 ( B ).(A) (B)(C) (D)6. 已知抛物线的方程是22(0)y px p =>，以抛物线上动点与焦点连线为直径的圆与y 轴的位置关系 ( C ).(A) 相交 (B) 相离 3 (C) 相切 (D) 不确定7. 抛物线24x y =-过焦点垂直对称轴的直线交抛物线于,A B 两点，O 为抛物线的顶点，则（ B ）.(A) 8,4AOB AB s ?== (B) 4,2AOB AB s ?== (C) 4,4AOB AB s ?== (D) 8,2AOB AB s ?==8. 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段P F 与FQ 的长分别是,p q ，则qp11+等于（ C ）(A) 2a (B)12a(C) 4a (D) 4a9.已知直线l 与抛物线28y x =交于,A B 两点，且l 经过抛物线的焦点,F A 点的坐标为（8，8），则线段A B 的中点到准线的距离为（ A ）(A)254(B)252(C)256(D) 2510. 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 任作一条直线l 与抛物线交于12,P P 两点，求证：以12P P 为直径的圆和这条抛物线的准线相切.证明：如图，11122212(,),(,),x y P x y P P 设P 中000(,).x y 点P 12P F P F =+12P P=21222p p x x x p +++=++1x ，122x x +=0x ，12121222x x p d P P +∴=+=0p 到准线的距离.所以以12P P 为直径的圆和这条抛物线的准线相切.。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 2.4.2 抛物线的几何性质》
《抛物线的简单几何性质》第一课时通城一中葛璟一．教学目标（1）抛物线的几何性质、范围、对称性、定点、离心率（2）抛物线的画法二．教学重点掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程三．教学难点抛物线各个知识点的灵活应用四．教学方法及手段采用引导式、合作探究、讲练结合法；多媒体课件辅助教学五．教学过程情境引入：Fat射电望远镜接收信号的抛物面轴截面如图，无线电波呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到接收机（焦点）处已知该抛物面的口径直径为300m,深度为60m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标复习回顾:填表标准方程图形焦点坐标准线方程焦半径新课讲授：我们根据抛物线的标准方程)0(22 p px y = 来研究它的几何性质 1、范围：0≥x 2、对称性：关于轴对称 3、顶点：（0，0）4、离心率：抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示e=1合作探究：在同一坐标系中作出抛物线2=4，2=2，2=的图形观察并回答抛物线的开口大小由什么决定？根据图形比较可知，开口大小由0≥x例1、 （２，22-），求它的标准方程例2：正三角形一个顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线 2 =2，O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，若三角形OMF 为直角三角形，则满足条件的点M 有_____个练习：72 1习题2.4 A 组3，4小结及课后作业：查找fat 望远镜的资料)0(22>=p pxy )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x。
高中数学选修2-1新教学案：2.4.2抛物线的简单几何性质(2)
选修2—1 2.4.2抛物线的简单几何性质（学案）（第二课时）【知识要点】1.直线与抛物线的位置关系；2.直线被抛物线所截得的弦长问题. 【学习要求】1.能用坐标法解决一些与抛物线有关的简单几何问题;2.体会数形结合思想在解题中的应用,并能应用几何性质解决有关问题.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第70 页～第72页）1. 在直角坐标系中证明过两点的直线与坐标轴平行，可转化为证明这两点的 相等.2. 当一个点在抛物线22(0)y px p =>上时,点的坐标可设为 ,也可用一个变量表示为 ;点到焦点的距离为 .3. 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F (,0)2p的直线交抛物线于两点1122(,),(,)A x y B x y ，则有12x x = ，12y y = .4. 斜率待定的直线与抛物线联立,消去()(y x x y 或，得到关于或）的方程. (1). 二次项系数等于0,所得直线与抛物线是 ;(2). 二次项系数不等于0, 0∆=,所得直线与抛物线位置关系是 ; (3). 二次项系数不等于0, >0∆,所得直线与抛物线位置关系是 ; (4). 二次项系数不等于0, <0∆,所得直线与抛物线位置关系是 .5. 直线y kx b =+与抛物线22(0)y px p =>相交于B A 、两点,则AB = .6. 在抛物线22(0)y px p =>的对称轴上有一点M （m,0),当m 满足 时,抛物线上的所有点中,顶点到M 的距离最小. 【基础练习】1．过M （2,0)作斜率为1的直线l .交抛物线2y 4x =于A B 、两点，求AB .2. 垂直于x 轴的直线交抛物线2y 4x =于A B 、两点，且AB =AB 的方程.3. 抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 ．4. 过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有 （ ）(A) 0条 (B) 1条 (C) 2条 (D) 3条 【典型例题】例 1 过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点 ,通过点A 和抛物线顶点的交抛物线的准线于点D ,求证直线DB 平行于抛物线的对称轴.变式1: 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点C 在抛物线的准线上，且BC x ⎢⎢轴，证明：直线AC 经过原点O .例2 在抛物线24y x =上求一点，使它到直线Ｌ：4x-y-5=0的距离最短，并求此距离. 变式2：在抛物线22y x =上求一点P ，使P 到直线30x y -+=的距离最小，并求出距离的最小值.例3 已知抛物线2y x =-与直线()1y k x =+相交于,A B 两点. (1) 求证: OA OB ⊥;(2) 当AOB ∆,求k 的值.1. 直线y kx k =-与抛物线22(0)y px p =>的公共点的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1或2（D ）可能为02. 直线2y kx =-与抛物线28y x =交于,A B 两点,且AB 的中点的横坐标为2,则k 的值是（ ）（A ）-1（B ）2（C ）-1或2（D ）以上都不是3.抛物线y 2=12x 截直线21y x =+所得的弦长等于 （ ）（A （B ）（C (D) 15 4. 设1122(,),(,)A x y B x y 是抛物线22(0)y px p =>上的两点并且满足OA OB ⊥,则12y y = ( ).(A) 24p - （B ）24p(C) 22p - (D) 22p5. 抛物线22(0)y px p =>与直线40ax y +-=交于,A B 两点,其中点A 的坐标是(1,2),设抛物线的焦点为,FA +FB =F 则 ( ).(A)7 (B) (C)6 (D) 56. 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45︒的直线交抛物线于,A B 两点,若线段AB 的长为8,则p 的值为 .7. 直线y x b =+与抛物线22x y =交于,A B 两点O 为坐标原点,且OA OB ⊥,则b 的值是（ ）.(A) 2 (B) -2 (C) 1 (D) -18. 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作一条直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点,则1212y y x x 的值为（ ） (A) 4(B)-4 (C) 2p(D) 2p -9. 定长为4的线段AB 的两端点,A B 在抛物线24x y =上移动,则中点M 的纵坐标的最小值是（ ）(A)12(B)1 (C) 2(D) 410. 动直线y =a ，与抛物线x y 212=相交于A 点，动点B 的坐标是)3,0(a ，求线段AB 中点M 的轨迹的方程．1.若抛物线2y x =上存在关于直线():11l y k x -=-对称的两点，求实数的取值范围.选修2—1 2.4.2抛物线的简单几何性质（教案）（第二课时）【教学目标】: 能用坐标法解决一些与抛物线有关的简单几何问题;体会数形结合思想在解题中的应用,并能应用几何性质解决有关问题.【重点】 ：抛物线几何性质的掌握与应用；数形结合及转化思想在解题中的作用. 【难点】 ：转化思想的运用.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第70 页～第72页）1. 在直角坐标系中证明过两点的直线与坐标轴平行，可转化为证明这两点的横坐标（或纵坐标）相等. 2. 当一个点在抛物线22(0)y px p =>上时,点的坐标可设为00(x ,y ),也可用一个变量表示为2000(x ,2),)2y px y p或(;点到焦点的距离为0x 2p +.3. 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F (,0)2p的直线交抛物线于两点1122(,),(,)A x y B x y ，则有2p 412x x =，12y y =2-p .4. 斜率待定的直线与抛物线联立,消去()(y x x y 或，得到关于或）的方程. (1). 二次项系数等于0,所得直线与抛物线是有一个交点;(2). 二次项系数不等于0, 0∆=,所得直线与抛物线位置关系是相切;(3). 二次项系数不等于0, >0∆,所得直线与抛物线位置关系是相交有两个交点; (4). 二次项系数不等于0, <0∆,所得直线与抛物线位置关系是相离.5. 直线y k x b =+与抛物线22(0)y px p =>相交于B A 、两点,则AB=. 6. 在抛物线22(0)y px p =>的对称轴上有一点M （m,0),当m 满足m p ≤时,抛物线上的所有点中,顶点到M 的距离最小.【基础练习】1．过M （2,0)作斜率为1的直线l .交抛物线2y 4x =于A B 、两点，求AB .解: 由题意知l 的方程为2y x =-,与2y 4x =联立得: 2x 840x -+=,则12x +x 8=,12x x 4=.所以AB21x -=.2. 垂直于x 轴的直线交抛物线2y 4x =于A B 、两点，且AB =AB 的方程.解: 设直线AB 的方程为x=a(a>0). 将x=a 代入抛物线方程2y 4x =得: 2y 4a=. 即y=±.因为A B 2443y ==⨯=所以a =3.A 因此，直线的方程为3. 抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为2．4. 过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有 （ C ）(A) 0条 (B) 1条 (C) 2条 (D) 3条 【典型例题】例 1 过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点 ,通过点A 和抛物线顶点的交抛物线的准线于点D ,求证直线DB 平行于抛物线的对称轴.【审题要津】本题可借助于坐标法证明,即通过建立抛物线和直线的方程,证明D 的纵坐标和B 的纵坐标相等即可.证明: 以抛物线的对称轴为x 轴, 它的顶点为原点,建立直角坐标系.设抛物线方程为22(0)y px p =>,点200,),2y A y OA p的坐标为（则直线的方程002(0)py x y y =≠为,抛物线的准线方程是2p x =-. 所以D 的纵坐标为2p y y =- .因为点02202,0),22py p p F AF y x y p ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭的坐标是（所以直线的方程为 , 其中22y p ≠,所以可得B 的纵坐标为20p y y =-.所以DB 平行于x 轴.当220y p =时,结论显然成立.