推荐2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(222)(无答案)

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题

（222）（无答案）

第一试

一、填空题

1.用{}x 表示实数x

的小数部分，已知20177)a =，则{}a a = 。

2.一个盒中有12件正品和3件次品，每次不放回地取出一件产品，在取得正品前已取出的次品数ξ的数学期望E ξ= 。

3.函数sin 22(sin cos )y x x x =-+的最大值为 。

4.若数字(1,2,,9)i a i =…满足985a a a <<<…且541a a a >>>…，则九位正整数981a a a …为一个“九位峰数”，例如134698752，那么，所有的九位峰数的个数为 。

5.已知方程20171x =的2017个根为1，201612201611,,,1k k

x x x x =+∑…，则= 。 6.

已知()f x =b ，使得()f x 的定义域和值域相同，则满足条件的实数a 的值为 。

7.已知抛物线24y x =，其焦点为F ，一条过焦点F 、倾斜角为02πθθ⎛⎫<<

⎪⎝⎭的直线与抛物线交于A 、B 两点，AO （O 为坐标原点）与准线交于点'B ，BO 与准线交于点'A ，则四边形''ABB A

的面积为 。

8.对一个边长互不相等的凸2017边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝、紫四种颜色中的一种，但不允许相邻的边同色，则共有 种不同的染色方法。

二、解答题

9.已知数列{}n a

的通项公式为11()22n n an n Z +⎛⎫⎛⎛⎪=-∈ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭

。记1212n n n n n Sn C a C a C a =+++…，求所有的正整数n ，使得7n S

10.已知集合{}1,2,,13S =…，集合12,,,K A A A …为S 的子集，满足：

（1）6(1,2,,)i A i k ==… （2）2(1)i j A A i j k ≤≤<≤

11.如图1，已知直线1:2(0)l y x m m =+<与抛物线21:(0)C y ax a =>和圆222:(1)5C x y ++=均相切，F 为抛物线C 1的焦点

（1）设A 为抛物线C 1上的一动点，以A 为切点作抛物线C 1的切线，与y 轴交于点B ，以FA 、FB 为邻边作FAMB ，证明：点M 在一条定直线上；

（2）在（1）条件下，记点M 所在的定直线为2l ，直线2l 与y 轴交于点N ，MF 与抛物线C 1交

于P 、Q 两点,求NPQ ∆的面积S 的取值范围。

加试

一、定义数列{}n a ：21121,(1,2,)222

n n n n a a a n a a +===-+…证明：对每一个正整数(2)n n ≥均有12121111112222

n n n n n a a a a ----+

+++<…

二、已知n 为正整数，证明：21n

+不存在模8余7的素因子。

的内切圆I与边AB、BC切于D、E两点，DE与I的另一个交点为F，三、如图2，ABC

CF与AB交于点G，点H在线段CG上，且HG=CF，证明：若A、H、E三点共线，则AB=AC.

⊆，四、已知集合X为平面α内的一个有限点集，T为平面α内的一个正三角形，集合S X

S≤，若对任意满足条件的集合S，均可以被正三角形T的两个平移图形覆盖，证明：集且9

合X可以被正三角形T的两个平移图形覆盖。