二 风险与决策的基本概念

品”．
可能状态有:h1“产品为正品”,h2“产品为次
品”．
一般地，我们把各个状态出现的概率称 为状态分布列，并用表格表示． 1.1例题2的分布列表示为:
h
P ( h)
h1 0.01
h2 0.03
小练习
今天下雨的概率是70%．写它的状态分布列． 可能状态h1“下雨”，h2“不下雨” 状态分布列为：
状态h1下的损失值．
风险性决策的一般过程：
1写出状态分布列；
3．确定损益函数或损益矩阵；
4．计算各行动方案所对应的损益函数的均值； 5．根据决策目标，按照风险最小准则或平均收 益最大准则选择最优方案．
回顾旧知
什么叫分布列？
设X是一个离散随机变量，如果X的所 有取值是 率
x1, x2 ,
, xi ,
,n 则称 x , X取x的概
pi p( xi ) p( X xi )
=1,2,3,…,为X的概率分布列简称分 i
布列．
分布列常用列表表示： X P x1 P(x1) x2 P(x2)
…
…
预备知识
由 个 m n
a 数构成的一个用括号起来的 m行， ij
n列的矩形数表
a11 a m1
a1n amn
称为一个
m n 矩阵．
例如，
1 3 5 2 8 6 8 2 1
9 9 2 6 4 7 8 8 4 6 1 0 1 9 1
最后可得损失函数 l (d , h) 的全部取值：
l(d1 ,h1 ) = 0,l(d1 ,h2 ) = 2; l(d 2 ,h1 ) = 4,l(d 2 ,h2 ) = 0;
根据假设的损失值不同可以得到不同 的损失函数．
案例2
某公司需要决策明年的生产情况，计
划部门进行市场调研后得到下面的收益数据
1.2 风险与决策的基本概念
教学目标
知识与能力
理解风险，平均收益，损益矩阵等基本概 念，能写出具体案例的行动方案和可能发生的 状态会求损益函数，能对一般案例给出最优决 策．
过程与方法
通过具体的实例，让学生合作探讨，老
师分析案例，建立数学模型，从而对案例做
出决策分析．
情感态度与价值观
通过风险，损益函数，损益矩阵概念的 学习，和对具体决策案例的分析，使学生能 够独立地对风险决策案例做出客观的决策．
h
P(h)
h1
0.7
h2
0.3
状态分布列中各概率之和为1．
定义
一般地，我们用R(d)表示行动方案d 所对应损失函数的均值，并且称R(d)为行 动方案d的风险（平均损失）． 为了表示收益大小，我们可以定义 一函数，表示不同行动方案d在不同状态
h下的收益大小，这个函数称为收益函数,
用 q(d,h)表示．
表（单位：元）:
市场对产品的需求增加 （概率为0.6） 保持现状的收益 增加员工的收益 增加新设备的收益 340000 420000 440000 市场对产品的需求下降 （概率为0.4） 300000 270000 260000
1 写出可选择的行动方案和所有可能
发生的状态．
2 构造一个损失函数．
3 计算每个行动方案的风险，并给出 最优决策．
这个问题的决策目标是使公司明年获得最 大收益．用d1,d2 和d3表示可供选择的方案： d1:保持现状,d2 :增加员工，d3:增加新设备． 用h1,h2表示可能发生的状态： h1:市场对产品需求增加，h2:市场对产品需 求下降．
h的分布列:
h
P ( h)
h1
0.6
h2
0.4
损失函数可以定义为：
教学重难点
重点
风险，损益函数，损益矩阵的概念．
难点
损益函数，损益矩阵的求解，具体案例的 综合决策．
定义
一般地，对于给定的行动方案d和状态
h，用 l (d , h 表示行动方案 d在状态h下的 )
损失大小，并称
为损失函数． l (d , h)
对于1.1 例题1, 行动方案有:d1“带雨具”，d2“不带雨具”． 可能状态有:h1“下雨”,h2“不下雨”． 对于1.1例题2， 行动方案有:d1“买A箱产品”，d2“买B箱产
如何通过收益函数写出损失函数？
收益函数为
q(d1,h1 ) 9,q(d1,h 2 ) 2; q(d 2,h1 ) 5,q(d 2,h 2 ) 4.
行动方案d1,d2造成的损失与他们在同 一状态下的收入差异有关，假设行动d1在 方案h1下无损失，则d2在h1下损失为9-5=4； 假设行动d2在方案h2下损失，则d1在h2下的 损失为4-2=2．
由于 R(d1 ) R(d2 ) R ,故方案 d3的风 (d3 ) 险最小，所以应该选择行动方d3，即 “增加新设备” ．
表示损失函数的矩阵称为损失矩阵， 表示收益函数的矩阵称为收益矩阵， 两者统称为损益矩阵． 例如
50 0 L 中50表示行动方案d1在 60 100
l(d1 ,h1 ) 100000, l(d1 ,h 2 ) 0; l(d2 ,h1 ) 20000, l(d 2 ,h 2 ) 30000; l(d3 ,h1 ) 0, l(d 3 ,h 2 ) 40000.
因此，行动方案d1,d2,d3的风险分别为
R(d1 ) = l(d1 , h1 )P(h1 ) + l(d1 , h 2 )P(h 2 ) = 100000 0.6 + 0 0.4 = 60000 R(d 2 ) = l(d 2 , h1 )P(h1 ) + l(d 2 , h 2 )P(h 2 ) = 20000 0.6 + 30000 0.4 = 24000 R(d 3 ) = l(d 3 , h1 )P(h1 ) + l(d 3 , h 2 )P(h 2 ) = 0 0.6 + 40000 0.4 = 16000
cij ai1bij ai 2b2 j aimbnj ,1 i m,1 j k ,
例如， 则
8 5 1 2 3 A ,B 1 0, 2 3 0 2 3
1 8 2 1 2 3 1 5 2 0 3 3 4 14 AB 2 8 3 1 2 0 2 5 3 0 0 3 19 10
3 4
4 5 7 7 7
如果矩阵
a11 A a m1
a1n b11 , B b amn n1
b1k , bnk
则定义矩阵A和B之积为一个 m k 矩阵，其 中第i行第j列的元为