所以直线DB 平行于抛物线的对称轴. 【方法总结】在直角坐标系中证明过两点的直线与坐标轴平行，可转化为证明这两点的横坐标（或纵坐标）相等.变式1: 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点C 在抛物线的准线上，且BC x ⎢⎢轴，证明：直线AC 经过原点O .证明: 11222(),(,),(,),(,)22p py k x A x y B x y C y =--设直线方程为, 2(),22,p y k x y px ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩22211211220.,,OA OC y py py p y y p k k k x y =-=∴=-==即,又2112y px =,11,OC OA y k k k x ∴==即也是直线OA 的斜率.所以AC 经过原点O . 当.OC k k ⊥=OA 不存在时,AB x 轴,同理可得k例2 在抛物线24y x =上求一点，使它到直线Ｌ：4x-y-5=0的距离最短，并求此距离. 【审题要津】经分析可知直线与抛物线相离,因此平移直线至与抛物线相切时得切点,切点到直线4x-y-5=0的距离最短.解：设与直线4x-y-5=0平行的直线方程为4y x b =+,与抛物线24y x =联立得: 24x -240.(4)44()16160x b b b -=∆=--⨯⨯-=+=由,得b=-1,所以切线方程为41y x =-，再由2114410,,41122x x x y -+===⨯-=得 .所以切点为1(,1)2.【方法总结】若曲线和直线相离,在曲线上求一点到直线的距离最小问题,可找与已知直线平行的直线,使其与曲线相切,则切点为所要求的点.变式2：在抛物线22y x =上求一点P ，使P 到直线30x y -+=的距离最小，并求出距离的最小值.解: 设与直线30x y -+=平行的切线为0x y t -+=,与22y x =联立消去x ，得211220,0,1,22y y t t y x -+=∆====由得此时，所以点p 的坐标为1(,1)2,两平行线间的距离就是P例3 已知抛物线2y x =-与直线()1y k x =+相交于,A B 两点. (1) 求证: OA OB ⊥;(2) 当AOB ∆,求k 的值.【审题要津】(1)求证OA OB ⊥,可分别设出,A B 的坐标,然后运用整体代换的思想求证OA 和OB 所在直线的斜率之积为-1;(2) 可把AOB ∆的面积转化成两个小三角形的面积,用面积相等求出k 的值.解：(1) 如图 ,由方程组()2,1,y x y k x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩消去20x ky y k +-=并整理得 .设1122(,),(,)A x y B x y ,由韦达定理知:1212121211,1OA OB y y y y k k x x y y =-===- 所以OA OB ⊥.(2) 设直线与x 轴交于点N ，又显然k 0≠， 所以令y=0,则x=-1,即N(-1,0).1212111s 222OAB OAN OBN s s ON yON y ON y y ∆∆∆=+=+=-, OAB1s 12∆∴=⨯=1.6OAB s k ∆==± 【方法总结】本题体现了整体运算的思想以及转化思想的应用.1. 直线y kx k =-与抛物线22(0)y px p =>的公共点的个数是（ C ） （A ）1 （B ）2 （C ）1或2（D ）可能为2.直线2y kx =-与抛物线28y x =交于,A B 两点,且AB 的中点的横坐标为2,则k 的值是（ B ）（A ）-1 （B ）2 （C ）-1或2 （D ）以上都不是3.抛物线y 2=12x 截直线21y x =+所得的弦长等于 （ A ）（A（B）（C）2(D) 15 4. 设1122(,),(,)A x y B x y 是抛物线22(0)y px p =>上的两点并且满足OA OB ⊥,则12y y = ( A ).(A) 24p - （B ）24p (C) 22p - (D) 22p5. 抛物线22(0)y px p =>与直线40ax y +-=交于,A B 两点,其中点A 的坐标是(1,2),设抛物线的焦点为,FA +FB =F 则 ( A ).(A)7 (B) (C)6 (D) 56. 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45︒的直线交抛物线于,A B 两点,若线段AB 的长为8,则p 的值为2.7. 直线y x b =+与抛物线22x y =交于,A B 两点O 为坐标原点,且OA OB ⊥,则b 的值是（ A ）.(A) 2 (B) -2 (C) 1 (D) -18. 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作一条直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点,则1212y y x x 的值为（ B ） (A) 4(B)-4 (C) 2p(D) 2p -9. 定长为4的线段AB 的两端点,A B 在抛物线24x y =上移动,则中点M 的纵坐标的最小值是（ B ）(A)12(B)1 (C) 2(D) 410. 动直线y =a ，与抛物线x y 212=相交于A 点，动点B 的坐标是)3,0(a ，求线段AB 中点M 的轨迹的方程．解：设M 的坐标为（x ，y ），A （22a ，a ），又B )3,0(a 得⎩⎨⎧==ay a x 22消去a ，得轨迹方程为42y x =，即x y 42= .1.若抛物线2y x =上存在关于直线():11l y k x -=-对称的两点，求实数的取值范围.解: 设1122(,),(,)A x y B x y 关于直线():11l y k x -=-对称,由221122,,y x y x ==两式相减得: ()()1212121212121,,y y y y y y x x x x y y --+=-=∴-+即1211k y y -=+.设AB 的中点 为12000(,),22y y kM x y y +==-则,M AB M ∴点是的中点，点必在抛物线的内部. ()()220023211,,2222224,0,02220,0.:20.k y x kk k k k k k kk k k k k⎛⎫∴<-<- ⎪⎝⎭+-+-+∴∴<<+-+>∴<-<<即而解得。
选修2-1教案24-2抛物线的简单几何性质【1】
选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》 2.4.1抛物线及其标准方程第一课时：直线与抛物线的位置关系教学重点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法教学难点： 直线与抛物线的位置关系的判断方法的应用 （一）、新课讲授例1.已知抛物线的方程为24y x =动直线l 过定点P (-2,1)，斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =。
（1）只有一个公共点。
（2）有两个公共点；（3）没有公共点 练习：（1）过点（3,1）与抛物线24y x = 只有一个公共点的直线有 ____条 （2）过点（1,2）与抛物线24y x =只有一个公共点的直线有 ____条 （3）过点（0,2）与抛物线24y x = 只有一个公共点的直线 有____条 （4）已知直线k kx y -=及抛物线22(0)y px p =>，则（ ） A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点例2.在抛物线24y x =上是否存在一点，使它到直线l :3y x =+的距离最短，并求此距离. 例3. 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k ．解法一：设),(11y x A 、),(22y x B ，则由：⎩⎨⎧=-=xy kx y 822可得：04)84(22=++-x k x k ．∵直线与抛物线相交，0≠∴k 且0>∆，则1->k ． ∵AB 中点横坐标为：2842221=+=+∴kk x x ， 解得：2=k 或1-=k （舍去）． 故所求直线方程为：22-=x y ．解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22212188x y x y ==．两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即2121218y y x x y y +=--．421=+x x 444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ，448-=∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）．则所求直线方程为：22-=x y ．例4.（1）设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值．（2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P 点坐标．分析：（1）题可利用弦长公式求k ，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P 点坐标．解：（1）由⎩⎨⎧+==kx y x y 242得：0)44(422=+-+k x k x设直线与抛物线交于),(11y x A 与),(22y x B 两点．则有：4,122121k x x k x x =⋅-=+[][])21(5)1(54)(5))(21(22212212212k k k x x x x x x AB -=--=-+=-+=∴ 53)21(5,53=-∴=∴k AB ，即4-=k（2）9=∆S ，底边长为53，∴三角形高5565392=⨯=h ∵点P 在x 轴上，∴设P 点坐标是)0,(0x 则点P 到直线42-=x y 的距离就等于h ，即55612402220=+--x 10-=∴x 或50=x ，即所求P 点坐标是（－1，0）或（5，0）．例5. 过抛物线px y 2=的焦点F 作倾斜角为θ的直线，交抛物线于A 、B 两点，求AB 的最小值．分析：本题可分2πθ=和2πθ≠两种情况讨论．当2πθ≠时，先写出AB 的表达式，再求范围．解：(1)若2πθ=，此时p AB 2=．(2)若2πθ≠，因有两交点，所以0≠θ．)2(tan p x y AB -=θ：，即2tan p y x +=θ．代入抛物线方程，有0tan 222=--p y py θ． 故θθ22222212csc 44tan 4)(p p p y y =+=-， θθθ2222212212tan csc 4tan )()(p y y x x =-=-． 故θθθ422222csc 4)tan 11(csc 4p p AB =+=． 所以p p AB 2sin 22>=θ．因2πθ≠，所以这里不能取“=”． 综合(1)(2)，当2πθ=时，p AB 2=最小值．说明：(1)此题须对θ分2πθ=和2πθ≠两种情况进行讨论；(2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为θ2sin 2pl =； (3)当2πθ=时，AB 叫做抛物线的通径．通径是最短的焦点弦．练习题：1、已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，点R 是含抛物线顶点O 的弧AB 上一点，求△RAB 的最大面积．分析：求RAB 的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以AB 为三角形的底，只要确定高的最大值即可．解：设AB 所在的直线方程为2p x y -=． 将其代入抛物线方程px y 22=，消去x 得0222=--p py yp y y y y y y AB 44)(222122121=-+⋅=-=∴当过R 的直线l 平行于AB 且与抛物线相切时，△RAB 的面积有最大值． 设直线l 方程为b x y +=．代入抛物线方程得0222=+-pb py y由,0842=-=∆pb p 得2p b =，这时),2(p pR ．它到AB 的距离为p h 22= ∴△RAB 的最大面积为2221p h AB =⋅．2、如图，正方形ABCD 的边AB 在直线4+=x y l ：上，C 、D 两点在抛物线xy =2上，求正方形ABCD 的面积．分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力．解：∵直线4+=x y AB ：，CD AB //，∴设CD 的方程为b x y +=，且),(11y x C 、),(22y x D ．由方程组⎩⎨⎧+==bx y x y 2，消去x ，得02=+-b y y ，于是121=+y y ，b y y =21，∴21211y y kCD -+=(其中1=k ) ∴)41(24)(221221b y y y y CD -=-+⋅=．由已知，ABCD 为正方形，AD CD =， ∴CD 可视为平行直线AB 与CD 间的距离，则有24b CD -=，于是得24)41(2b b -=-．两边平方后，整理得，01282=++b b ，∴6-=b 或2-=b ． 当6-=b 时，正方形ABCD 的面积50)241(22=+==CD S ． 当2-=b 时，正方形ABCD 的面积18)81(22=+==CD S ．∴正方形ABCD 的面积为18或50．说明：运用方程（组）的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法，本题应充分考虑正方形这一条件．3、如图，抛物线顶点在原点，圆x y x 422=+的圆心是抛物线的焦点，直线l 过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l 交抛物线与圆依次为A 、B 、C 、D 四点，求CD AB +的值．分析：本题考查抛物线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力，本题的关键是把CD AB +转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题．解：由圆的方程x y x 422=+，即4)2(22=+-y x 可知，圆心为)0,2(F ，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为)0,2(F ，设抛物线方程为x y 82=，BC AD CD AB -=+∵BC 为已知圆的直径，∴4=BC ，则4-=+AD CD AB ．设),(11y x A 、),(22y x D ，∵FD AF AD +=，而A 、D 在抛物线上， 由已知可知，直线l 方程为)2(2-=x y ，于是，由方程组⎩⎨⎧-==).2(2,82x y y 消去y ，得0462=+-x x ，∴621=+x x ． ∴1046=+=AD ，因此，6410=-=+CD AB ．说明：本题如果分别求AB 与CD 则很麻烦，因此把CD AB +转化成4-=-AD BC AD 是关键所在，在求AD 时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而避免了一些繁杂的运算．。
数学人教B版选修2-1学案：课堂探究 2.4.2抛物线的几何
课堂探究探究一 由抛物线的性质求标准方程确定抛物线的标准方程时，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0)．【典型例题1】 求适合下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点(－3,2)；(2)对称轴为x 轴，顶点与焦点的距离为6； (3)抛物线上点(－5,25)到焦点F (x,0)的距离是6.思路分析：在求抛物线标准方程时，首先要确定标准方程的类型，即定型，也就是判断焦点的位置，然后根据条件求出p 值，即定量．解：(1)设所求的抛物线方程为y 2＝－2p 1x (p 1＞0)或x 2＝2p 2y (p 2＞0)，由过点(－3,2)，知4＝－2p 1·(－3)或9＝2p 2×2，得p 1＝23，p 2＝94，故所求的抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)或y 2＝－2px (p ＞0)． 依题意p2＝6，所以2p ＝24.所以抛物线方程为y 2＝±24x . (3)由已知(x ＋5)2＋(25)2＝6，整理得x 2＋10x ＋9＝0，即(x ＋1)(x ＋9)＝0， 所以x ＝－1或x ＝－9.所以F (－1,0)，p ＝2，y 2＝－4x ； 或F (－9,0)，p ＝18，y 2＝－36x .显然，若抛物线为y 2＝－36x ，则它的准线方程为x ＝9.由抛物线的定义，点A (－5,25)到F (－9,0)的距离是6，而点A (－5,25)到x ＝9的距离为14，矛盾．所以所求抛物线的标准方程为y 2＝－4x . 探究二 抛物线的实际应用涉及桥的高度、隧道的高低问题，通常用抛物线的标准方程解决，在建立坐标系时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴，这样使标准方程不仅具有对称性，而且形式更为简单，便于应用，但要注意点的坐标有正负之分，与实际问题中的数据并不完全相同．【典型例题2】 河上有一座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽为8 m ，一条小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面的部分高34 m ，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时，小船不能通航？思路分析：当小船上货物两侧与抛物线拱顶接触时，船不能通航．由于抛物线与小船均是轴对称图形，可设出公共对称轴建立抛物线方程，将已知数据转化为点的坐标求解．解：如图，建立直角坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝1.6. 所以x 2＝－3.2y .当船两侧和抛物线相接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )． 由22＝－3.2y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面部分为34 m ，所以h ＝|y A |＋34＝2(m)．答：水面上涨到距抛物线拱顶2 m 时，小船不能通航． 探究三 直线与抛物线相交问题直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的位置关系判断，通常是将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x (或y )的一元二次方程形式，根据其解的个数进行判断，直线和抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线的斜率为k .(1)一般的弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.(2)当直线经过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点时，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .【典型例题3】 设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)设l 的斜率为2，求|AB |的大小． (2)求证：OA →·OB →是一个定值．思路分析：设出直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，整理成一元二次方程形式，利用根与系数的关系求解．(1)解：依题意得F (1,0)，所以直线l 的方程为y ＝2(x －1)．设直线l 与抛物线的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝4x ，消去y 整理得x 2－3x＋1＝0，所以x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1.方法一：所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·32－4×1＝5. 方法二：所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋2＝5.(2)证明：设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，直线l 与抛物线的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，消去x 整理得y 2－4ky －4＝0，所以y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4. 因为OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3，所以OA →·OB →是一个定值．【典型例题4】 已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦，使它恰在点P 被平分，求这条弦所在的直线方程．思路分析：本题主要考查中点弦问题．可采用“点差法”或判别式法．解法一：设直线上任意一点的坐标为(x ，y )，弦的两个端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． 因为P 1，P 2在抛物线上，所以y 21＝6x 1，y 22＝6x 2.两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．①由题意知y 1＋y 2＝2，代入①得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝3.所以直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0. 解法二：由题意知弦所在的直线的斜率存在且不为零， 设所求方程为y －1＝k (x －4)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝kx －4k ＋1，得ky 2－6y －24k ＋6＝0.设弦的两端点P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k .因为P 1P 2的中点为(4,1)，所以6k ＝2.所以k ＝3.所以所求直线方程为y －1＝3(x －4)， 即3x －y －11＝0.点评：本题解法一是求与中点有关问题常用的“点差法”．设点、作差、找斜率是主要的解题技巧．解法二没有求出P 1，P 2的坐标，而是运用韦达定理及P 1P 2的中点坐标求出k 值，这也是解题中常用的方法．一般求出直线方程后，把直线方程与抛物线方程联立，组成方程组看方程组是否有两个解，有两解时求出的直线方程为所求的直线方程．探究四 易错辨析易错点 不理解抛物线的标准方程的形式【典型例题5】 设抛物线y ＝mx 2(m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．错解：由y ＝mx 2(m ≠0)可知其准线方程为y ＝－m4.由题意知－m4＝－2，解得m ＝8，故所求抛物线的标准方程为y ＝8x 2.错因分析：本题在解答过程中容易出现两个错误：一是不能正确理解抛物线标准方程的形式，错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程，得到准线方程为y ＝－m4；二是得到准线方程后，只分析其中的一种情况，而忽略了另一种情况，只得到了一个解．正解：y ＝mx 2(m ≠0)可化为x 2＝1m y ，其准线方程为y ＝－14m .由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116，故所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y .。
高中数学选修2-1精品教案1：2.4.2 抛物线的简单几何性质教学设计
2.4.2 抛物线的简单几何性质◆知识与技能目标使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．◆情感，态度与价值观目标（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。
◆能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力◆教学过程一.复习引入抛物线的定义及标准方程二.思考分析一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形的手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面．人们已经证明，抛物线有一条很重要的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯就是利用这个原理设计的．问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个焦点．问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？提示：不对．问题3：抛物线有渐近线吗？提示：没有．三.抽象概括1．抛物线的简单几何性质抛物线上一点与焦点F 的连线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P (x 0，y 0)，焦点弦端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则四种标准形式下的焦点弦和焦半径公式如下表： 2．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心．3．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线，这与椭圆、双曲线不同． 4．抛物线的离心率e ＝1(定值)．5．抛物线方程中的参数p 的几何意义是焦点到准线的距离．由方程y 2＝2px (p ≠0)知，对同一个x ，p 越大，|y |也越大，说明抛物线开口越大．6．抛物线与双曲线都是“开放型”曲线，但抛物线不能看成是双曲线的一支． 四.例题分析及练习[例1] 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[思路点拨] 解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．[精解详析] 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ，其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3. [感悟体会] 用待定系数法求抛物线方程的步骤：训练题组11．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12y D ．x 2＝±6y 解析：依题意知抛物线方程为x 2＝±2py (p >0)的形式， 又p2＝3，∴p ＝6,2p ＝12，故方程为x 2＝±12y . 答案：C2．平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________．解析：线段OA 的垂直平分线为4x ＋2y －5＝0，与x 轴的交点为(54，0)，∴抛物线的焦点为(54，0)，∴其标准方程是y 2＝5x .答案：y 2＝5x[例2] 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．[思路点拨] 先证明x 轴是它们的公共对称轴，再求三角形边长． [精解详析] 如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又OA ＝OB ，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22， 即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0.∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|，即线段AB 关于x 轴对称．由此得∠AOx ＝30°， 所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立，解得y 1＝23p .∴|AB |＝2y 1＝43p . [感悟体会] 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．解本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A ，B 两点关于x 轴对称．另外，抛物线方程中变量x ，y 的范围也是常用的几何性质． 训练题组23．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．4 2解析：双曲线的方程可化为x 23－y 2p216＝1，∴双曲线的左焦点为(－3＋p 216，0)． 又∵抛物线的准线为x ＝－p2，所以由题意得－3＋p 216＝－p2，解得p ＝4. 答案：C4．等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上．若该三角形的斜边长为4，求抛物线的方程．解：如图，设等腰直角三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上．根据抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称．由题意得A (2,2)在抛物线y 2＝2px 上，∴p ＝1，抛物线的方程为y 2＝2x .[例3] 已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程．[思路点拨] 由弦所在直线经过焦点(1,0)，且弦长为36，可知直线的斜率存在且不为0，只需求出直线的斜率即可．[精解详析] ∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零． 故可设弦所在直线的斜率为k ，且与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，∴直线的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0(k ≠0)．∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝2k 2＋4k 2＋2.又|AB |＝36，∴2k 2＋4k 2＋2＝36，∴k ＝±24.∴所求直线方程为y ＝24(x －1)或y ＝－24(x －1)． [感悟体会] 解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．训练题组35．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是( ) A.254B.252C.258D ．25 解析：抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l 的方程为y ＝43(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x －2，y 2＝8x ，得B 点的坐标为(12，－2)．∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2＋8＋2＋12＝252.∴AB 的中点到准线的距离为254.答案：A6．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，如图．直线的方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得 |AB |＝|AF |＋|FB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2.∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上所述，抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x . 五.课堂小结与归纳1．抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可求其他两个．2．涉及抛物线的焦点弦问题，可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离． 六.当堂训练1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x解析：显然由准线方程x ＝－2，可知抛物线焦点在x 轴正半轴上，同时得p ＝4，所以标准方程为y 2＝2px ＝8x . 答案：C2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．(14，±24)B ．(18，±24)C ．(14，24)D ．(18，24)解析：由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上．而F (14，0)，所以P 点的横坐标为18.代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为(18，±24)．答案：B3．线段AB 是抛物线的焦点弦，F 为抛物线焦点．若A ，B 在其准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( ) A ．45° B ．60°C ．90° D ．120°解析：法一：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，AB 的方程为x ＝my ＋p2.消去x 得y 2－2my －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－p 2.又A 1(－p 2，y 1)，B 1(－p 2，y 2)，F (p2，0)，∴1A F u u u r ＝(p ，－y 1)，1B F u u u r ＝(p ，－y 2)，则1A F u u u r ·1B F u u u r ＝p 2＋y 1y 2＝0，即∠A 1FB 1＝90°. 法二：如图所示，∵|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6.又∵AA 1∥BB 1∥x 轴， ∴∠1＝∠3，∠6＝∠4，∴∠2＝∠3，∠4＝∠5， ∴∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝2(∠3＋∠4)＝180°， ∴∠3＋∠4＝90°，即∠A 1FB 1＝90°. 答案：C4．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( ) A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即4，根据已知只要|FM |>4即可．根据抛物线定义，|FM |＝y 0＋2.由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)． 答案：C5．设点A 是抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，点M 是线段AB 的中点．若|AB |＝3，则M 到直线x ＝－1的距离为________．解析：由题意知点B 即为抛物线的焦点，直线x ＝－1即为抛物线的准线，如图．∵|AB |＝3，∴|AA ′|＝3.又|BB ′|＝2，MM ′即为梯形BB ′A ′A 的中位线， ∴|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝52.答案：526．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72. 答案：727．直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且一直角边的方程是y ＝2x ，斜边长是5，求此抛物线的方程．解：如图，设直角三角形为AOB ，直角顶点为O ，AO 边的方程为y ＝2x ，则OB 边的方程为y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，得A 点坐标为(p2，p )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，得B 点坐标为(8p ，－4p )．∵|AB |＝53，∴p ＋4p2＋p 2－8p 2＝5.∵p >0，解得p ＝21313，∴所求抛物线方程为y 2＝41313x .8．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为坐标原点．若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB 的方程． 解：由抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称．设A (x ，y )，则B (x ，－y )，焦点为F (p2，0)．由题意知AF ⊥OB ，则有y x －p 2·－y x ＝－1.∴y 2＝x (x －p 2)，2px ＝x (x －p 2)．∴x ≠0.∴x ＝5p 2.∴直线AB 的方程为x ＝5p2.。
2018学年高中数学选修2-1学案：2.4.2 抛物线的几何性
2.4.2抛物线的几何性质1．掌握抛物线的简单几何性质．(重点)2．会用抛物线的几何性质处理简单问题．(难点))3．直线与抛物线的公共点问题．(易错点[基础·初探]教材整理1抛物线的几何性质阅读教材P52表格的部分，完成下列问题.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线是中心对称图形．()(2)抛物线的范围是x∈R.()(3)抛物线是轴对称图形．()(4)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.()(5)抛物线x2＝2py(p＞0)上任意一点P(x0，y0)到其焦点的距离是x0＋p2.()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．抛物线y＝2px2(p>0)的开口方向是________．【解析】法一：y＝2px2(p>0)可以看作是二次函数，2p>0，开口方向向上．法二：抛物线y＝2px2(p>0)的标准方程是x2＝12p y，12p>0，开口方向向上．【答案】向上教材整理2抛物线的焦点弦、通径阅读教材P52例1上面的部分，完成下列问题．抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．弦长公式为AB＝x1＋x2＋p，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A0B0＝2p，称为抛物线的通径．1．过抛物线y2＝4x的焦点F做垂直于抛物线对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，则线段AB的长为________．【解析】易知线段AB为抛物线的通径，所以AB＝4.【答案】 42．如图2-4-2，过抛物线x2＝－4y的焦点作直线垂直于y轴，交抛物线于A，B两点，O为抛物线的顶点，则△OAB的面积是________．图2-4-2【解析】 F (0，－1)，将y ＝－1代入得x A ＝2，∴AB ＝4， ∴S △OAB ＝12×4×1＝2. 【答案】 2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)已知双曲线C 1：x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________．(2)已知抛物线的焦点F 在x 轴正半轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若△OAB 的面积等于4，则此抛物线的标准方程为________．【自主解答】 (1)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴ca ＝a 2＋b 2a ＝2，∴b ＝3a ，∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.(2)不妨设抛物线的方程为y2＝2px，如图所示，AB是抛物线的通径，∴AB＝2p，又OF＝12p，∴S△OAB＝12·AB·OF＝12·2p·12p＝12p2＝4，故p＝2 2.所以抛物线的方程为y2＝42x.【答案】(1)x2＝16y(2)y2＝42x利用抛物线几何性质可以解决的问题1．对称性：解决抛物线的内接三角形问题．2．焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．3．范围：解决与抛物线有关的最值问题．4．焦点：解决焦点弦问题．[再练一题]1．(2016·全国卷Ⅱ改编)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝kx(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝__________________________________________.【解析】∵y2＝4x，∴F(1,0)．又∵曲线y＝kx(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝kx(k＞0)得k＝2.【答案】 2.【导学号：09390044】【精彩点拨】 本题的解法有两种：法一，设P (t ，－t 2)为抛物线上一点，点P 到直线的距离为d ＝|4t －3t 2－8|5，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x ＋3y ＋m ＝0与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线相切，求出m 的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离．【自主解答】 法一：设P (t ，－t 2)为抛物线上的点， 它到直线4x ＋3y －8＝0的距离 d ＝|4t －3t 2－8|5＝|3t 2－4t ＋8|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝⎛⎭⎪⎫t －232－43＋8 ＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋203 ＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43.∴当t ＝23时，d 有最小值43.法二：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎨⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0， ∴Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43. ∴最小距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43.抛物线中最值的求解策略1．可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围．2．当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题一定要考虑抛物线的定义，注意点P到F的距离与点P到准线距离的转化．[再练一题]2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．【解析】因为抛物线的方程为y2＝4x，所以焦点坐标F(1,0)，准线方程为x＝－1，所以设P到准线的距离为PB，则PB＝PF，P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离为P A，所以P A＋PB＝P A＋PF≥FD，其中FD为焦点到直线4x－3y＋6＝0的距离，所以FD＝|4－0＋6|32＋42＝105＝2，所以距离之和最小值是2.【答案】 2[探究共研型]探究1【提示】(1)抛物线的几何性质和双曲线几何性质比较起来，差别较大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它没有对称中心．(2)抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的有开口的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的．事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越阔，而抛物线开口越来越趋于扁平．探究2 如何认识抛物线的焦点弦？【提示】 如图，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，相应的准线为l.(1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切； (2)AB ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2(焦点弦长与中点关系)；(3)AB ＝x 1＋x 2＋p ；(4)若直线AB 的倾斜角为α，则AB ＝2psin 2 α；如当α＝90°时，AB 叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；(5)A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 24，y 1·y 2＝－p 2；(6)1AF ＋1BF ＝2p .探究3 设抛物线上任意一点P (x 0，y 0)，焦点弦端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则四种标准形式下的焦半径PF 、焦点弦AB ，如何表示．【提示】且AB ＝52p ，求AB 所在的直线方程．【精彩点拨】 求AB 所在直线的方程的关键是确定直线的斜率k ，利用直线AB 过焦点F ，AB ＝x 1＋x 2＋p ＝52p 求解．【自主解答】 由题意可知，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 到抛物线准线的距离分别为d A ，d B . 由抛物线的定义，知AF ＝d A ＝x 1＋p 2，BF ＝d B ＝x 2＋p2， 于是AB ＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，∴x 1＋x 2＝32p . 当x 1＝x 2＝p 2时，AB ＝2p <52p ， 故直线AB 与x 轴不垂直． 设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，∴x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，即p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2. 故直线AB 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.[再练一题]3．斜率为1的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】 由题意知抛物线焦点为F (1,0)，k AB ＝1，所以AB 的方程为y ＝x －1，代入y 2＝4x 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，Δ＝32＞0，∴设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，AB ＝AF ＋FB ＝x 1＋x 2＋2＝8，∴线段AB 的长为8.探究1的交点个数能否用判别式来判断？【提示】 三种位置关系，相交——两个或一个交点；相切——一个交点；相离——没有公共点．当判断交点个数时，要注意二次项系数不为零时，才可使用判别式进行判断．探究2 设直线l ：y ＝kx ＋b ，抛物线y 2＝2px (p >0)，如何判断直线与抛物线的交点个数？【提示】 直线与抛物线交点的个数等价于方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 的解的个数，也等价于方程ky 2－2py ＋2bp ＝0的解的个数．(1)若k ≠0，当Δ>0时，直线和抛物线相交，有两个公共点； 当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一个公共点； 当Δ<0时，直线和抛物线相离，无公共点．(2)若k ＝0，则直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)相交，有一个公共点．特别地，当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x ＝m ，则当m >0时，l 与抛物线相交，有两个公共点；当m ＝0时，l 与抛物线相切，有一个公共点；当m <0时，l 与抛物线相离，无公共点．(3)直线与抛物线只有一个公共点并不一定表示直线与抛物线相切，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．求过定点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． 【精彩点拨】 当直线和抛物线只有一个公共点时，应该有两种情况：一是直线和抛物线相切；二是直线与抛物线的对称轴平行，容易忽略的是第二种情况，还有第一种情况中应考虑斜率不存在的情形．【自主解答】 若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0. 由⎩⎨⎧ x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0，∴直线x ＝0与抛物线只有一个公共点；若直线的斜率存在，则由题意，设直线的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.当k ＝0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，有Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，∴k ＝12， 即方程为y ＝12x ＋1的直线与抛物线只有一个公共点． 综上所述，所求直线的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1. [再练一题]4．设直线y ＝2x ＋b 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为35，则b ＝________. 【导学号：09390045】【解析】 由⎩⎨⎧y ＝2x ＋b ，y 2＝4x ，消去y ，得4x 2＋4(b －1)x ＋b 2＝0.由Δ>0，得－2b ＋1>0，即b <12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1－2b ，∴|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝5·1－2b ＝35，∴1－2b ＝9，即b ＝－4. 【答案】 －4[构建·体系]1．经过抛物线y 2＝2px (p >0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为________． 【解析】 通径长为2p . 【答案】 2p2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与抛物线相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝8，则PQ 的值为________. 【导学号：09390046】【解析】 PQ ＝x 1＋x 2＋2＝10. 【答案】 103．直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A ，则实数b 的值为________． 【解析】 由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0，因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1. 【答案】 －14．已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线焦点F 且斜率为12的直线l 被抛物线截得的线段长为________．【解析】 由题意得l 的方程为y ＝12x ＋1，即x ＝2(y －1)．代入抛物线方程，得y ＝(y －1)2，即y 2－3y ＋1＝0.设线段端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段长度为y 1＋y 2＋p ＝5.【答案】 55．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，动点P 在曲线y 2＝－4x (y ≥0)上，求△P AB 的面积的最小值．【解】 由题意，得p ＝2，直线AB 过抛物线的焦点(1,0)，所以直线AB 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，可得x 2－6x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，则AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋(x 1－x 2)2＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝262－4＝8.设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 204，y 0，则点P 到直线AB 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 204＋y 0＋12，∴△P AB 的面积S ＝12AB ·d ＝|y 20＋4y 0＋4|2＝(y 0＋2)22≥22，即△P AB 的面积的最小值是2 2.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．抛物线焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5，则该抛物线的方程是________．【解析】 设抛物线的标准方程为y 2＝2ax (a ≠0)，设A (m ，－3)． 由抛物线定义得5＝AF ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋a 2，又(－3)2＝2am ， ∴a ＝±1或a ＝±9，故所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x . 【答案】 y 2＝±2x 或y 2＝±18x2．抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB ＝43，则焦点到弦AB 的距离为________．【解析】 由题意我们不妨设A (x,23)，则(23)2＝4x ，∴x ＝3，∴直线AB 的方程为x ＝3，抛物线的焦点为(1,0)，∴焦点到弦AB 的距离为2.【答案】 23．在抛物线y 2＝16x 内，过点(2,1)且被此点平分的弦AB 所在直线的方程是________. 【导学号：09390047】【解析】 显然斜率不存在时的直线不符合题意．设直线斜率为k ，则直线方程为y －1＝k (x －2)①，由⎩⎨⎧y －1＝k (x －2)，y 2＝16x ，消去x 得ky 2－16y ＋16(1－2k )＝0，∴y 1＋y 2＝16k ＝2(y 1，y 2分别是A ，B 的纵坐标)，∴k ＝8，代入①得y ＝8x －15.【答案】 y ＝8x －154．已知过抛物线Γ：x ＝－y 22的焦点F 的直线交抛物线Γ于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝－7，则AB 的值为________．【解析】 因为x ＝－y 22，所以y 2＝－2x ，所以抛物线Γ的准线方程为x ＝12，根据抛物线的定义知AF ＝12－x 1，BF ＝12－x 2，所以AB ＝AF ＋BF ＝1－(x 1＋x 2)＝1－(－7)＝8.【答案】 85．直线y ＝k (x ＋1)与抛物线y 2＝8x 有两个交点，则实数k 的取值范围是________．【解析】 联立直线与抛物线方程，得⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋1)，所以ky 2－8y ＋8k ＝0.由题意得⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝(－8)2－4×k ×8k ＞0，解得－2＜k ＜2，且k ≠0. 所以实数k 的取值范围是(－2，0)∪(0，2)． 【答案】 (－2，0)∪(0，2)6．已知抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，P 是E 的准线l 上一点，Q 是直线PF 与E 的一个交点．若PQ →＝2QF →，则直线PF 的方程为________. 【导学号：09390048】【解析】 抛物线E ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，设Q 到l 的距离为d ，则QF ＝d .∵PQ →＝2QF →，∴|PQ →|＝2|QF →|＝2d ，∴直线的倾斜角为45°或135°，∴直线的斜率为±1，∴直线的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.【答案】x＋y－1＝0或x－y－1＝07．如图2-4-3是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽_____________ m.图2-4-3【解析】建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意A(2，－2)，代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝6，故水面宽为2 6 m.【答案】2 68．设点A的坐标为(a,0)(a∈R)，则曲线y2＝2x上的点到A点的距离的最小值为________. 【导学号：09390049】【解析】设抛物线上的点到A点的距离为d，抛物线上任一点的坐标为(x，y)，则d2＝(x－a)2＋y2＝x2－(2a－2)x＋a2＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)．因为x∈[0，＋∞)，所以当a－1≥0，即a≥1时，d2min＝2a－1，d min＝2a－1；当a－1<0，即a<1时，当x＝0时，d2min＝a2，d min＝|a|.【答案】2a－1(a≥1)或|a|(a<1)二、解答题9．已知抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．【解】 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1k x ， 由⎩⎨⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0(舍)或x ＝2p k 2， ∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ，B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由|OA |＝1，|OB |＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2(k 2＋1)＝64， ②解方程组得k 6＝64，即k 2＝4.则p 2＝16k 2(k 2＋1)＝45，又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .10．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC→＝OA →＋λOB →，求λ的值． 【解】 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x .(2)由于p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可化简为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)；设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[能力提升]1．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积为________．【解析】 由条件，不妨设l OA 为y ＝x ，解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得x ＝2p ，所以A (2p,2p )．故S △AOB ＝12·2·(2p )·(2p )＝4p 2.【答案】 4p 22．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一条直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为m ，n ，则1m ＋1n ＝________.【解析】 由焦点弦性质，知1PF ＋1FQ ＝2p ，抛物线的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，∴2p ＝1a ，p ＝12a ，∴1PF ＋1FQ ＝4a ，即1m ＋1n＝4a . 【答案】 4a3．已知抛物线y ＝18x 2与双曲线y 2a 2－x 2＝1(a ＞0)有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x 轴上方且在双曲线，则OP →·FP→的最小值为________．【解析】 抛物线y ＝18x 2的焦点F 为(0,2)，则双曲线y 2a 2－x 2＝1中，c ＝2，则a 2＝3.即双曲线方程为y 23－x 2＝1，设P (m ，n )()n ≥3，则n 2－3m 2＝3， 则OP →·FP →＝(m ，n )·(m ，n －2)＝m 2＋n 2－2n ＝n 23－1＋n 2－2n ＝4n 23－2n －1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫n －342－74，所以当n ＝3时，OP →·FP →的最小值为3－2 3. 【答案】 3－2 34．如图2-4-4，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .图2-4-4【证明】 法一：设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，得y 2－2py k －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2，k OA ＝y 1x 1，k OC ＝y 2－p 2＝2p y 1.又∵y 21＝2px 1，∴k OC ＝y 1x 1＝k OA ，∴AC 经过原点O .当k 不存在时，AB ⊥x 轴，同理可得k OA ＝k OC ，所以AC 经过原点O . 法二：因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由于直线AB 斜率不确定，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2.因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p 2上，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，故直线CO 的斜率为k ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1，即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O .法三：如图，过A 作AD ⊥l ，D 为垂足，则AD ∥EF ∥BC ，设AC 与EF 相交于点N ，则EN AD ＝CN AC ＝BFAB ，NF BC＝AFAB.由抛物线的定义可知AF＝AD，BF＝BC，∴EN＝AD·BFAB＝AF·BCAB＝NF.即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O.。
2017-2018学年高中数学选修2-1学案：2-4-2 抛物线的简
2．4.2抛物线的简单几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一抛物线的范围思考观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？梳理抛物线y2＝2px(p>0)中，x∈________，y∈________.抛物线y2＝－2px(p>0)中，x∈________，y∈________.抛物线x2＝2py(p>0)中，x∈________，y∈________.抛物线x2＝－2py(p>0)中，x∈________，y∈________.知识点二四种形式的抛物线的几何性质知识点三 直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有________个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有________个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴________________，此时直线与抛物线有________个公共点．类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程 引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4”，求此抛物线的标准方程．例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程．类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题例2 (1)过抛物线y 2＝8x 的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________． (2) 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________________．(3)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________________．反思与感悟 (1)抛物线上任一点P (x 0，y 0)与焦点F 的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为： ①抛物线y 2＝2px (p >0)，|PF |＝|x 0＋p 2|＝p2＋x 0；②抛物线y 2＝－2px (p >0)，|PF |＝|x 0－p 2|＝p2－x 0；③抛物线x 2＝2py (p >0)，|PF |＝|y 0＋p 2|＝p 2＋y 0；④抛物线x 2＝－2py (p >0)，|PF |＝|y 0－p 2|＝p2－y 0.(2)已知AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：①y 1·y 2＝－p 2，x 1·x 2＝p 24；②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为直线AB 的倾斜角)；③S △ABO ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)；④1|AF |＋1|BF |＝2p； ⑤以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p .跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．类型三 抛物线综合问题命题角度1 与抛物线有关的最值问题例3 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，求|PF ||P A |的最小值．反思与感悟 (1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点．(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决． 跟踪训练3 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.115 D.3716命题角度2 定值或定点问题例4 抛物线y 2＝2px (p >0)上有两动点A ，B 及一个定点M ，F 为抛物线的焦点，若|AF |，|MF |，|BF |成等差数列．(1)求证：线段AB 的垂直平分线过定点Q .(2)若|MF |＝4，|OQ |＝6(O 为坐标原点)，求抛物线的方程．反思与感悟 在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等．跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点，OA →·OB →＝－4，求证：直线l 必过一定点．1．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43 B ．－1 C ．－34 D ．－122．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B ．3 C. 5 D.923．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则|AB |＝________.4．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.5．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________.1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．答案精析问题导学 知识点一思考 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．(2)由抛物线y 2＝2px (p >0)有⎩⎪⎨⎪⎧2px ＝y 2≥0，p >0，所以x ≥0.所以抛物线x 的范围为x ≥0.抛物线在y轴的右侧，当x 的值增大时，︱y ︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 梳理 [0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0] (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) [0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0] 知识点三两 一 没有 平行或重合 1 题型探究例1 解 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即p2＝3, ∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3或x ＝3. 引申探究解 由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)， 焦点F (m 2，0)，直线l ：x ＝m2，所以A ，B 两点坐标为(m 2，m )，(m2，－m )，所以|AB |＝2|m |.因为△OAB 的面积为4，所以12·|m 2|·2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x .跟踪训练1 解 由已知，抛物线的焦点可能在x 轴正半轴上，也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．设抛物线与圆x 2＋y 2＝4的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)与圆x 2＋y 2＝4都关于x 轴对称， ∴点A 与B 关于x 轴对称， ∴|y 1|＝|y 2|且|y 1|＋|y 2|＝23， ∴|y 1|＝|y 2|＝3，代入圆x 2＋y 2＝4， 得x 2＋3＝4，∴x ＝±1， ∴A (±1，3)或A (±1，－3)， 代入抛物线方程， 得(3)2＝±a ，∴a ＝±3.∴所求抛物线方程是y 2＝3x 或y 2＝－3x . 例2 (1)16(2)x ＋y －1＝0或x －y －1＝0 (3)72解析 (1)由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x 得(x －2)2＝8x 即x 2－12x ＋4＝0.所以x 1＋x 2＝12，弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16. (2)∵抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)， 若l 与x 轴垂直，则|AB |＝4，不符合题意， ∴可设所求直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又AB 过焦点，由抛物线的定义可知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，∴2k 2＋4k 2＝6，解得k ＝±1.∴所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.(3)抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，又准线方程为x ＝－1，因此点M 到抛物线准线的距离为 52＋1＝72.跟踪训练2 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32， 消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF | ＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6.于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.例3 解 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1， 如图，过点P 作PN 垂直x ＝－1于点N ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PN |， 连接P A ，在Rt △P AN 中， sin ∠P AN ＝|PN ||P A |，当|PN ||P A |＝|PF ||P A |最小时， sin ∠P AN 最小，即∠P AN 最小，即∠P AF 最大， 此时，P A 为抛物线的切线， 设P A 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0， 解得k ＝±1，所以∠P AF ＝∠NP A ＝45°， |PF ||P A |＝|PN ||P A |＝cos ∠NP A ＝22. 跟踪训练3 A例4 (1)证明 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 则|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，|MF |＝x 0＋p2，x 0为已知值．由题意得x 0＝x 1＋x 22，∴线段AB 的中点坐标可设为(x 0，t )，其中t ＝y 1＋y 22≠0(否则|AF |＝|MF |＝|BF |⇒p ＝0)．而k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212p (y 21－y 22)＝2p y 1＋y 2＝pt， 故线段AB 的垂直平分线的方程为y －t ＝－tp(x －x 0)，即t (x －x 0－p )＋yp ＝0，可知线段AB 的垂直平分线过定点Q (x 0＋p,0)．(2)解 由(1)知|MF |＝4，|OQ |＝6，得x 0＋p2＝4，x 0＋p ＝6，联立解得p ＝4，x 0＝2.∴抛物线方程为y 2＝8x .跟踪训练4 证明 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x 得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b . 又∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ， 又∵OA →·OB →＝－4，∴b 2－4b ＝－4， 解得b ＝2，故直线过定点(2,0)． 当堂训练1．C 2.A 3.8 4.2 5.8。
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2.4.2抛物线的几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一抛物线的范围思考观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？梳理抛物线y2＝2px(p>0)中，x∈__________，y∈__________.抛物线y2＝－2px(p>0)中，x∈__________，y∈__________.抛物线x2＝2py(p>0)中，x∈__________，y∈__________.抛物线x2＝－2py(p>0)中，x∈__________，y∈__________.知识点二四种形式的抛物线的几何性质x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R知识点三 直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点．类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4”，求此抛物线的标准方程．反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程．类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题例2 (1)过抛物线y 2＝8x 的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________． (2) 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________________．(3)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________________．反思与感悟 (1)抛物线上任一点P (x 0，y 0)与焦点F 的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为： ①抛物线y 2＝2px (p >0)，|PF |＝|x 0＋p 2|＝p2＋x 0；②抛物线y 2＝－2px (p >0)，|PF |＝|x 0－p 2|＝p2－x 0；③抛物线x 2＝2py (p >0)，|PF |＝|y 0＋p 2|＝p 2＋y 0；④抛物线x 2＝－2py (p >0)，|PF |＝|y 0－p 2|＝p2－y 0.(2)已知AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：①y 1·y 2＝－p 2，x 1·x 2＝p 24；②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2(θ为直线AB 的倾斜角)；③S △ABO ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)；④1|AF |＋1|BF |＝2p； ⑤以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p .跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．类型三 抛物线综合问题命题角度1 与抛物线有关的最值问题例3 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1，0)，求|PF ||P A |的最小值．反思与感悟 (1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点．(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决． 跟踪训练3 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2B ．3C.115D.3716命题角度2 定值或定点问题例4 抛物线y 2＝2px (p >0)上有两动点A ，B 及一个定点M ，F 为抛物线的焦点，若|AF |，|MF |，|BF |成等差数列．(1)求证：线段AB 的垂直平分线过定点Q ；(2)若|MF |＝4，|OQ |＝6(O 为坐标原点)，求抛物线的方程．反思与感悟 在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等．跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点，OA →·OB →＝－4，求证：直线l 必过一定点．1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－122．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172B ．3C.5D.923．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝________.4．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.5．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且|AK|＝2|AF|，则△AFK的面积为________.1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．提醒：完成作业第二章 2.4.2答案精析问题导学 知识点一思考 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．(2)由抛物线y 2＝2px (p >0)有⎩⎪⎨⎪⎧2px ＝y 2≥0，p >0，所以x ≥0.所以抛物线x 的范围为x ≥0.抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，︱y ︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 梳理 [0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0] (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) [0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0] 知识点三两 一 没有 平行或重合 一 题型探究例1 解 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即p2＝3，∴p ＝6. ∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3或x ＝3. 引申探究解 由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点F (m 2，0)，直线l ：x ＝m2，所以A ，B 两点坐标为(m 2，m )，(m2，－m )，所以|AB |＝2|m |.因为△OAB 的面积为4， 所以12·|m2|·2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x .跟踪训练1 解 由已知，抛物线的焦点可能在x 轴正半轴上，也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．设抛物线与圆x 2＋y 2＝4的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)与圆x 2＋y 2＝4都关于x 轴对称， ∴点A 与B 关于x 轴对称， ∴|y 1|＝|y 2|且|y 1|＋|y 2|＝23， ∴|y 1|＝|y 2|＝3，代入圆x 2＋y 2＝4， 得x 2＋3＝4，∴x ＝±1，∴A (±1，3)或A (±1，－3)，代入抛物线方程，得(3)2＝±a ，∴a ＝±3. ∴所求抛物线方程是y 2＝3x 或y 2＝－3x . 例2 (1)16 (2)x ＋y －1＝0或x －y －1＝0 (3)72跟踪训练2 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan60°＝ 3. 又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6.于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.例3 解 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图，过点P 作PN 垂直x ＝－1于点N ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PN |， 连接P A ， 在Rt △P AN 中，sin ∠P AN ＝|PN ||P A |，当|PN ||P A |＝|PF ||P A |最小时，sin ∠P AN 最小，即∠P AN 最小，即∠P AF 最大，此时，P A 为抛物线的切线， 设P A 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0， 解得k ＝±1，所以∠P AF ＝∠NP A ＝45°， |PF ||P A |＝|PN ||P A |＝cos ∠NP A ＝22. 跟踪训练3 A例4 (1)证明 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 则|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，|MF |＝x 0＋p2，x 0为已知值．由题意得x 0＝x 1＋x 22，∴线段AB 的中点坐标可设为(x 0，t )，其中t ＝y 1＋y 22≠0(否则|AF |＝|MF |＝|BF |⇒p ＝0)．而k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212p (y 21－y 22)＝2p y 1＋y 2＝pt， 故线段AB 的垂直平分线的方程为y －t ＝－tp(x －x 0)，即t (x －x 0－p )＋yp ＝0，可知线段AB 的垂直平分线过定点Q (x 0＋p ，0)．(2)解 由|MF |＝4，|OQ |＝6，得x 0＋p2＝4，x 0＋p ＝6，联立解得p ＝4，x 0＝2.∴抛物线方程为y 2＝8x .跟踪训练4 证明 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x 得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b . 又∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ， 又∵OA →·OB →＝－4，∴b 2－4b ＝－4， 解得b ＝2，故直线过定点(2，0)． 当堂训练1．C 2.A 3.8 4.2 5.8。